mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: case insert.specialize_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
i : ι
hi : i ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
hfv : ∑ x ∈ s, f x • v x + ((-∑ i ∈ s, f i * a' i) * ↑hj.unit⁻¹) • v n✝ = 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), a i j = a' ↑i
hfn : f ↑n = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * ↑hj.unit⁻¹
c : ι → R := fun i ↦ (-if i = ↑n then 0 else a' i) * ↑hj.unit⁻¹
⊢ ∑ i ∈ s, f i • (v + fun x ↦ c x • v ↑n) i = 0

Tactic:
[

Goal state after:
case insert.specialize_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
i : ι
hi : i ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
hfv : ∑ x ∈ s, f x • v x + ((-∑ i ∈ s, f i * a' i) * ↑hj.unit⁻¹) • v n✝ = 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), a i j = a' ↑i
hfn : f ↑n = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * ↑hj.unit⁻¹
c : ι → R := fun i ↦ (-if i = ↑n then 0 else a' i) * ↑hj.unit⁻¹
⊢ ∑ i ∈ s, f i • (v + fun x ↦ c x • v ↑n) i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: case «0»
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Flat R ↥M ∨ Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i ↦ ↑i
hs : Nontrivial ↥s
a b : ↥s
hab : a ≠ b
j : Fin (Nat.succ 0).succ
hij : ![a, b] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) = ![a, b] j
⊢ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ = j

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «0».«0»
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Flat R ↥M ∨ Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i ↦ ↑i
hs : Nontrivial ↥s
a b : ↥s
hab : a ≠ b
hij : ![a, b] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) = ![a, b] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)
⊢ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ = (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩

case «0».«1»
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Flat R ↥M ∨ Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i ↦ ↑i
hs : Nontrivial ↥s
a b : ↥s
hab : a ≠ b
hij : ![a, b] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) = ![a, b] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)
⊢ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ = (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: case «1»
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Flat R ↥M ∨ Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i ↦ ↑i
hs : Nontrivial ↥s
a b : ↥s
hab : a ≠ b
j : Fin (Nat.succ 0).succ
hij : ![a, b] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) = ![a, b] j
⊢ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ = j

Tactic:
fin_cases j

Goal state after:
case «1».«0»
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Flat R ↥M ∨ Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i ↦ ↑i
hs : Nontrivial ↥s
a b : ↥s
hab : a ≠ b
hij : ![a, b] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) = ![a, b] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)
⊢ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ = (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩

case «1».«1»
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Flat R ↥M ∨ Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i ↦ ↑i
hs : Nontrivial ↥s
a b : ↥s
hab : a ≠ b
hij : ![a, b] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) = ![a, b] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)
⊢ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ = (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : M
h : IsAssociatedPrime (⊥.colon {x}).radical M
r : R
⊢ r ∈ (⊥.colon {x}).radical ↔ r ∈ (⊥.colon {f x}).radical

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : M
h : IsAssociatedPrime (⊥.colon {x}).radical M
r : R
⊢ r ∈ (⊥.colon {x}).radical ↔ r ∈ (⊥.colon {f x}).radical
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Finiteness

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_2
A : Type u
inst✝² : CommRing A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
N₁ N₂ : Submodule A M
f : ↥N₂ ⧸ N₁.submoduleOf N₂ →ₗ[A] M ⧸ N₁ := (N₁.submoduleOf N₂).mapQ N₁ N₂.subtype ⋯
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : f.range = map N₁.mkQ N₂
x✝ : N₁.IsQuotientEquivQuotientPrime N₂
h : N₁ ≤ N₂
p : PrimeSpectrum A
e : (↥N₂ ⧸ N₁.submoduleOf N₂) ≃ₗ[A] A ⧸ p.asIdeal
x : M
hx : x ∈ N₂
hx' : (N₁.submoduleOf N₂).mkQ ⟨x, hx⟩ = e.symm 1
hx'' : N₁.mkQ x = f (e.symm 1)
this : map N₁.mkQ (A ∙ x) = map f (map (↑e.symm) (A ∙ 1))
⊢ map N₁.mkQ N₂ ≤ map N₁.mkQ (A ∙ x)

Tactic:
this

Goal state after:
case refine_1.refine_2
A : Type u
inst✝² : CommRing A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
N₁ N₂ : Submodule A M
f : ↥N₂ ⧸ N₁.submoduleOf N₂ →ₗ[A] M ⧸ N₁ := (N₁.submoduleOf N₂).mapQ N₁ N₂.subtype ⋯
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : f.range = map N₁.mkQ N₂
x✝ : N₁.IsQuotientEquivQuotientPrime N₂
h : N₁ ≤ N₂
p : PrimeSpectrum A
e : (↥N₂ ⧸ N₁.submoduleOf N₂) ≃ₗ[A] A ⧸ p.asIdeal
x : M
hx : x ∈ N₂
hx' : (N₁.submoduleOf N₂).mkQ ⟨x, hx⟩ = e.symm 1
hx'' : N₁.mkQ x = f (e.symm 1)
this : map N₁.mkQ (A ∙ x) = map f (map (↑e.symm) (A ∙ 1))
⊢ map N₁.mkQ N₂ ≤ map f (map (↑e.symm) (A ∙ 1))
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
⊢ Subgroup.map (↑unitsMulEquivSubmodule) (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)).range =
    (Units.map ↑(Submodule.spanSingleton R)).range

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
⊢ Subgroup.map (↑unitsMulEquivSubmodule) (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)).range =
    (Units.map ↑(Submodule.spanSingleton R)).range
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Finiteness

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsNoetherianRing A
inst✝ : IsFractionRing A A
I : Ideal A
hI : I.IsMaximal
fin : (associatedPrimes A A).Finite
⊢ ↑I ⊆ ⋃ i ∈ associatedPrimes A A, ↑(id i)

Tactic:
[

Goal state after:
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsNoetherianRing A
inst✝ : IsFractionRing A A
I : Ideal A
hI : I.IsMaximal
fin : (associatedPrimes A A).Finite
⊢ ↑I ⊆ ⋃ i ∈ associatedPrimes A A, ↑(id i)
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' J' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'
hJ : ↑J = ↑J'
⊢ (∃ x y, x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ Ideal.span {x} * I' = Ideal.span {y} * J') →
    ∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J

Tactic:
rintro ⟨x, y, hx, hy, h⟩
    have : IsUnit (mk' (FractionRing R) x ⟨y, mem_nonZeroDivisors_of_ne_zero hy⟩) := by
      simpa only [isUnit_iff_ne_zero, ne_eq, mk'_eq_zero_iff_eq_zero] using hx
    refine ⟨this.unit, ?_⟩
    rw [mul_comm, ← Units.val_inj, Units.val_mul, coe_toPrincipalIdeal]
    convert!
      (mk'_mul_coeIdeal_eq_coeIdeal (FractionRing R) <| mem_nonZeroDivisors_of_ne_zero hy).2 h

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
⊢ mk0 I = mk0 J ↔ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J

Tactic:
refine (ClassGroup.equiv K).injective.eq_iff.symm.trans ?_
  simp only [ClassGroup.equiv_mk0, QuotientGroup.mk'_eq_mk', mem_principal_ideals_iff,
    Units.ext_iff, Units.val_mul, FractionalIdeal.coe_mk0, exists_prop]
  constructor
  · rintro ⟨X, ⟨x, hX⟩, hx⟩
    refine ⟨x, ?_, ?_⟩
    · rintro rfl; simp [X.ne_zero.symm] at hX
    simpa only [hX, mul_comm] using! hx
  · rintro ⟨x, hx, eq_J⟩
    refine ⟨Units.mk0 _ (spanSingleton_ne_zero_iff.mpr hx), ⟨x, rfl⟩, ?_⟩
    simpa only [mul_comm] using! eq_J

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.LocallyConstant.Basic

Goal state before:
pp: X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → LocallyConstant X β
g : α → β
this : (fun x a ↦ (f a) x) ⁻¹' {g} = ⋂ a, ⇑(f a) ⁻¹' {g a}
⊢ IsOpen[inst✝] ((fun x a ↦ (f a) x) ⁻¹' {g})

Tactic:
this

Goal state after:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → LocallyConstant X β
g : α → β
this : (fun x a ↦ (f a) x) ⁻¹' {g} = ⋂ a, ⇑(f a) ⁻¹' {g a}
⊢ IsOpen[inst✝] (⋂ a, ⇑(f a) ⁻¹' {g a})
Module: Mathlib.Topology.LocallyConstant.Basic

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
hfs : Function.Surjective f.toFun
a b : LocallyConstant Y Z
h : comap f a = comap f b
y : Y
x : X
hx : f.toFun x = y
⊢ a y = b y

Tactic:
simpa [← hx] using LocallyConstant.congr_fun h x

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangePi

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁰ : Algebra R S✝
S : Submonoid R
M : Type u_3
N : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid N'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsLocalizedModule S g
this✝ : Module (Localization S) M' := module S f
this : Module (Localization S) N' := module S g
⊢ IsBaseChange (Localization S) (f.prodMap g)

Tactic:
apply IsBaseChange.prodMap

Goal state after:
case hf
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁰ : Algebra R S✝
S : Submonoid R
M : Type u_3
N : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid N'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsLocalizedModule S g
this✝ : Module (Localization S) M' := ⋯
this : Module (Localization S) N' := ⋯
⊢ IsBaseChange (Localization S) f

case hg
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁰ : Algebra R S✝
S : Submonoid R
M : Type u_3
N : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid N'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsLocalizedModule S g
this✝ : Module (Localization S) M' := ⋯
this : Module (Localization S) N' := ⋯
⊢ IsBaseChange (Localization S) g
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.FreeLocus

Goal state before:
pp: R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum A
Rₚ : Type uR := Localization.AtPrime (comap (algebraMap R A) p).asIdeal
hp : Free Rₚ (Rₚ ⊗[R] M)
Aₚ : Type u_1 := Localization.AtPrime p.asIdeal
algebra : Algebra Rₚ Aₚ :=
  (Localization.localRingHom (comap (algebraMap R A) p).asIdeal p.asIdeal (algebraMap R A) ⋯).toAlgebra
⊢ algebraMap R Aₚ = (algebraMap Rₚ Aₚ).comp (algebraMap R Rₚ)

Tactic:
by simp [Rₚ, Aₚ, algebra, RingHom.algebraMap_toAlgebra, Localization.localRingHom,
        ← IsScalarTower.algebraMap_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.FreeLocus

Goal state before:
pp: R : Type uR
M : Type uM
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : FinitePresentation R M
⊢ freeLocus R M = Set.univ ↔ Projective R M

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
M : Type uM
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : FinitePresentation R M
⊢ freeLocus R M = Set.univ ↔ Projective R M
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.FreeLocus

Goal state before:
pp: R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Flat R M
⊢ freeLocus R M = Set.univ

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Flat R M
⊢ freeLocus R M = Set.univ
Module: Mathlib.RingTheory.PicardGroup

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
N : Type u_1
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
e : M ⊗[R] N ≃ₗ[R] R
x✝ : P →ₗ[R] Q
⊢ (rTensorInv P Q e) ((LinearMap.rTensorHom M) x✝) = x✝

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
N : Type u_1
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
e : M ⊗[R] N ≃ₗ[R] R
x✝ : P →ₗ[R] Q
⊢ (rTensorInv P Q e) ((LinearMap.rTensorHom M) x✝) = x✝
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.FreeLocus

Goal state before:
pp: case intro
R : Type uR
inst✝⁵ : CommRing R
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Finite ι
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Flat R (M i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)
p : PrimeSpectrum R
val✝ : Fintype ι
f : ((i : ι) → M i) →ₗ[R] (i : ι) → LocalizedModule p.asIdeal.primeCompl (M i) :=
  LinearMap.pi fun i ↦ mkLinearMap p.asIdeal.primeCompl (M i) ∘ₗ LinearMap.proj i
e : LocalizedModule p.asIdeal.primeCompl ((i : ι) → M i) ≃ₗ[Localization.AtPrime p.asIdeal]
  (i : ι) → LocalizedModule p.asIdeal.primeCompl (M i) :=
  LinearEquiv.extendScalarsOfIsLocalization p.asIdeal.primeCompl (Localization.AtPrime p.asIdeal)
    (IsLocalizedModule.linearEquiv p.asIdeal.primeCompl (mkLinearMap p.asIdeal.primeCompl ((i : ι) → M i)) f)
this : ∀ (i : ι), Free (Localization.AtPrime p.asIdeal) (LocalizedModule p.asIdeal.primeCompl (M i))
⊢ rankAtStalk ((i : ι) → M i) p = ∑ᶠ (i : ι), rankAtStalk (M i) p

Tactic:
[

Goal state after:
case intro
R : Type uR
inst✝⁵ : CommRing R
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Finite ι
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Flat R (M i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)
p : PrimeSpectrum R
val✝ : Fintype ι
f : ((i : ι) → M i) →ₗ[R] (i : ι) → LocalizedModule p.asIdeal.primeCompl (M i) :=
  LinearMap.pi fun i ↦ mkLinearMap p.asIdeal.primeCompl (M i) ∘ₗ LinearMap.proj i
e : LocalizedModule p.asIdeal.primeCompl ((i : ι) → M i) ≃ₗ[Localization.AtPrime p.asIdeal]
  (i : ι) → LocalizedModule p.asIdeal.primeCompl (M i) :=
  LinearEquiv.extendScalarsOfIsLocalization p.asIdeal.primeCompl (Localization.AtPrime p.asIdeal)
    (IsLocalizedModule.linearEquiv p.asIdeal.primeCompl (mkLinearMap p.asIdeal.primeCompl ((i : ι) → M i)) f)
this : ∀ (i : ι), Free (Localization.AtPrime p.asIdeal) (LocalizedModule p.asIdeal.primeCompl (M i))
⊢ rankAtStalk ((i : ι) → M i) p = ∑ᶠ (i : ι), rankAtStalk (M i) p
Module: Mathlib.RingTheory.PicardGroup

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Invertible R M
N : Type (max v u) := ⋯
e : M ⊗[R] N ≃ₗ[R] R := ⋯
S : Finset (M × N)
hS : e.symm 1 = ∑ i ∈ S, i.1 ⊗ₜ[R] i.2
f : (↥S →₀ N) →ₗ[R] R := ⋯
⊢ f (Finsupp.equivFunOnFinite.symm fun i ↦ (↑i).2) = 1

Tactic:
[

Goal state after:
case h
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Invertible R M
N : Type (max v u) := ⋯
e : M ⊗[R] N ≃ₗ[R] R := ⋯
S : Finset (M × N)
hS : e.symm 1 = ∑ i ∈ S, i.1 ⊗ₜ[R] i.2
f : (↥S →₀ N) →ₗ[R] R := ⋯
⊢ f (Finsupp.equivFunOnFinite.symm fun i ↦ (↑i).2) = 1
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.FreeLocus

Goal state before:
pp: R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Flat R M
inst✝ : Module.Finite R M
h : rankAtStalk M = 0
⊢ Subsingleton M

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Flat R M
inst✝ : Module.Finite R M
h : rankAtStalk M = 0
⊢ Subsingleton M
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.FreeLocus

Goal state before:
pp: R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
p : Ideal R
inst✝ : p.IsPrime
⊢ finrank p.ResidueField (p.Fiber M) = finrank R M

Tactic:
let K := FractionRing R
  let Rp := Localization.AtPrime p
  let Mp := LocalizedModule.AtPrime p M
  rw [p.finrank_fiber_eq_rankAtStalk, rankAtStalk, ← (isBaseChange Rp Mp K).finrank_eq,
    (((LocalizedModule.equivTensorProduct p.primeCompl M).baseChange Rp K Mp _)).finrank_eq,
    (AlgebraTensorModule.cancelBaseChange R Rp K K M).finrank_eq, (isBaseChange R M K).finrank_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.PicardGroup

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module.Invertible R M
f : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Bijective ⇑(LinearMap.lTensor M f) ↔ Function.Bijective ⇑f

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module.Invertible R M
f : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Bijective ⇑(LinearMap.lTensor M f) ↔ Function.Bijective ⇑f
Module: Mathlib.FieldTheory.Normal.Closure

Goal state before:
pp: case right
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), (Polynomial.map (algebraMap F L) (minpoly F x)).Splits
⊢ normalClosure F K ↥(normalClosure F K L) = ⊤

Tactic:
[

Goal state after:
case right
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), (Polynomial.map (algebraMap F L) (minpoly F x)).Splits
⊢ normalClosure F K ↥(normalClosure F K L) = ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.PicardGroup

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module.Invertible R M
f : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Bijective ⇑(LinearMap.rTensor M f) ↔ Function.Bijective ⇑f

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module.Invertible R M
f : N →ₗ[R] P
⊢ Function.Bijective ⇑(LinearMap.rTensor M f) ↔ Function.Bijective ⇑f
Module: Mathlib.RingTheory.PicardGroup

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Invertible R M
f : R →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
r₁ r₂ : R
eq : f r₁ = f r₂
r : R
⊢ r₁ • f r = r₂ • f r

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Invertible R M
f : R →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
r₁ r₂ : R
eq : f r₁ = f r₂
r : R
⊢ r₁ • f r = r₂ • f r
Module: Mathlib.FieldTheory.PrimitiveElement

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝ : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
f g : F[X]
sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots
sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots
s : Finset E := (sf.bind fun α' ↦ Multiset.map (fun β' ↦ -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset
s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯
c : F
hc : c ∉ s'
⊢ ∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝ : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
f g : F[X]
sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots
sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots
s : Finset E := (sf.bind fun α' ↦ Multiset.map (fun β' ↦ -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset
s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯
c : F
hc : c ∉ s'
⊢ ∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c
Module: Mathlib.RingTheory.PicardGroup

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Invertible R M
S : Finset (Dual R M × M)
hS : (linearEquiv R M).symm 1 = ∑ i ∈ S, i.1 ⊗ₜ[R] i.2
⊢ ∃ s, Ideal.span ↑s = ⊤ ∧ ∀ r ∈ s, Free (Localization.Away r) (LocalizedModule.Away r M)

Tactic:
refine ⟨S.image fun i ↦ i.1 i.2, ?_, fun r hr ↦ ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Invertible R M
S : Finset (Dual R M × M)
hS : (linearEquiv R M).symm 1 = ∑ i ∈ S, i.1 ⊗ₜ[R] i.2
⊢ Ideal.span ↑(Finset.image (fun i ↦ i.1 i.2) S) = ⊤

case refine_2
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Invertible R M
S : Finset (Dual R M × M)
hS : (linearEquiv R M).symm 1 = ∑ i ∈ S, i.1 ⊗ₜ[R] i.2
r : R
hr : r ∈ Finset.image (fun i ↦ i.1 i.2) S
⊢ Free (Localization.Away r) (LocalizedModule.Away r M)
Module: Mathlib.FieldTheory.Normal.Closure

Goal state before:
pp: F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
φ : K →ₐ[F] L
⊢ ∀ (x : K), (Polynomial.map (algebraMap F L) (minpoly F x)).Splits

Tactic:
[

Goal state after:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
φ : K →ₐ[F] L
⊢ ∀ (x : K), (Polynomial.map (algebraMap F L) (minpoly F x)).Splits