mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
⊢ ∀ (a : Fin (p + 1) → Fin n) (b : Fin (p + 1)),
    (∀ (j : Fin (p + 1)), i < a j) →
      StrictMono a →
        ∀ (a_3 : Fin (p + 1) → Fin n) (b_1 : Fin (p + 1)),
          (∀ (j : Fin (p + 1)), i < a_3 j) →
            StrictMono a_3 → b.removeNth a = b_1.removeNth a_3 → a b = a_3 b_1 → a = a_3 ∧ b = b_1

Tactic:
intros α k hi hiα α' k' hj hiα' hremove hvalue

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
α : Fin (p + 1) → Fin n
k : Fin (p + 1)
hi : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α j
hiα : StrictMono α
α' : Fin (p + 1) → Fin n
k' : Fin (p + 1)
hj : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α' j
hiα' : StrictMono α'
hremove : k.removeNth α = k'.removeNth α'
hvalue : α k = α' k'
⊢ α = α' ∧ k = k'
Module: Mathlib.Algebra.LieRinehartAlgebra.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A₁ : Type u_2
L₁ : Type u_3
A₂ : Type u_4
L₂ : Type u_5
A₃ : Type u_6
L₃ : Type u_7
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A₁
inst✝¹⁶ : LieRing L₁
inst✝¹⁵ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁴ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹³ : CommRing A₂
inst✝¹² : LieRing L₂
inst✝¹¹ : Module A₂ L₂
inst✝¹⁰ : LieRingModule L₂ A₂
inst✝⁹ : CommRing A₃
inst✝⁸ : LieRing L₃
inst✝⁷ : Module A₃ L₃
inst✝⁶ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : Algebra R A₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : Algebra R A₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝² : Derivation R A₁ A₁
x✝¹ x✝ : A₁
⊢ ⁅x✝², x✝¹ * x✝⁆ = x✝¹ • ⁅x✝², x✝⁆ + ⁅x✝², x✝¹⁆ * x✝

Tactic:
simp; ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.LieRinehartAlgebra.Subalgebra

Goal state before:
pp: A : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : Module A L
L₁' : LieRinehartSubalgebra A L
⊢ ∀ ⦃a₂ : LieRinehartSubalgebra A L⦄, L₁'.toSubmodule = a₂.toSubmodule → L₁' = a₂

Tactic:
L₂'

Goal state after:
A : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : Module A L
L₁' L₂' : LieRinehartSubalgebra A L
⊢ L₁'.toSubmodule = L₂'.toSubmodule → L₁' = L₂'
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree R P
inst✝ : Nontrivial P
I : FractionalIdeal S P
h_nz : ↑I.den ≠ 0
x : ↥I
⊢ (algebraMap R P) ↑((equivNum h_nz) x) = I.den • ↑x

Tactic:
by
  change Algebra.linearMap R P _ = _
  rw [equivNum, LinearEquiv.trans_apply, LinearEquiv.ofBijective_apply, LinearMap.restrict_apply,
    Submodule.map_equivMapOfInjective_symm_apply, Subtype.coe_mk,
    DistribSMul.toLinearMap_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁶ : CommMonoidWithZero M
inst✝⁵ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero N
inst✝³ : Subsingleton Mˣ
inst✝² : Subsingleton Nˣ
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
⊢ associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p) ∣ m

Tactic:
simp [dvd_of_mem_normalizedFactors hp]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g✝ : P →ₐ[R] P'
g : P ≃ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P
⊢ map ((↑g.symm).comp ↑g) I = I

Tactic:
AlgEquiv.symm_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g✝ : P →ₐ[R] P'
g : P ≃ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P
⊢ map (AlgHom.id R P) I = I
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Inverse

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I = 0
⊢ ↑0 ≤ 0

Tactic:
zero_eq_bot,

Goal state after:
case pos
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I = 0
⊢ ↑⊥ ≤ 0
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
P' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P'
inst✝³ : Algebra R P'
P'' : Type u_4
inst✝² : CommRing P''
inst✝¹ : Algebra R P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
inst✝ : IsLocalization S P
I : (Submodule R P)ˣ
⊢ ↑(⟨↑I, ⋯⟩ * ⟨↑I⁻¹, ⋯⟩) = ↑1

Tactic:
by rw [coe_mul, coe_one]; exact I.mul_inv

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_notMem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ ¬x = 0

Tactic:
← @IsFractionRing.to_map_eq_zero_iff R _ K,

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_notMem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ ¬(algebraMap R K) x = 0
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Basic

Goal state before:
pp: case pos
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI : (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1
hJ : ↑⊥ = ↑I * (↑I)⁻¹
⊢ ↑I * (↑I)⁻¹ = 1

Tactic:
refine absurd ?_ hI0

Goal state after:
case pos
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI : (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1
hJ : ↑⊥ = ↑I * (↑I)⁻¹
⊢ I = ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x✝ : P
x' : R
⊢ x' • 1 = x✝ ↔ (algebraMap R P) x' = x✝

Tactic:
rw [Algebra.smul_def, mul_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Basic

Goal state before:
pp: case h
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥
hI' : ↑I ≠ 0
this : (↑I)⁻¹ * ↑J ≤ 1
H : Ideal A
hH : ↑H = (↑I)⁻¹ * ↑J
⊢ ↑J = ↑I * (↑I)⁻¹ * ↑J

Tactic:
mul_inv_cancel₀ hI',

Goal state after:
case h
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥
hI' : ↑I ≠ 0
this : (↑I)⁻¹ * ↑J ≤ 1
H : Ideal A
hH : ↑H = (↑I)⁻¹ * ↑J
⊢ ↑J = 1 * ↑J
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case mp.refine_1
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x y : P
I : FractionalIdeal S P
h : y ∈ spanSingleton S x * I
⊢ ∀ i ∈ spanSingleton S x, ∀ j ∈ I, ∃ y' ∈ I, i * j = x * y'

Tactic:
intro x' hx' y' hy'

Goal state after:
case mp.refine_1
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x y : P
I : FractionalIdeal S P
h : y ∈ spanSingleton S x * I
x' : P
hx' : x' ∈ spanSingleton S x
y' : P
hy' : y' ∈ I
⊢ ∃ y'_1 ∈ I, x' * y' = x * y'_1
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d = spanSingleton R₁⁰ d⁻¹ * J

Tactic:
← one_div_spanSingleton

Goal state after:
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d = 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
⊢ I ∣ P ^ i

Tactic:
dvd_iff_normalizedFactors_le_normalizedFactors,

Goal state after:
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
⊢ normalizedFactors I ≤ normalizedFactors (P ^ i)

case hx
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
⊢ I ≠ 0

case hy
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
⊢ P ^ i ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case pos
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : x = 0
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)

pp: case neg
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : ¬x = 0
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)

Tactic:
· rw [hx, map_zero, inv_zero, spanSingleton_zero, zero_mul]
    exact isNoetherian_zero

Goal state after:
case neg
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : ¬x = 0
⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
u v : V →ₗ[K] V₂
A : Submodule K V
quot_A_noeth : IsNoetherian K (V ⧸ A)
eqOn_A : Set.EqOn ⇑u ⇑v ↑A
A_le : A ≤ u.eqLocus v
⊢ u ≈ v

Tactic:
equiv_iff_isNoetherian_quotient_eqLocus

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
u v : V →ₗ[K] V₂
A : Submodule K V
quot_A_noeth : IsNoetherian K (V ⧸ A)
eqOn_A : Set.EqOn ⇑u ⇑v ↑A
A_le : A ≤ u.eqLocus v
⊢ IsNoetherian K (V ⧸ u.eqLocus v)
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
inst✝ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
hI : I ≠ ⊥
⊢ ∀ (l l' : { l // l ∣ I }),
    ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l') ↔ ↑l ∣ ↑l'

Tactic:
rintro ⟨l, hl⟩ ⟨l', hl'⟩

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
inst✝ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
hI : I ≠ ⊥
l : Ideal R
hl : l ∣ I
l' : Ideal R
hl' : l' ∣ I
⊢ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l, hl⟩) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l', hl'⟩) ↔
    ↑⟨l, hl⟩ ∣ ↑⟨l', hl'⟩
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
hs' : (linearCombination R Subtype.val).ker.FG
t : Finset M
ht : Submodule.span R ↑t = l.ker
H : Function.Surjective ⇑(linearCombination R Subtype.val)
σ : M → ↥s →₀ R
hσ : ∀ (b : M), (linearCombination R Subtype.val) (σ b) = b
this : ⇑(linearCombination R Subtype.val) '' σ '' ↑t = ↑t
⊢ (l ∘ₗ linearCombination R Subtype.val).ker.FG

Tactic:
LinearMap.ker_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
hs' : (linearCombination R Subtype.val).ker.FG
t : Finset M
ht : Submodule.span R ↑t = l.ker
H : Function.Surjective ⇑(linearCombination R Subtype.val)
σ : M → ↥s →₀ R
hσ : ∀ (b : M), (linearCombination R Subtype.val) (σ b) = b
this : ⇑(linearCombination R Subtype.val) '' σ '' ↑t = ↑t
⊢ (Submodule.comap (linearCombination R Subtype.val) l.ker).FG
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥l.ker
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : (↥s →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(l ∘ₗ π).ker
f : ↥(l ∘ₗ π).ker →ₗ[R] ↥l.ker := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (l ∘ₗ π).ker.subtype = l.ker.subtype ∘ₗ f
⊢ Submodule.map π (l ∘ₗ π).ker = l.ker

Tactic:
LinearMap.ker_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥l.ker
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : (↥s →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(l ∘ₗ π).ker
f : ↥(l ∘ₗ π).ker →ₗ[R] ↥l.ker := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (l ∘ₗ π).ker.subtype = l.ker.subtype ∘ₗ f
⊢ Submodule.map π (Submodule.comap π l.ker) = l.ker
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : NormalizationMonoid R
r : R
hr : r ≠ 0
i : Ideal R
hi : i ∈ {I | I ∈ normalizedFactors (span {r})}
this✝ : i.IsPrime
this : ∃ q ∈ normalizedFactors r, Associated (Submodule.IsPrincipal.generator i) q
⊢ ∃ a, (fun d ↦ ⟨span {↑d}, ⋯⟩) a = ⟨i, hi⟩

Tactic:
obtain ⟨a, ha, ha'⟩ := this
        use ⟨a, ha⟩
        simp only [← span_singleton_eq_span_singleton.mpr ha',
            span_singleton_generator]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R N
l : P →ₗ[R] N
this : Module.Finite R P
e : N ≃ₗ[R] M × P
hf : Function.Injective ⇑(↑e.symm ∘ₗ LinearMap.inl R M P)
hl : (LinearMap.snd R M P ∘ₗ ↑e) ∘ₗ l = LinearMap.id
hg : Function.Surjective ⇑(LinearMap.snd R M P ∘ₗ ↑e)
H : Function.Exact ⇑(↑e.symm ∘ₗ LinearMap.inl R M P) ⇑(LinearMap.snd R M P ∘ₗ ↑e)
⊢ (LinearMap.fst R M P ∘ₗ ↑e).ker.FG

Tactic:
LinearMap.ker_comp,

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R N
l : P →ₗ[R] N
this : Module.Finite R P
e : N ≃ₗ[R] M × P
hf : Function.Injective ⇑(↑e.symm ∘ₗ LinearMap.inl R M P)
hl : (LinearMap.snd R M P ∘ₗ ↑e) ∘ₗ l = LinearMap.id
hg : Function.Surjective ⇑(LinearMap.snd R M P ∘ₗ ↑e)
H : Function.Exact ⇑(↑e.symm ∘ₗ LinearMap.inl R M P) ⇑(LinearMap.snd R M P ∘ₗ ↑e)
⊢ (Submodule.comap (↑e) (LinearMap.fst R M P).ker).FG
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Cokernel

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁶ : Ring A
M₁ : Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module A M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module A M₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module A M₃
pres₂ : Presentation A M₂
f : M₁ →ₗ[A] M₂
ι : Type w₁
g₁ : ι → M₁
s : M₂ → pres₂.G →₀ A
hs : ∀ (m₂ : M₂), pres₂.π (s m₂) = m₂
i : ι
⊢ pres₂.π (s (f (g₁ i))) = f (g₁ i)

Tactic:
simp [hs]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Cokernel

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁸ : Ring A
M₁ : Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module A M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module A M₃
pres₂ : Presentation A M₂
f : M₁ →ₗ[A] M₂
ι : Type w₁
g₁ : ι → M₁
data : pres₂.CokernelData f g₁
hg₁ : Submodule.span A (Set.range g₁) = ⊤
N✝ : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N✝
inst✝ : Module A N✝
s : (pres₂.cokernelRelations data).Solution N✝
⊢ Submodule.span A (⇑f '' Set.range g₁) ≤ (⋯.desc { var := s.var, linearCombination_var_relation := ⋯ }).ker

Tactic:
Submodule.span_le,

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁸ : Ring A
M₁ : Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module A M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module A M₃
pres₂ : Presentation A M₂
f : M₁ →ₗ[A] M₂
ι : Type w₁
g₁ : ι → M₁
data : pres₂.CokernelData f g₁
hg₁ : Submodule.span A (Set.range g₁) = ⊤
N✝ : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N✝
inst✝ : Module A N✝
s : (pres₂.cokernelRelations data).Solution N✝
⊢ ⇑f '' Set.range g₁ ⊆ ↑(⋯.desc { var := s.var, linearCombination_var_relation := ⋯ }).ker
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂

Tactic:
use σ.prod s

Goal state after:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ σ.prod s • g₁ = σ.prod s • g₂
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
x y : S
e : P.σ x = P.σ y
⊢ x = y

Tactic:
rw [← P.algebraMap_σ x, ← P.algebraMap_σ y, e]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P✝ P : Presentation R S ι σ
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
e : ι' ≃ ι
f : σ' ≃ σ
⊢ Ideal.span (Set.range (⇑(rename ⇑e.symm) ∘ P.relation ∘ ⇑f)) = (P.reindex e).ker

Tactic:
by
    rw [Generators.ker_eq_ker_aeval_val, Generators.reindex_val, ← aeval_comp_rename,
      ← AlgHom.comap_ker, ← P.ker_eq_ker_aeval_val, ← P.span_range_relation_eq_ker,
      Set.range_comp, Set.range_comp, Equiv.range_eq_univ, Set.image_univ,
      ← Ideal.map_span (rename ⇑e.symm)]
    have hf : Function.Bijective (MvPolynomial.rename e.symm) := (renameEquiv R e.symm).bijective
    apply Ideal.comap_injective_of_surjective _ hf.2
    simp_rw [Ideal.comap_comapₐ, rename_comp_rename, Equiv.self_comp_symm]
    simp [Ideal.comap_map_of_bijective _ hf, rename_id]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S ι
ι' : Type u_1
T✝ : Type ?u.18
inst✝³ : CommRing T✝
inst✝² : Algebra R T✝
T : Type ?u.24
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S ι
⊢ Generators T (T ⊗[R] S) ι

Tactic:
by
  apply Generators.ofSurjective (fun x ↦ 1 ⊗ₜ[R] P.val x)
  intro x
  induction x using TensorProduct.induction_on with
  | zero => exact ⟨0, map_zero _⟩
  | tmul a b =>
    let X := P.σ b
    use a • MvPolynomial.map (algebraMap R T) X
    simp only [LinearMapClass.map_smul, X, aeval_map_algebraMap]
    have : ∀ y : P.Ring,
      aeval (fun x ↦ (1 ⊗ₜ[R] P.val x : T ⊗[R] S)) y = 1 ⊗ₜ aeval (fun x ↦ P.val x) y := by
      intro y
      induction y using MvPolynomial.induction_on with
      | C a =>
        rw [aeval_C, aeval_C, TensorProduct.algebraMap_apply, algebraMap_eq_smul_one, smul_tmul,
          algebraMap_eq_smul_one]
      | add p q hp hq => simp [map_add, tmul_add, hp, hq]
      | mul_X p i hp => simp [hp]
    rw [this, P.aeval_val_σ, smul_tmul', smul_eq_mul, mul_one]
  | add x y ex ey =>
    obtain ⟨a, ha⟩ := ex
    obtain ⟨b, hb⟩ := ey
    use (a + b)
    rw [map_add, ha, hb]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
this : DecidableEq (ι' →₀ ℕ) := ⋯
⊢ RingHom.ker (Q.ofComp P).toAlgHom ≤ Ideal.map (Q.toComp P).toAlgHom P.ker

Tactic:
rintro x (h₂ : (Q.ofComp P).toAlgHom x = 0)

Goal state after:
case a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
this : DecidableEq (ι' →₀ ℕ) := Classical.decEq (ι' →₀ ℕ)
x : (Q.comp P).Ring
h₂ : (Q.ofComp P).toAlgHom x = 0
⊢ x ∈ Ideal.map (Q.toComp P).toAlgHom P.ker
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Vanishing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
k : ℕ
a : ι → Fin k → R
y : Fin k → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : Fin k), ∑ i, a i j • m i = 0
⊢ ∑ x, 0 = 0

Tactic:
Finset.sum_const_zero

Goal state after: