Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.IntegrationByParts

Goal state before:
pp: case inl
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ -∫ (u : ℝ) in Icc (f b) (f a), g u = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u

pp: case inl.hf
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ ContinuousOn f (Icc a b)

pp: case inl.hff'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

pp: case inl.hf'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0

pp: case inl.hab
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ a ≤ b

Tactic:
integral_of_ge,

Goal state after:
case inl
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ -∫ (u : ℝ) in Icc (f b) (f a), g u = -∫ (x : ℝ) in Ioc (f b) (f a), g x ∂volume

case inl
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ f b ≤ f a

case inl.hf
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ ContinuousOn f (Icc a b)

case inl.hff'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

case inl.hf'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0

case inl.hab
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ a ≤ b