mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ∞
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
⊢ HasFiniteIntegral (fun b ↦ (η (a, b)).real (Prod.mk b ⁻¹' s)) (κ a)

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ∞
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
⊢ HasFiniteIntegral (fun b ↦ (η (a, b)).real (Prod.mk b ⁻¹' s)) (κ a)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.MeasurableIntegral

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
hE : CompleteSpace E
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
this : TopologicalSpace.SeparableSpace ↑(range (uncurry f) ∪ {0})
s : ℕ → SimpleFunc (α × β) E := SimpleFunc.approxOn (uncurry f) ⋯ (range (uncurry f) ∪ {0}) 0 ⋯
s' : ℕ → α → SimpleFunc β E := fun n x ↦ (s n).comp (Prod.mk x) ⋯
f' : ℕ → α → E := fun n ↦ {x | Integrable (f x) (κ x)}.indicator fun x ↦ SimpleFunc.integral (κ x) (s' n x)
hf' : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f' n)
x : α
hfx : Integrable (f x) (κ x)
n : ℕ
y : β
⊢ ‖(s' n x) y‖ ≤ ((fun a ↦ ‖f x a‖) + fun a ↦ ‖f x a‖) y

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)
hE : CompleteSpace E
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
this : TopologicalSpace.SeparableSpace ↑(range (uncurry f) ∪ {0})
s : ℕ → SimpleFunc (α × β) E := SimpleFunc.approxOn (uncurry f) ⋯ (range (uncurry f) ∪ {0}) 0 ⋯
s' : ℕ → α → SimpleFunc β E := fun n x ↦ (s n).comp (Prod.mk x) ⋯
f' : ℕ → α → E := fun n ↦ {x | Integrable (f x) (κ x)}.indicator fun x ↦ SimpleFunc.integral (κ x) (s' n x)
hf' : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f' n)
x : α
hfx : Integrable (f x) (κ x)
n : ℕ
y : β
⊢ ‖(s' n x) y‖ ≤ ((fun a ↦ ‖f x a‖) + fun a ↦ ‖f x a‖) y
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
this : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ‖f (b, c)‖ₑ ∂η (a, b) ∂κ a < ∞ ↔
    (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ‖f (x, a)‖ₑ ∂η (a, x) < ∞) ∧
      ∫⁻ (a_1 : β), ‖∫ (y : γ), ‖f (a_1, y)‖ ∂η (a, a_1)‖ₑ ∂κ a < ∞

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
this : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ‖f (b, c)‖ₑ ∂η (a, b) ∂κ a < ∞ ↔
    (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ‖f (x, a)‖ₑ ∂η (a, x) < ∞) ∧
      ∫⁻ (a_1 : β), ‖∫ (y : γ), ‖f (a_1, y)‖ ∂η (a, a_1)‖ₑ ∂κ a < ∞
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
this✝ : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖
this : ∀ {p q r : Prop}, (r → p) → ((r ↔ p ∧ q) ↔ p → (r ↔ q))
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ‖f (b, c)‖ₑ ∂η (a, b) ∂κ a < ∞ ↔
    (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ‖f (x, a)‖ₑ ∂η (a, x) < ∞) ∧
      ∫⁻ (a_1 : β), ENNReal.ofReal (∫⁻ (a : γ), ‖f (a_1, a)‖ₑ ∂η (a, a_1)).toReal ∂κ a < ∞

Tactic:
this

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
this✝ : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖
this : ∀ {p q r : Prop}, (r → p) → ((r ↔ p ∧ q) ↔ p → (r ↔ q))
⊢ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ‖f (x, a)‖ₑ ∂η (a, x) < ∞) →
    (∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ‖f (b, c)‖ₑ ∂η (a, b) ∂κ a < ∞ ↔
      ∫⁻ (a_2 : β), ENNReal.ofReal (∫⁻ (a : γ), ‖f (a_2, a)‖ₑ ∂η (a, a_2)).toReal ∂κ a < ∞)

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
this✝ : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖
this : ∀ {p q r : Prop}, (r → p) → ((r ↔ p ∧ q) ↔ p → (r ↔ q))
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ‖f (b, c)‖ₑ ∂η (a, b) ∂κ a < ∞ → ∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ‖f (x, a)‖ₑ ∂η (a, x) < ∞
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f✝ : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f✝)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f✝)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, (F n) (a, b) = f✝ a b
h_mono : Monotone F
this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, (F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), (F n) (b, c) ∂η (a, b)
h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b ↦ ∫⁻ (c : γ), f' (b, c) ∂η (a, b)
n : ℕ
f f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞
a✝ : Disjoint (Function.support ⇑f) (Function.support ⇑f')
hf_eq : ∫⁻ (a : β × γ), f a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), f (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
hf'_eq : ∫⁻ (a : β × γ), f' a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), f' (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
⊢ ∫⁻ (a : β × γ), (f + f') a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), (f + f') (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a

Tactic:
[

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f✝ : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f✝)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f✝)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, (F n) (a, b) = f✝ a b
h_mono : Monotone F
this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, (F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), (F n) (b, c) ∂η (a, b)
h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b ↦ ∫⁻ (c : γ), f' (b, c) ∂η (a, b)
n : ℕ
f f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞
a✝ : Disjoint (Function.support ⇑f) (Function.support ⇑f')
hf_eq : ∫⁻ (a : β × γ), f a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), f (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
hf'_eq : ∫⁻ (a : β × γ), f' a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), f' (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
⊢ ∫⁻ (a : β × γ), (f + f') a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), (f + f') (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (x : β), ‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖ₑ ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (x : β), ‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖ₑ ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), Measurable fun z ↦ ‖↑↑i z - ↑↑g z‖ₑ
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), ‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖ₑ ∂η (a, x) ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), Measurable fun z ↦ ‖↑↑i z - ↑↑g z‖ₑ
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), ‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖ₑ ∂η (a, x) ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), f bc ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.1 bc.2 ∂(κ ⊗ₖ η) a

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), f bc ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.1 bc.2 ∂(κ ⊗ₖ η) a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ Measurable (Function.uncurry g)

Tactic:
[

Goal state after:
case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ Measurable (Function.uncurry g)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: case pos.h_ind
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
c : E
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s < ∞
⊢ ∫ (z : β × γ), s.indicator (fun x ↦ c) z ∂(κ ⊗ₖ η) a =
    ∫ (x : β), ∫ (y : γ), s.indicator (fun x ↦ c) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

Tactic:
[

Goal state after:
case pos.h_ind
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
c : E
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s < ∞
⊢ ∫ (z : β × γ), s.indicator (fun x ↦ c) z ∂(κ ⊗ₖ η) a =
    ∫ (x : β), ∫ (y : γ), s.indicator (fun x ↦ c) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ Set.univ, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ Set.univ, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in Set.univ ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in Set.univ ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
⊢ κ ⊗ₖ η = Kernel.sum fun n ↦ κ.seq n ⊗ₖ η

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
⊢ κ ⊗ₖ η = Kernel.sum fun n ↦ κ.seq n ⊗ₖ η
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
⊢ κ ⊗ₖ η = Kernel.sum fun n ↦ κ ⊗ₖ η.seq n

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
⊢ κ ⊗ₖ η = Kernel.sum fun n ↦ κ ⊗ₖ η.seq n
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: case pos.h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
f g : β × γ → E
a✝ : Disjoint (support f) (support g)
i_f : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
i_g : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
hf : ∫ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
hg : ∫ (z : β × γ), g z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
⊢ ∫ (z : β × γ), (f + g) z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), (f + g) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

Tactic:
[

Goal state after:
case pos.h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
f g : β × γ → E
a✝ : Disjoint (support f) (support g)
i_f : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
i_g : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
hf : ∫ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
hg : ∫ (z : β × γ), g z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
⊢ ∫ (z : β × γ), (f + g) z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), (f + g) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
⊢ κ ⊗ₖ η = Kernel.sum fun n ↦ Kernel.sum fun m ↦ κ.seq n ⊗ₖ η.seq m

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
⊢ κ ⊗ₖ η = Kernel.sum fun n ↦ Kernel.sum fun m ↦ κ.seq n ⊗ₖ η.seq m
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((Kernel.sum fun n ↦ Kernel.sum fun m ↦ κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) a) s = ∑' (n : ℕ) (m : ℕ), ((κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) a) s

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
⊢ ((Kernel.sum fun n ↦ Kernel.sum fun m ↦ κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) a) s = ∑' (n : ℕ) (m : ℕ), ((κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) a) s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Tilted

Goal state before:
pp: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x ↦ rexp (f x)) μ
⊢ (μ.tilted f) Set.univ = 1

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x ↦ rexp (f x)) μ
⊢ (μ.tilted f) Set.univ = 1
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
ξ : Kernel (α × β × γ) δ
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : IsSFiniteKernel η
hξ : ¬IsSFiniteKernel ξ
h_sfin : IsSFiniteKernel (ξ.comap ⇑MeasurableEquiv.prodAssoc ⋯)
this : ξ = (ξ.comap ⇑MeasurableEquiv.prodAssoc ⋯).comap ⇑MeasurableEquiv.prodAssoc.symm ⋯
⊢ IsSFiniteKernel ξ

Tactic:
this

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
ξ : Kernel (α × β × γ) δ
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : IsSFiniteKernel η
hξ : ¬IsSFiniteKernel ξ
h_sfin : IsSFiniteKernel (ξ.comap ⇑MeasurableEquiv.prodAssoc ⋯)
this : ξ = (ξ.comap ⇑MeasurableEquiv.prodAssoc ⋯).comap ⇑MeasurableEquiv.prodAssoc.symm ⋯
⊢ IsSFiniteKernel ((ξ.comap ⇑MeasurableEquiv.prodAssoc ⋯).comap ⇑MeasurableEquiv.prodAssoc.symm ⋯)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂(η.restrict ht) (a, x) ∂(κ.restrict hs) a =
    ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂(η.restrict ht) (a, x) ∂(κ.restrict hs) a =
    ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ univ) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (z : β × γ) in s ×ˢ univ, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ univ) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (z : β × γ) in s ×ˢ univ, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (univ ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (z : β × γ) in univ ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (univ ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫ (z : β × γ) in univ ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a