mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Array R
hA : A.size = n * n
t : ℕ
ih :
  ∀ (i j : Fin n),
    (stepEntry n A)^[t] (BirdDet.get n A) ↑i ↑j =
      (Spec.stepEntry (Matrix.of fun i j ↦ A.getD (n * ↑i + ↑j) 0))^[t] (Matrix.of fun i j ↦ A.getD (n * ↑i + ↑j) 0) i j
i j : Fin n
⊢ (stepEntry n A)^[t + 1] (BirdDet.get n A) ↑i ↑j =
    (Spec.stepEntry (Matrix.of fun i j ↦ A.getD (n * ↑i + ↑j) 0))^[t + 1] (Matrix.of fun i j ↦ A.getD (n * ↑i + ↑j) 0) i
      j

Tactic:
[

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Array R
hA : A.size = n * n
t : ℕ
ih :
  ∀ (i j : Fin n),
    (stepEntry n A)^[t] (BirdDet.get n A) ↑i ↑j =
      (Spec.stepEntry (Matrix.of fun i j ↦ A.getD (n * ↑i + ↑j) 0))^[t] (Matrix.of fun i j ↦ A.getD (n * ↑i + ↑j) 0) i j
i j : Fin n
⊢ (stepEntry n A)^[t + 1] (BirdDet.get n A) ↑i ↑j =
    (Spec.stepEntry (Matrix.of fun i j ↦ A.getD (n * ↑i + ↑j) 0))^[t + 1] (Matrix.of fun i j ↦ A.getD (n * ↑i + ↑j) 0) i
      j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: case h
n p : ℕ
i : Fin n
α : Fin p → Fin n
k : Fin n
hα : α ∈ S p i
hik : i < k
hk : k ∉ Set.range α
t : Fin (p + 1) := ⋯
t_eq : t = ⨅ j ∈ {j | k < α j}, j.castSucc
⊢ t.insertNth k α ∈ S (p + 1) i

Tactic:
simp only [mem_S_iff, Fin.strictMono_cons] at ⊢ hα

Goal state after:
case h
n p : ℕ
i : Fin n
α : Fin p → Fin n
k : Fin n
hik : i < k
hk : k ∉ Set.range α
t : Fin (p + 1) := ⨅ j ∈ {j | k < α j}, j.castSucc
t_eq : t = ⨅ j ∈ {j | k < α j}, j.castSucc
hα : (∀ (j : Fin p), i < α j) ∧ StrictMono α
⊢ (∀ (j : Fin (p + 1)), i < t.insertNth k α j) ∧ StrictMono (t.insertNth k α)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field k
L : Type u_2
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra k L
V : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule k L V
inst✝³ : CharZero k
inst✝² : Module.Finite k V
inst✝¹ : IsTriangularizable k L V
A : LieIdeal k L
hA✝ : IsCoatom ↑A
χ₀ : Module.Dual k ↥A
inst✝ : Nontrivial ↥(weightSpace V ⇑χ₀)
z : L
hz : z ∉ ↑A
e : ↥(k ∙ z) ≃ₗ[k] k := (LinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton k L z ⋯).symm
he : ∀ (x : ↥(k ∙ z)), e x • z = ↑x
hA : IsCompl (↑A) (k ∙ z)
π₁ : L →ₗ[k] ↥A := (↑A).projectionOnto (k ∙ z) hA
π₂ : L →ₗ[k] ↥(k ∙ z) := (k ∙ z).projectionOnto (LieIdeal.toLieSubalgebra k L A).toSubmodule ⋯
W : LieSubmodule k L V := weightSpaceOfIsLieTower k V ⇑χ₀
c : k
hc : ((toEnd k L ↥W) z).HasEigenvalue c
v : V
hv : v ∈ W
hvc : ((toEnd k L ↥W) z).HasEigenvector c ⟨v, hv⟩
hv' : ∀ (x : ↥A), ⁅x, v⁆ = χ₀ x • v
x : L
hπ : ↑(π₁ x) + ↑(π₂ x) = x
this : ⁅((k ∙ z).projection ↑A ⋯) x, v⁆ = (c • e (π₂ x)) • v
⊢ χ₀ (π₁ x) • v + ⁅((k ∙ z).projection ↑A ⋯) x, v⁆ = χ₀ (π₁ x) • v + (c • e (π₂ x)) • v

Tactic:
this

Goal state after:
k : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field k
L : Type u_2
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra k L
V : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule k L V
inst✝³ : CharZero k
inst✝² : Module.Finite k V
inst✝¹ : IsTriangularizable k L V
A : LieIdeal k L
hA✝ : IsCoatom ↑A
χ₀ : Module.Dual k ↥A
inst✝ : Nontrivial ↥(weightSpace V ⇑χ₀)
z : L
hz : z ∉ ↑A
e : ↥(k ∙ z) ≃ₗ[k] k := (LinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton k L z ⋯).symm
he : ∀ (x : ↥(k ∙ z)), e x • z = ↑x
hA : IsCompl (↑A) (k ∙ z)
π₁ : L →ₗ[k] ↥A := (↑A).projectionOnto (k ∙ z) hA
π₂ : L →ₗ[k] ↥(k ∙ z) := (k ∙ z).projectionOnto (LieIdeal.toLieSubalgebra k L A).toSubmodule ⋯
W : LieSubmodule k L V := weightSpaceOfIsLieTower k V ⇑χ₀
c : k
hc : ((toEnd k L ↥W) z).HasEigenvalue c
v : V
hv : v ∈ W
hvc : ((toEnd k L ↥W) z).HasEigenvector c ⟨v, hv⟩
hv' : ∀ (x : ↥A), ⁅x, v⁆ = χ₀ x • v
x : L
hπ : ↑(π₁ x) + ↑(π₂ x) = x
this : ⁅((k ∙ z).projection ↑A ⋯) x, v⁆ = (c • e (π₂ x)) • v
⊢ χ₀ (π₁ x) • v + (c • e (π₂ x)) • v = χ₀ (π₁ x) • v + (c • e (π₂ x)) • v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
hEq1 : Eq1 A p
⊢ (Spec.stepEntry A)^[p + 1] A i j =
    (-1) ^ (p + 1) * (∑ α ∈ S (p + 1) i, pminor A α * A i j - ∑ k > i, ∑ α ∈ S p i, bminor A i k α * A k j)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
hEq1 : Eq1 A p
⊢ (Spec.stepEntry A)^[p + 1] A i j =
    (-1) ^ (p + 1) * (∑ α ∈ S (p + 1) i, pminor A α * A i j - ∑ k > i, ∑ α ∈ S p i, bminor A i k α * A k j)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: case h.refine_2
k : Type u_1
inst✝¹¹ : Field k
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
V : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : LieRingModule L V
inst✝⁵ : LieModule k L V
inst✝⁴ : CharZero k
inst✝³ : Module.Finite k V
inst✝² : Nontrivial V
inst✝¹ : IsSolvable L
inst✝ : IsTriangularizable k L V
imL : LieSubalgebra k (Module.End k V) := (toEnd k L V).range
toEndo : L →ₗ[k] ↥imL := LinearMap.codRestrict imL.toSubmodule ↑(toEnd k L V) ⋯
χ : Module.Dual k ↥imL
h : Nontrivial ↥(weightSpace V ⇑χ)
v : V
hv : v ∈ weightSpace V ⇑χ
hv0 : ⟨v, hv⟩ ≠ 0
⊢ ⟨v, ⋯⟩ ≠ 0

Tactic:
simpa using hv0

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.LieRinehartAlgebra.Subalgebra

Goal state before:
pp: A : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : Module A L
L' : LieRinehartSubalgebra A L
inst✝⁹ : LieRingModule L A
inst✝⁸ : LieRinehartRing A L
R : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieRinehartAlgebra R A L
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieModule R L M
t : R
x : ↥L'
m : M
⊢ t • ⁅↑x, m⁆ = t • ⁅x, m⁆

Tactic:
coe_bracket_of_module

Goal state after:
A : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : Module A L
L' : LieRinehartSubalgebra A L
inst✝⁹ : LieRingModule L A
inst✝⁸ : LieRinehartRing A L
R : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieRinehartAlgebra R A L
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieModule R L M
t : R
x : ↥L'
m : M
⊢ t • ⁅↑x, m⁆ = t • ⁅↑x, m⁆
Module: Mathlib.Algebra.LinearRecurrence

Goal state before:
pp: case neg.e_f
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
E : LinearRecurrence R
u : ℕ → R
init : Fin E.order → R
h : E.IsSolution u
heq : ∀ (n : Fin E.order), u ↑n = init n
n : ℕ
h' : ¬n < E.order
k : Fin E.order
⊢ E.coeffs k * u (n - E.order + ↑k) = E.coeffs k * E.mkSol init (n - E.order + E.order - E.order + ↑k)

Tactic:
rw [eq_mk_of_is_sol_of_eq_init h heq (n - E.order + k)]

Goal state after:
case neg.e_f
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
E : LinearRecurrence R
u : ℕ → R
init : Fin E.order → R
h : E.IsSolution u
heq : ∀ (n : Fin E.order), u ↑n = init n
n : ℕ
h' : ¬n < E.order
k : Fin E.order
⊢ E.coeffs k * E.mkSol init (n - E.order + ↑k) = E.coeffs k * E.mkSol init (n - E.order + E.order - E.order + ↑k)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «0»
j : Fin 6
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «0».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «0».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «0».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «0».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «0».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «0».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «1»
j : Fin 6
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «1».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «1».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «1».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «1».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «1».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «1».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «2»
j : Fin 6
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «2».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «2».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «2».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «2».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «2».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «2».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «3»
j : Fin 6
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «3».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «3».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «3».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «3».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «3».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «3».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «4»
j : Fin 6
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «4».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «4».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «4».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «4».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «4».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «4».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.Algebra.LinearRecurrence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
E : LinearRecurrence R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (∑ i, (monomial ↑i) (E.coeffs i)).degree < ↑E.order

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
E : LinearRecurrence R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (∑ i, (monomial ↑i) (E.coeffs i)).degree < ↑E.order
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «5»
j : Fin 6
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «5».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «5».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «5».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «5».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «5».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «5».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₆ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
this : c 1 ^ i = r
⊢ r = c 1 ^ i

Tactic:
this

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
this : c 1 ^ i = r
⊢ r = r
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «0»
j : Fin 7
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «0».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «0».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «0».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «0».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «0».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «0».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0

case «0».«6»
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «1»
j : Fin 7
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «1».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «1».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «1».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «1».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «1».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «1».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0

case «1».«6»
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «2»
j : Fin 7
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «2».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «2».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «2».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «2».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «2».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «2».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0

case «2».«6»
h : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «3»
j : Fin 7
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «3».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «3».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «3».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «3».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «3».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «3».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0

case «3».«6»
h : (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «4»
j : Fin 7
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «4».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «4».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «4».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «4».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «4».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «4».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0

case «4».«6»
h : (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «5»
j : Fin 7
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «5».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «5».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «5».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «5».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «5».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «5».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0

case «5».«6»
h : (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: case «6»
j : Fin 7
h : (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩ ≠ j
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) j ≤ 0

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «6».«0»
h : (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≤ 0

case «6».«1»
h : (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≤ 0

case «6».«2»
h : (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ≤ 0

case «6».«3»
h : (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨3, ⋯⟩) ≤ 0

case «6».«4»
h : (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨4, ⋯⟩) ≤ 0

case «6».«5»
h : (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨5, ⋯⟩) ≤ 0

case «6».«6»
h : (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩
⊢ E₇ ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨6, ⋯⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
x : L
hxI : x ∈ ↑↑(LieSubmodule.restr I H)
hxH : x ∈ ↑↑H.toLieSubmodule
f : ↥LieSubalgebra.root → LieIdeal K ↥H := fun α ↦ corootSpace ⇑↑α
span_I_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ α ∈ I.rootSet, f α
span_compl_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), f β
h_split : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⨆ α, f α
h_top : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⊤
⊢ LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl (⨆ α ∈ I.rootSet, f α) = ⨆ α ∈ I.rootSet, corootSubmodule ↑α

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
x : L
hxI : x ∈ ↑↑(LieSubmodule.restr I H)
hxH : x ∈ ↑↑H.toLieSubmodule
f : ↥LieSubalgebra.root → LieIdeal K ↥H := fun α ↦ corootSpace ⇑↑α
span_I_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ α ∈ I.rootSet, f α
span_compl_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), f β
h_split : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⨆ α, f α
h_top : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⊤
⊢ LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl (⨆ α ∈ I.rootSet, f α) = ⨆ α ∈ I.rootSet, corootSubmodule ↑α
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ ⟨Exists.choose ⋯, ⋯⟩ • ↑I ≤ (Algebra.linearMap R P).range

Tactic:
rintro _ ⟨a, ha, rfl⟩

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
a : P
ha : a ∈ ↑↑I
⊢ (DistribSMul.toLinearMap R P ↑⟨Exists.choose ⋯, ⋯⟩) a ∈ (Algebra.linearMap R P).range
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
x : L
hxI : x ∈ ↑↑(LieSubmodule.restr I H)
hxH : x ∈ ↑↑H.toLieSubmodule
f : ↥LieSubalgebra.root → LieIdeal K ↥H := fun α ↦ corootSpace ⇑↑α
span_I_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ α ∈ I.rootSet, f α
span_compl_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), f β
h_split : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⨆ α, f α
h_top : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⊤
hspan_I_roots_incl : LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl span_I_roots = ⨆ α ∈ I.rootSet, corootSubmodule ↑α
μ : ↥LieSubalgebra.root
hμ : μ ∈ I.rootSet
⊢ ↑span_compl_roots = ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), ↑(f β)

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
x : L
hxI : x ∈ ↑↑(LieSubmodule.restr I H)
hxH : x ∈ ↑↑H.toLieSubmodule
f : ↥LieSubalgebra.root → LieIdeal K ↥H := fun α ↦ corootSpace ⇑↑α
span_I_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ α ∈ I.rootSet, f α
span_compl_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), f β
h_split : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⨆ α, f α
h_top : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⊤
hspan_I_roots_incl : LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl span_I_roots = ⨆ α ∈ I.rootSet, corootSubmodule ↑α
μ : ↥LieSubalgebra.root
hμ : μ ∈ I.rootSet
⊢ ↑span_compl_roots = ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), ↑(f β)