mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ ⁅(-b.h) i, (-b.h) j⁆ = 0

Tactic:
Pi.neg_apply,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ ⁅-b.h i, (-b.h) j⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ ⁅-b.h i, (-b.h) j⁆ = 0

Tactic:
Pi.neg_apply,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ ⁅-b.h i, -b.h j⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ ⁅(-b.h) j, b.f i⁆ = b.A i j • b.f i

Tactic:
Pi.neg_apply,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ ⁅-b.h j, b.f i⁆ = b.A i j • b.f i
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ ⁅(-b.h) j, b.e i⁆ = -b.A i j • b.e i

Tactic:
Pi.neg_apply,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ ⁅-b.h j, b.e i⁆ = -b.A i j • b.e i
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case lie
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x y : L
hx : x ∈ H
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ⁅x, u⁆ ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv' : ⁅x, v⁆ ∈ lieSpan R L (range b.e)
⊢ ⁅x, ⁅u, v⁆⁆ ∈ lieSpan R L (range b.e)

Tactic:
rw [leibniz_lie, ← lie_skew _ v, neg_add_eq_sub]
    exact sub_mem (LieSubalgebra.lie_mem _ hu hv') (LieSubalgebra.lie_mem _ hv hu')

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: case inr.hcomp
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
h₃ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀ = M₀
h₄ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₁ ⊔ M₁ₓ = M₁
⊢ IsCompl (LieSubmodule.map M₀ₓ.incl (M₀ₓ₀ ⊔ M₀ₓ₁)) M₁ₓ

Tactic:
h₂.sup_eq_top,

Goal state after:
case inr.hcomp
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
h₃ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀ = M₀
h₄ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₁ ⊔ M₁ₓ = M₁
⊢ IsCompl (LieSubmodule.map M₀ₓ.incl ⊤) M₁ₓ
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
hB : B.IsRefl
⊢ B.orthogonal ⊤ = ker B

Tactic:
ext; simp [LinearMap.ext_iff, hB.eq_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), InvImage (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) (fun x ↦ finrank K ↥x) y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := ⋯
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
hIJ' : I ≤ J'
⊢ J = ⊥

Tactic:
eq_bot_iff

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), InvImage (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) (fun x ↦ finrank K ↥x) y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
hIJ' : I ≤ J'
⊢ J ≤ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
⊢ W ⊓ B.orthogonal W = ⊥

Tactic:
eq_bot_iff

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
⊢ W ⊓ B.orthogonal W ≤ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥
⊢ finrank K V ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W)

Tactic:
conv_rhs => rw [← add_zero (finrank K _)]

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥
⊢ finrank K V ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W) + 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.Nondegenerate
h : W = ⊤
⊢ B.orthogonal ⊤ = ⊥

Tactic:
eq_bot_iff

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.Nondegenerate
h : W = ⊤
⊢ B.orthogonal ⊤ ≤ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
this : J' = ⊥
⊢ J = ⊥

Tactic:
eq_bot_iff

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
this : J' ≤ ⊥
⊢ J ≤ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: case left
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
J' : LieIdeal R L := ⋯
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' ≤ I

pp: case right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
J' : LieIdeal R L := ⋯
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' ≠ I

Tactic:
· rintro _ ⟨x, -, rfl⟩
      exact x.2

Goal state after:
case right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
J' : LieIdeal R L := ⋯
hJ : ¬J = ⊤
⊢ J' ≠ I
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra K L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : Module.Finite K L
I : LieIdeal K L
⊢ IsCompl I (killingCompl K L I)

Tactic:
suffices Disjoint I I.killingCompl by
    rwa [← LieSubmodule.isCompl_toSubmodule, I.toSubmodule_killingCompl,
      LinearMap.BilinForm.isCompl_orthogonal_iff_disjoint (LieModule.traceForm_isSymm K L L).isRefl,
      ← I.toSubmodule_killingCompl, LieSubmodule.disjoint_toSubmodule]

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra K L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : Module.Finite K L
I : LieIdeal K L
⊢ Disjoint I (killingCompl K L I)
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nilpotent

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
A : Matrix ι ι R
h : ∀ (i : ι), ∃ n, (A ^ n).row i = 0
v : ι → R
⊢ ∃ n, Aᵀ ^ n *ᵥ v = 0

Tactic:
choose n hn using h

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
A : Matrix ι ι R
v : ι → R
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), (A ^ n i).row i = 0
⊢ ∃ n, Aᵀ ^ n *ᵥ v = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Semisimple

Goal state before:
pp: case mpr.inr
K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
hf : f.IsSemisimple
h : ∀ (μ : K), f.HasEigenvalue μ → μ = 0
μ : K
hμ : μ ≠ 0
⊢ f.eigenspace μ ≤ f.eigenspace 0

Tactic:
· have : f.eigenspace μ = ⊥ := not_not.mp (hasEigenvalue_iff.not.mp fun he ↦ hμ (h μ he))
      simp [this]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : genWeightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
p : ℕ
hp₀ : p > 0
hp : genWeightSpace M (p • -χ₁ + χ₂) = ⊥
⊢ genWeightSpace M (p • -χ₁ + χ₂) = ⊥

Tactic:
exact hp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Free R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥(genWeightSpace M χ)
⊢ χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0

Tactic:
simp [mul_comm (χ x)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ (LieIdeal.toLieSubalgebra R L (lowerCentralSeries R L L 1 ⊓ LieAlgebra.center R L)).toSubmodule ≤
    LinearMap.ker (traceForm R L M)

Tactic:
rintro z ⟨hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1, hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L⟩
  ext x
  rw [traceForm_apply_apply, LinearMap.zero_apply]
  let A := AlgebraicClosure (FractionRing R)
  suffices algebraMap R A (trace R _ ((φ z).comp (φ x))) = 0 by
    have that : Module.IsTorsionFree R A := .trans_faithfulSMul R (FractionRing R) A
    rw [← map_zero (algebraMap R A)] at this
    exact FaithfulSMul.algebraMap_injective R A this
  rw [← LinearMap.trace_baseChange, LinearMap.baseChange_comp, ← toEnd_baseChange,
    ← toEnd_baseChange]
  replace hz : 1 ⊗ₜ z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1 := by
    simp only [lowerCentralSeries_succ, lowerCentralSeries_zero] at hz ⊢
    rw [← LieSubmodule.baseChange_top, ← LieSubmodule.lie_baseChange]
    exact Submodule.tmul_mem_baseChange_of_mem 1 hz
  replace hzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L) := by
    simp only [mem_maxTrivSubmodule] at hzc ⊢
    intro y
    exact y.induction_on rfl (fun a u ↦ by simp [hzc u])
      (fun u v hu hv ↦ by simp [A, hu, hv])
  apply LinearMap.trace_comp_eq_zero_of_commute_of_trace_restrict_eq_zero
  · exact IsTriangularizable.maxGenEigenspace_eq_top (1 ⊗ₜ[R] x)
  · exact fun μ ↦ trace_toEnd_eq_zero_of_mem_lcs A (A ⊗[R] L)
      (genWeightSpaceOf (A ⊗[R] M) μ ((1 : A) ⊗ₜ[R] x)) (le_refl 1) hz
  · exact commute_toEnd_of_mem_center_right (A ⊗[R] M) hzc (1 ⊗ₜ x)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : x ∈ Weight.ker
y : ↥H
hy : y ∈ K ∙ coroot α
⊢ ((traceForm K (↥H) L) y) x = 0

Tactic:
· have := traceForm_eq_zero_of_mem_ker_of_mem_span_coroot hx hy
      rwa [traceForm_comm] at this

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgxfy : f y * g x = 4
n : ℕ
ih : (⇑(reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx))^[n] y = y + n • (f y • x - 2 • y)
⊢ (⇑(reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx))^[n + 1] y = y + (n + 1) • (f y • x - 2 • y)

Tactic:
have hz : ∀ z : M, f y • g x • z = 2 • 2 • z := by
      intro z
      rw [smul_smul, hgxfy, smul_smul, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R (2 * 2), show 2 * 2 = 4 from rfl,
        Nat.cast_ofNat]

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgxfy : f y * g x = 4
n : ℕ
ih : (⇑(reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx))^[n] y = y + n • (f y • x - 2 • y)
hz : ∀ (z : M), f y • g x • z = 2 • 2 • z
⊢ (⇑(reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx))^[n + 1] y = y + (n + 1) • (f y • x - 2 • y)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.NumDen

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
this : (algebraMap A K) (num A 0) / (algebraMap A K) ↑(den A 0) = 0
⊢ num A 0 = 0

Tactic:
simp only [div_eq_zero_iff] at this

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
this : (algebraMap A K) (num A 0) = 0 ∨ (algebraMap A K) ↑(den A 0) = 0
⊢ num A 0 = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : ¬IsFiniteLength R N
⊢ length R M = length R N + length R P

Tactic:
have := mt (IsFiniteLength.of_injective · hf) hN

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : ¬IsFiniteLength R N
this : ¬IsFiniteLength R M
⊢ length R M = length R N + length R P
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.TFAE

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h' : Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R)
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
h : IsField R
x✝ : Field R := h.toField
⊢ I = maximalIdeal R ^ 0

Tactic:
simp [(eq_bot_or_eq_top I).resolve_left hI]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.TFAE

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
h✝ : ¬IsField R
x : R
hx : maximalIdeal R = Ideal.span {x}
hI' : ¬I = ⊤
H : ∀ (r : R), ¬IsUnit r ↔ x ∣ r
this : x ≠ 0
hx' : Irreducible x
H' : ∀ (r : R), r ≠ 0 → r ∈ nonunits R → ∃ n, Associated (x ^ n) r
h : ∀ r ∈ I, r = 0
⊢ I = ⊥

Tactic:
eq_bot_iff

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
h✝ : ¬IsField R
x : R
hx : maximalIdeal R = Ideal.span {x}
hI' : ¬I = ⊤
H : ∀ (r : R), ¬IsUnit r ↔ x ∣ r
this : x ≠ 0
hx' : Irreducible x
H' : ∀ (r : R), r ≠ 0 → r ∈ nonunits R → ∃ n, Associated (x ^ n) r
h : ∀ r ∈ I, r = 0
⊢ I ≤ ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.TFAE

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
h' : ∀ a ∈ maximalIdeal R, a = 0
⊢ maximalIdeal R = ⊥

Tactic:
eq_bot_iff

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
h' : ∀ a ∈ maximalIdeal R, a = 0
⊢ maximalIdeal R ≤ ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Dvr

Goal state before:
pp: R : Type u_2
Rₘ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
⊢ p ≠ ⊥ → p.IsPrime → p.IsMaximal

Tactic:
hp0

Goal state after:
R : Type u_2
Rₘ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
⊢ p.IsPrime → p.IsMaximal
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.IsPrincipal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : R
property✝¹ : R ∙ x ∈ (Ideal R)⁰
y : R
property✝ : R ∙ y ∈ (Ideal R)⁰
⊢ ⟨R ∙ x, property✝¹⟩ * ⟨R ∙ y, property✝⟩ ∈ {I | IsPrincipal ↑I}

Tactic:
exact ⟨x * y, by
      simp_rw [Submonoid.mk_mul_mk, submodule_span_eq, span_singleton_mul_span_singleton]⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.IsPrincipal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x y : Associates R
⊢ ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (x * y)) = ↑((associatesEquivIsPrincipal R) x) * ↑((associatesEquivIsPrincipal R) y)

Tactic:
by
  rw [← quot_out x, ← quot_out y]
  simp_rw [mk_mul_mk, associatesEquivIsPrincipal_apply, span_singleton_mul_span_singleton]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝¹ : IsJacobsonRing R
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (map (Ideal.Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0' : a = 0
x : R
hx : x ∈ comap C P
⊢ comap C P = ⊥

Tactic:
eq_bot_iff

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝¹ : IsJacobsonRing R
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (map (Ideal.Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0' : a = 0
x : R
hx : x ∈ comap C P
⊢ comap C P ≤ ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.TorsionFree

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Flat R M
⊢ torsion R M = ⊥

Tactic:
eq_bot_iff

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Flat R M
⊢ torsion R M ≤ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.IsValuedIn

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ Submodule.map (↑P.toPerfPair) (P.rootSpan R) = span R (range P.root')

Tactic:
rootSpan,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ Submodule.map (↑P.toPerfPair) (span R (range ⇑P.root)) = span R (range P.root')
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsDomain S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : P.IsValuedIn S
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower S R M
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : P.IsAnisotropic
x : ↥(P.rootSpan S)
hx : x ≠ 0
hI : Injective ⇑(P.PolarizationIn S)
h : ∀ (i : ι), (P.coroot'In S i) x = 0
⊢ ∑ i, (P.coroot'In S i) x • P.coroot i = 0

Tactic:
exact Fintype.sum_eq_zero (fun a ↦ (P.coroot'In S a) x • P.coroot a) fun i ↦ by simp [h i]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
a s : R
h : s ∈ v.supp
⊢ v (a + s) = v a

Tactic:
have aux : ∀ a s, v s = 0 → v (a + s) ≤ v a := by
    intro a' s' h'
    refine le_trans (v.map_add a' s') (max_le le_rfl ?_)
    simp [h']

Goal state after:
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
a s : R
h : s ∈ v.supp
aux : ∀ (a s : R), v s = 0 → v (a + s) ≤ v a
⊢ v (a + s) = v a