mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.Fixed

Goal state before:
pp: case a
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction G F
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F) ≤ Fintype.card G

Tactic:
rw [← finrank_eq_card G F]
      exact LE.le.trans_eq (finrank_algHom _ F) (finrank_linearMap_self _ _ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Algebra

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.EssFiniteType F E
⊢ ⊤.FG

Tactic:
rwa [fg_top_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Algebra

Goal state before:
pp: F : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra F A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
g : A →ₐ[F] L
f : K →ₐ[F] L
h : (↑f).comp (algebraMap A K) = ↑g
⊢ f.fieldRange.toSubfield = (IntermediateField.adjoin F ↑g.range).toSubfield

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra F A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
g : A →ₐ[F] L
f : K →ₐ[F] L
h : (↑f).comp (algebraMap A K) = ↑g
⊢ f.fieldRange.toSubfield = (IntermediateField.adjoin F ↑g.range).toSubfield
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Algebra

Goal state before:
pp: F : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra F A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
g : A →ₐ[F] L
f : K →ₐ[F] L
h : (↑f).comp (algebraMap A K) = ↑g
s : Set L
hs : g.range = Algebra.adjoin F s
⊢ f.fieldRange.toSubfield = (IntermediateField.adjoin F s).toSubfield

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra F A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
g : A →ₐ[F] L
f : K →ₐ[F] L
h : (↑f).comp (algebraMap A K) = ↑g
s : Set L
hs : g.range = Algebra.adjoin F s
⊢ f.fieldRange.toSubfield = (IntermediateField.adjoin F s).toSubfield
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ x ∈ adjoin F S ↔ ∃ r ∈ Algebra.adjoin F S, ∃ s ∈ Algebra.adjoin F S, x = r / s

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ x ∈ adjoin F S ↔ ∃ r ∈ Algebra.adjoin F S, ∃ s ∈ Algebra.adjoin F S, x = r / s
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : IntermediateField F E
⊢ (S ⊔ T).toSubfield = Subfield.closure (↑S.toSubfield ∪ ↑T.toSubfield)

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : IntermediateField F E
⊢ (S ⊔ T).toSubfield = Subfield.closure (↑S.toSubfield ∪ ↑T.toSubfield)
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Field

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
r : K
g : (map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
⊢ (map (algebraMap K L) (minpoly K ((algebraMap K L) r - x))).Splits

Tactic:
by
  simpa only [neg_sub] using minpoly_neg_splits (minpoly_sub_algebraMap_splits r g)

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ adjoin F (insert x ↑(adjoin F S)) = adjoin F (insert x S)

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ adjoin F (insert x ↑(adjoin F S)) = adjoin F (insert x S)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
ι : Sort u_3
f : ι → IntermediateField F E
⊢ ⨆ i, f i = adjoin F (⋃ i, ↑(f i))

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
ι : Sort u_3
f : ι → IntermediateField F E
⊢ ⨆ i, f i = adjoin F (⋃ i, ↑(f i))
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Set E
p : (x : E) → x ∈ adjoin F s → Prop
mem : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (x : F), p ((Algebra.algebraMap F E) x) ⋯
add : ∀ (x y : E) (hx : x ∈ adjoin F s) (hy : y ∈ adjoin F s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
inv : ∀ (x : E) (hx : x ∈ adjoin F s), p x hx → p x⁻¹ ⋯
mul : ∀ (x y : E) (hx : x ∈ adjoin F s) (hy : y ∈ adjoin F s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : E
h : x ∈ adjoin F s
⊢ p 1 ⋯

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Set E
p : (x : E) → x ∈ adjoin F s → Prop
mem : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (x : F), p ((Algebra.algebraMap F E) x) ⋯
add : ∀ (x y : E) (hx : x ∈ adjoin F s) (hy : y ∈ adjoin F s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
inv : ∀ (x : E) (hx : x ∈ adjoin F s), p x hx → p x⁻¹ ⋯
mul : ∀ (x y : E) (hx : x ∈ adjoin F s) (hy : y ∈ adjoin F s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : E
h : x ∈ adjoin F s
⊢ p 1 ⋯
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Set E
p : (x : E) → x ∈ adjoin F s → Prop
mem : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (x : F), p ((Algebra.algebraMap F E) x) ⋯
add : ∀ (x y : E) (hx : x ∈ adjoin F s) (hy : y ∈ adjoin F s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
inv : ∀ (x : E) (hx : x ∈ adjoin F s), p x hx → p x⁻¹ ⋯
mul : ∀ (x y : E) (hx : x ∈ adjoin F s) (hy : y ∈ adjoin F s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x✝¹ : E
h✝ : x✝¹ ∈ adjoin F s
x : E
x✝ : x ∈ Subfield.closure (Set.range ⇑(Algebra.algebraMap F E) ∪ s)
h : p x x✝
⊢ p (-x) ⋯

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Set E
p : (x : E) → x ∈ adjoin F s → Prop
mem : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (x : F), p ((Algebra.algebraMap F E) x) ⋯
add : ∀ (x y : E) (hx : x ∈ adjoin F s) (hy : y ∈ adjoin F s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
inv : ∀ (x : E) (hx : x ∈ adjoin F s), p x hx → p x⁻¹ ⋯
mul : ∀ (x y : E) (hx : x ∈ adjoin F s) (hy : y ∈ adjoin F s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x✝¹ : E
h✝ : x✝¹ ∈ adjoin F s
x : E
x✝ : x ∈ Subfield.closure (Set.range ⇑(Algebra.algebraMap F E) ∪ s)
h : p x x✝
⊢ p (-x) ⋯
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
ι : Sort u_3
inst✝ : Finite ι
S : ι → IntermediateField F E
s : ι → Finset E
hs : ∀ (i : ι), adjoin F ↑(s i) = S i
⊢ (⨆ i, S i).FG

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
ι : Sort u_3
inst✝ : Finite ι
S : ι → IntermediateField F E
s : ι → Finset E
hs : ∀ (i : ι), adjoin F ↑(s i) = S i
⊢ (⨆ i, S i).FG
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: L : Type u_2
inst✝ : Field L
F : Subfield L
x : L
⊢ x ∈ extendScalars ⋯ ↔ x ∈ ⊥

Tactic:
mem_extendScalars,

Goal state after:
L : Type u_2
inst✝ : Field L
F : Subfield L
x : L
⊢ x ∈ F ↔ x ∈ ⊥
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : Lifts F E K
x : F
⊢ L.emb ((inclusion ⋯) ((botEquiv F E).symm x)) = ((Algebra.ofId F K).comp ↑(botEquiv F E)) ((botEquiv F E).symm x)

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : Lifts F E K
x : F
⊢ L.emb ((inclusion ⋯) ((botEquiv F E).symm x)) = ((Algebra.ofId F K).comp ↑(botEquiv F E)) ((botEquiv F E).symm x)
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
L₁ L₂ : Lifts F E K
⊢ L₁ ≤ L₂ ↔ ∃ (h : L₁.carrier ≤ L₂.carrier), L₂.emb.comp (inclusion h) = L₁.emb

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
L₁ L₂ : Lifts F E K
⊢ L₁ ≤ L₂ ↔ ∃ (h : L₁.carrier ≤ L₂.carrier), L₂.emb.comp (inclusion h) = L₁.emb
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
L₁ L₂ : Lifts F E K
h : L₁ ≤ L₂
⊢ L₁ ≠ L₂ ↔ L₁.carrier ≠ L₂.carrier

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
L₁ L₂ : Lifts F E K
h : L₁ ≤ L₂
⊢ L₁ ≠ L₂ ↔ L₁.carrier ≠ L₂.carrier
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
ι : Type u_3
i : ι → E
x : E
⊢ x ∈ adjoin F (Set.range i) ↔ ∃ r s, x = (MvPolynomial.aeval i) r / (MvPolynomial.aeval i) s

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
ι : Type u_3
i : ι → E
x : E
⊢ x ∈ adjoin F (Set.range i) ↔ ∃ r s, x = (MvPolynomial.aeval i) r / (MvPolynomial.aeval i) s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : IsAlgClosed K
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : Nontrivial V
f : End K V
⊢ ∃ c, f.HasEigenvalue c

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : IsAlgClosed K
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : Nontrivial V
f : End K V
⊢ ∃ c, f.HasEigenvalue c
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
x : k[X]
hu : x ∈ nonunits k[X]
h0 : x ≠ 0
w✝¹ w✝ : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) (x * w✝¹) ≠ 0 ∨ (aeval a) (x * w✝) ≠ 0
a : K
ha : eval a (map (algebraMap k K) x) = 0
⊢ (aeval a) (x * w✝¹) = 0 ∧ (aeval a) (x * w✝) = 0

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
x : k[X]
hu : x ∈ nonunits k[X]
h0 : x ≠ 0
w✝¹ w✝ : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) (x * w✝¹) ≠ 0 ∨ (aeval a) (x * w✝) ≠ 0
a : K
ha : eval a (map (algebraMap k K) x) = 0
⊢ (aeval a) (x * w✝¹) = 0 ∧ (aeval a) (x * w✝) = 0
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥E1
inst✝ : FiniteDimensional K ↥E2
g : TensorProduct K ↥E1 ↥E2 →ₐ[K] L := Algebra.TensorProduct.productMap E1.val E2.val
this : g.range = (E1 ⊔ E2).toSubalgebra
h : FiniteDimensional K ↥(Subalgebra.toSubmodule g.range)
⊢ FiniteDimensional K ↥(E1 ⊔ E2)

Tactic:
this

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥E1
inst✝ : FiniteDimensional K ↥E2
g : TensorProduct K ↥E1 ↥E2 →ₐ[K] L := Algebra.TensorProduct.productMap E1.val E2.val
this : g.range = (E1 ⊔ E2).toSubalgebra
h : FiniteDimensional K ↥(Subalgebra.toSubmodule (E1 ⊔ E2).toSubalgebra)
⊢ FiniteDimensional K ↥(E1 ⊔ E2)
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = (↑π).carrier ⊔ adjoin F ↑S
⊢ IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (Set.range θ)

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = (↑π).carrier ⊔ adjoin F ↑S
⊢ IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (Set.range θ)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) t
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra

Tactic:
[

Goal state after:
case inl
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) t
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = (↑π).carrier ⊔ adjoin F ↑S
this : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (Set.range θ)
⊢ ↑S ⊆ ↑(union (Set.range θ) this).carrier

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = (↑π).carrier ⊔ adjoin F ↑S
this : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (Set.range θ)
⊢ ↑S ⊆ ↑(union (Set.range θ) this).carrier
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
x : E
⊢ IsCompactElement F⟮x⟯

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
x : E
⊢ IsCompactElement F⟮x⟯
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
⊢ IsCompactElement (⨆ x ∈ ↑S, F⟮x⟯)

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
⊢ IsCompactElement (⨆ x ∈ ↑S, F⟮x⟯)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
hm₂_aux : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
⊢ m μ ∈ p

Tactic:
[

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
hm₂_aux : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
⊢ m μ ∈ p
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ adjoin F S
⊢ ∃ T, ↑T ⊆ S ∧ x ∈ adjoin F ↑T

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ adjoin F S
⊢ ∃ T, ↑T ⊆ S ∧ x ∈ adjoin F ↑T
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, F⟮↑i⟯
s : Finset ↑S
hx' : x ∈ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯
⊢ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯ ≤ adjoin F ↑(Finset.image Subtype.val s)

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, F⟮↑i⟯
s : Finset ↑S
hx' : x ∈ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯
⊢ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯ ≤ adjoin F ↑(Finset.image Subtype.val s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → End R M
μ : ι → R
p : Submodule R M
hfp : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑(f i) ↑p ↑p
h✝ : Nonempty ι
⊢ p ⊓ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (μ i) =
    Submodule.map p.subtype (⨅ i, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f i) ⋯) (μ i))

Tactic:
[

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → End R M
μ : ι → R
p : Submodule R M
hfp : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑(f i) ↑p ↑p
h✝ : Nonempty ι
⊢ p ⊓ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (μ i) =
    Submodule.map p.subtype (⨅ i, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f i) ⋯) (μ i))
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∀ (S : Finset E), ∃ σ, ↑S ⊆ ↑σ.carrier
this✝¹ : ⊥.IsExtendible
ϕ : Lifts F E K
hϕ : Maximal (fun x ↦ x ∈ {ϕ | ϕ.IsExtendible}) ϕ
this✝ : ϕ.carrier ≠ ⊤
α : E
hα : α ∉ ϕ.carrier
x✝ : Algebra (↥ϕ.carrier) K := ϕ.emb.toAlgebra
Λ : Type (max u_2 u_3) := ↥(↥ϕ.carrier)⟮α⟯ →ₐ[↥ϕ.carrier] K
this : FiniteDimensional ↥ϕ.carrier ↥(↥ϕ.carrier)⟮α⟯
L : Λ → Lifts F E K := fun σ ↦ { carrier := restrictScalars F (↥ϕ.carrier)⟮α⟯, emb := AlgHom.restrictScalars F σ }
hL : ∀ (σ : Λ), ϕ < L σ
ϕ_ext : ϕ.IsExtendible
ϕ_max : ∀ ⦃y : Lifts F E K⦄, ϕ < y → y ∉ {ϕ | ϕ.IsExtendible}
⊢ False

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∀ (S : Finset E), ∃ σ, ↑S ⊆ ↑σ.carrier
this✝¹ : ⊥.IsExtendible
ϕ : Lifts F E K
hϕ : Maximal (fun x ↦ x ∈ {ϕ | ϕ.IsExtendible}) ϕ
this✝ : ϕ.carrier ≠ ⊤
α : E
hα : α ∉ ϕ.carrier
x✝ : Algebra (↥ϕ.carrier) K := ϕ.emb.toAlgebra
Λ : Type (max u_2 u_3) := ↥(↥ϕ.carrier)⟮α⟯ →ₐ[↥ϕ.carrier] K
this : FiniteDimensional ↥ϕ.carrier ↥(↥ϕ.carrier)⟮α⟯
L : Λ → Lifts F E K := fun σ ↦ { carrier := restrictScalars F (↥ϕ.carrier)⟮α⟯, emb := AlgHom.restrictScalars F σ }
hL : ∀ (σ : Λ), ϕ < L σ
ϕ_ext : ϕ.IsExtendible
ϕ_max : ∀ ⦃y : Lifts F E K⦄, ϕ < y → y ∉ {ϕ | ϕ.IsExtendible}
⊢ False
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∀ (S : Finset E), ∃ σ, ↑S ⊆ ↑σ.carrier
this✝¹ : ⊥.IsExtendible
ϕ : Lifts F E K
hϕ : Maximal (fun x ↦ x ∈ {ϕ | ϕ.IsExtendible}) ϕ
this✝ : ϕ.carrier ≠ ⊤
α : E
hα : α ∉ ϕ.carrier
x✝ : Algebra (↥ϕ.carrier) K := ϕ.emb.toAlgebra
Λ : Type (max u_2 u_3) := ↥(↥ϕ.carrier)⟮α⟯ →ₐ[↥ϕ.carrier] K
this : FiniteDimensional ↥ϕ.carrier ↥(↥ϕ.carrier)⟮α⟯
L : Λ → Lifts F E K := fun σ ↦ { carrier := restrictScalars F (↥ϕ.carrier)⟮α⟯, emb := AlgHom.restrictScalars F σ }
hL : ∀ (σ : Λ), ϕ < L σ
ϕ_ext : ϕ.IsExtendible
ϕ_max : ∀ ⦃y : Lifts F E K⦄, ϕ < y → ∃ S, ∀ τ ≥ y, ¬↑S ⊆ ↑τ.carrier
S : Λ → Finset E
hS : ∀ (σ : Λ), ∀ τ ≥ L σ, ¬↑(S σ) ⊆ ↑τ.carrier
θ : Lifts F E K
hθϕ : θ ≥ ϕ
hθ : ↑({α} ∪ Finset.univ.biUnion S) ⊆ ↑θ.carrier
⊢ False

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∀ (S : Finset E), ∃ σ, ↑S ⊆ ↑σ.carrier
this✝¹ : ⊥.IsExtendible
ϕ : Lifts F E K
hϕ : Maximal (fun x ↦ x ∈ {ϕ | ϕ.IsExtendible}) ϕ
this✝ : ϕ.carrier ≠ ⊤
α : E
hα : α ∉ ϕ.carrier
x✝ : Algebra (↥ϕ.carrier) K := ϕ.emb.toAlgebra
Λ : Type (max u_2 u_3) := ↥(↥ϕ.carrier)⟮α⟯ →ₐ[↥ϕ.carrier] K
this : FiniteDimensional ↥ϕ.carrier ↥(↥ϕ.carrier)⟮α⟯
L : Λ → Lifts F E K := fun σ ↦ { carrier := restrictScalars F (↥ϕ.carrier)⟮α⟯, emb := AlgHom.restrictScalars F σ }
hL : ∀ (σ : Λ), ϕ < L σ
ϕ_ext : ϕ.IsExtendible
ϕ_max : ∀ ⦃y : Lifts F E K⦄, ϕ < y → ∃ S, ∀ τ ≥ y, ¬↑S ⊆ ↑τ.carrier
S : Λ → Finset E
hS : ∀ (σ : Λ), ∀ τ ≥ L σ, ¬↑(S σ) ⊆ ↑τ.carrier
θ : Lifts F E K
hθϕ : θ ≥ ϕ
hθ : ↑({α} ∪ Finset.univ.biUnion S) ⊆ ↑θ.carrier
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support
hμμ' : ¬μ' = μ
⊢ m μ' ∈ (f.genEigenspace μ') ↑l₀

Tactic:
[

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support
hμμ' : ¬μ' = μ
⊢ m μ' ∈ (f.genEigenspace μ') ↑l₀