mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.IsPrincipal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x y : Associates ↥R⁰
⊢ ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) (x * y)) =
    ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) x) * ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) y)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x y : Associates ↥R⁰
⊢ ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) (x * y)) =
    ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) x) * ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) y)
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.TFAE

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
⊢ [IsDiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime,
      Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1,
      ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE

Tactic:
this

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
⊢ [IsDiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime,
      Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1,
      ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobsonRing R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (map (Ideal.Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
hP'_prime : P'.IsPrime
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
this :
  (algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M')).comp φ =
    (IsLocalization.map (Localization M') φ ⋯).comp (algebraMap (R ⧸ P') (Localization M))
⊢ ((algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M')).comp φ).IsIntegral

Tactic:
this

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobsonRing R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (map (Ideal.Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
hP'_prime : P'.IsPrime
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
this :
  (algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M')).comp φ =
    (IsLocalization.map (Localization M') φ ⋯).comp (algebraMap (R ⧸ P') (Localization M))
⊢ ((IsLocalization.map (Localization M') φ ⋯).comp (algebraMap (R ⧸ P') (Localization M))).IsIntegral
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobsonRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : Ideal.map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal
w : (S[X] ⧸ Q) ≃ₐ[R] T ⧸ P := Q.quotientEquivAlg P v ⋯
Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q
w' : S ⧸ Q' →ₐ[R] S[X] ⧸ Q := quotientMapₐ Q (Cₐ R S) ⋯
h_eq : algebraMap R (T ⧸ P) = w.toRingEquiv.toRingHom.comp (w'.comp (algebraMap R (S ⧸ Q')))
this : w'.toRingHom = quotientMap Q Polynomial.C ⋯
⊢ w'.IsIntegral

Tactic:
this

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobsonRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : Ideal.map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal
w : (S[X] ⧸ Q) ≃ₐ[R] T ⧸ P := Q.quotientEquivAlg P v ⋯
Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q
w' : S ⧸ Q' →ₐ[R] S[X] ⧸ Q := quotientMapₐ Q (Cₐ R S) ⋯
h_eq : algebraMap R (T ⧸ P) = w.toRingEquiv.toRingHom.comp (w'.comp (algebraMap R (S ⧸ Q')))
this : w'.toRingHom = quotientMap Q Polynomial.C ⋯
⊢ (quotientMap Q Polynomial.C ⋯).IsIntegral
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.RootPositive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : LinearOrder S
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Algebra S R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
B : RootPositiveForm S P
i j : ι
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
hi : P.root i ∈ span S (range ⇑P.root)
hj : P.root j ∈ span S (range ⇑P.root)
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, hi⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, hj⟩
this : 2 * (B.posForm ri) rj = P.pairingIn S i j * (B.posForm rj) rj
⊢ 0 < 2 * (B.posForm ri) rj ↔ 0 < P.pairingIn S i j * (B.posForm rj) rj

Tactic:
this

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : LinearOrder S
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Algebra S R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
B : RootPositiveForm S P
i j : ι
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
hi : P.root i ∈ span S (range ⇑P.root)
hj : P.root j ∈ span S (range ⇑P.root)
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, hi⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, hj⟩
this : 2 * (B.posForm ri) rj = P.pairingIn S i j * (B.posForm rj) rj
⊢ 0 < P.pairingIn S i j * (B.posForm rj) rj ↔ 0 < P.pairingIn S i j * (B.posForm rj) rj
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
i : ι
⊢ (P.PolarizationIn S) (P.rootSpanMem S i) =
    ∑ j, P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i) j) • P.coroot ((P.reflectionPerm i) j)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
i : ι
⊢ (P.PolarizationIn S) (P.rootSpanMem S i) =
    ∑ j, P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i) j) • P.coroot ((P.reflectionPerm i) j)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x = 1 ↔ v' x = 1
x : K
hx : v' x ≤ 1
hx' : v' x < 1
⊢ v' (1 + x) = 1

Tactic:
rw [← v'.map_one]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x = 1 ↔ v' x = 1
x : K
hx : v' x ≤ 1
hx' : v' x < 1
⊢ v' (1 + x) = v' 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsDomain S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : P.IsValuedIn S
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower S R M
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R N
this : IsTorsionFree S N
h_ne : ∏ i, ((P.RootFormIn S) (P.rootSpanMem S i)) (P.rootSpanMem S i) ≠ 0
x✝ : N
hx : x✝ ∈ P.corootSpan S
c : ι → S
hc : ∑ i, c i • P.coroot i = x✝
⊢ ∑ x, (∏ i, ((P.RootFormIn S) (P.rootSpanMem S i)) (P.rootSpanMem S i)) • c x • P.coroot x ∈ (P.PolarizationIn S).range

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsDomain S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : P.IsValuedIn S
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower S R M
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R N
this : IsTorsionFree S N
h_ne : ∏ i, ((P.RootFormIn S) (P.rootSpanMem S i)) (P.rootSpanMem S i) ≠ 0
x✝ : N
hx : x✝ ∈ P.corootSpan S
c : ι → S
hc : ∑ i, c i • P.coroot i = x✝
⊢ ∑ x, (∏ i, ((P.RootFormIn S) (P.rootSpanMem S i)) (P.rootSpanMem S i)) • c x • P.coroot x ∈ (P.PolarizationIn S).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ (∀ (i j : ι), ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] → P.root i = P.root j ∨ P.root i = -P.root j) ↔
    ∀ (i j : ι), i ≠ j → ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] → P.root i = -P.root j

Tactic:
refine ⟨fun h i j hij hLin ↦ ?_, fun h i j hLin  ↦ ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
h : ∀ (i j : ι), ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] → P.root i = P.root j ∨ P.root i = -P.root j
i j : ι
hij : i ≠ j
hLin : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root i = -P.root j

case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
h : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] → P.root i = -P.root j
i j : ι
hLin : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root i = P.root j ∨ P.root i = -P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: case h.hf₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ MapsTo (⇑(preReflection (P₁.root i) (P₁.flip.toPerfPair (P₂.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)

Tactic:
[

Goal state after:
case h.hf₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ MapsTo (⇑(preReflection (P₁.root i) (P₁.flip.toPerfPair (P₂.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝¹ : IsReflexive R M
this✝ : IsReflexive R N
this : finrank R ↥(LinearMap.ker P.RootForm) = finrank R ↥(P.corootSpan R).dualAnnihilator
⊢ finrank R ↥(Submodule.map (↑P.toPerfPair.symm) (P.corootSpan R).dualAnnihilator) =
    finrank R ↥(LinearMap.ker P.RootForm)

Tactic:
this

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝¹ : IsReflexive R M
this✝ : IsReflexive R N
this : finrank R ↥(LinearMap.ker P.RootForm) = finrank R ↥(P.corootSpan R).dualAnnihilator
⊢ finrank R ↥(Submodule.map (↑P.toPerfPair.symm) (P.corootSpan R).dualAnnihilator) =
    finrank R ↥(P.corootSpan R).dualAnnihilator
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : ι
hj : P.root j = n • P.root i
this : P.root j = -P.root i
⊢ False

Tactic:
· rw [← one_smul ℤ (P.root i), ← neg_smul, hj] at this
    replace this : (n : ℤ) • P.root i = -1 • P.root i := by simpa
    rw [(smul_left_injective ℤ <| P.ne_zero i).eq_iff] at this
    lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) * (P.flip (P.coroot j)) (P.root i) = 4

Tactic:
coroot_root_eq_pairing,

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ P.pairing j i * (P.flip (P.coroot j)) (P.root i) = 4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ P.pairing j i * (P.flip (P.coroot j)) (P.root i) = 4

Tactic:
coroot_root_eq_pairing,

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ P.pairing j i * P.pairing i j = 4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hc : P.coxeterWeight i j = 4
hl : ¬P.pairing j i • P.root i + -(2 • P.root j) = 0
⊢ ¬(P.flip (P.coroot i)) (P.root j) • P.root i = 2 • P.root j

Tactic:
coroot_root_eq_pairing,

Goal state after:
case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hc : P.coxeterWeight i j = 4
hl : ¬P.pairing j i • P.root i + -(2 • P.root j) = 0
⊢ ¬P.pairing j i • P.root i = 2 • P.root j
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆

Tactic:
by_cases hα : α.IsZero

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : α.IsZero
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆

case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Union

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
j : ι
h₁ : p j ≠ ⊤
s : Finset ι
hj : j ∉ s
hs : s.Nonempty
h₂ : ↑s.card + 1 < ENat.card K
hj' : ↑(p j) ∪ ⋃ i ∈ s, ↑(p i) = univ
x : M
hx : x ∈ p j
hx₀ : x ≠ 0
⊢ ∃ y, y ∉ p j

Tactic:
contrapose! h₁

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
hs : s.Nonempty
h₂ : ↑s.card + 1 < ENat.card K
hj' : ↑(p j) ∪ ⋃ i ∈ s, ↑(p i) = univ
x : M
hx : x ∈ p j
hx₀ : x ≠ 0
h₁ : ∀ (y : M), y ∈ p j
⊢ p j = ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))

Tactic:
by_cases hα : α.IsZero

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))

case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
⊢ rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥

Tactic:
by_cases hα : α.IsZero

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : α.IsZero
⊢ rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥

case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : ¬α.IsZero
⊢ rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
⊢ chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β

Tactic:
by_cases hα : α.IsZero

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β

case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Union

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Infinite K
v : ι → M
hv : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
i : ι
contra : ∀ (x : Dual K M), ((Dual.eval K M) (v i)) x = 0
⊢ False

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Infinite K
v : ι → M
hv : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
i : ι
contra : ∀ (x : Dual K M), ((Dual.eval K M) (v i)) x = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
⊢ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β = chainLength α β

Tactic:
by_cases hα : α.IsZero

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β = chainLength α β

case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β = chainLength α β