mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case lie.hy.a.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
aux : yc + yl + yu = ⁅u, z⁆
⊢ ⁅v, yc⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
← lie_skew,

Goal state after:
case lie.hy.a.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
aux : yc + yl + yu = ⁅u, z⁆
⊢ -⁅yc, v⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case lie.hy.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
aux : yc + yl + yu = ⁅u, z⁆
⊢ ⁅v, yu⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
← lie_skew,

Goal state after:
case lie.hy.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
aux : yc + yl + yu = ⁅u, z⁆
⊢ -⁅yu, v⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: case mem
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
hq : genWeightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ genWeightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ genWeightSpaceChain M α χ p q

Tactic:
suffices genWeightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ genWeightSpaceChain M α χ p q by
      apply this
      -- was `simpa using! [...]` and very slow
      -- (https://github.com/leanprover-community/mathlib4/issues/19751)
      simpa only [zsmul_eq_mul, Int.cast_add, Pi.intCast_def, Int.cast_one] using!
        (rootSpaceWeightSpaceProduct R L H M α (k • α + χ) ((k + 1) • α + χ)
            (by rw [add_smul]; abel) (⟨x, hx⟩ ⊗ₜ ⟨z, hz⟩)).property

Goal state after:
case mem
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
hq : genWeightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ genWeightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
⊢ genWeightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ genWeightSpaceChain M α χ p q
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
⊢ ((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = -((traceForm R L M) y) ⁅x, z⁆

Tactic:
← lie_skew,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
⊢ ((traceForm R L M) (-⁅y, x⁆)) z = -((traceForm R L M) y) ⁅x, z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℤ
hn : -↑(chainBotCoeff α β) ≤ n
hn' : n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
⊢ genWeightSpace M (n • α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
rcases n with (n | n)

Goal state after:
case ofNat
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn : -↑(chainBotCoeff α β) ≤ Int.ofNat n
hn' : Int.ofNat n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
⊢ genWeightSpace M (Int.ofNat n • α + ⇑β) ≠ ⊥

case negSucc
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn : -↑(chainBotCoeff α β) ≤ Int.negSucc n
hn' : Int.negSucc n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
⊢ genWeightSpace M (Int.negSucc n • α + ⇑β) ≠ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: case succ.refine_1
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ∀ {x y : L}, x ∈ ⊤.lcs L k → y ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥ → ((traceForm R L M) x) y = 0
x y : L
hy : ∀ (x : L), ⁅x, y⁆ ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
z w : L
hw : w ∈ ⊤.lcs L k
⊢ ((traceForm R L M) ⁅z, w⁆) y = 0

Tactic:
← lie_skew,

Goal state after:
case succ.refine_1
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ∀ {x y : L}, x ∈ ⊤.lcs L k → y ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥ → ((traceForm R L M) x) y = 0
x y : L
hy : ∀ (x : L), ⁅x, y⁆ ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
z w : L
hw : w ∈ ⊤.lcs L k
⊢ ((traceForm R L M) (-⁅w, z⁆)) y = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case lie.a.a.a.a.a.a.a.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hx✝ : yc + yl + yu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hu : yc + yl + yu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
zc : L
hzc : zc ∈ H
zl : L
hzl : zl ∈ lieSpan R L (range b.f)
zu : L
hzu : zu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : zc + zl + zu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hv : zc + zl + zu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
⊢ ⁅yl, zc⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
← lie_skew,

Goal state after:
case lie.a.a.a.a.a.a.a.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hx✝ : yc + yl + yu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hu : yc + yl + yu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
zc : L
hzc : zc ∈ H
zl : L
hzl : zl ∈ lieSpan R L (range b.f)
zu : L
hzu : zu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : zc + zl + zu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hv : zc + zl + zu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
⊢ -⁅zc, yl⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case lie.a.a.a.a.a.a.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hx✝ : yc + yl + yu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hu : yc + yl + yu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
zc : L
hzc : zc ∈ H
zl : L
hzl : zl ∈ lieSpan R L (range b.f)
zu : L
hzu : zu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : zc + zl + zu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hv : zc + zl + zu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
⊢ ⁅yu, zc⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
← lie_skew,

Goal state after:
case lie.a.a.a.a.a.a.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hx✝ : yc + yl + yu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hu : yc + yl + yu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
zc : L
hzc : zc ∈ H
zl : L
hzl : zl ∈ lieSpan R L (range b.f)
zu : L
hzu : zu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : zc + zl + zu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hv : zc + zl + zu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
⊢ -⁅zc, yu⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
⊢ (preReflection x f) y = y - f y • x

Tactic:
by
  simp [preReflection]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case lie.a.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hx✝ : yc + yl + yu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hu : yc + yl + yu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
zc : L
hzc : zc ∈ H
zl : L
hzl : zl ∈ lieSpan R L (range b.f)
zu : L
hzu : zu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : zc + zl + zu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hv : zc + zl + zu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
⊢ ⁅yl, zu⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
← lie_skew,

Goal state after:
case lie.a.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hx✝ : yc + yl + yu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hu : yc + yl + yu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
zc : L
hzc : zc ∈ H
zl : L
hzl : zl ∈ lieSpan R L (range b.f)
zu : L
hzu : zu ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : zc + zl + zu ∈ lieSpan R L (range b.e ∪ range b.f)
hv : zc + zl + zu ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
⊢ -⁅zu, yl⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
hF : F.ker ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ rootSpace H ⇑α
hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
⊢ ⁅f, y⁆ = 0

Tactic:
← lie_skew,

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
hF : F.ker ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ rootSpace H ⇑α
hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
⊢ -⁅y, f⁆ = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
n : ℤ
⊢ C R n = 2 * (T R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)

Tactic:
by
  have := congr_arg (·.comp (Polynomial.C ⅟2 * X)) (C_comp_two_mul_X R n)
  simp_rw [comp_assoc, mul_comp, ofNat_comp, X_comp, ← mul_assoc, ← C_eq_natCast, ← C_mul,
    Nat.cast_ofNat, mul_invOf_self', map_one, one_mul, comp_X, map_ofNat] at this
  assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsTorsionFree R L
this : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
U : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
hU : U = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
V : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
hV : V = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
s0 : Set (↥H → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
hsU : sU = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
sV : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hsV : sV = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs0' : rootSpace H 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
⊢ ∀ g ∈ sU, g ≠ 0

Tactic:
intro g hg contra

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsTorsionFree R L
this : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
U : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
hU : U = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
V : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
hV : V = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
s0 : Set (↥H → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
hsU : sU = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
sV : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hsV : sV = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs0' : rootSpace H 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
g : ↥H → R
hg : g ∈ sU
contra : g = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsTorsionFree R L
this : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
U : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
hU : U = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
V : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
hV : V = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
s0 : Set (↥H → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
hsU : sU = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
sV : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hsV : sV = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs0' : rootSpace H 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
⊢ ∀ g ∈ sV, g ≠ 0

Tactic:
intro g hg contra

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsTorsionFree R L
this : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
U : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
hU : U = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
V : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
hV : V = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
s0 : Set (↥H → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
hsU : sU = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
sV : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hsV : sV = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs0' : rootSpace H 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
g : ↥H → R
hg : g ∈ sV
contra : g = 0
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝⁴ : p.IsPerfPair
M' : Type u_4
N' : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
i : M' →ₗ[R] M
j : N' →ₗ[R] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hij : p.IsPerfectCompl i.range j.range
f : N' →ₗ[R] R
F : Dual R N := f ∘ₗ linearProjOfIsCompl (Submodule.map (↑p.flip.toPerfPair.symm) i.range.dualAnnihilator) j hj ⋯
hF✝ : F = f ∘ₗ linearProjOfIsCompl (Submodule.map (↑p.flip.toPerfPair.symm) i.range.dualAnnihilator) j hj ⋯
hF : ∀ (n : N'), F (j n) = f n
m : M := p.toPerfPair.symm F
hm : m = p.toPerfPair.symm F
y : M
m₀ : M'
hy : y ∈ Submodule.map (↑p.toPerfPair.symm) j.range.dualAnnihilator
hm' : i m₀ + y = m
⊢ ∃ a, (p.compl₁₂ i j) a = f

Tactic:
refine ⟨m₀, LinearMap.ext fun n ↦ ?_⟩

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝⁴ : p.IsPerfPair
M' : Type u_4
N' : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
i : M' →ₗ[R] M
j : N' →ₗ[R] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hij : p.IsPerfectCompl i.range j.range
f : N' →ₗ[R] R
F : Dual R N := f ∘ₗ linearProjOfIsCompl (Submodule.map (↑p.flip.toPerfPair.symm) i.range.dualAnnihilator) j hj ⋯
hF✝ : F = f ∘ₗ linearProjOfIsCompl (Submodule.map (↑p.flip.toPerfPair.symm) i.range.dualAnnihilator) j hj ⋯
hF : ∀ (n : N'), F (j n) = f n
m : M := p.toPerfPair.symm F
hm : m = p.toPerfPair.symm F
y : M
m₀ : M'
hy : y ∈ Submodule.map (↑p.toPerfPair.symm) j.range.dualAnnihilator
hm' : i m₀ + y = m
n : N'
⊢ ((p.compl₁₂ i j) m₀) n = f n
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.NumDen

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x y : K
h : x = y
⊢ x = mk' K (num A y) (den A y)

Tactic:
by rw [h, mk'_num_den]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.NumDen

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x y : K
h : x = y
⊢ y = mk' K (num A x) (den A x)

Tactic:
by rw [h, mk'_num_den]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot

Goal state before:
pp: case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr✝ : (aeval r) p = 0
this : num A r ∣ p.coeff 0 * ↑(den A r) ^ (p.natDegree - 0)
inst : (a : Prop) → Decidable a
hr : ¬num A r = 0
⊢ ∀ ⦃d : A⦄, d ∣ num A r → d ∣ ↑(den A r) ^ (p.natDegree - 0) → ¬Prime d

Tactic:
intro q dvd_num dvd_denom_pow hq

Goal state after:
case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr✝ : (aeval r) p = 0
this : num A r ∣ p.coeff 0 * ↑(den A r) ^ (p.natDegree - 0)
inst : (a : Prop) → Decidable a
hr : ¬num A r = 0
q : A
dvd_num : q ∣ num A r
dvd_denom_pow : q ∣ ↑(den A r) ^ (p.natDegree - 0)
hq : Prime q
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.PowTransition

Goal state before:
pp: R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
npos : n > 0
a : R ⧸ I ^ (n + 1)
h : IsUnit ((factorPow I ⋯) a)
b : R ⧸ I ^ n
right✝ : b * (factorPow I ⋯) a = 1
b' : R ⧸ I ^ n.succ
hb' : (factor ⋯) b' = b
hb : a * b' - 1 ∈ map (mk (I ^ n.succ)) (I ^ n)
c : R
hc : c ∈ ↑(I ^ n)
eq : (mk (I ^ (n + 1))) c = a * b' - 1
⊢ (a * b' - 1) * (1 - (mk (I ^ (n + 1))) c) + (1 - (mk (I ^ (n + 1))) c) = 1

Tactic:
rw [← eq, mul_sub, mul_one, sub_add_sub_cancel', sub_eq_self, ← map_mul,
        Ideal.Quotient.eq_zero_iff_mem, pow_add]
      apply Ideal.mul_mem_mul hc (Ideal.mul_le_right (I := I ^ (n - 1)) _)
      simpa only [← pow_add, Nat.sub_add_cancel npos] using! hc

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FiniteLength

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ∃ s, RelSeries.head s = ⊥ ∧ RelSeries.last s = ⊤

Tactic:
by
  obtain ⟨f, f0, n, hn⟩ := exists_covBy_seq_of_wellFoundedLT_wellFoundedGT (Submodule R M)
  exact ⟨⟨n, fun i ↦ f i, fun i ↦ hn.2 i i.2⟩, f0.eq_bot, hn.1.eq_top⟩

Goal state after: