mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j ∈ t, w j = 0
⊢ (insert i t).centerMass w z ∈ s

Tactic:
have ws : ∀ j ∈ t, w j = 0 := (sum_eq_zero_iff_of_nonneg hs₀).1 hsum_t

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ∑ j ∈ t, w j = 0
ws : ∀ j ∈ t, w j = 0
⊢ (insert i t).centerMass w z ∈ s
Module: Mathlib.Topology.NhdsKer

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
⊢ nhdsKer (⋃₀ S) = ⋃ s ∈ S, nhdsKer s

Tactic:
simp only [sUnion_eq_biUnion, nhdsKer_iUnion]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_cases : x = y
⊢ y ∈ s

Tactic:
exact hy

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_3
Z : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (Z i)
h : LocallyPathConnectedSpace ((i : ι) → Z i)
⊢ IsEmpty ((i : ι) → Z i) ∨ (∀ (i : ι), LocallyPathConnectedSpace (Z i)) ∧ {i | ¬PathConnectedSpace (Z i)}.Finite

pp: case refine_2
ι : Type u_3
Z : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (Z i)
⊢ IsEmpty ((i : ι) → Z i) ∨ (∀ (i : ι), LocallyPathConnectedSpace (Z i)) ∧ {i | ¬PathConnectedSpace (Z i)}.Finite →
    LocallyPathConnectedSpace ((i : ι) → Z i)

Tactic:
· rcases isEmpty_or_nonempty (∀ i, Z i) with he | hne
    · exact .inl he
    obtain ⟨x⟩ := hne
    classical
    have : ∀ i, Nonempty (Z i) := Classical.nonempty_pi.mp ⟨x⟩
    refine .inr ⟨fun i ↦ ((isOpenMap_eval i).isQuotientMap (continuous_apply i)
      (surjective_eval i)).locallyPathConnectedSpace, ?_⟩
    have hVn : pathComponent x ∈ 𝓝 x :=
      (IsOpen.pathComponent x).mem_nhds (mem_pathComponent_self x)
    rw [nhds_pi, Filter.mem_pi] at hVn
    obtain ⟨J, hJ, t, ht, htV⟩ := hVn
    refine hJ.subset fun i hi ↦ by_contra fun hiJ ↦ hi ?_
    suffices himg : eval i '' pathComponent x = univ from pathConnectedSpace_iff_univ.mpr
      (himg ▸ isPathConnected_pathComponent.image (continuous_apply i))
    refine (subset_univ _).antisymm fun z _ ↦ ⟨update x i z, htV fun j hj ↦ ?_, by simp⟩
    rw [update_of_ne (ne_of_mem_of_not_mem hj hiJ)]
    exact mem_of_mem_nhds (ht j)

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_3
Z : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (Z i)
⊢ IsEmpty ((i : ι) → Z i) ∨ (∀ (i : ι), LocallyPathConnectedSpace (Z i)) ∧ {i | ¬PathConnectedSpace (Z i)}.Finite →
    LocallyPathConnectedSpace ((i : ι) → Z i)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Convex

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : E
r : ℝ
⊢ Convex ℝ (ball a r)

Tactic:
by
  simpa only [ball, sep_univ] using (convexOn_univ_dist a).convex_lt r

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i, v i • g i = y
⊢ 1 * 1 = 1

Tactic:
mul_one

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i, v i • g i = y
⊢ 1 = 1
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: case a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
i₀ : ι
hi₀ : i₀ ∈ t
h_eq : f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
i : ι
hi : i ∈ t
H : ∀ j ∈ t, p j = p i₀
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ p i₀ = p j

Tactic:
← H _ hj

Goal state after:
case a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
i₀ : ι
hi₀ : i₀ ∈ t
h_eq : f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
i : ι
hi : i ∈ t
H : ∀ j ∈ t, p j = p i₀
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ p j = p j
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
⊢ f (∑ x ∈ t with w x ≠ 0, w x • p x) = ∑ x ∈ t with w x ≠ 0, w x • f (p x) ↔
    ∀ j ∈ t, w j ≠ 0 → p j = ∑ x ∈ t with w x ≠ 0, w x • p x

Tactic:
hf.map_sum_eq_iff

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
⊢ (∀ j ∈ {x ∈ t | w x ≠ 0}, p j = ∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i • p i) ↔
    ∀ j ∈ t, w j ≠ 0 → p j = ∑ x ∈ t with w x ≠ 0, w x • p x

case h₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
⊢ ∀ i ∈ {x ∈ t | w x ≠ 0}, 0 < w i

case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i = 1

case hmem
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
⊢ ∀ i ∈ {x ∈ t | w x ≠ 0}, p i ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝² : SeminormedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : SeminormFamily R E ι
v : E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ {x | x • v ∈ (s.sup p).ball 0 r} ∈ 𝓝 0

Tactic:
simp_rw [(s.sup p).mem_ball_zero, map_smul_eq_mul]

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝² : SeminormedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : SeminormFamily R E ι
v : E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ {x | ‖x‖ * (s.sup p) v < r} ∈ 𝓝 0
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0
⊢ ∀ (i : Finset ι × ℝ), 0 < i.2 → x ∈ (i.1.sup p).ball 0 i.2

Tactic:
rintro ⟨s, r⟩ (hr : 0 < r)

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ x ∈ ((s, r).1.sup p).ball 0 (s, r).2
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
h : s ⊆ (I.sup p).ball 0 (‖a‖ * 1)
ha : r < ‖a‖
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

Tactic:
mul_one

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
h : s ⊆ (I.sup p).ball 0 ‖a‖
ha : r < ‖a‖
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜₂ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : T2Space F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = univ
this✝ : UniformSpace F := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace F
this : IsUniformAddGroup F
⊢ T2Space (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)

Tactic:
have : T2Space (E →ᵤ[𝔖] F) := UniformOnFun.t2Space_of_covering h𝔖

Goal state after:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜₂ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : T2Space F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = univ
this✝¹ : UniformSpace F := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace F
this✝ : IsUniformAddGroup F
this : T2Space (E →ᵤ[𝔖] F)
⊢ T2Space (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
ι : Type u_6
p : Filter ι
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : IsUniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
a : ι → E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
a₀ : E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
⊢ Tendsto a p (𝓝 a₀) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (fun x1 x2 ↦ (a x1) x2) (⇑a₀) p s

Tactic:
(isEmbedding_coeFn σ F 𝔖).tendsto_nhds_iff,

Goal state after:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
ι : Type u_6
p : Filter ι
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : IsUniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
a : ι → E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
a₀ : E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
⊢ Tendsto ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) ∘ a) p (𝓝 ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) a₀)) ↔
    ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (fun x1 x2 ↦ (a x1) x2) (⇑a₀) p s
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_6
F : Type u_7
ι' : Type u_10
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
κ : Type u_11
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : IsUniformAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
i : ι'
x✝ : SeminormedAddCommGroup F := (q i).toSeminormedAddCommGroup
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0
tfae_3_to_5 :
  UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) →
    BddAbove (Set.range fun k ↦ (q i).comp (f k)) ∧ Continuous[inst✝².toTopologicalSpace, _] (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))
tfae_5_to_4 :
  BddAbove (Set.range fun k ↦ (q i).comp (f k)) ∧ Continuous[inst✝².toTopologicalSpace, _] (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k))) →
    ∃ p, Continuous[inst✝².toTopologicalSpace, _] ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p
p : Seminorm 𝕜 E
hp : Continuous[inst✝².toTopologicalSpace, _] ⇑p
hfp : ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p
x : E
k : κ
⊢ dist ((DFunLike.coe ∘ f) k 0) ((DFunLike.coe ∘ f) k x) ≤ p x

Tactic:
by simpa using! hfp k x

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_6
F : Type u_7
ι : Type u_9
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
𝕜 : Type u_11
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
hp : Continuous[inst✝¹, _] ⇑p
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : IsInducing ⇑f
s : Finset ι
C : ℝ≥0
hC : C ≠ 0
hqC : p ≤ C • (s.sup q).comp f
⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ p ≤ (C • s.sup q).comp f

Tactic:
← Seminorm.smul_comp

Goal state after:
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_6
F : Type u_7
ι : Type u_9
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
𝕜 : Type u_11
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
hp : Continuous[inst✝¹, _] ⇑p
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : IsInducing ⇑f
s : Finset ι
C : ℝ≥0
hC : C ≠ 0
hqC : p ≤ (C • s.sup q).comp f
⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ p ≤ (C • s.sup q).comp f
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.CompactConvergence

Goal state before:
pp: α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompleteSpace C(α, β)
f : α → β
s : Set α
l : Filter C(α, β)
hlc : Cauchy l
hlf : l ≤ 𝓟 {g | EqOn (⇑g) f s}
f' : C(α, β)
hf' : l ≤ 𝓝 f'
this : l.NeBot
H₁ : ∀ x ∈ s, Inseparable (f x) (f' x)
x : α
⊢ Inseparable (s.piecewise f (⇑f') x) (f' x)

Tactic:
by_cases hx : x ∈ s <;> simp [hx, H₁, Inseparable.refl]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Filter.ENNReal

Goal state before:
pp: α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha₀ : a ≠ 0
ha_top : a ≠ ∞
⊢ liminf (fun x ↦ a * u x) f = a * liminf u f

Tactic:
by
  let g_iso := (ENNReal.mul_right_strictMono ha₀ ha_top).orderIsoOfSurjective _ fun x ↦
    ⟨a⁻¹ * x, ENNReal.mul_inv_cancel_left ha₀ ha_top⟩
  exact g_iso.liminf_apply.symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.UniformOn

Goal state before:
pp: case inr.inr.hd
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ Disjoint (s ∩ u) (t ∩ u)

pp: case inr.inr.h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ MeasurableSet (t ∩ u)

pp: case inr.inr.h0
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ Measure.count t ≠ 0

pp: case inr.inr.ht
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ Measure.count t ≠ ⊤

pp: case inr.inr.h0
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ Measure.count s ≠ 0

pp: case inr.inr.ht
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
⊢ Measure.count s ≠ ⊤

Tactic:
exacts [hst.mono inf_le_left inf_le_left, (ht.inter_of_left _).measurableSet,
    Measure.count_ne_zero ht', (Measure.count_apply_lt_top.2 ht).ne, Measure.count_ne_zero hs',
    (Measure.count_apply_lt_top.2 hs).ne]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Indicator

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
s : Set α
β : Type u_9
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
hp' : p ≠ ∞
hs : MeasurableSet s
f g : α → β
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c
hp : ¬p = 0
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖(f - g) x‖ ≤ ‖c‖

Tactic:
Pi.sub_apply,

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
s : Set α
β : Type u_9
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
hp' : p ≠ ∞
hs : MeasurableSet s
f g : α → β
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c
hp : ¬p = 0
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖f x - g x‖ ≤ ‖c‖
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: case left
q r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
h : (↑0).HolderTriple ↑q ↑r
⊢ r = 0

Tactic:
exact_mod_cast (coe_zero ▸ h).unique _ _ r 0

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: case right
p r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
h : (↑p).HolderTriple ↑0 ↑r
⊢ r = 0

Tactic:
exact_mod_cast (coe_zero ▸ h).unique _ _ r 0

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 1 - p⁻¹ * 1 = 1⁻¹ - p⁻¹

pp: case h0
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ 0

pp: case ht
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ ∞

pp: p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 0 < 1 → 1 < p → p⁻¹ ≠ ∞

pp: case ha
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ 0 ∨ (p - 1)⁻¹ ≠ ∞

pp: case hb
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ ∞ ∨ (p - 1)⁻¹ ≠ 0

pp: p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 1 ≤ p

Tactic:
mul_one

Goal state after:
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 1 - p⁻¹ = 1⁻¹ - p⁻¹

case h0
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ 0

case ht
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ ∞

p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 0 < 1 → 1 < p → p⁻¹ ≠ ∞

case ha
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ 0 ∨ (p - 1)⁻¹ ≠ ∞

case hb
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ ∞ ∨ (p - 1)⁻¹ ≠ 0

p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 1 ≤ p
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: case inr
p q : ℝ≥0∞
h : p.HolderConjugate q
hq : q ≠ ∞
⊢ p * 1 = p

Tactic:
mul_one

Goal state after:
case inr
p q : ℝ≥0∞
h : p.HolderConjugate q
hq : q ≠ ∞
⊢ p = p
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp0 : p.toReal = 0
a✝ : α
⊢ liminf (fun n ↦ 1) atTop < ∞

Tactic:
liminf_const (1 : ℝ≥0∞)

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp0 : p.toReal = 0
a✝ : α
⊢ 1 < ∞
Module: Mathlib.Algebra.Order.Monovary

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : IsStrictOrderedModule α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ MonovaryOn f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) s ↔
    ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i • g i + f j • g j ≤ f i • g j + f j • g i

Tactic:
monovaryOn_iff_smul_rearrangement

Goal state after:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : IsStrictOrderedModule α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
⊢ (∀ ⦃i : ι⦄,
      i ∈ s →
        ∀ ⦃j : ι⦄,
          j ∈ s →
            f i • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) j + f j • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i ≤
              f i • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i + f j • (⇑OrderDual.toDual ∘ g) j) ↔
    ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i • g i + f j • g j ≤ f i • g j + f j • g i