mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
i : ι
⊢ LinearIndependent k fun i_1 ↦ p ↑i_1 -ᵥ p i

Tactic:
[

Goal state after:
case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
i : ι
⊢ LinearIndependent k fun i_1 ↦ p ↑i_1 -ᵥ p i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 ↦ p ↑i_1 -ᵥ p i
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)

Tactic:
[

Goal state after:
case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 ↦ p ↑i_1 -ᵥ p i
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
p' : P
⊢ p' ∈ affineSpan k (p '' s₁) ⊓ affineSpan k (p '' s₂) ↔ p' ∈ affineSpan k (p '' (s₁ ∩ s₂))

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
p' : P
⊢ p' ∈ affineSpan k (p '' s₁) ⊓ affineSpan k (p '' s₂) ↔ p' ∈ affineSpan k (p '' (s₁ ∩ s₂))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
j : Fin (n - 1 + 1)
⊢ (s.faceOpposite i).points j = s.points (i.succAbove (Fin.cast ⋯ j))

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
j : Fin (n - 1 + 1)
⊢ (s.faceOpposite i).points j = s.points (i.succAbove (Fin.cast ⋯ j))
Module: Mathlib.Analysis.Convex.PathConnected

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h : x < y
⊢ ⇑(Path.segment x y) '' Ico 0 1 = Ico x y

Tactic:
[

Goal state after:
x y : ℝ
h : x < y
⊢ ⇑(Path.segment x y) '' Ico 0 1 = Ico x y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.PathConnected

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h : x < y
⊢ ⇑(Path.segment x y) '' Ico 0 1 = Ico x y

Tactic:
Path.segment_apply,

Goal state after:
x y : ℝ
h : x < y
⊢ (fun a ↦ (lineMap x y) ↑a) '' Ico 0 1 = Ico x y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.PathConnected

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h : x < y
⊢ ⇑(Path.segment x y) '' Ioc 0 1 = Ioc x y

Tactic:
[

Goal state after:
x y : ℝ
h : x < y
⊢ ⇑(Path.segment x y) '' Ioc 0 1 = Ioc x y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.PathConnected

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h : x < y
⊢ ⇑(Path.segment x y) '' Ioc 0 1 = Ioc x y

Tactic:
Path.segment_apply,

Goal state after:
x y : ℝ
h : x < y
⊢ (fun a ↦ (lineMap x y) ↑a) '' Ioc 0 1 = Ioc x y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StdSimplex

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : IsOrderedRing 𝕜
f : ι → 𝕜
hf : f ∈ stdSimplex 𝕜 ι
g : ι → 𝕜
hg : g ∈ stdSimplex 𝕜 ι
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∑ x, (a • f + b • g) x = 1

Tactic:
[

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : IsOrderedRing 𝕜
f : ι → 𝕜
hf : f ∈ stdSimplex 𝕜 ι
g : ι → 𝕜
hg : g ∈ stdSimplex 𝕜 ι
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∑ x, (a • f + b • g) x = 1
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StdSimplex

Goal state before:
pp: case intro
𝕜 : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Subsingleton ι
val✝ : Unique ι
f : ι → 𝕜
hf : ∑ x, f x = 1
⊢ f = fun x ↦ 1

Tactic:
rw [Fintype.sum_unique] at hf

Goal state after:
case intro
𝕜 : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Subsingleton ι
val✝ : Unique ι
f : ι → 𝕜
hf : f default = 1
⊢ f = fun x ↦ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
S : AffineSubspace k P
hS : affineSpan k (Set.range s.points) ≤ S
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
this : Nonempty ↥S := Nonempty.map (⇑(AffineSubspace.inclusion hS)) inferInstance
i : Fin (m + 1)
⊢ ↑(((s.restrict S hS).face h).points i) = (s.face h).points i

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
S : AffineSubspace k P
hS : affineSpan k (Set.range s.points) ≤ S
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
this : Nonempty ↥S := Nonempty.map (⇑(AffineSubspace.inclusion hS)) inferInstance
i : Fin (m + 1)
⊢ ↑(((s.restrict S hS).face h).points i) = (s.face h).points i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ : (affineCombination k univ s.points) w ∈ Simplex.setInterior I s
w' : Fin (n + 1) → k
hw' : ∑ i, w' i = 1
hw'01 : ∀ (i : Fin (n + 1)), w' i ∈ I
hww' : (affineCombination k univ s.points) w' = (affineCombination k univ s.points) w
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ I

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ : (affineCombination k univ s.points) w ∈ Simplex.setInterior I s
w' : Fin (n + 1) → k
hw' : ∑ i, w' i = 1
hw'01 : ∀ (i : Fin (n + 1)), w' i ∈ I
hww' : (affineCombination k univ s.points) w' = (affineCombination k univ s.points) w
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ I
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
m n : ℕ
s : Simplex k P n
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
w : Fin (m + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
hwI : ∀ (i : Fin (m + 1)), w i ∈ I
x✝ : (affineCombination k univ (s.reindex e).points) w ∈ Simplex.setInterior I (s.reindex e)
⊢ (affineCombination k univ (s.reindex e).points) w ∈ Simplex.setInterior I s

Tactic:
[

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
m n : ℕ
s : Simplex k P n
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
w : Fin (m + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
hwI : ∀ (i : Fin (m + 1)), w i ∈ I
x✝ : (affineCombination k univ (s.reindex e).points) w ∈ Simplex.setInterior I (s.reindex e)
⊢ (affineCombination k univ (s.reindex e).points) w ∈ Simplex.setInterior I s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StdSimplex

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : OrderClosedTopology 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
⊢ IsClosed (stdSimplex 𝕜 ι)

Tactic:
stdSimplex_eq_inter

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : OrderClosedTopology 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
⊢ IsClosed ((⋂ x, {f | 0 ≤ f x}) ∩ {f | ∑ x, f x = 1})
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
hs₁₂ : affineSpan k (p '' s₁) = affineSpan k (p '' s₂)
hne : s₁ ≠ s₂
i : ι
⊢ i ∈ s₁ ↔ i ∈ s₂

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
hs₁₂ : affineSpan k (p '' s₁) = affineSpan k (p '' s₂)
hne : s₁ ≠ s₂
i : ι
⊢ i ∈ s₁ ↔ i ∈ s₂
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StdSimplex

Goal state before:
pp: S : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : PartialOrder S
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁴ : Fintype X
inst✝³ : Fintype Y
inst✝² : Fintype Z
inst✝¹ : IsOrderedRing S
inst✝ : Nonempty X
⊢ Nonempty ↑(stdSimplex S X)

Tactic:
exact ⟨vertex (Classical.arbitrary _)⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_3
P : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
p : P₂
hp : p ∈ affineSpan k (Set.range (s.map f hf).points)
w : Fin (n + 1) → k
hw1 : ∑ i, w i = 1
hw : p = (affineCombination k univ (s.map f hf).points) w
⊢ (∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ I) ↔
    ∃ x ∈ Simplex.setInterior I s, f x = f ((affineCombination k univ s.points) fun i ↦ w i)

Tactic:
[

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_3
P : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
p : P₂
hp : p ∈ affineSpan k (Set.range (s.map f hf).points)
w : Fin (n + 1) → k
hw1 : ∑ i, w i = 1
hw : p = (affineCombination k univ (s.map f hf).points) w
⊢ (∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ I) ↔
    ∃ x ∈ Simplex.setInterior I s, f x = f ((affineCombination k univ s.points) fun i ↦ w i)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Affine

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁰ : AddTorsor V P
inst✝⁹ : TopologicalSpace P
inst✝⁸ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : AddTorsor W Q
inst✝⁴ : TopologicalSpace Q
inst✝³ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module R W
f : P →ᵃ[R] Q
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)
⊢ Continuous ⇑f.linear ↔ Continuous ⇑f

Tactic:
this

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁰ : AddTorsor V P
inst✝⁹ : TopologicalSpace P
inst✝⁸ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : AddTorsor W Q
inst✝⁴ : TopologicalSpace Q
inst✝³ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module R W
f : P →ᵃ[R] Q
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)
⊢ Continuous (⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)) ↔ Continuous ⇑f
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Affine

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁰ : AddTorsor V P
inst✝⁹ : TopologicalSpace P
inst✝⁸ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : AddTorsor W Q
inst✝⁴ : TopologicalSpace Q
inst✝³ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module R W
f : P →ᵃ[R] Q
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)
⊢ IsOpenMap ⇑f.linear ↔ IsOpenMap ⇑f

Tactic:
this

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁰ : AddTorsor V P
inst✝⁹ : TopologicalSpace P
inst✝⁸ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : AddTorsor W Q
inst✝⁴ : TopologicalSpace Q
inst✝³ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module R W
f : P →ᵃ[R] Q
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)
⊢ IsOpenMap (⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)) ↔ IsOpenMap ⇑f
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Affine

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : TopologicalSpace V
inst✝⁶ : AddTorsor V P
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : ContinuousSMul R V
⊢ Continuous fun pqt ↦ (lineMap pqt.1 pqt.2.1) pqt.2.2

Tactic:
simp only [coe_lineMap]

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : TopologicalSpace V
inst✝⁶ : AddTorsor V P
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : ContinuousSMul R V
⊢ Continuous fun pqt ↦ pqt.2.2 • (pqt.2.1 -ᵥ pqt.1) +ᵥ pqt.1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Affine

Goal state before:
pp: R : Type u_1
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : TopologicalSpace W
inst✝⁶ : AddTorsor W Q
inst✝⁵ : TopologicalSpace Q
inst✝⁴ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : ContinuousSMul R W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s
this : ∀ y ∈ t, ∀ᶠ (δ : R) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s
⊢ ∀ᶠ (δ : R) in 𝓝 1, ⇑(homothety x δ) '' t ⊆ s

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : TopologicalSpace W
inst✝⁶ : AddTorsor W Q
inst✝⁵ : TopologicalSpace Q
inst✝⁴ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : ContinuousSMul R W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s
this : ∀ y ∈ t, ∀ᶠ (δ : R) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s
⊢ ∀ᶠ (δ : R) in 𝓝 1, ⇑(homothety x δ) '' t ⊆ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
w' : Fin (m + 1) → k
hi : ∀ (i : Fin (m + 1)), w' i ∈ I
hw' : ∑ i, w' i = 1
he : (affineCombination k univ s.points) w = (affineCombination k univ (s.face h).points) w'
he' : (Set.range ⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding).indicator (extend (⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding) w' 0) = w
⊢ (∀ i ∈ fs, w i ∈ I) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0

Tactic:
[

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
w' : Fin (m + 1) → k
hi : ∀ (i : Fin (m + 1)), w' i ∈ I
hw' : ∑ i, w' i = 1
he : (affineCombination k univ s.points) w = (affineCombination k univ (s.face h).points) w'
he' : (Set.range ⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding).indicator (extend (⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding) w' 0) = w
⊢ (∀ i ∈ fs, w i ∈ I) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
r : k
hr : (s.weightedVSub p) (r • (w₁ - w₂) - w) = 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∑ j ∈ s, (r • (w₁ - w₂) - w) j = 0

Tactic:
[

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
r : k
hr : (s.weightedVSub p) (r • (w₁ - w₂) - w) = 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∑ j ∈ s, (r • (w₁ - w₂) - w) j = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : PartialOrder k
inst✝¹ : Nontrivial k
inst✝ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
j : Fin (n + 1)
⊢ s.points j ∈ (s.face h).closedInterior ↔ j ∈ fs

Tactic:
refine ⟨fun hj ↦ ?_, fun hfs ↦ ?_⟩
  · suffices s.points j ∈ affineSpan k (s.points '' fs) by simpa
    obtain ⟨w, hw, hw', hs⟩ := hj
    rw [← hs]
    exact Set.mem_of_mem_of_subset (affineCombination_mem_affineSpan hw _) (by simp)
  · obtain ⟨i, rfl⟩ : ∃ i, fs.orderEmbOfFin h i = j := range_orderEmbOfFin fs h |>.ge hfs
    exact point_mem_closedInterior _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Topology

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Ring 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁷ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : OrderTopology 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x y : E
⊢ (fun θ ↦ (1 - θ) • x + θ • y) '' closure (Ioo 0 1) ⊆ closure ((fun θ ↦ (1 - θ) • x + θ • y) '' Ioo 0 1)

Tactic:
exact image_closure_subset_closure_image (by fun_prop)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case h₁
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁷ : Ring k
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module k V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : LinearOrder k
inst✝² : IsOrderedAddMonoid k
inst✝¹ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
w : Fin (n + 1) → k
hw1 : ∑ i, w i = 1
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
hp' : (affineCombination k univ s.points) w ∈ ↑(affineSpan k (Set.range s.points))
h : (affineCombination k univ s.points) w ∉ s.interior
⊢ (affineCombination k univ s.points) w ∈ ⋃ i, (s.faceOpposite i).closedInterior

Tactic:
[

Goal state after:
case h₁
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁷ : Ring k
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module k V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : LinearOrder k
inst✝² : IsOrderedAddMonoid k
inst✝¹ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
w : Fin (n + 1) → k
hw1 : ∑ i, w i = 1
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
hp' : (affineCombination k univ s.points) w ∈ ↑(affineSpan k (Set.range s.points))
h : (affineCombination k univ s.points) w ∉ s.interior
⊢ (affineCombination k univ s.points) w ∈ ⋃ i, (s.faceOpposite i).closedInterior
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
h : LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) ↦ ↑v
hp₁ : p₁ ∈ s
bsv : Basis (↑(LinearIndepOn.extend h ⋯)) k V := Basis.extend h
hsvi : LinearIndependent (ι := ↑(LinearIndepOn.extend h ⋯)) k ⇑bsv
hsvt : Submodule.span k (Set.range ⇑bsv) = ⊤
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p ↦ ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤

Tactic:
Basis.coe_extend

Goal state after:
case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
h : LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) ↦ ↑v
hp₁ : p₁ ∈ s
bsv : Basis (↑(LinearIndepOn.extend h ⋯)) k V := Basis.extend h
hsvi : LinearIndependent (ι := ↑(LinearIndepOn.extend h ⋯)) k Subtype.val
hsvt : Submodule.span k (Set.range Subtype.val) = ⊤
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p ↦ ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤
Module: Mathlib.Topology.NhdsKer

Goal state before:
pp: X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x : X
y : Y
⊢ nhdsKer {(x, y)} = nhdsKer {x} ×ˢ nhdsKer {y}

Tactic:
[

Goal state after:
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x : X
y : Y
⊢ nhdsKer {(x, y)} = nhdsKer {x} ×ˢ nhdsKer {y}
Module: Mathlib.Topology.NhdsKer

Goal state before:
pp: case f
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
Y : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y
x✝ : (x, y) ∈ s ×ˢ t
⊢ nhdsKer {(x, y)} = nhdsKer {(x, y).1} ×ˢ nhdsKer {(x, y).2}

Tactic:
nhdsKer_pair

Goal state after:
case f
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
Y : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y
x✝ : (x, y) ∈ s ×ˢ t
⊢ nhdsKer {x} ×ˢ nhdsKer {y} = nhdsKer {(x, y).1} ×ˢ nhdsKer {(x, y).2}
Module: Mathlib.Topology.NhdsKer

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
Y : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ (⋃ x ∈ s, nhdsKer {x}) ×ˢ ⋃ y ∈ t, nhdsKer {y} = nhdsKer s ×ˢ nhdsKer t

Tactic:
[

Goal state after:
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
Y : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ (⋃ x ∈ s, nhdsKer {x}) ×ˢ ⋃ y ∈ t, nhdsKer {y} = nhdsKer s ×ˢ nhdsKer t
Module: Mathlib.Topology.NhdsKer

Goal state before:
pp: ι : Type u_3
X : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
p : (i : ι) → X i
⊢ nhdsKer {p} = univ.pi fun i ↦ nhdsKer {p i}

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_3
X : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
p : (i : ι) → X i
⊢ nhdsKer {p} = univ.pi fun i ↦ nhdsKer {p i}
Module: Mathlib.Topology.NhdsKer

Goal state before:
pp: ι : Type u_3
X : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : (i : ι) → Set (X i)
⊢ (univ.pi fun i ↦ ⋃ x ∈ s i, nhdsKer {x}) = univ.pi fun i ↦ nhdsKer (s i)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type u_3
X : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : (i : ι) → Set (X i)
⊢ (univ.pi fun i ↦ ⋃ x ∈ s i, nhdsKer {x}) = univ.pi fun i ↦ nhdsKer (s i)
Module: Mathlib.Topology.AlexandrovDiscrete

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ AlexandrovDiscrete α = ?m.14

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ AlexandrovDiscrete α = ?m.14
Module: Mathlib.Topology.AlexandrovDiscrete

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
⊢ interior (⋂₀ S) = ⋂ s ∈ S, interior s

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
⊢ interior (⋂₀ S) = ⋂ s ∈ S, interior s
Module: Mathlib.Topology.AlexandrovDiscrete

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
⊢ closure[inst✝¹] (⋃₀ S) = ⋃ s ∈ S, closure[inst✝¹] s

Tactic:
[

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
⊢ closure[inst✝¹] (⋃₀ S) = ⋃ s ∈ S, closure[inst✝¹] s