Module: Mathlib.Analysis.Calculus.UniformLimitsDeriv

Goal state before:
pp: case refine_3
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n ↦ f n y) l (𝓝 (g y))
this✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
this✝ :
  (fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) =
    ((fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a ↦
        (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) +
      fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)
this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)
h1 : Tendsto (fun n ↦ g' n.2 - f' n.1 n.2) (l ×ˢ 𝓝 x) (𝓝 0)
h2 : Tendsto (fun n ↦ g' x - f' n x) l (𝓝 0)
n : ι × E
⊢ ‖n.2 - x‖⁻¹ * ‖(f' n.1 x - g' x) (n.2 - x)‖ ≤ ‖(Prod.fst ∘ Prod.map (fun n ↦ g' x - f' n x) id) n‖

Tactic:
by_cases hx : x = n.2

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n ↦ f n y) l (𝓝 (g y))
this✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
this✝ :
  (fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) =
    ((fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a ↦
        (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) +
      fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)
this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)
h1 : Tendsto (fun n ↦ g' n.2 - f' n.1 n.2) (l ×ˢ 𝓝 x) (𝓝 0)
h2 : Tendsto (fun n ↦ g' x - f' n x) l (𝓝 0)
n : ι × E
hx : x = n.2
⊢ ‖n.2 - x‖⁻¹ * ‖(f' n.1 x - g' x) (n.2 - x)‖ ≤ ‖(Prod.fst ∘ Prod.map (fun n ↦ g' x - f' n x) id) n‖

case neg
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n ↦ f n y) l (𝓝 (g y))
this✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
this✝ :
  (fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) =
    ((fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a ↦
        (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) +
      fun a ↦ (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)
this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)
h1 : Tendsto (fun n ↦ g' n.2 - f' n.1 n.2) (l ×ˢ 𝓝 x) (𝓝 0)
h2 : Tendsto (fun n ↦ g' x - f' n x) l (𝓝 0)
n : ι × E
hx : ¬x = n.2
⊢ ‖n.2 - x‖⁻¹ * ‖(f' n.1 x - g' x) (n.2 - x)‖ ≤ ‖(Prod.fst ∘ Prod.map (fun n ↦ g' x - f' n x) id) n‖