Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.SetIntegral

Goal state before:
pp: case insert
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
ι : Type u_7
s : ι → Set X
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
hat : a✝ ∉ s✝
IH :
  (∀ i ∈ s✝, MeasurableSet (s i)) →
    (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) →
      (∀ i ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s i)) →
        ∫ᵛ (x : X) in ⋃ i ∈ s✝, s i, f x ∂[B; μ] = ∑ i ∈ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]
hs : MeasurableSet (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, MeasurableSet (s x)
hf : μ.IntegrableOn f (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s x)
h's : (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) ∧ ∀ b ∈ ↑s✝, a✝ ≠ b → (Disjoint on s) a✝ b ∧ (Disjoint on s) b a✝
⊢ ∫ᵛ (x : X) in s a✝, f x ∂[B; μ] + ∫ᵛ (x : X) in ⋃ x ∈ s✝, s x, f x ∂[B; μ] =
    ∑ i ∈ insert a✝ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]

pp: case insert.hst
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
ι : Type u_7
s : ι → Set X
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
hat : a✝ ∉ s✝
IH :
  (∀ i ∈ s✝, MeasurableSet (s i)) →
    (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) →
      (∀ i ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s i)) →
        ∫ᵛ (x : X) in ⋃ i ∈ s✝, s i, f x ∂[B; μ] = ∑ i ∈ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]
hs : MeasurableSet (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, MeasurableSet (s x)
hf : μ.IntegrableOn f (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s x)
h's : (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) ∧ ∀ b ∈ ↑s✝, a✝ ≠ b → (Disjoint on s) a✝ b ∧ (Disjoint on s) b a✝
⊢ Disjoint (s a✝) (⋃ x ∈ s✝, s x)

pp: case insert.hs
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
ι : Type u_7
s : ι → Set X
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
hat : a✝ ∉ s✝
IH :
  (∀ i ∈ s✝, MeasurableSet (s i)) →
    (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) →
      (∀ i ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s i)) →
        ∫ᵛ (x : X) in ⋃ i ∈ s✝, s i, f x ∂[B; μ] = ∑ i ∈ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]
hs : MeasurableSet (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, MeasurableSet (s x)
hf : μ.IntegrableOn f (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s x)
h's : (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) ∧ ∀ b ∈ ↑s✝, a✝ ≠ b → (Disjoint on s) a✝ b ∧ (Disjoint on s) b a✝
⊢ MeasurableSet (s a✝)

pp: case insert.ht
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
ι : Type u_7
s : ι → Set X
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
hat : a✝ ∉ s✝
IH :
  (∀ i ∈ s✝, MeasurableSet (s i)) →
    (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) →
      (∀ i ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s i)) →
        ∫ᵛ (x : X) in ⋃ i ∈ s✝, s i, f x ∂[B; μ] = ∑ i ∈ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]
hs : MeasurableSet (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, MeasurableSet (s x)
hf : μ.IntegrableOn f (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s x)
h's : (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) ∧ ∀ b ∈ ↑s✝, a✝ ≠ b → (Disjoint on s) a✝ b ∧ (Disjoint on s) b a✝
⊢ MeasurableSet (⋃ x ∈ s✝, s x)

pp: case insert.hfs
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
ι : Type u_7
s : ι → Set X
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
hat : a✝ ∉ s✝
IH :
  (∀ i ∈ s✝, MeasurableSet (s i)) →
    (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) →
      (∀ i ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s i)) →
        ∫ᵛ (x : X) in ⋃ i ∈ s✝, s i, f x ∂[B; μ] = ∑ i ∈ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]
hs : MeasurableSet (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, MeasurableSet (s x)
hf : μ.IntegrableOn f (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s x)
h's : (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) ∧ ∀ b ∈ ↑s✝, a✝ ≠ b → (Disjoint on s) a✝ b ∧ (Disjoint on s) b a✝
⊢ μ.IntegrableOn f (s a✝)

pp: case insert.hft
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
ι : Type u_7
s : ι → Set X
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
hat : a✝ ∉ s✝
IH :
  (∀ i ∈ s✝, MeasurableSet (s i)) →
    (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) →
      (∀ i ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s i)) →
        ∫ᵛ (x : X) in ⋃ i ∈ s✝, s i, f x ∂[B; μ] = ∑ i ∈ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]
hs : MeasurableSet (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, MeasurableSet (s x)
hf : μ.IntegrableOn f (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s x)
h's : (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) ∧ ∀ b ∈ ↑s✝, a✝ ≠ b → (Disjoint on s) a✝ b ∧ (Disjoint on s) b a✝
⊢ μ.IntegrableOn f (⋃ x ∈ s✝, s x)

Tactic:
· rw [Finset.sum_insert hat, IH hs.2 h's.1 hf.2]

Goal state after:
case insert.hst
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
ι : Type u_7
s : ι → Set X
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
hat : a✝ ∉ s✝
IH :
  (∀ i ∈ s✝, MeasurableSet (s i)) →
    (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) →
      (∀ i ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s i)) →
        ∫ᵛ (x : X) in ⋃ i ∈ s✝, s i, f x ∂[B; μ] = ∑ i ∈ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]
hs : MeasurableSet (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, MeasurableSet (s x)
hf : μ.IntegrableOn f (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s x)
h's : (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) ∧ ∀ b ∈ ↑s✝, a✝ ≠ b → (Disjoint on s) a✝ b ∧ (Disjoint on s) b a✝
⊢ Disjoint (s a✝) (⋃ x ∈ s✝, s x)

case insert.hs
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
ι : Type u_7
s : ι → Set X
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
hat : a✝ ∉ s✝
IH :
  (∀ i ∈ s✝, MeasurableSet (s i)) →
    (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) →
      (∀ i ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s i)) →
        ∫ᵛ (x : X) in ⋃ i ∈ s✝, s i, f x ∂[B; μ] = ∑ i ∈ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]
hs : MeasurableSet (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, MeasurableSet (s x)
hf : μ.IntegrableOn f (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s x)
h's : (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) ∧ ∀ b ∈ ↑s✝, a✝ ≠ b → (Disjoint on s) a✝ b ∧ (Disjoint on s) b a✝
⊢ MeasurableSet (s a✝)

case insert.ht
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
ι : Type u_7
s : ι → Set X
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
hat : a✝ ∉ s✝
IH :
  (∀ i ∈ s✝, MeasurableSet (s i)) →
    (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) →
      (∀ i ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s i)) →
        ∫ᵛ (x : X) in ⋃ i ∈ s✝, s i, f x ∂[B; μ] = ∑ i ∈ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]
hs : MeasurableSet (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, MeasurableSet (s x)
hf : μ.IntegrableOn f (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s x)
h's : (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) ∧ ∀ b ∈ ↑s✝, a✝ ≠ b → (Disjoint on s) a✝ b ∧ (Disjoint on s) b a✝
⊢ MeasurableSet (⋃ x ∈ s✝, s x)

case insert.hfs
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
ι : Type u_7
s : ι → Set X
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
hat : a✝ ∉ s✝
IH :
  (∀ i ∈ s✝, MeasurableSet (s i)) →
    (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) →
      (∀ i ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s i)) →
        ∫ᵛ (x : X) in ⋃ i ∈ s✝, s i, f x ∂[B; μ] = ∑ i ∈ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]
hs : MeasurableSet (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, MeasurableSet (s x)
hf : μ.IntegrableOn f (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s x)
h's : (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) ∧ ∀ b ∈ ↑s✝, a✝ ≠ b → (Disjoint on s) a✝ b ∧ (Disjoint on s) b a✝
⊢ μ.IntegrableOn f (s a✝)

case insert.hft
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
ι : Type u_7
s : ι → Set X
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
hat : a✝ ∉ s✝
IH :
  (∀ i ∈ s✝, MeasurableSet (s i)) →
    (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) →
      (∀ i ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s i)) →
        ∫ᵛ (x : X) in ⋃ i ∈ s✝, s i, f x ∂[B; μ] = ∑ i ∈ s✝, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]
hs : MeasurableSet (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, MeasurableSet (s x)
hf : μ.IntegrableOn f (s a✝) ∧ ∀ x ∈ s✝, μ.IntegrableOn f (s x)
h's : (↑s✝).Pairwise (Disjoint on s) ∧ ∀ b ∈ ↑s✝, a✝ ≠ b → (Disjoint on s) a✝ b ∧ (Disjoint on s) b a✝
⊢ μ.IntegrableOn f (⋃ x ∈ s✝, s x)