mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := ⋯
hq₀ : q ≠ ⊥
hq_mem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∈ q ↔ p k
hq_notMem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∉ q → q ≤ LinearMap.ker (P.coroot' ↑k)
k : ι
hkb : k ∈ b.support
x : M
hx : x ∈ q
⊢ (P.coroot' k) x • P.root k ∈ q

Tactic:
by_cases hk : P.root k ∈ q

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
hq_mem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∈ q ↔ p k
hq_notMem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∉ q → q ≤ LinearMap.ker (P.coroot' ↑k)
k : ι
hkb : k ∈ b.support
x : M
hx : x ∈ q
hk : P.root k ∈ q
⊢ (P.coroot' k) x • P.root k ∈ q

case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
hq_mem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∈ q ↔ p k
hq_notMem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∉ q → q ≤ LinearMap.ker (P.coroot' ↑k)
k : ι
hkb : k ∈ b.support
x : M
hx : x ∈ q
hk : P.root k ∉ q
⊢ (P.coroot' k) x • P.root k ∈ q
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case zero
⊢ descPochhammer ℤ 0 = (ascPochhammer ℤ 0).comp (X - ↑0 + 1)

Tactic:
descPochhammer_zero,

Goal state after:
case zero
⊢ 1 = (ascPochhammer ℤ 0).comp (X - ↑0 + 1)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
⊢ eval r (descPochhammer R 0) = eval (r - ↑0 + 1) (ascPochhammer R 0)

Tactic:
descPochhammer_zero,

Goal state after:
case zero
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
⊢ eval r 1 = eval (r - ↑0 + 1) (ascPochhammer R 0)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
⊢ eval r (descPochhammer R 0) = eval (r - ↑0 + 1) (ascPochhammer R 0)

Tactic:
rw [descPochhammer_zero, eval_one, ascPochhammer_zero, eval_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
⊢ eval (↑n) (descPochhammer R 0) = ↑(n.descFactorial 0)

Tactic:
descPochhammer_zero,

Goal state after:
case zero
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
⊢ eval (↑n) 1 = ↑(n.descFactorial 0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n.succ → R
⊢ vandermonde v = of Fin.cons (fun j ↦ v 0 ^ ↑j) fun i ↦ Fin.cons 1 fun j ↦ v i.succ * vandermonde (tail v) i j

Tactic:
by
  conv_lhs => rw [← Fin.cons_self_tail v, vandermonde_cons]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
y : L₂
f : ι₁ →₀ R
hf : (LinearMap.fst R L₁ L₂ ∘ₗ linearCombination R fun i ↦ (b₁.h i, b₂.h (eι i))) f = (LinearMap.fst R L₁ L₂) (0, y)
⊢ (linearCombination R b₁.h) f = 0

Tactic:
← Finsupp.linearCombination_linear_comp

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
y : L₂
f : ι₁ →₀ R
hf : (linearCombination R (⇑(LinearMap.fst R L₁ L₂) ∘ fun i ↦ (b₁.h i, b₂.h (eι i)))) f = (LinearMap.fst R L₁ L₂) (0, y)
⊢ (linearCombination R b₁.h) f = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑(#s)
eval_f : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = 0
⊢ f = 0

Tactic:
rw [← card_image_of_injOn hvs] at degree_f_lt

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑(#(image v s))
eval_f : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = 0
⊢ f = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (Lagrange.basis s v i).degree < ↑(#s)

Tactic:
degree_basis hvs hi,

Goal state after:
case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ↑(#s - 1) < ↑(#s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: K : Type u_2
inst✝ : Field K
n✝ n : ℕ
ih : ∀ (v w : Fin n → K), (projVandermonde v w).det = ∏ i, ∏ j > i, (v j * w i - v i * w j)
v w : Fin (n + 1) → K
h0 : w 0 ≠ 0
r : K := v 0 / w 0
hr : r = v 0 / w 0
W : Matrix (Fin (n + 1)) (Fin (n + 1)) K :=
  of fun i ↦
    Fin.cons (projVandermonde v w i 0) fun j ↦ projVandermonde v w i j.succ - r * projVandermonde v w i j.castSucc
hW_eq : W.submatrix succ succ = of fun i j ↦ (v i.succ - r * w i.succ) * projVandermonde (v ∘ succ) (w ∘ succ) i j
⊢ (w 0 ^ n * ∏ x, (v x.succ * w 0 - v 0 * w x.succ) / w 0) *
      ∏ x, ∏ x_1 > x, ((v ∘ succ) x_1 * (w ∘ succ) x - (v ∘ succ) x * (w ∘ succ) x_1) =
    ∏ x, ∏ x_1 > x, (v x_1 * w x - v x * w x_1)

Tactic:
simp only [Finset.prod_div_distrib, Finset.prod_const, Finset.card_fin, Function.comp_apply]

Goal state after:
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n✝ n : ℕ
ih : ∀ (v w : Fin n → K), (projVandermonde v w).det = ∏ i, ∏ j > i, (v j * w i - v i * w j)
v w : Fin (n + 1) → K
h0 : w 0 ≠ 0
r : K := v 0 / w 0
hr : r = v 0 / w 0
W : Matrix (Fin (n + 1)) (Fin (n + 1)) K :=
  of fun i ↦
    Fin.cons (projVandermonde v w i 0) fun j ↦ projVandermonde v w i j.succ - r * projVandermonde v w i j.castSucc
hW_eq : W.submatrix succ succ = of fun i j ↦ (v i.succ - r * w i.succ) * projVandermonde (v ∘ succ) (w ∘ succ) i j
⊢ w 0 ^ n * ((∏ x, (v x.succ * w 0 - v 0 * w x.succ)) / w 0 ^ n) *
      ∏ x, ∏ x_1 > x, (v x_1.succ * w x.succ - v x.succ * w x_1.succ) =
    ∏ x, ∏ x_1 > x, (v x_1 * w x - v x * w x_1)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
i : ι₁
⊢ prodH eι b₁ b₂ i ∈ ↑(lieSpan R (↥(prod eι b₁ b₂)) (range (prodE eι b₁ b₂) ∪ range (prodF eι b₁ b₂)))

Tactic:
have hef : prodH eι b₁ b₂ i = ⁅prodE eι b₁ b₂ i, prodF eι b₁ b₂ i⁆ := by
    simp [Subtype.ext_iff, (b₁.sl2 i).lie_e_f, (b₂.sl2 (eι i)).lie_e_f]

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
i : ι₁
hef : prodH eι b₁ b₂ i = ⁅prodE eι b₁ b₂ i, prodF eι b₁ b₂ i⁆
⊢ prodH eι b₁ b₂ i ∈ ↑(lieSpan R (↥(prod eι b₁ b₂)) (range (prodE eι b₁ b₂) ∪ range (prodF eι b₁ b₂)))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ ∑ x ∈ s, Lagrange.basis s v x = 1

Tactic:
exact sum_basis hvs hs

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hrr' : (interpolate s v) r = (interpolate s v) r'
x✝ : ι
hi : x✝ ∈ s
⊢ r x✝ = r' x✝

Tactic:
by
  rw [← eval_interpolate_at_node r hvs hi, hrr', eval_interpolate_at_node r' hvs hi]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
⊢ Function.RightInverse (fun r ↦ ⟨(interpolate s v) fun x ↦ if hx : x ∈ s then r ⟨x, hx⟩ else 0, ⋯⟩) fun f i ↦
    eval (v ↑i) ↑f

Tactic:
intro f

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
f : ↥s → F
⊢ (fun f i ↦ eval (v ↑i) ↑f) ((fun r ↦ ⟨(interpolate s v) fun x ↦ if hx : x ∈ s then r ⟨x, hx⟩ else 0, ⋯⟩) f) = f
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion

Goal state before:
pp: L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
⊢ ∀ (f : Dual ℚ ↥E), f = 0

Tactic:
intro f

Goal state after:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
⊢ f = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := LinearMap.restrict ((ad R L) x) aux₂
k✝ : ℕ
y : ↥N
k : ℕ
⊢ y ∈ (dx ^ k).ker → ((ad R L) x ^ k) (N.subtype y) = 0

Tactic:
induction k generalizing y with
    | zero =>
      cases y; intro hy; simp only [pow_zero, Module.End.one_apply]
      exact (AddSubmonoid.mk_eq_zero N.toAddSubmonoid).mp hy
    | succ k ih => solve_by_elim

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Monad

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
p : MvPolynomial σ R
⊢ (aeval id) ((rename f) p) = (aeval f) p

Tactic:
aeval_rename,

Goal state after:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
p : MvPolynomial σ R
⊢ (aeval (id ∘ f)) p = (aeval f) p
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Monad

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f : S →+* MvPolynomial σ T
g : R →+* S
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (bind₂ f) ((map g) φ) = (bind₂ (f.comp g)) φ

Tactic:
by simp [bind₂]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Charpoly.ToMatrix

Goal state before:

Tactic:
(P * A * Q).charpoly = (φ (P * A * Q)).charpoly := (charpoly_reindex ..).symm
    _ = (φ₁ P * φ₂ A * φ₃ Q).charpoly := by rw [reindexLinearEquiv_mul, reindexLinearEquiv_mul]
    _ = A.charpoly := by rw [charpoly_mul_comm, ← mul_assoc]; simp [P, Q, φ₁, φ₂, φ₃]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Charpoly.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
inst✝ : Nontrivial R
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
hdegP : P.degree < (minpoly R f).degree
⊢ False

Tactic:
have hPmonic : P.Monic := by
    suffices (minpoly R f).Monic by
      rwa [Monic.def, hP, mul_comm, leadingCoeff_mul_X, ← Monic.def] at this
    exact minpoly.monic (isIntegral f)

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
inst✝ : Nontrivial R
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
hdegP : P.degree < (minpoly R f).degree
hPmonic : P.Monic
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Charpoly.ToMatrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module.Finite R M₁
inst✝⁴ : Free R M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module.Finite R M₂
inst✝ : Free R M₂
e : M₁ ≃ₗ[R] M₂
φ : End R M₁
b : Basis (ChooseBasisIndex R M₁) R M₁ := chooseBasis R M₁
⊢ LinearMap.charpoly (e.conj φ) = LinearMap.charpoly φ

Tactic:
← LinearMap.charpoly_toMatrix φ b,

Goal state after:
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module.Finite R M₁
inst✝⁴ : Free R M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module.Finite R M₂
inst✝ : Free R M₂
e : M₁ ≃ₗ[R] M₂
φ : End R M₁
b : Basis (ChooseBasisIndex R M₁) R M₁ := chooseBasis R M₁
⊢ LinearMap.charpoly (e.conj φ) = ((LinearMap.toMatrix b b) φ).charpoly
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
r x : A
hx₁ : IsHomogeneousElem 𝒜 x
hx₂ : x ∈ I
j : ι
⊢ (GradedRing.proj 𝒜 j) ((∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose 𝒜) r), ↑(((decompose 𝒜) r) i)) * x) ∈ I

Tactic:
Finset.sum_mul,

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
r x : A
hx₁ : IsHomogeneousElem 𝒜 x
hx₂ : x ∈ I
j : ι
⊢ (GradedRing.proj 𝒜 j) (∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose 𝒜) r), ↑(((decompose 𝒜) r) i) * x) ∈ I
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : φ ≠ 0
hm : IsWeightedHomogeneous w φ m
hn : IsWeightedHomogeneous w φ n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ m = n

Tactic:
← hm hd,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : φ ≠ 0
hm : IsWeightedHomogeneous w φ m
hn : IsWeightedHomogeneous w φ n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ (weight w) d = n
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
s₁ s₂ : Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)
⊢ ∃ S, span (Subtype.val '' s₁) * span (Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' S)

Tactic:
Ideal.span_mul_span'

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
s₁ s₂ : Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)
⊢ ∃ S, span (Subtype.val '' s₁ * Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' S)
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hm : φ.IsHomogeneous m
hn : φ.IsHomogeneous n
hφ : φ ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ m = n

Tactic:
← hm hd,

Goal state after:
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hm : φ.IsHomogeneous m
hn : φ.IsHomogeneous n
hφ : φ ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ (weight 1) d = n
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ d ∈ φ.support, (weight w) d ≠ n
⊢ (weightedHomogeneousComponent w n) φ = 0

Tactic:
rw [weightedHomogeneousComponent_apply, sum_eq_zero]
  intro d hd; rw [mem_filter] at hd
  exfalso; exact h _ hd.1 hd.2

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Zero

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : IsNoetherian R M
φ : End R M
tfae_1_to_2 : IsNilpotent φ → charpoly φ = X ^ finrank R M
tfae_2_to_3 : charpoly φ = X ^ finrank R M → ∀ (m : M), ∃ n, (φ ^ n) m = 0
tfae_3_to_1 : (∀ (m : M), ∃ n, (φ ^ n) m = 0) → IsNilpotent φ
⊢ charpoly φ = X ^ finrank R M ↔ (charpoly φ).natTrailingDegree = finrank R M

Tactic:
rw [← φ.charpoly_natDegree, φ.charpoly_monic.eq_X_pow_iff_natTrailingDegree_eq_natDegree]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
this : toMvPolynomial (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M) ij = X ij
⊢ (bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ.end) (baseChange A φ))) (X ij) =
    toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ.end) (baseChange A φ) ij

Tactic:
bind₁_X_right

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
this : toMvPolynomial (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M) ij = X ij
⊢ toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ.end) (baseChange A φ) ij =
    toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ.end) (baseChange A φ) ij
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
⊢ (weightedHomogeneousComponent w m) φ = ↑0 ↔ (weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0

Tactic:
Submodule.coe_zero

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
⊢ (weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0 ↔ (weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin : i ≤ n
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0

Tactic:
obtain hFn | hFn := ne_or_eq ((finSuccEquiv R N F).coeff n) 0

Goal state after:
case succ.inl
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin : i ≤ n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0

case succ.inr
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin : i ≤ n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n = 0
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Free R M
x : L
a✝ : Nontrivial R
⊢ Polynomial.map (eval ⇑(b.repr x)) (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = charpoly (φ x)

Tactic:
polyCharpolyAux_map_eq_toMatrix_charpoly,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Free R M
x : L
a✝ : Nontrivial R
⊢ ((toMatrix bₘ bₘ) (φ x)).charpoly = charpoly (φ x)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.SkewAdjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B ⇑f
hg : IsSkewAdjoint B ⇑g
hfg : IsAdjointPair B B ⇑(f * g) ⇑(g * f)
⊢ IsAdjointPair B B ⇑(g * f) ⇑(f * g)

Tactic:
← neg_mul_neg f g

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B ⇑f
hg : IsSkewAdjoint B ⇑g
hfg : IsAdjointPair B B ⇑(f * g) ⇑(g * f)
⊢ IsAdjointPair B B ⇑(g * f) ⇑(-f * -g)