mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Inverse

Goal state before:
pp: case hbc
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j, ‖p.rightInv i x (c.blocksFun j)‖ ≤
    ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), (r * ∑ j ∈ Ico 1 n, a ^ j * ‖p.rightInv i x j‖) ^ k

Tactic:
[

Goal state after:
case hbc
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j, ‖p.rightInv i x (c.blocksFun j)‖ ≤
    ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), (r * ∑ j ∈ Ico 1 n, a ^ j * ‖p.rightInv i x j‖) ^ k
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n ↦ z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))) ↔
    ∀ᶠ (a : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n ↦ (z₀ + a - z₀) ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + a))

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n ↦ z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))) ↔
    ∀ᶠ (a : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n ↦ (z₀ + a - z₀) ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + a))
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Composition

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
m n : ℕ
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hg : HasFiniteFPowerSeriesAt g q (f x) m
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f p x n
hn : 0 < n
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesOnBall (g ∘ f) (q.comp p) x r
i : ℕ
c : Composition i
v : Fin i → E
hc : c.length < m
hi : ∀ (j : Fin c.length), c.blocksFun j < n
h'c : c.length = 0
this : ∑ j, c.blocksFun j = 0
⊢ ∑ i_1, c.blocksFun i_1 < m * n

Tactic:
this

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
m n : ℕ
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hg : HasFiniteFPowerSeriesAt g q (f x) m
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f p x n
hn : 0 < n
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesOnBall (g ∘ f) (q.comp p) x r
i : ℕ
c : Composition i
v : Fin i → E
hc : c.length < m
hi : ∀ (j : Fin c.length), c.blocksFun j < n
h'c : c.length = 0
this : ∑ j, c.blocksFun j = 0
⊢ 0 < m * n
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
t : Set E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p t e r
hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t e s
y : E
h'y : e + y ∈ insert e t
hy : y ∈ Metric.eball 0 (min r s)
⊢ HasSum (fun n ↦ (p.prod q n) fun x ↦ y) (f (e + y), g (e + y))

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
t : Set E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p t e r
hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t e s
y : E
h'y : e + y ∈ insert e t
hy : y ∈ Metric.eball 0 (min r s)
⊢ HasSum (fun n ↦ (p.prod q n) fun x ↦ y) (f (e + y), g (e + y))
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
p : (i : ι) → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (Fm i)
i : ι
⊢ (pi p).radius ≤ (p i).radius

Tactic:
by
  apply le_of_forall_nnreal_lt (fun r' hr' ↦ ?_)
  obtain ⟨C, -, hC⟩ : ∃ C > 0, ∀ n, ‖pi p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C := norm_mul_pow_le_of_lt_radius _ hr'
  apply le_radius_of_bound _ C (fun n ↦ ?_)
  apply le_trans _ (hC n)
  gcongr
  rw [pi, ContinuousMultilinearMap.opNorm_pi]
  exact norm_le_pi_norm (fun i ↦ p i n) i

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
r : ℝ≥0∞
p : (i : ι) → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (Fm i)
hf : ∀ (i : ι), HasFPowerSeriesOnBall (f i) (p i) e r
hr : 0 < r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun x x_1 ↦ f x_1 x) (FormalMultilinearSeries.pi p) e r

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
r : ℝ≥0∞
p : (i : ι) → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (Fm i)
hf : ∀ (i : ι), HasFPowerSeriesOnBall (f i) (p i) e r
hr : 0 < r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun x x_1 ↦ f x_1 x) (FormalMultilinearSeries.pi p) e r
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
r : ℝ≥0∞
p : (i : ι) → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (Fm i)
hr : 0 < r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun x x_1 ↦ f x_1 x) (FormalMultilinearSeries.pi p) e r ↔
    ∀ (i : ι), HasFPowerSeriesOnBall (f i) (p i) e r

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
r : ℝ≥0∞
p : (i : ι) → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (Fm i)
hr : 0 < r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun x x_1 ↦ f x_1 x) (FormalMultilinearSeries.pi p) e r ↔
    ∀ (i : ι), HasFPowerSeriesOnBall (f i) (p i) e r
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
p : (i : ι) → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (Fm i)
hf : ∀ (i : ι), HasFPowerSeriesAt (f i) (p i) e
⊢ HasFPowerSeriesAt (fun x x_1 ↦ f x_1 x) (FormalMultilinearSeries.pi p) e

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
p : (i : ι) → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (Fm i)
hf : ∀ (i : ι), HasFPowerSeriesAt (f i) (p i) e
⊢ HasFPowerSeriesAt (fun x x_1 ↦ f x_1 x) (FormalMultilinearSeries.pi p) e
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
p : (i : ι) → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (Fm i)
⊢ HasFPowerSeriesAt (fun x x_1 ↦ f x_1 x) (FormalMultilinearSeries.pi p) e ↔ ∀ (i : ι), HasFPowerSeriesAt (f i) (p i) e

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
p : (i : ι) → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (Fm i)
⊢ HasFPowerSeriesAt (fun x x_1 ↦ f x_1 x) (FormalMultilinearSeries.pi p) e ↔ ∀ (i : ι), HasFPowerSeriesAt (f i) (p i) e
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
hf : ∀ (i : ι), AnalyticAt 𝕜 (f i) e
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x x_1 ↦ f x_1 x) e

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
hf : ∀ (i : ι), AnalyticAt 𝕜 (f i) e
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x x_1 ↦ f x_1 x) e
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x x_1 ↦ f x_1 x) e ↔ ∀ (i : ι), AnalyticAt 𝕜 (f i) e

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
e : E
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
f : (i : ι) → E → Fm i
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun x x_1 ↦ f x_1 x) e ↔ ∀ (i : ι), AnalyticAt 𝕜 (f i) e
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_8
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f : E → 𝕝
s : Set E
n : ℤ
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
hn : 0 ≤ n
⊢ AnalyticOnNhd 𝕜 (f ^ n) s

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_8
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f : E → 𝕝
s : Set E
n : ℤ
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
hn : 0 ≤ n
⊢ AnalyticOnNhd 𝕜 (f ^ n) s
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_7
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A = FormalMultilinearSeries.ofScalars A fun x ↦ 1

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_7
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A = FormalMultilinearSeries.ofScalars A fun x ↦ 1
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_8
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f g : E → 𝕝
z : E
h₁f : AnalyticAt 𝕜 f z
h₂f : f z ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 g z ↔ AnalyticAt 𝕜 (f * g) z

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_8
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f g : E → 𝕝
z : E
h₁f : AnalyticAt 𝕜 f z
h₂f : f z ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 g z ↔ AnalyticAt 𝕜 (f * g) z
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_8
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f g : E → 𝕝
s : Set E
x : E
fa : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
ga : AnalyticWithinAt 𝕜 g s x
g0 : g x ≠ 0
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 (fun x ↦ f x / g x) s x

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_8
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f g : E → 𝕝
s : Set E
x : E
fa : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
ga : AnalyticWithinAt 𝕜 g s x
g0 : g x ≠ 0
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 (fun x ↦ f x / g x) s x
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_8
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f g : E → 𝕝
x : E
fa : AnalyticAt 𝕜 f x
ga : AnalyticAt 𝕜 g x
g0 : g x ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (f / g) x

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕝 : Type u_8
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
f g : E → 𝕝
x : E
fa : AnalyticAt 𝕜 f x
ga : AnalyticAt 𝕜 g x
g0 : g x ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (f / g) x
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: case insert
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
c : E
s : Set E
a : α
B : Finset α
aB : a ∉ B
hB : (∀ n ∈ B, AnalyticWithinAt 𝕜 (f n) s c) → AnalyticWithinAt 𝕜 (∑ n ∈ B, f n) s c
h : ∀ n ∈ insert a B, AnalyticWithinAt 𝕜 (f n) s c
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 (∑ n ∈ insert a B, f n) s c

Tactic:
[

Goal state after:
case insert
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
c : E
s : Set E
a : α
B : Finset α
aB : a ∉ B
hB : (∀ n ∈ B, AnalyticWithinAt 𝕜 (f n) s c) → AnalyticWithinAt 𝕜 (∑ n ∈ B, f n) s c
h : ∀ n ∈ insert a B, AnalyticWithinAt 𝕜 (f n) s c
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 (∑ n ∈ insert a B, f n) s c
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
c : E
N : Finset α
h : ∀ n ∈ N, AnalyticAt 𝕜 (f n) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (∑ n ∈ N, f n) c

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
c : E
N : Finset α
h : ∀ n ∈ N, AnalyticAt 𝕜 (f n) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (∑ n ∈ N, f n) c
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: case insert
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
A : Type u_9
inst✝¹ : NormedCommRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → A
c : E
s : Set E
a : α
B : Finset α
aB : a ∉ B
hB : (∀ n ∈ B, AnalyticWithinAt 𝕜 (f n) s c) → AnalyticWithinAt 𝕜 (fun z ↦ ∏ n ∈ B, f n z) s c
h : ∀ n ∈ insert a B, AnalyticWithinAt 𝕜 (f n) s c
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 (fun z ↦ ∏ n ∈ insert a B, f n z) s c

Tactic:
[

Goal state after:
case insert
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
A : Type u_9
inst✝¹ : NormedCommRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → A
c : E
s : Set E
a : α
B : Finset α
aB : a ∉ B
hB : (∀ n ∈ B, AnalyticWithinAt 𝕜 (f n) s c) → AnalyticWithinAt 𝕜 (fun z ↦ ∏ n ∈ B, f n z) s c
h : ∀ n ∈ insert a B, AnalyticWithinAt 𝕜 (f n) s c
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 (fun z ↦ ∏ n ∈ insert a B, f n z) s c
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
A : Type u_9
inst✝¹ : NormedCommRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → A
c : E
N : Finset α
h : ∀ n ∈ N, AnalyticAt 𝕜 (f n) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ ∏ n ∈ N, f n z) c

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
A : Type u_9
inst✝¹ : NormedCommRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f : α → E → A
c : E
N : Finset α
h : ∀ n ∈ N, AnalyticAt 𝕜 (f n) c
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ ∏ n ∈ N, f n z) c
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Add

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
R : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
c : R
⊢ fderiv 𝕜 (c • f) = c • fderiv 𝕜 f

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
R : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
c : R
⊢ fderiv 𝕜 (c • f) = c • fderiv 𝕜 f
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E
⊢ HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) (↑iso ∘SL f') x ↔ HasFDerivAt f f' x

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E
⊢ HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) (↑iso ∘SL f') x ↔ HasFDerivAt f f' x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Add

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
c : F
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x ↦ f x + c) f' x ↔ HasStrictFDerivAt f f' x

Tactic:
by
  simp [hasStrictFDerivAt_iff_isLittleO]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) f' x ↔ HasFDerivAt f (↑iso.symm ∘SL f') x

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] F
⊢ HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) f' x ↔ HasFDerivAt f (↑iso.symm ∘SL f') x
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Completion

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (Completion α × Completion α)
hs : s ∈ 𝓤 (Completion α)
t : Set (Completion α × Completion α)
ht : t ∈ 𝓤 (Completion α)
tclosed : IsClosed t
ts : t ⊆ s
A : {x | (↑x.1, ↑x.2) ∈ t} ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ ⦃a b : α⦄, dist a b < ε → (a, b) ∈ {x | (↑x.1, ↑x.2) ∈ t}
x y : Completion α
hxy : dist x y < ε
this : {x | ε ≤ dist x.1 x.2 ∨ (x.1, x.2) ∈ t} = {p | ε ≤ dist p.1 p.2} ∪ t
⊢ IsClosed {x | ε ≤ dist x.1 x.2 ∨ (x.1, x.2) ∈ t}

Tactic:
this

Goal state after:
case refine_1
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (Completion α × Completion α)
hs : s ∈ 𝓤 (Completion α)
t : Set (Completion α × Completion α)
ht : t ∈ 𝓤 (Completion α)
tclosed : IsClosed t
ts : t ⊆ s
A : {x | (↑x.1, ↑x.2) ∈ t} ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ ⦃a b : α⦄, dist a b < ε → (a, b) ∈ {x | (↑x.1, ↑x.2) ∈ t}
x y : Completion α
hxy : dist x y < ε
this : {x | ε ≤ dist x.1 x.2 ∨ (x.1, x.2) ∈ t} = {p | ε ≤ dist p.1 p.2} ∪ t
⊢ IsClosed ({p | ε ≤ dist p.1 p.2} ∪ t)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.CompCLM

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
x : E
s : Set E
ι : Type u_5
c : E → F [⋀^ι]→L[𝕜] G
inst✝ : Finite ι
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
u : ι → F
m : E
this : Fintype ι
⊢ (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ (c y) u) s x) m = ((fderivWithin 𝕜 c s x) m) u

Tactic:
simp [fderivWithin_continuousAlternatingMap_apply_const hxs hc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h :
  HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) f p s ∧
    (∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y n) (p x n.succ).curryLeft s x) ∧ ContinuousOn (fun x ↦ p x (n + 1)) s
m : ℕ
hm : ↑m < ↑n + 1
h' : ¬m < n
this : m = n
⊢ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun x ↦ p x m) (p x m.succ).curryLeft s x

Tactic:
this

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h :
  HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) f p s ∧
    (∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y n) (p x n.succ).curryLeft s x) ∧ ContinuousOn (fun x ↦ p x (n + 1)) s
m : ℕ
hm : ↑m < ↑n + 1
h' : ¬m < n
this : m = n
⊢ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun x ↦ p x n) (p x n.succ).curryLeft s x