mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.DFinsupp

Goal state before:
pp: ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
S : Type uS
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝¹ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝ : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
x : (i : ι) → Π₀ (j : κ i), M i j
s : (i : ι) → { s // ∀ (i_1 : κ i), i_1 ∈ s ∨ (x i).toFun i_1 = 0 }
p : (i : ι) → κ i
⊢ (∃ a, (∀ (a_1 : ι), a a_1 ⋯ ∈ ↑(s a_1)) ∧ (fun i ↦ a i ⋯) = p) ∨ ((f p) fun i ↦ (x i) (p i)) = 0

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
S : Type uS
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝¹ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝ : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
x : (i : ι) → Π₀ (j : κ i), M i j
s : (i : ι) → { s // ∀ (i_1 : κ i), i_1 ∈ s ∨ (x i).toFun i_1 = 0 }
p : (i : ι) → κ i
⊢ (∃ a, (∀ (a_1 : ι), a a_1 ⋯ ∈ ↑(s a_1)) ∧ (fun i ↦ a i ⋯) = p) ∨ ((f p) fun i ↦ (x i) (p i)) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.DFinsupp

Goal state before:
pp: ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
S : Type uS
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝¹ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝ : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
dec : DecidableEq ι
m : (i : ι) → Π₀ (j : κ i), M i j
i : ι
x y : Π₀ (j : κ i), M i j
p : (i : ι) → κ i
⊢ ((f p) fun i_1 ↦ (Function.update m i (x + y) i_1) (p i_1)) =
    ((f p) fun i_1 ↦ (Function.update m i x i_1) (p i_1)) + (f p) fun i_1 ↦ (Function.update m i y i_1) (p i_1)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
S : Type uS
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝¹ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝ : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
dec : DecidableEq ι
m : (i : ι) → Π₀ (j : κ i), M i j
i : ι
x y : Π₀ (j : κ i), M i j
p : (i : ι) → κ i
⊢ ((f p) fun i_1 ↦ (Function.update m i (x + y) i_1) (p i_1)) =
    ((f p) fun i_1 ↦ (Function.update m i x i_1) (p i_1)) + (f p) fun i_1 ↦ (Function.update m i y i_1) (p i_1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.DFinsupp

Goal state before:
pp: ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
S : Type uS
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝¹ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝ : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
dec : DecidableEq ι
m : (i : ι) → Π₀ (j : κ i), M i j
i : ι
c : R
x : Π₀ (j : κ i), M i j
p : (i : ι) → κ i
⊢ ((f p) fun i_1 ↦ (Function.update m i (c • x) i_1) (p i_1)) = c • (f p) fun i_1 ↦ (Function.update m i x i_1) (p i_1)

Tactic:
[

Goal state after:
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
S : Type uS
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝¹ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝ : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
dec : DecidableEq ι
m : (i : ι) → Π₀ (j : κ i), M i j
i : ι
c : R
x : Π₀ (j : κ i), M i j
p : (i : ι) → κ i
⊢ ((f p) fun i_1 ↦ (Function.update m i (c • x) i_1) (p i_1)) = c • (f p) fun i_1 ↦ (Function.update m i x i_1) (p i_1)
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.Cycle.Factors

Goal state before:
pp: case refine_3.inr.inr
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g f✝ σ τ : Perm α
hd : σ.Disjoint τ
a✝ : σ.IsCycle
hσ : ∀ {f : Perm α}, f ∈ σ.cycleFactorsFinset → (σ * f⁻¹).cycleFactorsFinset = σ.cycleFactorsFinset \ {f}
hτ : ∀ {f : Perm α}, f ∈ τ.cycleFactorsFinset → (τ * f⁻¹).cycleFactorsFinset = τ.cycleFactorsFinset \ {f}
f : Perm α
hf : f.IsCycle ∧ ∀ a ∈ f.support, f a = τ a
x : α
hx : τ x = x
⊢ σ x = x ∨ (τ * f⁻¹) x = x

Tactic:
refine Or.inr ?_

Goal state after:
case refine_3.inr.inr
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g f✝ σ τ : Perm α
hd : σ.Disjoint τ
a✝ : σ.IsCycle
hσ : ∀ {f : Perm α}, f ∈ σ.cycleFactorsFinset → (σ * f⁻¹).cycleFactorsFinset = σ.cycleFactorsFinset \ {f}
hτ : ∀ {f : Perm α}, f ∈ τ.cycleFactorsFinset → (τ * f⁻¹).cycleFactorsFinset = τ.cycleFactorsFinset \ {f}
f : Perm α
hf : f.IsCycle ∧ ∀ a ∈ f.support, f a = τ a
x : α
hx : τ x = x
⊢ (τ * f⁻¹) x = x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.DFinsupp

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝³ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝² : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝¹ : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
p : (i : ι) → κ i
m : (i : ι) → M i (p i)
q : (i : ι) → κ i
i : ι
hpqi : q i ≠ p i
⊢ (DFinsupp.single (p i) (m i)) (q i) = 0

Tactic:
[

Goal state after:
case inr
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝³ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝² : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝¹ : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
p : (i : ι) → κ i
m : (i : ι) → M i (p i)
q : (i : ι) → κ i
i : ι
hpqi : q i ≠ p i
⊢ (DFinsupp.single (p i) (m i)) (q i) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basis

Goal state before:
pp: case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Finite ι
f g : MultilinearMap R M N
ιM : ι → Type u_5
e : (i : ι) → Basis (ιM i) R (M i)
h : ∀ (v : (i : ι) → ιM i), (f fun i ↦ (e i) (v i)) = g fun i ↦ (e i) (v i)
val✝ : Fintype ι
x : (i : ι) → ιM i →₀ R
⊢ (f fun i ↦ (e i).repr.symm (x i)) = g fun i ↦ (e i).repr.symm (x i)

Tactic:
[

Goal state after:
case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Finite ι
f g : MultilinearMap R M N
ιM : ι → Type u_5
e : (i : ι) → Basis (ιM i) R (M i)
h : ∀ (v : (i : ι) → ιM i), (f fun i ↦ (e i) (v i)) = g fun i ↦ (e i) (v i)
val✝ : Fintype ι
x : (i : ι) → ιM i →₀ R
⊢ (f fun i ↦ (e i).repr.symm (x i)) = g fun i ↦ (e i).repr.symm (x i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
ι : Type u_7
M₂ : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Nonempty ι
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
x✝ : ι → M₂
⊢ (f.compLinearMap 0) x✝ = 0 x✝

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁷ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
ι : Type u_7
M₂ : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Nonempty ι
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
x✝ : ι → M₂
⊢ (f.compLinearMap 0) x✝ = 0 x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.succ
x y : M 0
⊢ f (Fin.cons (x + y) m) = f (Fin.cons x m) + f (Fin.cons y m)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.succ
x y : M 0
⊢ f (Fin.cons (x + y) m) = f (Fin.cons x m) + f (Fin.cons y m)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.succ
c : R
x : M 0
⊢ f (Fin.cons (c • x) m) = c • f (Fin.cons x m)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.succ
c : R
x : M 0
⊢ f (Fin.cons (c • x) m) = c • f (Fin.cons x m)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.castSucc
x y : M (last n)
⊢ f (snoc m (x + y)) = f (snoc m x) + f (snoc m y)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.castSucc
x y : M (last n)
⊢ f (snoc m (x + y)) = f (snoc m x) + f (snoc m y)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.castSucc
c : R
x : M (last n)
⊢ f (snoc m (c • x)) = c • f (snoc m x)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type uR
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₂ : Type v₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.castSucc
c : R
x : M (last n)
⊢ f (snoc m (c • x)) = c • f (snoc m x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
a : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
⊢ ⇑(MultilinearMap.alternatization ↑a) = ⇑((Fintype.card ι).factorial • a)

Tactic:
[

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
a : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
⊢ ⇑(MultilinearMap.alternatization ↑a) = ⇑((Fintype.card ι).factorial • a)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
a b c : R
inst✝ : IsCancelAdd R
hab : a * detp 1 A + b * detp (-1) A = b * detp 1 A + a * detp (-1) A
hbc : b * detp 1 A + c * detp (-1) A = c * detp 1 A + b * detp (-1) A
⊢ a * detp 1 A + c * detp (-1) A = c * detp 1 A + a * detp (-1) A

Tactic:
apply add_left_cancel (a := b * detp 1 A + b * detp (-1) A)

Goal state after:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
a b c : R
inst✝ : IsCancelAdd R
hab : a * detp 1 A + b * detp (-1) A = b * detp 1 A + a * detp (-1) A
hbc : b * detp 1 A + c * detp (-1) A = c * detp 1 A + b * detp (-1) A
⊢ b * detp 1 A + b * detp (-1) A + (a * detp 1 A + c * detp (-1) A) =
    b * detp 1 A + b * detp (-1) A + (c * detp 1 A + a * detp (-1) A)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: n : Type u_1
m : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
a b : R
e₁ e₂ : m ≃ n
h : A.IsDetpBalanced a b
⊢ (A.submatrix ⇑e₁ ⇑e₂).IsDetpBalanced a b

Tactic:
[

Goal state after:
n : Type u_1
m : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
a b : R
e₁ e₂ : m ≃ n
h : A.IsDetpBalanced a b
⊢ (A.submatrix ⇑e₁ ⇑e₂).IsDetpBalanced a b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
a b : R
h : A.IsDetpBalanced a b
c : R
⊢ (c • A).IsDetpBalanced a b

Tactic:
[

Goal state after:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
a b : R
h : A.IsDetpBalanced a b
c : R
⊢ (c • A).IsDetpBalanced a b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: case inl.inr
n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
p q : n
hpq : p ≠ q
hrow : A.row p = A.row q
this : detp 1 A = detp (-1) A
⊢ detp 1 A = detp (-1) A

Tactic:
this

Goal state after:
case inl.inr
n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
p q : n
hpq : p ≠ q
hrow : A.row p = A.row q
this : detp 1 A = detp (-1) A
⊢ detp (-1) A = detp (-1) A
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: case inr.inl
n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
p q : n
hpq : p ≠ q
hrow : A.row p = A.row q
this : detp 1 A = detp (-1) A
⊢ detp (-1) A = detp 1 A

Tactic:
this

Goal state after:
case inr.inl
n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix n n R
p q : n
hpq : p ≠ q
hrow : A.row p = A.row q
this : detp 1 A = detp (-1) A
⊢ detp (-1) A = detp (-1) A
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: case e_a
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
s : Finset ι
hs : s ∈ t.powerset
this : (insert i s).piecewise m m' = s.piecewise m m''
⊢ f (s.piecewise m m'') = f ((insert i s).piecewise m m')

Tactic:
this

Goal state after:
case e_a
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
s : Finset ι
hs : s ∈ t.powerset
this : (insert i s).piecewise m m' = s.piecewise m m''
⊢ f (s.piecewise m m'') = f (s.piecewise m m'')
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i ↦ Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)),
      ∑ i, #(A i) = m → (f fun i ↦ ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i ↦ g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i, #(A i) = n
Ai_empty : ∃ i, A i = ∅
i : ι
hi : ∑ j ∈ A i, g i j = 0
hpi : piFinset A = ∅
⊢ 0 = ∑ r ∈ ∅, f fun i ↦ g i (r i)

Tactic:
Finset.sum_empty

Goal state after:
case pos
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i ↦ Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)),
      ∑ i, #(A i) = m → (f fun i ↦ ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i ↦ g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i, #(A i) = n
Ai_empty : ∃ i, A i = ∅
i : ι
hi : ∑ j ∈ A i, g i j = 0
hpi : piFinset A = ∅
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A B : Matrix n n R
s t : ℤˣ
σ : Perm n
hσ : σ ∈ ofSign s
τ : Perm n
⊢ τ ∈ ofSign (t * s) ↔ τ ∈ Finset.map (mulRightEmbedding σ) (ofSign t)

Tactic:
[

Goal state after:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A B : Matrix n n R
s t : ℤˣ
σ : Perm n
hσ : σ ∈ ofSign s
τ : Perm n
⊢ τ ∈ ofSign (t * s) ↔ τ ∈ Finset.map (mulRightEmbedding σ) (ofSign t)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A B : Matrix n n R
hf : ∀ {s t : ℤˣ} {σ : Perm n}, σ ∈ ofSign s → ofSign (t * s) = Finset.map (mulRightEmbedding σ) (ofSign t)
s t : ℤˣ
⊢ detp s A * detp t B = ∑ σ ∈ ofSign s, ∑ τ ∈ ofSign (t * s), ∏ k, A k (σ k) * B (σ k) (τ k)

Tactic:
[

Goal state after:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A B : Matrix n n R
hf : ∀ {s t : ℤˣ} {σ : Perm n}, σ ∈ ofSign s → ofSign (t * s) = Finset.map (mulRightEmbedding σ) (ofSign t)
s t : ℤˣ
⊢ detp s A * detp t B = ∑ σ ∈ ofSign s, ∑ τ ∈ ofSign (t * s), ∏ k, A k (σ k) * B (σ k) (τ k)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A B : Matrix n n R
hf : ∀ {s t : ℤˣ} {σ : Perm n}, σ ∈ ofSign s → ofSign (t * s) = Finset.map (mulRightEmbedding σ) (ofSign t)
s t : ℤˣ
σ : Perm n
hσ : σ ∈ ofSign s
⊢ ∑ j ∈ ofSign t, (∏ k, A k (σ k)) * ∏ k, B k (j k) = ∑ x ∈ ofSign (t * s), (∏ x, A x (σ x)) * ∏ x_1, B (σ x_1) (x x_1)

Tactic:
[

Goal state after:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A B : Matrix n n R
hf : ∀ {s t : ℤˣ} {σ : Perm n}, σ ∈ ofSign s → ofSign (t * s) = Finset.map (mulRightEmbedding σ) (ofSign t)
s t : ℤˣ
σ : Perm n
hσ : σ ∈ ofSign s
⊢ ∑ j ∈ ofSign t, (∏ k, A k (σ k)) * ∏ k, B k (j k) = ∑ x ∈ ofSign (t * s), (∏ x, A x (σ x)) * ∏ x_1, B (σ x_1) (x x_1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A B : Matrix n n R
hf : ∀ {s t : ℤˣ} {σ : Perm n}, σ ∈ ofSign s → ofSign (t * s) = Finset.map (mulRightEmbedding σ) (ofSign t)
h : ∀ {s t : ℤˣ}, detp s A * detp t B = ∑ σ ∈ ofSign s, ∑ τ ∈ ofSign (t * s), ∏ k, A k (σ k) * B (σ k) (τ k)
ι : Perm n ↪ n → n := { toFun := fun e ↦ ⇑e, inj' := ⋯ }
hι : ∀ {σ : Perm n} {x : n}, ι σ x = σ x
bij : Finset (n → n) := Finset.map ι ((ofSign 1).disjUnion (ofSign (-1)) ⋯)
s : ℤˣ
⊢ detp s (A * B) =
    ∑ σ ∈ bijᶜ, ∑ τ ∈ ofSign s, ∏ i, A i (σ i) * B (σ i) (τ i) + (detp 1 A * detp s B + detp (-1) A * detp (-s) B)

Tactic:
[

Goal state after:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A B : Matrix n n R
hf : ∀ {s t : ℤˣ} {σ : Perm n}, σ ∈ ofSign s → ofSign (t * s) = Finset.map (mulRightEmbedding σ) (ofSign t)
h : ∀ {s t : ℤˣ}, detp s A * detp t B = ∑ σ ∈ ofSign s, ∑ τ ∈ ofSign (t * s), ∏ k, A k (σ k) * B (σ k) (τ k)
ι : Perm n ↪ n → n := { toFun := fun e ↦ ⇑e, inj' := ⋯ }
hι : ∀ {σ : Perm n} {x : n}, ι σ x = σ x
bij : Finset (n → n) := Finset.map ι ((ofSign 1).disjUnion (ofSign (-1)) ⋯)
s : ℤˣ
⊢ detp s (A * B) =
    ∑ σ ∈ bijᶜ, ∑ τ ∈ ofSign s, ∏ i, A i (σ i) * B (σ i) (τ i) + (detp 1 A * detp s B + detp (-1) A * detp (-s) B)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A B : Matrix n n R
hf : ∀ {s t : ℤˣ} {σ : Perm n}, σ ∈ ofSign s → ofSign (t * s) = Finset.map (mulRightEmbedding σ) (ofSign t)
h : ∀ {s t : ℤˣ}, detp s A * detp t B = ∑ σ ∈ ofSign s, ∑ τ ∈ ofSign (t * s), ∏ k, A k (σ k) * B (σ k) (τ k)
ι : Perm n ↪ n → n := { toFun := fun e ↦ ⇑e, inj' := ⋯ }
hι : ∀ {σ : Perm n} {x : n}, ι σ x = σ x
bij : Finset (n → n) := Finset.map ι ((ofSign 1).disjUnion (ofSign (-1)) ⋯)
s : ℤˣ
⊢ ∑ i ∈ bijᶜ, ∑ x ∈ ofSign s, ∏ i_1, A i_1 (i i_1) * B (i i_1) (x i_1) +
      (∑ x ∈ ofSign 1, ∑ x_1 ∈ ofSign s, ∏ i, A i (ι x i) * B (ι x i) (x_1 i) +
        ∑ x ∈ ofSign (-1), ∑ x_1 ∈ ofSign s, ∏ i, A i (ι x i) * B (ι x i) (x_1 i)) =
    ∑ σ ∈ bijᶜ, ∑ τ ∈ ofSign s, ∏ i, A i (σ i) * B (σ i) (τ i) +
      (∑ x ∈ ofSign 1, ∑ x_1 ∈ ofSign s, ∏ k, A k (x k) * B (x k) (x_1 k) +
        ∑ x ∈ ofSign (-1), ∑ x_1 ∈ ofSign s, ∏ k, A k (x k) * B (x k) (x_1 k))

Tactic:
[

Goal state after:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring R
A B : Matrix n n R
hf : ∀ {s t : ℤˣ} {σ : Perm n}, σ ∈ ofSign s → ofSign (t * s) = Finset.map (mulRightEmbedding σ) (ofSign t)
h : ∀ {s t : ℤˣ}, detp s A * detp t B = ∑ σ ∈ ofSign s, ∑ τ ∈ ofSign (t * s), ∏ k, A k (σ k) * B (σ k) (τ k)
ι : Perm n ↪ n → n := { toFun := fun e ↦ ⇑e, inj' := ⋯ }
hι : ∀ {σ : Perm n} {x : n}, ι σ x = σ x
bij : Finset (n → n) := Finset.map ι ((ofSign 1).disjUnion (ofSign (-1)) ⋯)
s : ℤˣ
⊢ ∑ i ∈ bijᶜ, ∑ x ∈ ofSign s, ∏ i_1, A i_1 (i i_1) * B (i i_1) (x i_1) +
      (∑ x ∈ ofSign 1, ∑ x_1 ∈ ofSign s, ∏ i, A i (ι x i) * B (ι x i) (x_1 i) +
        ∑ x ∈ ofSign (-1), ∑ x_1 ∈ ofSign s, ∏ i, A i (ι x i) * B (ι x i) (x_1 i)) =
    ∑ σ ∈ bijᶜ, ∑ τ ∈ ofSign s, ∏ i, A i (σ i) * B (σ i) (τ i) +
      (∑ x ∈ ofSign 1, ∑ x_1 ∈ ofSign s, ∏ k, A k (x k) * B (x k) (x_1 k) +
        ∑ x ∈ ofSign (-1), ∑ x_1 ∈ ofSign s, ∏ k, A k (x k) * B (x k) (x_1 k))