Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Prod

Goal state before:
pp: case pos.h_ind
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite μ
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set (α × β)⦄,
    MeasurableSet s →
      (μ.prod ν) s < ∞ →
        ∫ (z : α × β), s.indicator (fun x ↦ c) z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), s.indicator (fun x ↦ c) (x, y) ∂ν ∂μ

pp: case pos.h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite μ
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ ⦃f g : α × β → E⦄,
    Disjoint (support f) (support g) →
      Integrable f (μ.prod ν) →
        Integrable g (μ.prod ν) →
          ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ →
            ∫ (z : α × β), g z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν ∂μ →
              ∫ (z : α × β), (f + g) z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), (f + g) (x, y) ∂ν ∂μ

pp: case h_closed
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite μ
hE : CompleteSpace E
⊢ IsClosed {f | ∫ (z : α × β), ↑↑f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ}

pp: case h_ae
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite μ
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ ⦃f g : α × β → E⦄,
    f =ᵐ[μ.prod ν] g →
      Integrable f (μ.prod ν) →
        ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ →
          ∫ (z : α × β), g z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν ∂μ

Tactic:
· intro c s hs h2s
    simp_rw [integral_indicator hs, ← indicator_comp_right, Function.comp_def,
      integral_indicator (measurable_prodMk_left hs), setIntegral_const, integral_smul_const,
      measureReal_def,
      integral_toReal (measurable_measure_prodMk_left hs).aemeasurable
        (ae_measure_lt_top hs h2s.ne)]
    rw [Measure.prod_apply hs]

Goal state after:
case pos.h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite μ
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ ⦃f g : α × β → E⦄,
    Disjoint (support f) (support g) →
      Integrable f (μ.prod ν) →
        Integrable g (μ.prod ν) →
          ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ →
            ∫ (z : α × β), g z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν ∂μ →
              ∫ (z : α × β), (f + g) z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), (f + g) (x, y) ∂ν ∂μ

case h_closed
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite μ
hE : CompleteSpace E
⊢ IsClosed {f | ∫ (z : α × β), ↑↑f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ}

case h_ae
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite μ
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ ⦃f g : α × β → E⦄,
    f =ᵐ[μ.prod ν] g →
      Integrable f (μ.prod ν) →
        ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ →
          ∫ (z : α × β), g z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν ∂μ