mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Hom

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B₁ B₂ : BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ⇑l
hᵣ : Function.Surjective ⇑r
h : B₁.comp l r = B₂.comp l r
x y : M'
⊢ (B₁ x) y = (B₂ x) y

Tactic:
obtain ⟨x', rfl⟩ := hₗ x

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B₁ B₂ : BilinForm R M'
l r : M →ₗ[R] M'
hₗ : Function.Surjective ⇑l
hᵣ : Function.Surjective ⇑r
h : B₁.comp l r = B₂.comp l r
y : M'
x' : M
⊢ (B₁ (l x')) y = (B₂ (l x')) y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Properties

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
R : Type u_8
inst✝² : Field R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : Module R M
B C : BilinForm R M
hB : B.IsSymm
hC : C.IsSymm
h : B = C
⊢ ∀ (x : M), (B x) x = (C x) x

Tactic:
by simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
⊢ I ≤ ⊥

Tactic:
← lie_eq_self_of_isAtom_of_nonabelian I hI (hL I hI),

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
Φ : LinearMap.BilinForm R L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
⊢ ⁅I, I⁆ ≤ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), InvImage (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) (fun x ↦ finrank K ↥x) y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := ⋯
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ ↑(orthogonal Φ hΦ_inv J ⊓ I) < ↑I

Tactic:
suffices ¬I ≤ J' by simpa

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), InvImage (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) (fun x ↦ finrank K ↥x) y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ ¬I ≤ J'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
h : W = ⊥
⊢ B.orthogonal W = ⊤

Tactic:
by simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
⊢ map Prod.fst m.toEnumFinset.val = m

Tactic:
ext a

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
a : α
⊢ count a (map Prod.fst m.toEnumFinset.val) = count a m
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := s'.sup id
x : L
hx : x ∈ I
⊢ ∃ y ∈ id J, ∃ z ∈ K, y + z = x

Tactic:
rw [← LieSubmodule.mem_sup, ← Finset.sup_insert, Finset.insert_erase hJs]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := s'.sup id
x : L
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ s.sup id
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m s t : Multiset α
h : s = t
x : s.ToType
⊢ count x.fst s = count x.fst t

Tactic:
by simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m s t : Multiset α
h : s = t
x : t.ToType
⊢ count x.fst t = count x.fst s

Tactic:
by simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : FaithfulSMul R A
B : BilinForm R M₂
h : B = 0
⊢ BilinForm.baseChange A B = 0

Tactic:
by simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.AlgebraicClosure

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝ : Field k
f : k[X]
hf : f.Monic
x✝ : Irreducible f
⊢ (map (algebraMap k (AlgebraicClosure k)) f).Splits

Tactic:
show f = (⟨f, hf⟩ : Monics k) from rfl,

Goal state after:
k : Type u
inst✝ : Field k
f : k[X]
hf : f.Monic
x✝ : Irreducible f
⊢ (map (algebraMap k (AlgebraicClosure k)) ↑⟨f, hf⟩).Splits
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
x : L
h : x = 0
⊢ (ad R L) x = 0

Tactic:
by simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case lie
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x u v : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hy✝ : v ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hu : u ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv : v ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
obtain ⟨yc, hyc, yl, hyl, yu, hyu, rfl⟩ :
        ∃ᵉ (yc ∈ H) (yl ∈ lieSpan R L (range b.f)) (yu ∈ lieSpan R L (range b.e)),
          yc + yl + yu = u := by simpa [LieSubmodule.mem_sup] using! hu

Goal state after:
case lie
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x v : L
hy✝ : v ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hv : v ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hx✝ : yc + yl + yu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hu : yc + yl + yu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
⊢ ⁅yc + yl + yu, v⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Free R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥(genWeightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)
this :
  (trace R ↥(shiftedGenWeightSpace R L M χ))
      ((toEnd R L ↥(shiftedGenWeightSpace R L M χ)) x ∘ₗ (toEnd R L ↥(shiftedGenWeightSpace R L M χ)) y) =
    0
⊢ ((traceForm R L ↥(genWeightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)

Tactic:
shiftedGenWeightSpace.toEnd_eq,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Free R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥(genWeightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)
this :
  (trace R ↥(shiftedGenWeightSpace R L M χ))
      ((shiftedGenWeightSpace.shift R L M χ).conj ((toEnd R L ↥(genWeightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id) ∘ₗ
        (toEnd R L ↥(shiftedGenWeightSpace R L M χ)) y) =
    0
⊢ ((traceForm R L ↥(genWeightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Free R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥(genWeightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)
this :
  (trace R ↥(shiftedGenWeightSpace R L M χ))
      ((shiftedGenWeightSpace.shift R L M χ).conj ((toEnd R L ↥(genWeightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id) ∘ₗ
        (toEnd R L ↥(shiftedGenWeightSpace R L M χ)) y) =
    0
⊢ ((traceForm R L ↥(genWeightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)

Tactic:
shiftedGenWeightSpace.toEnd_eq,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Free R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥(genWeightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)
this :
  (trace R ↥(shiftedGenWeightSpace R L M χ))
      ((shiftedGenWeightSpace.shift R L M χ).conj ((toEnd R L ↥(genWeightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id) ∘ₗ
        (shiftedGenWeightSpace.shift R L M χ).conj ((toEnd R L ↥(genWeightSpace M χ)) y - χ y • LinearMap.id)) =
    0
⊢ ((traceForm R L ↥(genWeightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : ∀ (x : L) (m n : M), (B ⁅x, m⁆) n = -(B m) ⁅x, n⁆
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
x : L
k : ℕ
ih : ∀ (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
m : M
⊢ ∀ (n : M), (B m) ((φ x ^ (k + 1)) n) = (-1) ^ (k + 1) • (B ((φ x ^ (k + 1)) m)) n

Tactic:
n

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : ∀ (x : L) (m n : M), (B ⁅x, m⁆) n = -(B m) ⁅x, n⁆
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
x : L
k : ℕ
ih : ∀ (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
m n : M
⊢ (B m) ((φ x ^ (k + 1)) n) = (-1) ^ (k + 1) • (B ((φ x ^ (k + 1)) m)) n
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

Tactic:
rw [eq_sub_of_add_eq hSN.symm] at hN

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
⊢ y ∈ ⨆ α, rootSpace H α

Tactic:
simp [iSup_genWeightSpace_eq_top]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
hy : y ∈ ⨆ α, rootSpace H α
⊢ z ∈ ⨆ α, rootSpace H α

Tactic:
simp [iSup_genWeightSpace_eq_top]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
⊢ traceForm R ↥I ↥N = (traceForm R L M).restrict (LieIdeal.toLieSubalgebra R L I).toSubmodule

Tactic:
by
  ext ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
  change _ = trace R M (φ x ∘ₗ φ y)
  rw [N.trace_eq_trace_restrict_of_le_idealizer I h x hy]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
x : M
f : Dual R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsTorsionFree R M
h : f x = 2
p : Submodule R M
hp : Disjoint p (R ∙ x)
h' : p ∈ End.invtSubmodule ↑(reflection h)
y : M
hy : y ∈ p
⊢ y ∈ LinearMap.ker f

Tactic:
have hx : x ≠ 0 := by rintro rfl; exact two_ne_zero (α := R) <| by simp [← h]

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
x : M
f : Dual R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsTorsionFree R M
h : f x = 2
p : Submodule R M
hp : Disjoint p (R ∙ x)
h' : p ∈ End.invtSubmodule ↑(reflection h)
y : M
hy : y ∈ p
hx : x ≠ 0
⊢ y ∈ LinearMap.ker f
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case add_two
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
n : ℕ
ih1 : (T R (↑n + 1)).leadingCoeff = 2 ^ ((↑n + 1).natAbs - 1)
ih2 : (T R ↑n).leadingCoeff = 2 ^ ((↑n).natAbs - 1)
⊢ (T R (↑n + 2)).leadingCoeff = 2 ^ ((↑n + 2).natAbs - 1)

Tactic:
have : leadingCoeff (2 : R[X]) = 2 := by
      change leadingCoeff (C 2) = 2
      rw [leadingCoeff_C]

Goal state after:
case add_two
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
n : ℕ
ih1 : (T R (↑n + 1)).leadingCoeff = 2 ^ ((↑n + 1).natAbs - 1)
ih2 : (T R ↑n).leadingCoeff = 2 ^ ((↑n).natAbs - 1)
this : leadingCoeff 2 = 2
⊢ (T R (↑n + 2)).leadingCoeff = 2 ^ ((↑n + 2).natAbs - 1)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : R
n : ℕ
ih1 : eval (-x) (U R ↑n) = ↑↑(↑n).negOnePow * eval x (U R ↑n)
ih2 : eval (-x) (U R (↑n + 1)) = ↑↑(↑n + 1).negOnePow * eval x (U R (↑n + 1))
⊢ eval (-x) (2 * X * U R (↑n + 1) - U R ↑n) = ↑↑(↑n + 2).negOnePow * (2 * x * eval x (U R (↑n + 1)) - eval x (U R ↑n))

Tactic:
eval_sub,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : R
n : ℕ
ih1 : eval (-x) (U R ↑n) = ↑↑(↑n).negOnePow * eval x (U R ↑n)
ih2 : eval (-x) (U R (↑n + 1)) = ↑↑(↑n + 1).negOnePow * eval x (U R (↑n + 1))
⊢ eval (-x) (2 * X * U R (↑n + 1)) - eval (-x) (U R ↑n) =
    ↑↑(↑n + 2).negOnePow * (2 * x * eval x (U R (↑n + 1)) - eval x (U R ↑n))
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℤ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
h : n = -1
⊢ U R n = 0

Tactic:
by simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
hte : e ∈ rootSpace H ⇑α
htf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
x : L
⊢ x ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα ↔ ∃ c₁ c₂ c₃, x = c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆

Tactic:
simp only [sl2SubalgebraOfRoot, IsSl2Triple.mem_toLieSubalgebra_iff]

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
hte : e ∈ rootSpace H ⇑α
htf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
x : L
⊢ (∃ c₁ c₂ c₃, x = c₁ • Classical.choose ⋯ + c₂ • Classical.choose ⋯ + c₃ • ⁅Classical.choose ⋯, Classical.choose ⋯⁆) ↔
    ∃ c₁ c₂ c₃, x = c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x h' e f : L
ht : IsSl2Triple h' e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hx : x ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
⊢ x ∈ sl2SubmoduleOfRoot hα

Tactic:
have aux {β : Weight K H L} (hβ : β.IsNonZero) {y g : L}
        (hy : y ∈ genWeightSpace L β) (hg : g ∈ rootSpace H β) (hg_ne_zero : g ≠ 0) :
        ∃ c : K, y = c • g := by
      obtain ⟨c, hc⟩ := (finrank_eq_one_iff_of_nonzero' ⟨g, hg⟩
        (by rwa [ne_eq, LieSubmodule.mk_eq_zero])).mp (finrank_rootSpace_eq_one β hβ) ⟨y, hy⟩
      exact ⟨c, by simpa using hc.symm⟩
    obtain ⟨x_αneg, hx_αneg, x_h, ⟨y, hy_coroot, rfl⟩, rfl⟩ := mem_sup.mp hx
    obtain ⟨x_pos, hx_pos, x_neg, hx_neg, rfl⟩ := mem_sup.mp hx_αneg
    obtain ⟨c₁, rfl⟩ := aux hα hx_pos heα ht.e_ne_zero
    obtain ⟨c₂, rfl⟩ := aux (Weight.IsNonZero.neg hα) hx_neg hfα ht.f_ne_zero
    obtain ⟨c₃, rfl⟩ : ∃ c₃ : K, c₃ • coroot α = y := by
      simpa [← mem_span_singleton, ← coe_corootSpace_eq_span_singleton α]
    change _ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
    rw [mem_sl2SubalgebraOfRoot_iff hα ht heα hfα]
    use c₁, c₂, c₃
    simp [ht.lie_e_f, IsSl2Triple.h_eq_coroot hα ht heα hfα, -LieSubmodule.incl_coe]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h : i = (P.reflectionPerm j) j
⊢ P.root i = -P.root j

Tactic:
by simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x : M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
hx : x ≠ 0
⊢ f = g

Tactic:
let u := reflection hg₁ * reflection hf₁

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x : M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
hx : x ≠ 0
u : M ≃ₗ[R] M := reflection hg₁ * reflection hf₁
⊢ f = g
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h2 : IsSMulRegular M 2
h : P.reflection i = P.reflection j
k : ι
⊢ P.root ((P.reflectionPerm i) k) = P.root ((P.reflectionPerm j) k)

Tactic:
by simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsRootSystem
i j : ι
h : P.reflection i = P.reflection j
k : ι
⊢ P.root ((P.reflectionPerm i) k) = P.root ((P.reflectionPerm j) k)

Tactic:
by simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
k : ℕ
⊢ (1 - X ^ 2) * (⇑derivative)^[k + 2] (T R n) =
    (2 * ↑k + 1) * X * (⇑derivative)^[k + 1] (T R n) - (↑n ^ 2 - ↑k ^ 2) * (⇑derivative)^[k] (T R n)

Tactic:
have h := congr_arg derivative^[k] <| one_sub_X_sq_mul_derivative_derivative_T_eq_poly_in_T
    (R := R) n

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
k : ℕ
h :
  (⇑derivative)^[k] ((1 - X ^ 2) * (⇑derivative)^[2] (T R n)) =
    (⇑derivative)^[k] (X * derivative (T R n) - ↑n ^ 2 * T R n)
⊢ (1 - X ^ 2) * (⇑derivative)^[k + 2] (T R n) =
    (2 * ↑k + 1) * X * (⇑derivative)^[k + 1] (T R n) - (↑n ^ 2 - ↑k ^ 2) * (⇑derivative)^[k] (T R n)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.NumDen

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
n : A
d : ↥(nonZeroDivisors A)
pr : IsRelPrime n ↑d
h : mk' K n d = x
⊢ Associated (num A x) n ∧ Associated ↑(den A x) ↑d

Tactic:
by
  rw [← IsFractionRing.mk'_num_den A x, IsLocalization.mk'_eq_iff_eq',
    (FaithfulSMul.algebraMap_injective _ _).eq_iff] at h
  refine ⟨associated_of_dvd_dvd
      ((num_den_reduced A x).dvd_of_dvd_mul_right <| h ▸ dvd_mul_right _ _)
      (pr.dvd_of_dvd_mul_right <| h ▸ dvd_mul_right _ _),
    associated_of_dvd_dvd
      ((num_den_reduced A x).symm.dvd_of_dvd_mul_left <| h ▸ dvd_mul_left _ _)
      (pr.symm.dvd_of_dvd_mul_left <| h ▸ dvd_mul_left _ _)⟩

Goal state after: