mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk (↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)) ⋯
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun x ↦ ‖u x‖ ^ ↑γ
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ

Tactic:
set C := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ n'

Goal state after:
case neg
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk (↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)) ⋯
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun x ↦ ‖u x‖ ^ ↑γ
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: case hfg
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk (↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)) ⋯
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun x ↦ ‖u x‖ ^ ↑γ
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'
x : E
⊢ ‖fderiv ℝ v x‖ₑ ≤ ↑γ * (‖u x‖ₑ ^ (↑γ - 1) * ‖fderiv ℝ u x‖ₑ)

Tactic:
[

Goal state after:
case hfg
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk (↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)) ⋯
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun x ↦ ‖u x‖ ^ ↑γ
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'
x : E
⊢ ‖fderiv ℝ v x‖ₑ ≤ ↑γ * (‖u x‖ₑ ^ (↑γ - 1) * ‖fderiv ℝ u x‖ₑ)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fintype ι'
x : E ⊗[𝕜] F
e : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
f : OrthonormalBasis ι' 𝕜 F
this : x = ∑ i, ∑ j, ((e.toBasis.tensorProduct f.toBasis).repr x) (i, j) • e i ⊗ₜ[𝕜] f j
| inner 𝕜 x x

Tactic:
this

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fintype ι'
x : E ⊗[𝕜] F
e : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
f : OrthonormalBasis ι' 𝕜 F
this : x = ∑ i, ∑ j, ((e.toBasis.tensorProduct f.toBasis).repr x) (i, j) • e i ⊗ₜ[𝕜] f j
| inner 𝕜 (∑ i, ∑ j, ((e.toBasis.tensorProduct f.toBasis).repr x) (i, j) • e i ⊗ₜ[𝕜] f j)
    (∑ i, ∑ j, ((e.toBasis.tensorProduct f.toBasis).repr x) (i, j) • e i ⊗ₜ[𝕜] f j)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
x y : E ⊗[𝕜] F
⊢ ∀ (x y : E ⊗[𝕜] F),
    (∀ (x_1 : E) (y : F), (starRingEnd 𝕜) (inner 𝕜 x (x_1 ⊗ₜ[𝕜] y)) = inner 𝕜 (x_1 ⊗ₜ[𝕜] y) x) →
      (∀ (x : E) (y_1 : F), (starRingEnd 𝕜) (inner 𝕜 y (x ⊗ₜ[𝕜] y_1)) = inner 𝕜 (x ⊗ₜ[𝕜] y_1) y) →
        ∀ (x_1 : E) (y_1 : F), (starRingEnd 𝕜) (inner 𝕜 (x + y) (x_1 ⊗ₜ[𝕜] y_1)) = inner 𝕜 (x_1 ⊗ₜ[𝕜] y_1) (x + y)

Tactic:
by simp_all [inner]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
x y : E ⊗[𝕜] F
⊢ ∀ (x y_1 : E ⊗[𝕜] F),
    (starRingEnd 𝕜) (inner 𝕜 y x) = inner 𝕜 x y →
      (starRingEnd 𝕜) (inner 𝕜 y y_1) = inner 𝕜 y_1 y → (starRingEnd 𝕜) (inner 𝕜 y (x + y_1)) = inner 𝕜 (x + y_1) y

Tactic:
by simp_all [inner]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
x : E ⊗[𝕜] G
n : ℕ
e : Fin n → E
g : Fin n → G
hx : x = ∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j
c : E ⊗[𝕜] G →₀ 𝕜
hc_supp : ↑c.support ⊆ {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[𝕜] n = t}
hc : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) = x
m : ℕ
A : Fin m → Fin n → 𝕜
hA :
  ‖f‖ ^ 2 • @Matrix.gram E (Fin n) 𝕜 inst✝⁶.toInner e - @Matrix.gram F (Fin n) 𝕜 inst✝⁴.toInner (⇑f ∘ e) =
    ∑ i, Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i))
⊢ ‖(LinearMap.rTensor G ↑f) x‖ ^ 2 ≤ (‖f‖ * ‖x‖) ^ 2

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
x : E ⊗[𝕜] G
n : ℕ
e : Fin n → E
g : Fin n → G
hx : x = ∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j
c : E ⊗[𝕜] G →₀ 𝕜
hc_supp : ↑c.support ⊆ {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[𝕜] n = t}
hc : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) = x
m : ℕ
A : Fin m → Fin n → 𝕜
hA :
  ‖f‖ ^ 2 • @Matrix.gram E (Fin n) 𝕜 inst✝⁶.toInner e - @Matrix.gram F (Fin n) 𝕜 inst✝⁴.toInner (⇑f ∘ e) =
    ∑ i, Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i))
⊢ ‖(LinearMap.rTensor G ↑f) x‖ ^ 2 ≤ (‖f‖ * ‖x‖) ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
x : E ⊗[𝕜] G
n : ℕ
e : Fin n → E
g : Fin n → G
hx : x = ∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j
c : E ⊗[𝕜] G →₀ 𝕜
hc_supp : ↑c.support ⊆ {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[𝕜] n = t}
hc : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) = x
m : ℕ
A : Fin m → Fin n → 𝕜
hA :
  ∀ (i j : Fin n),
    ‖f‖ ^ 2 • inner 𝕜 (e i) (e j) - (∑ i, Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i))) i j = inner 𝕜 (f (e i)) (f (e j))
⊢ ‖(LinearMap.rTensor G ↑f) x‖ ^ 2 ≤ (‖f‖ * ‖x‖) ^ 2

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
x : E ⊗[𝕜] G
n : ℕ
e : Fin n → E
g : Fin n → G
hx : x = ∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j
c : E ⊗[𝕜] G →₀ 𝕜
hc_supp : ↑c.support ⊆ {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[𝕜] n = t}
hc : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) = x
m : ℕ
A : Fin m → Fin n → 𝕜
hA :
  ∀ (i j : Fin n),
    ‖f‖ ^ 2 • inner 𝕜 (e i) (e j) - (∑ i, Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i))) i j = inner 𝕜 (f (e i)) (f (e j))
⊢ ‖(LinearMap.rTensor G ↑f) x‖ ^ 2 ≤ (‖f‖ * ‖x‖) ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk (↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)) ⋯
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun x ↦ ‖u x‖ ^ ↑γ
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'
this :
  (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / ↑n') ≤
    ↑C * ↑γ * (∫⁻ (x : E), ‖fderiv ℝ u x‖ₑ ^ ↑p ∂μ) ^ (1 / ↑p) * (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q)
⊢ ↑C * ↑γ = ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p)

Tactic:
[

Goal state after:
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk (↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)) ⋯
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun x ↦ ‖u x‖ ^ ↑γ
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'
this :
  (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / ↑n') ≤
    ↑C * ↑γ * (∫⁻ (x : E), ‖fderiv ℝ u x‖ₑ ^ ↑p ∂μ) ^ (1 / ↑p) * (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q)
⊢ ↑C * ↑γ = ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
x : E ⊗[𝕜] G
n : ℕ
e : Fin n → E
g : Fin n → G
hx : x = ∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j
c : E ⊗[𝕜] G →₀ 𝕜
hc_supp : ↑c.support ⊆ {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[𝕜] n = t}
hc : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) = x
m : ℕ
A : Fin m → Fin n → 𝕜
hA :
  ∀ (i j : Fin n),
    ‖f‖ ^ 2 • inner 𝕜 (e i) (e j) - (∑ i, Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i))) i j = inner 𝕜 (f (e i)) (f (e j))
⊢ 0 ≤ RCLike.re (∑ x, ∑ x_1, ∑ i, inner 𝕜 (g x_1) (g x) * Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i)) x_1 x)

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
x : E ⊗[𝕜] G
n : ℕ
e : Fin n → E
g : Fin n → G
hx : x = ∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j
c : E ⊗[𝕜] G →₀ 𝕜
hc_supp : ↑c.support ⊆ {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[𝕜] n = t}
hc : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) = x
m : ℕ
A : Fin m → Fin n → 𝕜
hA :
  ∀ (i j : Fin n),
    ‖f‖ ^ 2 • inner 𝕜 (e i) (e j) - (∑ i, Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i))) i j = inner 𝕜 (f (e i)) (f (e j))
⊢ 0 ≤ RCLike.re (∑ x, ∑ x_1, ∑ i, inner 𝕜 (g x_1) (g x) * Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i)) x_1 x)
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
x : E
⊢ ‖fderiv ℝ (⇑e) (u x)‖ * ‖fderiv ℝ u x‖ = ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
x : E
⊢ ‖fderiv ℝ (⇑e) (u x)‖ * ‖fderiv ℝ u x‖ = ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ eLpNorm u (↑p') μ = eLpNorm (⇑e.symm ∘ v) (↑p') μ

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ eLpNorm u (↑p') μ = eLpNorm (⇑e.symm ∘ v) (↑p') μ
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ ↑C₁ * ↑C * (↑C₂ * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ) = ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ ↑C₁ * ↑C * (↑C₂ * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ) = ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ ↑‖↑toEuclidean.symm‖₊ * ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) *
      (↑‖↑toEuclidean‖₊ * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ) =
    ↑‖↑toEuclidean.symm‖₊ * ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * ↑‖↑toEuclidean‖₊ * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ ↑‖↑toEuclidean.symm‖₊ * ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) *
      (↑‖↑toEuclidean‖₊ * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ) =
    ↑‖↑toEuclidean.symm‖₊ * ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * ↑‖↑toEuclidean‖₊ * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
g : E →L[𝕜] F
⊢ ‖lTensor G g‖ ≤ ‖g‖

Tactic:
[

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
g : E →L[𝕜] F
⊢ ‖lTensor G g‖ ≤ ‖g‖