mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
⊢ q = 0 → p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = 0

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
⊢ q = 0 → p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = 0
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : LinearOrder B
inst✝ : OrderBot B
p : R[A]
D : A → B
hp : p ≠ 0
a : A
he : supDegree D p = D a
⊢ supDegree D p ∈ Set.range D

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : LinearOrder B
inst✝ : OrderBot B
p : R[A]
D : A → B
hp : p ≠ 0
a : A
he : supDegree D p = D a
⊢ supDegree D p ∈ Set.range D
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Domain

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
⊢ ¬p ^ n = 0

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
⊢ ¬p ^ n = 0
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : LinearOrder B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R[A]
b : B
h : ∀ i ∈ s, supDegree D (f i) < b
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ⊥ < b

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : LinearOrder B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R[A]
b : B
h : ∀ i ∈ s, supDegree D (f i) < b
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ⊥ < b
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Domain

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h2 : p ≠ 0 ∧ q ≠ 0
⊢ p.natDegree ≤ p.natDegree + q.natDegree

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h2 : p ≠ 0 ∧ q ≠ 0
⊢ p.natDegree ≤ p.natDegree + q.natDegree
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Domain

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h2 : p * q ≠ 0
⊢ p.degree ≤ (p * q).degree

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h2 : p * q ≠ 0
⊢ p.degree ≤ (p * q).degree
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : 1 ≠ 0
⊢ (C 1).degree = 0 • p.degree

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : 1 ≠ 0
⊢ (C 1).degree = 0 • p.degree
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝ : AddZeroClass A
h : supDegree D q < supDegree D p
a : A
he : D a = supDegree D p
⊢ ¬supDegree D p ≤ supDegree D q

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝ : AddZeroClass A
h : supDegree D q < supDegree D p
a : A
he : D a = supDegree D p
⊢ ¬supDegree D p ≤ supDegree D q
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : p = 0
hn0 : ¬n = 0
⊢ natDegree 0 = n * natDegree 0

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : p = 0
hn0 : ¬n = 0
⊢ natDegree 0 = n * natDegree 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : 0 ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hpn0 : p ^ n = 0
h1 : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : 0 ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hpn0 : p ^ n = 0
h1 : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hpn : p ^ n ≠ 0
⊢ n • ↑p.natDegree = ↑(n * p.natDegree)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hpn : p ^ n ≠ 0
⊢ n • ↑p.natDegree = ↑(n * p.natDegree)
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (f i) = supDegree D (f i) ∧ leadingCoeff D (f i) = leadingCoeff D (f i)

Tactic:
;

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (f i) = supDegree D (f i) ∧ leadingCoeff D (f i) = leadingCoeff D (f i)
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.SmallDegree

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : p.degree = ↑1
⊢ C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0) = C p.leadingCoeff * X + C (p.coeff 0)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : p.degree = ↑1
⊢ C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0) = C p.leadingCoeff * X + C (p.coeff 0)
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : (s.erase i).Nonempty
j : ι
hj : j ≠ i ∧ j ∈ s
⊢ supDegree D (f j) < supDegree D (f i)

Tactic:
;

Goal state after:
case neg.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : (s.erase i).Nonempty
j : ι
hj : j ≠ i ∧ j ∈ s
⊢ supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hd : Set.InjOn (supDegree D ∘ f) ↑s
j : ι
hj : j ∈ s
hne✝ : f j ≠ 0
i : ι
hi : i ∈ s
he : s.sup (supDegree D ∘ f) = (supDegree D ∘ f) i
h : ∀ k ∈ s, k = i
k : ι
hk : k ∈ s
hne : i ≠ i
⊢ f k = 0

Tactic:
;

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hd : Set.InjOn (supDegree D ∘ f) ↑s
j : ι
hj : j ∈ s
hne✝ : f j ≠ 0
i : ι
hi : i ∈ s
he : s.sup (supDegree D ∘ f) = (supDegree D ∘ f) i
h : ∀ k ∈ s, k = i
k : ι
hk : k ∈ s
hne : i ≠ i
⊢ f k = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.SmallDegree

Goal state before:
pp: R : Type u
a b c d : R
inst✝ : Semiring R
ha : a ≠ 0
⊢ (C b * X ^ 2 + C c * X + C d).degree < (C a * X ^ 3).degree

Tactic:
simpa only [degree_C_mul_X_pow 3 ha] using! degree_quadratic_lt

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this✝ : Nontrivial R
this : p.leadingCoeff * X.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p.degree < (p * X).degree

Tactic:
degree_mul' this,

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this✝ : Nontrivial R
this : p.leadingCoeff * X.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p.degree < p.degree + X.degree
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
hf : Monic 1
⊢ natDegree 1 = 0

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
hf : Monic 1
⊢ natDegree 1 = 0
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hq : Monic D q
hp : p ≠ 0
h✝ : Subsingleton R
⊢ supDegree D (p * q) = supDegree D p + supDegree D q

pp: case inr
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hq : Monic D q
hp : p ≠ 0
h✝ : Nontrivial R
⊢ supDegree D (p * q) = supDegree D p + supDegree D q

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hq : Monic D q
hp : p ≠ 0
h✝ : Subsingleton R
⊢ supDegree D (p * q) = supDegree D p + supDegree D q

case inr
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hq : Monic D q
hp : p ≠ 0
h✝ : Nontrivial R
⊢ supDegree D (p * q) = supDegree D p + supDegree D q
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Coeff

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ (map f p).coeff n = (⇑f ∘ p.coeff) n

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
f : R →+* S
n : ℕ
⊢ (map f p).coeff n = (⇑f ∘ p.coeff) n
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hp : Monic D p
hq : q ≠ 0
h✝ : Subsingleton R
⊢ supDegree D (p * q) = supDegree D p + supDegree D q

pp: case inr
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hp : Monic D p
hq : q ≠ 0
h✝ : Nontrivial R
⊢ supDegree D (p * q) = supDegree D p + supDegree D q

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hp : Monic D p
hq : q ≠ 0
h✝ : Subsingleton R
⊢ supDegree D (p * q) = supDegree D p + supDegree D q

case inr
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hp : Monic D p
hq : q ≠ 0
h✝ : Nontrivial R
⊢ supDegree D (p * q) = supDegree D p + supDegree D q
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Coeff

Goal state before:
pp: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι✝ : Type y
a b : R✝
m n✝ : ℕ
inst✝³ : Semiring R✝
p✝ q✝ r : R✝[X]
inst✝² : Semiring S
f : R✝ →+* S
ι : Type ?u.38
inst✝¹ : Finite ι
R : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Semiring (R i)
p q : ((i : ι) → R i)[X]
h : (RingHom.pi fun i ↦ mapRingHom (Pi.evalRingHom R i)) p = (RingHom.pi fun i ↦ mapRingHom (Pi.evalRingHom R i)) q
n : ℕ
i : ι
⊢ p.coeff n i = q.coeff n i

Tactic:
;

Goal state after:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι✝ : Type y
a b : R✝
m n✝ : ℕ
inst✝³ : Semiring R✝
p✝ q✝ r : R✝[X]
inst✝² : Semiring S
f : R✝ →+* S
ι : Type ?u.38
inst✝¹ : Finite ι
R : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Semiring (R i)
p q : ((i : ι) → R i)[X]
h : (RingHom.pi fun i ↦ mapRingHom (Pi.evalRingHom R i)) p = (RingHom.pi fun i ↦ mapRingHom (Pi.evalRingHom R i)) q
n : ℕ
i : ι
⊢ p.coeff n i = q.coeff n i
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Coeff

Goal state before:
pp: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι✝ : Type y
a b : R✝
m n✝ : ℕ
inst✝³ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
inst✝² : Semiring S
f : R✝ →+* S
ι : Type ?u.38
inst✝¹ : Finite ι
R : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Semiring (R i)
p : (i : ι) → (R i)[X]
n : ℕ
hn : ∀ (i : ι), (p i).coeff n = 0
⊢ (fun i ↦ (p i).coeff n) = 0

Tactic:
;

Goal state after:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι✝ : Type y
a b : R✝
m n✝ : ℕ
inst✝³ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
inst✝² : Semiring S
f : R✝ →+* S
ι : Type ?u.38
inst✝¹ : Finite ι
R : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Semiring (R i)
p : (i : ι) → (R i)[X]
n : ℕ
hn : ∀ (i : ι), (p i).coeff n = 0
⊢ (fun i ↦ (p i).coeff n) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ ↑n ≠ ⊥

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ ↑n ≠ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Coeff

Goal state before:
pp: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι✝ : Type y
a b : R✝
m n✝ : ℕ
inst✝³ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
inst✝² : Semiring S
f : R✝ →+* S
ι : Type ?u.38
inst✝¹ : Finite ι
R : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Semiring (R i)
p : (i : ι) → (R i)[X]
i : ι
n : ℕ
⊢ ((RingHom.pi fun i ↦ mapRingHom (Pi.evalRingHom R i))
          { toFinsupp := ofCoeff (Finsupp.ofSupportFinite (fun n i ↦ (p i).coeff n) ⋯) } i).coeff
      n =
    (p i).coeff n

Tactic:
;

Goal state after:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι✝ : Type y
a b : R✝
m n✝ : ℕ
inst✝³ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
inst✝² : Semiring S
f : R✝ →+* S
ι : Type ?u.38
inst✝¹ : Finite ι
R : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Semiring (R i)
p : (i : ι) → (R i)[X]
i : ι
n : ℕ
⊢ ((RingHom.pi fun i ↦ mapRingHom (Pi.evalRingHom R i))
          { toFinsupp := ofCoeff (Finsupp.ofSupportFinite (fun n i ↦ (p i).coeff n) ⋯) } i).coeff
      n =
    (p i).coeff n
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Coeff

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p✝ : S[X]
p q : R[X]
⊢ ∃ a, map f a = map f p + map f q

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p✝ : S[X]
p q : R[X]
⊢ ∃ a, map f a = map f p + map f q
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hp : Monic D p
hq : Monic D q
⊢ leadingCoeff D p = 1

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hp : Monic D p
hq : Monic D q
⊢ leadingCoeff D p = 1
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
A : Type u_8
B : Type u_9
inst✝⁵ : AddMonoid A
inst✝⁴ : AddMonoid B
inst✝³ : LinearOrder B
inst✝² : OrderBot B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
D : A → B
p : R[A]
n : ℕ
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hD : Function.Injective D
hp : Monic D p
⊢ Monic D 1

Tactic:
;

Goal state after:
case zero
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
A : Type u_8
B : Type u_9
inst✝⁵ : AddMonoid A
inst✝⁴ : AddMonoid B
inst✝³ : LinearOrder B
inst✝² : OrderBot B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
D : A → B
p : R[A]
n : ℕ
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hD : Function.Injective D
hp : Monic D p
⊢ Monic D 1
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
A : Type u_8
B : Type u_9
inst✝⁵ : AddMonoid A
inst✝⁴ : AddMonoid B
inst✝³ : LinearOrder B
inst✝² : OrderBot B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
D : A → B
p : R[A]
n✝ : ℕ
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hD : Function.Injective D
hp : Monic D p
n : ℕ
ih : Monic D (p ^ n)
⊢ Monic D (p * p ^ n)

Tactic:
;

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
A : Type u_8
B : Type u_9
inst✝⁵ : AddMonoid A
inst✝⁴ : AddMonoid B
inst✝³ : LinearOrder B
inst✝² : OrderBot B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
D : A → B
p : R[A]
n✝ : ℕ
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hD : Function.Injective D
hp : Monic D p
n : ℕ
ih : Monic D (p ^ n)
⊢ Monic D (p * p ^ n)
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Degree

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
x : R
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 * x ^ n = 0

Tactic:
;

Goal state after:
case h
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
x : R
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 * x ^ n = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : R
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 * x ^ n = 0

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : R
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 * x ^ n = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
_hp : p ∈ ⊤
S : Subalgebra R R[X] := R[ X]
⊢ (p.sum fun n a ↦ (monomial n) a) ∈ S

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
_hp : p ∈ ⊤
S : Subalgebra R R[X] := R[ X]
⊢ (p.sum fun n a ↦ (monomial n) a) ∈ S
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
A : Type z
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x a : A
h : a ∈ R[x]
⊢ ∃ p, (aeval x) p = a

Tactic:
rw [Algebra.adjoin_singleton_eq_range_aeval] at h

Goal state after:
R : Type u
A : Type z
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x a : A
h : a ∈ (aeval x).range
⊢ ∃ p, (aeval x) p = a
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
r : R
n b : ℕ
a✝ : b ∈ range (p.natDegree + 1)
h : b ≠ n
⊢ p.coeff b * (r ^ b * if n = b then 1 else 0) = 0

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
r : R
n b : ℕ
a✝ : b ∈ range (p.natDegree + 1)
h : b ≠ n
⊢ p.coeff b * (r ^ b * if n = b then 1 else 0) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
e : R ≃+* S
x✝ : S[X]
n✝ : ℕ
⊢ (((mapRingHom ↑e).comp (mapRingHom ↑e.symm)) x✝).coeff n✝ = ((RingHom.id S[X]) x✝).coeff n✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
e : R ≃+* S
x✝ : S[X]
n✝ : ℕ
⊢ (((mapRingHom ↑e).comp (mapRingHom ↑e.symm)) x✝).coeff n✝ = ((RingHom.id S[X]) x✝).coeff n✝
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
e : R ≃+* S
x✝ : R[X]
n✝ : ℕ
⊢ (((mapRingHom ↑e.symm).comp (mapRingHom ↑e)) x✝).coeff n✝ = ((RingHom.id R[X]) x✝).coeff n✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
e : R ≃+* S
x✝ : R[X]
n✝ : ℕ
⊢ (((mapRingHom ↑e.symm).comp (mapRingHom ↑e)) x✝).coeff n✝ = ((RingHom.id R[X]) x✝).coeff n✝
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : f (leadingCoeff 0) = 0
hp₀ : map f 0 ≠ 0
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : f (leadingCoeff 0) = 0
hp₀ : map f 0 ≠ 0
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x (eval₂ C q (∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i))) =
    eval₂ f (eval₂ f x q) (∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i))

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x (eval₂ C q (∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i))) =
    eval₂ f (eval₂ f x q) (∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i))
Module: Mathlib.Algebra.Notation.Lemmas

Goal state before:
pp: case isTrue
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LE α
ha : ∀ (h : p), 1 ≤ a h
hb : ∀ (h : ¬p), 1 ≤ b h
h✝ : p
⊢ 1 ≤ a h✝

pp: case isFalse
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LE α
ha : ∀ (h : p), 1 ≤ a h
hb : ∀ (h : ¬p), 1 ≤ b h
h✝ : ¬p
⊢ 1 ≤ b h✝

Tactic:
;

Goal state after:
case isTrue
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LE α
ha : ∀ (h : p), 1 ≤ a h
hb : ∀ (h : ¬p), 1 ≤ b h
h✝ : p
⊢ 1 ≤ a h✝

case isFalse
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LE α
ha : ∀ (h : p), 1 ≤ a h
hb : ∀ (h : ¬p), 1 ≤ b h
h✝ : ¬p
⊢ 1 ≤ b h✝
Module: Mathlib.Algebra.Notation.Lemmas

Goal state before:
pp: case isTrue
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LE α
ha : ∀ (h : p), a h ≤ 1
hb : ∀ (h : ¬p), b h ≤ 1
h✝ : p
⊢ a h✝ ≤ 1

pp: case isFalse
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LE α
ha : ∀ (h : p), a h ≤ 1
hb : ∀ (h : ¬p), b h ≤ 1
h✝ : ¬p
⊢ b h✝ ≤ 1

Tactic:
;

Goal state after:
case isTrue
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LE α
ha : ∀ (h : p), a h ≤ 1
hb : ∀ (h : ¬p), b h ≤ 1
h✝ : p
⊢ a h✝ ≤ 1

case isFalse
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LE α
ha : ∀ (h : p), a h ≤ 1
hb : ∀ (h : ¬p), b h ≤ 1
h✝ : ¬p
⊢ b h✝ ≤ 1
Module: Mathlib.Algebra.Notation.Lemmas

Goal state before:
pp: case isTrue
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LT α
ha : ∀ (h : p), 1 < a h
hb : ∀ (h : ¬p), 1 < b h
h✝ : p
⊢ 1 < a h✝

pp: case isFalse
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LT α
ha : ∀ (h : p), 1 < a h
hb : ∀ (h : ¬p), 1 < b h
h✝ : ¬p
⊢ 1 < b h✝

Tactic:
;

Goal state after:
case isTrue
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LT α
ha : ∀ (h : p), 1 < a h
hb : ∀ (h : ¬p), 1 < b h
h✝ : p
⊢ 1 < a h✝

case isFalse
α : Type u_1
inst✝² : One α
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
a : p → α
b : ¬p → α
inst✝ : LT α
ha : ∀ (h : p), 1 < a h
hb : ∀ (h : ¬p), 1 < b h
h✝ : ¬p
⊢ 1 < b h✝