mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Data.Fintype.Quotient

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Sort u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
β : Sort u_3
q : (i : ι) → Quotient (S i)
e : Quotient (Subtype.instSetoid_mathlib fun l ↦ ∀ (i : ι), i ∈ l) :=
  (Equiv.subtypeQuotientEquivQuotientSubtype (fun l ↦ ∀ (i : ι), i ∈ l) (fun s ↦ ∀ (i : ι), i ∈ s) ⋯ ⋯)
    ⟨Finset.univ.val, ⋯⟩
a✝¹ b✝ : { l // ∀ (i : ι), i ∈ l }
a✝ : a✝¹ ≈ b✝
a : (i : ι) → α i
⊢ Quotient.map (fun a i ↦ a i ⋯) ⋯ (listChoice fun i x ↦ ⟦a i⟧) =
    Quotient.map (fun a i ↦ a i ⋯) ⋯ (listChoice fun i x ↦ ⟦a i⟧)

Tactic:
[

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Sort u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
β : Sort u_3
q : (i : ι) → Quotient (S i)
e : Quotient (Subtype.instSetoid_mathlib fun l ↦ ∀ (i : ι), i ∈ l) :=
  (Equiv.subtypeQuotientEquivQuotientSubtype (fun l ↦ ∀ (i : ι), i ∈ l) (fun s ↦ ∀ (i : ι), i ∈ s) ⋯ ⋯)
    ⟨Finset.univ.val, ⋯⟩
a✝¹ b✝ : { l // ∀ (i : ι), i ∈ l }
a✝ : a✝¹ ≈ b✝
a : (i : ι) → α i
⊢ Quotient.map (fun a i ↦ a i ⋯) ⋯ (listChoice fun i x ↦ ⟦a i⟧) =
    Quotient.map (fun a i ↦ a i ⋯) ⋯ (listChoice fun i x ↦ ⟦a i⟧)
Module: Mathlib.Data.Fintype.Quotient

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Sort u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
a : (i : ι) → α i
l : List ι
hl : ⟦l⟧ = Finset.univ.val
⊢ ((Equiv.subtypeQuotientEquivQuotientSubtype (fun l ↦ ∀ (i : ι), i ∈ l) (fun s ↦ ∀ (i : ι), i ∈ s) ⋯ ⋯)
          ⟨Finset.univ.val, ⋯⟩).liftOn
      (fun l ↦ Quotient.map (fun a i ↦ a i ⋯) ⋯ (listChoice fun i x ↦ ⟦a i⟧)) ⋯ =
    ⟦a⟧

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Sort u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
a : (i : ι) → α i
l : List ι
hl : ⟦l⟧ = Finset.univ.val
⊢ ((Equiv.subtypeQuotientEquivQuotientSubtype (fun l ↦ ∀ (i : ι), i ∈ l) (fun s ↦ ∀ (i : ι), i ∈ s) ⋯ ⋯)
          ⟨Finset.univ.val, ⋯⟩).liftOn
      (fun l ↦ Quotient.map (fun a i ↦ a i ⋯) ⋯ (listChoice fun i x ↦ ⟦a i⟧)) ⋯ =
    ⟦a⟧
Module: Mathlib.Data.DFinsupp.BigOperators

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u
γ : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
⊢ ∀ x ∈ g.support, x ∉ (mk g.support fun i ↦ f (↑i) (g ↑i)).support → h x ((mk g.support fun i ↦ f (↑i) (g ↑i)) x) = 1

Tactic:
intro i h1 h2
    simp only [mem_support_toFun, ne_eq] at h1
    simp only [Finset.coe_sort_coe, mem_support_toFun, mk_apply, ne_eq, h1, not_false_iff,
      dite_eq_ite, ite_true, not_not] at h2
    simp [h2, h0]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.DFinsupp.Defs

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u
β : ι → Type v
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
h : b ≠ 0
j : ι
hi : i ≠ j
⊢ j ∈ (f.update i b).support ↔ j ∈ insert i f.support

Tactic:
simp [hi.symm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.DFinsupp.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u
β : ι → Type v
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
f g : Π₀ (i : ι), β i
⊢ comapDomain h hh (f + g) = comapDomain h hh f + comapDomain h hh g

Tactic:
by
  ext
  rw [add_apply, comapDomain_apply, comapDomain_apply, comapDomain_apply, add_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.DFinsupp.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u
β : ι → Type v
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
f g : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : κ
⊢ (comapDomain' h hh' (f + g)) i✝ = (comapDomain' h hh' f + comapDomain' h hh' g) i✝

Tactic:
rw [add_apply, comapDomain'_apply, comapDomain'_apply, comapDomain'_apply, add_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Fin.Tuple.Reflection

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α → β
v : Fin (n + 1) → α
i : Fin (n + 1)
⊢ seq f v i = f i (v i)

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α → β
v : Fin (n + 1) → α
i : Fin (n + 1)
⊢ seq f v i = f i (v i)
Module: Mathlib.Data.DFinsupp.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ mapRange (fun i ↦ (fun x ↦ (e i).symm x) ∘ fun x ↦ (e i) x) ?h x = x

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ mapRange (fun i ↦ (fun x ↦ (e i).symm x) ∘ fun x ↦ (e i) x) ?h x = x
Module: Mathlib.Data.DFinsupp.Defs

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ ∀ (i : ι), ((fun x ↦ (e i).symm x) ∘ fun x ↦ (e i) x) 0 = 0

Tactic:
[

Goal state after:
case h
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₁ i
⊢ ∀ (i : ι), ((fun x ↦ (e i).symm x) ∘ fun x ↦ (e i) x) 0 = 0
Module: Mathlib.Data.DFinsupp.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₂ i
⊢ mapRange (fun i ↦ (fun x ↦ (e i) x) ∘ fun x ↦ (e i).symm x) ?h x = x

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₂ i
⊢ mapRange (fun i ↦ (fun x ↦ (e i) x) ∘ fun x ↦ (e i).symm x) ?h x = x
Module: Mathlib.Data.DFinsupp.Defs

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₂ i
⊢ ∀ (i : ι), ((fun x ↦ (e i) x) ∘ fun x ↦ (e i).symm x) 0 = 0

Tactic:
[

Goal state after:
case h
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
e : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
x : Π₀ (i : ι), β₂ i
⊢ ∀ (i : ι), ((fun x ↦ (e i) x) ∘ fun x ↦ (e i).symm x) 0 = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
φ : Dual R M
⊢ φ ∈ W.dualAnnihilator ↔ ∀ w ∈ W, φ w = 0

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
φ : Dual R M
⊢ φ ∈ W.dualAnnihilator ↔ ∀ w ∈ W, φ w = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Submodule R (Dual R M)
x : M
⊢ x ∈ Φ.dualCoannihilator ↔ ∀ φ ∈ Φ, φ x = 0

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Submodule R (Dual R M)
x : M
⊢ x ∈ Φ.dualCoannihilator ↔ ∀ φ ∈ Φ, φ x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
x✝ : Dual R M₂
⊢ x✝ ∈ f.dualMap.ker ↔ x✝ ∈ f.range.dualAnnihilator

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
x✝ : Dual R M₂
⊢ x✝ ∈ f.dualMap.ker ↔ x✝ ∈ f.range.dualAnnihilator
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inj : Injective ⇑f
m : ι → Submodule R M
ind : iSupIndep m
⊢ iSupIndep fun i ↦ map f (m i)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inj : Injective ⇑f
m : ι → Submodule R M
ind : iSupIndep m
⊢ iSupIndep fun i ↦ map f (m i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inj : Injective ⇑f
m : ι → Submodule R M
ind : ∀ (i : ι), m i ⊓ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), m j ≤ ⊥
i : ι
x : M
hxi : x ∈ ↑(m i)
hx : f x ∈ ↑(⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), map f (m j))
⊢ x ∈ ↑(⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), m j)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inj : Injective ⇑f
m : ι → Submodule R M
ind : ∀ (i : ι), m i ⊓ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), m j ≤ ⊥
i : ι
x : M
hxi : x ∈ ↑(m i)
hx : f x ∈ ↑(⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), map f (m j))
⊢ x ∈ ↑(⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), m j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DFinsupp

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(p i)) → Decidable (x ≠ 0)
x : N
⊢ (∃ f, ((lsum ℕ) fun i ↦ (p i).subtype) f = x) ↔ ∃ f, (f.sum fun x xi ↦ ↑xi) = x

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(p i)) → Decidable (x ≠ 0)
x : N
⊢ (∃ f, ((lsum ℕ) fun i ↦ (p i).subtype) f = x) ↔ ∃ f, (f.sum fun x xi ↦ ↑xi) = x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M'
v : ι → M
v' : ι' → M'
hv : LinearIndependent R v
hv' : LinearIndependent R v'
this :
  linearCombination R (Sum.elim (⇑(inl R M M') ∘ v) (⇑(inr R M M') ∘ v')) =
    (linearCombination R v).prodMap (linearCombination R v') ∘ₗ ↑(sumFinsuppLEquivProdFinsupp R)
⊢ Injective ⇑(linearCombination R (Sum.elim (⇑(inl R M M') ∘ v) (⇑(inr R M M') ∘ v')))

Tactic:
this

Goal state after:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M'
v : ι → M
v' : ι' → M'
hv : LinearIndependent R v
hv' : LinearIndependent R v'
this :
  linearCombination R (Sum.elim (⇑(inl R M M') ∘ v) (⇑(inr R M M') ∘ v')) =
    (linearCombination R v).prodMap (linearCombination R v') ∘ₗ ↑(sumFinsuppLEquivProdFinsupp R)
⊢ Injective ⇑((linearCombination R v).prodMap (linearCombination R v') ∘ₗ ↑(sumFinsuppLEquivProdFinsupp R))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DFinsupp

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
⊢ iSupIndep p ↔
    ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i ↦ (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
⊢ iSupIndep p ↔
    ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i ↦ (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DFinsupp

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
i : ι
⊢ (∀ (x : ↥(p i)) (x_1 : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i ↦ (p i).subtype) (erase i x_1) = ↑x → ↑x = 0) ↔
    ∀ (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i ↦ (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
i : ι
⊢ (∀ (x : ↥(p i)) (x_1 : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i ↦ (p i).subtype) (erase i x_1) = ↑x → ↑x = 0) ↔
    ∀ (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i ↦ (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearMap

Goal state before:
pp: R₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
Mₗ : Type u_6
N : Type u_7
Pₗ : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁴ : Module R₁ Mₗ
inst✝³ : Module R₂ N
inst✝² : Module R₂ Pₗ
inst✝¹ : Module R₁ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass R₂ R₁ Pₗ
f : Mₗ →ₗ[R₁] N →ₗ[R₂] Pₗ
x✝¹ : Mₗ
x✝ : N
⊢ ((f.compl₁₂ id id) x✝¹) x✝ = (f x✝¹) x✝

Tactic:
[

Goal state after:
R₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
Mₗ : Type u_6
N : Type u_7
Pₗ : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁴ : Module R₁ Mₗ
inst✝³ : Module R₂ N
inst✝² : Module R₂ Pₗ
inst✝¹ : Module R₁ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass R₂ R₁ Pₗ
f : Mₗ →ₗ[R₁] N →ₗ[R₂] Pₗ
x✝¹ : Mₗ
x✝ : N
⊢ ((f.compl₁₂ id id) x✝¹) x✝ = (f x✝¹) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
⊢ LinearIndepOn R ![x, y] ↑Finset.univ ↔ ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0

Tactic:
show @Finset.univ (Fin 2) _ = {0,1} from rfl,

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
⊢ LinearIndepOn R ![x, y] ↑{0, 1} ↔ ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DFinsupp

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
⊢ iSupIndep p ↔ ∀ (s : Finset ι) (v : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = 0 → ∀ i ∈ s, v i = 0

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
⊢ iSupIndep p ↔ ∀ (s : Finset ι) (v : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = 0 → ∀ i ∈ s, v i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Isomorphisms

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ comap p.subtype (p ⊓ p') ≤ comap (inclusion ⋯) (comap (p ⊔ p').subtype p').mkQ.ker

Tactic:
Submodule.inclusion,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ comap p.subtype (p ⊓ p') ≤ comap (codRestrict (p ⊔ p') p.subtype ⋯) (comap (p ⊔ p').subtype p').mkQ.ker
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Module S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsTorsionFree S R
u : S
hu : u ≠ 0
s t : R
h : u • s = 0 ∧ u • t = 0
hst : s • u • x + t • u • y = 0
⊢ s = 0 ∧ t = 0

Tactic:
exact ⟨(smul_eq_zero_iff_right hu).mp h.1, (smul_eq_zero_iff_right hu).mp h.2⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.BigOperators

Goal state before:
pp: α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Finset α
t : Finset β
f : α → R
g : β → M
⊢ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ j ∈ t, g j = ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ t, f i • g j

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Finset α
t : Finset β
f : α → R
g : β → M
⊢ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ j ∈ t, g j = ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ t, f i • g j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → M
hf : ∀ (l : ι →₀ R), (linearCombination R f) l = 0 → l = 0
i : ι
m : M
r : R
hr : r ∈ nonZeroDivisors R
l : ι →₀ R
hl : l i ∈ nonZeroDivisors R
hg : r • m = (linearCombination R f) l
l' : ι →₀ R
hl' : r • (linearCombination R (Function.update f i m)) l' = r • 0
⊢ l' = 0

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → M
hf : ∀ (l : ι →₀ R), (linearCombination R f) l = 0 → l = 0
i : ι
m : M
r : R
hr : r ∈ nonZeroDivisors R
l : ι →₀ R
hl : l i ∈ nonZeroDivisors R
hg : r • m = (linearCombination R f) l
l' : ι →₀ R
hl' : r • (linearCombination R (Function.update f i m)) l' = r • 0
⊢ l' = 0
Module: Mathlib.Algebra.Group.AddChar

Goal state before:
pp: A : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ : AddChar A M
hψ : Surjective ⇑ψ
f g : M →* N
h : (fun f ↦ f.compAddChar ψ) f = (fun f ↦ f.compAddChar ψ) g
⊢ f = g

Tactic:
rw [DFunLike.ext'_iff] at h ⊢

Goal state after:
A : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ : AddChar A M
hψ : Surjective ⇑ψ
f g : M →* N
h : ⇑((fun f ↦ f.compAddChar ψ) f) = ⇑((fun f ↦ f.compAddChar ψ) g)
⊢ ⇑f = ⇑g
Module: Mathlib.Algebra.Group.AddChar

Goal state before:
pp: B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
f : M →* N
hf : Injective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : (fun ψ ↦ f.compAddChar ψ) ψ = (fun ψ ↦ f.compAddChar ψ) χ
⊢ ψ = χ

Tactic:
rw [DFunLike.ext'_iff] at h ⊢

Goal state after:
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
f : M →* N
hf : Injective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : ⇑((fun ψ ↦ f.compAddChar ψ) ψ) = ⇑((fun ψ ↦ f.compAddChar ψ) χ)
⊢ ⇑ψ = ⇑χ
Module: Mathlib.Algebra.Group.AddChar

Goal state before:
pp: B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
f : M →* N
hf : Injective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : ⇑((fun ψ ↦ f.compAddChar ψ) ψ) = ⇑((fun ψ ↦ f.compAddChar ψ) χ)
⊢ ⇑ψ = ⇑χ

Tactic:
exact hf.comp_left h

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.AddChar

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
inst✝ : Monoid M
f : A →+ B
hf : Surjective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : (fun ψ ↦ ψ.compAddMonoidHom f) ψ = (fun ψ ↦ ψ.compAddMonoidHom f) χ
⊢ ψ = χ

Tactic:
rw [DFunLike.ext'_iff] at h ⊢

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
inst✝ : Monoid M
f : A →+ B
hf : Surjective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : ⇑((fun ψ ↦ ψ.compAddMonoidHom f) ψ) = ⇑((fun ψ ↦ ψ.compAddMonoidHom f) χ)
⊢ ⇑ψ = ⇑χ
Module: Mathlib.Algebra.Group.AddChar

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
inst✝ : Monoid M
ψ : AddChar B M
hψ : Injective ⇑ψ
f g : A →+ B
h : (fun f ↦ ψ.compAddMonoidHom f) f = (fun f ↦ ψ.compAddMonoidHom f) g
⊢ f = g

Tactic:
rw [DFunLike.ext'_iff] at h ⊢

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
inst✝ : Monoid M
ψ : AddChar B M
hψ : Injective ⇑ψ
f g : A →+ B
h : ⇑((fun f ↦ ψ.compAddMonoidHom f) f) = ⇑((fun f ↦ ψ.compAddMonoidHom f) g)
⊢ ⇑f = ⇑g
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Lift

Goal state before:
pp: k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_6
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : k[G]
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.coeff.support → Commute (f (b.coeff x)) (g y)
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) (a.coeff.sum single) * (liftNC ↑f ⇑g) (b.coeff.sum single)

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_6
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : k[G]
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.coeff.support → Commute (f (b.coeff x)) (g y)
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) (a.coeff.sum single) * (liftNC ↑f ⇑g) (b.coeff.sum single)
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Lift

Goal state before:
pp: k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Add G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_6
inst✝¹ : FunLike g_hom (Multiplicative G) R
inst✝ : MulHomClass g_hom (Multiplicative G) R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : k[G]
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.coeff.support → Commute (f (b.coeff x)) (g (Multiplicative.ofAdd y))
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) (a.coeff.sum single) * (liftNC ↑f ⇑g) (b.coeff.sum single)

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Add G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_6
inst✝¹ : FunLike g_hom (Multiplicative G) R
inst✝ : MulHomClass g_hom (Multiplicative G) R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : k[G]
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.coeff.support → Commute (f (b.coeff x)) (g (Multiplicative.ofAdd y))
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) (a.coeff.sum single) * (liftNC ↑f ⇑g) (b.coeff.sum single)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x y : V
hx : x ≠ 0
⊢ LinearIndepOn K ![x, y] ↑Finset.univ ↔ ∀ (a : K), a • x ≠ y

Tactic:
show @Finset.univ (Fin 2) _ = {0,1} from rfl,

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x y : V
hx : x ≠ 0
⊢ LinearIndepOn K ![x, y] ↑{0, 1} ↔ ∀ (a : K), a • x ≠ y
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
O : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Monoid M
V : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module S V
inst✝¹ : Module S[M] V
inst✝ : IsScalarTower S S[M] V
W : Submodule S V
h : ∀ (g : M), ∀ v ∈ W, (of S M) g • v ∈ W
f : S[M]
v : V
hv : v ∈ ↑W
⊢ ∑ i ∈ f.coeff.support, single i (f.coeff i) • v ∈ ↑W

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
O : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Monoid M
V : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module S V
inst✝¹ : Module S[M] V
inst✝ : IsScalarTower S S[M] V
W : Submodule S V
h : ∀ (g : M), ∀ v ∈ W, (of S M) g • v ∈ W
f : S[M]
v : V
hv : v ∈ ↑W
⊢ ∑ i ∈ f.coeff.support, single i (f.coeff i) • v ∈ ↑W
Module: Mathlib.Algebra.Group.Pointwise.Set.ListOfFn

Goal state before:
pp: case zero
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
n : ℕ
a : α
s : Fin 0 → Set α
⊢ a ∈ (List.ofFn s).prod ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i ↦ ↑(f i)).prod = a

Tactic:
[

Goal state after:
case zero
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
n : ℕ
a : α
s : Fin 0 → Set α
⊢ a ∈ (List.ofFn s).prod ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i ↦ ↑(f i)).prod = a