Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case h.h.h.h.h.h.hq
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
c : α → 𝕜
h : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ V ∈ 𝓝 0, ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → (fun x ↦ egauge 𝕜 U (f x)) ≤ᶠ[l] fun x ↦ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
x : α
hx : egauge 𝕜 U (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
⊢ ‖c x‖ₑ * egauge 𝕜 U (f x) ≤ ↑ε * (‖c x‖ₑ * egauge 𝕜 V (g x))

pp: case h.h.h.h.h.h.hq.h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
c : α → 𝕜
h : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ V ∈ 𝓝 0, ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → (fun x ↦ egauge 𝕜 U (f x)) ≤ᶠ[l] fun x ↦ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
x : α
hx : egauge 𝕜 U (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
⊢ c x = 0 → V.Nonempty

pp: case h.h.h.h.h.h.hq.h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
c : α → 𝕜
h : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ V ∈ 𝓝 0, ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → (fun x ↦ egauge 𝕜 U (f x)) ≤ᶠ[l] fun x ↦ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
x : α
hx : egauge 𝕜 U (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
⊢ c x = 0 → U.Nonempty

Tactic:
mul_left_comm

Goal state after:
case h.h.h.h.h.h.hq
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
c : α → 𝕜
h : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ V ∈ 𝓝 0, ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → (fun x ↦ egauge 𝕜 U (f x)) ≤ᶠ[l] fun x ↦ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
x : α
hx : egauge 𝕜 U (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
⊢ ‖c x‖ₑ * egauge 𝕜 U (f x) ≤ ‖c x‖ₑ * (↑ε * egauge 𝕜 V (g x))

case h.h.h.h.h.h.hq.h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
c : α → 𝕜
h : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ V ∈ 𝓝 0, ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → (fun x ↦ egauge 𝕜 U (f x)) ≤ᶠ[l] fun x ↦ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
x : α
hx : egauge 𝕜 U (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
⊢ c x = 0 → V.Nonempty

case h.h.h.h.h.h.hq.h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
c : α → 𝕜
h : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ V ∈ 𝓝 0, ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → (fun x ↦ egauge 𝕜 U (f x)) ≤ᶠ[l] fun x ↦ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
x : α
hx : egauge 𝕜 U (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
⊢ c x = 0 → U.Nonempty