mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
x : L
φ : Module.End R M := (toEnd R L M) x
y : L
k N : ℕ
m : M
hm : ∀ (i : ℕ), ∃ y, (φ ^ i) y = (φ ^ (N + k)) m
f₁ : Module.End R (L ⊗[R] M) := LinearMap.rTensor M ((LieAlgebra.ad R L) x)
f₂ : Module.End R (L ⊗[R] M) := LinearMap.lTensor L φ
hN : f₁ ^ N = 0
h₁ : Commute f₁ f₂
x✝¹ : L
x✝ : M
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (φ ∘ₗ ↑(toModuleHom R L M))) x✝¹) x✝ =
    ((AlgebraTensorModule.curry (↑(toModuleHom R L M) ∘ₗ (f₁ + f₂))) x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
x : L
φ : Module.End R M := (toEnd R L M) x
y : L
k N : ℕ
m : M
hm : ∀ (i : ℕ), ∃ y, (φ ^ i) y = (φ ^ (N + k)) m
f₁ : Module.End R (L ⊗[R] M) := LinearMap.rTensor M ((LieAlgebra.ad R L) x)
f₂ : Module.End R (L ⊗[R] M) := LinearMap.lTensor L φ
hN : f₁ ^ N = 0
h₁ : Commute f₁ f₂
x✝¹ : L
x✝ : M
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (φ ∘ₗ ↑(toModuleHom R L M))) x✝¹) x✝ =
    ((AlgebraTensorModule.curry (↑(toModuleHom R L M) ∘ₗ (f₁ + f₂))) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
x : L
⊢ posFittingCompOf R M x ≤ ⨆ x, posFittingCompOf R M x

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
x : L
⊢ posFittingCompOf R M x ≤ ⨆ x, posFittingCompOf R M x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: L : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L
K : Type u_4
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
m✝ : L
⊢ m✝ ∈ genWeightSpace L ⇑α ↔ m✝ ∈ H.toLieSubmodule

Tactic:
;

Goal state after:
L : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L
K : Type u_4
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
m✝ : L
⊢ m✝ ∈ genWeightSpace L ⇑α ↔ m✝ ∈ H.toLieSubmodule
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M
hm : m ∈ genWeightSpace M χ
x : L
x✝ : M
⊢ (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ∘ₗ ↑f) x✝ = (↑f ∘ₗ ((toEnd R L M) x - χ x • 1)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M
hm : m ∈ genWeightSpace M χ
x : L
x✝ : M
⊢ (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ∘ₗ ↑f) x✝ = (↑f ∘ₗ ((toEnd R L M) x - χ x • 1)) x✝
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
m : M
hm : ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0
x : L
x✝ : M
⊢ (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ∘ₗ ↑f) x✝ = (↑f ∘ₗ ((toEnd R L M) x - χ x • 1)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
m : M
hm : ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0
x : L
x✝ : M
⊢ (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ∘ₗ ↑f) x✝ = (↑f ∘ₗ ((toEnd R L M) x - χ x • 1)) x✝
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
m : M
hm : ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0
x : L
h : ((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ ((toEnd R L M) x - χ x • 1)
k : ℕ
hk : (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0
this : f ((((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m) = f 0
⊢ (((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
m : M
hm : ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0
x : L
h : ((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ ((toEnd R L M) x - χ x • 1)
k : ℕ
hk : (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0
this : f ((((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m) = f 0
⊢ (((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Properties

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
x✝¹ : B.IsSymm
h : ∀ (x y : M), (B x) y = (B y) x
x✝ y✝ : M
⊢ ((flipHom B) x✝) y✝ = (B x✝) y✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
x✝¹ : B.IsSymm
h : ∀ (x y : M), (B x) y = (B y) x
x✝ y✝ : M
⊢ ((flipHom B) x✝) y✝ = (B x✝) y✝
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝ : IsAddTorsionFree L
i : ι
this : NoZeroSMulDivisors ℤ L
⊢ b.A i i • b.e i - b.A i i • b.e i = 0

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝ : IsAddTorsionFree L
i : ι
this : NoZeroSMulDivisors ℤ L
⊢ b.A i i • b.e i - b.A i i • b.e i = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
⊢ genWeightSpace M 0 ≤ M₀ₓ.incl.range

Tactic:
LieSubmodule.range_incl

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
⊢ genWeightSpace M 0 ≤ M₀ₓ
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
h₃ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀ = M₀
⊢ IsCompl M₀ M₁

Tactic:
have h₄ : M₀ₓ₁.map M₀ₓ.incl ⊔ M₁ₓ = M₁ := by
      apply le_antisymm <| sup_le_iff.mpr
        ⟨map_posFittingComp_le _, posFittingCompOf_le_posFittingComp R L M x⟩
      rw [← posFittingComp_map_incl_sup_of_codisjoint h₁.codisjoint]
      exact sup_le_sup_left LieSubmodule.map_incl_le _

Goal state after:
case inr
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
h₃ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀ = M₀
h₄ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₁ ⊔ M₁ₓ = M₁
⊢ IsCompl M₀ M₁
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case mem.smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x y : L
i : ι
t : R
v : L
hx✝ : v ∈ Submodule.span R (range b.h)
hv : ⁅v, b.e i⁆ ∈ lieSpan R L (range b.e)
⊢ ⁅t • v, b.e i⁆ ∈ lieSpan R L (range b.e)

Tactic:
| smul t v _ hv =>

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case mem
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x y : L
hx : x ∈ Submodule.span R (range b.h)
i : ι
⊢ ⁅x, b.e i⁆ ∈ lieSpan R L (range b.e)

Tactic:
induction hx using Submodule.span_induction with

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x y : L
hx : x ∈ H
hy : y ∈ lieSpan R L (range b.e)
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ lieSpan R L (range b.e)

Tactic:
induction hy using lieSpan_induction with
  | mem u hu =>
    obtain ⟨i, rfl⟩ := hu
    rw [← mem_toSubmodule, b.coe_cartan_eq_span] at hx
    induction hx using Submodule.span_induction with
    | mem v hv =>
      obtain ⟨j, rfl⟩ := hv
      rw [b.lie_h_e]
      apply zsmul_mem <| subset_lieSpan <| mem_range_self i
    | zero => simp
    | add v w _ _ hv hw => simpa using add_mem hv hw
    | smul t v _ hv => simpa using LieSubalgebra.smul_mem _ t hv
  | zero => simp
  | add u v _ _ hu hv => simpa using add_mem hu hv
  | smul t u _ hu => simpa using LieSubalgebra.smul_mem _ t hu
  | lie u v hu hv hu' hv' =>
    rw [leibniz_lie, ← lie_skew _ v, neg_add_eq_sub]
    exact sub_mem (LieSubalgebra.lie_mem _ hu hv') (LieSubalgebra.lie_mem _ hv hu')

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: case inr.hcomp
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
h₃ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀ = M₀
h₄ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₁ ⊔ M₁ₓ = M₁
⊢ IsCompl M₀ₓ.incl.range M₁ₓ

Tactic:
LieSubmodule.range_incl

Goal state after:
case inr.hcomp
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
h₃ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀ = M₀
h₄ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₁ ⊔ M₁ₓ = M₁
⊢ IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case add
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y z : L
hy : y ∈ lieSpan R L (range b.e)
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
i : ι
x u v : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.f)
hy✝ : v ∈ lieSpan R L (range b.f)
hu : ⁅b.e i, u⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
hv : ⁅b.e i, v⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
⊢ ⁅b.e i, u⁆ + ⁅b.e i, v⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower

Tactic:
;

Goal state after:
case add
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y z : L
hy : y ∈ lieSpan R L (range b.e)
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
i : ι
x u v : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.f)
hy✝ : v ∈ lieSpan R L (range b.f)
hu : ⁅b.e i, u⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
hv : ⁅b.e i, v⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
⊢ ⁅b.e i, u⁆ + ⁅b.e i, v⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y z : L
hy : y ∈ lieSpan R L (range b.e)
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
i : ι
x : L
t : R
u : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.f)
hu : ⁅b.e i, u⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
⊢ t • ⁅b.e i, u⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower

Tactic:
;

Goal state after:
case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y z : L
hy : y ∈ lieSpan R L (range b.e)
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
i : ι
x : L
t : R
u : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.f)
hu : ⁅b.e i, u⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
⊢ t • ⁅b.e i, u⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
x : V
hx₁ : (B x) x ≠ 0
this : x = 0
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
x : V
hx₁ : (B x) x ≠ 0
this : x = 0
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ B.orthogonal ⊥ ↔ x✝ ∈ ⊤

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ B.orthogonal ⊥ ↔ x✝ ∈ ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
hB : B.IsRefl
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ B.orthogonal ⊤ ↔ x✝ ∈ ker B

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
hB : B.IsRefl
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ B.orthogonal ⊤ ↔ x✝ ∈ ker B
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
x : V
⊢ x ∈ Submodule.map (Submodule.subtype W) (domRestrict B W).ker ↔ x ∈ W ⊓ ker B

Tactic:
;

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
x : V
⊢ x ∈ Submodule.map (Submodule.subtype W) (domRestrict B W).ker ↔ x ∈ W ⊓ ker B
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
x : V
⊢ x ∈ (domRestrict B W).range.dualCoannihilator ↔ x ∈ B.orthogonal W

Tactic:
;

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
x : V
⊢ x ∈ (domRestrict B W).range.dualCoannihilator ↔ x ∈ B.orthogonal W
Module: Mathlib.Order.BooleanGenerators

Goal state before:
pp: case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
a b : α
hbC : b ∈ C
hb : IsCompactElement b
hbS : b ≤ sSup S
haT : a ∈ T b hb hbS
⊢ b ≤ sSup C

Tactic:
exact le_sSup hbC

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.BooleanGenerators

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
Ta : Set α
hTa : Ta ⊆ S
Tb : Set α
hTb : Tb ⊆ S
Tc : Set α
hTc : Tc ⊆ S
⊢ (Ta ∪ Tb) ∩ (Ta ∪ Tc) = Ta ∪ Tb ∩ Tc

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
Ta : Set α
hTa : Ta ⊆ S
Tb : Set α
hTb : Tb ⊆ S
Tc : Set α
hTc : Tc ⊆ S
⊢ (Ta ∪ Tb) ∩ (Ta ∪ Tc) = Ta ∪ Tb ∩ Tc
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Linear

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : Weight R L M
h : χ.IsZero
x✝ : L
⊢ (toLinear R L M χ) x✝ = 0 x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : Weight R L M
h : χ.IsZero
x✝ : L
⊢ (toLinear R L M χ) x✝ = 0 x✝
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
y : ↥I
hy : y ∈ ↑↑J
a : L
ha : a ∈ I
b : L
hb : b ∈ sSup ({I' | IsAtom I'} \ {I})
this : ⁅b, ↑y⁆ = 0
⊢ 0 ∈ Submodule.map ↑I.incl ↑J

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
y : ↥I
hy : y ∈ ↑↑J
a : L
ha : a ∈ I
b : L
hb : b ∈ sSup ({I' | IsAtom I'} \ {I})
this : ⁅b, ↑y⁆ = 0
⊢ 0 ∈ Submodule.map ↑I.incl ↑J
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
x : m.ToType
this : ↑x.snd < count x.fst m
⊢ 0 < count x.fst m

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
x : m.ToType
this : ↑x.snd < count x.fst m
⊢ 0 < count x.fst m
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
a : α
⊢ count a (map Prod.fst m.toEnumFinset.val) = count a m

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
a : α
⊢ count a (map Prod.fst m.toEnumFinset.val) = count a m
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
⊢ ∀ (a : α), count a (map Prod.fst s.val) ≤ count a m

Tactic:
count_map

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
⊢ ∀ (a : α), (filter (fun a_1 ↦ a = a_1.1) s.val).card ≤ count a m
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case add
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
⊢ ⁅u, z⁆ + ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
;

Goal state after:
case add
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
⊢ ⁅u, z⁆ + ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper