mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.GroupRingAction

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction G R
x : R
g : G
n : ℕ
⊢ g • (prodXSubSMul G R x).coeff n = (prodXSubSMul G R x).coeff n

Tactic:
← Polynomial.coeff_smul,

Goal state after:
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction G R
x : R
g : G
n : ℕ
⊢ (g • prodXSubSMul G R x).coeff n = (prodXSubSMul G R x).coeff n
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.GroupRingAction

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
P : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring P
inst✝² : MulSemiringAction M P
Q : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring Q
inst✝ : MulSemiringAction M Q
g : P →+*[M] Q
m : M
p✝ p q : P[X]
ihp : map (↑g) (m • p) = (MonoidHom.id M) m • map (↑g) p
ihq : map (↑g) (m • q) = (MonoidHom.id M) m • map (↑g) q
⊢ map (↑g) (m • (p + q)) = (MonoidHom.id M) m • map (↑g) (p + q)

Tactic:
smul_add,

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
P : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring P
inst✝² : MulSemiringAction M P
Q : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring Q
inst✝ : MulSemiringAction M Q
g : P →+*[M] Q
m : M
p✝ p q : P[X]
ihp : map (↑g) (m • p) = (MonoidHom.id M) m • map (↑g) p
ihq : map (↑g) (m • q) = (MonoidHom.id M) m • map (↑g) q
⊢ map (↑g) (m • p + m • q) = (MonoidHom.id M) m • map (↑g) (p + q)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N₁ : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
h : N₁.normalizer = N₁
k : ℕ
⊢ ucs k N₁ = N₁

Tactic:
induction k with
  | zero => simp
  | succ k ih => rwa [ucs_succ, ih]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
k : ℕ
⊢ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)

Tactic:
by
  refine le_antisymm (lieModule_lcs_map_le hfg k) ?_
  induction k with
  | zero => simpa [LinearMap.range_eq_top]
  | succ k ih =>
    suffices
      {m | ∃ (x : L₂) (n : _), n ∈ lowerCentralSeries R L M k ∧ ⁅x, g n⁆ = m} ⊆
        g '' {m | ∃ (x : L) (n : _), n ∈ lowerCentralSeries R L M k ∧ ⁅x, n⁆ = m} by
      simp only [← LieSubmodule.mem_toSubmodule] at this
      simp_rw [lowerCentralSeries_succ, LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span',
        Submodule.map_span, LieSubmodule.mem_top, true_and, ← LieSubmodule.mem_toSubmodule]
      refine Submodule.span_mono (Set.Subset.trans ?_ this)
      rintro m₁ ⟨x, n, hn, rfl⟩
      obtain ⟨n', hn', rfl⟩ := ih hn
      exact ⟨x, n', hn', rfl⟩
    rintro m₂ ⟨x, n, hn, rfl⟩
    obtain ⟨y, rfl⟩ := hf_surj x
    exact ⟨⁅y, n⁆, ⟨y, n, hn, rfl⟩, (hfg y n).symm⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ.mp
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L (L ⧸ I) k) = ↑(lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k)
y : L
z : L ⧸ I
hz : z ∈ ↑(lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k)
⊢ ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = ⁅y, z⁆

Tactic:
LieSubmodule.mem_toSubmodule

Goal state after:
case succ.mp
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L (L ⧸ I) k) = ↑(lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k)
y : L
z : L ⧸ I
hz : z ∈ lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k
⊢ ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = ⁅y, z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ.mpr.mk
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L (L ⧸ I) k) = ↑(lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k)
val✝ : L ⧸ I
y : L
z : L ⧸ I
hz : z ∈ ↑(lowerCentralSeries R L (L ⧸ I) k)
⊢ ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = ⁅y, z⁆

Tactic:
LieSubmodule.mem_toSubmodule

Goal state after:
case succ.mpr.mk
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L (L ⧸ I) k) = ↑(lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k)
val✝ : L ⧸ I
y : L
z : L ⧸ I
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L (L ⧸ I) k
⊢ ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = ⁅y, z⁆
Module: Mathlib.FieldTheory.Fixed

Goal state before:
pp: M : Type u
inst✝² : Monoid M
F : Type v
inst✝¹ : Field F
inst✝ : MulSemiringAction M F
m : M
p✝ p q : Polynomial ↥(subfield M F)
ihp : m • p = p
ihq : m • q = q
⊢ m • (p + q) = p + q

Tactic:
smul_add,

Goal state after:
M : Type u
inst✝² : Monoid M
F : Type v
inst✝¹ : Field F
inst✝ : MulSemiringAction M F
m : M
p✝ p q : Polynomial ↥(subfield M F)
ihp : m • p = p
ihq : m • q = q
⊢ m • p + m • q = p + q
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Singleton

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : CommSemiring C
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra B C
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A B C
b : B
inst✝ : FaithfulSMul B C
⊢ ↥A[b] ≃+* ↥A[(algebraMap B C) b]

Tactic:
by
  apply RingEquiv.ofBijective (RingHom.adjoinAlgebraMap b)
     ((Function.bijective_iff_existsUnique (adjoinAlgebraMap b)).mpr (fun y ↦ ?_))
  induction y using Algebra.adjoin_singleton_induction with | f p =>
  use ⟨p.aeval b, by simp⟩
  aesop (add norm [Polynomial.aeval_algebraMap_apply, Subtype.ext_iff])

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Fixed

Goal state before:
pp: case f
G : Type u
inst✝² : Group G
F : Type v
inst✝¹ : Field F
inst✝ : MulSemiringAction G F
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : LinearIndepOn (↥(subfield G F)) id ↑s → LinearIndepOn F ⇑(toFun G F) ↑s
hs : LinearIndepOn (↥(subfield G F)) id ↑s ∧ id a ∉ Submodule.span (↥(subfield G F)) (id '' ↑s)
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g g' : G
| fun c ↦ ((g • l c - l c) • (toFun G F) c) g'

Tactic:
ext
      rw [Pi.smul_apply, sub_smul, smul_eq_mul]

Goal state after:
case f
G : Type u
inst✝² : Group G
F : Type v
inst✝¹ : Field F
inst✝ : MulSemiringAction G F
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : LinearIndepOn (↥(subfield G F)) id ↑s → LinearIndepOn F ⇑(toFun G F) ↑s
hs : LinearIndepOn (↥(subfield G F)) id ↑s ∧ id a ∉ Submodule.span (↥(subfield G F)) (id '' ↑s)
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g g' : G
x✝ : F
| g • l x✝ * (toFun G F) x✝ g' - l x✝ • (toFun G F) x✝ g'
Module: Mathlib.FieldTheory.Normal.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁷ : Field F
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
σ : Gal(E/F)
⊢ (fun σ ↦ σ.restrictNormal' E) ((fun σ ↦ (toAlgHom F E K₁).comp ↑σ) σ) = σ

Tactic:
by
    ext
    simp only [AlgHom.restrictNormal', AlgEquiv.coe_ofBijective]
    apply FaithfulSMul.algebraMap_injective E K₁
    rw [AlgHom.restrictNormal_commutes]
    simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Algebra

Goal state before:
pp: F : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra F A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
g : A →ₐ[F] L
f : K →ₐ[F] L
h : (↑f).comp (algebraMap A K) = ↑g
x✝¹ : L
x✝ : x✝¹ ∈ Set.range ⇑(algebraMap F L)
x : F
hx : (algebraMap F L) x = x✝¹
⊢ g.toRingHom ((algebraMap F A) x) = x✝¹

Tactic:
by simp [← hx]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Field

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra F R
x : R
P : F[X]
hP₁ : (Minpoly.toAdjoin F x) ((AdjoinRoot.mk (minpoly F x)) P) = 0
⊢ (AdjoinRoot.mk (minpoly F x)) P = 0

Tactic:
refine AdjoinRoot.mk_eq_zero.mpr (minpoly.dvd F x ?_)

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra F R
x : R
P : F[X]
hP₁ : (Minpoly.toAdjoin F x) ((AdjoinRoot.mk (minpoly F x)) P) = 0
⊢ (aeval x) P = 0
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
⊢ P (adjoin F ↑S)

Tactic:
by
  classical
  refine Finset.induction_on' S ?_ (fun _ _ ha _ _ h => ?_)
  · simp [base]
  · rw [Finset.coe_insert, Set.insert_eq, Set.union_comm, ← adjoin_adjoin_left]
    exact ih (adjoin F _) _ ha h

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥E1
inst✝ : FiniteDimensional K ↥E2
g : TensorProduct K ↥E1 ↥E2 →ₐ[K] L := Algebra.TensorProduct.productMap E1.val E2.val
⊢ E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra = (E1 ⊔ E2).toSubalgebra

Tactic:
sup_toSubalgebra_of_left

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥E1
inst✝ : FiniteDimensional K ↥E2
g : TensorProduct K ↥E1 ↥E2 →ₐ[K] L := Algebra.TensorProduct.productMap E1.val E2.val
⊢ E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝⁶ : Field k
F : Type u_1
K : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field A
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F A
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
L : IntermediateField F A
hL : ∀ (x : K), (Polynomial.map (algebraMap F ↥L) (minpoly F x)).Splits
f : K →ₐ[F] A
x : K
⊢ (Polynomial.map (algebraMap F ↥L) (minpoly F x)).Splits

Tactic:
exact hL x

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case mem.mem.inr.inl.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h x y u v : L
t : IsSl2Triple h v u
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {v, u, h}
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ span R {v, u, h}

Tactic:
rw [← lie_skew, t.lie_e_f, neg_mem_iff]

Goal state after:
case mem.mem.inr.inl.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h x y u v : L
t : IsSl2Triple h v u
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {v, u, h}
⊢ h ∈ span R {v, u, h}
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
⊢ H ≤ zeroRootSubalgebra R L H

Tactic:
← LieSubalgebra.toSubmodule_le_toSubmodule,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
⊢ H.toSubmodule ≤ (zeroRootSubalgebra R L H).toSubmodule
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Nontrivial M
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : IsTriangularizable R L M
t : IsSl2Triple h e f
μ₀ : R
hμ₀ : ((toEnd R L M) h).HasEigenvalue μ₀
m₀ : M
hm₀ : ((toEnd R L M) h).HasEigenvector μ₀ m₀
evals : ℕ → R := fun n ↦ μ₀ + 2 * ↑n
e_vecs : ℕ → M := fun n ↦ ((toEnd R L M) e ^ n) m₀
contra : ∀ (k : ℕ), e_vecs k ≠ 0
h_inj : Function.Injective evals
μ : ↑(range evals)
⊢ ((toEnd R L M) h).HasEigenvector (↑μ) (e_vecs (Exists.choose ⋯))

Tactic:
set n := μ.property.choose

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Nontrivial M
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : IsTriangularizable R L M
t : IsSl2Triple h e f
μ₀ : R
hμ₀ : ((toEnd R L M) h).HasEigenvalue μ₀
m₀ : M
hm₀ : ((toEnd R L M) h).HasEigenvector μ₀ m₀
evals : ℕ → R := fun n ↦ μ₀ + 2 * ↑n
e_vecs : ℕ → M := fun n ↦ ((toEnd R L M) e ^ n) m₀
contra : ∀ (k : ℕ), e_vecs k ≠ 0
h_inj : Function.Injective evals
μ : ↑(range evals)
n : ℕ := Exists.choose ⋯
⊢ ((toEnd R L M) h).HasEigenvector (↑μ) (e_vecs n)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
m : M
hm : f m ∈ ↑↑(genWeightSpace M₂ χ)
⊢ ∃ m_1, f m_1 ∈ genWeightSpace M₂ χ ∧ f m_1 = f m

Tactic:
exact ⟨m, hm, rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case mem
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x y : L
hx : x ∈ H
i : ι
⊢ ⁅x, b.e i⁆ ∈ lieSpan R L (range b.e)

Tactic:
← mem_toSubmodule,

Goal state after:
case mem
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x y : L
hx : x ∈ H.toSubmodule
i : ι
⊢ ⁅x, b.e i⁆ ∈ lieSpan R L (range b.e)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
⊢ J ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I

Tactic:
← lie_eq_self_of_isAtom_of_nonabelian J hJ (hL J hJ),

Goal state after:
case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
⊢ ⁅J, J⁆ ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m : Multiset α
x : α
i : ℕ
⊢ (∃ a ∈ m, ∃ a_1 < count a m, a = x ∧ a_1 = i) ↔ (x, i) ∈ {p | p.2 < count p.1 m}

Tactic:
Set.mem_ofPred_eq

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m : Multiset α
x : α
i : ℕ
⊢ (∃ a ∈ m, ∃ a_1 < count a m, a = x ∧ a_1 = i) ↔ i < count x m
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Linear

Goal state before:
pp: k : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝ : CharZero R
χ : L → R
hχ : genWeightSpace M χ ≠ ⊥
x y : L
⊢ finrank R ↥(genWeightSpace M χ) • χ (x + y) = finrank R ↥(genWeightSpace M χ) • (χ x + χ y)

Tactic:
smul_add,

Goal state after:
k : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝ : CharZero R
χ : L → R
hχ : genWeightSpace M χ ≠ ⊥
x y : L
⊢ finrank R ↥(genWeightSpace M χ) • χ (x + y) =
    finrank R ↥(genWeightSpace M χ) • χ x + finrank R ↥(genWeightSpace M χ) • χ y
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := s'.sup id
y : L
hy : y ∈ id J
z : L
hz : z ∈ K
hx : y + z ∈ I
this : ⟨y, hy⟩ ∈ center R ↥J
⊢ y + z ∈ K

Tactic:
have _inst := isSimple_of_isAtom J (hs hJs)

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := s'.sup id
y : L
hy : y ∈ id J
z : L
hz : z ∈ K
hx : y + z ∈ I
this : ⟨y, hy⟩ ∈ center R ↥J
_inst : IsSimple R ↥J
⊢ y + z ∈ K
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
⊢ ((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = (trace R M) (φ ⁅x, y⁆ ∘ₗ φ z)

Tactic:
simp only [traceForm_apply_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: case convert_2
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : genWeightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : genWeightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : genWeightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
hb : 0 < ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))
h₁ : iSupIndep fun i ↦ (fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) ↑i
h₂ :
  ∀ (i : ℤ),
    MapsTo ⇑((toEnd R (↥H) M) x) ↑((fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i)
      ↑((fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i)
h₃ : ↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) = ⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, (fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i
⊢ (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) • α x +
      ↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) • χ x =
    ∑ x_1 ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) • (x_1 • α x + χ x)

Tactic:
smul_add,

Goal state after:
case convert_2
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : genWeightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : genWeightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : genWeightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
hb : 0 < ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))
h₁ : iSupIndep fun i ↦ (fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) ↑i
h₂ :
  ∀ (i : ℤ),
    MapsTo ⇑((toEnd R (↥H) M) x) ↑((fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i)
      ↑((fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i)
h₃ : ↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) = ⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, (fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i
⊢ (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) • α x +
      ↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) • χ x =
    ∑ x_1 ∈ Finset.Ioo p q,
      (finrank R ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) • x_1 • α x + finrank R ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) • χ x)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ -0 = 0

Tactic:
neg_zero

Goal state after:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsZero
x✝ : ↥H
⊢ (-0) x✝ = 0 x✝

Tactic:
neg_zero

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsZero
x✝ : ↥H
⊢ 0 x✝ = 0 x✝
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)
⊢ x = 0

Tactic:
by
  suffices ⟨x, hx⟩ ∈ LinearMap.ker (traceForm K H L) by
    simp only [ker_traceForm_eq_bot_of_isCartanSubalgebra, Submodule.mem_bot] at this
    exact (AddSubmonoid.mk_eq_zero H.toAddSubmonoid).mp this
  simp only [LinearMap.mem_ker]
  ext y
  have comm : Commute (toEnd K H L ⟨x, hx⟩) (toEnd K H L y) := by
    rw [commute_iff_lie_eq, ← LieHom.map_lie, trivial_lie_zero, map_zero]
  rw [traceForm_apply_apply, ← Module.End.mul_eq_comp, LinearMap.zero_apply]
  exact (LinearMap.isNilpotent_trace_of_isNilpotent (comm.isNilpotent_mul_right hx')).eq_zero

Goal state after: