Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.VanKampen

Goal state before:
pp: J : Type v'
inst✝⁶ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝⁴ : PreservesLimitsOfSize.{v, v, v_2, v, u_2, u} Gr
this✝³ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, v_2, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝² : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := ⋯
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.1 ((𝟭 C).obj X)))
this✝¹ : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.1 j) ≫ α.app j
hc'' : ∀ (j : J), α.app j ≫ Gl.map (c.ι.app j) = c'.ι.app j ≫ f
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := ⋯
c'' : Cocone (F' ⋙ Gr) := ⋯
cf : (Cocone.precompose β.hom).obj c' ⟶ Gl.mapCocone c'' := ⋯
this✝ :
  cf.hom ≫
      (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).hom ≫
        pullback.fst (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt)) ≫ adj.counit.app c'.pt =
    𝟙 ((Cocone.precompose β.hom).obj c').pt
this : IsIso cf
j : J
⊢ IsPullback (c''.ι.app j ≫ pullback.fst (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) ((whiskerRight α' Gr).app j) (Gr.map f)
    (c.ι.app j ≫ adj.unit.app c.pt)

pp: J : Type v'
inst✝⁶ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝⁴ : PreservesLimitsOfSize.{v, v, v_2, v, u_2, u} Gr
this✝³ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, v_2, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝² : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := ⋯
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.1 ((𝟭 C).obj X)))
this✝¹ : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.1 j) ≫ α.app j
hc'' : ∀ (j : J), α.app j ≫ Gl.map (c.ι.app j) = c'.ι.app j ≫ f
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := ⋯
c'' : Cocone (F' ⋙ Gr) := ⋯
cf : (Cocone.precompose β.hom).obj c' ⟶ Gl.mapCocone c'' := ⋯
this✝ :
  cf.hom ≫
      (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).hom ≫
        pullback.fst (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt)) ≫ adj.counit.app c'.pt =
    𝟙 ((Cocone.precompose β.hom).obj c').pt
this : IsIso cf
j : J
⊢ c''.ι.app j ≫ pullback.snd (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt) = (whiskerRight α' Gr).app j ≫ c.ι.app j

Tactic:
· dsimp [α', c'']
      simp only [Category.comp_id, Category.id_comp, Category.assoc, Functor.map_comp,
        pullback.lift_fst]
      rw [← Category.comp_id (Gr.map f)]
      refine ((hc' j).map Gr).paste_vert (IsPullback.of_vert_isIso ⟨?_⟩)
      rw [← adj.unit_naturality, Category.comp_id, ← Category.assoc,
        ← Category.id_comp (Gr.map ((Gl.mapCocone c).ι.app j))]
      congr 1
      rw [← cancel_mono (Gr.map (adj.counit.app (F.obj j)))]
      dsimp
      simp only [Category.comp_id, Adjunction.right_triangle_components, Category.id_comp,
        Category.assoc]

Goal state after:
J : Type v'
inst✝⁶ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝⁴ : PreservesLimitsOfSize.{v, v, v_2, v, u_2, u} Gr
this✝³ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, v_2, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝² : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := ⋯
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.1 ((𝟭 C).obj X)))
this✝¹ : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.1 j) ≫ α.app j
hc'' : ∀ (j : J), α.app j ≫ Gl.map (c.ι.app j) = c'.ι.app j ≫ f
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := ⋯
c'' : Cocone (F' ⋙ Gr) := ⋯
cf : (Cocone.precompose β.hom).obj c' ⟶ Gl.mapCocone c'' := ⋯
this✝ :
  cf.hom ≫
      (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).hom ≫
        pullback.fst (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt)) ≫ adj.counit.app c'.pt =
    𝟙 ((Cocone.precompose β.hom).obj c').pt
this : IsIso cf
j : J
⊢ c''.ι.app j ≫ pullback.snd (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt) = (whiskerRight α' Gr).app j ≫ c.ι.app j