mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Abelian

Goal state before:
pp: C : Type v
inst✝⁶ : Category.{u, v} C
inst✝⁵ : HasColimits C
inst✝⁴ : HasLimits C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type u
inst✝³ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
instCC : ConcreteCategory C FC
inst✝² : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝¹ : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : Abelian C
X : TopCat
F : Sheaf C X
h : ∀ (x : ↑X), IsZero ((forget C X ⋙ stalkFunctor C x).obj F)
f : F ⟶ 0 := ⋯.from_ F
⊢ IsIso f

Tactic:
Presheaf.isIso_iff_stalkFunctor_map_iso

Goal state after:
C : Type v
inst✝⁶ : Category.{u, v} C
inst✝⁵ : HasColimits C
inst✝⁴ : HasLimits C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type u
inst✝³ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
instCC : ConcreteCategory C FC
inst✝² : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝¹ : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : Abelian C
X : TopCat
F : Sheaf C X
h : ∀ (x : ↑X), IsZero ((forget C X ⋙ stalkFunctor C x).obj F)
f : F ⟶ 0 := ⋯.from_ F
⊢ ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.hom)
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Skyscraper

Goal state before:
pp: X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 𝓖 : Presheaf C X
f : 𝓕 ⟶ 𝓖
U : Opens ↑X
⊢ ((𝟭 (Presheaf C X)).map f ≫ toSkyscraperPresheaf p₀ (𝟙 (((𝟭 (Presheaf C X)).obj 𝓖).stalk p₀))).app (op U) =
    (toSkyscraperPresheaf p₀ (𝟙 (((𝟭 (Presheaf C X)).obj 𝓕).stalk p₀)) ≫
          (Presheaf.stalkFunctor C p₀ ⋙ skyscraperPresheafFunctor p₀).map f).app
      (op U)

Tactic:
;

Goal state after:
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 𝓖 : Presheaf C X
f : 𝓕 ⟶ 𝓖
U : Opens ↑X
⊢ ((𝟭 (Presheaf C X)).map f ≫ toSkyscraperPresheaf p₀ (𝟙 (((𝟭 (Presheaf C X)).obj 𝓖).stalk p₀))).app (op U) =
    (toSkyscraperPresheaf p₀ (𝟙 (((𝟭 (Presheaf C X)).obj 𝓕).stalk p₀)) ≫
          (Presheaf.stalkFunctor C p₀ ⋙ skyscraperPresheafFunctor p₀).map f).app
      (op U)
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff

Goal state before:
pp: δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x ε
N : GHSpace → ℕ := fun p ↦ Nat.card ↑(s p)
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (Nat.card ↑(s p)) := fun p ↦ Finite.equivFin ↑(s p)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) := fun p ↦ ⟨N p, fun a b ↦ ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋⟩
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
x y : ↑(s p)
i : ℕ := ↑((E p) x)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = ↑((E q) (Ψ x))
j : ℕ := ↑((E p) y)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = ↑((E q) (Ψ y))
this✝¹ : (F p).snd ((E p) x) ((E p) y) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋
Ap : (F p).snd ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩ = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋
this✝ : (F q).snd ((E q) (Ψ x)) ((E q) (Ψ y)) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
Aq : (F q).snd ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
⊢ ε⁻¹ * (dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)) = ε⁻¹ * dist x y - ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)

Tactic:
;

Goal state after:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x ε
N : GHSpace → ℕ := fun p ↦ Nat.card ↑(s p)
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (Nat.card ↑(s p)) := fun p ↦ Finite.equivFin ↑(s p)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) := fun p ↦ ⟨N p, fun a b ↦ ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋⟩
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
x y : ↑(s p)
i : ℕ := ↑((E p) x)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = ↑((E q) (Ψ x))
j : ℕ := ↑((E p) y)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = ↑((E q) (Ψ y))
this✝¹ : (F p).snd ((E p) x) ((E p) y) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋
Ap : (F p).snd ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩ = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋
this✝ : (F q).snd ((E q) (Ψ x)) ((E q) (Ψ y)) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
Aq : (F q).snd ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
⊢ ε⁻¹ * (dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)) = ε⁻¹ * dist x y - ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.MayerVietoris

Goal state before:
pp: case refine_2
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T
sq : Square (Opens T)
h₄ : sq.X₄ = sq.X₂ ⊔ sq.X₃
h₁ : sq.X₁ = sq.X₂ ⊓ sq.X₃
s✝ : PullbackCone sq.f₂₄ sq.f₃₄
⊢ homOfLE ⋯ ≫ sq.f₁₂ = s✝.fst

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_2
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T
sq : Square (Opens T)
h₄ : sq.X₄ = sq.X₂ ⊔ sq.X₃
h₁ : sq.X₁ = sq.X₂ ⊓ sq.X₃
s✝ : PullbackCone sq.f₂₄ sq.f₃₄
⊢ homOfLE ⋯ ≫ sq.f₁₂ = s✝.fst
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.MayerVietoris

Goal state before:
pp: case refine_3
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T
sq : Square (Opens T)
h₄ : sq.X₄ = sq.X₂ ⊔ sq.X₃
h₁ : sq.X₁ = sq.X₂ ⊓ sq.X₃
s✝ : PullbackCone sq.f₂₄ sq.f₃₄
⊢ homOfLE ⋯ ≫ sq.f₁₃ = s✝.snd

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_3
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T
sq : Square (Opens T)
h₄ : sq.X₄ = sq.X₂ ⊔ sq.X₃
h₁ : sq.X₁ = sq.X₂ ⊓ sq.X₃
s✝ : PullbackCone sq.f₂₄ sq.f₃₄
⊢ homOfLE ⋯ ≫ sq.f₁₃ = s✝.snd
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.MayerVietoris

Goal state before:
pp: case refine_4
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T
sq : Square (Opens T)
h₄ : sq.X₄ = sq.X₂ ⊔ sq.X₃
h₁ : sq.X₁ = sq.X₂ ⊓ sq.X₃
s✝ : PullbackCone sq.f₂₄ sq.f₃₄
m✝ : s✝.pt ⟶ sq.X₁
x✝¹ : m✝ ≫ sq.f₁₂ = s✝.fst
x✝ : m✝ ≫ sq.f₁₃ = s✝.snd
⊢ m✝ = homOfLE ⋯

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_4
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T
sq : Square (Opens T)
h₄ : sq.X₄ = sq.X₂ ⊔ sq.X₃
h₁ : sq.X₁ = sq.X₂ ⊓ sq.X₃
s✝ : PullbackCone sq.f₂₄ sq.f₃₄
m✝ : s✝.pt ⟶ sq.X₁
x✝¹ : m✝ ≫ sq.f₁₂ = s✝.fst
x✝ : m✝ ≫ sq.f₁₃ = s✝.snd
⊢ m✝ = homOfLE ⋯
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff

Goal state before:
pp: t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
this : |u n| < ε
⊢ u n ≤ ε

Tactic:
exact le_of_lt (lt_of_le_of_lt (le_abs_self _) this)

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Points

Goal state before:
pp: X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
x✝⁵ x✝⁴ : (grothendieckTopology X).Point
x✝³ x✝² : x✝⁵ ⟶ x✝⁴
x✝¹ : Opens X
x✝ : x✝⁴.fiber.obj x✝¹
⊢ (ConcreteCategory.hom (x✝³.hom.app x✝¹)).toFun x✝ = (ConcreteCategory.hom (x✝².hom.app x✝¹)).toFun x✝

Tactic:
;

Goal state after:
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
x✝⁵ x✝⁴ : (grothendieckTopology X).Point
x✝³ x✝² : x✝⁵ ⟶ x✝⁴
x✝¹ : Opens X
x✝ : x✝⁴.fiber.obj x✝¹
⊢ (ConcreteCategory.hom (x✝³.hom.app x✝¹)).toFun x✝ = (ConcreteCategory.hom (x✝².hom.app x✝¹)).toFun x✝
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Flasque

Goal state before:
pp: X : TopCat
U : Opens ↑X
F G : Sheaf AddCommGrpCat X
g : F ⟶ G
s : ↑(G.obj.obj (op U))
c : Set (Under g s)
h : IsChain (fun x y ↦ Nonempty (y ⟶ x)) c
⊢ ∃ ub, ∀ a ∈ c, Nonempty (ub ⟶ a)

Tactic:
let f : c → (Opens X) := fun x => x.1.right.1.unop
  obtain ⟨t, ht, _⟩ : ∃! s_1, IsGluing F.obj f (fun x => x.val.right.2) s_1 := by
    refine Sheaf.existsUnique_gluing F _ _ (fun i j ↦ ?_)
    obtain (rfl | h₁ | h₁) : i = j ∨ Nonempty (i.val ⟶ j.val) ∨ Nonempty (j.val ⟶ i.val) := by
      grind [Subtype.ext_iff, h i.property j.property]
    · rfl
    all_goals
      rw [← CategoryOfElements.map_snd h₁.some.2]
      dsimp
      rw [← Functor.map_comp_apply]
      rfl
  have le₁ : iSup f ≤ U := iSup_le <| fun j => leOfHom j.1.hom.1.unop
  have le₂ : ∀ i, i ∈ c → unop i.right.1 ≤ iSup f := fun i hi ↦ le_iSup f ⟨i, hi⟩
  use StructuredArrow.mk (CategoryOfElements.homMk _ _ (homOfLE le₁).op (eq_app_of_locally_eq ht
      (fun i ↦ leOfHom i.1.hom.1.unop) (fun i ↦ (CategoryOfElements.map_snd i.1.hom).symm)).symm :
      ⟨op U, s⟩ ⟶ (Functor.whiskerRight g.hom
      (CategoryTheory.forget AddCommGrpCat)).mapElements.obj ⟨op (iSup f), t⟩)
  exact fun i hi => Nonempty.intro (StructuredArrow.homMk (CategoryOfElements.homMk _ _
    (homOfLE (le₂ i hi)).op (ht ⟨i, hi⟩)) (by cat_disch))

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff

Goal state before:
pp: t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
x : q.Rep
this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n)
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y (u n)
i : ℕ := ↑((E q) ⟨y, ys⟩)
hi : ↑((E q) ⟨y, ys⟩) < N q := ((E q) ⟨y, ys⟩).isLt
ihi_eq : ⟨i, hi⟩ = (E q) ⟨y, ys⟩
hiq : i < N q
hip : i < N p
z : ↑(s p) := (E p).symm ⟨i, hip⟩
C1 : (E p) z = ⟨i, hip⟩
C2 : Fin.cast Npq ⟨i, hip⟩ = ⟨i, hi⟩
⊢ (E q).symm ((E q) ⟨y, ys⟩) = ⟨y, ys⟩

Tactic:
;

Goal state after:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
x : q.Rep
this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n)
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y (u n)
i : ℕ := ↑((E q) ⟨y, ys⟩)
hi : ↑((E q) ⟨y, ys⟩) < N q := ((E q) ⟨y, ys⟩).isLt
ihi_eq : ⟨i, hi⟩ = (E q) ⟨y, ys⟩
hiq : i < N q
hip : i < N p
z : ↑(s p) := (E p).symm ⟨i, hip⟩
C1 : (E p) z = ⟨i, hip⟩
C2 : Fin.cast Npq ⟨i, hip⟩ = ⟨i, hi⟩
⊢ (E q).symm ((E q) ⟨y, ys⟩) = ⟨y, ys⟩
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.SheafCondition.EqualizerProducts

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
G : Presheaf C X
α : F ≅ G
⊢ (X_1 : WalkingParallelPair) → (diagram F U).obj X_1 ≅ (diagram G U).obj X_1

Tactic:
by
    rintro ⟨⟩
    · exact piOpens.isoOfIso U α
    · exact piInters.isoOfIso U α

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff

Goal state before:
pp: t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
x : q.Rep
this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n)
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y (u n)
i : ℕ := ↑((E q) ⟨y, ys⟩)
hi : ↑((E q) ⟨y, ys⟩) < N q := ((E q) ⟨y, ys⟩).isLt
ihi_eq : ⟨i, hi⟩ = (E q) ⟨y, ys⟩
hiq : i < N q
hip : i < N p
z : ↑(s p) := (E p).symm ⟨i, hip⟩
C1 : (E p) z = ⟨i, hip⟩
C2 : Fin.cast Npq ⟨i, hip⟩ = ⟨i, hi⟩
C3 : (E q).symm ⟨i, hi⟩ = ⟨y, ys⟩
⊢ ↑((E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) z))) = y

Tactic:
;

Goal state after:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
x : q.Rep
this : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n)
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y (u n)
i : ℕ := ↑((E q) ⟨y, ys⟩)
hi : ↑((E q) ⟨y, ys⟩) < N q := ((E q) ⟨y, ys⟩).isLt
ihi_eq : ⟨i, hi⟩ = (E q) ⟨y, ys⟩
hiq : i < N q
hip : i < N p
z : ↑(s p) := (E p).symm ⟨i, hip⟩
C1 : (E p) z = ⟨i, hip⟩
C2 : Fin.cast Npq ⟨i, hip⟩ = ⟨i, hi⟩
C3 : (E q).symm ⟨i, hi⟩ = ⟨y, ys⟩
⊢ ↑((E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) z))) = y
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.SheafCondition.EqualizerProducts

Goal state before:
pp: case i
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
G : Presheaf C X
α : F ≅ G
⊢ (fork F U).pt ≅ ((Cone.postcompose (diagram.isoOfIso U α).inv).obj (fork G U)).pt

Tactic:
apply α.app

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify

Goal state before:
pp: case h.w
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U : Opens ↑X
m : x ∈ U
s : ToType (F.obj (op U))
⊢ (y : ↥↑⟨U, m⟩) → F.stalk ↑y

pp: case h.h
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U : Opens ↑X
m : x ∈ U
s : ToType (F.obj (op U))
⊢ ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred ?h.w), ?h.w ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ U x m)) s

Tactic:
· exact fun y => F.germ _ _ y.2 s

Goal state after:
case h.h
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U : Opens ↑X
m : x ∈ U
s : ToType (F.obj (op U))
⊢ ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fun y ↦ (ConcreteCategory.hom (F.germ ↑⟨U, m⟩ ↑y ⋯)) s),
    (fun y ↦ (ConcreteCategory.hom (F.germ ↑⟨U, m⟩ ↑y ⋯)) s) ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ U x m)) s
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify

Goal state before:
pp: X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
e : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wUx : fU ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)

Tactic:
;

Goal state after:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
e : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wUx : fU ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify

Goal state before:
pp: X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
e : (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU = fV ⟨x, ⋯⟩
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wUx : fU ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)

Tactic:
;

Goal state after:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
e : (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU = fV ⟨x, ⋯⟩
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wUx : fU ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify

Goal state before:
pp: X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
e : (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU = fV ⟨x, ⋯⟩
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wVx : fV ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' x ⋯)) gV
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)

Tactic:
;

Goal state after:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
e : (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU = fV ⟨x, ⋯⟩
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wVx : fV ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' x ⋯)) gV
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify

Goal state before:
pp: X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
e : (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' x ⋯)) gV
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wVx : fV ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' x ⋯)) gV
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)

Tactic:
;

Goal state after:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
e : (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' x ⋯)) gV
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wVx : fV ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' x ⋯)) gV
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff

Goal state before:
pp: t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
x y : ↑(s p)
this✝¹ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y)
i : ℕ := ↑((E p) x)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = ↑((E q) (Ψ x))
j : ℕ := ↑((E p) y)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = ↑((E q) (Ψ y))
Ap : ↑((F p).snd ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊
Aq : ↑((F q).snd ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊
this✝ : ↑((F p).snd ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩) = ↑((F q).snd ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩)
this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
⊢ ε⁻¹ * (dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)) = ε⁻¹ * dist x y - ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)

Tactic:
;

Goal state after:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
x y : ↑(s p)
this✝¹ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y)
i : ℕ := ↑((E p) x)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = ↑((E q) (Ψ x))
j : ℕ := ↑((E p) y)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = ↑((E q) (Ψ y))
Ap : ↑((F p).snd ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊
Aq : ↑((F q).snd ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊
this✝ : ↑((F p).snd ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩) = ↑((F q).snd ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩)
this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
⊢ ε⁻¹ * (dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)) = ε⁻¹ * dist x y - ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Flasque

Goal state before:
pp: X : TopCat
S : ShortComplex (Sheaf AddCommGrpCat X)
hS : S.ShortExact
inst✝¹ : S.X₁.IsFlasque
inst✝ : S.X₂.IsFlasque
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ Epi (S.X₃.obj.map i)

Tactic:
have : Epi (S.g.1.app U ≫ S.X₃.obj.map i) := by
      rw [← S.g.hom.naturality i]
      exact CategoryTheory.epi_comp' inferInstance (epi_of_shortExact hS)

Goal state after:
X : TopCat
S : ShortComplex (Sheaf AddCommGrpCat X)
hS : S.ShortExact
inst✝¹ : S.X₁.IsFlasque
inst✝ : S.X₂.IsFlasque
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
this : Epi (S.g.hom.app U ≫ S.X₃.obj.map i)
⊢ Epi (S.X₃.obj.map i)