mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Slope

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
hg : MonotoneOn g s
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
⊢ 0 ≤ derivWithin g s x

pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
hg : MonotoneOn g s
hd : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
⊢ 0 ≤ derivWithin g s x

Tactic:
;

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
hg : MonotoneOn g s
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
⊢ 0 ≤ derivWithin g s x

case neg
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
hg : MonotoneOn g s
hd : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
⊢ 0 ≤ derivWithin g s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Slope

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
hg : MonotoneOn g s
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
hx : AccPt x (𝓟 s)
⊢ 0 ≤ derivWithin g s x

pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
hg : MonotoneOn g s
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
hx : ¬AccPt x (𝓟 s)
⊢ 0 ≤ derivWithin g s x

Tactic:
;

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
hg : MonotoneOn g s
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
hx : AccPt x (𝓟 s)
⊢ 0 ≤ derivWithin g s x

case neg
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
hg : MonotoneOn g s
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
hx : ¬AccPt x (𝓟 s)
⊢ 0 ≤ derivWithin g s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DSlope

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (dslope f a) s b ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b

Tactic:
refine ⟨DifferentiableWithinAt.of_dslope, fun hd => ?_⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (dslope f a) s b
Module: Mathlib.Topology.FiberBundle.IsHomeomorphicTrivialBundle

Goal state before:
pp: B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : Z ≃ₜ B × F
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F (Prod.fst ∘ ⇑e)
⊢ Continuous[inst✝, inst✝²] (Prod.fst ∘ ⇑e)

Tactic:
;

Goal state after:
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : Z ≃ₜ B × F
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F (Prod.fst ∘ ⇑e)
⊢ Continuous[inst✝, inst✝²] (Prod.fst ∘ ⇑e)
Module: Mathlib.Topology.FiberBundle.IsHomeomorphicTrivialBundle

Goal state before:
pp: B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : Z ≃ₜ B × F
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F (Prod.fst ∘ ⇑e)
⊢ IsOpenMap (Prod.fst ∘ ⇑e)

Tactic:
;

Goal state after:
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : Z ≃ₜ B × F
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F (Prod.fst ∘ ⇑e)
⊢ IsOpenMap (Prod.fst ∘ ⇑e)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : Finite ι
x : ι → 𝔸
this : Fintype ι
a : ι
l : List ι
IH :
  HasStrictFDerivAt (fun x ↦ (List.map x l).prod)
    (∑ i, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod •> (proj l[i] <• (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod)) x
x✝ : ι → 𝔸
⊢ ((proj a) x •> ∑ i, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod •> (proj l[i] <• (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod) +
        proj a <• (List.map x l).prod)
      x✝ =
    (∑ i,
        (List.map x (List.take (↑i) (a :: l))).prod •>
          (proj (a :: l)[i] <• (List.map x (List.drop (↑i).succ (a :: l))).prod))
      x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : Finite ι
x : ι → 𝔸
this : Fintype ι
a : ι
l : List ι
IH :
  HasStrictFDerivAt (fun x ↦ (List.map x l).prod)
    (∑ i, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod •> (proj l[i] <• (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod)) x
x✝ : ι → 𝔸
⊢ ((proj a) x •> ∑ i, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod •> (proj l[i] <• (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod) +
        proj a <• (List.map x l).prod)
      x✝ =
    (∑ i,
        (List.map x (List.take (↑i) (a :: l))).prod •>
          (proj (a :: l)[i] <• (List.map x (List.drop (↑i).succ (a :: l))).prod))
      x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
this : Fintype ι
| List.map (fun i ↦ (List.map x (l.erase i)).prod •> proj i) l

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
this : Fintype ι
| List.map (fun i ↦ (List.map x (l.erase i)).prod •> proj i) l
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
this : Fintype ι
| l

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
this : Fintype ι
| l
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
this : Fintype ι
i : Fin l.length
x✝¹ : i ∈ Finset.univ
x✝ : ι → 𝔸'
⊢ ((List.map x (List.take (↑i) l)).prod •> (proj l[↑i] <• (List.map x (List.drop (↑i + 1) l)).prod)) x✝ =
    (((List.map x (List.take (↑i) l)).prod * (List.map x (List.drop (↑i + 1) l)).prod) •> proj l[↑i]) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
this : Fintype ι
i : Fin l.length
x✝¹ : i ∈ Finset.univ
x✝ : ι → 𝔸'
⊢ ((List.map x (List.take (↑i) l)).prod •> (proj l[↑i] <• (List.map x (List.drop (↑i + 1) l)).prod)) x✝ =
    (((List.map x (List.take (↑i) l)).prod * (List.map x (List.drop (↑i + 1) l)).prod) •> proj l[↑i]) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
this : Fintype ι
i : Fin l.length
x✝¹ : i ∈ Finset.univ
x✝ : ι → 𝔸'
⊢ (List.map x (List.take (↑i) l)).prod * ((List.map x (List.drop (↑i + 1) l)).prod * (proj l[↑i]) x✝) =
    (List.map x (List.take (↑i) l)).prod * (List.map x (List.drop (↑i + 1) l)).prod * (proj l[↑i]) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
l : List ι
x : ι → 𝔸'
this : Fintype ι
i : Fin l.length
x✝¹ : i ∈ Finset.univ
x✝ : ι → 𝔸'
⊢ (List.map x (List.take (↑i) l)).prod * ((List.map x (List.drop (↑i + 1) l)).prod * (proj l[↑i]) x✝) =
    (List.map x (List.take (↑i) l)).prod * (List.map x (List.drop (↑i + 1) l)).prod * (proj l[↑i]) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
n : ℕ
z : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m ↦ z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0
hn : n > 0
h : ¬z = 0
⊢ z ^ n * ((z ^ n)⁻¹ * 1) = 1

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
n : ℕ
z : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m ↦ z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0
hn : n > 0
h : ¬z = 0
⊢ z ^ n * ((z ^ n)⁻¹ * 1) = 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasStrictFDerivAt (fun x ↦ g i x) (g' i) x
x✝ : E
⊢ ((Multiset.map (fun i ↦ (Multiset.map (fun i ↦ g (↑i) x) (u.attach.erase i)).prod •> proj i) u.attach).sum ∘SL
        pi fun i ↦ g' ↑i)
      x✝ =
    (Multiset.map
          ((fun x_1 ↦
              (Multiset.map (fun x_2 ↦ g x_2 x) ((Multiset.map Subtype.val u.attach).erase x_1)).prod •> g' x_1) ∘
            Subtype.val)
          u.attach).sum
      x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasStrictFDerivAt (fun x ↦ g i x) (g' i) x
x✝ : E
⊢ ((Multiset.map (fun i ↦ (Multiset.map (fun i ↦ g (↑i) x) (u.attach.erase i)).prod •> proj i) u.attach).sum ∘SL
        pi fun i ↦ g' ↑i)
      x✝ =
    (Multiset.map
          ((fun x_1 ↦
              (Multiset.map (fun x_2 ↦ g x_2 x) ((Multiset.map Subtype.val u.attach).erase x_1)).prod •> g' x_1) ∘
            Subtype.val)
          u.attach).sum
      x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAt (fun x ↦ g i x) (g' i) x
x✝ : E
⊢ ((Multiset.map (fun i ↦ (Multiset.map (fun i ↦ g (↑i) x) (u.attach.erase i)).prod •> proj i) u.attach).sum ∘SL
        pi fun i ↦ g' ↑i)
      x✝ =
    (Multiset.map
          ((fun x_1 ↦
              (Multiset.map (fun x_2 ↦ g x_2 x) ((Multiset.map Subtype.val u.attach).erase x_1)).prod •> g' x_1) ∘
            Subtype.val)
          u.attach).sum
      x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAt (fun x ↦ g i x) (g' i) x
x✝ : E
⊢ ((Multiset.map (fun i ↦ (Multiset.map (fun i ↦ g (↑i) x) (u.attach.erase i)).prod •> proj i) u.attach).sum ∘SL
        pi fun i ↦ g' ↑i)
      x✝ =
    (Multiset.map
          ((fun x_1 ↦
              (Multiset.map (fun x_2 ↦ g x_2 x) ((Multiset.map Subtype.val u.attach).erase x_1)).prod •> g' x_1) ∘
            Subtype.val)
          u.attach).sum
      x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' s' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hs : ∀ (x : 𝕜), h x ∈ s'
hy : y = h x
⊢ HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' s' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hs : ∀ (x : 𝕜), h x ∈ s'
hy : y = h x
⊢ HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' t' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : MapsTo h s t'
hy : y = h x
⊢ HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' t' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : MapsTo h s t'
hy : y = h x
⊢ HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasStrictDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasStrictDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasStrictDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
hy : y = h x
⊢ HasStrictDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hy : y = h x
⊢ HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hy : y = h x
⊢ HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivWithinAt (fun x ↦ g i x) (g' i) s x
x✝ : E
⊢ ((Multiset.map (fun i ↦ (Multiset.map (fun i ↦ g (↑i) x) (u.attach.erase i)).prod •> proj i) u.attach).sum ∘SL
        pi fun i ↦ g' ↑i)
      x✝ =
    (Multiset.map
          ((fun x_1 ↦
              (Multiset.map (fun x_2 ↦ g x_2 x) ((Multiset.map Subtype.val u.attach).erase x_1)).prod •> g' x_1) ∘
            Subtype.val)
          u.attach).sum
      x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivWithinAt (fun x ↦ g i x) (g' i) s x
x✝ : E
⊢ ((Multiset.map (fun i ↦ (Multiset.map (fun i ↦ g (↑i) x) (u.attach.erase i)).prod •> proj i) u.attach).sum ∘SL
        pi fun i ↦ g' ↑i)
      x✝ =
    (Multiset.map
          ((fun x_1 ↦
              (Multiset.map (fun x_2 ↦ g x_2 x) ((Multiset.map Subtype.val u.attach).erase x_1)).prod •> g' x_1) ∘
            Subtype.val)
          u.attach).sum
      x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
y : 𝕜'
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜' g₁ t' (h x)
hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x
hs : MapsTo h s t'
hy : y = h x
⊢ derivWithin (g₁ ∘ h) s x = derivWithin h s x • derivWithin g₁ t' (h x)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
y : 𝕜'
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜' g₁ t' (h x)
hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x
hs : MapsTo h s t'
hy : y = h x
⊢ derivWithin (g₁ ∘ h) s x = derivWithin h s x • derivWithin g₁ t' (h x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
y : 𝕜'
hg : DifferentiableAt 𝕜' g₁ (h x)
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
hy : y = h x
⊢ deriv (g₁ ∘ h) x = deriv h x • deriv g₁ (h x)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
h : 𝕜 → 𝕜'
g₁ : 𝕜' → F
y : 𝕜'
hg : DifferentiableAt 𝕜' g₁ (h x)
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
hy : y = h x
⊢ deriv (g₁ ∘ h) x = deriv h x • deriv g₁ (h x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
x : E
hg : ∀ i ∈ u, HasStrictFDerivAt (g i) (g' i) x
x✝ : E
⊢ ((∑ i ∈ u.attach, (∏ j ∈ u.attach.erase i, g (↑j) x) •> proj i) ∘SL pi fun i ↦ g' ↑i) x✝ =
    (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, g j x) •> g' i) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_5
𝔸' : Type u_7
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
x : E
hg : ∀ i ∈ u, HasStrictFDerivAt (g i) (g' i) x
x✝ : E
⊢ ((∑ i ∈ u.attach, (∏ j ∈ u.attach.erase i, g (↑j) x) •> proj i) ∘SL pi fun i ↦ g' ↑i) x✝ =
    (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, g j x) •> g' i) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasStrictDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hy : y = f x
⊢ HasStrictFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasStrictDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hy : y = f x
⊢ HasStrictFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasFDerivAt f f' x
hy : y = f x
⊢ HasFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasFDerivAt f f' x
hy : y = f x
⊢ HasFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
s : Set E
x : E
hh : HasDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hy : y = f x
⊢ HasFDerivWithinAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') s x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
s : Set E
x : E
hh : HasDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hy : y = f x
⊢ HasFDerivWithinAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') s x