mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝³⁸ : CommSemiring R
inst✝³⁷ : CommSemiring R₂
inst✝³⁶ : CommSemiring R₃
inst✝³⁵ : Monoid R'
inst✝³⁴ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝²⁹ : AddCommMonoid S
inst✝²⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝²⁷ : AddCommMonoid Q'
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝²⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P₂
inst✝²³ : AddCommMonoid Q₂
inst✝²² : AddCommMonoid M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝²⁰ : AddCommMonoid P₃
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid Q₃
inst✝¹⁸ : DistribMulAction R' M
inst✝¹⁷ : Module R'' M
inst✝¹⁶ : Module R M
inst✝¹⁵ : Module R N
inst✝¹⁴ : Module R S
inst✝¹³ : Module R P'
inst✝¹² : Module R Q'
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ N₂
inst✝⁹ : Module R₂ P₂
inst✝⁸ : Module R₂ Q₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : Module R₃ N₃
inst✝⁵ : Module R₃ P₃
inst✝⁴ : Module R₃ Q₃
inst✝³ : SMulCommClass R R' M
inst✝² : SMulCommClass R R'' M
inst✝¹ : Module R''ᵐᵒᵖ M
inst✝ : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : MulOpposite.op r • x = r • x
hy : MulOpposite.op r • y = r • y
⊢ MulOpposite.op r • x + MulOpposite.op r • y = r • (x + y)

Tactic:
smul_add,

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝³⁸ : CommSemiring R
inst✝³⁷ : CommSemiring R₂
inst✝³⁶ : CommSemiring R₃
inst✝³⁵ : Monoid R'
inst✝³⁴ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝²⁹ : AddCommMonoid S
inst✝²⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝²⁷ : AddCommMonoid Q'
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝²⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P₂
inst✝²³ : AddCommMonoid Q₂
inst✝²² : AddCommMonoid M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝²⁰ : AddCommMonoid P₃
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid Q₃
inst✝¹⁸ : DistribMulAction R' M
inst✝¹⁷ : Module R'' M
inst✝¹⁶ : Module R M
inst✝¹⁵ : Module R N
inst✝¹⁴ : Module R S
inst✝¹³ : Module R P'
inst✝¹² : Module R Q'
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ N₂
inst✝⁹ : Module R₂ P₂
inst✝⁸ : Module R₂ Q₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : Module R₃ N₃
inst✝⁵ : Module R₃ P₃
inst✝⁴ : Module R₃ Q₃
inst✝³ : SMulCommClass R R' M
inst✝² : SMulCommClass R R'' M
inst✝¹ : Module R''ᵐᵒᵖ M
inst✝ : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : MulOpposite.op r • x = r • x
hy : MulOpposite.op r • y = r • y
⊢ MulOpposite.op r • x + MulOpposite.op r • y = r • x + r • y
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: case coe.h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PartialOrder β
m : ℕ
f : α →o β
h : ∀ (x : β), krullDim ↑(⇑f ⁻¹' {x}) ≤ ↑m
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ (x : α), height (f x) = ↑m_1 → height x ≤ (↑m + 1) * ↑m_1 + ↑m
x : α
h' : height (f x) = ↑n
⊢ height x ≤ (↑m + 1) * ↑n + ↑m

Tactic:
refine height_le_iff.mpr fun p hp ↦ le_of_not_gt fun h_len ↦ ?_
    let i : Fin (p.length + 1) := ⟨p.length - (m + 1), Nat.sub_lt_succ p.length _⟩
    suffices h'' : f (p i) < f x by
      obtain ⟨n', hn'⟩ : ∃ (n' : ℕ), n' = height (f (p i)) := ENat.ne_top_iff_exists.mp
        ((height_mono h''.le).trans_lt (h' ▸ ENat.natCast_lt_top _)).ne
      have h_lt : n' < n := ENat.natCast_lt_natCast.mp
        (h' ▸ hn' ▸ height_strictMono h'' (hn' ▸ ENat.natCast_lt_top _))
      have := (length_le_height_last (p := p.take i)).trans <| ih n' h_lt (p i) hn'.symm
      rw [RelSeries.take_length, ENat.natCast_sub, Nat.cast_add, Nat.cast_one, tsub_le_iff_right,
        add_assoc, add_comm _ (_ + 1), ← add_assoc, ← mul_add_one] at this
      refine not_lt_of_ge ?_ (h_len.trans_le this)
      gcongr
      rwa [← ENat.natCast_one, ← ENat.natCast_add, ENat.natCast_le_natCast]
    refine (f.monotone ((p.monotone (Fin.le_last _)).trans hp)).lt_of_not_ge fun h'' ↦ ?_
    let q' : LTSeries α := p.drop i
    let q : LTSeries (f ⁻¹' {f x}) := ⟨q'.length, fun j ↦ ⟨q' j, le_antisymm
      (f.monotone (le_trans (b := q'.last) (q'.monotone (Fin.le_last _)) (p.last_drop _ ▸ hp)))
      (le_trans (b := f q'.head) (p.head_drop _ ▸ h'')
        (f.monotone (q'.monotone (Fin.zero_le _))))⟩, fun i ↦ q'.step i⟩
    have := (LTSeries.length_le_krullDim q).trans (h (f x))
    simp only [RelSeries.drop_length, Nat.cast_le, tsub_le_iff_right, q', i, q] at this
    have : p.length > m := ENat.natCast_lt_natCast.mp ((le_add_left le_rfl).trans_lt h_len)
    lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Pointwise.Set.BigOperators

Goal state before:
pp: case insert
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CommMonoid α
f : ι → Set α
i : ι
is : Finset ι
hi : i ∉ is
ih : ∀ (a : α), a ∈ ∏ i ∈ is, f i ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ {i : ι}, i ∈ is → g i ∈ f i), ∏ i ∈ is, g i = a
a : α
⊢ (∃ x ∈ f i, ∃ y ∈ ∏ x ∈ is, f x, x * y = a) ↔
    ∃ g, ∃ (_ : ∀ {i_1 : ι}, i_1 ∈ insert i is → g i_1 ∈ f i_1), ∏ i ∈ insert i is, g i = a

Tactic:
Finset.prod_insert hi

Goal state after:
case insert
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CommMonoid α
f : ι → Set α
i : ι
is : Finset ι
hi : i ∉ is
ih : ∀ (a : α), a ∈ ∏ i ∈ is, f i ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ {i : ι}, i ∈ is → g i ∈ f i), ∏ i ∈ is, g i = a
a : α
⊢ (∃ x ∈ f i, ∃ y ∈ ∏ x ∈ is, f x, x * y = a) ↔
    ∃ g, ∃ (_ : ∀ {i_1 : ι}, i_1 ∈ insert i is → g i_1 ∈ f i_1), g i * ∏ i ∈ is, g i = a
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Finsupp

Goal state before:
pp: case le
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
⊢ (N.subtype ∘ₗ (Finsupp.lsum R) (DistribSMul.toLinearMap R ↥N)) c ∈ sR • N

Tactic:
simp only [LinearMap.coe_comp, coe_subtype, Finsupp.coe_lsum, Finsupp.sum, Function.comp_apply]

Goal state after:
case le
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
⊢ ↑(∑ x ∈ c.support, (DistribSMul.toLinearMap R (↥N) x) (c x)) ∈ sR • N
Module: Mathlib.Algebra.Group.Pointwise.Set.BigOperators

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CommMonoid α
t : List ι
f : ι → Set α
g : ι → α
hg : ∀ i ∈ t, g i ∈ f i
⊢ (List.map g t).prod ∈ (List.map f t).prod

Tactic:
by
  induction t with
  | nil => simp_rw [List.map_nil, List.prod_nil, Set.mem_one]
  | cons h tl ih =>
    simp_rw [List.map_cons, List.prod_cons]
    exact mul_mem_mul (hg h List.mem_cons_self)
      (ih fun i hi ↦ hg i <| List.mem_cons_of_mem _ hi)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Finsupp

Goal state before:
pp: α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R M
s : Set R
x y : Submodule R M
r : R
hr : r ∈ s
a : M
ha : a ∈ x
b : M
hb : b ∈ y
⊢ r • (a + b) ∈ s • x + s • y

Tactic:
smul_add,

Goal state after:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R M
s : Set R
x y : Submodule R M
r : R
hr : r ∈ s
a : M
ha : a ∈ x
b : M
hb : b ∈ y
⊢ r • a + r • b ∈ s • x + s • y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Map

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : AddCommMonoid S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R S
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f' : P →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ rTensor Q f' ∘ₗ map f g = map (f' ∘ₗ f) g

Tactic:
by
  simp only [rTensor, ← map_comp, id_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Set.Semiring

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : MulOneClass β
f : α →* β
⊢ up (⇑f '' down 1) = 1

Tactic:
rw [down_one, image_one, map_one, singleton_one, up_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Map

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M ⊗[R] N
⊢ (lTensor M (refl R N)) x = x

Tactic:
lTensor_refl,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M ⊗[R] N
⊢ (refl R (M ⊗[R] N)) x = x
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Lemmas

Goal state before:
pp: case cons.mp.refine_2.refine_1
R : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
s : I → R
t✝ : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
a : I
t : Finset I
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, μ i * ∏ j ∈ t \ {i}, s j = 1) ↔ Pairwise (IsCoprime on fun i ↦ s ↑i)
mem : ∀ x ∈ t, a ∈ insert a t \ {x}
μ : I → R
hμ : μ a * ∏ j ∈ t, s j + ∑ x ∈ t, μ x * ∏ j ∈ insert a t \ {x}, s j = 1
b : I
hb : b ∈ t
⊢ μ a * ((∏ i ∈ t \ {b}, s i) * s b) + (∑ i ∈ t, μ i * ∏ j ∈ t \ {i}, s j) * s a = 1

Tactic:
← prod_eq_prod_sdiff_singleton_mul hb,

Goal state after:
case cons.mp.refine_2.refine_1
R : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
s : I → R
t✝ : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
a : I
t : Finset I
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, μ i * ∏ j ∈ t \ {i}, s j = 1) ↔ Pairwise (IsCoprime on fun i ↦ s ↑i)
mem : ∀ x ∈ t, a ∈ insert a t \ {x}
μ : I → R
hμ : μ a * ∏ j ∈ t, s j + ∑ x ∈ t, μ x * ∏ j ∈ insert a t \ {x}, s j = 1
b : I
hb : b ∈ t
⊢ μ a * ∏ x ∈ t, s x + (∑ i ∈ t, μ i * ∏ j ∈ t \ {i}, s j) * s a = 1
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Operations

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
M N : Submodule R A
A' : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A'
inst✝ : Algebra R A'
f : A →ₐ[R] A'
S : Submodule R A'
y : ↥M
hy : (fun i ↦ map f.toLinearMap (map ((LinearMap.mul R A) ↑i) N)) y = S
⊢ (fun s ↦ map ((LinearMap.mul R A') ↑s) (map f.toLinearMap N)) ⟨f ↑y, ⋯⟩ = S

Tactic:
refine Eq.trans ?_ hy

Goal state after:
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
M N : Submodule R A
A' : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A'
inst✝ : Algebra R A'
f : A →ₐ[R] A'
S : Submodule R A'
y : ↥M
hy : (fun i ↦ map f.toLinearMap (map ((LinearMap.mul R A) ↑i) N)) y = S
⊢ (fun s ↦ map ((LinearMap.mul R A') ↑s) (map f.toLinearMap N)) ⟨f ↑y, ⋯⟩ =
    (fun i ↦ map f.toLinearMap (map ((LinearMap.mul R A) ↑i) N)) y
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Operations

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
M N : Submodule R A
A' : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A'
inst✝ : Algebra R A'
f : A →ₐ[R] A'
S : Submodule R A'
y : ↥(map f.toLinearMap M)
hy : (fun s ↦ map ((LinearMap.mul R A') ↑s) (map f.toLinearMap N)) y = S
y' : A
hy' : y' ∈ M
fy_eq : f.toLinearMap y' = ↑y
⊢ (fun i ↦ map f.toLinearMap (map ((LinearMap.mul R A) ↑i) N)) ⟨y', hy'⟩ = S

Tactic:
refine Eq.trans ?_ hy

Goal state after:
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
M N : Submodule R A
A' : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A'
inst✝ : Algebra R A'
f : A →ₐ[R] A'
S : Submodule R A'
y : ↥(map f.toLinearMap M)
hy : (fun s ↦ map ((LinearMap.mul R A') ↑s) (map f.toLinearMap N)) y = S
y' : A
hy' : y' ∈ M
fy_eq : f.toLinearMap y' = ↑y
⊢ (fun i ↦ map f.toLinearMap (map ((LinearMap.mul R A) ↑i) N)) ⟨y', hy'⟩ =
    (fun s ↦ map ((LinearMap.mul R A') ↑s) (map f.toLinearMap N)) y
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
I : Submodule R A
m : A
hm : m ∈ I
n : A
hn : n ∈ 1 / I
⊢ m * n ∈ 1

Tactic:
Submodule.mem_div_iff_forall_mul_mem

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
I : Submodule R A
m : A
hm : m ∈ I
n : A
hn : ∀ y ∈ I, n * y ∈ 1
⊢ m * n ∈ 1
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Operations

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
B : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring B
inst✝ : Algebra R B
I J : Submodule R A
h : A ≃ₐ[R] B
x : B
⊢ (∃ y, (∀ y_1 ∈ J, y * y_1 ∈ I) ∧ h y = x) → ∀ (y : B), (∃ y_1 ∈ J, h y_1 = y) → ∃ y_1 ∈ I, h y_1 = x * y

pp: case mpr
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
B : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring B
inst✝ : Algebra R B
I J : Submodule R A
h : A ≃ₐ[R] B
x : B
⊢ (∀ (y : B), (∃ y_1 ∈ J, h y_1 = y) → ∃ y_1 ∈ I, h y_1 = x * y) → ∃ y, (∀ y_1 ∈ J, y * y_1 ∈ I) ∧ h y = x

Tactic:
· rintro ⟨x, hx, rfl⟩ _ ⟨y, hy, rfl⟩
    exact ⟨x * y, hx _ hy, map_mul h x y⟩

Goal state after:
case mpr
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
B : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring B
inst✝ : Algebra R B
I J : Submodule R A
h : A ≃ₐ[R] B
x : B
⊢ (∀ (y : B), (∃ y_1 ∈ J, h y_1 = y) → ∃ y_1 ∈ I, h y_1 = x * y) → ∃ y, (∀ y_1 ∈ J, y * y_1 ∈ I) ∧ h y = x
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Prod

Goal state before:
pp: case mp.inl
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal (R × S)
hI : (⊤.prod (map (RingHom.snd R S) I)).IsPrime
h : map (RingHom.fst R S) I = ⊤
⊢ ∃ p, p.IsPrime ∧ ⊤.prod (map (RingHom.snd R S) I) = ⊤.prod p

Tactic:
exact ⟨_, ⟨isPrime_of_isPrime_prod_top' hI, rfl⟩⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
hb : b ≠ 0
h : ¬a - a * b / b = 0
this : ¬(a - a * b / b) * b ≺ b
⊢ False

Tactic:
sub_mul,

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
hb : b ≠ 0
h : ¬a - a * b / b = 0
this : ¬a * b - a * b / b * b ≺ b
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
x y z : R
h : z ∣ y
hz : ¬z = 0
⊢ x * y / z = x * (y / z)

Tactic:
rcases h with ⟨p, rfl⟩

Goal state after:
case neg
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
x z : R
hz : ¬z = 0
p : R
⊢ x * (z * p) / z = x * (z * p / z)
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: case H1
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b a✝ b✝ : R
h : a✝ ≠ 0
IH : ∀ {s t s' t' : R}, P a b (b✝ % a✝, s, t) → P a b (a✝, s', t') → P a b (xgcdAux (b✝ % a✝) s t a✝ s' t')
s t s' t' : R
p :
  match (a✝, s, t) with
  | (r, s, t) => r = a * s + b * t
p' :
  match (b✝, s', t') with
  | (r, s, t) => r = a * s + b * t
⊢ b✝ % a✝ = a * s' - a * (b✝ / a✝ * s) + b * t' - b * (b✝ / a✝ * t)

Tactic:
sub_add_eq_add_sub,

Goal state after:
case H1
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b a✝ b✝ : R
h : a✝ ≠ 0
IH : ∀ {s t s' t' : R}, P a b (b✝ % a✝, s, t) → P a b (a✝, s', t') → P a b (xgcdAux (b✝ % a✝) s t a✝ s' t')
s t s' t' : R
p :
  match (a✝, s, t) with
  | (r, s, t) => r = a * s + b * t
p' :
  match (b✝, s', t') with
  | (r, s, t) => r = a * s + b * t
⊢ b✝ % a✝ = a * s' + b * t' - a * (b✝ / a✝ * s) - b * (b✝ / a✝ * t)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_4
M : Type u_5
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x✝ : FaithfulSMul R M
a : R
ha : a ∈ annihilator R M
H : ∀ {m₁ m₂ : R}, (∀ (a : M), m₁ • a = m₂ • a) → m₁ = m₂
⊢ a ∈ ⊥

Tactic:
exact @H a 0 (by simp [Module.mem_annihilator.mp ha])

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort w
f : ι → Submodule R M
r : R
H : r ∈ ⨅ i, (f i).annihilator
n : M
hn : n ∈ ⨆ i, f i
m₁ m₂ : M
h₁ : r • m₁ = 0
h₂ : r • m₂ = 0
⊢ r • (m₁ + m₂) = 0

Tactic:
smul_add,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort w
f : ι → Submodule R M
r : R
H : r ∈ ⨅ i, (f i).annihilator
n : M
hn : n ∈ ⨆ i, f i
m₁ m₂ : M
h₁ : r • m₁ = 0
h₂ : r • m₂ = 0
⊢ r • m₁ + r • m₂ = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
I J K : Ideal R
inst✝ : I.IsTwoSided
i1 : R
hi1 : i1 ∈ I
j : R
hj : j ∈ J
h : i1 + j = 1
i' : R
hi' : i' ∈ I
k : R
hk : k ∈ K
⊢ ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ J * K, y + z = i' + k

Tactic:
refine ⟨_, add_mem hi' (mul_mem_right k _ hi1), _, mul_mem_mul hj hk, ?_⟩

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
I J K : Ideal R
inst✝ : I.IsTwoSided
i1 : R
hi1 : i1 ∈ I
j : R
hj : j ∈ J
h : i1 + j = 1
i' : R
hi' : i' ∈ I
k : R
hk : k ∈ K
⊢ i' + i1 * k + j * k = i' + k
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: case mpr.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
x y : M
hx✝ : x ∈ span R s
hy✝ : y ∈ span R s
hx : r • x = 0
hy : r • y = 0
⊢ r • (x + y) = 0

Tactic:
smul_add,

Goal state after:
case mpr.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
x y : M
hx✝ : x ∈ span R s
hy✝ : y ∈ span R s
hx : r • x = 0
hy : r • y = 0
⊢ r • x + r • y = 0
Module: Mathlib.Algebra.GCDMonoid.Multiset

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a : α
s✝ : Multiset α
b : α
s : Multiset α
ih : Associated (map (fun x ↦ a * x) s).gcd (a * s.gcd)
⊢ Associated (map (fun x ↦ a * x) (b ::ₘ s)).gcd (a * (b ::ₘ s).gcd)

Tactic:
simp_rw [map_cons, gcd_cons]

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a : α
s✝ : Multiset α
b : α
s : Multiset α
ih : Associated (map (fun x ↦ a * x) s).gcd (a * s.gcd)
⊢ Associated (GCDMonoid.gcd (a * b) (map (fun x ↦ a * x) s).gcd) (a * GCDMonoid.gcd b s.gcd)
Module: Mathlib.Algebra.GCDMonoid.Finset

Goal state before:
pp: α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
⊢ (insert b s).gcd f = GCDMonoid.gcd (f b) (s.gcd f)

Tactic:
by
  by_cases h : b ∈ s
  · rw [insert_eq_of_mem h,
      (gcd_eq_right_iff (f b) (s.gcd f) (Multiset.normalize_gcd (s.1.map f))).2 (gcd_dvd h)]
  apply fold_insert h

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
I : ι → ℕ
hI : Pairwise fun i j ↦ (I i).Coprime (I j)
⊢ ∀ (i j : ι), i ≠ j → IsCoprime ↑(I i) ↑(I j)

Tactic:
exact fun i j h ↦ (hI h).cast

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Nonunits

Goal state before:
pp: α : Type u_2
C : Type u_4
inst✝² : SetLike C α
inst✝¹ : DivisionMonoid α
inst✝ : SubmonoidClass C α
S : C
u : (↥S)ˣ
⊢ (↑↑u)⁻¹ ∈ S

Tactic:
convert! u⁻¹.1.2

Goal state after:
α : Type u_2
C : Type u_4
inst✝² : SetLike C α
inst✝¹ : DivisionMonoid α
inst✝ : SubmonoidClass C α
S : C
u : (↥S)ˣ
⊢ (↑↑u)⁻¹ = ↑↑u⁻¹
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : Subsingleton α
a : α
⊢ Irreducible a ↔ Prime a

Tactic:
simp [Subsingleton.elim a 0]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_7
m n : ℕ
A : Matrix (Fin m) (Fin n) R
⊢ ofArray (Array.ofFn fun k ↦ A k.divNat k.modNat) ⋯ = A

Tactic:
ext i j

Goal state after:
R : Type u_7
m n : ℕ
A : Matrix (Fin m) (Fin n) R
i : Fin m
j : Fin n
⊢ ofArray (Array.ofFn fun k ↦ A k.divNat k.modNat) ⋯ i j = A i j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_7
inst✝ : Zero R
m n : ℕ
A : Array R
hA : A.size = m * n
⊢ ofArray A hA = of fun i j ↦ A.getD (n * ↑i + ↑j) 0

Tactic:
ext i j

Goal state after:
R : Type u_7
inst✝ : Zero R
m n : ℕ
A : Array R
hA : A.size = m * n
i : Fin m
j : Fin n
⊢ ofArray A hA i j = of (fun i j ↦ A.getD (n * ↑i + ↑j) 0) i j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Defs

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝ : IsEmpty n
M N : Matrix m n α
⊢ M = N

Tactic:
ext i j

Goal state after:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝ : IsEmpty n
M N : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ M i j = N i j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Diagonal

Goal state before:
pp: n : Type u_3
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
v : n → α
⊢ (diagonal v)ᵀ = diagonal v

Tactic:
ext i j

Goal state after:
n : Type u_3
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
v : n → α
i j : n
⊢ (diagonal v)ᵀ i j = diagonal v i j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Diagonal

Goal state before:
pp: n : Type u_3
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : AddZeroClass α
d₁ d₂ : n → α
⊢ diagonal d₁ + diagonal d₂ = diagonal fun i ↦ d₁ i + d₂ i

Tactic:
ext i j

Goal state after:
n : Type u_3
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : AddZeroClass α
d₁ d₂ : n → α
i j : n
⊢ (diagonal d₁ + diagonal d₂) i j = diagonal (fun i ↦ d₁ i + d₂ i) i j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Diagonal

Goal state before:
pp: n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : SMulZeroClass R α
r : R
d : n → α
⊢ diagonal (r • d) = r • diagonal d

Tactic:
ext i j

Goal state after:
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : SMulZeroClass R α
r : R
d : n → α
i j : n
⊢ diagonal (r • d) i j = (r • diagonal d) i j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Diagonal

Goal state before:
pp: n : Type u_3
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NegZeroClass α
d : n → α
⊢ -diagonal d = diagonal fun i ↦ -d i

Tactic:
ext i j

Goal state after:
n : Type u_3
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NegZeroClass α
d : n → α
i j : n
⊢ (-diagonal d) i j = diagonal (fun i ↦ -d i) i j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Diagonal

Goal state before:
pp: n : Type u_3
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : SubNegZeroMonoid α
d₁ d₂ : n → α
⊢ diagonal d₁ - diagonal d₂ = diagonal fun i ↦ d₁ i - d₂ i

Tactic:
ext i j

Goal state after:
n : Type u_3
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : SubNegZeroMonoid α
d₁ d₂ : n → α
i j : n
⊢ (diagonal d₁ - diagonal d₂) i j = diagonal (fun i ↦ d₁ i - d₂ i) i j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Diagonal

Goal state before:
pp: m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Unique m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
d : m → α
⊢ diagonal d = of fun x x_1 ↦ d default

Tactic:
ext i j

Goal state after:
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Unique m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
d : m → α
i j : m
⊢ diagonal d i j = of (fun x x_1 ↦ d default) i j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: case inl
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : Zero α
f : l ≃ n
g : m ≃ o
i : n
j : o
r : α
i' : l
j' : m
hi : f.symm i ≠ i'
⊢ single i j r (f i') (g j') = single (f.symm i) (g.symm j) r i' j'

Tactic:
single_apply_of_row_ne hi,

Goal state after:
case inl
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : Zero α
f : l ≃ n
g : m ≃ o
i : n
j : o
r : α
i' : l
j' : m
hi : f.symm i ≠ i'
⊢ single i j r (f i') (g j') = 0