mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
sx : Affine.Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
hi : sx.points i ∈ s
hsx : ∀ (j : Fin (n + 1)), dist (sx.points j) s.center ≤ s.radius
w : Fin (n + 1) → ℝ
hw : ∑ i, w i = 1
hw01 : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Ioo 0 1
r : ℝ := (1 - w i)⁻¹
hrpos : 0 < r
p' : P := (AffineMap.lineMap (sx.points i) ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ sx.points) w)) r
hp' : p' -ᵥ sx.points i = r • ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ sx.points) w -ᵥ sx.points i)
⊢ p' ∈ (sx.faceOpposite i).interior

Tactic:
[

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
sx : Affine.Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
hi : sx.points i ∈ s
hsx : ∀ (j : Fin (n + 1)), dist (sx.points j) s.center ≤ s.radius
w : Fin (n + 1) → ℝ
hw : ∑ i, w i = 1
hw01 : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Ioo 0 1
r : ℝ := (1 - w i)⁻¹
hrpos : 0 < r
p' : P := (AffineMap.lineMap (sx.points i) ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ sx.points) w)) r
hp' : p' -ᵥ sx.points i = r • ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ sx.points) w -ᵥ sx.points i)
⊢ p' ∈ (sx.faceOpposite i).interior
Module: Mathlib.Geometry.Group.Growth.LinearLowerBound

Goal state before:
pp: G✝ : Type u_1
inst✝³ : Group G✝
inst✝² : DecidableEq G✝
X✝ : Finset G✝
n : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : DecidableEq G
X : Finset G
hX₁ : 1 ∈ X
hX : X.Nontrivial
hn : True
hXn : X = X ^ 2
x : G
hx : x ∈ X
this✝ : x • X ⊆ X
this : X = x⁻¹ • X
⊢ x⁻¹ ∈ X

Tactic:
this

Goal state after:
G✝ : Type u_1
inst✝³ : Group G✝
inst✝² : DecidableEq G✝
X✝ : Finset G✝
n : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : DecidableEq G
X : Finset G
hX₁ : 1 ∈ X
hX : X.Nontrivial
hn : True
hXn : X = X ^ 2
x : G
hx : x ∈ X
this✝ : x • X ⊆ X
this : X = x⁻¹ • X
⊢ x⁻¹ ∈ x⁻¹ • X
Module: Mathlib.Geometry.Group.Growth.QuotientInter

Goal state before:
pp: case a
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : DecidableEq G
H : Subgroup G
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ H
inst✝ : H.Normal
A : Finset G
hAsymm : A⁻¹ = A
π : G →* G ⧸ H := ⋯
a : G
ha : a ∈ A
⊢ ({a' ∈ A | π a' = π a})⁻¹ * {a' ∈ A | π a' = π a} ⊆ {x ∈ A⁻¹ * A | x ∈ H}

Tactic:
simp only [mul_subset_iff, mem_inv', map_inv, mem_filter, and_imp]

Goal state after:
case a
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : DecidableEq G
H : Subgroup G
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ H
inst✝ : H.Normal
A : Finset G
hAsymm : A⁻¹ = A
π : G →* G ⧸ H := QuotientGroup.mk' H
a : G
ha : a ∈ A
⊢ ∀ (x : G), x⁻¹ ∈ A → (π x)⁻¹ = π a → ∀ y ∈ A, π y = π a → x * y ∈ A⁻¹ * A ∧ x * y ∈ H
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
⊢ finrank ℝ ↥(affineSpan ℝ (Set.range t₂.points)).direction = finrank ℝ ↥(affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)).direction

Tactic:
· rw [direction_affineSpan, direction_affineSpan,
        t₁.independent.finrank_vectorSpan (Fintype.card_fin _),
        t₂.independent.finrank_vectorSpan (Fintype.card_fin _)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalDiffeomorph

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F'
H₁ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₃
I : ModelWithCorners 𝕜 E H₁
J : ModelWithCorners 𝕜 F H₂
K : ModelWithCorners 𝕜 F' H₃
M : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ M
N : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H₂ N
P : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ChartedSpace H₃ P
n : WithTop ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x✝ : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
hf' : Function.Bijective f
g : N → M
hgInverse : Function.LeftInverse g f ∧ Function.RightInverse g f
Φ : M → PartialDiffeomorph I J M N n
hyp : ∀ (x : M), x ∈ (Φ x).source ∧ EqOn f (↑(Φ x).toPartialEquiv) (Φ x).source
aux : ∀ (x : M), EqOn g (↑(Φ x).symm.toPartialEquiv) (Φ x).target
y : N
x : M := g y
hx : x ∈ (Φ x).source
hfx : EqOn f (↑(Φ x).toPartialEquiv) (Φ x).source
⊢ ContMDiffAt J I n (⇑{ toFun := f, invFun := g, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) y

Tactic:
apply ((Φ x).symm.contMDiffOn.congr (aux x)).contMDiffAt (((Φ x).open_target).mem_nhds ?_)

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F'
H₁ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₃
I : ModelWithCorners 𝕜 E H₁
J : ModelWithCorners 𝕜 F H₂
K : ModelWithCorners 𝕜 F' H₃
M : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ M
N : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H₂ N
P : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ChartedSpace H₃ P
n : WithTop ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x✝ : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
hf' : Function.Bijective f
g : N → M
hgInverse : Function.LeftInverse g f ∧ Function.RightInverse g f
Φ : M → PartialDiffeomorph I J M N n
hyp : ∀ (x : M), x ∈ (Φ x).source ∧ EqOn f (↑(Φ x).toPartialEquiv) (Φ x).source
aux : ∀ (x : M), EqOn g (↑(Φ x).symm.toPartialEquiv) (Φ x).target
y : N
x : M := g y
hx : x ∈ (Φ x).source
hfx : EqOn f (↑(Φ x).toPartialEquiv) (Φ x).source
⊢ y ∈ (Φ x).target
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
t₂ : Triangle ℝ P
ht₂ : Set.range t₂.points ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
ht₂s : Set.range t₂.points ⊆ s
c : P
hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
h : ∀ (i : Fin 3), dist (t₂.points i) c = Simplex.circumradius t
hs : Set.range t.points ⊆ s
⊢ Simplex.circumradius t₂ = Simplex.circumradius t

Tactic:
affineSpan_of_orthocentricSystem ⟨t, hto, hts⟩ hs t.independent.injective,

Goal state after:
case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
t₂ : Triangle ℝ P
ht₂ : Set.range t₂.points ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
ht₂s : Set.range t₂.points ⊆ s
c : P
hc : c ∈ affineSpan ℝ s
h : ∀ (i : Fin 3), dist (t₂.points i) c = Simplex.circumradius t
hs : Set.range t.points ⊆ s
⊢ Simplex.circumradius t₂ = Simplex.circumradius t
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalDiffeomorph

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F'
H₁ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₃
I : ModelWithCorners 𝕜 E H₁
J : ModelWithCorners 𝕜 F H₂
K : ModelWithCorners 𝕜 F' H₃
M : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ M
N : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H₂ N
P : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ChartedSpace H₃ P
n : WithTop ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
I' : ?m.25
hf : IsLocalDiffeomorphAt I J n f x
hn : n ≠ 0
⊢ mfderiv% ↑hf.localInverse.toPartialEquiv (f x) ∘SL mfderiv% f x = mfderiv% id x

Tactic:
← hf.localInverse_eventuallyEq_left.mfderiv_eq

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F'
H₁ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₃
I : ModelWithCorners 𝕜 E H₁
J : ModelWithCorners 𝕜 F H₂
K : ModelWithCorners 𝕜 F' H₃
M : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ M
N : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H₂ N
P : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ChartedSpace H₃ P
n : WithTop ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
I' : ?m.25
hf : IsLocalDiffeomorphAt I J n f x
hn : n ≠ 0
⊢ mfderiv% ↑hf.localInverse.toPartialEquiv (f x) ∘SL mfderiv% f x = mfderiv% (↑hf.localInverse.toPartialEquiv ∘ f) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜✝ : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
H✝ : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ H✝
M✝ : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H✝ M✝
n✝ : WithTop ℕ∞
e✝ e'✝ : OpenPartialHomeomorph M✝ H✝
x✝² : M✝
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
hx : ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφx' : Surjective ⇑(fderivWithin 𝕜 (↑φ) φ.source (↑(e.extend I) x))
h✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
x✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
x✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ φ.source ∈ 𝓝 (↑(e.extend I) x)

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜✝ : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
H✝ : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ H✝
M✝ : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H✝ M✝
n✝ : WithTop ℕ∞
e✝ e'✝ : OpenPartialHomeomorph M✝ H✝
x✝² : M✝
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
hx : ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφx' : Surjective ⇑(fderivWithin 𝕜 (↑φ) φ.source (↑(e.extend I) x))
h✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
x✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
x✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ φ.source ∈ 𝓝 (↑(e.extend I) x)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
hui : Set.univ = {i₁, i₂, i₃}
huj : Set.univ = {j₁, j₂, j₃}
⊢ insert t₀.orthocenter (t₀.points '' {j₁, j₂, j₃}) = insert (t₀.points j₁) (t.points '' {i₁, i₂, i₃})

Tactic:
[

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
hui : Set.univ = {i₁, i₂, i₃}
huj : Set.univ = {j₁, j₂, j₃}
⊢ insert t₀.orthocenter (t₀.points '' {j₁, j₂, j₃}) = insert (t₀.points j₁) (t.points '' {i₁, i₂, i₃})
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ 0
f : M → N
x : M
hf : IsLocalDiffeomorphAt I I' n f x
h : I.IsInteriorPoint x
⊢ Surjective ⇑(mfderiv% f x)

Tactic:
exact (hf.mfderivToContinuousLinearEquiv hn).surjective

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N) → p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N

Tactic:
intro hp

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
hp : p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N)
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N → p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N)

Tactic:
intro hp

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
hp : p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LeftInvariantDerivation

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : ContMDiffMul I ∞ G
g✝ h : G
r✝ : 𝕜
X✝ Y : LeftInvariantDerivation I G
f f' : C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
r : ℕ
X : LeftInvariantDerivation I G
g : G
⊢ (𝒅ₕ ⋯) ((Derivation.evalAt 1) (r • ↑X)) = (Derivation.evalAt g) (r • ↑X)

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : ContMDiffMul I ∞ G
g✝ h : G
r✝ : 𝕜
X✝ Y : LeftInvariantDerivation I G
f f' : C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
r : ℕ
X : LeftInvariantDerivation I G
g : G
⊢ (𝒅ₕ ⋯) ((Derivation.evalAt 1) (r • ↑X)) = (Derivation.evalAt g) (r • ↑X)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LeftInvariantDerivation

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : ContMDiffMul I ∞ G
g✝ h : G
r✝ : 𝕜
X✝ Y : LeftInvariantDerivation I G
f f' : C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
r : ℤ
X : LeftInvariantDerivation I G
g : G
⊢ (𝒅ₕ ⋯) ((Derivation.evalAt 1) (r • ↑X)) = (Derivation.evalAt g) (r • ↑X)

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : ContMDiffMul I ∞ G
g✝ h : G
r✝ : 𝕜
X✝ Y : LeftInvariantDerivation I G
f f' : C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
r : ℤ
X : LeftInvariantDerivation I G
g : G
⊢ (𝒅ₕ ⋯) ((Derivation.evalAt 1) (r • ↑X)) = (Derivation.evalAt g) (r • ↑X)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
⊢ MDiffAt[s] (↑(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (f x₀)) ∘ f) x₀ ↔
    MDiffAt[s] (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) ∘ fun x ↦ (f x).proj) x₀ ∧
      MDiffAt[s]
          (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2) ∘ fun x ↦
            (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2)
        x₀

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
⊢ MDiffAt[s] (↑(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (f x₀)) ∘ f) x₀ ↔
    MDiffAt[s] (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) ∘ fun x ↦ (f x).proj) x₀ ∧
      MDiffAt[s]
          (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2) ∘ fun x ↦
            (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2)
        x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
h1 : (fun x ↦ (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀
x : M
hx : x ∈ (fun x ↦ (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet
⊢ ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj =
    (Prod.fst ∘ fun x ↦
        (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1,
          (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2))
      x

Tactic:
[

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
h1 : (fun x ↦ (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀
x : M
hx : x ∈ (fun x ↦ (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet
⊢ ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj =
    (Prod.fst ∘ fun x ↦
        (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1,
          (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2))
      x