mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Algebraic.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : NoZeroDivisors S
inst✝⁴ : Algebra R S
alg : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
inj : Injective ⇑(algebraMap R A)
s : S
eq : (algebraMap S A) s = 0
ne✝ : ¬s = 0
r : R
ne : r ≠ 0
dvd : s ∣ (algebraMap R S) r
⊢ 0 ∣ (algebraMap R A) r

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : NoZeroDivisors S
inst✝⁴ : Algebra R S
alg : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
inj : Injective ⇑(algebraMap R A)
s : S
eq : (algebraMap S A) s = 0
ne✝ : ¬s = 0
r : R
ne : r ≠ 0
dvd : s ∣ (algebraMap R S) r
⊢ 0 ∣ (algebraMap R A) r
Module: Mathlib.RingTheory.Algebraic.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
this : (↑x)⁻¹ = (-p.coeff 0)⁻¹ • ↑((aeval x) p.divX)
⊢ (↑x)⁻¹ ∈ A

Tactic:
this

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
this : (↑x)⁻¹ = (-p.coeff 0)⁻¹ • ↑((aeval x) p.divX)
⊢ (-p.coeff 0)⁻¹ • ↑((aeval x) p.divX) ∈ A
Module: Mathlib.Order.DirectedInverseSystem

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁷ : Preorder ι
F₁ : ι → Type u_2
F₂ : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
X : ι → Type u_5
T₁ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_6
f₁ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₁ h
inst✝⁶ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₁ h) (F₁ i) (F₁ j)
inst✝⁵ : DirectedSystem F₁ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₁ x1 x2 x3)
T₂ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_7
f₂ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₂ h
inst✝⁴ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₂ h) (F₂ i) (F₂ j)
inst✝³ : DirectedSystem F₂ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₂ x1 x2 x3)
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
C : Sort u_9
ih : (i : ι) → F i → C
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F i), ih i x = ih j ((f i j h) x)
z : DirectLimit F f
x y : (i : ι) × F i
x✝ : x ≈ y
k : ι
hxk : x.fst ≤ k
hyk : y.fst ≤ k
eq : (f x.fst k hxk) x.snd = (f y.fst k hyk) y.snd
⊢ ⋯ ▸ ih x.fst x.snd = ih y.fst y.snd

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁷ : Preorder ι
F₁ : ι → Type u_2
F₂ : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
X : ι → Type u_5
T₁ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_6
f₁ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₁ h
inst✝⁶ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₁ h) (F₁ i) (F₁ j)
inst✝⁵ : DirectedSystem F₁ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₁ x1 x2 x3)
T₂ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_7
f₂ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₂ h
inst✝⁴ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₂ h) (F₂ i) (F₂ j)
inst✝³ : DirectedSystem F₂ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₂ x1 x2 x3)
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
C : Sort u_9
ih : (i : ι) → F i → C
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F i), ih i x = ih j ((f i j h) x)
z : DirectLimit F f
x y : (i : ι) × F i
x✝ : x ≈ y
k : ι
hxk : x.fst ≤ k
hyk : y.fst ≤ k
eq : (f x.fst k hxk) x.snd = (f y.fst k hyk) y.snd
⊢ ⋯ ▸ ih x.fst x.snd = ih y.fst y.snd
Module: Mathlib.Order.DirectedInverseSystem

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝³ : Preorder ι
F : ι → Type u_4
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
C : Sort u_9
ih : (i : ι) → F i → C
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F i), ih i x = ih j ((f i j h) x)
h : ∀ (i : ι), Function.Injective (ih i)
i : ι
x y : F i
eq : DirectLimit.lift f ih compat ⟦⟨i, x⟩⟧ = DirectLimit.lift f ih compat ⟦⟨i, y⟩⟧
⊢ ⟦⟨i, x⟩⟧ = ⟦⟨i, y⟩⟧

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝³ : Preorder ι
F : ι → Type u_4
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
C : Sort u_9
ih : (i : ι) → F i → C
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F i), ih i x = ih j ((f i j h) x)
h : ∀ (i : ι), Function.Injective (ih i)
i : ι
x y : F i
eq : DirectLimit.lift f ih compat ⟦⟨i, x⟩⟧ = DirectLimit.lift f ih compat ⟦⟨i, y⟩⟧
⊢ ⟦⟨i, x⟩⟧ = ⟦⟨i, y⟩⟧
Module: Mathlib.Order.DirectedInverseSystem

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁷ : Preorder ι
F₁ : ι → Type u_2
F₂ : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
X : ι → Type u_5
T₁ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_6
f₁ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₁ h
inst✝⁶ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₁ h) (F₁ i) (F₁ j)
inst✝⁵ : DirectedSystem F₁ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₁ x1 x2 x3)
T₂ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_7
f₂ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₂ h
inst✝⁴ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₂ h) (F₂ i) (F₂ j)
inst✝³ : DirectedSystem F₂ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₂ x1 x2 x3)
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
ih : (i : ι) → F₁ i → F₂ i
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F₁ i), (f₂ i j h) (ih i x) = ih j ((f₁ i j h) x)
z : DirectLimit F₁ f₁
j k : ι
h : j ≤ k
x : F₁ j
i : ι
hji : j ≤ i
hki : k ≤ i
⊢ (f₂ j i hji) (ih j x) = (f₂ k i hki) (ih k ((f₁ j k h) x))

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁷ : Preorder ι
F₁ : ι → Type u_2
F₂ : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
X : ι → Type u_5
T₁ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_6
f₁ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₁ h
inst✝⁶ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₁ h) (F₁ i) (F₁ j)
inst✝⁵ : DirectedSystem F₁ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₁ x1 x2 x3)
T₂ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_7
f₂ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₂ h
inst✝⁴ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₂ h) (F₂ i) (F₂ j)
inst✝³ : DirectedSystem F₂ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₂ x1 x2 x3)
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
ih : (i : ι) → F₁ i → F₂ i
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F₁ i), (f₂ i j h) (ih i x) = ih j ((f₁ i j h) x)
z : DirectLimit F₁ f₁
j k : ι
h : j ≤ k
x : F₁ j
i : ι
hji : j ≤ i
hki : k ≤ i
⊢ (f₂ j i hji) (ih j x) = (f₂ k i hki) (ih k ((f₁ j k h) x))
Module: Mathlib.Order.DirectedInverseSystem

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁷ : Preorder ι
F₁ : ι → Type u_2
F₂ : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
X : ι → Type u_5
T₁ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_6
f₁ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₁ h
inst✝⁶ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₁ h) (F₁ i) (F₁ j)
inst✝⁵ : DirectedSystem F₁ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₁ x1 x2 x3)
T₂ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_7
f₂ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₂ h
inst✝⁴ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₂ h) (F₂ i) (F₂ j)
inst✝³ : DirectedSystem F₂ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₂ x1 x2 x3)
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
C : Sort u_9
ih : (i : ι) → F₁ i → F₂ i → C
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F₁ i) (y : F₂ i), ih i x y = ih j ((f₁ i j h) x) ((f₂ i j h) y)
z : (i : ι) × F₁ i
w : (i : ι) × F₂ i
j : ι
hzj : z.fst ≤ j
hwj : w.fst ≤ j
k : ι
hzk : z.fst ≤ k
hwk : w.fst ≤ k
i : ι
hji : j ≤ i
hki : k ≤ i
⊢ ih j ((f₁ z.fst j hzj) z.snd) ((f₂ w.fst j hwj) w.snd) = ih k ((f₁ z.fst k hzk) z.snd) ((f₂ w.fst k hwk) w.snd)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁷ : Preorder ι
F₁ : ι → Type u_2
F₂ : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
X : ι → Type u_5
T₁ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_6
f₁ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₁ h
inst✝⁶ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₁ h) (F₁ i) (F₁ j)
inst✝⁵ : DirectedSystem F₁ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₁ x1 x2 x3)
T₂ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_7
f₂ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₂ h
inst✝⁴ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₂ h) (F₂ i) (F₂ j)
inst✝³ : DirectedSystem F₂ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₂ x1 x2 x3)
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
C : Sort u_9
ih : (i : ι) → F₁ i → F₂ i → C
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F₁ i) (y : F₂ i), ih i x y = ih j ((f₁ i j h) x) ((f₂ i j h) y)
z : (i : ι) × F₁ i
w : (i : ι) × F₂ i
j : ι
hzj : z.fst ≤ j
hwj : w.fst ≤ j
k : ι
hzk : z.fst ≤ k
hwk : w.fst ≤ k
i : ι
hji : j ≤ i
hki : k ≤ i
⊢ ih j ((f₁ z.fst j hzj) z.snd) ((f₂ w.fst j hwj) w.snd) = ih k ((f₁ z.fst k hzk) z.snd) ((f₂ w.fst k hwk) w.snd)
Module: Mathlib.Order.DirectedInverseSystem

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁷ : Preorder ι
F₁ : ι → Type u_2
F₂ : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
X : ι → Type u_5
T₁ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_6
f₁ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₁ h
inst✝⁶ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₁ h) (F₁ i) (F₁ j)
inst✝⁵ : DirectedSystem F₁ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₁ x1 x2 x3)
T₂ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_7
f₂ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₂ h
inst✝⁴ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₂ h) (F₂ i) (F₂ j)
inst✝³ : DirectedSystem F₂ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₂ x1 x2 x3)
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
C : Sort u_9
ih : (i : ι) → F₁ i → F₂ i → C
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F₁ i) (y : F₂ i), ih i x y = ih j ((f₁ i j h) x) ((f₂ i j h) y)
z : DirectLimit F₁ f₁
w : DirectLimit F₂ f₂
x✝⁵ : (i : ι) × F₁ i
x✝⁴ : (i : ι) × F₂ i
x✝³ : (i : ι) × F₁ i
x✝² : (i : ι) × F₂ i
x✝¹ : x✝⁵ ≈ x✝³
x✝ : x✝⁴ ≈ x✝²
j : ι
hx : x✝⁵.fst ≤ j
hyj : x✝³.fst ≤ j
jeq : (f₁ x✝⁵.fst j hx) x✝⁵.snd = (f₁ x✝³.fst j hyj) x✝³.snd
k : ι
hyk : x✝⁴.fst ≤ k
hz : x✝².fst ≤ k
keq : (f₂ x✝⁴.fst k hyk) x✝⁴.snd = (f₂ x✝².fst k hz) x✝².snd
i : ι
hji : j ≤ i
hki : k ≤ i
⊢ ↑(lift₂Aux f₁ f₂ ih compat x✝⁵ x✝⁴) = ↑(lift₂Aux f₁ f₂ ih compat x✝³ x✝²)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁷ : Preorder ι
F₁ : ι → Type u_2
F₂ : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
X : ι → Type u_5
T₁ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_6
f₁ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₁ h
inst✝⁶ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₁ h) (F₁ i) (F₁ j)
inst✝⁵ : DirectedSystem F₁ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₁ x1 x2 x3)
T₂ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_7
f₂ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₂ h
inst✝⁴ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₂ h) (F₂ i) (F₂ j)
inst✝³ : DirectedSystem F₂ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₂ x1 x2 x3)
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
C : Sort u_9
ih : (i : ι) → F₁ i → F₂ i → C
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F₁ i) (y : F₂ i), ih i x y = ih j ((f₁ i j h) x) ((f₂ i j h) y)
z : DirectLimit F₁ f₁
w : DirectLimit F₂ f₂
x✝⁵ : (i : ι) × F₁ i
x✝⁴ : (i : ι) × F₂ i
x✝³ : (i : ι) × F₁ i
x✝² : (i : ι) × F₂ i
x✝¹ : x✝⁵ ≈ x✝³
x✝ : x✝⁴ ≈ x✝²
j : ι
hx : x✝⁵.fst ≤ j
hyj : x✝³.fst ≤ j
jeq : (f₁ x✝⁵.fst j hx) x✝⁵.snd = (f₁ x✝³.fst j hyj) x✝³.snd
k : ι
hyk : x✝⁴.fst ≤ k
hz : x✝².fst ≤ k
keq : (f₂ x✝⁴.fst k hyk) x✝⁴.snd = (f₂ x✝².fst k hz) x✝².snd
i : ι
hji : j ≤ i
hki : k ≤ i
⊢ ↑(lift₂Aux f₁ f₂ ih compat x✝⁵ x✝⁴) = ↑(lift₂Aux f₁ f₂ ih compat x✝³ x✝²)
Module: Mathlib.Order.DirectedInverseSystem

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁷ : Preorder ι
F₁ : ι → Type u_2
F₂ : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
X : ι → Type u_5
T₁ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_6
f₁ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₁ h
inst✝⁶ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₁ h) (F₁ i) (F₁ j)
inst✝⁵ : DirectedSystem F₁ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₁ x1 x2 x3)
T₂ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_7
f₂ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₂ h
inst✝⁴ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₂ h) (F₂ i) (F₂ j)
inst✝³ : DirectedSystem F₂ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₂ x1 x2 x3)
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
ih : (i : ι) → F₁ i → F₂ i → F i
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F₁ i) (y : F₂ i), (f i j h) (ih i x y) = ih j ((f₁ i j h) x) ((f₂ i j h) y)
j k : ι
h : j ≤ k
x : F₁ j
y : F₂ j
i : ι
hji : j ≤ i
hki : k ≤ i
⊢ (f j i hji) (ih j x y) = (f k i hki) (ih k ((f₁ j k h) x) ((f₂ j k h) y))

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁷ : Preorder ι
F₁ : ι → Type u_2
F₂ : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
X : ι → Type u_5
T₁ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_6
f₁ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₁ h
inst✝⁶ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₁ h) (F₁ i) (F₁ j)
inst✝⁵ : DirectedSystem F₁ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₁ x1 x2 x3)
T₂ : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_7
f₂ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T₂ h
inst✝⁴ : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T₂ h) (F₂ i) (F₂ j)
inst✝³ : DirectedSystem F₂ fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f₂ x1 x2 x3)
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Sort u_8
f : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → T h
inst✝² : ⦃i j : ι⦄ → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (F i) (F j)
inst✝¹ : DirectedSystem F fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
ih : (i : ι) → F₁ i → F₂ i → F i
compat : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : F₁ i) (y : F₂ i), (f i j h) (ih i x y) = ih j ((f₁ i j h) x) ((f₂ i j h) y)
j k : ι
h : j ≤ k
x : F₁ j
y : F₂ j
i : ι
hji : j ≤ i
hki : k ≤ i
⊢ (f j i hji) (ih j x y) = (f k i hki) (ih k ((f₁ j k h) x) ((f₂ j k h) y))
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
N : { x // x.FG }
x y : ↥↑N ⊗[R] M
eq :
  (directLimitLeft (Module.fgSystem R P) M)
      ((LinearMap.rTensor M ↑(Module.fgSystem.equiv R P).symm) ((LinearMap.rTensor M (↑N).subtype) x)) =
    (directLimitLeft (Module.fgSystem R P) M)
      ((LinearMap.rTensor M ↑(Module.fgSystem.equiv R P).symm) ((LinearMap.rTensor M (↑N).subtype) y))
⊢ ∃ N', N'.FG ∧ ∃ (h : ↑N ≤ N'), (LinearMap.rTensor M (inclusion h)) x = (LinearMap.rTensor M (inclusion h)) y

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
N : { x // x.FG }
x y : ↥↑N ⊗[R] M
eq :
  (directLimitLeft (Module.fgSystem R P) M)
      ((LinearMap.rTensor M ↑(Module.fgSystem.equiv R P).symm) ((LinearMap.rTensor M (↑N).subtype) x)) =
    (directLimitLeft (Module.fgSystem R P) M)
      ((LinearMap.rTensor M ↑(Module.fgSystem.equiv R P).symm) ((LinearMap.rTensor M (↑N).subtype) y))
⊢ ∃ N', N'.FG ∧ ∃ (h : ↑N ≤ N'), (LinearMap.rTensor M (inclusion h)) x = (LinearMap.rTensor M (inclusion h)) y
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.Module

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
inst✝⁷ : Semiring R
ι : Type u_2
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirectedOrder ι
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
h✝ : Nonempty ι
i : ι
x y : G i
eq : (lift R ι G f g Hg) ((of R ι G f i) x) = (lift R ι G f g Hg) ((of R ι G f i) y)
⊢ (of R ι G f i) x = (of R ι G f i) y

Tactic:
[

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
inst✝⁷ : Semiring R
ι : Type u_2
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝³ : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirectedOrder ι
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
h✝ : Nonempty ι
i : ι
x y : G i
eq : (lift R ι G f g Hg) ((of R ι G f i) x) = (lift R ι G f g Hg) ((of R ι G f i) y)
⊢ (of R ι G f i) x = (of R ι G f i) y
Module: Mathlib.Order.DirectedInverseSystem

Goal state before:
pp: ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι✝
F₁ : ι✝ → Type u_2
F₂ : ι✝ → Type u_3
F✝ : ι✝ → Type u_4
X✝ : ι✝ → Type u_5
f✝ : ⦃i j : ι✝⦄ → i ≤ j → F✝ j → F✝ i
i✝ j : ι✝
h✝ : i✝ ≤ j
ι : Type u_6
F : ι → Type u_7
X : ι → Type u_8
i : ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → F j → F i
equiv : (j : ↑(Iio i)) → F ↑j ≃ piLT X ↑j
nat : IsNatEquiv f equiv
t : ↑(limit f i)
x✝¹ x✝ : ↑(Iio i)
h : ↑x✝¹ ≤ ↑x✝
⊢ (equiv x✝¹) (↑t x✝¹) = piLTProj h ((equiv x✝) (↑t x✝))

Tactic:
[

Goal state after:
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι✝
F₁ : ι✝ → Type u_2
F₂ : ι✝ → Type u_3
F✝ : ι✝ → Type u_4
X✝ : ι✝ → Type u_5
f✝ : ⦃i j : ι✝⦄ → i ≤ j → F✝ j → F✝ i
i✝ j : ι✝
h✝ : i✝ ≤ j
ι : Type u_6
F : ι → Type u_7
X : ι → Type u_8
i : ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → F j → F i
equiv : (j : ↑(Iio i)) → F ↑j ≃ piLT X ↑j
nat : IsNatEquiv f equiv
t : ↑(limit f i)
x✝¹ x✝ : ↑(Iio i)
h : ↑x✝¹ ≤ ↑x✝
⊢ (equiv x✝¹) (↑t x✝¹) = piLTProj h ((equiv x✝) (↑t x✝))
Module: Mathlib.Order.DirectedInverseSystem

Goal state before:
pp: case inl.inr
ι : Type u_6
F : ι → Type u_7
X : ι → Type u_8
inst✝¹ : LinearOrder ι
f : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → F j → F i
inst✝ : InverseSystem f
j k : ι
h : k ≤ j
t : F j
equiv : (j_1 : ↑(Iio j)) → F ↑j_1 ≃ piLT X ↑j_1
nat : IsNatEquiv f equiv
equivLim : F j ≃ ↑(limit f j)
hi : IsSuccPrelimit j
H : ∀ (x : F j) (l : ↑(Iio j)), ↑(equivLim x) l = f ⋯ x
hj : j ∈ Iic j
hk✝ : k ∈ Iic j
hk : k < j
l : ↑(Iio ↑⟨k, hk✝⟩)
⊢ (piEquivLim nat equivLim hi ⟨k, hk✝⟩) (f h t) l = piLTProj h ((piEquivLim nat equivLim hi ⟨j, hj⟩) t) l

Tactic:
[

Goal state after:
case inl.inr
ι : Type u_6
F : ι → Type u_7
X : ι → Type u_8
inst✝¹ : LinearOrder ι
f : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → F j → F i
inst✝ : InverseSystem f
j k : ι
h : k ≤ j
t : F j
equiv : (j_1 : ↑(Iio j)) → F ↑j_1 ≃ piLT X ↑j_1
nat : IsNatEquiv f equiv
equivLim : F j ≃ ↑(limit f j)
hi : IsSuccPrelimit j
H : ∀ (x : F j) (l : ↑(Iio j)), ↑(equivLim x) l = f ⋯ x
hj : j ∈ Iic j
hk✝ : k ∈ Iic j
hk : k < j
l : ↑(Iio ↑⟨k, hk✝⟩)
⊢ (piEquivLim nat equivLim hi ⟨k, hk✝⟩) (f h t) l = piLTProj h ((piEquivLim nat equivLim hi ⟨j, hj⟩) t) l
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
i : ι
x y : G i
this : Nonempty ι
h : (linearEquiv G f) ((of R ι G f i) x) = (linearEquiv G f) ((of R ι G f i) y)
⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f i j hij) x = (f i j hij) y

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝ : IsDirectedOrder ι
i : ι
x y : G i
this : Nonempty ι
h : (linearEquiv G f) ((of R ι G f i) x) = (linearEquiv G f) ((of R ι G f i) y)
⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f i j hij) x = (f i j hij) y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : N →ₗ[R] P
this : g = g.range.subtype ∘ₗ g.rangeRestrict
⊢ (lTensor Q g).range = (lTensor Q g.range.subtype).range

Tactic:
this

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : N →ₗ[R] P
this : g = g.range.subtype ∘ₗ g.rangeRestrict
⊢ (lTensor Q (g.range.subtype ∘ₗ g.rangeRestrict)).range = (lTensor Q g.range.subtype).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : N →ₗ[R] P
this : g = g.range.subtype ∘ₗ g.rangeRestrict
⊢ (rTensor Q g).range = (rTensor Q g.range.subtype).range

Tactic:
this

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : N →ₗ[R] P
this : g = g.range.subtype ∘ₗ g.rangeRestrict
⊢ (rTensor Q (g.range.subtype ∘ₗ g.rangeRestrict)).range = (rTensor Q g.range.subtype).range
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Small

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Small.{u, u_1} R
s : Set M
inst✝ : Small.{u, u_2} ↑s
this : span R s = ⨆ i, R ∙ ↑i
⊢ Small.{u, u_2} ↥(span R s)

Tactic:
this

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Small.{u, u_1} R
s : Set M
inst✝ : Small.{u, u_2} ↑s
this : span R s = ⨆ i, R ∙ ↑i
⊢ Small.{u, u_2} ↥(⨆ i, R ∙ ↑i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Finiteness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M ⊗[R] N
S : N →₀ M
h : (TensorProduct.comm R M N) x = S.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n
⊢ (TensorProduct.comm R M N) x = (TensorProduct.comm R M N) (S.sum fun n m ↦ m ⊗ₜ[R] n)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M ⊗[R] N
S : N →₀ M
h : (TensorProduct.comm R M N) x = S.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n
⊢ (TensorProduct.comm R M N) x = (TensorProduct.comm R M N) (S.sum fun n m ↦ m ⊗ₜ[R] n)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Finiteness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
⊢ ∃ M' N', Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
⊢ ∃ M' N', Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
a : ↥(Submodule.restrictScalars R I)
b : B
this : ↑a ⊗ₜ[R] b = 1 ⊗ₜ[R] b * ↑a ⊗ₜ[R] 1
⊢ ↑a ⊗ₜ[R] b ∈ map includeLeft I

Tactic:
this

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
a : ↥(Submodule.restrictScalars R I)
b : B
this : ↑a ⊗ₜ[R] b = 1 ⊗ₜ[R] b * ↑a ⊗ₜ[R] 1
⊢ 1 ⊗ₜ[R] b * ↑a ⊗ₜ[R] 1 ∈ map includeLeft I