mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.AlexandrovDiscrete

Goal state before:
pp: α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
f : β → α
h : IsInducing f
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen[inst✝¹] s
⊢ IsOpen[inst✝¹] (⋂₀ S)

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
f : β → α
h : IsInducing f
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen[inst✝¹] s
⊢ IsOpen[inst✝¹] (⋂₀ S)
Module: Mathlib.Topology.AlexandrovDiscrete

Goal state before:
pp: α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
f : β → α
h : IsInducing f
S : Set (Set β)
U : (s : Set β) → s ∈ S → Set α
hU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), IsOpen[inst✝²] (U s a)
htU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), f ⁻¹' U s a = s
⊢ f ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (j : i ∈ S), U i j = ⋂₀ S

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
f : β → α
h : IsInducing f
S : Set (Set β)
U : (s : Set β) → s ∈ S → Set α
hU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), IsOpen[inst✝²] (U s a)
htU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), f ⁻¹' U s a = s
⊢ f ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (j : i ∈ S), U i j = ⋂₀ S
Module: Mathlib.Topology.AlexandrovDiscrete

Goal state before:
pp: ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α
a : α
⊢ AlexandrovDiscrete (α × β)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α
a : α
⊢ AlexandrovDiscrete (α × β)
Module: Mathlib.Topology.AlexandrovDiscrete

Goal state before:
pp: ι✝ : Sort u_1
κ : ι✝ → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : AlexandrovDiscrete α
inst✝³ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α
a : α
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
X : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : ∀ (i : ι), AlexandrovDiscrete (X i)
⊢ AlexandrovDiscrete ((i : ι) → X i)

Tactic:
[

Goal state after:
ι✝ : Sort u_1
κ : ι✝ → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : AlexandrovDiscrete α
inst✝³ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α
a : α
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
X : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : ∀ (i : ι), AlexandrovDiscrete (X i)
⊢ AlexandrovDiscrete ((i : ι) → X i)
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
F : Set X
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace X
hF : IsOpen[inst✝¹] F
x : X
⊢ IsOpen[inst✝¹] (pathComponentIn F x)

Tactic:
by
  rw [isOpen_iff_mem_nhds]
  intro y hy
  let ⟨s, hs⟩ := (path_connected_basis y).mem_iff.mp (hF.mem_nhds (pathComponentIn_subset hy))
  exact mem_of_superset hs.1.1 <| pathComponentIn_congr hy ▸
    hs.1.2.subset_pathComponentIn (mem_of_mem_nhds hs.1.1) hs.2

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace X
x y : X
hxy : y ∈ (pathComponent x)ᶜ
⊢ (pathComponent x)ᶜ ∈ 𝓝 y

Tactic:
rcases (path_connected_basis y).ex_mem with ⟨V, hVy, hVc⟩

Goal state after:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace X
x y : X
hxy : y ∈ (pathComponent x)ᶜ
V : Set X
hVy : V ∈ 𝓝 y
hVc : IsPathConnected V
⊢ (pathComponent x)ᶜ ∈ 𝓝 y
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: X : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ (∀ (x : X) (u : Set X), IsOpen[inst✝] u → IsOpen[inst✝] (pathComponentIn u x)) ↔
    ∀ (x : X) (u : Set X), IsOpen[inst✝] u → x ∈ u → pathComponentIn u x ∈ 𝓝 x

Tactic:
[

Goal state after:
X : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ (∀ (x : X) (u : Set X), IsOpen[inst✝] u → IsOpen[inst✝] (pathComponentIn u x)) ↔
    ∀ (x : X) (u : Set X), IsOpen[inst✝] u → x ∈ u → pathComponentIn u x ∈ 𝓝 x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
ι : Type u_8
t : Finset ι
p : ι → E
w : ι → R
hw₂ : ∑ i ∈ t, w i = 1
⊢ ∑ i ∈ t, w i • (p i -ᵥ 0) = ∑ i ∈ t, w i • p i

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
ι : Type u_8
t : Finset ι
p : ι → E
w : ι → R
hw₂ : ∑ i ∈ t, w i = 1
⊢ ∑ i ∈ t, w i • (p i -ᵥ 0) = ∑ i ∈ t, w i • p i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
hms : (s.weightedVSub p) wm = 0
hwm : ∑ i ∈ s, wm i = 0
hwmi : wm i = -1
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ wm ↑x
⊢ ∑ x ∈ s', w' x = 1

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
hms : (s.weightedVSub p) wm = 0
hwm : ∑ i ∈ s, wm i = 0
hwmi : wm i = -1
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ wm ↑x
⊢ ∑ x ∈ s', w' x = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
⊢ ∑ x ∈ s', w' x = 0

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
⊢ ∑ x ∈ s', w' x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 0
⊢ (s'.weightedVSub p') w' = 0

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 0
⊢ (s'.weightedVSub p') w' = 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i ↦ (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
⊢ (affineCombination R (s ∪ s') v) W = a • (affineCombination R s v) w + b • (affineCombination R s' v) w'

Tactic:
[

Goal state after:
case refine_2.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i ↦ (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
⊢ (affineCombination R (s ∪ s') v) W = a • (affineCombination R s v) w + b • (affineCombination R s' v) w'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∉ s
ha : AffineIndependent k fun x ↦ ![p₁, p₂, p₃] ↑x
h : ![p₁, p₂, p₃] 2 ∈ affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2})
⊢ affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2}) ≤ s

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∉ s
ha : AffineIndependent k fun x ↦ ![p₁, p₂, p₃] ↑x
h : ![p₁, p₂, p₃] 2 ∈ affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2})
⊢ affineSpan k (![p₁, p₂, p₃] '' {x | x ≠ 2}) ≤ s
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.LocallyConvex

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : Field 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed[inst✝³] t
this✝¹ : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this✝ : IsUniformAddGroup E
this : (uniformity E).HasBasis (fun s ↦ 0 ∈ s ∧ IsOpen[inst✝³] s ∧ Convex 𝕜 s) fun i ↦ (fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id i
V : Set E
hV :
  Disjoint (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
    (⋃ x ∈ t, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
hV0 : 0 ∈ V
hVopen : IsOpen[inst✝³] V
hVconvex : Convex 𝕜 V
⊢ Disjoint (s + V) (t + V)

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : Field 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed[inst✝³] t
this✝¹ : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this✝ : IsUniformAddGroup E
this : (uniformity E).HasBasis (fun s ↦ 0 ∈ s ∧ IsOpen[inst✝³] s ∧ Convex 𝕜 s) fun i ↦ (fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id i
V : Set E
hV :
  Disjoint (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
    (⋃ x ∈ t, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
hV0 : 0 ∈ V
hVopen : IsOpen[inst✝³] V
hVconvex : Convex 𝕜 V
⊢ Disjoint (s + V) (t + V)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.LocallyConvex

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : Field 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed[inst✝³] t
this✝¹ : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this✝ : IsUniformAddGroup E
this : (uniformity E).HasBasis (fun s ↦ 0 ∈ s ∧ IsOpen[inst✝³] s ∧ Convex 𝕜 s) fun i ↦ (fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id i
V : Set E
hV :
  Disjoint (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
    (⋃ x ∈ t, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
hV0 : 0 ∈ V
hVopen : IsOpen[inst✝³] V
hVconvex : Convex 𝕜 V
⊢ Disjoint (⋃ a ∈ s, (fun x ↦ -a + x) ⁻¹' V) (⋃ a ∈ t, (fun x ↦ -a + x) ⁻¹' V)

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : Field 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s t : Set E
disj : Disjoint s t
hs₁ : Convex 𝕜 s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex 𝕜 t
ht₂ : IsClosed[inst✝³] t
this✝¹ : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this✝ : IsUniformAddGroup E
this : (uniformity E).HasBasis (fun s ↦ 0 ∈ s ∧ IsOpen[inst✝³] s ∧ Convex 𝕜 s) fun i ↦ (fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id i
V : Set E
hV :
  Disjoint (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
    (⋃ x ∈ t, UniformSpace.ball x ((fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' id V))
hV0 : 0 ∈ V
hVopen : IsOpen[inst✝³] V
hVconvex : Convex 𝕜 V
⊢ Disjoint (⋃ a ∈ s, (fun x ↦ -a + x) ⁻¹' V) (⋃ a ∈ t, (fun x ↦ -a + x) ⁻¹' V)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.LocallyConvex

Goal state before:
pp: E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x₀ : E
hx₀s : x₀ ∈ s
p : E → Prop
h : ∃ i, (i ∈ 𝓝 x₀ ∧ Convex 𝕜 i) ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ id i → x ∈ s → p x
⊢ ∃ i, (i ∈ 𝓝 x₀ ∧ Convex 𝕜 i) ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ id i → x ∈ s → ∀ y ∈ [x₀ -[𝕜] x], p y

Tactic:
obtain ⟨u, ⟨hu_nhds, hu_convex⟩, h⟩ := h

Goal state after:
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x₀ : E
hx₀s : x₀ ∈ s
p : E → Prop
u : Set E
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ id u → x ∈ s → p x
hu_nhds : u ∈ 𝓝 x₀
hu_convex : Convex 𝕜 u
⊢ ∃ i, (i ∈ 𝓝 x₀ ∧ Convex 𝕜 i) ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ id i → x ∈ s → ∀ y ∈ [x₀ -[𝕜] x], p y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
x : E
w : E → R
hw : ∑ y ∈ s, w y = 1
⊢ s.centerMass w id = x ↔ ∑ y ∈ s, w y • y = x

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
x : E
w : E → R
hw : ∑ y ∈ s, w y = 1
⊢ s.centerMass w id = x ↔ ∑ y ∈ s, w y • y = x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Convex

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx : ¬x = 0
⊢ IsConnected {y | SameRay ℝ x y}

Tactic:
[

Goal state after:
case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx : ¬x = 0
⊢ IsConnected {y | SameRay ℝ x y}
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Convex

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ IsConnected {y | SameRay ℝ x y ∧ y ≠ 0}

Tactic:
[

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ IsConnected {y | SameRay ℝ x y ∧ y ≠ 0}
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case fst
R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i, v i • g i = y
h_sum : ∑ i, w i.1 * v i.2 = 1
⊢ (∑ x, (w x.1 * v x.2) • (f x.1, g x.2)).1 = x

Tactic:
[

Goal state after:
case fst
R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i, v i • g i = y
h_sum : ∑ i, w i.1 * v i.2 = 1
⊢ (∑ x, (w x.1 * v x.2) • (f x.1, g x.2)).1 = x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case snd
R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i, v i • g i = y
h_sum : ∑ i, w i.1 * v i.2 = 1
⊢ (∑ x, (w x.1 * v x.2) • (f x.1, g x.2)).2 = y

Tactic:
[

Goal state after:
case snd
R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i, v i • g i = y
h_sum : ∑ i, w i.1 * v i.2 = 1
⊢ (∑ x, (w x.1 * v x.2) • (f x.1, g x.2)).2 = y
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.UniformConvergence

Goal state before:
pp: case hsmul
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : IsUniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : IsInducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : IsTopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x ↦ x ∈ 𝓝 0) fun V ↦ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}
⊢ ∀ {i : Set E}, i ∈ 𝓝 0 → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j ∈ 𝓝 0, V • {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ j} ⊆ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ i}

Tactic:
intro U hU
    have : Tendsto (fun x : 𝕜 × E ↦ x.1 • x.2) (𝓝 0) (𝓝 0) :=
      continuous_smul.tendsto' _ _ (zero_smul _ _)
    rcases ((Filter.basis_sets _).prod_nhds (Filter.basis_sets _)).tendsto_left_iff.1 this U hU
      with ⟨⟨V, W⟩, ⟨hV, hW⟩, hVW⟩
    refine ⟨V, hV, W, hW, Set.smul_subset_iff.2 fun a ha u hu x ↦ ?_⟩
    rw [map_smul]
    exact hVW (Set.mk_mem_prod ha (hu x))

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t : Set E
⊢ (convexHull R) (s + t) = (convexHull R) s + (convexHull R) t

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t : Set E
⊢ (convexHull R) (s + t) = (convexHull R) s + (convexHull R) t
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t : Set E
⊢ (convexHull R) (s - t) = (convexHull R) s - (convexHull R) t

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t : Set E
⊢ (convexHull R) (s - t) = (convexHull R) s - (convexHull R) t
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}
⊢ x ∈ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s ⇑b) w = x}

Tactic:
have hx' : x ∈ affineSpan R (range b) := by
      rw [b.tot]
      exact AffineSubspace.mem_top R E x

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}
hx' : x ∈ affineSpan R (Set.range ⇑b)
⊢ x ∈ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s ⇑b) w = x}
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
⊢ (convexHull R) ↑t₁ ∩ (convexHull R) ↑t₂ ⊆ (convexHull R) (↑t₁ ⊓ ↑t₂)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
⊢ (convexHull R) ↑t₁ ∩ (convexHull R) ↑t₂ ⊆ (convexHull R) (↑t₁ ⊓ ↑t₂)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 • f i i_1 = x i
i : ι
⊢ ∑ j, ∑ g, (∏ k, w k (↑g k)) • f i (↑g i) = ∑ j, (∑ g, ∏ k, w k (↑g k)) • f i j

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 • f i i_1 = x i
i : ι
⊢ ∑ j, ∑ g, (∏ k, w k (↑g k)) • f i (↑g i) = ∑ j, (∑ g, ∏ k, w k (↑g k)) • f i j