mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)

Tactic:
exfalso
    have h₁₂ : (r₁ : k) • (p₂ -ᵥ p₁) + r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃} := by
      rw [hr₁, hr₂, add_comm, vsub_add_vsub_cancel, ← neg_vsub_eq_vsub_rev, neg_mem_iff, ← hr₃]
      exact smul_vsub_mem_vectorSpan_pair _ _ _
    have h₁₁ : (r₁ : k) • (p₂ -ᵥ p₁) + (r₁ : k) • (p₃ -ᵥ p₂) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃} := by
      rw [add_comm, ← smul_add, vsub_add_vsub_cancel]
      exact smul_vsub_rev_mem_vectorSpan_pair _ _ _
    have h₂₁ : (r₂ - r₁) • (p₃ -ᵥ p₂) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃} := by
      simpa [sub_smul] using sub_mem h₁₂ h₁₁
    rw [Submodule.smul_mem_iff _ (by rwa [sub_ne_zero, ne_comm]), ← direction_affineSpan,
      vsub_left_mem_direction_iff_mem (right_mem_affineSpan_pair _ _ _)] at h₂₁
    exact h₂ h₂₁

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Pointwise

Goal state before:
pp: k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
v : V
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ v +ᵥ ⊥ ↔ x✝ ∈ ⊥

Tactic:
;

Goal state after:
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
v : V
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ v +ᵥ ⊥ ↔ x✝ ∈ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Pointwise

Goal state before:
pp: k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
v : V
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ v +ᵥ ⊤ ↔ x✝ ∈ ⊤

Tactic:
;

Goal state after:
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
v : V
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ v +ᵥ ⊤ ↔ x✝ ∈ ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Pointwise

Goal state before:
pp: M : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DistribSMul M V
inst✝ : SMulCommClass M k V
a : M
x✝ : V
⊢ x✝ ∈ a • ⊥ ↔ x✝ ∈ ⊥

Tactic:
;

Goal state after:
M : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DistribSMul M V
inst✝ : SMulCommClass M k V
a : M
x✝ : V
⊢ x✝ ∈ a • ⊥ ↔ x✝ ∈ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Pointwise

Goal state before:
pp: M : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M V
inst✝ : SMulCommClass M k V
a : M
ha : IsUnit a
x : V
⊢ x ∈ a • ⊤ ↔ x ∈ ⊤

Tactic:
;

Goal state after:
M : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M V
inst✝ : SMulCommClass M k V
a : M
ha : IsUnit a
x : V
⊢ x ∈ a • ⊤ ↔ x ∈ ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Pointwise

Goal state before:
pp: k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
a : k
ha : a ≠ 0
s : AffineSubspace k V
x✝ : V
⊢ (DistribSMul.toLinearMap k V a) x✝ = (a • LinearMap.id) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
a : k
ha : a ≠ 0
s : AffineSubspace k V
x✝ : V
⊢ (DistribSMul.toLinearMap k V a) x✝ = (a • LinearMap.id) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: case mk
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
g : AffineBasis ι k P
toFun✝ : ι → P
ind'✝ : AffineIndependent k toFun✝
tot'✝ : affineSpan k (range toFun✝) = ⊤
h : { toFun := toFun✝, ind' := ind'✝, tot' := tot'✝ }.toFun = g.toFun
⊢ { toFun := toFun✝, ind' := ind'✝, tot' := tot'✝ } = g

Tactic:
;

Goal state after:
case mk
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
g : AffineBasis ι k P
toFun✝ : ι → P
ind'✝ : AffineIndependent k toFun✝
tot'✝ : affineSpan k (range toFun✝) = ⊤
h : { toFun := toFun✝, ind' := ind'✝, tot' := tot'✝ }.toFun = g.toFun
⊢ { toFun := toFun✝, ind' := ind'✝, tot' := tot'✝ } = g
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: case mk.mk
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
toFun✝¹ : ι → P
ind'✝¹ : AffineIndependent k toFun✝¹
tot'✝¹ : affineSpan k (range toFun✝¹) = ⊤
toFun✝ : ι → P
ind'✝ : AffineIndependent k toFun✝
tot'✝ : affineSpan k (range toFun✝) = ⊤
h : { toFun := toFun✝¹, ind' := ind'✝¹, tot' := tot'✝¹ }.toFun = { toFun := toFun✝, ind' := ind'✝, tot' := tot'✝ }.toFun
⊢ { toFun := toFun✝¹, ind' := ind'✝¹, tot' := tot'✝¹ } = { toFun := toFun✝, ind' := ind'✝, tot' := tot'✝ }

Tactic:
;

Goal state after:
case mk.mk
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
toFun✝¹ : ι → P
ind'✝¹ : AffineIndependent k toFun✝¹
tot'✝¹ : affineSpan k (range toFun✝¹) = ⊤
toFun✝ : ι → P
ind'✝ : AffineIndependent k toFun✝
tot'✝ : affineSpan k (range toFun✝) = ⊤
h : { toFun := toFun✝¹, ind' := ind'✝¹, tot' := tot'✝¹ }.toFun = { toFun := toFun✝, ind' := ind'✝, tot' := tot'✝ }.toFun
⊢ { toFun := toFun✝¹, ind' := ind'✝¹, tot' := tot'✝¹ } = { toFun := toFun✝, ind' := ind'✝, tot' := tot'✝ }
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : x ∈ p.ball 0 r₂
⊢ x ∈ a • p.ball 0 r₁

Tactic:
rw [smul_ball_zero (norm_pos_iff.1 <| hr₀.trans_le ha), p.mem_ball_zero]

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : x ∈ p.ball 0 r₂
⊢ p x < ‖a‖ * r₁
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
v w : V
x✝ : ι
⊢ -(b.basisOf x✝).sumCoords (v + w) = ((fun i ↦ -(b.basisOf i).sumCoords v) + fun i ↦ -(b.basisOf i).sumCoords w) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
v w : V
x✝ : ι
⊢ -(b.basisOf x✝).sumCoords (v + w) = ((fun i ↦ -(b.basisOf i).sumCoords v) + fun i ↦ -(b.basisOf i).sumCoords w) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
t : k
v : V
x✝ : ι
⊢ -(b.basisOf x✝).sumCoords (t • v) = ((RingHom.id k) t • fun i ↦ -(b.basisOf i).sumCoords v) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
t : k
v : V
x✝ : ι
⊢ -(b.basisOf x✝).sumCoords (t • v) = ((RingHom.id k) t • fun i ↦ -(b.basisOf i).sumCoords v) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
p : P
v : V
x✝ : ι
⊢ (b.coord x✝) (v +ᵥ p) =
    ({ toFun := fun v i ↦ -(b.basisOf i).sumCoords v, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } v +ᵥ fun i ↦ (b.coord i) p) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
p : P
v : V
x✝ : ι
⊢ (b.coord x✝) (v +ᵥ p) =
    ({ toFun := fun v i ↦ -(b.basisOf i).sumCoords v, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } v +ᵥ fun i ↦ (b.coord i) p) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
hr : r ≤ 0
⊢ 0 < ‖1‖ ∧ ‖1‖ * r < ε

Tactic:
;

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hp : p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
hr : r ≤ 0
⊢ 0 < ‖1‖ ∧ ‖1‖ * r < ε
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
G : Type u_3
k : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G k V
a : G
b : AffineBasis ι k V
i : ι
j : { j // j ≠ i }
⊢ ((a • b).basisOf i) j = (a • b.basisOf i) j

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
G : Type u_3
k : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G k V
a : G
b : AffineBasis ι k V
i : ι
j : { j // j ≠ i }
⊢ ((a • b).basisOf i) j = (a • b.basisOf i) j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
G : Type u_3
k : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G k V
a : G
b : AffineBasis ι k V
i : ι
v : V
⊢ ((a • b).coord i) v = ((b.coord i).comp (↑(DistribMulAction.toLinearEquiv k V a).symm).toAffineMap) v

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
G : Type u_3
k : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G k V
a : G
b : AffineBasis ι k V
i : ι
v : V
⊢ ((a • b).coord i) v = ((b.coord i).comp (↑(DistribMulAction.toLinearEquiv k V a).symm).toAffineMap) v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
h :
  ∀ (w1 w2 : ι → k),
    ∑ i, w1 i = 1 → ∑ i, w2 i = 1 → (affineCombination k univ p) w1 = (affineCombination k univ p) w2 → w1 = w2
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ s1, w1 i = 1
hw2 : ∑ i ∈ s2, w2 i = 1
hweq : (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2
hw1' : ∑ i, (↑s1).indicator w1 i = 1
⊢ ∑ i, (↑s2).indicator w2 i = 1

Tactic:
rwa [Finset.sum_indicator_subset _ (Finset.subset_univ s2)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
⊢ 0 < ‖c‖ ^ (n + 1)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
⊢ 0 < ‖c‖ ^ (n + 1)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ c ^ (-(n + 1)) ≠ 0

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ c ^ (-(n + 1)) ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case hbc
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
this : ε⁻¹ * ‖c‖ * p x = ε⁻¹ * p x * ‖c‖
⊢ ‖c‖ ^ n ≤ p x / ε

Tactic:
;

Goal state after:
case hbc
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
this : ε⁻¹ * ‖c‖ * p x = ε⁻¹ * p x * ‖c‖
⊢ ‖c‖ ^ n ≤ p x / ε
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
P : Type u_5
P₂ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : AddCommGroup V₂
inst✝⁶ : AddCommGroup V₃
inst✝⁵ : Module k V
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : Module k V₃
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
p : P
⊢ Subsingleton (Fin 1)

Tactic:
;

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
P : Type u_5
P₂ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : AddCommGroup V₂
inst✝⁶ : AddCommGroup V₃
inst✝⁵ : Module k V
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : Module k V₃
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
p : P
⊢ Subsingleton (Fin 1)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.PathConnected

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
a b : E
⊢ Continuous fun t ↦ ↑t • (b - a) + a

Tactic:
;

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
a b : E
⊢ Continuous fun t ↦ ↑t • (b - a) + a
Module: Mathlib.Analysis.Convex.PathConnected

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
a : E
x✝ : ↑I
⊢ (Path.segment a a) x✝ = (refl a) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
a : E
x✝ : ↑I
⊢ (Path.segment a a) x✝ = (refl a) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Convex.PathConnected

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
a b : E
x✝ : ↑I
⊢ (Path.segment a b).symm x✝ = (Path.segment b a) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
a b : E
x✝ : ↑I
⊢ (Path.segment a b).symm x✝ = (Path.segment b a) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Convex.PathConnected

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
c d : E
⊢ (Path.segment c d).cast ⋯ ⋯ = Path.segment c d

Tactic:
;

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
c d : E
⊢ (Path.segment c d).cast ⋯ ⋯ = Path.segment c d
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
P : Type u_5
P₂ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝¹⁰ : Ring k
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : AddCommGroup V₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : Module k V₂
inst✝⁴ : Module k V₃
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AffineSpace V₂ P₂
inst✝¹ : AffineSpace V₃ P₃
n : ℕ
S : AffineSubspace k P
inst✝ : Nonempty ↥S
s : Simplex k (↥S) n
y : Fin (n + 1)
⊢ (s.map S.subtype ⋯).points y ∈ ↑S

Tactic:
;

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
P : Type u_5
P₂ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝¹⁰ : Ring k
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : AddCommGroup V₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : Module k V₂
inst✝⁴ : Module k V₃
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AffineSpace V₂ P₂
inst✝¹ : AffineSpace V₃ P₃
n : ℕ
S : AffineSubspace k P
inst✝ : Nonempty ↥S
s : Simplex k (↥S) n
y : Fin (n + 1)
⊢ (s.map S.subtype ⋯).points y ∈ ↑S
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StdSimplex

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : IsEmpty ι
inst✝ : Nontrivial 𝕜
f : ι → 𝕜
hf : ∑ x, f x = 1
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : IsEmpty ι
inst✝ : Nontrivial 𝕜
f : ι → 𝕜
hf : ∑ x, f x = 1
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StdSimplex

Goal state before:
pp: case h₁
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : OrderClosedTopology 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
⊢ IsClosed (⋂ x, {f | 0 ≤ f x})

pp: case h₂
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : OrderClosedTopology 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
⊢ IsClosed {f | ∑ x, f x = 1}

Tactic:
· apply isClosed_iInter
    exact fun i ↦ isClosed_le continuous_const (continuous_apply i)

Goal state after:
case h₂
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : OrderClosedTopology 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
⊢ IsClosed {f | ∑ x, f x = 1}
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StdSimplex

Goal state before:
pp: S : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : PartialOrder S
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : Fintype X
inst✝² : Fintype Y
inst✝¹ : Fintype Z
inst✝ : IsOrderedRing S
f : X → Y
g : Y → Z
x : ↑(stdSimplex S X)
⊢ map g (map f x) = map (g ∘ f) x

Tactic:
by
  ext
  simp [FunOnFinite.linearMap_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Group.Torsor

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
⊢ Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝¹] fun x ↦ x.1 / x.2

Tactic:
;

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
⊢ Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝¹] fun x ↦ x.1 / x.2
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
⊢ (t.centerMass w fun i ↦ c • z i) = c • t.centerMass w z

Tactic:
simp only [Finset.centerMass, Finset.smul_sum, (mul_smul _ _ _).symm, mul_comm c, mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Group.Torsor

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
V : ι → Type u_2
P : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → CommGroup (V i)
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (V i)
inst✝² : (i : ι) → Torsor (V i) (P i)
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (P i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTopologicalTorsor (P i)
⊢ ∀ (i : ι), Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝¹ i] fun a ↦ a.1 i • a.2 i

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
V : ι → Type u_2
P : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → CommGroup (V i)
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (V i)
inst✝² : (i : ι) → Torsor (V i) (P i)
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (P i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTopologicalTorsor (P i)
⊢ ∀ (i : ι), Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝¹ i] fun a ↦ a.1 i • a.2 i
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Group.Torsor

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
V : ι → Type u_2
P : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → CommGroup (V i)
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (V i)
inst✝² : (i : ι) → Torsor (V i) (P i)
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (P i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTopologicalTorsor (P i)
⊢ ∀ (i : ι), Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝³ i] fun a ↦ a.1 i /ₛ a.2 i

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
V : ι → Type u_2
P : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → CommGroup (V i)
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (V i)
inst✝² : (i : ι) → Torsor (V i) (P i)
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (P i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTopologicalTorsor (P i)
⊢ ∀ (i : ι), Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝³ i] fun a ↦ a.1 i /ₛ a.2 i
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → R
z : ι → E
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
⊢ ∑ i ∈ s, (a * w₁ i + b * w₂ i) = 1

Tactic:
simp only [← mul_sum, sum_add_distrib, mul_one, *]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case h
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
w : ↥t → k
hw : ∑ i, w i = 0
i : ↥t
hi : ¬w i = 0
hwt : ∑ x, w x • ↑x = 0
f : (x : V) → x ∈ t → k := ⋯
⊢ ↑i ∈ t ∧ (fun x ↦ if hx : x ∈ t then f x hx else 0) ↑i ≠ 0

Tactic:
;

Goal state after:
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
w : ↥t → k
hw : ∑ i, w i = 0
i : ↥t
hi : ¬w i = 0
hwt : ∑ x, w x • ↑x = 0
f : (x : V) → x ∈ t → k := ⋯
⊢ ↑i ∈ t ∧ (fun x ↦ if hx : x ∈ t then f x hx else 0) ↑i ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝¹¹ : Field R
inst✝¹⁰ : Field R'
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : AddCommGroup α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R F
inst✝³ : Module R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid α
inst✝ : PosSMulMono R α
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ ∅, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ ∅, w i
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝¹¹ : Field R
inst✝¹⁰ : Field R'
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : AddCommGroup α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R F
inst✝³ : Module R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid α
inst✝ : PosSMulMono R α
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ ∅, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ ∅, w i
⊢ False