mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: case h'
n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn : n + 1 ≥ 2
hn2 : 2 * (n + 1) ≥ Nat.card α
a : α
ha✝ : a ∈ sᶜ
b : α
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
g : G
hga : a ∈ g • sᶜ
hgb : b ∉ g • sᶜ
t : Set α := s ∩ g • s
ha : a ∉ s ∪ g • s
⊢ Nat.card α ≤ 2 * (n + 1)

Tactic:
;

Goal state after:
case h'
n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn : n + 1 ≥ 2
hn2 : 2 * (n + 1) ≥ Nat.card α
a : α
ha✝ : a ∈ sᶜ
b : α
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
g : G
hga : a ∈ g • sᶜ
hgb : b ∉ g • sᶜ
t : Set α := s ∩ g • s
ha : a ∉ s ∪ g • s
⊢ Nat.card α ≤ 2 * (n + 1)
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: α : Type u_2
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∉ s
h : stabilizer (Perm α) s = ⊤
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_2
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∉ s
h : stabilizer (Perm α) s = ⊤
⊢ False
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
a b c : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hc : c ∈ s
hab : a ≠ b
hac : a ≠ c
hbc : b ≠ c
⊢ s ⊆ (swap a b * swap a c) • s

Tactic:
subset_smul_set_iff

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
a b c : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hc : c ∈ s
hab : a ≠ b
hac : a ≠ c
hbc : b ≠ c
⊢ (swap a b * swap a c)⁻¹ • s ⊆ s
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn : n + 1 ≥ 2
hn2 : 2 * (n + 1) ≥ Nat.card α
a : α
ha✝ : a ∈ sᶜ
b : α
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
g : G
hga : a ∈ g • sᶜ
hgb : b ∉ g • sᶜ
t : Set α := s ∩ g • s
ha : a ∉ s ∪ g • s
h : s ∪ g • s = Set.univ
⊢ a ∈ Set.univ

Tactic:
;

Goal state after:
n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn : n + 1 ≥ 2
hn2 : 2 * (n + 1) ≥ Nat.card α
a : α
ha✝ : a ∈ sᶜ
b : α
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
g : G
hga : a ∈ g • sᶜ
hgb : b ∉ g • sᶜ
t : Set α := s ∩ g • s
ha : a ∉ s ∪ g • s
h : s ∪ g • s = Set.univ
⊢ a ∈ Set.univ
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ sᶜ
b : α
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
⊢ a ≠ b ∧ _root_.Disjoint s ↑(swap a b).support

Tactic:
;

Goal state after:
case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ sᶜ
b : α
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
⊢ a ≠ b ∧ _root_.Disjoint s ↑(swap a b).support
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
hs : sᶜ.Nontrivial
k : Perm α
hk_swap : k.IsSwap
hk_support : _root_.Disjoint s ↑k.support
hks : k • s = s
g : Perm ↑s
hsg : sign g = -1
x : ↑s
⊢ ↑((toPerm ⟨⟨Perm.ofSubtype g * k, ⋯⟩, ⋯⟩) x) = ↑(g x)

Tactic:
suffices k x = x by simp [this]

Goal state after:
case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
hs : sᶜ.Nontrivial
k : Perm α
hk_swap : k.IsSwap
hk_support : _root_.Disjoint s ↑k.support
hks : k • s = s
g : Perm ↑s
hsg : sign g = -1
x : ↑s
⊢ k ↑x = ↑x
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
G : Subgroup (Perm α)
hG : stabilizer (Perm α) s < G
this : ∀ (t : Set α), 1 < t.encard → ∃ g, g.IsSwap ∧ g ∈ stabilizer (Perm α) t
h1' : s.encard ≤ 1
h1c' : sᶜ.encard ≤ 1
hα✝ : univ.encard = 2
x✝ : Finite α
hα : Nat.card α = 2
hα2 : Fact (Nat.Prime (Nat.card (Perm α)))
h : G = ⊥
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
case inr.inr.inl
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
G : Subgroup (Perm α)
hG : stabilizer (Perm α) s < G
this : ∀ (t : Set α), 1 < t.encard → ∃ g, g.IsSwap ∧ g ∈ stabilizer (Perm α) t
h1' : s.encard ≤ 1
h1c' : sᶜ.encard ≤ 1
hα✝ : univ.encard = 2
x✝ : Finite α
hα : Nat.card α = 2
hα2 : Fact (Nat.Prime (Nat.card (Perm α)))
h : G = ⊥
⊢ False
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ sᶜ
c : α
hc : c ∈ sᶜ
hbc : b ≠ c
this : stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s = ⊤
⊢ ∀ (g : ↥(alternatingGroup α)), g ∈ stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ sᶜ
c : α
hc : c ∈ sᶜ
hbc : b ≠ c
this : stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s = ⊤
⊢ ∀ (g : ↥(alternatingGroup α)), g ∈ stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
t : Set ↥(ofStabilizer G a)
left✝ : a ∈ s
hst : s = insert a (Subtype.val '' t)
h : a ∈ Subtype.val '' t
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
t : Set ↥(ofStabilizer G a)
left✝ : a ∈ s
hst : s = insert a (Subtype.val '' t)
h : a ∈ Subtype.val '' t
⊢ False
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
t : Set ↥(ofStabilizer G a)
left✝ : a ∈ s
hst : s = insert a (Subtype.val '' t)
h : ∃ x ∈ t, ↑x = a
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
t : Set ↥(ofStabilizer G a)
left✝ : a ∈ s
hst : s = insert a (Subtype.val '' t)
h : ∃ x ∈ t, ↑x = a
⊢ False
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
t : Set ↥(ofStabilizer G a)
left✝ : a ∈ s
hst : s = insert a (Subtype.val '' t)
x : ↥(ofStabilizer G a)
hx : x ∈ t ∧ ↑x = a
⊢ ↑x ∈ {a}

Tactic:
;

Goal state after:
n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
t : Set ↥(ofStabilizer G a)
left✝ : a ∈ s
hst : s = insert a (Subtype.val '' t)
x : ↥(ofStabilizer G a)
hx : x ∈ t ∧ ↑x = a
⊢ ↑x ∈ {a}
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
t : Set ↥(ofStabilizer G a)
left✝ : a ∈ s
hst : s = insert a (Subtype.val '' t)
x : ↥(ofStabilizer G a)
hx : x ∈ t ∧ ↑x = a
⊢ a ∈ {a}

Tactic:
;

Goal state after:
n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
t : Set ↥(ofStabilizer G a)
left✝ : a ∈ s
hst : s = insert a (Subtype.val '' t)
x : ↥(ofStabilizer G a)
hx : x ∈ t ∧ ↑x = a
⊢ a ∈ {a}
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
B : Set α
G : Subgroup M
hB : IsBlock (↥G) B
inst✝ : IsPreprimitive ↥(stabilizer (↥G) B) ↑B
hB_not_le_sc : ∀ (B_1 : Set α), IsBlock (↥G) B_1 → B_1 ⊆ Bᶜ → B_1.Subsingleton
hG : stabilizer M B < G
hBs : B ⊆ B
hB' : Subtype.val ⁻¹' B = Set.univ
g' : M
hg' : g' ∈ G
hg's : g' ∉ stabilizer M B
h : _root_.Disjoint (⟨g', hg'⟩ • B) B
this : (g' • B).Subsingleton
⊢ B.Subsingleton

Tactic:
exact subsingleton_of_image (MulAction.injective g') B this

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: case succ
n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
⊢ 0 < n + 1 + 1

Tactic:
;

Goal state after:
case succ
n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
⊢ 0 < n + 1 + 1
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.SubMulAction.Combination

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝³ : Group G
α : Type u_2
inst✝² : MulAction G α
n : ℕ
s✝ t : ↑(powersetCard α n)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
m : ℕ
hm : m + n = Fintype.card α
g : G
s : ↑(powersetCard α n)
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ ↑((compl hm) (g • s)) ↔ a✝ ∈ ↑(id g • (compl hm) s)

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
α : Type u_2
inst✝² : MulAction G α
n : ℕ
s✝ t : ↑(powersetCard α n)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
m : ℕ
hm : m + n = Fintype.card α
g : G
s : ↑(powersetCard α n)
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ ↑((compl hm) (g • s)) ↔ a✝ ∈ ↑(id g • (compl hm) s)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupExtension.Basic

Goal state before:
pp: N : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
E : Type u_3
inst✝ : Group E
S : GroupExtension N E G
s₁ s₂ : S.Splitting
n : N
hn : ⇑s₁ = fun g ↦ S.inl n * s₂ g * (S.inl n)⁻¹
⊢ ⇑s₂ = fun g ↦ (S.inl n)⁻¹ * (S.inl n * s₂ g * (S.inl n)⁻¹) * (S.inl n)⁻¹⁻¹

Tactic:
;

Goal state after:
N : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
E : Type u_3
inst✝ : Group E
S : GroupExtension N E G
s₁ s₂ : S.Splitting
n : N
hn : ⇑s₁ = fun g ↦ S.inl n * s₂ g * (S.inl n)⁻¹
⊢ ⇑s₂ = fun g ↦ (S.inl n)⁻¹ * (S.inl n * s₂ g * (S.inl n)⁻¹) * (S.inl n)⁻¹⁻¹
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupExtension.Basic

Goal state before:
pp: N : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
E : Type u_3
inst✝ : Group E
S : GroupExtension N E G
s₁ s₂ s₃ : S.Splitting
n₁ : N
hn₁ : ⇑s₁ = fun g ↦ S.inl n₁ * s₂ g * (S.inl n₁)⁻¹
n₂ : N
hn₂ : ⇑s₂ = fun g ↦ S.inl n₂ * s₃ g * (S.inl n₂)⁻¹
⊢ (fun g ↦ S.inl n₁ * (S.inl n₂ * s₃ g * (S.inl n₂)⁻¹) * (S.inl n₁)⁻¹) = fun g ↦
    S.inl n₁ * S.inl n₂ * s₃ g * (S.inl n₁ * S.inl n₂)⁻¹

Tactic:
;

Goal state after:
N : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
E : Type u_3
inst✝ : Group E
S : GroupExtension N E G
s₁ s₂ s₃ : S.Splitting
n₁ : N
hn₁ : ⇑s₁ = fun g ↦ S.inl n₁ * s₂ g * (S.inl n₁)⁻¹
n₂ : N
hn₂ : ⇑s₂ = fun g ↦ S.inl n₂ * s₃ g * (S.inl n₂)⁻¹
⊢ (fun g ↦ S.inl n₁ * (S.inl n₂ * s₃ g * (S.inl n₂)⁻¹) * (S.inl n₁)⁻¹) = fun g ↦
    S.inl n₁ * S.inl n₂ * s₃ g * (S.inl n₁ * S.inl n₂)⁻¹
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: case inr.hsn'
α : Type u_1
G : Subgroup (Perm α)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
hG : IsPreprimitive (↥G) α
g : Perm α
h2g : g.IsSwap
hg : g ∈ G
this : Fintype α
hα3 : Nat.card α ≥ 3
n : ℕ
hn : Nat.card α = n + 3
hsc : (↑g.support)ᶜ.ncard = n + 1
⊢ n + 2 < n + 3

Tactic:
;

Goal state after:
case inr.hsn'
α : Type u_1
G : Subgroup (Perm α)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
hG : IsPreprimitive (↥G) α
g : Perm α
h2g : g.IsSwap
hg : g ∈ G
this : Fintype α
hα3 : Nat.card α ≥ 3
n : ℕ
hn : Nat.card α = n + 3
hsc : (↑g.support)ᶜ.ncard = n + 1
⊢ n + 2 < n + 3
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.DivPairs

Goal state before:
pp: M : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : CommGroup H
f : ⊤.LocalizationMap G
g : ⊤.LocalizationMap H
s : Submonoid G
x✝ : M × M
⊢ x✝ ∈ divPairs g (comap (g.mulEquivOfLocalizations f).toMonoidHom s) ↔ x✝ ∈ divPairs f s

Tactic:
;

Goal state after:
M : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : CommGroup H
f : ⊤.LocalizationMap G
g : ⊤.LocalizationMap H
s : Submonoid G
x✝ : M × M
⊢ x✝ ∈ divPairs g (comap (g.mulEquivOfLocalizations f).toMonoidHom s) ↔ x✝ ∈ divPairs f s
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
⊢ Group (HNNExtension.con G A B φ).Quotient

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
⊢ Group (HNNExtension.con G A B φ).Quotient
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
b : ↥B
⊢ of ↑b * t = of ↑(φ (φ.symm b)) * t

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
b : ↥B
⊢ of ↑b * t = of ↑(φ (φ.symm b)) * t
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
a : ↥A
⊢ of ↑(φ a) = of ↑(φ a) * t * t⁻¹

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
a : ↥A
⊢ of ↑(φ a) = of ↑(φ a) * t * t⁻¹
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
b : ↥B
⊢ of ↑(φ.symm b) = t⁻¹ * (t * of ↑(φ.symm b))

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
b : ↥B
⊢ of ↑(φ.symm b) = t⁻¹ * (t * of ↑(φ.symm b))
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
b : ↥B
⊢ t⁻¹ * of ↑b = t⁻¹ * of ↑b * t * t⁻¹

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
b : ↥B
⊢ t⁻¹ * of ↑b = t⁻¹ * of ↑b * t * t⁻¹
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
a : ↥A
⊢ of ↑a * t⁻¹ = t⁻¹ * (t * of ↑a * t⁻¹)

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
a : ↥A
⊢ of ↑a * t⁻¹ = t⁻¹ * (t * of ↑a * t⁻¹)
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
a : ↥A
⊢ of ↑a * t⁻¹ = t⁻¹ * of ↑(φ a)

Tactic:
by
  rw [equiv_eq_conj]; simp [mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
x : H
hx : ∀ (a : ↥A), x * f ↑a = f ↑(φ a) * x
⊢ (lift f x hx) t = x

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
x : H
hx : ∀ (a : ↥A), x * f ↑a = f ↑(φ a) * x
⊢ (lift f x hx) t = x
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
x : H
hx : ∀ (a : ↥A), x * f ↑a = f ↑(φ a) * x
g : G
⊢ (lift f x hx) (of g) = f g

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
x : H
hx : ∀ (a : ↥A), x * f ↑a = f ↑(φ a) * x
g : G
⊢ (lift f x hx) (of g) = f g
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := { carrier := Set.ofPred motive, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
a : ↥A
⊢ ⟨HNNExtension.t, t⟩ * (HNNExtension.of.codRestrict S of) ↑a =
    (HNNExtension.of.codRestrict S of) ↑(φ a) * ⟨HNNExtension.t, t⟩

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := { carrier := Set.ofPred motive, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
a : ↥A
⊢ ⟨HNNExtension.t, t⟩ * (HNNExtension.of.codRestrict S of) ↑a =
    (HNNExtension.of.codRestrict S of) ↑(φ a) * ⟨HNNExtension.t, t⟩
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := ⋯
a : ↥A
⊢ ↑(⟨HNNExtension.t, t⟩ * (HNNExtension.of.codRestrict S of) ↑a) =
    ↑((HNNExtension.of.codRestrict S of) ↑(φ a) * ⟨HNNExtension.t, t⟩)

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := ⋯
a : ↥A
⊢ ↑(⟨HNNExtension.t, t⟩ * (HNNExtension.of.codRestrict S of) ↑a) =
    ↑((HNNExtension.of.codRestrict S of) ↑(φ a) * ⟨HNNExtension.t, t⟩)