mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M
hm : m ∈ genWeightSpace M χ
x : L
⊢ ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0

Tactic:
have : (toEnd R L M₂ x - χ x • ↑1) ∘ₗ f = f ∘ₗ (toEnd R L M x - χ x • ↑1) := by
    ext; simp

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M
hm : m ∈ genWeightSpace M χ
x : L
this : ((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ ((toEnd R L M) x - χ x • 1)
⊢ ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : Codisjoint N₁ N₂
l : ℕ
hl :
  ∀ (b : ℕ),
    l ≤ b →
      ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥N₁) b ∧
        ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥N₂) b ∧
          ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M b
hl₁ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥N₁) l
hl₂ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥N₂) l
hl₃ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M l
⊢ LieSubmodule.lcs l (N₁ ⊔ N₂) = lowerCentralSeries R L M l

Tactic:
lowerCentralSeries,

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : Codisjoint N₁ N₂
l : ℕ
hl :
  ∀ (b : ℕ),
    l ≤ b →
      ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥N₁) b ∧
        ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥N₂) b ∧
          ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M b
hl₁ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥N₁) l
hl₂ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥N₂) l
hl₃ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M l
⊢ LieSubmodule.lcs l (N₁ ⊔ N₂) = LieSubmodule.lcs l ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
| H.toSubmodule

Tactic:
b.cartan_eq_lieSpan

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
| (lieSpan R L (range b.h)).toSubmodule
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ -(b.A i j • b.e i) = -b.A i j • b.e i

Tactic:
neg_smul

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ -(b.A i j • b.e i) = -(b.A i j • b.e i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Properties

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
ι : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι K V
⊢ B.dualBasis hB (B.flip.dualBasis ⋯ b) = b

Tactic:
ext i
  refine LinearMap.ker_eq_bot.mp hB.ker_eq_bot ((B.flip.dualBasis hB.flip b).ext (fun j ↦ ?_))
  simp_rw [apply_dualBasis_left, ← B.flip_apply, apply_dualBasis_left, @eq_comm _ i j]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case mem.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y z : L
hy : y ∈ lieSpan R L (range b.e)
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
i : ι
x : L
⊢ b.h i ∈ H

Tactic:
b.cartan_eq_lieSpan

Goal state after:
case mem.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y z : L
hy : y ∈ lieSpan R L (range b.e)
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
i : ι
x : L
⊢ b.h i ∈ lieSpan R L (range b.h)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ IsCompl I (orthogonal Φ hΦ_inv I)

Tactic:
← LieSubmodule.isCompl_toSubmodule

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I
⊢ IsCompl ↑I ↑(orthogonal Φ hΦ_inv I)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: case mp
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
x : V
hx : x ∈ Submodule.map (Submodule.subtype W) (domRestrict B W).ker
⊢ x ∈ W ⊓ ker B

pp: case mpr
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
x : V
hx : x ∈ W ⊓ ker B
⊢ x ∈ Submodule.map (Submodule.subtype W) (domRestrict B W).ker

Tactic:
· rcases hx with ⟨⟨x, hx⟩, hker, rfl⟩
    constructor
    · simp [hx]
    · simpa

Goal state after:
case mpr
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
x : V
hx : x ∈ W ⊓ ker B
⊢ x ∈ Submodule.map (Submodule.subtype W) (domRestrict B W).ker
Module: Mathlib.Order.BooleanGenerators

Goal state before:
pp: case h.right
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
⊢ sSup C = sSup (sSup {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x})

Tactic:
apply le_antisymm
    · apply _root_.sSup_le
      intro c hc
      rw [hT₂ c (hC _ hc) ((le_sSup hc).trans ha)]
      apply sSup_le_sSup
      apply _root_.le_sSup
      use c, hc, hC _ hc, (le_sSup hc).trans ha
    · simp only [Set.sSup_eq_sUnion, sSup_le_iff, Set.mem_sUnion, Set.mem_ofPred_eq,
        forall_exists_index, and_imp]
      rintro a T b hbC hb hbS rfl haT
      apply (le_sSup haT).trans
      rw [← hT₂]
      exact le_sSup hbC

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.BooleanGenerators

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
Ta : Set α
hTa : Ta ⊆ S
Tb : Set α
hTb : Tb ⊆ S
Tc : Set α
hTc : Tc ⊆ S
⊢ sSup (Ta ∪ Tb) ⊓ sSup (Ta ∪ Tc) = sSup Ta ⊔ sSup (Tb ∩ Tc)

Tactic:
← hS.sSup_inter,

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
Ta : Set α
hTa : Ta ⊆ S
Tb : Set α
hTb : Tb ⊆ S
Tc : Set α
hTc : Tc ⊆ S
⊢ sSup ((Ta ∪ Tb) ∩ (Ta ∪ Tc)) = sSup Ta ⊔ sSup (Tb ∩ Tc)

case hT₁
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
Ta : Set α
hTa : Ta ⊆ S
Tb : Set α
hTb : Tb ⊆ S
Tc : Set α
hTc : Tc ⊆ S
⊢ Ta ∪ Tb ⊆ S

case hT₂
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
Ta : Set α
hTa : Ta ⊆ S
Tb : Set α
hTb : Tb ⊆ S
Tc : Set α
hTc : Tc ⊆ S
⊢ Ta ∪ Tc ⊆ S
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m✝ m : Multiset α
x : m.ToType
⊢ m.coeEmbedding x ∈ m.toEnumFinset

Tactic:
rw [Multiset.mem_toEnumFinset]
      exact x.2.2

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m : Multiset α
v : α
x : (v ::ₘ m).ToType
hx : x.fst = v
hx2 : ↑x.snd < count v m
⊢ ↑x.snd < count x.fst m

Tactic:
simpa [hx]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PID

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Module.Basis.SmithNormalForm p (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) n
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := (toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')
B : Matrix ι ι R := (toMatrix snf.bM snf.bM) f
i : ι
hi : B i i ≠ 0
⊢ i ∈ Set.range ⇑snf.f

Tactic:
by
    contrapose hi; exact snf.repr_eq_zero_of_notMem_range ⟨_, (hf _)⟩ hi

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.AlgebraicClosure

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝ : Field k
s : Finset (Monics k)
f : Monics k
h : f ∈ s
n : ℕ
⊢ (map (↑(MvPolynomial.aeval fun fi ↦ if hf : fi.fst ∈ s then (↑((finEquivRoots ⋯) fi.snd)).1 else 37))
            (map (algebraMap k (MvPolynomial (Vars k) k)) ↑f) -
          ∏ x,
            (X -
              C
                ((MvPolynomial.aeval fun fi ↦ if hf : fi.fst ∈ s then (↑((finEquivRoots ⋯) fi.snd)).1 else 37)
                  (MvPolynomial.X ⟨f, x⟩)))).coeff
      n =
    0

Tactic:
MvPolynomial.aeval_X,

Goal state after:
k : Type u
inst✝ : Field k
s : Finset (Monics k)
f : Monics k
h : f ∈ s
n : ℕ
⊢ (map (↑(MvPolynomial.aeval fun fi ↦ if hf : fi.fst ∈ s then (↑((finEquivRoots ⋯) fi.snd)).1 else 37))
            (map (algebraMap k (MvPolynomial (Vars k) k)) ↑f) -
          ∏ x, (X - C (if h : f ∈ s then (↑((finEquivRoots ⋯) x)).1 else 37))).coeff
      n =
    0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case lie.hx.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
aux : yc + yl + yu = ⁅v, z⁆
⊢ ⁅u, yu⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
rw [← lie_skew, neg_mem_iff]
        exact LieSubmodule.mem_sup_right <| LieSubalgebra.lie_mem _ hyu hu

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
h : V = ⊤
⊢ IsCompl ⊤ (Submodule.map ↑p.toPerfPair.symm ⊤.dualAnnihilator)

Tactic:
by simpa using isCompl_top_bot

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
h : V = ⊤
⊢ IsCompl ⊤ (Submodule.map ↑p.flip.toPerfPair.symm ⊤.dualAnnihilator)

Tactic:
by simpa using isCompl_top_bot

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: case succ.refine_3
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ∀ {x y : L}, x ∈ ⊤.lcs L k → y ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥ → ((traceForm R L M) x) y = 0
x y : L
hy : ∀ (x : L), ⁅x, y⁆ ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
z w : L
x✝¹ : z ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
x✝ : w ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
hz : ((traceForm R L M) z) y = 0
hw : ((traceForm R L M) w) y = 0
⊢ ((traceForm R L M) (z + w)) y = 0

pp: case succ.refine_4
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ∀ {x y : L}, x ∈ ⊤.lcs L k → y ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥ → ((traceForm R L M) x) y = 0
x y : L
hy : ∀ (x : L), ⁅x, y⁆ ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
t : R
z : L
x✝ : z ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
hz : ((traceForm R L M) z) y = 0
⊢ ((traceForm R L M) (t • z)) y = 0

Tactic:
· simp [hz, hw]

Goal state after:
case succ.refine_4
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ∀ {x y : L}, x ∈ ⊤.lcs L k → y ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥ → ((traceForm R L M) x) y = 0
x y : L
hy : ∀ (x : L), ⁅x, y⁆ ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
t : R
z : L
x✝ : z ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
hz : ((traceForm R L M) z) y = 0
⊢ ((traceForm R L M) (t • z)) y = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
S : Sequence R
inst✝ : IsDomain R
s : Finset ℕ
g : ℕ → R
eqzero : ∑ i ∈ s, g i • ↑S i = 0
i : ℕ
hi : i ∈ s
hsupzero : ¬(s.sup fun i ↦ (g i • ↑S i).degree) = ⊥
x : ℕ
left✝¹ : x ∈ s
hx : g x • ↑S x ≠ 0
y : ℕ
left✝ : y ∈ s
hy : g y • ↑S y ≠ 0
xney : x ≠ y
zgx : g x ≠ 0
zgy : g y ≠ 0
rx : IsRightRegular (↑S x).leadingCoeff
ry : IsRightRegular (↑S y).leadingCoeff
⊢ (Ne on fun i ↦ (g i • ↑S i).degree) x y

Tactic:
simp [degree_smul_of_isRightRegular_leadingCoeff, rx, ry, zgx, zgy, xney]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case add_two
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : T R (-(↑n + 1)) = T R (↑n + 1)
ih2 : T R (-↑n) = T R ↑n
⊢ T R (-(↑n + 2)) = T R (↑n + 2)

Tactic:
have h₁ := T_add_two R n

Goal state after:
case add_two
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : T R (-(↑n + 1)) = T R (↑n + 1)
ih2 : T R (-↑n) = T R ↑n
h₁ : T R (↑n + 2) = 2 * X * T R (↑n + 1) - T R ↑n
⊢ T R (-(↑n + 2)) = T R (↑n + 2)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : x ∈ (traceForm K (↥H) L).orthogonal (K ∙ coroot α)
⊢ x ∈ Weight.ker

Tactic:
simp only [LinearMap.BilinForm.mem_orthogonal_iff] at hx
      specialize hx (coroot α) (Submodule.mem_span_singleton_self _)
      simp only [traceForm_coroot, smul_eq_mul, nsmul_eq_mul,
        Nat.cast_ofNat, mul_eq_zero, OfNat.ofNat_ne_zero, inv_eq_zero, false_or] at hx
      simpa using hx.resolve_left (root_apply_cartanEquivDual_symm_ne_zero hα)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case add_two
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : U R (-(↑n + 1) - 1) = -U R (↑n + 1 - 1)
ih2 : U R (-↑n - 1) = -U R (↑n - 1)
h₁ : U R (↑n + 1) = 2 * X * U R ↑n - U R (↑n - 1)
h₂ : U R (-↑n - 1 - 2) = 2 * X * U R (-↑n - 1 - 1) - U R (-↑n - 1)
⊢ U R (-(↑n + 2) - 1) = -U R (↑n + 2 - 1)

Tactic:
linear_combination (norm := ring_nf) 2 * (X : R[X]) * ih1 - ih2 + h₁ + h₂

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case neg_add_one
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : U R (- -↑n - 1) = -U R (-↑n - 1)
ih2 : U R (-(-↑n + 1) - 1) = -U R (-↑n + 1 - 1)
h₁ : U R ↑n = 2 * X * U R (↑n - 1) - U R (↑n - 2)
h₂ : U R (-↑n - 2) = 2 * X * U R (-↑n - 1) - U R (-↑n)
⊢ U R (-(-↑n - 1) - 1) = -U R (-↑n - 1 - 1)

Tactic:
linear_combination (norm := ring_nf) 2 * (X : R[X]) * ih1 - ih2 + h₁ + h₂

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
hef✝ : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩
hh : α h ≠ 0
f : L := (2 * (α h)⁻¹) • f'
contra : ⁅e, f⁆ = 0
this : IsAddTorsionFree L
hef : e = 0
⊢ False

Tactic:
contradiction

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
key : α h = 2
s : K
hs : s • h = coroot α
this : s = 1
⊢ h = coroot α

Tactic:
rwa [this, one_smul] at hs

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
key : α h = 2
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑α'
hα' : α' = (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
h_eq : h = ((killingForm K L) e) f • α'
⊢ ∃ s, s • h = coroot α

Tactic:
use (2 • (α α')⁻¹) * (killingForm K L e f)⁻¹

Goal state after:
case h
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
key : α h = 2
α' : ↥H := ⋯
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑α'
hα' : α' = (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
h_eq : h = ((killingForm K L) e) f • α'
⊢ (2 • (α α')⁻¹ * (((killingForm K L) e) f)⁻¹) • h = coroot α
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case succ.zero
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
hn : -↑(0 + 1) ≠ -1
⊢ (U R (↑(0 + 1) - 2)).degree = ↑((-↑(0 + 1) + 1).natAbs - 1)

Tactic:
contradiction

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
this : ¬1 < finrank K ↥(rootSpace H ⇑α)
⊢ finrank K ↥(rootSpace H ⇑α) = 1

Tactic:
have h₀ : finrank K (rootSpace H α) ≠ 0 := by
      convert_to! finrank K (rootSpace H α).toSubmodule ≠ 0
      simpa using! α.genWeightSpace_ne_bot

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
this : ¬1 < finrank K ↥(rootSpace H ⇑α)
h₀ : finrank K ↥(rootSpace H ⇑α) ≠ 0
⊢ finrank K ↥(rootSpace H ⇑α) = 1
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h' e f : L
ht : IsSl2Triple h' e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux :
  ∀ {β : Weight K (↥H) L},
    β.IsNonZero → ∀ {y g : L}, y ∈ genWeightSpace L ⇑β → g ∈ rootSpace H ⇑β → g ≠ 0 → ∃ c, y = c • g
y : ↥H.toLieSubmodule
hy_coroot : y ∈ ↑↑(corootSpace ⇑α)
c₁ : K
hx_pos : c₁ • e ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α)
c₂ : K
hx_neg : c₂ • f ∈ ↑(genWeightSpace L (-⇑α))
hx_αneg : c₁ • e + c₂ • f ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α))
hx : c₁ • e + c₂ • f + ↑H.toLieSubmodule.incl y ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
⊢ ∃ c₃, c₃ • coroot α = y

Tactic:
by
      simpa [← mem_span_singleton, ← coe_corootSpace_eq_span_singleton α]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
f g : Dual R M
hf : f x = 2
hg : g y = 2
m : ℤ
t : R
ht : t = f y * g x - 2
⊢ ((reflection hf * reflection hg) ^ m) x =
    (Polynomial.eval t (S R m) + Polynomial.eval t (S R (m - 1))) • x + (Polynomial.eval t (S R (m - 1)) * -g x) • y

Tactic:
have S_eval_t_sub_two (k : ℤ) :
      (S R (k - 2)).eval t = (f y * g x - 2) * (S R (k - 1)).eval t - (S R k).eval t := by
    simp [S_sub_two, ht]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
f g : Dual R M
hf : f x = 2
hg : g y = 2
m : ℤ
t : R
ht : t = f y * g x - 2
S_eval_t_sub_two :
  ∀ (k : ℤ),
    Polynomial.eval t (S R (k - 2)) = (f y * g x - 2) * Polynomial.eval t (S R (k - 1)) - Polynomial.eval t (S R k)
⊢ ((reflection hf * reflection hg) ^ m) x =
    (Polynomial.eval t (S R m) + Polynomial.eval t (S R (m - 1))) • x + (Polynomial.eval t (S R (m - 1)) * -g x) • y