mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : 2 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := ⋯
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := ⋯
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := ⋯
hv : (MDiffAt[s ∩ f ⁻¹' t] fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) x₀
this✝ : (MDiffAt[s] fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) x₀
this :
  MDiffAt[s]
      (inverse ∘ fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x))
    x₀
⊢ x₀ ∈ (trivializationAt E (TangentSpace I) x₀).baseSet

Tactic:
exact FiberBundle.mem_baseSet_trivializationAt' _

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : 2 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := ⋯
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := ⋯
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := ⋯
hv : (MDiffAt[s ∩ f ⁻¹' t] fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) x₀
this✝ : (MDiffAt[s] fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) x₀
this :
  MDiffAt[s]
      (inverse ∘ fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x))
    x₀
A : (trivializationAt E (TangentSpace I) x₀).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀
⊢ f x₀ ∈ (trivializationAt E' (TangentSpace I') (f x₀)).baseSet

Tactic:
exact FiberBundle.mem_baseSet_trivializationAt' _

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := ⋯
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := ⋯
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := ⋯
hv : ContMDiffWithinAt I I'.tangent m (fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀
this✝ :
  ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) s x₀
this :
  ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E' →L[𝕜] E) m
    (inverse ∘ fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) s x₀
⊢ x₀ ∈ (trivializationAt E (TangentSpace I) x₀).baseSet

Tactic:
exact FiberBundle.mem_baseSet_trivializationAt' _

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := ⋯
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := ⋯
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := ⋯
hv : ContMDiffWithinAt I I'.tangent m (fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀
this✝ :
  ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) s x₀
this :
  ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E' →L[𝕜] E) m
    (inverse ∘ fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) s x₀
A : (trivializationAt E (TangentSpace I) x₀).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀
⊢ f x₀ ∈ (trivializationAt E' (TangentSpace I') (f x₀)).baseSet

Tactic:
exact FiberBundle.mem_baseSet_trivializationAt' _

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.GroupLieAlgebra

Goal state before:
pp: case hn
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : ChartedSpace H G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
inst✝ : CompleteSpace E
v w : GroupLieAlgebra I G
g : G
⊢ minSmoothness 𝕜 2 ≤ minSmoothness 𝕜 3

Tactic:
exact minSmoothness_monotone (by norm_cast)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J 1 N
Is : IsManifold I 1 M
I's : IsManifold I' 1 M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiff[u]
t' : Set N := ⋯
ht't : t' ⊆ t
hx₀gx₀ : (x₀, g x₀) ∈ t ×ˢ u
h4f✝ : ContinuousWithinAt (fun x ↦ f x (g x)) t x₀
h4f : (fun x ↦ f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝[t] x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝[t ×ˢ u] (x₀, g x₀), ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' 1 (uncurry f) (t ×ˢ u) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝[t] x₀, ContMDiffWithinAt I I' 1 (f x₂) u (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝[t] x₀
hg' :
  ContinuousWithinAt g t' x₀ ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑(extChartAt I (g x₀)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt J x₀).symm)
      (↑(extChartAt J x₀).symm ⁻¹' t' ∩ range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
hf' :
  ContinuousWithinAt (uncurry f) (t' ×ˢ u) (x₀, g x₀) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n
      (fun x ↦ ↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) (f (↑(extChartAt J x₀).symm x.1) (↑(extChartAt I (g x₀)).symm x.2)))
      ((fun p ↦ (↑(extChartAt J x₀).symm p.1, ↑(extChartAt I (g x₀)).symm p.2)) ⁻¹' t' ×ˢ u ∩ range ↑J ×ˢ range ↑I)
      (↑((extChartAt J x₀).prod (extChartAt I (g x₀))) (x₀, g x₀))
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 ((extChartAt I (g x₀)).target ∩ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm ⁻¹' u)

Tactic:
· exact UniqueMDiffOn.uniqueDiffOn_target_inter h'u (g x₀)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
u : Set M
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f u x₀
hf' : (mfderiv[u] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hu : s ⊆ u
hn : 1 ≤ n
hh : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
Y : ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝[insert x₀ u] x₀, ContMDiffWithinAt I I' 1 f u x'
⊢ (fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V u x⟩) =ᶠ[𝓝[s] x₀] fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V s x⟩

Tactic:
simp_rw [insert_eq_of_mem (hu hx₀)] at Y

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
u : Set M
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f u x₀
hf' : (mfderiv[u] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hu : s ⊆ u
hn : 1 ≤ n
hh : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
Y : ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝[u] x₀, ContMDiffWithinAt I I' 1 f u x'
⊢ (fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V u x⟩) =ᶠ[𝓝[s] x₀] fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V s x⟩
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: case pos
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
n : WithTop ℕ∞
z : ℝ
hz : z ∈ Icc x y
h'z : ↑(projIcc x y ⋯ z) < y
this :
  ContDiff ℝ n fun w ↦
    have this := toLp 2 fun x_1 ↦ w - x;
    this
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n ((Subtype.val ∘ ↑(IccLeftChart x y)) ∘ projIcc x y ⋯ ∘ ↑(chartAt ℝ z).symm) (Icc x y) z

Tactic:
apply this.contDiffWithinAt.congr_of_eventuallyEq_of_mem _ hz

Goal state after:
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
n : WithTop ℕ∞
z : ℝ
hz : z ∈ Icc x y
h'z : ↑(projIcc x y ⋯ z) < y
this :
  ContDiff ℝ n fun w ↦
    have this := toLp 2 fun x_1 ↦ w - x;
    this
⊢ (Subtype.val ∘ ↑(IccLeftChart x y)) ∘ projIcc x y ⋯ ∘ ↑(chartAt ℝ z).symm =ᶠ[𝓝[Icc x y] z] fun w ↦
    have this := toLp 2 fun x_1 ↦ w - x;
    this
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: case neg
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
n : WithTop ℕ∞
z : ℝ
hz : z ∈ Icc x y
h'z : ¬↑(projIcc x y ⋯ z) < y
this :
  ContDiff ℝ n fun w ↦
    have this := toLp 2 fun x ↦ y - w;
    this
⊢ ContDiffWithinAt ℝ n ((Subtype.val ∘ ↑(IccRightChart x y)) ∘ projIcc x y ⋯ ∘ ↑(chartAt ℝ z).symm) (Icc x y) z

Tactic:
apply this.contDiffWithinAt.congr_of_eventuallyEq_of_mem _ hz

Goal state after:
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
n : WithTop ℕ∞
z : ℝ
hz : z ∈ Icc x y
h'z : ¬↑(projIcc x y ⋯ z) < y
this :
  ContDiff ℝ n fun w ↦
    have this := toLp 2 fun x ↦ y - w;
    this
⊢ (Subtype.val ∘ ↑(IccRightChart x y)) ∘ projIcc x y ⋯ ∘ ↑(chartAt ℝ z).symm =ᶠ[𝓝[Icc x y] z] fun w ↦
    have this := toLp 2 fun x ↦ y - w;
    this
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
m : ℕ∞ω
⊢ ContDiff ℝ m (stereoInvFunAux v)

Tactic:
have h₀ : ContDiff ℝ ω fun w : E => ‖w‖ ^ 2 := contDiff_norm_sq ℝ

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
m : ℕ∞ω
h₀ : ContDiff ℝ ω fun w ↦ ‖w‖ ^ 2
⊢ ContDiff ℝ m (stereoInvFunAux v)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
⊢ (mfderiv% Subtype.val z) 1 = 1

Tactic:
by
  have A : mfderiv[Icc x y] (Subtype.val ∘ (projIcc x y h.out.le)) z 1
      = mfderiv[Icc x y] (@id ℝ) z 1 := by
    congr 1
    apply mfderivWithin_congr_of_mem _ z.2
    intro z hz
    simp [projIcc_of_mem h.out.le hz]
  rw [← mfderivWithin_comp_projIcc_one, A]
  simp only [id_eq, mfderivWithin_eq_fderivWithin]
  rw [fderivWithin_id (uniqueDiffOn_Icc h.out _ z.2)]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ := (ℝ ∙ v)ᗮ.orthogonalProjectionOnto ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 0 < 1 - a
⊢ (1 - a) * 4 * 2 = |2| ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + (1 - a) ^ 2 * 4

Tactic:
linear_combination 4 * pythag

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
dt : ℝ
⊢ IsMIntegralCurveOn (γ ∘ fun x ↦ x + dt) v {t | t + dt ∈ s} ↔ IsMIntegralCurveOn γ v s

Tactic:
refine ⟨fun hγ ↦ ?_, fun hγ ↦ hγ.comp_add _⟩
  convert! hγ.comp_add (-dt)
  · ext t
    simp
  · simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsMIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
t : ℝ
⊢ t ∈ Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|) ↔ t ∈ {t | t * a ∈ Metric.ball t₀ ε}

Tactic:
mem_ofPred_eq,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsMIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
t : ℝ
⊢ t ∈ Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|) ↔ t * a ∈ Metric.ball t₀ ε
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 :
  ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' :
  ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux :
  ∀ y ∈ s,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧
      f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
h :
  HasDerivAt f
    ((fderivWithin ℝ (↑(extChartAt I x₀) ∘ ↑(extChartAt I xₜ).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I xₜ) xₜ)) (v xₜ)) t
⊢ HasMFDerivAt[s] (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t
    (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t)))

Tactic:
← tangentCoordChange_def

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 :
  ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' :
  ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux :
  ∀ y ∈ s,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧
      f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
t : ℝ
ht : t ∈ s
xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)
h : HasDerivAt f ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ)) t
⊢ HasMFDerivAt[s] (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t
    (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t)))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsMIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := ⋯
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ Continuous[_, inst✝³] fun y ↦ γ ↑y

Tactic:
rw [continuous_iff_continuousAt]
      rintro ⟨_, ht⟩
      apply ContinuousAt.comp _ continuousAt_subtype_val
      rw [Subtype.coe_mk]
      exact hγ.continuousWithinAt ht |>.continuousAt (Ioo_mem_nhds ht.1 ht.2)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hγ : IsMIntegralCurve γ v
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
a b : ℝ
heq : γ a = γ b
hne : a ≠ b
hab : a - b < 0
⊢ Periodic γ |a - b|

Tactic:
abs_of_neg hab,

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hγ : IsMIntegralCurve γ v
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
a b : ℝ
heq : γ a = γ b
hne : a ≠ b
hab : a - b < 0
⊢ Periodic γ (-(a - b))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.UnitInterval

Goal state before:
pp: x : ↑I
⊢ volume {x} = 0

Tactic:
simp [volume_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
a b : ℝ
γ : ℝ → M
hγ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc a b)
ha : γ a = x
hb : γ b = y
hab : a ≤ b
⊢ riemannianEDist I x y ≤ pathELength I γ a b

Tactic:
let η : ℝ →ᴬ[ℝ] ℝ := ContinuousAffineMap.lineMap a b

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
a b : ℝ
γ : ℝ → M
hγ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc a b)
ha : γ a = x
hb : γ b = y
hab : a ≤ b
η : ℝ →ᴬ[ℝ] ℝ := ContinuousAffineMap.lineMap a b
⊢ riemannianEDist I x y ≤ pathELength I γ a b