Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence

Goal state before:
pp: case refine_2.inr.inl
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : LinearOrder S
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : IsStrictOrderedRing S
inst✝² : Archimedean S
inst✝¹ : OrderTopology S
ι✝ : Type u_3
inst✝ : Finite ι✝
v✝ : ι✝ → AbsoluteValue R S
this : Fintype ι✝
P : (ι : Type u_3) → [Fintype ι] → Prop :=
  fun ι [Fintype ι] ↦
    ∀ (v : ι → AbsoluteValue R S),
      (∀ (i : ι), (v i).IsNontrivial) →
        (Pairwise fun i j ↦ ¬(v i).IsEquiv (v j)) → ∀ (i : ι), ∃ a, 1 < (v i) a ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → (v j) a < 1
ι : Type u_3
x✝¹ : Fintype ι
x✝ : Nontrivial ι
ih : ∀ (β : Type u_3) [inst : Fintype β], card β < card ι → P β
v : ι → AbsoluteValue R S
h : ∀ (i : ι), (v i).IsNontrivial
hv : Pairwise fun i j ↦ ¬(v i).IsEquiv (v j)
i : ι
hc : card ι ≠ 2
hlt : 2 < card ι
j : ι
hj : j ≠ i
a : R
ha :
  1 < (restrict (fun k ↦ k ≠ j) v ⟨i, ⋯⟩) a ∧
    ∀ (j_1 : { k // k ≠ j }), j_1 ≠ ⟨i, ⋯⟩ → (restrict (fun k ↦ k ≠ j) v j_1) a < 1
b : R
hb :
  1 < (restrict (fun k ↦ k = i ∨ k = j) v ⟨i, ⋯⟩) b ∧
    ∀ (j_1 : { k // k = i ∨ k = j }), j_1 ≠ ⟨i, ⋯⟩ → (restrict (fun k ↦ k = i ∨ k = j) v j_1) b < 1
ha₁ : (v j) a = 1
⊢ ∃ a, 1 < (v i) a ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → (v j) a < 1

pp: case refine_2.inr.inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : LinearOrder S
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : IsStrictOrderedRing S
inst✝² : Archimedean S
inst✝¹ : OrderTopology S
ι✝ : Type u_3
inst✝ : Finite ι✝
v✝ : ι✝ → AbsoluteValue R S
this : Fintype ι✝
P : (ι : Type u_3) → [Fintype ι] → Prop :=
  fun ι [Fintype ι] ↦
    ∀ (v : ι → AbsoluteValue R S),
      (∀ (i : ι), (v i).IsNontrivial) →
        (Pairwise fun i j ↦ ¬(v i).IsEquiv (v j)) → ∀ (i : ι), ∃ a, 1 < (v i) a ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → (v j) a < 1
ι : Type u_3
x✝¹ : Fintype ι
x✝ : Nontrivial ι
ih : ∀ (β : Type u_3) [inst : Fintype β], card β < card ι → P β
v : ι → AbsoluteValue R S
h : ∀ (i : ι), (v i).IsNontrivial
hv : Pairwise fun i j ↦ ¬(v i).IsEquiv (v j)
i : ι
hc : card ι ≠ 2
hlt : 2 < card ι
j : ι
hj : j ≠ i
a : R
ha :
  1 < (restrict (fun k ↦ k ≠ j) v ⟨i, ⋯⟩) a ∧
    ∀ (j_1 : { k // k ≠ j }), j_1 ≠ ⟨i, ⋯⟩ → (restrict (fun k ↦ k ≠ j) v j_1) a < 1
b : R
hb :
  1 < (restrict (fun k ↦ k = i ∨ k = j) v ⟨i, ⋯⟩) b ∧
    ∀ (j_1 : { k // k = i ∨ k = j }), j_1 ≠ ⟨i, ⋯⟩ → (restrict (fun k ↦ k = i ∨ k = j) v j_1) b < 1
ha₁ : (v j) a ≠ 1
⊢ ∃ a, 1 < (v i) a ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → (v j) a < 1

Tactic:
· -- If `v j a = 1` then take a large enough value from the sequence `a ^ n * b`.
      let ⟨c, hc⟩ := exists_one_lt_lt_one_pi_of_eq_one ha.1 ha.2 ha₁ hb.1 (hb.2 ⟨j, .inr rfl⟩
        (by grind))
      refine ⟨c, hc.1, fun k hk ↦ ?_⟩
      rcases eq_or_ne k j with (rfl | h); try exact hc.2.2; exact hc.2.1 ⟨k, h⟩ (by grind)

Goal state after:
case refine_2.inr.inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : LinearOrder S
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : IsStrictOrderedRing S
inst✝² : Archimedean S
inst✝¹ : OrderTopology S
ι✝ : Type u_3
inst✝ : Finite ι✝
v✝ : ι✝ → AbsoluteValue R S
this : Fintype ι✝
P : (ι : Type u_3) → [Fintype ι] → Prop :=
  fun ι [Fintype ι] ↦
    ∀ (v : ι → AbsoluteValue R S),
      (∀ (i : ι), (v i).IsNontrivial) →
        (Pairwise fun i j ↦ ¬(v i).IsEquiv (v j)) → ∀ (i : ι), ∃ a, 1 < (v i) a ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → (v j) a < 1
ι : Type u_3
x✝¹ : Fintype ι
x✝ : Nontrivial ι
ih : ∀ (β : Type u_3) [inst : Fintype β], card β < card ι → P β
v : ι → AbsoluteValue R S
h : ∀ (i : ι), (v i).IsNontrivial
hv : Pairwise fun i j ↦ ¬(v i).IsEquiv (v j)
i : ι
hc : card ι ≠ 2
hlt : 2 < card ι
j : ι
hj : j ≠ i
a : R
ha :
  1 < (restrict (fun k ↦ k ≠ j) v ⟨i, ⋯⟩) a ∧
    ∀ (j_1 : { k // k ≠ j }), j_1 ≠ ⟨i, ⋯⟩ → (restrict (fun k ↦ k ≠ j) v j_1) a < 1
b : R
hb :
  1 < (restrict (fun k ↦ k = i ∨ k = j) v ⟨i, ⋯⟩) b ∧
    ∀ (j_1 : { k // k = i ∨ k = j }), j_1 ≠ ⟨i, ⋯⟩ → (restrict (fun k ↦ k = i ∨ k = j) v j_1) b < 1
ha₁ : (v j) a ≠ 1
⊢ ∃ a, 1 < (v i) a ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → (v j) a < 1