Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: case mpr.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
⊢ (contDiffPregroupoid n I).property (↑((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c')) ((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').source

pp: case mpr.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
⊢ (contDiffPregroupoid n I).property (↑((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').symm) ((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').target

pp: case mpr.refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
⊢ EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').toPartialEquiv)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source ∩ ((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').source)

pp: case mpr.refine_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
⊢ ↑(chartAt H x) x ∈ ((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').source

Tactic:
· -- regularity of the candidate local structomorphism in the forward direction
      intro y hy
      simp only [mfld_simps] at hy
      have H : ContMDiffWithinAt I I n f (f ≫ₕ c').source ((extChartAt I x).symm y) := by
        refine (h₁ ((extChartAt I x).symm y) ?_).mono ?_
        · simp only [c, hy, mfld_simps]
        · mfld_set_tac
      have hy' : (extChartAt I x).symm y ∈ c.source := by simp only [c, hy, mfld_simps]
      have hy'' : f ((extChartAt I x).symm y) ∈ c'.source := by
        simp only [c, hy, mfld_simps]
      rw [contMDiffWithinAt_iff_of_mem_source hy' hy''] at H
      convert! H.2.mono _
      · simp only [c, hy, mfld_simps]
      · dsimp [c, c']; mfld_set_tac

Goal state after:
case mpr.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
⊢ (contDiffPregroupoid n I).property (↑((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').symm) ((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').target

case mpr.refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
⊢ EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').toPartialEquiv)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source ∩ ((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').source)

case mpr.refine_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
⊢ ↑(chartAt H x) x ∈ ((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').source