Module: Mathlib.Probability.Kernel.CondDistrib

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a ↦ (X a, Y a)) μ)
hf_int' : Integrable (fun a ↦ f (X a, Y a)) μ
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ∞
⊢ IntegrableOn (fun a ↦ ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(condDistrib Y X μ) (X a)) s μ

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a ↦ (X a, Y a)) μ)
hf_int' : Integrable (fun a ↦ f (X a, Y a)) μ
⊢ ∀ (s : Set α),
    MeasurableSet s →
      μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, ∫ (y : Ω), f (X x, y) ∂(condDistrib Y X μ) (X x) ∂μ = ∫ (x : α) in s, f (X x, Y x) ∂μ

pp: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a ↦ (X a, Y a)) μ)
hf_int' : Integrable (fun a ↦ f (X a, Y a)) μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a ↦ ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(condDistrib Y X μ) (X a)) μ

Tactic:
· exact (hf_int.integral_condDistrib hX.aemeasurable hY).integrableOn

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a ↦ (X a, Y a)) μ)
hf_int' : Integrable (fun a ↦ f (X a, Y a)) μ
⊢ ∀ (s : Set α),
    MeasurableSet s →
      μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, ∫ (y : Ω), f (X x, y) ∂(condDistrib Y X μ) (X x) ∂μ = ∫ (x : α) in s, f (X x, Y x) ∂μ

case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a ↦ (X a, Y a)) μ)
hf_int' : Integrable (fun a ↦ f (X a, Y a)) μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a ↦ ∫ (y : Ω), f (X a, y) ∂(condDistrib Y X μ) (X a)) μ