mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (↑f).range G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : (↑f).ker = ⊥
⊢ (↑(f.coprod G.subtypeL)).range = ⊤

Tactic:
simp [LinearMap.range_coprod, h.sup_eq_top]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr.inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
hp : Fact (1 ≤ ∞)
__spread✝⁻⁰ : WithLp ∞ (α × β) ≃ α := (WithLp.equiv ∞ (α × β)).trans (Equiv.prodUnique α β)
x y : WithLp ∞ (α × β)
⊢ edist x.fst y.fst = edist x y

Tactic:
[

Goal state after:
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
hp : Fact (1 ≤ ∞)
__spread✝⁻⁰ : WithLp ∞ (α × β) ≃ α := (WithLp.equiv ∞ (α × β)).trans (Equiv.prodUnique α β)
x y : WithLp ∞ (α × β)
⊢ edist x.fst y.fst = edist x y
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
x y : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist x.fst y.fst = edist x y

Tactic:
[

Goal state after:
case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
x y : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist x.fst y.fst = edist x y
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp p β
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ p ≠ ∞

Tactic:
intro hp

Goal state after:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp p β
h : 1 ≤ p.toReal
hp : p = ∞
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp p β
i : ι
⊢ ‖x.ofLp i‖₊ ≤ ‖x‖₊

Tactic:
simpa using nndist_apply_le x 0 i

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x
φ : ℕ → E × F
x : E
y : F
hφg : ∀ (n : ℕ), φ n ∈ ↑g.graph
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 (x, y))
this : ⇑g ∘ Prod.fst ∘ φ = Prod.snd ∘ φ
⊢ Tendsto (⇑g ∘ Prod.fst ∘ φ) atTop (𝓝 y)

Tactic:
this

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x
φ : ℕ → E × F
x : E
y : F
hφg : ∀ (n : ℕ), φ n ∈ ↑g.graph
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 (x, y))
this : ⇑g ∘ Prod.fst ∘ φ = Prod.snd ∘ φ
⊢ Tendsto (Prod.snd ∘ φ) atTop (𝓝 y)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 1 β
⊢ dist x y = ∑ i, dist (x.ofLp i) (y.ofLp i)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 1 β
⊢ dist x y = ∑ i, dist (x.ofLp i) (y.ofLp i)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 2 β
⊢ dist x y = √(∑ i, dist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ^ 2)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 2 β
⊢ dist x y = √(∑ i, dist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ^ 2)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 2 β
⊢ dist x y ^ 2 = ∑ i, dist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ^ 2

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 2 β
⊢ dist x y ^ 2 = ∑ i, dist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsBoundedSMul 𝕜 (β i)
c : 𝕜
f : PiLp p β
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ ∑ i, ‖(c • f).ofLp i‖₊ ^ p.toReal ≤ ∑ i, ‖c‖₊ ^ p.toReal * ‖f.ofLp i‖₊ ^ p.toReal

Tactic:
[

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsBoundedSMul 𝕜 (β i)
c : 𝕜
f : PiLp p β
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ ∑ i, ‖(c • f).ofLp i‖₊ ^ p.toReal ≤ ∑ i, ‖c‖₊ ^ p.toReal * ‖f.ofLp i‖₊ ^ p.toReal
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.OfBasis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
b : Basis ι ℝ E
x : E
⊢ x ∈ parallelepiped ⇑b ↔ x ∈ {x | ∀ (i : ι), (b.repr x) i ∈ Icc 0 1}

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
b : Basis ι ℝ E
x : E
⊢ x ∈ parallelepiped ⇑b ↔ x ∈ {x | ∀ (i : ι), (b.repr x) i ∈ Icc 0 1}
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NormSMulClass 𝕜 (β i)
c : 𝕜
f : PiLp p β
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ ∑ i, ‖(c • f).ofLp i‖₊ ^ p.toReal = ∑ i, ‖c‖₊ ^ p.toReal * ‖f.ofLp i‖₊ ^ p.toReal

Tactic:
[

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NormSMulClass 𝕜 (β i)
c : 𝕜
f : PiLp p β
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ ∑ i, ‖(c • f).ofLp i‖₊ ^ p.toReal = ∑ i, ‖c‖₊ ^ p.toReal * ‖f.ofLp i‖₊ ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝³ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι' : Type u_5
inst✝² : Fintype ι'
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
hp : Fact (1 ≤ ∞)
__LinearEquiv✝ : (PiLp ∞ fun x ↦ E) ≃ₗ[𝕜] PiLp ∞ fun x ↦ E :=
  WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 (ι → E) ≪≫ₗ
    (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x ↦ E) e ≪≫ₗ (WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 (ι' → E)).symm)
x' : PiLp ∞ fun x ↦ E
⊢ ‖(WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 (ι → E) ≪≫ₗ
          (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x ↦ E) e ≪≫ₗ (WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 (ι' → E)).symm))
        x'‖ =
    ‖x'‖

Tactic:
[

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝³ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι' : Type u_5
inst✝² : Fintype ι'
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
hp : Fact (1 ≤ ∞)
__LinearEquiv✝ : (PiLp ∞ fun x ↦ E) ≃ₗ[𝕜] PiLp ∞ fun x ↦ E :=
  WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 (ι → E) ≪≫ₗ
    (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x ↦ E) e ≪≫ₗ (WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 (ι' → E)).symm)
x' : PiLp ∞ fun x ↦ E
⊢ ‖(WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 (ι → E) ≪≫ₗ
          (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x ↦ E) e ≪≫ₗ (WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 (ι' → E)).symm))
        x'‖ =
    ‖x'‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.OfBasis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a ↦ ℝ) e
this✝ : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
x : E
this : ∀ (z : ι' → ℝ), ∑ i, z (e.symm i) • v (e (e.symm i)) = ∑ i, z i • v (e i)
⊢ x ∈ (fun t ↦ ∑ i, t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 ↔ x ∈ (fun t ↦ ∑ i, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a ↦ ℝ) e
this✝ : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
x : E
this : ∀ (z : ι' → ℝ), ∑ i, z (e.symm i) • v (e (e.symm i)) = ∑ i, z i • v (e i)
⊢ x ∈ (fun t ↦ ∑ i, t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 ↔ x ∈ (fun t ↦ ∑ i, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.OfBasis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a ↦ ℝ) e
this✝ : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
x : E
this : ∀ (z : ι' → ℝ), ∑ x, z (e.symm x) • v x = ∑ i, z i • v (e i)
⊢ x ∈ (fun t ↦ ∑ i, t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 ↔ x ∈ (fun t ↦ ∑ i, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a ↦ ℝ) e
this✝ : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
x : E
this : ∀ (z : ι' → ℝ), ∑ x, z (e.symm x) • v x = ∑ i, z i • v (e i)
⊢ x ∈ (fun t ↦ ∑ i, t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 ↔ x ∈ (fun t ↦ ∑ i, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
e : (i : ι) → α i ≃ₗᵢ[𝕜] β i
x : (i : ι) → α i
hp : Fact (1 ≤ ∞)
__LinearEquiv✝ : PiLp ∞ α ≃ₗ[𝕜] PiLp ∞ β :=
  (WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 ((i : ι) → α i) ≪≫ₗ LinearEquiv.piCongrRight fun i ↦ (e i).toLinearEquiv) ≪≫ₗ
    (WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 ((i : ι) → β i)).symm
⊢ ‖toLp ∞ ((LinearEquiv.piCongrRight fun i ↦ (e i).toLinearEquiv) x)‖ = ‖toLp ∞ x‖

Tactic:
[

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
e : (i : ι) → α i ≃ₗᵢ[𝕜] β i
x : (i : ι) → α i
hp : Fact (1 ≤ ∞)
__LinearEquiv✝ : PiLp ∞ α ≃ₗ[𝕜] PiLp ∞ β :=
  (WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 ((i : ι) → α i) ≪≫ₗ LinearEquiv.piCongrRight fun i ↦ (e i).toLinearEquiv) ≪≫ₗ
    (WithLp.linearEquiv ∞ 𝕜 ((i : ι) → β i)).symm
⊢ ‖toLp ∞ ((LinearEquiv.piCongrRight fun i ↦ (e i).toLinearEquiv) x)‖ = ‖toLp ∞ x‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.OfBasis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a ↦ ℝ) e
this✝ : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
x : E
this : ∀ (z : ι' → ℝ), ∑ x, z (e.symm x) • v x = ∑ i, z i • v (e i)
⊢ (∃ x_1, (0 ≤ x_1 ∧ x_1 ≤ 1) ∧ ∑ x, x_1 x • v (e x) = x) ↔ ∃ x_1, (0 ≤ x_1 ∧ x_1 ≤ 1) ∧ ∑ x, x_1 (e.symm x) • v x = x

Tactic:
this

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Basic

Goal state before:
pp: a : ℝ
h : a ≠ 0
| ofReal |a⁻¹ * a| • Measure.map (fun x ↦ a * x) volume

Tactic:
inv_mul_cancel₀ h,

Goal state after:
a : ℝ
h : a ≠ 0
| ofReal |1| • Measure.map (fun x ↦ a * x) volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.OfBasis

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
e : ι ≃ Fin 1
B : parallelepiped ⇑(b.reindex e) = parallelepiped ⇑b
F : ℝ → Fin 1 → ℝ := ⋯
A : Icc 0 1 = F '' Icc 0 1
H : ⇑(b.reindex e) = fun x ↦ 1
⊢ parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc 0 1

Tactic:
[

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
e : ι ≃ Fin 1
B : parallelepiped ⇑(b.reindex e) = parallelepiped ⇑b
F : ℝ → Fin 1 → ℝ := ⋯
A : Icc 0 1 = F '' Icc 0 1
H : ⇑(b.reindex e) = fun x ↦ 1
⊢ parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc 0 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
hp : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (α✝ i)
inst✝⁷ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁶ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (α✝ i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι : Type u_5
κ : ι → Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : Fact (1 ≤ p)
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → Fintype (κ i)
α : (i : ι) → κ i → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → (k : κ i) → SeminormedAddCommGroup (α i k)
inst✝ : (i : ι) → (k : κ i) → Module 𝕜 (α i k)
x : (i : Sigma κ) → (fun i ↦ α i.fst i.snd) i
⊢ ‖((WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : Sigma κ) → α i.fst i.snd) ≪≫ₗ LinearEquiv.piCurry 𝕜 α ≪≫ₗ
            LinearEquiv.piCongrRight fun x ↦ (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((j : κ x) → α x j)).symm) ≪≫ₗ
          (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → WithLp p ((j : κ i) → α i j))).symm)
        ((WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : Sigma κ) → α i.fst i.snd)).symm x)‖ =
    ‖(WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : Sigma κ) → α i.fst i.snd)).symm x‖

Tactic:
[

Goal state after:
p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
hp : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (α✝ i)
inst✝⁷ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁶ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (α✝ i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι : Type u_5
κ : ι → Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : Fact (1 ≤ p)
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → Fintype (κ i)
α : (i : ι) → κ i → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → (k : κ i) → SeminormedAddCommGroup (α i k)
inst✝ : (i : ι) → (k : κ i) → Module 𝕜 (α i k)
x : (i : Sigma κ) → (fun i ↦ α i.fst i.snd) i
⊢ ‖((WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : Sigma κ) → α i.fst i.snd) ≪≫ₗ LinearEquiv.piCurry 𝕜 α ≪≫ₗ
            LinearEquiv.piCongrRight fun x ↦ (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((j : κ x) → α x j)).symm) ≪≫ₗ
          (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → WithLp p ((j : κ i) → α i j))).symm)
        ((WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : Sigma κ) → α i.fst i.snd)).symm x)‖ =
    ‖(WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : Sigma κ) → α i.fst i.snd)).symm x‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.OfBasis

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
e : ι ≃ Fin 1
B : parallelepiped ⇑(b.reindex e) = parallelepiped ⇑b
F : ℝ → Fin 1 → ℝ := ⋯
A : Icc 0 1 = F '' Icc 0 1
H : ⇑(b.reindex e) = fun x ↦ -1
⊢ parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc (-1) 0

Tactic:
[

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
e : ι ≃ Fin 1
B : parallelepiped ⇑(b.reindex e) = parallelepiped ⇑b
F : ℝ → Fin 1 → ℝ := ⋯
A : Icc 0 1 = F '' Icc 0 1
H : ⇑(b.reindex e) = fun x ↦ -1
⊢ parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc (-1) 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.OfBasis

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
v g : ι → E
t : {i : ι} → ℝ
ht : ∀ {i : ι}, t ∈ Icc 0 1
hg : ∀ {i : ι}, (fun a ↦ a • v i) t = g i
⊢ ∑ i, g i = ∑ i, t • v i

Tactic:
[

Goal state after:
case mpr
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
v g : ι → E
t : {i : ι} → ℝ
ht : ∀ {i : ι}, t ∈ Icc 0 1
hg : ∀ {i : ι}, (fun a ↦ a • v i) t = g i
⊢ ∑ i, g i = ∑ i, t • v i
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.OfBasis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
v : ι → E
⊢ parallelepiped v = (convexHull ℝ) (∑ i, {0, v i})

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
v : ι → E
⊢ parallelepiped v = (convexHull ℝ) (∑ i, {0, v i})
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.OfBasis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a x : ι → ℝ
⊢ (x ∈ parallelepiped fun i ↦ Pi.single i (a i)) ↔ x ∈ uIcc 0 a

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a x : ι → ℝ
⊢ (x ∈ parallelepiped fun i ↦ Pi.single i (a i)) ↔ x ∈ uIcc 0 a
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.OfBasis

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a t : ι → ℝ
i : ι
ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1
⊢ min 0 (a i) ≤ (t • a) i ∧ (t • a) i ≤ max 0 (a i)

Tactic:
[

Goal state after:
case mp
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a t : ι → ℝ
i : ι
ht : 0 ≤ t i ∧ t i ≤ 1
⊢ min 0 (a i) ≤ (t • a) i ∧ (t • a) i ≤ max 0 (a i)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
⊢ MeasurePreserving (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume volume

Tactic:
have ht : Measurable (toLin' t.toMatrix) :=
    (toLin' t.toMatrix).continuous_of_finiteDimensional.measurable

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
⊢ MeasurePreserving (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h2s : MeasurableSet (univ.pi s)
⊢ (Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume) (univ.pi s) = ∏ x, volume (s x)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h2s : MeasurableSet (univ.pi s)
⊢ (Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume) (univ.pi s) = ∏ x, volume (s x)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (α✝ i)
inst✝⁷ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁶ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (α✝ i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι : Type u_5
κ : Type u_6
p : ℝ≥0∞
α : ι ⊕ κ → Type u_7
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : Fintype κ
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι ⊕ κ) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝ : (i : ι ⊕ κ) → Module 𝕜 (α i)
x : (i : ι ⊕ κ) → α i
hp : 1 ≤ p.toReal
this : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ ‖(WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i) ≪≫ₗ LinearEquiv.sumPiEquivProdPi 𝕜 ι κ α ≪≫ₗ
            (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((s : ι) → α (Sum.inl s))).symm.prodCongr
              (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((t : κ) → α (Sum.inr t))).symm ≪≫ₗ
          (WithLp.linearEquiv p 𝕜 (WithLp p ((s : ι) → α (Sum.inl s)) × WithLp p ((t : κ) → α (Sum.inr t)))).symm)
        ((WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i)).symm x)‖ =
    ‖(WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i)).symm x‖

Tactic:
[

Goal state after:
case inr
p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (α✝ i)
inst✝⁷ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁶ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (α✝ i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι : Type u_5
κ : Type u_6
p : ℝ≥0∞
α : ι ⊕ κ → Type u_7
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : Fintype κ
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι ⊕ κ) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝ : (i : ι ⊕ κ) → Module 𝕜 (α i)
x : (i : ι ⊕ κ) → α i
hp : 1 ≤ p.toReal
this : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ ‖(WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i) ≪≫ₗ LinearEquiv.sumPiEquivProdPi 𝕜 ι κ α ≪≫ₗ
            (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((s : ι) → α (Sum.inl s))).symm.prodCongr
              (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((t : κ) → α (Sum.inr t))).symm ≪≫ₗ
          (WithLp.linearEquiv p 𝕜 (WithLp p ((s : ι) → α (Sum.inl s)) × WithLp p ((t : κ) → α (Sum.inr t)))).symm)
        ((WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i)).symm x)‖ =
    ‖(WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i)).symm x‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h2s : MeasurableSet (univ.pi s)
⊢ (∫⋯∫⁻_{t.i}, fun a ↦ (univ.pi s).indicator 1 ((toLin' t.toMatrix) a) ∂fun x ↦ volume) =
    ∫⋯∫⁻_{t.i}, (univ.pi s).indicator 1 ∂fun x ↦ volume

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h2s : MeasurableSet (univ.pi s)
⊢ (∫⋯∫⁻_{t.i}, fun a ↦ (univ.pi s).indicator 1 ((toLin' t.toMatrix) a) ∂fun x ↦ volume) =
    ∫⋯∫⁻_{t.i}, (univ.pi s).indicator 1 ∂fun x ↦ volume
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case top
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
b : β i
this : Nonempty ι
hp : Fact (1 ≤ ∞)
⊢ ‖single ∞ i b‖₊ = ‖b‖₊

Tactic:
[

Goal state after:
case top
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
b : β i
this : Nonempty ι
hp : Fact (1 ≤ ∞)
⊢ ‖single ∞ i b‖₊ = ‖b‖₊
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ∞
b : β
h : 1 ≤ p.toReal
ne_zero : p.toReal ≠ 0
⊢ ‖toLp p (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊

Tactic:
[

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ∞
b : β
h : 1 ≤ p.toReal
ne_zero : p.toReal ≠ 0
⊢ ‖toLp p (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊