mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BaseChange

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Field L
e : m ≃ n
K : Subfield L
A : Matrix m n L
B : Matrix n m L
hAB : A * B = 1
h_mem : ∀ (i : m) (j : n), A i j ∈ K
i : n
j : m
val✝ : Fintype m
A' : Matrix m m ↥K := of fun i j ↦ ⟨A.submatrix id (⇑e) i j, ⋯⟩
hA' : A'.map ⇑K.subtype = A.submatrix id ⇑e
hA : IsUnit A'
B' : Matrix m m ↥K
hB : (A' * B').map ⇑K.subtype = map 1 ⇑K.subtype
⊢ A * (B'.submatrix (⇑e.symm) id).map ⇑K.subtype = 1

Tactic:
[

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Field L
e : m ≃ n
K : Subfield L
A : Matrix m n L
B : Matrix n m L
hAB : A * B = 1
h_mem : ∀ (i : m) (j : n), A i j ∈ K
i : n
j : m
val✝ : Fintype m
A' : Matrix m m ↥K := of fun i j ↦ ⟨A.submatrix id (⇑e) i j, ⋯⟩
hA' : A'.map ⇑K.subtype = A.submatrix id ⇑e
hA : IsUnit A'
B' : Matrix m m ↥K
hB : (A' * B').map ⇑K.subtype = map 1 ⇑K.subtype
⊢ A * (B'.submatrix (⇑e.symm) id).map ⇑K.subtype = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BaseChange

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Field L
e : m ≃ n
K : Subfield L
A : Matrix m n L
B : Matrix n m L
h_mem : ∀ (i : n) (j : m), B i j ∈ K
i : m
j : n
hAB : Bᵀ * Aᵀ = 1
⊢ Aᵀ j i ∈ K

Tactic:
[

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Field L
e : m ≃ n
K : Subfield L
A : Matrix m n L
B : Matrix n m L
h_mem : ∀ (i : n) (j : m), B i j ∈ K
i : m
j : n
hAB : Bᵀ * Aᵀ = 1
⊢ Aᵀ j i ∈ K
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝¹ : IsReflexive L M
this✝ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
⊢ Injective fun r ↦ r • 1

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝¹ : IsReflexive L M
this✝ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
⊢ Injective fun r ↦ r • 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝² : IsReflexive L M
this✝¹ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this✝ : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
this : span K (Set.range v') = ⊤
e : { x // x ∈ v } ≃ Fin (Nat.card { x // x ∈ v }) := Finite.equivFin { x // x ∈ v }
⊢ ⊤ ≤ span K (Set.range v')

Tactic:
this

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝² : IsReflexive L M
this✝¹ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this✝ : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
this : span K (Set.range v') = ⊤
e : { x // x ∈ v } ≃ Fin (Nat.card { x // x ∈ v }) := Finite.equivFin { x // x ∈ v }
⊢ ⊤ ≤ ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝¹ : IsReflexive L M
this✝ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = span L ↑N'
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
⊢ m ∈ span K v

Tactic:
hN

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝¹ : IsReflexive L M
this✝ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = ⊤
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
⊢ m ∈ span K v
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
k : ℕ
ih :
  ↑(∏ l ∈ Finset.range k, (2 * l + 3)) * eval 1 ((⇑derivative)^[k] (U R n)) =
    ↑(∏ l ∈ Finset.range k, ((n + 1) ^ 2 - (↑l + 1) ^ 2)) * (↑n + 1)
⊢ ↑(∏ l ∈ Finset.range (k + 1), (2 * l + 3)) * eval 1 ((⇑derivative)^[k + 1] (U R n)) =
    ↑(∏ l ∈ Finset.range (k + 1), ((n + 1) ^ 2 - (↑l + 1) ^ 2)) * (↑n + 1)

Tactic:
push_cast at ih ⊢
    rw [Finset.range_add_one, Finset.prod_insert Finset.notMem_range_self, mul_comm (2 * _ + 3),
      mul_assoc, iterate_derivative_U_eval_one_recurrence, ← mul_assoc, mul_comm _ (_ ^ 2 - _ ^ 2),
      mul_assoc, ih, Finset.prod_insert Finset.notMem_range_self, mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot

Goal state before:
pp: case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr✝ : (aeval r) p = 0
this : num A r ∣ p.coeff 0 * ↑(den A r) ^ (p.natDegree - 0)
inst : (a : Prop) → Decidable a
hr : ¬num A r = 0
⊢ num A r ∣ p.coeff 0

Tactic:
refine dvd_of_dvd_mul_left_of_no_prime_factors hr ?_ this
      intro q dvd_num dvd_denom_pow hq
      apply hq.not_isUnit
      exact num_den_reduced A r dvd_num (hq.dvd_of_dvd_pow dvd_denom_pow)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
this✝² : IsReflexive L M
this✝¹ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this✝ : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = ⊤
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
bN : Basis { x // x ∈ w } L N := Basis.mk hw₃ ⋯
this : Fintype ↑w
e : ↑v ≃ ↑w
bM : Basis { x // x ∈ w } L M := bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm
hbM : ∀ (j : ↑w), ∀ x ∈ M', (bM.repr x) j = (p x) ↑j
hj : ∀ (j : ↑w), (bM.repr m) j ∈ (algebraMap K L).range
hp : ∀ (i : ↑w) (j : ↑v), (bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm).toMatrix (⇑b) i j ∈ (algebraMap K L).fieldRange
⊢ m ∈ span K v

Tactic:
have hA (i j) : b.toMatrix bM i j ∈ (algebraMap K L).range :=
    Matrix.mem_subfield_of_mul_eq_one_of_mem_subfield_left e _ (by simp [bM]) hp i j

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
this✝² : IsReflexive L M
this✝¹ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this✝ : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = ⊤
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
bN : Basis { x // x ∈ w } L N := Basis.mk hw₃ ⋯
this : Fintype ↑w
e : ↑v ≃ ↑w
bM : Basis { x // x ∈ w } L M := bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm
hbM : ∀ (j : ↑w), ∀ x ∈ M', (bM.repr x) j = (p x) ↑j
hj : ∀ (j : ↑w), (bM.repr m) j ∈ (algebraMap K L).range
hp : ∀ (i : ↑w) (j : ↑v), (bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm).toMatrix (⇑b) i j ∈ (algebraMap K L).fieldRange
hA : ∀ (i : { x // x ∈ v }) (j : { x // x ∈ w }), b.toMatrix (⇑bM) i j ∈ (algebraMap K L).range
⊢ m ∈ span K v
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot

Goal state before:
pp: case right
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
hp : p.Monic
r : K
hr : (aeval r) p = 0
inv : A
h_inv : 1 = ↑(den A r) * inv
⊢ num A r * inv ∣ p.coeff 0

Tactic:
have h : inv ∣ 1 := ⟨den A r, by simpa [mul_comm] using h_inv⟩
    simpa using mul_dvd_mul (num_dvd_of_is_root hr) h

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ length R M = 0 ↔ Subsingleton M

Tactic:
by
  rw [← WithBot.coe_inj, Module.coe_length, WithBot.coe_zero,
    Order.krullDim_eq_zero_iff_of_orderTop, Submodule.subsingleton_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ length R M = ⊤ ↔ InfiniteDimensionalOrder (Submodule R M)

Tactic:
by
  rw [← WithBot.coe_inj, WithBot.coe_top, coe_length, Order.krullDim_eq_top_iff,
      ← not_finiteDimensionalOrder_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Torsion

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : IsMulTorsionFree M
f : R →* M
x y : R
⊢ f (x - y) = f (y - x)

Tactic:
by rw [← map_neg, neg_sub]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
H : IsFiniteLength R M
s : CompositionSeries (Submodule R M)
hs₁ : RelSeries.head s = ⊥
hs₂ : RelSeries.last s = ⊤
⊢ length R M ≠ ⊤

Tactic:
← length_compositionSeries s hs₁ hs₂

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
H : IsFiniteLength R M
s : CompositionSeries (Submodule R M)
hs₁ : RelSeries.head s = ⊥
hs₂ : RelSeries.last s = ⊤
⊢ ↑s.length ≠ ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : IsFiniteLength R N
s : CompositionSeries (Submodule R P)
hs₁ : RelSeries.head s = ⊥
hs₂ : RelSeries.last s = ⊤
t : CompositionSeries (Submodule R N)
ht₁ : RelSeries.head t = ⊥
ht₂ : RelSeries.last t = ⊤
s' : CompositionSeries (Submodule R M) := RelSeries.map s { toFun := Submodule.comap g, map_rel' := ⋯ }
t' : CompositionSeries (Submodule R M) := RelSeries.map t { toFun := Submodule.map f, map_rel' := ⋯ }
hfg : Submodule.map f ⊤ = Submodule.comap g ⊥
r : RelSeries {(x, y) | JordanHolderLattice.IsMaximal x y} := RelSeries.smash t' s' ⋯
⊢ ↑r.length = ↑t.length + ↑s.length

Tactic:
[

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : IsFiniteLength R N
s : CompositionSeries (Submodule R P)
hs₁ : RelSeries.head s = ⊥
hs₂ : RelSeries.last s = ⊤
t : CompositionSeries (Submodule R N)
ht₁ : RelSeries.head t = ⊥
ht₂ : RelSeries.last t = ⊤
s' : CompositionSeries (Submodule R M) := RelSeries.map s { toFun := Submodule.comap g, map_rel' := ⋯ }
t' : CompositionSeries (Submodule R M) := RelSeries.map t { toFun := Submodule.map f, map_rel' := ⋯ }
hfg : Submodule.map f ⊤ = Submodule.comap g ⊥
r : RelSeries {(x, y) | JordanHolderLattice.IsMaximal x y} := RelSeries.smash t' s' ⋯
⊢ ↑r.length = ↑t.length + ↑s.length
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_5
h✝ : Infinite ι
a✝ : Nontrivial M
m : ℕ
s : Finset ι
hs : s.card = m
this : length R (↥s →₀ M) = ↑m * length R M
⊢ ↑m ≤ length R (↥s →₀ M)

Tactic:
this

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_5
h✝ : Infinite ι
a✝ : Nontrivial M
m : ℕ
s : Finset ι
hs : s.card = m
this : length R (↥s →₀ M) = ↑m * length R M
⊢ ↑m ≤ ↑m * length R M
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case h
A : Type u
inst✝² : CommRing A
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A K
x y : ValueGroup A K
a b : K
c d : Aˣ
e : A
he : e • b = a
⊢ (↑c * e * ↑d⁻¹) • d • b = c • a

Tactic:
[

Goal state after:
case h
A : Type u
inst✝² : CommRing A
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A K
x y : ValueGroup A K
a b : K
c d : Aˣ
e : A
he : e • b = a
⊢ (↑c * e * ↑d⁻¹) • d • b = c • a
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x : O
hx0 : x ≠ 0
d : O
hdu : v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) x) * v ((algebraMap O F) d)
⊢ 1 ≤ v ((algebraMap O F) d)

Tactic:
refine one_le_of_le_mul_left₀ ?_ hdu

Goal state after:
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x : O
hx0 : x ≠ 0
d : O
hdu : v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) x) * v ((algebraMap O F) d)
⊢ 0 < v ((algebraMap O F) x)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
⊢ ∀ ⦃a : ValueGroup A K⦄, 0 < a → ∀ ⦃b c : ValueGroup A K⦄, b < c → a * b < a * c

Tactic:
[

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
⊢ ∀ ⦃a : ValueGroup A K⦄, 0 < a → ∀ ⦃b c : ValueGroup A K⦄, b < c → a * b < a * c
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : Std.Total fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a b : R
this : Ideal.span {a} ≤ Ideal.span {b} ∨ Ideal.span {b} ≤ Ideal.span {a}
⊢ a ∣ b ∨ b ∣ a

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : Std.Total fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a b : R
this : Ideal.span {a} ≤ Ideal.span {b} ∨ Ideal.span {b} ≤ Ideal.span {a}
⊢ a ∣ b ∨ b ∣ a
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → AdicCompletion I M
⊢ ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → AdicCompletion I M
⊢ ↑(∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ↑(f i)
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
⊢ ∃ ϖ, Irreducible ϖ

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
⊢ ∃ ϖ, Irreducible ϖ
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ Associates.mk (p ^ fx.card) = Associates.mk fx.prod

Tactic:
← Associates.prod_mk,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ Associates.mk (p ^ fx.card) = (Multiset.map Associates.mk fx).prod
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ Associates.mk fx.prod = Associates.mk (ϖ ^ fx.card)

Tactic:
← Associates.prod_mk,

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ (Multiset.map Associates.mk fx).prod = Associates.mk (ϖ ^ fx.card)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
ι : Type u_7
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → R
j : ι
hj : j ∈ s
hf : ∀ i ∈ s \ {j}, v (f i) < v (f j)
⊢ v (∑ i ∈ s, f i) = v (f j)

Tactic:
rcases eq_or_ne (v (f j)) 0 with h0 | h0
  · aesop
  rw [Finset.sum_eq_add_sum_sdiff_singleton_of_mem hj]
  exact map_add_eq_of_lt_left _ (map_sum_lt _ h0 hf)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
a : R
hi : Irreducible (Classical.choose ⋯)
h : ¬a = 0
n : ℕ
ha : Associated a (Classical.choose ⋯ ^ n)
⊢ ¬(addVal R) a = ⊤

Tactic:
obtain ⟨u, rfl⟩ := ha.symm

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
hi : Irreducible (Classical.choose ⋯)
n : ℕ
u : Rˣ
h : ¬Classical.choose ⋯ ^ n * ↑u = 0
ha : Associated (Classical.choose ⋯ ^ n * ↑u) (Classical.choose ⋯ ^ n)
⊢ ¬(addVal R) (Classical.choose ⋯ ^ n * ↑u) = ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.Tensor

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Injective R (CharacterModule M) ↔
    ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N']
      (f : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑f → Function.Injective ⇑(rTensor M f)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Injective R (CharacterModule M) ↔
    ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N']
      (f : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑f → Function.Injective ⇑(rTensor M f)
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.Tensor

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.Tensor

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(TensorProduct.lift (lsmul R M ∘ₗ Submodule.subtype I))

Tactic:
simp [iff_rTensor_injective, ← lid_comp_rTensor]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.IsPrincipal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : R
property✝¹ : R ∙ x ∈ (Ideal R)⁰
y : R
property✝ : R ∙ y ∈ (Ideal R)⁰
⊢ ↑(⟨R ∙ x, property✝¹⟩ * ⟨R ∙ y, property✝⟩) = R ∙ x * y

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : R
property✝¹ : R ∙ x ∈ (Ideal R)⁰
y : R
property✝ : R ∙ y ∈ (Ideal R)⁰
⊢ ↑(⟨R ∙ x, property✝¹⟩ * ⟨R ∙ y, property✝⟩) = R ∙ x * y
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.IsPrincipal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x y : Associates R
⊢ ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out x) * Associates.mk (Quot.out y))) =
    ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out x))) *
      ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out y)))

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x y : Associates R
⊢ ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out x) * Associates.mk (Quot.out y))) =
    ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out x))) *
      ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out y)))
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.IsPrincipal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ (fun I ↦ IsPrincipal I ∧ I ∈ (Ideal R)⁰) = fun I ↦ I ∈ (Ideal R)⁰ ∧ IsPrincipal I

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ (fun I ↦ IsPrincipal I ∧ I ∈ (Ideal R)⁰) = fun I ↦ I ∈ (Ideal R)⁰ ∧ IsPrincipal I