mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: case inr.refine_2
α : Type u_1
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
f : CauSeq α abs
h✝ : ¬f.LimZero
K : α
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K
h : ↑f i ≤ 0
j : ℕ
ij : j ≥ i
this : K ≤ |↑f j|
h₁ : K ≤ |↑f i|
h₂ : ∀ k ≥ i, |↑f k - ↑f i| < K
⊢ K ≤ ↑(-f) j

Tactic:
· rwa [abs_of_nonpos] at this
    rw [abs_of_nonpos h] at h₁
    rw [← sub_le_sub_iff_right, zero_sub]
    exact le_trans (le_of_lt (abs_lt.1 <| h₂ _ ij).2) h₁

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Hermitian

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝ : InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : Bᴴ = C
hD : D.IsHermitian
⊢ Cᴴ = B

Tactic:
← hBC,

Goal state after:
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝ : InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : Bᴴ = C
hD : D.IsHermitian
⊢ Bᴴᴴ = B
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NoZeroDivisors R
d : n → R
h : ∀ (i : n), 0 < d i
x : n →₀ R
hx : x ≠ 0
⊢ ?m.73

Tactic:
simpa [Finsupp.ext_iff] using hx

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : Finite n
inst✝ : StarOrderedRing R
a : n → R
⊢ (vecMulVec (star a) a).PosSemidef

Tactic:
by
  simp [vecMulVec_eq Unit, ← conjTranspose_replicateRow, posSemidef_conjTranspose_mul_self]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ
⊢ ↑(a.choose b) = eval (↑a) (descPochhammer K b) / ↑b !

Tactic:
by
  rw [eq_div_iff_mul_eq (cast_ne_zero.2 b.factorial_ne_zero : (b ! : K) ≠ 0), ← cast_mul,
    mul_comm, ← descFactorial_eq_factorial_mul_choose, descPochhammer_eval_eq_descFactorial]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
L : LieSubalgebra R (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₂ : ↥L →ₗ⁅R⁆ L₂ := (LieHom.snd R L₁ L₂).comp L.incl
⊢ Surjective ⇑p₂

Tactic:
have h₁ : range b₂.e = range (p₂ ∘ prodE eι b₁ b₂) := by
    simp [show p₂ ∘ prodE eι b₁ b₂ = b₂.e ∘ eι from rfl]

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
L : LieSubalgebra R (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₂ : ↥L →ₗ⁅R⁆ L₂ := (LieHom.snd R L₁ L₂).comp L.incl
h₁ : range b₂.e = range (⇑p₂ ∘ prodE eι b₁ b₂)
⊢ Surjective ⇑p₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : IsDomain R
v : Fin n → R
⊢ (vandermonde v).det ≠ 0 ↔ ∀ ⦃a₁ a₂ : Fin n⦄, v a₁ = v a₂ → a₁ = a₂

Tactic:
simp only [det_vandermonde_eq_zero_iff, Ne, not_exists, not_and, Classical.not_not]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Charpoly.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
inst✝ : StrongRankCondition R
this : ∀ (R : Type ?u.32) [inst : Semiring R] [InvariantBasisNumber R], Nontrivial R
⊢ ((toMatrix (chooseBasis R M) (chooseBasis R M)) f).charpoly.natDegree = finrank R M

Tactic:
Matrix.charpoly_natDegree_eq_dim,

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
inst✝ : StrongRankCondition R
this : ∀ (R : Type u) [inst : Semiring R] [InvariantBasisNumber R], Nontrivial R
⊢ Fintype.card (ChooseBasisIndex R M) = finrank R M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
⊢ nodal (↑G).toFinset Units.val = X ^ Fintype.card ↥G - 1

Tactic:
have h : degree (1 : R[X]) < degree ((X : R[X]) ^ Fintype.card G) := by simp [Fintype.card_pos]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
⊢ nodal (↑G).toFinset Units.val = X ^ Fintype.card ↥G - 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ ∀ a ∈ s.erase i, (v i - v a)⁻¹ ≠ 0

Tactic:
intro j hj

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ (v i - v j)⁻¹ ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
d : σ →₀ ℕ
r : R
m : M
hm : (weight w) d = m
⊢ IsWeightedHomogeneous w ((monomial d) r) m

Tactic:
intro c hc
  rw [coeff_monomial] at hc
  split_ifs at hc with h
  · subst c
    exact hm
  · contradiction

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
n : ι → M
w : σ → M
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
⊢ ((∀ i ∈ s, IsWeightedHomogeneous w (φ i) (n i)) → IsWeightedHomogeneous w (∏ i ∈ s, φ i) (∑ i ∈ s, n i)) →
    (∀ i_1 ∈ insert i s, IsWeightedHomogeneous w (φ i_1) (n i_1)) →
      IsWeightedHomogeneous w (∏ i ∈ insert i s, φ i) (∑ i ∈ insert i s, n i)

Tactic:
IH

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
n : ι → M
w : σ → M
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, IsWeightedHomogeneous w (φ i) (n i)) → IsWeightedHomogeneous w (∏ i ∈ s, φ i) (∑ i ∈ s, n i)
⊢ (∀ i_1 ∈ insert i s, IsWeightedHomogeneous w (φ i_1) (n i_1)) →
    IsWeightedHomogeneous w (∏ i ∈ insert i s, φ i) (∑ i ∈ insert i s, n i)
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
⊢ weightedTotalDegree 1 φ = φ.totalDegree

Tactic:
by
  simp only [totalDegree, weightedTotalDegree, weight, LinearMap.toAddMonoidHom_coe,
    linearCombination, Pi.one_apply, Finsupp.coe_lsum, LinearMap.coe_smulRight, LinearMap.id_coe,
    id, smul_eq_mul, mul_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_4
s : κ → HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (sInf (range fun i ↦ s i)).toIdeal = ⨅ i, (s i).toIdeal

Tactic:
toIdeal_sInf,

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_4
s : κ → HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ ⨅ s_1 ∈ range fun i ↦ s i, s_1.toIdeal = ⨅ i, (s i).toIdeal
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
motive : (p : MvPolynomial σ R) → IsWeightedHomogeneous w p m → Prop
zero : motive 0 ⋯
add :
  ∀ (p q : MvPolynomial σ R) (hp : IsWeightedHomogeneous w p m) (hq : IsWeightedHomogeneous w q m),
    motive p hp → motive q hq → motive (p + q) ⋯
monomial : ∀ (d : σ →₀ ℕ) (r : R) (hr : (weight w) d = m), motive ((MvPolynomial.monomial d) r) ⋯
p : MvPolynomial σ R
hp : IsWeightedHomogeneous w p m
⊢ motive p hp

Tactic:
suffices h : ∀ a, motive (C a * p) (.C_mul hp _) by simpa using h 1
  let A : Submodule R (MvPolynomial σ R) :=
    { carrier := { p | ∃ hp, ∀ a, motive (C a * p) (.C_mul hp _) }
      add_mem' := fun ⟨_, hx⟩ ⟨_, hy⟩ ↦
        ⟨.add ‹_› ‹_›, fun a ↦ by simp [mul_add, add _ _ _ _ (hx a) (hy a)]⟩
      zero_mem' := ⟨isWeightedHomogeneous_zero R w m, by simp [zero]⟩
      smul_mem' := fun a x ⟨_, hx⟩ ↦ ⟨by simp [Algebra.smul_def, C_mul ‹_› a], fun a ↦ by
        simp_rw [Algebra.smul_def, algebraMap_eq, ← mul_assoc, ← map_mul]
        apply hx⟩ }
  rw [← mem_weightedHomogeneousSubmodule, weightedHomogeneousSubmodule_eq_finsupp_supported,
    AddMonoidAlgebra.supported_eq_span_single] at hp
  refine (Submodule.span_le (p := A) |>.mpr ?_ hp).2
  rw [Set.image_subset_iff]
  intro d hd
  simp only [MvPolynomial, Submodule.coe_set_mk, AddSubmonoid.coe_set_mk,
    AddSubsemigroup.coe_set_mk, preimage_ofPred_eq, mem_ofPred_eq, A]
  refine ⟨isWeightedHomogeneous_monomial w d 1 hd, fun a ↦ ?_⟩
  simpa only [single_eq_monomial, ← MvPolynomial.C_mul_monomial] using monomial _ (a * 1) hd

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: case refine_2
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
ι : Type u_5
s✝ : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
n : ι → ℕ
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
⊢ ((∀ i ∈ s, (φ i).IsHomogeneous (n i)) → (∏ i ∈ s, φ i).IsHomogeneous (∑ i ∈ s, n i)) →
    (∀ i_1 ∈ insert i s, (φ i_1).IsHomogeneous (n i_1)) → (∏ i ∈ insert i s, φ i).IsHomogeneous (∑ i ∈ insert i s, n i)

Tactic:
IH

Goal state after:
case refine_2
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
ι : Type u_5
s✝ : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
n : ι → ℕ
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, (φ i).IsHomogeneous (n i)) → (∏ i ∈ s, φ i).IsHomogeneous (∑ i ∈ s, n i)
⊢ (∀ i_1 ∈ insert i s, (φ i_1).IsHomogeneous (n i_1)) → (∏ i ∈ insert i s, φ i).IsHomogeneous (∑ i ∈ insert i s, n i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Zero

Goal state before:
pp: case h
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : End K M
V : Submodule K M := ⋯
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⋯
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := ⋯
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := ⋯
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := ⋯
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := ⋯
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := ⋯
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := ⋯
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := ⋯
hψ : ψ = e.symm.conj φ
x : ↥W
hx : G x = 0
⊢ (φ ^ 1) ↑x = 0

Tactic:
pow_one

Goal state after:
case h
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : End K M
V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0
hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)
W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)
hVW : IsCompl V W
hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V
hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W
F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV
G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW
ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G
e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW
bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V
bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W
b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW
hψ : ψ = e.symm.conj φ
x : ↥W
hx : G x = 0
⊢ φ ↑x = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝ : DecidableEq ιM
bₘ : Basis ιM R M
⊢ φ.polyCharpoly b = Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM)

Tactic:
rw [polyCharpoly, φ.polyCharpolyAux_basisIndep b (Module.Free.chooseBasis R M) bₘ,
    polyCharpolyAux]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.SkewAdjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B ⇑f
hg : IsSkewAdjoint B ⇑g
⊢ IsAdjointPair B B ⇑(f * g) ⇑(g * f)

Tactic:
← neg_mul_neg g f

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B ⇑f
hg : IsSkewAdjoint B ⇑g
⊢ IsAdjointPair B B ⇑(f * g) ⇑(-g * -f)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: case inr.inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
⊢ Ex ≤ Ey

Tactic:
let χ : Polynomial (K[X]) := lieCharpoly K E x' u

Goal state after:
case inr.inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
⊢ Ex ≤ Ey
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⋯
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⋯
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := ⋯
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := ⋯
r : ℕ := ⋯
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⋯
y' : ↥U := ⋯
u : ↥U := ⋯
χ : K[X][X] := ⋯
ψ : K[X][X] := ⋯
hi : 0 < r
⊢ ∀ (r : K), eval r (χ.coeff 0) = 0

Tactic:
intro α

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
α : K
⊢ eval α (χ.coeff 0) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymplecticGroup

Goal state before:
pp: l : Type u_1
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
R : Type u_3
inst✝ : Field R
A C : Matrix l l R
hker : ∀ (x : l → R), A • x = 0 → C • x = 0 → x = 0
hsymm : Aᵀ * C = Cᵀ * A
V U : Matrix l l R
s : l ≃ Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)
hV : IsUnit V
hU : IsUnit U
P : Matrix l l R := V * C * U
heq : P = (fromBlocks 1 0 0 0).submatrix ⇑s ⇑s
P_def : P = V * C * U
Q : Matrix l l R := Vᵀ⁻¹ * A * U
Q_def : Q = Vᵀ⁻¹ * A * U
f : Matrix l l R → Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R :=
  fun x ↦ x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
hf : ∀ (x : Matrix l l R), f x = x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
f_unit : ∀ {x : Matrix l l R}, IsUnit x → IsUnit (f x)
f_mul : ∀ (x y : Matrix l l R), f (x * y) = f x * f y
⊢ ∃ X, X.IsSymm ∧ IsUnit (A + X * C)

Tactic:
have _ : Invertible V := hV.invertible

Goal state after:
l : Type u_1
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
R : Type u_3
inst✝ : Field R
A C : Matrix l l R
hker : ∀ (x : l → R), A • x = 0 → C • x = 0 → x = 0
hsymm : Aᵀ * C = Cᵀ * A
V U : Matrix l l R
s : l ≃ Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)
hV : IsUnit V
hU : IsUnit U
P : Matrix l l R := V * C * U
heq : P = (fromBlocks 1 0 0 0).submatrix ⇑s ⇑s
P_def : P = V * C * U
Q : Matrix l l R := Vᵀ⁻¹ * A * U
Q_def : Q = Vᵀ⁻¹ * A * U
f : Matrix l l R → Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R :=
  fun x ↦ x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
hf : ∀ (x : Matrix l l R), f x = x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
f_unit : ∀ {x : Matrix l l R}, IsUnit x → IsUnit (f x)
f_mul : ∀ (x y : Matrix l l R), f (x * y) = f x * f y
x✝ : Invertible V
⊢ ∃ X, X.IsSymm ∧ IsUnit (A + X * C)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
s : Finset m
hz : ∀ x ∉ ↑s, A.row x = 0
B : Matrix m (↥s) R := of fun i a ↦ if ↑a = i then 1 else 0
hBdef : B = of fun i a ↦ if ↑a = i then 1 else 0
hB : B * A.submatrix Subtype.val id = A
⊢ A.rank ≤ s.card

Tactic:
calc A.rank = (B * A.submatrix Subtype.val id).rank := by rw [hB]
    _ ≤ (A.submatrix Subtype.val id).rank := rank_mul_le_right _ _
    _ ≤ Fintype.card {x // x ∈ s} := rank_le_card_height _
    _ = s.card := Fintype.card_coe s

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: case h.refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
t : Finset K := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
ht : t.card ≤ finrank K L - r
s : Finset K
hs : finrank K L ≤ s.card
⊢ ∀ α ∈ s \ t, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0

Tactic:
intro α

Goal state after:
case h.refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
t : Finset K := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
ht : t.card ≤ finrank K L - r
s : Finset K
hs : finrank K L ≤ s.card
α : K
⊢ α ∈ s \ t → eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⋯
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⋯
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := ⋯
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := ⋯
r : ℕ := ⋯
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⋯
y' : ↥U := ⋯
u : ↥U := ⋯
χ : K[X][X] := ⋯
ψ : K[X][X] := ⋯
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
⊢ ∀ i_1 ∈ s, eval i_1 (χ.coeff i) = 0

Tactic:
intro α

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
⊢ α ∈ s → eval α (χ.coeff i) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Field R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m n R
⊢ (A * Aᵀ).rank = A.rank

Tactic:
simpa only [rank_transpose, transpose_transpose] using rank_transpose_mul_self Aᵀ

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.DirectSum

Goal state before:
pp: R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j ↦ ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
y✝ : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i ↦ ↑(f i)
this :
  ∀ (i j : ι) (y : L i) (x : L j),
    (toModule R ι L' f') ⁅(of L j) x, (of L i) y⁆ =
      ⁅(toModule R ι L' f') ((of L j) x), (toModule R ι L' f') ((of L i) y)⁆
i : ι
y : L i
⊢ toModule R ι L' f' ∘ₗ (LieAlgebra.ad R (⨁ (i : ι), L i)) ((of L i) y) =
    (LieAlgebra.ad R L') ((toModule R ι L' f') ((of L i) y)) ∘ₗ toModule R ι L' f'

Tactic:
ext j x

Goal state after:
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j ↦ ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
y✝ : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i ↦ ↑(f i)
this :
  ∀ (i j : ι) (y : L i) (x : L j),
    (toModule R ι L' f') ⁅(of L j) x, (of L i) y⁆ =
      ⁅(toModule R ι L' f') ((of L j) x), (toModule R ι L' f') ((of L i) y)⁆
i : ι
y : L i
j : ι
x : L j
⊢ ((toModule R ι L' f' ∘ₗ (LieAlgebra.ad R (⨁ (i : ι), L i)) ((of L i) y)) ∘ₗ lof R ι L j) x =
    (((LieAlgebra.ad R L') ((toModule R ι L' f') ((of L i) y)) ∘ₗ toModule R ι L' f') ∘ₗ lof R ι L j) x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Free

Goal state before:
pp: R : Type u
X : Type v
inst✝² : CommRing R
L : Type w
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
f : X → L
⊢ ∀ {x y : FreeLieAlgebra R X},
    Quot.liftOn ⁅x, y⁆ ⇑(liftAux R f) ⋯ = ⁅Quot.liftOn x ⇑(liftAux R f) ⋯, Quot.liftOn y ⇑(liftAux R f) ⋯⁆

Tactic:
rintro ⟨a⟩ ⟨b⟩; rw [← liftAux_map_mul]; rfl

Goal state after: