mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y : ↥(↑f).domain
h : f.eval x = ↑↑f y
z : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y = x - ↑z + (↑z - ↑y)
⊢ ArchimedeanClass.mk (x - ↑z) ≤ ArchimedeanClass.mk (x - ↑y)

Tactic:
this

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y : ↥(↑f).domain
h : f.eval x = ↑↑f y
z : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y = x - ↑z + (↑z - ↑y)
⊢ ArchimedeanClass.mk (x - ↑z) ≤ ArchimedeanClass.mk (x - ↑z + (↑z - ↑y))
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y : ↥(↑f).domain
h : f.eval x = ↑↑f y
z : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y = x - ↑z + (↑z - ↑y)
hyz : ¬↑z - ↑y = 0
c : FiniteArchimedeanClass M
hc : ↑c < ArchimedeanClass.mk (↑z - x)
⊢ (ofLex (f.eval x)).coeff c = (ofLex (↑↑f z)).coeff c

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y : ↥(↑f).domain
h : f.eval x = ↑↑f y
z : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y = x - ↑z + (↑z - ↑y)
hyz : ¬↑z - ↑y = 0
c : FiniteArchimedeanClass M
hc : ↑c < ArchimedeanClass.mk (↑z - x)
⊢ (ofLex (f.eval x)).coeff c = (ofLex (↑↑f z)).coeff c
Module: Mathlib.Algebra.Order.Star.Prod

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring α
inst✝⁶ : NonUnitalSemiring β
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : StarRing β
inst✝¹ : StarOrderedRing α
inst✝ : StarOrderedRing β
xa : α
xy : β
ya : α
yb : β
⊢ closure (Set.range fun s ↦ star s * s) = closure (Set.range fun p ↦ (star p.1 * p.1, star p.2 * p.2))

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring α
inst✝⁶ : NonUnitalSemiring β
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : StarRing β
inst✝¹ : StarOrderedRing α
inst✝ : StarOrderedRing β
xa : α
xy : β
ya : α
yb : β
⊢ closure (Set.range fun s ↦ star s * s) = closure (Set.range fun p ↦ (star p.1 * p.1, star p.2 * p.2))
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y ≠ 0
xy : FiniteArchimedeanClass M := FiniteArchimedeanClass.mk (x - ↑y) this
u : M
hu : ∀ (h : u ≠ 0), xy < FiniteArchimedeanClass.mk u h
v : M
hv : v ∈ seed.stratum xy
huv : u + v = x - ↑y
huv' : x - ↑y - v = u
hyv : ↑y + v ∈ (↑f).domain
h✝ : f.eval x = ↑↑f y
h : True
⊢ ArchimedeanClass.mk (x - ↑y) < ArchimedeanClass.mk (x - (↑y + v))

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y ≠ 0
xy : FiniteArchimedeanClass M := FiniteArchimedeanClass.mk (x - ↑y) this
u : M
hu : ∀ (h : u ≠ 0), xy < FiniteArchimedeanClass.mk u h
v : M
hv : v ∈ seed.stratum xy
huv : u + v = x - ↑y
huv' : x - ↑y - v = u
hyv : ↑y + v ∈ (↑f).domain
h✝ : f.eval x = ↑↑f y
h : True
⊢ ArchimedeanClass.mk (x - ↑y) < ArchimedeanClass.mk (x - (↑y + v))
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : K
⊢ (∃ a_1, ∃ (h : a_1 ∈ A), ⟨a_1, ⋯⟩ ∈ IsLocalRing.maximalIdeal ↥A ∧ a_1 = a) ↔
    ∃ (ha : a ∈ A), ⟨a, ha⟩ ∈ IsLocalRing.maximalIdeal ↥A

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : K
⊢ (∃ a_1, ∃ (h : a_1 ∈ A), ⟨a_1, ⋯⟩ ∈ IsLocalRing.maximalIdeal ↥A ∧ a_1 = a) ↔
    ∃ (ha : a ∈ A), ⟨a, ha⟩ ∈ IsLocalRing.maximalIdeal ↥A
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
h : x < ↑y
hxy0 : ↑y - x ≠ 0
this :
  f.evalCoeff x (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0) <
    (ofLex (↑↑f y)).coeff (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0)
⊢ (ofLex (f.eval x)).coeff (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0) <
    (ofLex (↑↑f y)).coeff (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0)

Tactic:
by
    simpa [eval] using! this

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
h : x < ↑y
hxy0 : ↑y - x ≠ 0
z : ↥(↑f).domain
hz : ↑z - x ∈ ball K (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) ⋯)
this✝ : ↑z ≠ x
hzy : z < y
hzyne : ↑z - ↑y ≠ 0
this : ↑y - ↑z = ↑y - x + (x - ↑z)
⊢ ArchimedeanClass.mk (↑y - x) = ArchimedeanClass.mk (↑y - ↑z)

Tactic:
this

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
h : x < ↑y
hxy0 : ↑y - x ≠ 0
z : ↥(↑f).domain
hz : ↑z - x ∈ ball K (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) ⋯)
this✝ : ↑z ≠ x
hzy : z < y
hzyne : ↑z - ↑y ≠ 0
this : ↑y - ↑z = ↑y - x + (x - ↑z)
⊢ ArchimedeanClass.mk (↑y - x) = ArchimedeanClass.mk (↑y - x + (x - ↑z))
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : ↥A.unitGroup
⊢ x✝ ∈ A.unitGroupToResidueFieldUnits.ker ↔ x✝ ∈ Subgroup.comap A.unitGroup.subtype A.principalUnitGroup

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : ↥A.unitGroup
⊢ x✝ ∈ A.unitGroupToResidueFieldUnits.ker ↔ x✝ ∈ Subgroup.comap A.unitGroup.subtype A.principalUnitGroup
Module: Mathlib.Algebra.Order.UpperLower

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsOrderedMonoid α
s t : Set α
⊢ s * ↑(upperClosure t) = ↑(upperClosure (s * t))

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsOrderedMonoid α
s t : Set α
⊢ s * ↑(upperClosure t) = ↑(upperClosure (s * t))
Module: Mathlib.Algebra.Order.UpperLower

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsOrderedMonoid α
s t : Set α
⊢ s * ↑(lowerClosure t) = ↑(lowerClosure (s * t))

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsOrderedMonoid α
s t : Set α
⊢ s * ↑(lowerClosure t) = ↑(lowerClosure (s * t))
Module: Mathlib.Algebra.Order.UpperLower

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsOrderedMonoid α
s t : Set α
⊢ ↑(upperClosure s) * t = ↑(upperClosure (s * t))

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsOrderedMonoid α
s t : Set α
⊢ ↑(upperClosure s) * t = ↑(upperClosure (s * t))
Module: Mathlib.Algebra.Order.UpperLower

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsOrderedMonoid α
s t : Set α
⊢ ↑(lowerClosure s) * t = ↑(lowerClosure (s * t))

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsOrderedMonoid α
s t : Set α
⊢ ↑(lowerClosure s) * t = ↑(lowerClosure (s * t))
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.StandardPart

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝⁶ : LinearOrder K
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsOrderedRing K
x✝ y✝ : K
R : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
x : FiniteResidueField K
hx : 0 ≤ x
y z : FiniteResidueField K
h : y ≤ z
⊢ y * x ≤ z * x

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝⁶ : LinearOrder K
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsOrderedRing K
x✝ y✝ : K
R : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
x : FiniteResidueField K
hx : 0 ≤ x
y z : FiniteResidueField K
h : y ≤ z
⊢ y * x ≤ z * x
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
hx' : ∀ {c : K}, c ≠ 0 → -c • x ∉ (↑f).domain
y z : ↥(f.extendFun hx).domain
hyz : 0 < z - y
hyzmem : ↑(z - y) ∈ (↑f).domain ⊔ K ∙ x
a : M
ha : a ∈ (↑f).domain
b : M
hb : b ∈ K ∙ x
hab : a + b = ↑(z - y)
⊢ z - y = ⟨a + b, ⋯⟩

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
hx' : ∀ {c : K}, c ≠ 0 → -c • x ∉ (↑f).domain
y z : ↥(f.extendFun hx).domain
hyz : 0 < z - y
hyzmem : ↑(z - y) ∈ (↑f).domain ⊔ K ∙ x
a : M
ha : a ∈ (↑f).domain
b : M
hb : b ∈ K ∙ x
hab : a + b = ↑(z - y)
⊢ z - y = ⟨a + b, ⋯⟩
Module: Mathlib.Algebra.Pointwise.Stabilizer

Goal state before:
pp: case refine_2
G : Type u_1
α : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set α
h : ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s
⊢ a • s = s

Tactic:
[

Goal state after:
case refine_2
G : Type u_1
α : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set α
h : ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s
⊢ a • s = s
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
hx' : ∀ {c : K}, c ≠ 0 → -c • x ∉ (↑f).domain
y z : ↥(f.extendFun hx).domain
hyz : 0 < z - y
hyzmem : ↑(z - y) ∈ (↑f).domain ⊔ K ∙ x
a : M
ha : a ∈ (↑f).domain
b : M
hb : b ∈ K ∙ x
hab : a + b = ↑(z - y)
this : z - y = ⟨a + b, ⋯⟩
⊢ 0 < ↑(f.extendFun hx) (z - y)

Tactic:
this

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
hx' : ∀ {c : K}, c ≠ 0 → -c • x ∉ (↑f).domain
y z : ↥(f.extendFun hx).domain
hyzmem : ↑(z - y) ∈ (↑f).domain ⊔ K ∙ x
a : M
ha : a ∈ (↑f).domain
b : M
hb : b ∈ K ∙ x
hab : a + b = ↑(z - y)
hyz : 0 < ⟨a + b, ⋯⟩
this : z - y = ⟨a + b, ⋯⟩
⊢ 0 < ↑(f.extendFun hx) ⟨a + b, ⋯⟩
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
hx' : ∀ {c : K}, c ≠ 0 → -c • x ∉ (↑f).domain
y z : ↥(f.extendFun hx).domain
hyzmem : ↑(z - y) ∈ (↑f).domain ⊔ K ∙ x
a : M
ha : a ∈ (↑f).domain
b : M
hb : b ∈ K ∙ x
hab : a + b = ↑(z - y)
hyz : 0 < ⟨a + b, ⋯⟩
this : z - y = ⟨a + b, ⋯⟩
c : K
habpos : 0 < a + c • x
hc : c • x = b
⊢ 0 < ↑(f.extendFun hx) ⟨a + b, ⋯⟩

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
hx' : ∀ {c : K}, c ≠ 0 → -c • x ∉ (↑f).domain
y z : ↥(f.extendFun hx).domain
hyzmem : ↑(z - y) ∈ (↑f).domain ⊔ K ∙ x
a : M
ha : a ∈ (↑f).domain
b : M
hb : b ∈ K ∙ x
hab : a + b = ↑(z - y)
hyz : 0 < ⟨a + b, ⋯⟩
this : z - y = ⟨a + b, ⋯⟩
c : K
habpos : 0 < a + c • x
hc : c • x = b
⊢ 0 < ↑(f.extendFun hx) ⟨a + b, ⋯⟩
Module: Mathlib.Algebra.Pointwise.Stabilizer

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
s : Subgroup G
⊢ stabilizer G ↑s = s

Tactic:
[

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
s : Subgroup G
⊢ stabilizer G ↑s = s
Module: Mathlib.Algebra.Pointwise.Stabilizer

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
s : Subgroup G
⊢ stabilizer Gᵐᵒᵖ ↑s = s.op

Tactic:
[

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
s : Subgroup G
⊢ stabilizer Gᵐᵒᵖ ↑s = s.op
Module: Mathlib.Algebra.Pointwise.Stabilizer

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ stabilizer G ↑s = s.unop

Tactic:
[

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
⊢ stabilizer G ↑s = s.unop
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.StandardPart

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝⁶ : LinearOrder K
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsOrderedRing K
x✝ y✝ : K
R : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : R →+*o K
x y : R
⊢ mk (FiniteElement.mk (f (x * y)) ⋯) = mk (FiniteElement.mk (f x) ⋯) * mk (FiniteElement.mk (f y) ⋯)

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝⁶ : LinearOrder K
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsOrderedRing K
x✝ y✝ : K
R : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : R →+*o K
x y : R
⊢ mk (FiniteElement.mk (f (x * y)) ⋯) = mk (FiniteElement.mk (f x) ⋯) * mk (FiniteElement.mk (f y) ⋯)
Module: Mathlib.Algebra.Pointwise.Stabilizer

Goal state before:
pp: G : Type u_1
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ a ∈ stabilizer G s ↔ ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s

Tactic:
[

Goal state after:
G : Type u_1
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ a ∈ stabilizer G s ↔ ∀ (b : α), a • b ∈ s ↔ b ∈ s
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.StandardPart

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝⁶ : LinearOrder K
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsOrderedRing K
x✝ y✝ : K
R : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : R →+*o K
x y : R
⊢ mk (FiniteElement.mk (f (x + y)) ⋯) = mk (FiniteElement.mk (f x) ⋯) + mk (FiniteElement.mk (f y) ⋯)

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝⁶ : LinearOrder K
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsOrderedRing K
x✝ y✝ : K
R : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : R →+*o K
x y : R
⊢ mk (FiniteElement.mk (f (x + y)) ⋯) = mk (FiniteElement.mk (f x) ⋯) + mk (FiniteElement.mk (f y) ⋯)
Module: Mathlib.Algebra.Pointwise.Stabilizer

Goal state before:
pp: G : Type u_1
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s ⊆ a⁻¹ • s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a • b ∈ s

Tactic:
[

Goal state after:
G : Type u_1
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ s ⊆ a⁻¹ • s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a • b ∈ s
Module: Mathlib.Algebra.Pointwise.Stabilizer

Goal state before:
pp: G : Type u_1
α : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Set α
hs : s.Finite
⊢ a ∈ stabilizer G s ↔ a • s ⊆ s

Tactic:
by
  lift s to Finset α using hs
  classical
  rw [stabilizer_coe_finset, mem_stabilizer_finset_iff_smul_finset_subset, ← Finset.coe_smul_finset,
    Finset.coe_subset]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Pointwise.Stabilizer

Goal state before:
pp: case H
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
a : G
this : ↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' (a • s)
⊢ ↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' s ↔ a • s = s

Tactic:
this

Goal state after:
case H
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
a : G
this : ↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' (a • s)
⊢ QuotientGroup.mk '' (a • s) = QuotientGroup.mk '' s ↔ a • s = s
Module: Mathlib.Algebra.Pointwise.Stabilizer

Goal state before:
pp: case H
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
a : G
this : ↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' (a • s)
h : QuotientGroup.mk '' (a • s) = QuotientGroup.mk '' s
⊢ a • s = s

Tactic:
rwa [QuotientGroup.image_coe_inj, mul_smul_comm, stabilizer_mul_self] at h

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.StandardPart

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : LinearOrder K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsOrderedRing K
x : K
⊢ stdPart (-x) = -stdPart x

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝² : LinearOrder K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsOrderedRing K
x : K
⊢ stdPart (-x) = -stdPart x
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: case pos.inl
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
c : FiniteArchimedeanClass M
y : ↥(↑f).domain
hy : ↑y - x ∈ ball K c
z : ↥(↑f).domain
hz : ↑↑f z = toLex ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y)))
d : FiniteArchimedeanClass M
hdc : d < c
⊢ ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y))).coeff d = ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (f.eval x))).coeff d

Tactic:
[

Goal state after:
case pos.inl
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
c : FiniteArchimedeanClass M
y : ↥(↑f).domain
hy : ↑y - x ∈ ball K c
z : ↥(↑f).domain
hz : ↑↑f z = toLex ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y)))
d : FiniteArchimedeanClass M
hdc : d < c
⊢ ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y))).coeff d = ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (f.eval x))).coeff d
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: case pos.inr
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
c : FiniteArchimedeanClass M
y : ↥(↑f).domain
hy : ↑y - x ∈ ball K c
z : ↥(↑f).domain
hz : ↑↑f z = toLex ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y)))
d : FiniteArchimedeanClass M
hdc : c ≤ d
⊢ ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y))).coeff d = ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (f.eval x))).coeff d

Tactic:
[

Goal state after:
case pos.inr
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
c : FiniteArchimedeanClass M
y : ↥(↑f).domain
hy : ↑y - x ∈ ball K c
z : ↥(↑f).domain
hz : ↑↑f z = toLex ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y)))
d : FiniteArchimedeanClass M
hdc : c ≤ d
⊢ ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y))).coeff d = ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (f.eval x))).coeff d