mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
inst✝³ : Fintype n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
hA : A.det ∈ nonZeroDivisors R
⊢ finrank R ↥(A * B).mulVecLin.range = finrank R ↥B.mulVecLin.range

Tactic:
mulVecLin_mul,

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
inst✝³ : Fintype n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
hA : A.det ∈ nonZeroDivisors R
⊢ finrank R ↥(A.mulVecLin ∘ₗ B.mulVecLin).range = finrank R ↥B.mulVecLin.range
Module: Mathlib.Algebra.Lie.UniversalEnveloping

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
x : L
⊢ (⇑((lift R) f) ∘ ⇑(ι R)) x = f x

Tactic:
ι_comp_lift

Goal state after:
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
x : L
⊢ f x = f x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Decomposition

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Decomposition ℳ
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
i : ι
x y : S ⊗[R] ↥(ℳ i)
h : (Submodule.toBaseChange S (ℳ i)) x = (Submodule.toBaseChange S (ℳ i)) y
⊢ Function.Bijective
    ⇑(↑(directSumRight R S S fun i ↦ ↥(ℳ i)) ∘ₗ
        ↑(LinearEquiv.baseChange R S M (⨁ (i : ι), ↥(ℳ i)) (decomposeLinearEquiv ℳ)))

Tactic:
rw [← LinearEquiv.coe_trans]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Decomposition ℳ
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
i : ι
x y : S ⊗[R] ↥(ℳ i)
h : (Submodule.toBaseChange S (ℳ i)) x = (Submodule.toBaseChange S (ℳ i)) y
⊢ Function.Bijective
    ⇑↑((LinearEquiv.baseChange R S M (⨁ (i : ι), ↥(ℳ i)) (decomposeLinearEquiv ℳ)).trans
          (directSumRight R S S fun i ↦ ↥(ℳ i)))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Extension

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing M
inst✝ : LieAlgebra R M
E : Extension R M L
x : E.L
y : M
⊢ ⁅E.proj x, E.proj (E.incl y)⁆ = 0

Tactic:
proj_incl,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing M
inst✝ : LieAlgebra R M
E : Extension R M L
x : E.L
y : M
⊢ ⁅E.proj x, 0⁆ = 0
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.Cycle.Concrete

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length
⊢ ∀ (x : { x // x ∈ l }), l.attach ≠ [x]

Tactic:
· intro x h
      simp [h] at hn

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: n : ℕ
i j : Fin n
h : i ≠ j
⊢ B n i j ≤ 0

Tactic:
simp only [B, Matrix.of_apply]

Goal state after:
n : ℕ
i j : Fin n
h : i ≠ j
⊢ (if i = j then 2 else if ↑i + 1 = ↑j then if ↑j = n - 1 then -2 else -1 else if ↑j + 1 = ↑i then -1 else 0) ≤ 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
α β : ↥LieSubalgebra.root
⊢ ((rootSystem H).reflectionPerm β) α ∈ I.rootSet ↔ α ∈ I.rootSet

Tactic:
let S := rootSystem H

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
α β : ↥LieSubalgebra.root
S : RootPairing (↥LieSubalgebra.root) K (Dual K ↥H) ↥H := rootSystem H
⊢ ((rootSystem H).reflectionPerm β) α ∈ I.rootSet ↔ α ∈ I.rootSet
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
this : (normalizedFactors r).prod = r
⊢ r = c 1 ^ i

Tactic:
hi,

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
this : (Multiset.replicate i (c 1)).prod = r
⊢ r = c 1 ^ i
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0
this : ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ s = ↑(d ⟨p ^ s, hs'⟩)
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ s ≤ n

Tactic:
by
    rw [this]
    apply Subtype.prop (d ⟨p ^ s, hs'⟩)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J K : FractionalIdeal S P
⊢ I * J ≤ K ↔ ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, i * j ∈ K

Tactic:
simp only [mul_def]
  exact Submodule.mul_le

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
⊢ spanSingleton S ((algebraMap R P) ↑I.den) * I = ↑I.num

Tactic:
apply coeToSubmodule_injective
  dsimp only
  rw [coe_mul, ← smul_eq_mul, coe_spanSingleton, smul_eq_mul, Submodule.span_singleton_mul]
  convert! I.den_mul_self_eq_num using 1
  ext
  rw [mem_smul_pointwise_iff_exists, mem_smul_pointwise_iff_exists]
  simp [smul_eq_mul, Algebra.smul_def, Submonoid.smul_def]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
w_plus : Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α ≠ 0
w_minus : Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α ≠ 0
w_chi : Weight.toLinear K (↥H) L χ ≠ 0
m_pos m_neg : L
y : ↥H
hy : y ∈ corootSpace ⇑α
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, ↑y⁆
h_pos_containment : ⁅x_χ, m_pos⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑χ + ⇑α)
h_neg_containment : ⁅x_χ, m_neg⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑χ - ⇑α)
h_chi_not_in_q : Weight.toLinear K (↥H) L χ ∉ q
⊢ ⁅x_χ, m_α⁆ ∈ ⨆ α, sl2SubmoduleOfRoot ⋯

Tactic:
let S := rootSystem H

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
w_plus : Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α ≠ 0
w_minus : Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α ≠ 0
w_chi : Weight.toLinear K (↥H) L χ ≠ 0
m_pos m_neg : L
y : ↥H
hy : y ∈ corootSpace ⇑α
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, ↑y⁆
h_pos_containment : ⁅x_χ, m_pos⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑χ + ⇑α)
h_neg_containment : ⁅x_χ, m_neg⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑χ - ⇑α)
h_chi_not_in_q : Weight.toLinear K (↥H) L χ ∉ q
S : RootPairing (↥LieSubalgebra.root) K (Dual K ↥H) ↥H := rootSystem H
⊢ ⁅x_χ, m_α⁆ ∈ ⨆ α, sl2SubmoduleOfRoot ⋯
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LeftExact

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M1 : Type u_2
M2 : Type u_3
M3 : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M1
inst✝⁶ : AddCommGroup M2
inst✝⁵ : AddCommGroup M3
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M1
inst✝² : Module R M2
inst✝¹ : Module R M3
inst✝ : Module R N
f : M1 →ₗ[R] M2
g : M2 →ₗ[R] M3
exac : Function.Exact ⇑f ⇑g
surj : Function.Surjective ⇑g
⊢ Function.Exact ⇑(lcomp R N g) ⇑(lcomp R N f)

Tactic:
intro h
  simp only [LinearMap.lcomp_apply', Set.mem_range]
  refine ⟨fun hh ↦ ?_, fun ⟨y, hy⟩ ↦ ?_⟩
  · use ((LinearMap.range f).liftQ h (LinearMap.range_le_ker_iff.mpr hh)).comp
      (exac.linearEquivOfSurjective surj).symm.toLinearMap
    ext x
    simp
  · rw [← hy, LinearMap.comp_assoc, exac.linearMap_comp_eq_zero, LinearMap.comp_zero y]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹² : CommRing P
inst✝¹¹ : Algebra R✝ P
R₁ : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Algebra R₁ K
inst✝⁷ : IsFractionRing R₁ K
inst✝⁶ : IsLocalization S P
inst✝⁵ : IsDomain R₁
R : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ (↑I).IsPrincipal

Tactic:
obtain ⟨a, aI, -, ha⟩ := exists_eq_spanSingleton_mul I

Goal state after:
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹² : CommRing P
inst✝¹¹ : Algebra R✝ P
R₁ : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Algebra R₁ K
inst✝⁷ : IsFractionRing R₁ K
inst✝⁶ : IsLocalization S P
inst✝⁵ : IsDomain R₁
R : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
a : R
aI : Ideal R
ha : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑aI
⊢ (↑I).IsPrincipal
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)

Tactic:
by_cases hx : x = 0

Goal state after:
case pos
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : x = 0
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)

case neg
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : ¬x = 0
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
ι : Type u_4
inst✝ : Nonempty ι
J : ι → Ideal A
hI : ¬I = 0
H : ⨅ i, I * J i ≤ I
K : Ideal A
hK : ⨅ i, I * J i = I * K
⊢ ⨅ i, I * J i ≤ I * ⨅ i, J i

Tactic:
hK,

Goal state after:
case neg
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
ι : Type u_4
inst✝ : Nonempty ι
J : ι → Ideal A
hI : ¬I = 0
H : ⨅ i, I * J i ≤ I
K : Ideal A
hK : ⨅ i, I * J i = I * K
⊢ I * K ≤ I * ⨅ i, J i
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
this : NormalizedGCDMonoid (Ideal A) := UniqueFactorizationMonoid.toNormalizedGCDMonoid (Ideal A)
⊢ gcd I J = I ⊔ J

Tactic:
rw [gcd_eq_normalize _ _, normalize_eq]

Goal state after:
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
this : NormalizedGCDMonoid (Ideal A) := UniqueFactorizationMonoid.toNormalizedGCDMonoid (Ideal A)
⊢ gcd I J ∣ I ⊔ J

A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
this : NormalizedGCDMonoid (Ideal A) := UniqueFactorizationMonoid.toNormalizedGCDMonoid (Ideal A)
⊢ I ⊔ J ∣ gcd I J
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
hl' : l.ker.FG
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M := ⋯
π : Free.ChooseBasisIndex R M → ↥⋯.toFinset := ⋯
σ : ↥⋯.toFinset → Free.ChooseBasisIndex R M
hσ : ∀ (b_1 : ↥⋯.toFinset), π (σ b_1) = b_1
hπ : Subtype.val ∘ π = ⇑l ∘ ⇑b
hσ₁ : π ∘ σ = id
hσ₂ : ⇑l ∘ ⇑b ∘ σ = Subtype.val
f : M →ₗ[R] ↥⋯.toFinset →₀ R := ⋯
x : ↥⋯.toFinset →₀ R
⊢ (linearCombination R Subtype.val) x = 0 → ∃ y, l y = 0 ∧ f y = x

Tactic:
intro hx
    refine ⟨b.repr.symm (x.mapDomain σ), ?_, ?_⟩
    · simp [Finsupp.apply_linearCombination, hσ₂, hx]
    · simp only [f, LinearMap.comp_apply, b.repr.apply_symm_apply,
        LinearEquiv.coe_toLinearMap, Finsupp.lmapDomain_apply]
      rw [← Finsupp.mapDomain_comp, hσ₁, Finsupp.mapDomain_id]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥l.ker
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : (↥s →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(l ∘ₗ π).ker
f : ↥(l ∘ₗ π).ker →ₗ[R] ↥l.ker := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (l ∘ₗ π).ker.subtype = l.ker.subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ π.ker.FG

Tactic:
have : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (l ∘ₗ π) :=
    Submodule.comap_mono (f := π) (bot_le (a := LinearMap.ker l))

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥l.ker
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : (↥s →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(l ∘ₗ π).ker
f : ↥(l ∘ₗ π).ker →ₗ[R] ↥l.ker := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (l ∘ₗ π).ker.subtype = l.ker.subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f
this : π.ker ≤ (l ∘ₗ π).ker
⊢ π.ker.FG
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FinitePresentation R S
inst✝ : FinitePresentation S M
n : ℕ
K : Submodule S (Fin n → S)
e : M ≃ₗ[S] (Fin n → S) ⧸ K
hK : K.FG
f : (Fin n → S) →ₗ[R] M := ↑R (↑e.symm ∘ₗ K.mkQ)
⊢ FinitePresentation R M

Tactic:
refine Module.finitePresentation_of_surjective f (fun m ↦ ?_) ?_

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FinitePresentation R S
inst✝ : FinitePresentation S M
n : ℕ
K : Submodule S (Fin n → S)
e : M ≃ₗ[S] (Fin n → S) ⧸ K
hK : K.FG
f : (Fin n → S) →ₗ[R] M := ↑R (↑e.symm ∘ₗ K.mkQ)
m : M
⊢ ∃ a, f a = m

case refine_2
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FinitePresentation R S
inst✝ : FinitePresentation S M
n : ℕ
K : Submodule S (Fin n → S)
e : M ≃ₗ[S] (Fin n → S) ⧸ K
hK : K.FG
f : (Fin n → S) →ₗ[R] M := ↑R (↑e.symm ∘ₗ K.mkQ)
⊢ f.ker.FG
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
x : ↥τ
⊢ (f ∘ₗ linearCombination R i) ↑x = 0

Tactic:
hi,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
x : ↥τ
⊢ ((s₀ • g) ∘ₗ π) ↑x = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.PID

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ R ∙ y
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k) ≃ₗ[R] ↥(R ∙ y) :=
  (R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ f.symm ⟨p ^ k • x, h⟩ ∈ torsionBy R (R ⧸ R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k) (p ^ (pOrder hM y - k))

pp: case ha
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ R ∙ y
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k) ≃ₗ[R] ↥(R ∙ y) :=
  (R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ p ^ (pOrder hM y - k) ∈ nonZeroDivisors R

Tactic:
mem_torsionBy_iff,

Goal state after:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ R ∙ y
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k) ≃ₗ[R] ↥(R ∙ y) :=
  (R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ p ^ (pOrder hM y - k) • f.symm ⟨p ^ k • x, h⟩ = 0

case ha
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ R ∙ y
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k) ≃ₗ[R] ↥(R ∙ y) :=
  (R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ p ^ (pOrder hM y - k) ∈ nonZeroDivisors R
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Derivation

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module (MvPolynomial σ R) A
D : Derivation R (MvPolynomial σ R) A
a : R
f : MvPolynomial σ R
⊢ C a • D f = a • D f

Tactic:
by
  have : C (σ := σ) a • D f = D (C a * f) := by simp
  rw [this, C_mul', D.map_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.PDeriv

Goal state before:
pp: case mul_X
R : Type u
σ : Type v
inst✝ : CommSemiring R
τ : Type u_1
f : σ → τ
hf : Injective f
x : σ
p : MvPolynomial σ R
a : σ
h : (pderiv (f x)) ((rename f) p) = (rename f) ((pderiv x) p)
⊢ (if a = x then (rename f) p else 0) + X (f a) * (rename f) ((pderiv x) p) =
    (rename f) (if a = x then p else 0) + X (f a) * (rename f) ((pderiv x) p)

Tactic:
split_ifs <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
⊢ (aeval X) (derivative P) • (D R R[X]) X = derivative ((aeval X) P) • (D R R[X]) X

Tactic:
aeval_X_left_apply,

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
⊢ derivative P • (D R R[X]) X = derivative ((aeval X) P) • (D R R[X]) X
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
S : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
this : Fintype ι
e₁ : S ⊗[R] (ι → R) ≃ₗ[S] ι → S ⊗[R] R := ⋯
e₂ : (ι → S ⊗[R] N) ≃ₗ[S] S ⊗[R] (ι → R) →ₗ[S] S ⊗[R] N := ⋯
e₃ : ((ι → R) →ₗ[R] N) ≃ₗ[R] ι → N := ⋯
f : (ι → R) →ₗ[R] N
s : S
i : ι
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry
            (((LinearEquiv.baseChange R S ((ι → R) →ₗ[R] N) (ι → N) e₃ ≪≫ₗ piRight R S S fun i ↦ N) ≪≫ₗ e₂)
              (1 ⊗ₜ[R] f)))
          s ∘ₗ
        LinearMap.single R (fun i ↦ R) i)
      1 =
    ((AlgebraTensorModule.curry ((baseChangeHom R S (ι → R) N) f)) s ∘ₗ LinearMap.single R (fun i ↦ R) i) 1

Tactic:
simpa [e₃, e₂, e₁] using (tmul_eq_smul_one_tmul s (f (Pi.single i 1))).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Presentation R S ι σ
h : Function.Bijective ⇑(algebraMap R S)
⊢ (Generators.ofSurjectiveAlgebraMap ⋯).ker = ⊥

Tactic:
← RingHom.injective_iff_ker_eq_bot

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Presentation R S ι σ
h : Function.Bijective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap (Generators.ofSurjectiveAlgebraMap ⋯).toExtension.Ring S)