Module: Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type (max u v)
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝¹⁶ : p.IsPrime
q : Ideal S
R' : Type u
inst✝¹⁵ : CommRing R'
inst✝¹⁴ : Algebra R R'
inst✝¹³ : Etale R R'
P : Ideal R'
inst✝¹² : P.IsPrime
inst✝¹¹ : P.LiesOver p
e : R' ⊗[R] S
P' : Ideal (R' ⊗[R] S)
inst✝¹⁰ : P'.IsPrime
inst✝⁹ : P'.LiesOver P
hP'q : Ideal.comap TensorProduct.includeRight.toRingHom P' = q
heP' : e ∉ P'
hpP : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯)
H : ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
R'' : Type u
inst✝⁸ : CommRing R''
inst✝⁷ : Algebra R' R''
inst✝⁶ : Algebra R R''
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' R''
inst✝⁴ : Etale R' R''
Q : Ideal R''
inst✝³ : Q.IsPrime
inst✝² : Q.LiesOver P
n : ℕ
e' : Fin (n + 1 + 1) → R'' ⊗[R] S
he' : CompleteOrthogonalIdempotents e'
he'0 : e' 0 = (TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)) e
Q' : Fin n → Ideal (R'' ⊗[R] S)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).IsPrime
inst✝ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).LiesOver Q
hPQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ P Q (ofId R' R'') ⋯)
hQ' : ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ Q' i
H' :
  ∀ (P'' : Ideal (R'' ⊗[R] S)),
    e' 0 ∈ P'' →
      P''.IsPrime → P''.LiesOver Q → e' (Fin.last (n + 1)) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ P'' → P'' = Q' i
φ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] R'' ⊗[R] S := TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)
this✝¹ : Q.LiesOver p
hpQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R R'') ⋯)
P'φ : ↑(Q.primesOver (R'' ⊗[R] S)) :=
  (Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpQ).symm ((Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpP) ⟨P', ⋯⟩)
this✝ : (↑P'φ).LiesOver P
this : (Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ).LiesOver P
hP'φ : Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ = P'
⊢ ∃ R' x x_1,
    ∃ (_ : Etale R R'),
      ∃ P,
        ∃ (x_3 : P.IsPrime) (x_4 : P.LiesOver p),
          ∃ n e,
            ∃ (_ : CompleteOrthogonalIdempotents e),
              ∃ P',
                ∃ (_ : ∀ (i : Fin n), (P' i).IsPrime) (_ : ∀ (i : Fin n), (P' i).LiesOver P),
                  Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯) ∧
                    (∀ (i : Fin n), e i.castSucc ∉ P' i) ∧
                      ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)),
                        P''.IsPrime →
                          P''.LiesOver P → e (Fin.last n) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin n), e i.castSucc ∉ P'' → P'' = P' i

Tactic:
refine ⟨R'', inferInstance, _, .comp R R' R'', Q, ‹_›, .trans _ P _, _, _, he', Fin.cons P'φ
    Q', Fin.cases P'φ.2.1 ?_, Fin.cases P'φ.2.2 ?_, hpQ, Fin.cases ?_ ?_, ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
S : Type (max u v)
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝¹⁶ : p.IsPrime
q : Ideal S
R' : Type u
inst✝¹⁵ : CommRing R'
inst✝¹⁴ : Algebra R R'
inst✝¹³ : Etale R R'
P : Ideal R'
inst✝¹² : P.IsPrime
inst✝¹¹ : P.LiesOver p
e : R' ⊗[R] S
P' : Ideal (R' ⊗[R] S)
inst✝¹⁰ : P'.IsPrime
inst✝⁹ : P'.LiesOver P
hP'q : Ideal.comap TensorProduct.includeRight.toRingHom P' = q
heP' : e ∉ P'
hpP : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯)
H : ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
R'' : Type u
inst✝⁸ : CommRing R''
inst✝⁷ : Algebra R' R''
inst✝⁶ : Algebra R R''
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' R''
inst✝⁴ : Etale R' R''
Q : Ideal R''
inst✝³ : Q.IsPrime
inst✝² : Q.LiesOver P
n : ℕ
e' : Fin (n + 1 + 1) → R'' ⊗[R] S
he' : CompleteOrthogonalIdempotents e'
he'0 : e' 0 = (TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)) e
Q' : Fin n → Ideal (R'' ⊗[R] S)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).IsPrime
inst✝ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).LiesOver Q
hPQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ P Q (ofId R' R'') ⋯)
hQ' : ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ Q' i
H' :
  ∀ (P'' : Ideal (R'' ⊗[R] S)),
    e' 0 ∈ P'' →
      P''.IsPrime → P''.LiesOver Q → e' (Fin.last (n + 1)) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ P'' → P'' = Q' i
φ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] R'' ⊗[R] S := TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)
this✝¹ : Q.LiesOver p
hpQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R R'') ⋯)
P'φ : ↑(Q.primesOver (R'' ⊗[R] S)) :=
  (Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpQ).symm ((Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpP) ⟨P', ⋯⟩)
this✝ : (↑P'φ).LiesOver P
this : (Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ).LiesOver P
hP'φ : Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ = P'
⊢ ∀ (P'' : Ideal (R'' ⊗[R] S)),
    P''.IsPrime →
      P''.LiesOver Q →
        e' (Fin.last (n + 1)) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), e' i.castSucc ∉ P'' → P'' = Fin.cons (↑P'φ) Q' i

case refine_2
R : Type u
S : Type (max u v)
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝¹⁶ : p.IsPrime
q : Ideal S
R' : Type u
inst✝¹⁵ : CommRing R'
inst✝¹⁴ : Algebra R R'
inst✝¹³ : Etale R R'
P : Ideal R'
inst✝¹² : P.IsPrime
inst✝¹¹ : P.LiesOver p
e : R' ⊗[R] S
P' : Ideal (R' ⊗[R] S)
inst✝¹⁰ : P'.IsPrime
inst✝⁹ : P'.LiesOver P
hP'q : Ideal.comap TensorProduct.includeRight.toRingHom P' = q
heP' : e ∉ P'
hpP : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯)
H : ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
R'' : Type u
inst✝⁸ : CommRing R''
inst✝⁷ : Algebra R' R''
inst✝⁶ : Algebra R R''
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' R''
inst✝⁴ : Etale R' R''
Q : Ideal R''
inst✝³ : Q.IsPrime
inst✝² : Q.LiesOver P
n : ℕ
e' : Fin (n + 1 + 1) → R'' ⊗[R] S
he' : CompleteOrthogonalIdempotents e'
he'0 : e' 0 = (TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)) e
Q' : Fin n → Ideal (R'' ⊗[R] S)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).IsPrime
inst✝ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).LiesOver Q
hPQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ P Q (ofId R' R'') ⋯)
hQ' : ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ Q' i
H' :
  ∀ (P'' : Ideal (R'' ⊗[R] S)),
    e' 0 ∈ P'' →
      P''.IsPrime → P''.LiesOver Q → e' (Fin.last (n + 1)) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ P'' → P'' = Q' i
φ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] R'' ⊗[R] S := TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)
this✝¹ : Q.LiesOver p
hpQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R R'') ⋯)
P'φ : ↑(Q.primesOver (R'' ⊗[R] S)) :=
  (Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpQ).symm ((Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpP) ⟨P', ⋯⟩)
this✝ : (↑P'φ).LiesOver P
this : (Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ).LiesOver P
hP'φ : Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ = P'
⊢ ∀ (i : Fin n), (Fin.cons (↑P'φ) Q' i.succ).IsPrime

case refine_3
R : Type u
S : Type (max u v)
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝¹⁶ : p.IsPrime
q : Ideal S
R' : Type u
inst✝¹⁵ : CommRing R'
inst✝¹⁴ : Algebra R R'
inst✝¹³ : Etale R R'
P : Ideal R'
inst✝¹² : P.IsPrime
inst✝¹¹ : P.LiesOver p
e : R' ⊗[R] S
P' : Ideal (R' ⊗[R] S)
inst✝¹⁰ : P'.IsPrime
inst✝⁹ : P'.LiesOver P
hP'q : Ideal.comap TensorProduct.includeRight.toRingHom P' = q
heP' : e ∉ P'
hpP : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯)
H : ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
R'' : Type u
inst✝⁸ : CommRing R''
inst✝⁷ : Algebra R' R''
inst✝⁶ : Algebra R R''
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' R''
inst✝⁴ : Etale R' R''
Q : Ideal R''
inst✝³ : Q.IsPrime
inst✝² : Q.LiesOver P
n : ℕ
e' : Fin (n + 1 + 1) → R'' ⊗[R] S
he' : CompleteOrthogonalIdempotents e'
he'0 : e' 0 = (TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)) e
Q' : Fin n → Ideal (R'' ⊗[R] S)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).IsPrime
inst✝ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).LiesOver Q
hPQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ P Q (ofId R' R'') ⋯)
hQ' : ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ Q' i
H' :
  ∀ (P'' : Ideal (R'' ⊗[R] S)),
    e' 0 ∈ P'' →
      P''.IsPrime → P''.LiesOver Q → e' (Fin.last (n + 1)) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ P'' → P'' = Q' i
φ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] R'' ⊗[R] S := TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)
this✝¹ : Q.LiesOver p
hpQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R R'') ⋯)
P'φ : ↑(Q.primesOver (R'' ⊗[R] S)) :=
  (Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpQ).symm ((Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpP) ⟨P', ⋯⟩)
this✝ : (↑P'φ).LiesOver P
this : (Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ).LiesOver P
hP'φ : Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ = P'
⊢ ∀ (i : Fin n), (Fin.cons (↑P'φ) Q' i.succ).LiesOver Q

case refine_4
R : Type u
S : Type (max u v)
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝¹⁶ : p.IsPrime
q : Ideal S
R' : Type u
inst✝¹⁵ : CommRing R'
inst✝¹⁴ : Algebra R R'
inst✝¹³ : Etale R R'
P : Ideal R'
inst✝¹² : P.IsPrime
inst✝¹¹ : P.LiesOver p
e : R' ⊗[R] S
P' : Ideal (R' ⊗[R] S)
inst✝¹⁰ : P'.IsPrime
inst✝⁹ : P'.LiesOver P
hP'q : Ideal.comap TensorProduct.includeRight.toRingHom P' = q
heP' : e ∉ P'
hpP : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯)
H : ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
R'' : Type u
inst✝⁸ : CommRing R''
inst✝⁷ : Algebra R' R''
inst✝⁶ : Algebra R R''
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' R''
inst✝⁴ : Etale R' R''
Q : Ideal R''
inst✝³ : Q.IsPrime
inst✝² : Q.LiesOver P
n : ℕ
e' : Fin (n + 1 + 1) → R'' ⊗[R] S
he' : CompleteOrthogonalIdempotents e'
he'0 : e' 0 = (TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)) e
Q' : Fin n → Ideal (R'' ⊗[R] S)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).IsPrime
inst✝ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).LiesOver Q
hPQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ P Q (ofId R' R'') ⋯)
hQ' : ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ Q' i
H' :
  ∀ (P'' : Ideal (R'' ⊗[R] S)),
    e' 0 ∈ P'' →
      P''.IsPrime → P''.LiesOver Q → e' (Fin.last (n + 1)) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ P'' → P'' = Q' i
φ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] R'' ⊗[R] S := TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)
this✝¹ : Q.LiesOver p
hpQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R R'') ⋯)
P'φ : ↑(Q.primesOver (R'' ⊗[R] S)) :=
  (Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpQ).symm ((Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpP) ⟨P', ⋯⟩)
this✝ : (↑P'φ).LiesOver P
this : (Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ).LiesOver P
hP'φ : Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ = P'
⊢ e' (Fin.castSucc 0) ∉ Fin.cons (↑P'φ) Q' 0

case refine_5
R : Type u
S : Type (max u v)
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝¹⁶ : p.IsPrime
q : Ideal S
R' : Type u
inst✝¹⁵ : CommRing R'
inst✝¹⁴ : Algebra R R'
inst✝¹³ : Etale R R'
P : Ideal R'
inst✝¹² : P.IsPrime
inst✝¹¹ : P.LiesOver p
e : R' ⊗[R] S
P' : Ideal (R' ⊗[R] S)
inst✝¹⁰ : P'.IsPrime
inst✝⁹ : P'.LiesOver P
hP'q : Ideal.comap TensorProduct.includeRight.toRingHom P' = q
heP' : e ∉ P'
hpP : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯)
H : ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
R'' : Type u
inst✝⁸ : CommRing R''
inst✝⁷ : Algebra R' R''
inst✝⁶ : Algebra R R''
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' R''
inst✝⁴ : Etale R' R''
Q : Ideal R''
inst✝³ : Q.IsPrime
inst✝² : Q.LiesOver P
n : ℕ
e' : Fin (n + 1 + 1) → R'' ⊗[R] S
he' : CompleteOrthogonalIdempotents e'
he'0 : e' 0 = (TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)) e
Q' : Fin n → Ideal (R'' ⊗[R] S)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).IsPrime
inst✝ : ∀ (i : Fin n), (Q' i).LiesOver Q
hPQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ P Q (ofId R' R'') ⋯)
hQ' : ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ Q' i
H' :
  ∀ (P'' : Ideal (R'' ⊗[R] S)),
    e' 0 ∈ P'' →
      P''.IsPrime → P''.LiesOver Q → e' (Fin.last (n + 1)) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ P'' → P'' = Q' i
φ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] R'' ⊗[R] S := TensorProduct.map (ofId R' R'') (AlgHom.id R S)
this✝¹ : Q.LiesOver p
hpQ : Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R R'') ⋯)
P'φ : ↑(Q.primesOver (R'' ⊗[R] S)) :=
  (Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpQ).symm ((Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hpP) ⟨P', ⋯⟩)
this✝ : (↑P'φ).LiesOver P
this : (Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ).LiesOver P
hP'φ : Ideal.comap φ.toRingHom ↑P'φ = P'
⊢ ∀ (i : Fin n), e' i.succ.castSucc ∉ Fin.cons (↑P'φ) Q' i.succ