mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: n✝ : Type u_1
m : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n✝
inst✝ : CommSemiring R
s : ℤˣ
A✝ B✝ : Matrix n✝ n✝ R
i j : n✝
a b c : R
n : ℕ
A B : Matrix (Fin n) (Fin n) R
hAB : A * B = 1
h0 : 1 + (detp 1 A * detp (-1) B + detp (-1) A * detp 1 B) = detp 1 A * detp 1 B + detp (-1) A * detp (-1) B
h :
  B * A + (detp 1 A • (B * adjp (-1) B) + detp (-1) A • (B * adjp 1 B)) +
      (detp 1 A • detp (-1) B • 1 + detp (-1) A • detp 1 B • 1) =
    detp 1 A • (B * adjp 1 B) + detp (-1) A • (B * adjp (-1) B) +
      (detp 1 A • detp (-1) B • 1 + detp (-1) A • detp 1 B • 1)
⊢ B * A = 1

Tactic:
rwa [add_assoc, add_add_add_comm, ← smul_add, ← smul_add,
    add_add_add_comm, ← smul_add, ← smul_add, smul_add, smul_add,
    mul_adjp_add_detp, smul_add, ← mul_adjp_add_detp, smul_add, ← smul_add, ← smul_add,
    add_add_add_comm, smul_smul, smul_smul, ← add_smul, ← h0,
    add_smul, one_smul, ← add_assoc _ 1, add_comm _ 1, add_assoc,
    smul_add, smul_add, add_add_add_comm, smul_smul, smul_smul, ← add_smul,
    ((isAddUnit_detp_smul_mul_adjp hAB).add
      ((isAddUnit_detp_mul_detp hAB).smul_right _)).add_left_inj] at h

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Colimits

Goal state before:
pp: J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt
hx : ¬∃ j y, (hom (t.ι.app j)) y = x
⊢ False

Tactic:
[

Goal state after:
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt
hx : ¬∃ j y, (hom (t.ι.app j)) y = x
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₁' : ι → Type v₁'
M₁'' : ι → Type v₁''
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M₄ : Type v₄
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x ↦ M₂) M₃
inst✝ : DecidableEq ι₂
v : ι₂ → M₂
i : ι₂
a b : M₂
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
⊢ (m fun i_1 ↦ update v i (a + b) (σ i_1)) = (m fun i_1 ↦ update v i a (σ i_1)) + m fun i_1 ↦ update v i b (σ i_1)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₁' : ι → Type v₁'
M₁'' : ι → Type v₁''
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M₄ : Type v₄
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x ↦ M₂) M₃
inst✝ : DecidableEq ι₂
v : ι₂ → M₂
i : ι₂
a b : M₂
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
⊢ (m fun i_1 ↦ update v i (a + b) (σ i_1)) = (m fun i_1 ↦ update v i a (σ i_1)) + m fun i_1 ↦ update v i b (σ i_1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₁' : ι → Type v₁'
M₁'' : ι → Type v₁''
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M₄ : Type v₄
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x ↦ M₂) M₃
inst✝ : DecidableEq ι₂
v : ι₂ → M₂
i : ι₂
a : R
b : M₂
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
⊢ (m fun i_1 ↦ update v i (a • b) (σ i_1)) = a • m fun i_1 ↦ update v i b (σ i_1)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₁' : ι → Type v₁'
M₁'' : ι → Type v₁''
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M₄ : Type v₄
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
σ : ι₁ ≃ ι₂
m : MultilinearMap R (fun x ↦ M₂) M₃
inst✝ : DecidableEq ι₂
v : ι₂ → M₂
i : ι₂
a : R
b : M₂
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
⊢ (m fun i_1 ↦ update v i (a • b) (σ i_1)) = a • m fun i_1 ↦ update v i b (σ i_1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih :
  ∀ (c : Fin n → R),
    (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) →
      ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R},
        (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) →
          (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
hik : i = k
⊢ M.updateRow k.succ (N k.succ) i.succ j = N i.succ j

Tactic:
hik,

Goal state after:
case pos
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih :
  ∀ (c : Fin n → R),
    (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) →
      ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R},
        (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) →
          (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
hik : i = k
⊢ M.updateRow k.succ (N k.succ) k.succ j = N k.succ j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ (blockDiagonal M).det = ∏ k, (M k).det

Tactic:
[

Goal state after:
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ (blockDiagonal M).det = ∏ k, (M k).det
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ, ↑↑(sign σ) * ∏ i, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∑ p ∈ univ.pi fun x ↦ univ, ∏ x ∈ univ.attach, ↑↑(sign (p ↑x ⋯)) * ∏ i, M (↑x) ((p ↑x ⋯) i) i

Tactic:
[

Goal state after:
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ, ↑↑(sign σ) * ∏ i, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∑ p ∈ univ.pi fun x ↦ univ, ∏ x ∈ univ.attach, ↑↑(sign (p ↑x ⋯)) * ∏ i, M (↑x) ((p ↑x ⋯) i) i
Module: Mathlib.Algebra.Category.MonCat.FilteredColimits

Goal state before:
pp: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (ConcreteCategory.hom (F.map f)) x = (ConcreteCategory.hom (F.map g)) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map α))
      ((ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂))) x *
        (ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂))) y) =
    (ConcreteCategory.hom (F.map γ))
      ((ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂))) x' *
        (ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂))) y)

Tactic:
[

Goal state after:
case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (ConcreteCategory.hom (F.map f)) x = (ConcreteCategory.hom (F.map g)) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map α))
      ((ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂))) x *
        (ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂))) y) =
    (ConcreteCategory.hom (F.map γ))
      ((ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂))) x' *
        (ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂))) y)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
D : Matrix n n R
⊢ (fromBlocks A B 0 D).det = A.det * D.det

Tactic:
[

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
D : Matrix n n R
⊢ (fromBlocks A B 0 D).det = A.det * D.det
Module: Mathlib.Algebra.Category.MonCat.FilteredColimits

Goal state before:
pp: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (ConcreteCategory.hom (F.map f)) y = (ConcreteCategory.hom (F.map g)) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map α))
      ((ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁))) x *
        (ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁))) y) =
    (ConcreteCategory.hom (F.map γ))
      ((ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃))) x *
        (ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃))) y')

Tactic:
[

Goal state after:
case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (ConcreteCategory.hom (F.map f)) y = (ConcreteCategory.hom (F.map g)) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map α))
      ((ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁))) x *
        (ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁))) y) =
    (ConcreteCategory.hom (F.map γ))
      ((ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃))) x *
        (ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃))) y')
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: case e'_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
D : Matrix n n R
⊢ (∑ σ, ↑↑(sign σ) * ∏ i, A (σ i) i) * ∑ σ, ↑↑(sign σ) * ∏ i, D (σ i) i =
    ∑ x ∈ (↑(sumCongrHom m n).range).toFinset, ↑↑(sign x) * ∏ i, fromBlocks A B 0 D (x i) i

Tactic:
[

Goal state after:
case e'_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
D : Matrix n n R
⊢ (∑ σ, ↑↑(sign σ) * ∏ i, A (σ i) i) * ∑ σ, ↑↑(sign σ) * ∏ i, D (σ i) i =
    ∑ x ∈ (↑(sumCongrHom m n).range).toFinset, ↑↑(sign x) * ∏ i, fromBlocks A B 0 D (x i) i
Module: Mathlib.Algebra.Category.MonCat.FilteredColimits

Goal state before:
pp: case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
k j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : k ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = g ≫ β
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map α))
      ((ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂))) x *
        (ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂))) y) =
    (ConcreteCategory.hom (F.map β)) ((ConcreteCategory.hom (F.map f)) x * (ConcreteCategory.hom (F.map g)) y)

Tactic:
[

Goal state after:
case h
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCat
inst✝ : IsFiltered J
k j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : k ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = g ≫ β
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map α))
      ((ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂))) x *
        (ConcreteCategory.hom (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂))) y) =
    (ConcreteCategory.hom (F.map β)) ((ConcreteCategory.hom (F.map f)) x * (ConcreteCategory.hom (F.map g)) y)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: case e'_3.refine_4
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
D : Matrix n n R
σ₁ : Perm m
σ₂ : Perm n
⊢ (↑↑(sign σ₁) * ∏ x, A (σ₁ x) x) * (↑↑(sign σ₂) * ∏ x, D (σ₂ x) x) =
    ↑↑(sign (σ₁.sumCongr σ₂)) *
      ((∏ a₁, fromBlocks A B 0 D ((σ₁.sumCongr σ₂) (Sum.inl a₁)) (Sum.inl a₁)) *
        ∏ a₂, fromBlocks A B 0 D ((σ₁.sumCongr σ₂) (Sum.inr a₂)) (Sum.inr a₂))

Tactic:
[

Goal state after:
case e'_3.refine_4
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
D : Matrix n n R
σ₁ : Perm m
σ₂ : Perm n
⊢ (↑↑(sign σ₁) * ∏ x, A (σ₁ x) x) * (↑↑(sign σ₂) * ∏ x, D (σ₂ x) x) =
    ↑↑(sign (σ₁.sumCongr σ₂)) *
      ((∏ a₁, fromBlocks A B 0 D ((σ₁.sumCongr σ₂) (Sum.inl a₁)) (Sum.inl a₁)) *
        ∏ a₂, fromBlocks A B 0 D ((σ₁.sumCongr σ₂) (Sum.inr a₂)) (Sum.inr a₂))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Fintype ι
z₁ z₂ : M₂
⊢ MultilinearMap.mkPiRing R ι z₁ = MultilinearMap.mkPiRing R ι z₂ ↔ z₁ = z₂

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Fintype ι
z₁ z₂ : M₂
⊢ MultilinearMap.mkPiRing R ι z₁ = MultilinearMap.mkPiRing R ι z₂ ↔ z₁ = z₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
ι : Type uι
M₂ : Type v₂
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Fintype ι
z : M₂
⊢ MultilinearMap.mkPiRing R ι z = 0 ↔ z = 0

Tactic:
by
  rw [← mkPiRing_zero, mkPiRing_eq_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i✝ : Fin n.succ
x✝ : i✝ ∈ univ
i : Fin n
this : (-1) ^ ↑i = ↑↑(sign i.cycleRange)
⊢ ∑ y, sign (decomposeFin.symm (i.succ, y)) • ∏ x, A ((decomposeFin.symm (i.succ, y)) x) x =
    (-1) ^ ↑i.succ * A i.succ 0 * (of fun i_1 j ↦ A (i.succ.succAbove i_1) j.succ).det

Tactic:
rw [Fin.val_succ, pow_succ', this, mul_assoc, mul_assoc, mul_left_comm (ε _),
    ← det_permute, Matrix.det_apply, Finset.mul_sum, Finset.mul_sum]

Goal state after:
case refine_2
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i✝ : Fin n.succ
x✝ : i✝ ∈ univ
i : Fin n
this : (-1) ^ ↑i = ↑↑(sign i.cycleRange)
⊢ ∑ y, sign (decomposeFin.symm (i.succ, y)) • ∏ x, A ((decomposeFin.symm (i.succ, y)) x) x =
    ∑ i_1,
      -1 *
        (A i.succ 0 *
          sign i_1 • ∏ i_2, (of fun i_3 j ↦ A (i.succ.succAbove i_3) j.succ).submatrix (⇑i.cycleRange) id (i_1 i_2) i_2)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Limits

Goal state before:
pp: J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cone F
⊢ Nonempty (IsLimit c) ↔ Function.Bijective (sectionOfCone c)

Tactic:
[

Goal state after:
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cone F
⊢ Nonempty (IsLimit c) ↔ Function.Bijective (sectionOfCone c)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: case insert
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j ↦ if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
⊢ (f (update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k)) +
      ∑ i ∈ s, f fun j ↦ if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j) =
    (f fun j ↦ if j ∈ insert k s → j < k then a j else if k = j then a j - b j else b j) +
      ∑ x ∈ s, f fun j ↦ if j ∈ insert k s → j < x then a j else if x = j then a j - b j else b j

Tactic:
[

Goal state after:
case insert
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j ↦ if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
⊢ (f (update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k)) +
      ∑ i ∈ s, f fun j ↦ if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j) =
    (f fun j ↦ if j ∈ insert k s → j < k then a j else if k = j then a j - b j else b j) +
      ∑ x ∈ s, f fun j ↦ if j ∈ insert k s → j < x then a j else if x = j then a j - b j else b j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Basic

Goal state before:
pp: R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
⊢ A.det = ∑ j, (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
⊢ A.det = ∑ j, (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det
Module: Mathlib.CategoryTheory.Functor.Currying

Goal state before:
pp: B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C ⥤ D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C × D
f : X ⟶ Y
⊢ { obj := fun X ↦ (X✝.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f ↦ (X✝.map f.1).app X.2 ≫ (X✝.obj Y.1).map f.2, map_id := ⋯,
            map_comp := ⋯ }.map
        f ≫
      (T.app Y.1).app Y.2 =
    (T.app X.1).app X.2 ≫
      { obj := fun X ↦ (Y✝.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f ↦ (Y✝.map f.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2,
            map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map
        f

Tactic:
simp only [Category.assoc]
        slice_lhs 2 3 => rw [NatTrans.naturality]
        slice_lhs 1 2 => rw [← NatTrans.comp_app, NatTrans.naturality, NatTrans.comp_app]
        rw [Category.assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x h : (i : ι) → M₁ i
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.univ.powerset with 2 ≤ #x_1, f (x_1.piecewise h x) +
      ∑ x_1 ∈ Finset.univ.powerset with ¬2 ≤ #x_1, f (x_1.piecewise h x) =
    f x + (f.linearDeriv x) h + ∑ s ∈ Finset.univ.powerset with 2 ≤ #s, f (s.piecewise h x)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x h : (i : ι) → M₁ i
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.univ.powerset with 2 ≤ #x_1, f (x_1.piecewise h x) +
      ∑ x_1 ∈ Finset.univ.powerset with ¬2 ≤ #x_1, f (x_1.piecewise h x) =
    f x + (f.linearDeriv x) h + ∑ s ∈ Finset.univ.powerset with 2 ≤ #s, f (s.piecewise h x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x h h' : (i : ι) → M₁ i
⊢ f (x + h) - f (x + h') - (f.linearDeriv x) (h - h') = ∑ s with 2 ≤ #s, (f (s.piecewise h x) - f (s.piecewise h' x))

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x h h' : (i : ι) → M₁ i
⊢ f (x + h) - f (x + h') - (f.linearDeriv x) (h - h') = ∑ s with 2 ≤ #s, (f (s.piecewise h x) - f (s.piecewise h' x))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Yoneda

Goal state before:
pp: J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} J
inst✝ : Category.{v_2, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
s : ↑(F.op ⋙ yoneda.obj X).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f ≫ ↑s (op j') = ↑s (op j) ≫ ((const J).obj X).map f

Tactic:
by
        dsimp
        rw [Category.comp_id]
        exact (s.property f.op)

Goal state after: