mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Coalgebra

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : Coalgebra 𝕜 E
x y : 𝕜
⊢ (adjoint counit) (x * y) = (adjoint counit) x * (adjoint counit) y

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : Coalgebra 𝕜 E
x y : 𝕜
⊢ (adjoint counit) (x * y) = (adjoint counit) x * (adjoint counit) y
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
⊢ T.IsPositive ↔ T.IsSymmetric ∧ ∀ (x : E), 0 ≤ ⟪T x, x⟫

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
⊢ T.IsPositive ↔ T.IsSymmetric ∧ ∀ (x : E), 0 ≤ ⟪T x, x⟫
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Coalgebra

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : Coalgebra 𝕜 E
r : 𝕜
x : E
⊢ (adjoint comul) ((adjoint counit) r ⊗ₜ[𝕜] x) = (adjoint comul) (x ⊗ₜ[𝕜] (adjoint counit) r)

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : Coalgebra 𝕜 E
r : 𝕜
x : E
⊢ (adjoint comul) ((adjoint counit) r ⊗ₜ[𝕜] x) = (adjoint comul) (x ⊗ₜ[𝕜] (adjoint counit) r)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Coalgebra

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : Coalgebra 𝕜 E
r : 𝕜
x : E
⊢ r • x = (adjoint comul) ((adjoint counit) r ⊗ₜ[𝕜] x)

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : Coalgebra 𝕜 E
r : 𝕜
x : E
⊢ r • x = (adjoint comul) ((adjoint counit) r ⊗ₜ[𝕜] x)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ[𝕜] E
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
⊢ (↑f.toLinearEquiv ∘ₗ T ∘ₗ ↑f.symm.toLinearEquiv).IsPositive ↔ T.IsPositive

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ[𝕜] E
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
⊢ (↑f.toLinearEquiv ∘ₗ T ∘ₗ ↑f.symm.toLinearEquiv).IsPositive ↔ T.IsPositive
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
⊢ (Matrix.toEuclideanLin A).IsPositive ↔ A.PosSemidef

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
⊢ (Matrix.toEuclideanLin A).IsPositive ↔ A.PosSemidef
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.ExteriorPower

Goal state before:
pp: n : ℕ
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
x : ↥(⋀[ℝ]^n E)
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : LinearOrder ι
b : OrthonormalBasis ι ℝ E
⊢ (innerProductForm x) x = ∑ s, ((Module.Basis.exteriorPower n b.toBasis).repr x) s ^ 2

Tactic:
[

Goal state after:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
x : ↥(⋀[ℝ]^n E)
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : LinearOrder ι
b : OrthonormalBasis ι ℝ E
⊢ (innerProductForm x) x = ∑ s, ((Module.Basis.exteriorPower n b.toBasis).repr x) s ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : (↑#ι).HolderConjugate p
u : (ι → ℝ) → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
this : 1 ≤ ↑#ι - 1
x : ι → ℝ
⊢ (‖u x‖ₑ ^ (1 / (↑#ι - 1))) ^ ↑#ι = ∏ _i, ‖u x‖ₑ ^ (1 / (↑#ι - 1))

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : (↑#ι).HolderConjugate p
u : (ι → ℝ) → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
this : 1 ≤ ↑#ι - 1
x : ι → ℝ
⊢ (‖u x‖ₑ ^ (1 / (↑#ι - 1))) ^ ↑#ι = ∏ _i, ‖u x‖ₑ ^ (1 / (↑#ι - 1))
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
p q : E →ₗ[𝕜] E
hp : p.IsSymmetricProjection
hq : q.IsSymmetricProjection
x✝ : p ≤ q
a : E
ha : a ∈ p.range
h1 : (q - p).IsSymmetric
h2 : 0 ≤ re ⟪(q - p) a, a⟫
hh : ∀ {T : E →ₗ[𝕜] E}, T.IsSymmetricProjection → re ⟪T a, a⟫ = ‖T a‖ ^ 2
⊢ a ∈ q.range

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
p q : E →ₗ[𝕜] E
hp : p.IsSymmetricProjection
hq : q.IsSymmetricProjection
x✝ : p ≤ q
a : E
ha : a ∈ p.range
h1 : (q - p).IsSymmetric
h2 : 0 ≤ re ⟪(q - p) a, a⟫
hh : ∀ {T : E →ₗ[𝕜] E}, T.IsSymmetricProjection → re ⟪T a, a⟫ = ‖T a‖ ^ 2
⊢ a ∈ q.range
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : f.IsPositive
h : ∃ s, Nonempty (Module.Basis (↥s) 𝕜 E)
this : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ 0 ≤ (traceAux 𝕜 ⋯.some) f

Tactic:
[

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : f.IsPositive
h : ∃ s, Nonempty (Module.Basis (↥s) 𝕜 E)
this : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ 0 ≤ (traceAux 𝕜 ⋯.some) f
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
U : Submodule 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
inst✝ : U.HasOrthogonalProjection
⊢ (∀ (x y : E), ⟪U.starProjection (T (U.starProjection x)), y⟫ = ⟪x, U.starProjection (T (U.starProjection y))⟫) ∧
    ∀ (x : E), 0 ≤ ⟪U.starProjection (T (U.starProjection x)), x⟫

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
U : Submodule 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
inst✝ : U.HasOrthogonalProjection
⊢ (∀ (x y : E), ⟪U.starProjection (T (U.starProjection x)), y⟫ = ⟪x, U.starProjection (T (U.starProjection y))⟫) ∧
    ∀ (x : E), 0 ≤ ⟪U.starProjection (T (U.starProjection x)), x⟫
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : U.HasOrthogonalProjection
⊢ (∀ (x y : ↥U),
      ⟪U.orthogonalProjectionOnto (T (U.subtypeL x)), y⟫ = ⟪x, U.orthogonalProjectionOnto (T (U.subtypeL y))⟫) ∧
    ∀ (x : ↥U), 0 ≤ ⟪U.orthogonalProjectionOnto (T (U.subtypeL x)), x⟫

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : U.HasOrthogonalProjection
⊢ (∀ (x y : ↥U),
      ⟪U.orthogonalProjectionOnto (T (U.subtypeL x)), y⟫ = ⟪x, U.orthogonalProjectionOnto (T (U.subtypeL y))⟫) ∧
    ∀ (x : ↥U), 0 ≤ ⟪U.orthogonalProjectionOnto (T (U.subtypeL x)), x⟫
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).HolderConjugate p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this
hp : (↑#ι).HolderConjugate p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
⊢ ↑c ≠ 0

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).HolderConjugate p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this
hp : (↑#ι).HolderConjugate p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
⊢ ↑c ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : H →L[𝕜] H
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
h : ∀ (x : H), ‖x‖ ^ 2 * ↑c ≤ ‖⟪f x, x⟫‖
x : H
⊢ ‖x‖ * ↑c ≤ ‖f x‖

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : H →L[𝕜] H
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
h : ∀ (x : H), ‖x‖ ^ 2 * ↑c ≤ ‖⟪f x, x⟫‖
x : H
⊢ ‖x‖ * ↑c ≤ ‖f x‖
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).HolderConjugate p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this
hp : (↑#ι).HolderConjugate p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
h3c : ↑c ≠ 0
⊢ C = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p * (c ^ p)⁻¹

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ
hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).HolderConjugate p
C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
hιcard : #ι = finrank ℝ E
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this
hp : (↑#ι).HolderConjugate p
h0p : 0 ≤ p
c : ℝ≥0 := μ.addHaarScalarFactor (Measure.map (⇑e.symm) volume)
hc : 0 < c
h2c : μ = c • Measure.map (⇑e.symm) volume
h3c : ↑c ≠ 0
⊢ C = c * ‖↑e.symm‖₊ ^ p * (c ^ p)⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LaxMilgram

Goal state before:
pp: V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ ∀ (x : V), ‖x‖ ≤ ↑C⁻¹.toNNReal * ‖(continuousLinearMapOfBilin B) x‖

Tactic:
[

Goal state after:
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ ∀ (x : V), ‖x‖ ≤ ↑C⁻¹.toNNReal * ‖(continuousLinearMapOfBilin B) x‖
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : U.HasOrthogonalProjection
inst✝ : V.HasOrthogonalProjection
⊢ U.starProjection ≤ V.starProjection ↔ U ≤ V

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : U.HasOrthogonalProjection
inst✝ : V.HasOrthogonalProjection
⊢ U.starProjection ≤ V.starProjection ↔ U ≤ V
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ (((rankOne 𝕜) x) x).IsPositive

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ (((rankOne 𝕜) x) x).IsPositive
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
a : Fin (Module.finrank 𝕜 E) → E := fun i ↦ ↑√(⋯.eigenvalues ⋯ i) • (⋯.eigenvectorBasis ⋯) i
x✝ : E
⊢ T x✝ = (∑ i, ((rankOne 𝕜) (a i)) (a i)) x✝

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
a : Fin (Module.finrank 𝕜 E) → E := fun i ↦ ↑√(⋯.eigenvalues ⋯ i) • (⋯.eigenvectorBasis ⋯) i
x✝ : E
⊢ T x✝ = (∑ i, ((rankOne 𝕜) (a i)) (a i)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : RCLike 𝕜
n : Type u_4
inst✝ : Finite n
M : Matrix n n 𝕜
this : Fintype n
⊢ (∃ m u, toContinuousLinearMap (toEuclideanLin M) = ∑ i, ((rankOne 𝕜) (u i)) (u i)) ↔
    ∃ m v, M = ∑ i, vecMulVec (v i) (star (v i))

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : RCLike 𝕜
n : Type u_4
inst✝ : Finite n
M : Matrix n n 𝕜
this : Fintype n
⊢ (∃ m u, toContinuousLinearMap (toEuclideanLin M) = ∑ i, ((rankOne 𝕜) (u i)) (u i)) ↔
    ∃ m v, M = ∑ i, vecMulVec (v i) (star (v i))
Module: Mathlib.Dynamics.BirkhoffSum.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → α
g : α → M
m n : ℕ
x : α
⊢ birkhoffSum f g (m + n) x = birkhoffSum f g m x + birkhoffSum f g n (f^[m] x)

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → α
g : α → M
m n : ℕ
x : α
⊢ birkhoffSum f g (m + n) x = birkhoffSum f g m x + birkhoffSum f g n (f^[m] x)
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
⊢ 0 < ↑n - 1

Tactic:
[

Goal state after:
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
⊢ 0 < ↑n - 1
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
⊢ 0 < ↑n - ↑p

Tactic:
[

Goal state after:
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
⊢ 0 < ↑n - ↑p
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: case e'_4.e'_5
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p' : ℝ≥0
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hp : 1 ≤ 1
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑1⁻¹ - (↑n)⁻¹
h2p : ↑1 < ↑n
hnp : 0 < ↑n - ↑1
⊢ eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ 1 = eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'

Tactic:
[

Goal state after:
case e'_4.e'_5
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p' : ℝ≥0
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hp : 1 ≤ 1
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑1⁻¹ - (↑n)⁻¹
h2p : ↑1 < ↑n
hnp : 0 < ↑n - ↑1
⊢ eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ 1 = eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
⊢ 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'

Tactic:
[

Goal state after:
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
⊢ 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearPMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
h : T.IsFormalAdjoint S
y : ↥S.domain
x✝ : ↥T.domain
⊢ ⟪↑S y, ↑x✝⟫ = ⟪↑y, ↑T x✝⟫

Tactic:
rw [← inner_conj_symm, ← inner_conj_symm (y : F), h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearPMap

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
inst✝ : CompleteSpace E
hT : Dense ↑T.domain
x : F × E
h : ∀ (a : E) (a_1 : a ∈ T.domain), ⟪↑T ⟨a, ⋯⟩, x.1⟫ - ⟪a, x.2⟫ = 0
⊢ ∃ (x_1 : x.1 ∈ T†.domain), ↑T† ⟨x.1, ⋯⟩ = x.2

Tactic:
[

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
inst✝ : CompleteSpace E
hT : Dense ↑T.domain
x : F × E
h : ∀ (a : E) (a_1 : a ∈ T.domain), ⟪↑T ⟨a, ⋯⟩, x.1⟫ - ⟪a, x.2⟫ = 0
⊢ ∃ (x_1 : x.1 ∈ T†.domain), ↑T† ⟨x.1, ⋯⟩ = x.2
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk (↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)) ⋯
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
⊢ eLpNorm u (↑p') μ < ∞

Tactic:
exact hu.continuous.memLp_of_hasCompactSupport (μ := μ) h2u |>.eLpNorm_lt_top

Goal state after: