Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n ↦ Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
n : ℕ
hn :
  ∀ (w : A),
    ∀ a < n + 1, (T χ w) (((toEnd R L V) z ^ a) v) ∈ Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}
w : A
hm : n + 1 < n + 1 + 1
H : ∀ (w : A), ⁅w, ((toEnd R L V) z ^ n) v⁆ = (T χ w) (((toEnd R L V) z ^ n) v) + χ w • ((toEnd R L V) z ^ n) v
⊢ -((T χ ⁅z, w⁆) (((toEnd R L V) z ^ n) v) + χ ⁅z, w⁆ • ((toEnd R L V) z ^ n) v) +
      ⁅z, (T χ w) (((toEnd R L V) z ^ n) v)⁆ ∈
    Submodule.span R {x | ∃ i < n + 1, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}

Tactic:
refine add_mem (neg_mem <| add_mem ?_ ?_) ?_

Goal state after:
case inr.refine_1
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n ↦ Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
n : ℕ
hn :
  ∀ (w : A),
    ∀ a < n + 1, (T χ w) (((toEnd R L V) z ^ a) v) ∈ Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}
w : A
hm : n + 1 < n + 1 + 1
H : ∀ (w : A), ⁅w, ((toEnd R L V) z ^ n) v⁆ = (T χ w) (((toEnd R L V) z ^ n) v) + χ w • ((toEnd R L V) z ^ n) v
⊢ (T χ ⁅z, w⁆) (((toEnd R L V) z ^ n) v) ∈ Submodule.span R {x | ∃ i < n + 1, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}

case inr.refine_2
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n ↦ Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
n : ℕ
hn :
  ∀ (w : A),
    ∀ a < n + 1, (T χ w) (((toEnd R L V) z ^ a) v) ∈ Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}
w : A
hm : n + 1 < n + 1 + 1
H : ∀ (w : A), ⁅w, ((toEnd R L V) z ^ n) v⁆ = (T χ w) (((toEnd R L V) z ^ n) v) + χ w • ((toEnd R L V) z ^ n) v
⊢ χ ⁅z, w⁆ • ((toEnd R L V) z ^ n) v ∈ Submodule.span R {x | ∃ i < n + 1, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}

case inr.refine_3
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n ↦ Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
n : ℕ
hn :
  ∀ (w : A),
    ∀ a < n + 1, (T χ w) (((toEnd R L V) z ^ a) v) ∈ Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}
w : A
hm : n + 1 < n + 1 + 1
H : ∀ (w : A), ⁅w, ((toEnd R L V) z ^ n) v⁆ = (T χ w) (((toEnd R L V) z ^ n) v) + χ w • ((toEnd R L V) z ^ n) v
⊢ ⁅z, (T χ w) (((toEnd R L V) z ^ n) v)⁆ ∈ Submodule.span R {x | ∃ i < n + 1, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}