mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Free

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Quiver B
⊢ ∀ {a b c : FreeBicategory B} (f : a ⟶ b) {g h i : b ⟶ c} (η : g ⟶ h) (θ : h ⟶ i),
    Quot.map (Hom₂.whisker_left f) ⋯ (η ≫ θ) = Quot.map (Hom₂.whisker_left f) ⋯ η ≫ Quot.map (Hom₂.whisker_left f) ⋯ θ

Tactic:
rintro a b c f g h i ⟨η⟩ ⟨θ⟩
    exact Quot.sound (Rel.whisker_left_comp f η θ)

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Kan.Adjunction

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
tfae_1_to_2 : IsLeftAdjoint f → HasAbsLeftKanExtension f (𝟙 a)
tfae_2_to_3 : HasAbsLeftKanExtension f (𝟙 a) → ∃ (x : HasLeftKanExtension f (𝟙 a)), Lan.CommuteWith f (𝟙 a) f
⊢ [IsLeftAdjoint f, HasAbsLeftKanExtension f (𝟙 a), ∃ (x : HasLeftKanExtension f (𝟙 a)), Lan.CommuteWith f (𝟙 a) f].TFAE

Tactic:
tfae_have 3 → 1
  | ⟨h, h'⟩ => .mk <| (lanIsKan f (𝟙 a)).adjunction <| Lan.CommuteWith.isKan f (𝟙 a) f

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
tfae_1_to_2 : IsLeftAdjoint f → HasAbsLeftKanExtension f (𝟙 a)
tfae_2_to_3 : HasAbsLeftKanExtension f (𝟙 a) → ∃ (x : HasLeftKanExtension f (𝟙 a)), Lan.CommuteWith f (𝟙 a) f
tfae_3_to_1 : (∃ (x : HasLeftKanExtension f (𝟙 a)), Lan.CommuteWith f (𝟙 a) f) → IsLeftAdjoint f
⊢ [IsLeftAdjoint f, HasAbsLeftKanExtension f (𝟙 a), ∃ (x : HasLeftKanExtension f (𝟙 a)), Lan.CommuteWith f (𝟙 a) f].TFAE
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Kan.Adjunction

Goal state before:

Tactic:
τ
        _ = 𝟙 _ ⊗≫ h ◁ leftZigzag adj.unit adj.counit ⊗≫ τ ⊗≫ 𝟙 _ := by
          rw [adj.left_triangle]; bicategory
        _ = 𝟙 _ ⊗≫ h ◁ adj.unit ▷ f ⊗≫ (_ ◁ adj.counit ≫ τ ▷ _) ⊗≫ 𝟙 _ := by
          rw [leftZigzag]; bicategory
        _ = 𝟙 _ ⊗≫ (h ◁ adj.unit ⊗≫ τ ▷ u) ▷ f ⊗≫ s.lift ◁ adj.counit ⊗≫ 𝟙 _ := by
          rw [whisker_exchange]; bicategory
        _ = _ := by
          rw [hτ]; dsimp only [StructuredArrow.homMk_right]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Kan.Adjunction

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t : LeftExtension f g
H : t.IsKan
x : B
h : c ⟶ x
u : x ⟶ c
adj : h ⊣ u
η' : 𝟙 c ⟶ h ≫ u := adj.unit
H' : (LeftLift.mk h η').IsAbsKan := fun {x_1} ↦ adj.isAbsoluteLeftKanLift
s : LeftExtension f (g ≫ h)
k : b ⟶ x := s.extension
θ : g ≫ h ⟶ f ≫ s.extension := s.unit
sτ : LeftExtension f g := mk (k ≫ u) (𝟙 g ⊗≫ g ◁ η' ⊗≫ θ ▷ u ⊗≫ 𝟙 (f ≫ k ≫ u))
τ : t.extension ⟶ k ≫ u := H.desc sτ
sσ : LeftLift u (t.extension ≫ 𝟙 c) := LeftLift.mk k ((ρ_ t.extension).hom ≫ τ)
σ : t.extension ≫ h ⟶ k := H'.desc sσ
Hσ : t.extension ◁ η' ⊗≫ σ ▷ u = 𝟙 (t.extension ≫ 𝟙 c) ⊗≫ τ
⊢ ((LeftLift.mk h η').whisker g).unit ≫ ((t.whisker h).unit ≫ f ◁ σ) ▷ u =
    ((LeftLift.mk h η').whisker g).unit ≫ s.unit ▷ u

Tactic:
dsimp only [LeftLift.whisker_lift, StructuredArrow.mk_right, LeftLift.whisker_unit,
        StructuredArrow.mk_hom_eq_self, whisker_extension, whisker_unit]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t : LeftExtension f g
H : t.IsKan
x : B
h : c ⟶ x
u : x ⟶ c
adj : h ⊣ u
η' : 𝟙 c ⟶ h ≫ u := adj.unit
H' : (LeftLift.mk h η').IsAbsKan := fun {x_1} ↦ adj.isAbsoluteLeftKanLift
s : LeftExtension f (g ≫ h)
k : b ⟶ x := s.extension
θ : g ≫ h ⟶ f ≫ s.extension := s.unit
sτ : LeftExtension f g := mk (k ≫ u) (𝟙 g ⊗≫ g ◁ η' ⊗≫ θ ▷ u ⊗≫ 𝟙 (f ≫ k ≫ u))
τ : t.extension ⟶ k ≫ u := H.desc sτ
sσ : LeftLift u (t.extension ≫ 𝟙 c) := LeftLift.mk k ((ρ_ t.extension).hom ≫ τ)
σ : t.extension ≫ h ⟶ k := H'.desc sσ
Hσ : t.extension ◁ η' ⊗≫ σ ▷ u = 𝟙 (t.extension ≫ 𝟙 c) ⊗≫ τ
⊢ (g ◁ η' ≫ (α_ g h u).inv) ≫ ((t.unit ▷ h ≫ (α_ f t.extension h).hom) ≫ f ◁ σ) ▷ u =
    (g ◁ η' ≫ (α_ g h u).inv) ≫ s.unit ▷ u
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Strict.Pseudofunctor

Goal state before:
pp: B : Type u₁
C : Type u₂
inst✝² : Bicategory B
inst✝¹ : Strict B
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤ᵖ C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : B
t : X₁ ⟶ Y₁
l : X₁ ⟶ X₂
r : Y₁ ⟶ Y₂
b : X₂ ⟶ Y₂
sq : CommSq t l r b
⊢ l ≫ b = t ≫ r

Tactic:
rw [sq.w]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Kan.Adjunction

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
t : LeftExtension f g
H : t.IsKan
x : B
h : c ⟶ x
u : x ⟶ c
adj : h ⊣ u
η' : 𝟙 c ⟶ h ≫ u := adj.unit
H' : (LeftLift.mk h η').IsAbsKan := fun {x_1} ↦ adj.isAbsoluteLeftKanLift
s : LeftExtension f (g ≫ h)
k : b ⟶ x := s.extension
θ : g ≫ h ⟶ f ≫ s.extension := s.unit
sτ : LeftExtension f g := mk (k ≫ u) (𝟙 g ⊗≫ g ◁ η' ⊗≫ θ ▷ u ⊗≫ 𝟙 (f ≫ k ≫ u))
τ : t.extension ⟶ k ≫ u := H.desc sτ
sσ : LeftLift u (t.extension ≫ 𝟙 c) := LeftLift.mk k ((ρ_ t.extension).hom ≫ τ)
σ : t.extension ≫ h ⟶ k := H'.desc sσ
⊢ ((LeftLift.mk h η').whisker g).unit ≫ ((t.whisker h).unit ≫ f ◁ σ) ▷ u =
    ((LeftLift.mk h η').whisker g).unit ≫ s.unit ▷ u

Tactic:
by
      have Hσ : t.extension ◁ η' ⊗≫ σ ▷ u  = 𝟙 _ ⊗≫ τ := by
        simpa [bicategoricalComp] using (H' _).fac (.mk _ <| (ρ_ _).hom ≫ τ)
      dsimp only [LeftLift.whisker_lift, StructuredArrow.mk_right, LeftLift.whisker_unit,
        StructuredArrow.mk_hom_eq_self, whisker_extension, whisker_unit]
      calc _
        _ = (g ◁ η' ≫ t.unit ▷ (h ≫ u)) ⊗≫ f ◁ σ ▷ u ⊗≫ 𝟙 _ := by
          bicategory
        _ = t.unit ▷ (𝟙 c) ⊗≫ f ◁ (t.extension ◁ η' ⊗≫ σ ▷ u) ⊗≫ 𝟙 _ := by
          rw [whisker_exchange]; bicategory
        _ = (ρ_ g).hom ≫ t.unit ≫ f ◁ H.desc sτ ≫ (α_ f s.extension u).inv := by
          rw [Hσ]
          dsimp only [τ]
          bicategory
        _ = _ := by
          rw [IsKan.fac_assoc]
          dsimp only [StructuredArrow.mk_right, StructuredArrow.mk_hom_eq_self, sτ]
          bicategory

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.PFun

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ f.fix a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ f.fix a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
b' : β
e : (f a').get ⋯ = Sum.inl b'
⊢ C a'

Tactic:
replace e : _ ∈ f a' := ⟨_, e⟩

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ f.fix a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ f.fix a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
b' : β
e : Sum.inl b' ∈ f a'
⊢ C a'
Module: Mathlib.Data.PFun

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ f.fix a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ f.fix a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
a'' : α
e : (f a').get ⋯ = Sum.inr a''
⊢ C a'

Tactic:
replace e : _ ∈ f a' := ⟨_, e⟩

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ f.fix a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ f.fix a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
a'' : α
e : Sum.inr a'' ∈ f a'
⊢ C a'
Module: Mathlib.Data.PFun

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s : Set β
⊢ f.core s = f.preimage s ∪ f.Domᶜ

Tactic:
by
  rw [preimage_eq, Set.inter_union_distrib_right, Set.union_comm (Dom f), Set.compl_union_self,
    Set.inter_univ, Set.union_eq_self_of_subset_right (f.compl_dom_subset_core s)]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Prod

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝² : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
hF : (W₁.prod W₂).IsInvertedBy F
inst✝¹ : W₁.ContainsIdentities
inst✝ : W₂.ContainsIdentities
⊢ W₂.IsInvertedBy (prodLift₁ F hF).flip

Tactic:
intro _ _ f₂ hf₂

Goal state after:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝² : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
hF : (W₁.prod W₂).IsInvertedBy F
inst✝¹ : W₁.ContainsIdentities
inst✝ : W₂.ContainsIdentities
X✝ Y✝ : C₂
f₂ : X✝ ⟶ Y✝
hf₂ : W₂ f₂
⊢ IsIso ((prodLift₁ F hF).flip.map f₂)
Module: Mathlib.CategoryTheory.LocallyCartesianClosed.ChosenPullbacksAlong

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
Y Z X : C
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ X
inst✝ : ChosenPullbacksAlong g
⊢ fst f g ≫ f = snd f g ≫ g

Tactic:
condition

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
Y Z X : C
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ X
inst✝ : ChosenPullbacksAlong g
⊢ snd f g ≫ g = snd f g ≫ g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Monoidal.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝⁵ : MonoidalCategory C
inst✝⁴ : W.IsMonoidal
C' : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_3, u_3} C'
inst✝² : MonoidalCategory C'
F : C' ⥤ C
inst✝¹ : F.Monoidal
inst✝ : W.RespectsIso
X₁✝ X₂✝ Y₁✝ Y₂✝ : C'
f : X₁✝ ⟶ X₂✝
g : Y₁✝ ⟶ Y₂✝
hf : W.inverseImage F f
hg : W.inverseImage F g
⊢ W.inverseImage F (f ⊗ₘ g)

Tactic:
simp only [inverseImage_iff] at hf hg ⊢

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝⁵ : MonoidalCategory C
inst✝⁴ : W.IsMonoidal
C' : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_3, u_3} C'
inst✝² : MonoidalCategory C'
F : C' ⥤ C
inst✝¹ : F.Monoidal
inst✝ : W.RespectsIso
X₁✝ X₂✝ Y₁✝ Y₂✝ : C'
f : X₁✝ ⟶ X₂✝
g : Y₁✝ ⟶ Y₂✝
hf : W (F.map f)
hg : W (F.map g)
⊢ W (F.map (f ⊗ₘ g))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Monoidal.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : W.IsMonoidal
inst✝ : L.IsLocalization W
unit : D
ε : L.obj (𝟙_ C) ≅ unit
Q X Y Z : LocalizedMonoidal L W ε
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (f ≫ g) ▷ Q = f ▷ Q ≫ g ▷ Q

Tactic:
simp only [← tensorHom_id, ← tensor_comp, comp_id]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Dialectica.Monoidal

Goal state before:
pp: case h₁
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : Dial C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
this : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)

Tactic:
convert! this using 3 <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Dialectica.Monoidal

Goal state before:
pp: case h₂
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : Dial C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
this : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)

Tactic:
convert! this using 3 <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Dialectica.Monoidal

Goal state before:
pp: case hF.h₁
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : Dial C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₂ : Y₂ ⟶ Z₂
⊢ π(π₁ ≫ π₁, prod.map (π₁ ≫ f₁.f) π₁ ≫ g₁.F) ≫ f₁.F = prod.map π₁ π₁ ≫ π(π₁, prod.map f₁.f (𝟙 Z₁.tgt) ≫ g₁.F) ≫ f₁.F

Tactic:
rw [← Category.assoc]; congr 1; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Dialectica.Monoidal

Goal state before:
pp: case h₂
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂ : Dial C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₂ : Y₂ ⟶ Z₂
⊢ π(π₁ ≫ π₂, prod.map (π₂ ≫ f₂.f) π₂ ≫ g₂.F) ≫ f₂.F = prod.map π₂ π₂ ≫ π(π₁, prod.map f₂.f (𝟙 Z₂.tgt) ≫ g₂.F) ≫ f₂.F

Tactic:
rw [← Category.assoc]; congr 1; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Enriched.HomCongr

Goal state before:
pp: V : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} V
inst✝² : MonoidalCategory V
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : EnrichedOrdinaryCategory V C
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
⊢ (eHomWhiskerLeft V X β.hom ≫ eHomWhiskerRight V α.inv Y₁) ≫ eHomWhiskerRight V α.hom Y₁ ≫ eHomWhiskerLeft V X β.inv =
    𝟙 (X ⟶[V] Y)

Tactic:
slice_lhs 2 3 => rw [← eHomWhiskerRight_comp]

Goal state after:
V : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} V
inst✝² : MonoidalCategory V
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : EnrichedOrdinaryCategory V C
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
⊢ eHomWhiskerLeft V X β.hom ≫ eHomWhiskerRight V (α.hom ≫ α.inv) Y₁ ≫ eHomWhiskerLeft V X β.inv = 𝟙 (X ⟶[V] Y)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Enriched.HomCongr

Goal state before:
pp: V : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} V
inst✝² : MonoidalCategory V
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : EnrichedOrdinaryCategory V C
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
⊢ (eHomWhiskerLeft V X₁ β.inv ≫ eHomWhiskerRight V α.hom Y) ≫ eHomWhiskerRight V α.inv Y ≫ eHomWhiskerLeft V X₁ β.hom =
    𝟙 (X₁ ⟶[V] Y₁)

Tactic:
slice_lhs 2 3 => rw [← eHomWhiskerRight_comp]

Goal state after:
V : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} V
inst✝² : MonoidalCategory V
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : EnrichedOrdinaryCategory V C
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
⊢ eHomWhiskerLeft V X₁ β.inv ≫ eHomWhiskerRight V (α.inv ≫ α.hom) Y ≫ eHomWhiskerLeft V X₁ β.hom = 𝟙 (X₁ ⟶[V] Y₁)
Module: Mathlib.CategoryTheory.FiberedCategory.HomLift

Goal state before:
pp: 𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
ha : p.obj a = R
hb : p.obj b = S
h : f = eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ eqToHom hb
⊢ p.IsHomLift f φ

Tactic:
subst ha hb h

Goal state after:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
⊢ p.IsHomLift (eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ eqToHom ⋯) φ
Module: Mathlib.CategoryTheory.FiberedCategory.Cartesian

Goal state before:
pp: 𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S T : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
φ : a ⟶ b
ψ : b ⟶ c
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f φ
inst✝ : p.IsStronglyCartesian g ψ
⊢ ∀ {a' : 𝒳} (g_1 : p.obj a' ⟶ R) (φ' : a' ⟶ c) [p.IsHomLift (g_1 ≫ f ≫ g) φ'], ∃! χ, p.IsHomLift g_1 χ ∧ χ ≫ φ ≫ ψ = φ'

Tactic:
by
    intro a' h τ hτ
    use map p f φ (f' := h ≫ f) rfl (map p g ψ (assoc h f g).symm τ)
    refine ⟨⟨inferInstance, ?_⟩, ?_⟩
    · rw [← assoc, fac, fac]
    · intro π' ⟨hπ'₁, hπ'₂⟩
      apply map_uniq
      apply map_uniq
      simp only [assoc, hπ'₂]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.FiberedCategory.HasFibers

Goal state before:
pp: 𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝² : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
inst✝¹ : HasFibers p
inst✝ : p.IsPreFibered
R S : 𝒮
a : 𝒳
f : R ⟶ S
ha : p.obj a = S
⊢ p.IsCartesian f (pullbackMap f ha)

Tactic:
conv in f => rw [← id_comp f]
  simp only [id_comp, pullbackMap]
  infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Functor.ReflectsIso.Exact

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
I : Type u_2
D : I → Type u_3
inst✝⁴ : (i : I) → Category.{v_2, u_3} (D i)
F : (i : I) → C ⥤ D i
hP : JointlyReflectIsomorphisms F
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : (i : I) → HasZeroMorphisms (D i)
inst✝¹ : ∀ (i : I), (F i).PreservesZeroMorphisms
inst✝ : HasZeroObject C
X : C
hX : ∀ (i : I), IsZero ((F i).obj X)
φ : 0 ⟶ X := 0
⊢ IsIso φ

Tactic:
hP.isIso_iff

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
I : Type u_2
D : I → Type u_3
inst✝⁴ : (i : I) → Category.{v_2, u_3} (D i)
F : (i : I) → C ⥤ D i
hP : JointlyReflectIsomorphisms F
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : (i : I) → HasZeroMorphisms (D i)
inst✝¹ : ∀ (i : I), (F i).PreservesZeroMorphisms
inst✝ : HasZeroObject C
X : C
hX : ∀ (i : I), IsZero ((F i).obj X)
φ : 0 ⟶ X := 0
⊢ ∀ (i : I), IsIso ((F i).map φ)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Functor.ReflectsIso.Exact

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
I : Type u_2
D : I → Type u_3
inst✝⁵ : (i : I) → Category.{v_2, u_3} (D i)
F : (i : I) → C ⥤ D i
hP : JointlyReflectIsomorphisms F
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : (i : I) → Abelian (D i)
inst✝² : CategoryWithHomology C
inst✝¹ : ∀ (i : I), PreservesFiniteLimits (F i)
inst✝ : ∀ (i : I), PreservesFiniteColimits (F i)
S₁ S₂ : ShortComplex C
f : S₁ ⟶ S₂
hf : ∀ (i : I), IsIso (ShortComplex.homologyMap ((F i).mapShortComplex.map f))
⊢ IsIso (ShortComplex.homologyMap f)

Tactic:
hP.isIso_iff

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
I : Type u_2
D : I → Type u_3
inst✝⁵ : (i : I) → Category.{v_2, u_3} (D i)
F : (i : I) → C ⥤ D i
hP : JointlyReflectIsomorphisms F
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : (i : I) → Abelian (D i)
inst✝² : CategoryWithHomology C
inst✝¹ : ∀ (i : I), PreservesFiniteLimits (F i)
inst✝ : ∀ (i : I), PreservesFiniteColimits (F i)
S₁ S₂ : ShortComplex C
f : S₁ ⟶ S₂
hf : ∀ (i : I), IsIso (ShortComplex.homologyMap ((F i).mapShortComplex.map f))
⊢ ∀ (i : I), IsIso ((F i).map (ShortComplex.homologyMap f))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Functor.Derived.Adjunction

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{v_3, u_3} D₁
inst✝² : Category.{v_4, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : C₁ ⥤ D₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
G' : D₁ ⥤ D₂
F' : D₂ ⥤ D₁
α : L₁ ⋙ G' ⟶ G ⋙ L₂
β : F ⋙ L₁ ⟶ L₂ ⋙ F'
inst✝ : (F' ⋙ G').IsRightDerivedFunctor (whiskerRight β G' ≫ (L₂.associator F' G').hom) W₂
X₂ : C₂
⊢ G'.map (β.app X₂) ≫ (adj.derivedε W₂ α β).app (L₂.obj X₂) = α.app (F.obj X₂) ≫ L₂.map (adj.counit.app X₂)

Tactic:
by
  simpa using! ((F' ⋙ G').rightDerived_fac_app
    (whiskerRight β G' ≫ (Functor.associator _ _ _).hom) W₂ _
    ((Functor.associator _ _ _).hom ≫ whiskerLeft F α ≫ (Functor.associator _ _ _).inv ≫
      whiskerRight adj.counit _ ≫ L₂.leftUnitor.hom ≫ L₂.rightUnitor.inv)) X₂

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Galois.Decomposition

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : (F.obj X).obj
⊢ ∃ A f a, IsGalois A ∧ (ConcreteCategory.hom (F.map f)) a = x

Tactic:
obtain ⟨A, a, h1, h2⟩ := exists_galois_representative F X

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : (F.obj X).obj
A : C
a : (F.obj A).obj
h1 : IsGalois A
h2 : Function.Bijective fun f ↦ (ConcreteCategory.hom (F.map f)) a
⊢ ∃ A f a, IsGalois A ∧ (ConcreteCategory.hom (F.map f)) a = x
Module: Mathlib.CategoryTheory.Galois.IsFundamentalgroup

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
F : C ⥤ FintypeCat
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : (X : C) → MulAction G (F.obj X).obj
inst✝ : IsNaturalSMul F G
g : G
X Y : C
f : X ⟶ Y
x✝ : (F.obj X).obj
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map f ≫ (isoOnObj F g Y).hom)) x✝ =
    (ConcreteCategory.hom ((isoOnObj F g X).hom ≫ F.map f)) x✝

Tactic:
exact (IsNaturalSMul.naturality _ _ _).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.FreeGroupoidOfCategory

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : Type u₁
inst✝ : Groupoid G
φ : C ⥤ G
⊢ (of C ⋙ lift φ).toPrefunctor = φ.toPrefunctor

Tactic:
by
    change Quiver.FreeGroupoid.of C ⋙q
      (Quotient.functor (FreeGroupoid.homRel C)).toPrefunctor ⋙q
        (lift φ).toPrefunctor = φ.toPrefunctor
    simp [lift, Quotient.lift_spec, Quiver.FreeGroupoid.lift_spec]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.FreeGroupoidOfCategory

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : Type u₁
inst✝ : Groupoid G
φ : C ⥤ G
Φ : FreeGroupoid C ⥤ G
hΦ : of C ⋙ Φ = φ
⊢ Φ = lift φ

Tactic:
apply Quotient.lift_unique
  apply Quiver.FreeGroupoid.lift_unique
  exact congr_arg Functor.toPrefunctor hΦ

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
s t : ↑S.objs
x✝¹ x✝ : s ⟶ t
f : ↑s ⟶ ↑t
hf : f ∈ S.arrows ↑s ↑t
g : ↑s ⟶ ↑t
hg : g ∈ S.arrows ↑s ↑t
⊢ (fun f ↦ (inclusion h).map f) ⟨f, hf⟩ = (fun f ↦ (inclusion h).map f) ⟨g, hg⟩ → ⟨f, hf⟩ = ⟨g, hg⟩

Tactic:
dsimp only [inclusion]

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
s t : ↑S.objs
x✝¹ x✝ : s ⟶ t
f : ↑s ⟶ ↑t
hf : f ∈ S.arrows ↑s ↑t
g : ↑s ⟶ ↑t
hg : g ∈ S.arrows ↑s ↑t
⊢ ⟨f, ⋯⟩ = ⟨g, ⋯⟩ → ⟨f, hf⟩ = ⟨g, hg⟩
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.FunctorToTypes

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
a : C
z w : (F ⨯ G).obj a
h1 : (hom (Limits.prod.fst.app a)) z = (hom (Limits.prod.fst.app a)) w
h2 : (hom (Limits.prod.snd.app a)) z = (hom (Limits.prod.snd.app a)) w
⊢ z = w

Tactic:
by
  apply Equiv.injective (binaryProductEquiv F G a)
  aesop

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Pullback.ChosenPullback

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ S : C
f₁ : X₁ ⟶ S
f₂ : X₂ ⟶ S
f₃ : X₃ ⟶ S
h₁₂ : ChosenPullback f₁ f₂
h₂₃ : ChosenPullback f₂ f₃
h₁₃ : ChosenPullback f₁ f₃
h : ChosenPullback₃ h₁₂ h₂₃ h₁₃
Y : C
g₁ : Y ⟶ X₁
g₂ : Y ⟶ X₂
g₃ : Y ⟶ X₃
b : Y ⟶ S
hg₁ : g₁ ≫ f₁ = b
hg₂ : g₂ ≫ f₂ = b
hg₃ : g₃ ≫ f₃ = b
φ₁₂ : Y ⟶ h₁₂.pullback
w₁ : φ₁₂ ≫ h₁₂.p₁ = g₁
w₂ : φ₁₂ ≫ h₁₂.p₂ = g₂
φ₂₃ : Y ⟶ h₂₃.pullback
w₂' : φ₂₃ ≫ h₂₃.p₁ = g₂
w₃ : φ₂₃ ≫ h₂₃.p₂ = g₃
φ : Y ⟶ h.chosenPullback.pullback
w₁₂ : φ ≫ h.chosenPullback.p₁ = φ₁₂
w₂₃ : φ ≫ h.chosenPullback.p₂ = φ₂₃
⊢ φ ≫ h.p₁ = φ ≫ h.p₁₂ ≫ h₁₂.p₁

Tactic:
p₁₂_p₁

Goal state after:
case refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ S : C
f₁ : X₁ ⟶ S
f₂ : X₂ ⟶ S
f₃ : X₃ ⟶ S
h₁₂ : ChosenPullback f₁ f₂
h₂₃ : ChosenPullback f₂ f₃
h₁₃ : ChosenPullback f₁ f₃
h : ChosenPullback₃ h₁₂ h₂₃ h₁₃
Y : C
g₁ : Y ⟶ X₁
g₂ : Y ⟶ X₂
g₃ : Y ⟶ X₃
b : Y ⟶ S
hg₁ : g₁ ≫ f₁ = b
hg₂ : g₂ ≫ f₂ = b
hg₃ : g₃ ≫ f₃ = b
φ₁₂ : Y ⟶ h₁₂.pullback
w₁ : φ₁₂ ≫ h₁₂.p₁ = g₁
w₂ : φ₁₂ ≫ h₁₂.p₂ = g₂
φ₂₃ : Y ⟶ h₂₃.pullback
w₂' : φ₂₃ ≫ h₂₃.p₁ = g₂
w₃ : φ₂₃ ≫ h₂₃.p₂ = g₃
φ : Y ⟶ h.chosenPullback.pullback
w₁₂ : φ ≫ h.chosenPullback.p₁ = φ₁₂
w₂₃ : φ ≫ h.chosenPullback.p₂ = φ₂₃
⊢ φ ≫ h.p₁ = φ ≫ h.p₁