mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          x ≠ y →
            ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
              0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
⊢ 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y

Tactic:
hb

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          x ≠ y →
            ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
              0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ f.symm (a • f x' + b • f y') < a • x' + b • y'

Tactic:
← f.lt_iff_lt,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ f (f.symm (a • f x' + b • f y')) < f (a • x' + b • y')
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ a • x' + b • y' < f.symm (a • f x' + b • f y')

Tactic:
← f.lt_iff_lt,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ f (a • x' + b • y') < f (f.symm (a • f x' + b • f y'))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
h : i ∈ s
⊢ (if i ∈ s then 1 else 0) = 1

Tactic:
if_pos h

Goal state after:
k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
h : i ∈ s
⊢ 1 = 1
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
H : s.Nonempty
e : E
r : ℝ
⊢ (s.sup' H p).ball e r = s.inf' H fun i ↦ (p i).ball e r

Tactic:
by
  induction H using Finset.Nonempty.cons_induction with
  | singleton => simp
  | cons _ _ _ hs ih =>
    simp only [Finset.sup'_cons hs, Finset.inf'_cons hs, ball_sup, inf_eq_inter, ih]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
⊢ p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b < r₁ * r₂

Tactic:
hb

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂
⊢ ‖a‖ * p b < r₁ * r₂
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ r₁
b : E
⊢ p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b ≤ r₁ * r₂

Tactic:
hb

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂
⊢ ‖a‖ * p b ≤ r₁ * r₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e✝ e : ι ≃ ι'
⊢ affineSpan k (range (⇑b ∘ ⇑e.symm)) = ⊤

Tactic:
by
    rw [e.symm.surjective.range_comp]
    exact b.3

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
s : Finset ι
w : ι → k
w' : ι → k := Function.update w j (1 - (s \ {j}).sum w)
hj : j ∉ s
⊢ ∑ x ∈ insert j s, Function.update w j (1 - (s \ {j}).sum w) x = 1

Tactic:
Finset.sum_insert hj,

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
s : Finset ι
w : ι → k
w' : ι → k := Function.update w j (1 - (s \ {j}).sum w)
hj : j ∉ s
⊢ Function.update w j (1 - (s \ {j}).sum w) j + ∑ x ∈ s, Function.update w j (1 - (s \ {j}).sum w) x = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
this : p = p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding)

Tactic:
exact h.comp_embedding e.symm.toEmbedding

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Topology

Goal state before:
pp: r ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
⊢ closedBall r ε = [r - ε -[ℝ] r + ε]

Tactic:
rw [closedBall_eq_Icc, segment_eq_Icc ((sub_le_self _ hε).trans <| le_add_of_nonneg_right hε)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j ∈ t, w j = 0
⊢ 0 < ∑ i ∈ t, w i

Tactic:
exact lt_of_le_of_ne (sum_nonneg hs₀) (Ne.symm hsum_t)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s

Tactic:
hb

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: case refine_1.inr
ι : Type u_3
Z : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (Z i)
h : LocallyPathConnectedSpace ((i : ι) → Z i)
x : (i : ι) → Z i
this : ∀ (i : ι), Nonempty (Z i)
J : Set ι
hJ : J.Finite
t : (i : ι) → Set (Z i)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 (x i)
htV : J.pi t ⊆ pathComponent x
i : ι
hi : i ∈ {i | ¬PathConnectedSpace (Z i)}
hiJ : i ∉ J
z : Z i
x✝ : z ∈ univ
j : ι
hj : j ∈ J
⊢ x j ∈ t j

Tactic:
exact mem_of_mem_nhds (ht j)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∀ i ∈ sx.disjSum sy, 0 ≤ Sum.elim (fun i ↦ a * wx i) (fun j ↦ b * wy j) i

pp: case refine_2.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∑ i ∈ sx.disjSum sy, Sum.elim (fun i ↦ a * wx i) (fun j ↦ b * wy j) i = 1

pp: case refine_2.refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∀ i ∈ sx.disjSum sy, Sum.elim zx zy i ∈ s

Tactic:
· rintro i hi
      rw [Finset.mem_disjSum] at hi
      rcases hi with (⟨j, hj, rfl⟩ | ⟨j, hj, rfl⟩) <;> simp only [Sum.elim_inl, Sum.elim_inr] <;>
        apply_rules [mul_nonneg, hwx₀, hwy₀]

Goal state after:
case refine_2.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∑ i ∈ sx.disjSum sy, Sum.elim (fun i ↦ a * wx i) (fun j ↦ b * wy j) i = 1

case refine_2.refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∀ i ∈ sx.disjSum sy, Sum.elim zx zy i ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
⊢ Convex R {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}

Tactic:
rintro x ⟨ι, sx, wx, zx, hwx₀, hwx₁, hzx, rfl⟩ y ⟨ι', sy, wy, zy, hwy₀, hwy₁, hzy, rfl⟩ a b ha
      hb hab
    rw [Finset.centerMass_segment' _ _ _ _ _ _ hwx₁ hwy₁ _ _ hab]
    refine ⟨_, _, _, _, ?_, ?_, ?_, rfl⟩
    · rintro i hi
      rw [Finset.mem_disjSum] at hi
      rcases hi with (⟨j, hj, rfl⟩ | ⟨j, hj, rfl⟩) <;> simp only [Sum.elim_inl, Sum.elim_inr] <;>
        apply_rules [mul_nonneg, hwx₀, hwy₀]
    · simp [← mul_sum, *]
    · intro i hi
      rw [Finset.mem_disjSum] at hi
      rcases hi with (⟨j, hj, rfl⟩ | ⟨j, hj, rfl⟩) <;> apply_rules [hzx, hzy]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Convex

Goal state before:
pp: F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : Nontrivial F
x✝ : F
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : F
U : Set F
hU_sub : sphere 0 r ⊆ U
hU : Convex ℝ U
zero_mem : 0 ∈ U
hr₀ : ¬r = 0
x_zero : ¬x = 0
z : F := (r * ‖x‖⁻¹) • x
hz_def : z = (r * ‖x‖⁻¹) • x
h : ‖x‖ ≤ r
⊢ r⁻¹ * ‖x‖ ≤ 1

Tactic:
grw [h, inv_mul_le_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
w : ι → 𝕜
p : ι → E
t : Finset ι
h : ConvexOn 𝕜 s f
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ t, w i
hp : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
y : E := t.centerMass w p
hw' : 0 < ∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i
⊢ ∃ i ∈ {i ∈ t | w i ≠ 0}, w i • f y ≤ w i • (f ∘ p) i

Tactic:
refine exists_le_of_sum_le (nonempty_of_sum_ne_zero hw'.ne') ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
w : ι → 𝕜
p : ι → E
t : Finset ι
h : ConvexOn 𝕜 s f
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ t, w i
hp : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
y : E := t.centerMass w p
hw' : 0 < ∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i
⊢ ∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i • f y ≤ ∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i • (f ∘ p) i
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:

Tactic:
∑ g : {g : ∀ k, κ k // g i = j}, ∏ k, w k (g.1 k)
      = ∑ g ∈ piFinset fun k ↦ if hk : k = i then hk ▸ {j} else univ, ∏ k, w k (g k) :=
      Finset.sum_bij' (fun g _ ↦ g) (fun g hg ↦ ⟨g, by simpa using mem_piFinset.1 hg i⟩)
        (by aesop) (by simp) (by simp) (by simp) (by simp)
    _ = w i j := by
      rw [← prod_univ_sum, ← prod_mul_prod_compl, Finset.prod_singleton, Finset.sum_eq_single,
        Finset.prod_eq_one, mul_one] <;> simp +contextual [hw₁]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
n : ℕ
s : Simplex 𝕜 V n
⊢ (convexHull 𝕜) (range s.points) = s.closedInterior

Tactic:
ext p
  rw [convexHull_range_eq_exists_affineCombination, Set.mem_ofPred]
  constructor <;> intro h
  · obtain ⟨u, w, hw, hw1, rfl⟩ := h
    have hw' : ∀ i ∈ u, w i ≤ 1 := by
      intro i hi
      rw [← hw1]
      apply Finset.single_le_sum (fun j hj ↦ hw j hj) hi
    have hw1' : ∑ i, (u : Set (Fin (n + 1))).indicator w i = 1 := by
      simpa [Finset.sum_indicator_subset _ u.subset_univ] using hw1
    rw [Finset.affineCombination_indicator_subset _ _ u.subset_univ,
      affineCombination_mem_closedInterior_iff hw1']
    intro i
    by_cases hi : i ∈ (u : Set (Fin (n + 1))) <;> aesop
  · obtain ⟨w, hw1, rfl⟩ := eq_affineCombination_of_mem_affineSpan_of_fintype <|
      Set.mem_of_mem_of_subset h s.closedInterior_subset_affineSpan
    rw [affineCombination_mem_closedInterior_iff hw1] at h
    exact ⟨Finset.univ, w, fun i _ ↦ (h i).1, hw1, rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_6
F : Type u_7
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
H : ∀ (i : ι'), ∃ s C, ∀ (x : E), (q i) (f x) ≤ C * (s.sup p) x
⊢ IsBounded p q f

Tactic:
by
  rw [IsBounded]
  peel H with i s H
  obtain ⟨C, hC⟩ := H
  refine ⟨C.toNNReal, fun x ↦ show q i (f x) ≤ C.toNNReal • ((s.sup p) x) from ?_⟩
  exact (hC x).trans <| mul_le_mul_of_nonneg_right C.le_coe_toNNReal (apply_nonneg _ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_6
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
h : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded R (image2 (fun f x ↦ f x) S s)
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : image2 (fun f x ↦ f x) S s ⊆ c • U
hc₀ : c ≠ 0
f : E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
hf : f ∈ S
⊢ f ∈ c • {f | MapsTo (⇑f) s U}

Tactic:
rw [mem_smul_set_iff_inv_smul_mem₀ hc₀]

Goal state after:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_6
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
h : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded R (image2 (fun f x ↦ f x) S s)
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : image2 (fun f x ↦ f x) S s ⊆ c • U
hc₀ : c ≠ 0
f : E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
hf : f ∈ S
⊢ c⁻¹ • f ∈ {f | MapsTo (⇑f) s U}
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
h' : IsVonNBounded 𝕜 (p.ball 0 1)
s : Set E
hs : s ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).filter
t : Set E
ht : t ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).toFilterBasis
ts : t ⊆ s
w : Finset (Fin 1)
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hw : t = (w.sup fun x ↦ p).ball 0 r
w_ne : w ≠ ∅
this : t = p.ball 0 r
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < r
⊢ c ≠ 0

Tactic:
simpa using c_pos

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
K : ℝ≥0
h : ‖f‖ ≤ ↑K
⊢ LipschitzWith K ⇑f

Tactic:
simpa using AddMonoidHomClass.lipschitz_of_bound f K <| le_of_opNorm_le f h

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
inst✝²¹ : NormedField 𝕜₁✝
inst✝²⁰ : NormedField 𝕜₂✝
σ✝ : 𝕜₁✝ →+* 𝕜₂✝
E✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G✝ : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddCommGroup E✝
inst✝¹⁸ : Module 𝕜₁✝ E✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace E✝
inst✝¹⁶ : AddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : Module 𝕜₂✝ F✝
𝕜₁ : Type u_6
𝕜₂ : Type u_7
𝕜₃ : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹² : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : AddCommGroup G
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : TopologicalSpace G
𝔖 : Set (Set E)
𝔗 : Set (Set F)
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
L : E →SL[σ] F
hL : MapsTo (fun x ↦ ⇑L '' x) 𝔖 𝔗
this✝ : UniformSpace G := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace G
this : IsUniformAddGroup G
⊢ Continuous[UniformConvergenceCLM.instTopologicalSpace τ G 𝔗, UniformConvergenceCLM.instTopologicalSpace ρ G 𝔖] fun f ↦
    f ∘SL L

Tactic:
(UniformConvergenceCLM.isEmbedding_coeFn _ _ _).continuous_iff

Goal state after:
𝕜₁✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
inst✝²¹ : NormedField 𝕜₁✝
inst✝²⁰ : NormedField 𝕜₂✝
σ✝ : 𝕜₁✝ →+* 𝕜₂✝
E✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G✝ : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddCommGroup E✝
inst✝¹⁸ : Module 𝕜₁✝ E✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace E✝
inst✝¹⁶ : AddCommGroup F✝
inst✝¹⁵ : Module 𝕜₂✝ F✝
𝕜₁ : Type u_6
𝕜₂ : Type u_7
𝕜₃ : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹² : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : AddCommGroup G
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : TopologicalSpace G
𝔖 : Set (Set E)
𝔗 : Set (Set F)
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
L : E →SL[σ] F
hL : MapsTo (fun x ↦ ⇑L '' x) 𝔖 𝔗
this✝ : UniformSpace G := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace G
this : IsUniformAddGroup G
⊢ Continuous[UniformConvergenceCLM.instTopologicalSpace τ G 𝔗, UniformOnFun.topologicalSpace E G 𝔖]
    ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) ∘ fun f ↦ f ∘SL L)