mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Perturbation.StrictByFinite

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F
inst✝¹ : T2Space F
u v : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 E
inst✝ : A.CoFG
h_eqOn : EqOn ⇑u ⇑v ↑A.topologicalClosure
⊢ IsStrictMap ⇑u ∧ IsClosed[inst✝⁴] ↑(↑u).range ↔ IsStrictMap ⇑v ∧ IsClosed[inst✝⁴] ↑(↑v).range

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F
inst✝¹ : T2Space F
u v : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 E
inst✝ : A.CoFG
h_eqOn : EqOn ⇑u ⇑v ↑A.topologicalClosure
⊢ IsStrictMap ⇑u ∧ IsClosed[inst✝⁴] ↑(↑u).range ↔ IsStrictMap ⇑v ∧ IsClosed[inst✝⁴] ↑(↑v).range
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 W
inst✝¹ : SeparatingDual 𝕜 V
inst✝ : SeparatingDual 𝕜 W
f : (V →L[𝕜] V) ≃A[𝕜] W →L[𝕜] W
hV : Nontrivial V
⊢ ∃ U, f = U.conjContinuousAlgEquiv

Tactic:
[

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 W
inst✝¹ : SeparatingDual 𝕜 V
inst✝ : SeparatingDual 𝕜 W
f : (V →L[𝕜] V) ≃A[𝕜] W →L[𝕜] W
hV : Nontrivial V
⊢ ∃ U, f = U.conjContinuousAlgEquiv
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 W
inst✝¹ : SeparatingDual 𝕜 V
inst✝ : SeparatingDual 𝕜 W
f : (V →L[𝕜] V) ≃A[𝕜] W →L[𝕜] W
hV : Nontrivial V
u : V
hu : u ≠ 0
v : StrongDual 𝕜 V
huv : v u ≠ 0
⊢ ∃ z, ¬(f (smulRight v u)) z = 0 z

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 W
inst✝¹ : SeparatingDual 𝕜 V
inst✝ : SeparatingDual 𝕜 W
f : (V →L[𝕜] V) ≃A[𝕜] W →L[𝕜] W
hV : Nontrivial V
u : V
hu : u ≠ 0
v : StrongDual 𝕜 V
huv : v u ≠ 0
⊢ ∃ z, ¬(f (smulRight v u)) z = 0 z
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Perturbation.StrictByFinite

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F
inst✝¹ : T2Space F
u : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥A
A_compl : A.ClosedComplemented
S : Submodule 𝕜 F
A_compl_S : IsTopCompl A S
Φ : (F ⧸ A) ≃L[𝕜] ↥S := A.quotientEquivOfIsTopCompl S A_compl_S
i : ↥S →L[𝕜] F := S.subtypeL
i_clemb : IsClosedEmbedding ⇑i
p : F →L[𝕜] F := S.projectionL A ⋯
p_def : p = S.projectionL A ⋯
eq : ⇑i ∘ ⇑Φ ∘ ⇑A.mkQ = ⇑p
this : ↑u ≈ ↑(p ∘SL u)
⊢ IsStrictMap (⇑p ∘ ⇑u) ∧ IsClosed[inst✝⁴] (range (⇑p ∘ ⇑u)) ↔
    IsStrictMap (⇑i ∘ ⇑Φ ∘ ⇑A.mkQ ∘ ⇑u) ∧ IsClosed[inst✝⁴] (range (⇑i ∘ ⇑Φ ∘ ⇑A.mkQ ∘ ⇑u))

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F
inst✝¹ : T2Space F
u : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥A
A_compl : A.ClosedComplemented
S : Submodule 𝕜 F
A_compl_S : IsTopCompl A S
Φ : (F ⧸ A) ≃L[𝕜] ↥S := A.quotientEquivOfIsTopCompl S A_compl_S
i : ↥S →L[𝕜] F := S.subtypeL
i_clemb : IsClosedEmbedding ⇑i
p : F →L[𝕜] F := S.projectionL A ⋯
p_def : p = S.projectionL A ⋯
eq : ⇑i ∘ ⇑Φ ∘ ⇑A.mkQ = ⇑p
this : ↑u ≈ ↑(p ∘SL u)
⊢ IsStrictMap (⇑p ∘ ⇑u) ∧ IsClosed[inst✝⁴] (range (⇑p ∘ ⇑u)) ↔
    IsStrictMap (⇑i ∘ ⇑Φ ∘ ⇑A.mkQ ∘ ⇑u) ∧ IsClosed[inst✝⁴] (range (⇑i ∘ ⇑Φ ∘ ⇑A.mkQ ∘ ⇑u))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝³ : CompleteSpace V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : CompleteSpace W
f : (V →L[𝕜] V) ≃⋆ₐ[𝕜] W →L[𝕜] W
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy : ⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } = ⇑y.conjContinuousAlgEquiv
this : ∀ (x : V →L[𝕜] V), adjoint (f x) = f (adjoint x)
⊢ ∃ U, f = U.conjStarAlgEquiv

Tactic:
[

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝³ : CompleteSpace V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : CompleteSpace W
f : (V →L[𝕜] V) ≃⋆ₐ[𝕜] W →L[𝕜] W
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy : ⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } = ⇑y.conjContinuousAlgEquiv
this : ∀ (x : V →L[𝕜] V), adjoint (f x) = f (adjoint x)
⊢ ∃ U, f = U.conjStarAlgEquiv
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝³ : CompleteSpace V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : CompleteSpace W
f : (V →L[𝕜] V) ≃⋆ₐ[𝕜] W →L[𝕜] W
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy : ⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } = ⇑y.conjContinuousAlgEquiv
this : ∀ (x : V →L[𝕜] V), (adjoint ↑y.symm ∘SL adjoint x) ∘SL adjoint ↑y = ↑y ∘SL adjoint x ∘SL ↑y.symm
x : V →L[𝕜] V
⊢ adjoint ↑y ∘SL ↑y ∘SL adjoint x ∘SL ↑y.symm = adjoint x ∘SL adjoint ↑y

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝³ : CompleteSpace V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : CompleteSpace W
f : (V →L[𝕜] V) ≃⋆ₐ[𝕜] W →L[𝕜] W
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy : ⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } = ⇑y.conjContinuousAlgEquiv
this : ∀ (x : V →L[𝕜] V), (adjoint ↑y.symm ∘SL adjoint x) ∘SL adjoint ↑y = ↑y ∘SL adjoint x ∘SL ↑y.symm
x : V →L[𝕜] V
⊢ adjoint ↑y ∘SL ↑y ∘SL adjoint x ∘SL ↑y.symm = adjoint x ∘SL adjoint ↑y
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝³ : CompleteSpace V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : CompleteSpace W
f : (V →L[𝕜] V) ≃⋆ₐ[𝕜] W →L[𝕜] W
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy : ⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } = ⇑y.conjContinuousAlgEquiv
this : ∀ (x : V →L[𝕜] V), adjoint ↑y ∘SL ↑y ∘SL adjoint x ∘SL ↑y.symm = adjoint x ∘SL adjoint ↑y
x : V →L[𝕜] V
⊢ Commute x (adjoint ↑y ∘SL ↑y)

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝³ : CompleteSpace V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : CompleteSpace W
f : (V →L[𝕜] V) ≃⋆ₐ[𝕜] W →L[𝕜] W
hf : Continuous ⇑f
h✝ : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy : ⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } = ⇑y.conjContinuousAlgEquiv
this : ∀ (x : V →L[𝕜] V), adjoint ↑y ∘SL ↑y ∘SL adjoint x ∘SL ↑y.symm = adjoint x ∘SL adjoint ↑y
x : V →L[𝕜] V
⊢ Commute x (adjoint ↑y ∘SL ↑y)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : CompleteSpace V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝⁴ : CompleteSpace W
F : Type u_4
inst✝³ : EquivLike F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝² : NonUnitalAlgEquivClass F 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝¹ : StarHomClass F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝ : ContinuousMapClass F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
f : F
x y : V →L[𝕜] V
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W
hU : ↑f = U.conjStarAlgEquiv
this : ∀ (a : V →L[𝕜] V), f a = U.conjStarAlgEquiv a
⊢ f x ≤ f y ↔ x ≤ y

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : CompleteSpace V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝⁴ : CompleteSpace W
F : Type u_4
inst✝³ : EquivLike F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝² : NonUnitalAlgEquivClass F 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝¹ : StarHomClass F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝ : ContinuousMapClass F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
f : F
x y : V →L[𝕜] V
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W
hU : ↑f = U.conjStarAlgEquiv
this : ∀ (a : V →L[𝕜] V), f a = U.conjStarAlgEquiv a
⊢ f x ≤ f y ↔ x ≤ y
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : CompleteSpace V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝⁴ : CompleteSpace W
F : Type u_4
inst✝³ : EquivLike F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝² : NonUnitalAlgEquivClass F 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝¹ : StarHomClass F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝ : ContinuousMapClass F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
f : F
x y : V →L[𝕜] V
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W
hU : ↑f = U.conjStarAlgEquiv
this : ∀ (a : V →L[𝕜] V), f a = U.conjStarAlgEquiv a
⊢ (↑(f (y - x))).IsPositive ↔ (↑(y - x)).IsPositive

Tactic:
this

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : CompleteSpace V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝⁴ : CompleteSpace W
F : Type u_4
inst✝³ : EquivLike F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝² : NonUnitalAlgEquivClass F 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝¹ : StarHomClass F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
inst✝ : ContinuousMapClass F (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
f : F
x y : V →L[𝕜] V
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W
hU : ↑f = U.conjStarAlgEquiv
this : ∀ (a : V →L[𝕜] V), f a = U.conjStarAlgEquiv a
⊢ (↑(U.conjStarAlgEquiv (y - x))).IsPositive ↔ (↑(y - x)).IsPositive
Module: Mathlib.Analysis.ODE.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
γ : ℝ → E
v : ℝ → E → E
t₀ dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x ↦ x + dt) (v ∘ fun x ↦ x + dt) (t₀ - dt) ↔ IsIntegralCurveAt γ v t₀

Tactic:
[

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
γ : ℝ → E
v : ℝ → E → E
t₀ dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x ↦ x + dt) (v ∘ fun x ↦ x + dt) (t₀ - dt) ↔ IsIntegralCurveAt γ v t₀
Module: Mathlib.Analysis.ODE.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
γ : ℝ → E
v : ℝ → E → E
dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x ↦ x + dt) (v ∘ fun x ↦ x + dt) ↔ IsIntegralCurve γ v

Tactic:
[

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
γ : ℝ → E
v : ℝ → E → E
dt : ℝ
⊢ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x ↦ x + dt) (v ∘ fun x ↦ x + dt) ↔ IsIntegralCurve γ v
Module: Mathlib.Analysis.ODE.PicardLindelof

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
tmin tmax : ℝ
t₀ : ↑(Icc tmin tmax)
x₀ : E
a r L : ℝ≥0
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ IsClosed {a | a t₀ ∈ closedBall x₀ ↑r}

Tactic:
[

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
tmin tmax : ℝ
t₀ : ↑(Icc tmin tmax)
x₀ : E
a r L : ℝ≥0
inst✝ : CompleteSpace E
⊢ IsClosed {a | a t₀ ∈ closedBall x₀ ↑r}
Module: Mathlib.Analysis.PSeriesComplex

Goal state before:
pp: p : ℂ
⊢ (Summable fun n ↦ 1 / ↑n ^ p) ↔ Summable fun n ↦ 1 / ↑(n + 1) ^ p.re

Tactic:
← summable_nat_add_iff 1 (G := ℂ),

Goal state after:
p : ℂ
⊢ (Summable fun n ↦ 1 / ↑(n + 1) ^ p) ↔ Summable fun n ↦ 1 / ↑(n + 1) ^ p.re
Module: Mathlib.Analysis.ODE.ExistUnique

Goal state before:
pp: case refine_3
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
tmin tmax : ℝ
t₀ : ↑(Icc tmin tmax)
x₀ : E
a r L K : ℝ≥0
hf : IsPicardLindelof f t₀ x₀ a r L K
α : (x : E) → x ∈ closedBall x₀ ↑r → FunSpace t₀ x₀ r L
hα : ∀ (x : E) (hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r), IsFixedPt (FunSpace.next hf hx) (α x hx)
α' : E → ℝ → E := fun x ↦ if hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r then (α x hx).compProj else 0
hα' : α' = fun x ↦ if hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r then (α x hx).compProj else 0
L' : ℝ≥0
h :
  ∀ (x y : E) (hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r) (hy : y ∈ closedBall x₀ ↑r) (α β : FunSpace t₀ x₀ r L),
    IsFixedPt (FunSpace.next hf hx) α → IsFixedPt (FunSpace.next hf hy) β → dist α β ≤ ↑L' * dist x y
t : ℝ
ht : t ∈ Icc tmin tmax
x : E
hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r
y : E
hy : y ∈ closedBall x₀ ↑r
⊢ dist (α' x t) (α' y t) ≤ ↑L' * dist x y

Tactic:
[

Goal state after:
case refine_3
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
tmin tmax : ℝ
t₀ : ↑(Icc tmin tmax)
x₀ : E
a r L K : ℝ≥0
hf : IsPicardLindelof f t₀ x₀ a r L K
α : (x : E) → x ∈ closedBall x₀ ↑r → FunSpace t₀ x₀ r L
hα : ∀ (x : E) (hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r), IsFixedPt (FunSpace.next hf hx) (α x hx)
α' : E → ℝ → E := fun x ↦ if hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r then (α x hx).compProj else 0
hα' : α' = fun x ↦ if hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r then (α x hx).compProj else 0
L' : ℝ≥0
h :
  ∀ (x y : E) (hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r) (hy : y ∈ closedBall x₀ ↑r) (α β : FunSpace t₀ x₀ r L),
    IsFixedPt (FunSpace.next hf hx) α → IsFixedPt (FunSpace.next hf hy) β → dist α β ≤ ↑L' * dist x y
t : ℝ
ht : t ∈ Icc tmin tmax
x : E
hx : x ∈ closedBall x₀ ↑r
y : E
hy : y ∈ closedBall x₀ ↑r
⊢ dist (α' x t) (α' y t) ≤ ↑L' * dist x y
Module: Mathlib.Analysis.ODE.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
t₀ : ℝ
hv : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
ε : ℝ
hε : ε > 0
h :
  ∀ y ∈ ball t₀ ε,
    LipschitzOnWith K (v y) (s y) ∧ (HasDerivAt f (v y (f y)) y ∧ f y ∈ s y) ∧ HasDerivAt g (v y (g y)) y ∧ g y ∈ s y
⊢ EqOn f g (ball t₀ ε)

Tactic:
[

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g : ℝ → E
t₀ : ℝ
hv : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
ε : ℝ
hε : ε > 0
h :
  ∀ y ∈ ball t₀ ε,
    LipschitzOnWith K (v y) (s y) ∧ (HasDerivAt f (v y (f y)) y ∧ f y ∈ s y) ∧ HasDerivAt g (v y (g y)) y ∧ g y ∈ s y
⊢ EqOn f g (ball t₀ ε)
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Fourier

Goal state before:
pp: p : ℂ[X]
this :
  ∑' (i : ℤ), ‖fourierCoeff (↑↑((ContinuousMap.toLp 2 haarAddCircle ℂ) (toAddCircle p))) i‖ ^ 2 =
    ∫ (t : AddCircle (2 * π)), ‖↑↑((ContinuousMap.toLp 2 haarAddCircle ℂ) (toAddCircle p)) t‖ ^ 2 ∂haarAddCircle
⊢ ∑ i ∈ p.support, ‖p.coeff i‖ ^ 2 = Real.circleAverage (fun θ ↦ ‖eval θ p‖ ^ 2) 0 1

Tactic:
[

Goal state after:
p : ℂ[X]
this :
  ∑' (i : ℤ), ‖fourierCoeff (↑↑((ContinuousMap.toLp 2 haarAddCircle ℂ) (toAddCircle p))) i‖ ^ 2 =
    ∫ (t : AddCircle (2 * π)), ‖↑↑((ContinuousMap.toLp 2 haarAddCircle ℂ) (toAddCircle p)) t‖ ^ 2 ∂haarAddCircle
⊢ ∑ i ∈ p.support, ‖p.coeff i‖ ^ 2 = Real.circleAverage (fun θ ↦ ‖eval θ p‖ ^ 2) 0 1
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x ↦ P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atTop

Tactic:
apply Tendsto.const_mul_atTop hpos

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x ↦ x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atTop
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: P Q : ℤ[X]
h : Q.degree < P.degree
o : (fun x ↦ eval x Q) =o[cofinite] fun x ↦ eval x P
nr : ∀ᶠ (x : ℤ) in cofinite, ¬P.IsRoot x
key : ∀ᶠ (x : ℤ) in cofinite, ‖eval x Q‖ < ‖eval x P‖
⊢ {x | |eval x P| ≤ |eval x Q|}.Finite

Tactic:
[

Goal state after:
P Q : ℤ[X]
h : Q.degree < P.degree
o : (fun x ↦ eval x Q) =o[cofinite] fun x ↦ eval x P
nr : ∀ᶠ (x : ℤ) in cofinite, ¬P.IsRoot x
key : ∀ᶠ (x : ℤ) in cofinite, ‖eval x Q‖ < ‖eval x P‖
⊢ {x | |eval x P| ≤ |eval x Q|}.Finite
Module: Mathlib.Analysis.ODE.PicardLindelof

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
t₀ t : ℝ
hf : ContinuousOn (uncurry f) (uIcc t₀ t ×ˢ u)
hα : ∀ t' ∈ uIcc t₀ t, HasDerivWithinAt α (f t' (α t')) (uIcc t₀ t) t'
hmap : MapsTo α (uIcc t₀ t) u
⊢ α t₀ + ∫ (τ : ℝ) in t₀..t, f τ (α τ) = α t₀ + (α t - α t₀)

Tactic:
integral_eq_sub_of_hasDeriv_right (HasDerivWithinAt.continuousOn hα) _
      (continuousOn_comp hf (HasDerivWithinAt.continuousOn hα) hmap |>.intervalIntegrable)

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
t₀ t : ℝ
hf : ContinuousOn (uncurry f) (uIcc t₀ t ×ˢ u)
hα : ∀ t' ∈ uIcc t₀ t, HasDerivWithinAt α (f t' (α t')) (uIcc t₀ t) t'
hmap : MapsTo α (uIcc t₀ t) u
⊢ α t₀ + (α t - α t₀) = α t₀ + (α t - α t₀)

E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
t₀ t : ℝ
hf : ContinuousOn (uncurry f) (uIcc t₀ t ×ˢ u)
hα : ∀ t' ∈ uIcc t₀ t, HasDerivWithinAt α (f t' (α t')) (uIcc t₀ t) t'
hmap : MapsTo α (uIcc t₀ t) u
⊢ ∀ x ∈ Ioo (min t₀ t) (max t₀ t), HasDerivWithinAt α (f x (α x)) (Ioi x) x
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
p : R[X]
h : p.support.Nonempty
hc : 0 ≤ c
⊢ p.coeff p.natDegree ≠ 0 ∧ 0 ≤ v (p.coeff p.natDegree) * c ^ p.natDegree

Tactic:
simp_all only [support_nonempty, ne_eq, coeff_natDegree, leadingCoeff_eq_zero, not_false_eq_true,
    true_and]

Goal state after:
case h
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
p : R[X]
h : ¬p = 0
hc : 0 ≤ c
⊢ 0 ≤ v p.leadingCoeff * c ^ p.natDegree
Module: Mathlib.RingTheory.MvPowerSeries.GaussNorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
⊢ 0 ≤ gaussNorm v c f

Tactic:
gaussNorm

Goal state after:
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
⊢ 0 ≤ ⨆ t, v ((coeff t) f) * t.prod fun x1 x2 ↦ c x1 ^ x2
Module: Mathlib.RingTheory.MvPowerSeries.GaussNorm

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
inst✝ : Semiring R
f g : MvPowerSeries σ R
hc : 0 ≤ c
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
hbfd : HasGaussNorm v c f
hbgd : HasGaussNorm v c g
H : ∀ (t : σ →₀ ℕ), 0 ≤ ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i
t : σ →₀ ℕ
hv : v ((coeff t) f + (coeff t) g) ≤ max (v ((coeff t) f)) (v ((coeff t) g))
h : max (v ((coeff t) f)) (v ((coeff t) g)) = v ((coeff t) f)
this :
  max (v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i) (v ((coeff t) g) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i) =
    v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i
⊢ v ((coeff t) (f + g)) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i ≤
    max (v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i) (v ((coeff t) g) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i)

Tactic:
[

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
inst✝ : Semiring R
f g : MvPowerSeries σ R
hc : 0 ≤ c
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
hbfd : HasGaussNorm v c f
hbgd : HasGaussNorm v c g
H : ∀ (t : σ →₀ ℕ), 0 ≤ ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i
t : σ →₀ ℕ
hv : v ((coeff t) f + (coeff t) g) ≤ max (v ((coeff t) f)) (v ((coeff t) g))
h : max (v ((coeff t) f)) (v ((coeff t) g)) = v ((coeff t) f)
this :
  max (v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i) (v ((coeff t) g) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i) =
    v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i
⊢ v ((coeff t) (f + g)) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i ≤
    max (v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i) (v ((coeff t) g) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i)
Module: Mathlib.RingTheory.MvPowerSeries.GaussNorm

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
inst✝ : Semiring R
f g : MvPowerSeries σ R
hc : 0 ≤ c
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
hbfd : HasGaussNorm v c f
hbgd : HasGaussNorm v c g
H : ∀ (t : σ →₀ ℕ), 0 ≤ ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i
t : σ →₀ ℕ
hv : v ((coeff t) f + (coeff t) g) ≤ max (v ((coeff t) f)) (v ((coeff t) g))
h : max (v ((coeff t) f)) (v ((coeff t) g)) = v ((coeff t) f)
this :
  max (v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i) (v ((coeff t) g) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i) =
    v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i
⊢ v ((coeff t) (f + g)) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i ≤
    max (v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i) (v ((coeff t) g) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i)

Tactic:
this

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
inst✝ : Semiring R
f g : MvPowerSeries σ R
hc : 0 ≤ c
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
hbfd : HasGaussNorm v c f
hbgd : HasGaussNorm v c g
H : ∀ (t : σ →₀ ℕ), 0 ≤ ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i
t : σ →₀ ℕ
hv : v ((coeff t) f + (coeff t) g) ≤ max (v ((coeff t) f)) (v ((coeff t) g))
h : max (v ((coeff t) f)) (v ((coeff t) g)) = v ((coeff t) f)
this :
  max (v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i) (v ((coeff t) g) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i) =
    v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i
⊢ v ((coeff t) (f + g)) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i ≤ v ((coeff t) f) * ∏ i ∈ t.support, c i ^ t i