mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
cont : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x ↔ ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm)
        (↑I.symm ⁻¹' ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n
        (id ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.refl E') ∘ ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm)
        (↑I.symm ⁻¹' ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))

Tactic:
OpenPartialHomeomorph.refl_apply,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
cont : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x ↔ ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm)
        (↑I.symm ⁻¹' ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (id ∘ (id ∘ ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm)
        (↑I.symm ⁻¹' ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞ω
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x✝ : M
x : ↥U
h : ↑x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
⊢ ContMDiffAt I I' n (fun x ↦ extend Subtype.val f 1 ↑x) x

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞ω
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x✝ : M
x : ↥U
h : ↑x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
⊢ ContMDiffAt I I' n (fun x ↦ extend Subtype.val f 1 ↑x) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
U : TopologicalSpace.Opens M'
f : M → ↥U
⊢ ContMDiff I I' ∞ (Subtype.val ∘ f) ↔ ContMDiff I I' ∞ f

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
U : TopologicalSpace.Opens M'
f : M → ↥U
⊢ ContMDiff I I' ∞ (Subtype.val ∘ f) ↔ ContMDiff I I' ∞ f
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
simp_rw [ContMDiffWithinAt, liftPropWithinAt_iff', ← continuousWithinAt_iff_source]
  simp only [ContDiffWithinAtProp, mfld_simps, preimage_comp, comp_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he : e ∈ maximalAtlas I n M
hx : x ∈ e.source
h2x : x ∈ (e.extend I).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x)

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he : e ∈ maximalAtlas I n M
hx : x ∈ e.source
h2x : x ∈ (e.extend I).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x x' : M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
hx' : x' ∈ (chartAt H x).source
⊢ ContMDiffAt I I' n f x' ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x x' : M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
hx' : x' ∈ (chartAt H x).source
⊢ ContMDiffAt I I' n f x' ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he' : e' ∈ maximalAtlas I' n M'
hx : f x ∈ e'.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(e'.extend I') ∘ f) s x

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he' : e' ∈ maximalAtlas I' n M'
hx : f x ∈ e'.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(e'.extend I') ∘ f) s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : IsOpenEmbedding e'
f : M → M'
hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)
this : f = ↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f
⊢ ContMDiff I I' n f

Tactic:
this

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : IsOpenEmbedding e'
f : M → M'
hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)
this : f = ↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f
⊢ ContMDiff I I' n (↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he' : e' ∈ maximalAtlas I' n M'
hx : f x ∈ e'.source
h : ContinuousWithinAt f s x
A : ContinuousWithinAt (↑(e'.extend I') ∘ f) s x
A' : ContinuousWithinAt (↑e' ∘ f) s x
⊢ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) (↑e' ∘ f) s x ↔
    LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n) (↑(e'.extend I') ∘ f) s x

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he' : e' ∈ maximalAtlas I' n M'
hx : f x ∈ e'.source
h : ContinuousWithinAt f s x
A : ContinuousWithinAt (↑(e'.extend I') ∘ f) s x
A' : ContinuousWithinAt (↑e' ∘ f) s x
⊢ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) (↑e' ∘ f) s x ↔
    LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n) (↑(e'.extend I') ∘ f) s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
f : E → H'
s : Set E
x : E
⊢ DifferentiableWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' f s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f) s x

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
f : E → H'
s : Set E
x : E
⊢ DifferentiableWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' f s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f) s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen[inst✝³] u
xu : x ∈ u
this : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x) ↔
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I) (↑I x)

Tactic:
this

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen[inst✝³] u
xu : x ∈ u
this : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x) ↔
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u) (↑I x)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : E → E
u_meas : Measurable u
uf : EqOn u f s
u' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt u (f' x) s x
F : ↑s → E := u ∘ Subtype.val
hF : F = u ∘ Subtype.val
⊢ Measure.map (s.domRestrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x ↦ ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) =
    μ.restrict (f '' s)

Tactic:
have A :
    Measure.map F (comap (↑) (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) =
      μ.restrict (u '' s) := by
    rw [hF, ← Measure.map_map u_meas measurable_subtype_coe, map_comap_subtype_coe hs,
      restrict_withDensity hs]
    exact map_withDensity_abs_det_fderiv_eq_addHaar μ hs.nullMeasurableSet u' (hf.congr uf.symm)

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : E → E
u_meas : Measurable u
uf : EqOn u f s
u' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt u (f' x) s x
F : ↑s → E := u ∘ Subtype.val
hF : F = u ∘ Subtype.val
A : Measure.map F (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x ↦ ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (u '' s)
⊢ Measure.map (s.domRestrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x ↦ ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) =
    μ.restrict (f '' s)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' n M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
x✝ : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(e.extend I) x)] ↑(e.extend I) '' s

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' n M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
x✝ : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(e.extend I) x)] ↑(e.extend I) '' s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : E → E
u_meas : Measurable u
uf : EqOn u f s
u' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt u (f' x) s x
F : ↑s → E := u ∘ Subtype.val
hF : F = u ∘ Subtype.val
A : Measure.map F (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x ↦ ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) = μ.restrict (f '' s)
this : F = s.domRestrict f
⊢ Measure.map (s.domRestrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x ↦ ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) =
    μ.restrict (f '' s)

Tactic:
this

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : E → E
u_meas : Measurable u
uf : EqOn u f s
u' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt u (f' x) s x
F : ↑s → E := u ∘ Subtype.val
hF : F = u ∘ Subtype.val
A :
  Measure.map (s.domRestrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x ↦ ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) =
    μ.restrict (f '' s)
this : F = s.domRestrict f
⊢ Measure.map (s.domRestrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x ↦ ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) =
    μ.restrict (f '' s)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
this : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))

Tactic:
this

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))
this : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))