mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul F F' ℝ 𝕜
T : F →L[𝕜] F'
f g : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
x : E
⊢ { toFun := ⇑T ∘ ⇑(f + g), contDiff' := ⋯, zero_on_compl' := ⋯ } x =
    ({ toFun := ⇑T ∘ ⇑f, contDiff' := ⋯, zero_on_compl' := ⋯ } +
        { toFun := ⇑T ∘ ⇑g, contDiff' := ⋯, zero_on_compl' := ⋯ })
      x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul F F' ℝ 𝕜
T : F →L[𝕜] F'
f g : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
x : E
⊢ { toFun := ⇑T ∘ ⇑(f + g), contDiff' := ⋯, zero_on_compl' := ⋯ } x =
    ({ toFun := ⇑T ∘ ⇑f, contDiff' := ⋯, zero_on_compl' := ⋯ } +
        { toFun := ⇑T ∘ ⇑g, contDiff' := ⋯, zero_on_compl' := ⋯ })
      x
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.HermitianFunctionalCalculus

Goal state before:
pp: n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : ℝ → ℝ
hA' : IsSelfAdjoint A
this : cfcHom hA' = hA.cfcAux
⊢ Continuous ((spectrum ℝ A).domRestrict f)

Tactic:
;

Goal state after:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : ℝ → ℝ
hA' : IsSelfAdjoint A
this : cfcHom hA' = hA.cfcAux
⊢ Continuous ((spectrum ℝ A).domRestrict f)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul F F' ℝ 𝕜
T : F →L[𝕜] F'
c : 𝕜
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
x : E
⊢ { toFun := ⇑T ∘ ⇑(c • f), contDiff' := ⋯, zero_on_compl' := ⋯ } x =
    ((RingHom.id 𝕜) c • { toFun := ⇑T ∘ ⇑f, contDiff' := ⋯, zero_on_compl' := ⋯ }) x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul F F' ℝ 𝕜
T : F →L[𝕜] F'
c : 𝕜
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
x : E
⊢ { toFun := ⇑T ∘ ⇑(c • f), contDiff' := ⋯, zero_on_compl' := ⋯ } x =
    ((RingHom.id 𝕜) c • { toFun := ⇑T ∘ ⇑f, contDiff' := ⋯, zero_on_compl' := ⋯ }) x
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n₁ n₂ : ℕ∞
K₁ K₂ : Compacts E
H : ¬(n₂ ≤ n₁ ∧ K₁ ≤ K₂)
x✝ : 𝓓^{n₁}_{K₁}(E, F)
a✝ : E
⊢ ((monoLM 𝕜) x✝) a✝ = (0 x✝) a✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n₁ n₂ : ℕ∞
K₁ K₂ : Compacts E
H : ¬(n₂ ≤ n₁ ∧ K₁ ≤ K₂)
x✝ : 𝓓^{n₁}_{K₁}(E, F)
a✝ : E
⊢ ((monoLM 𝕜) x✝) a✝ = (0 x✝) a✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 ≤ RCLike.re ⟪x, T x⟫
v : E
hv₁ : v ∈ (genEigenspace T ↑μ) 1
hv₂ : v ≠ 0
⊢ 0 < ‖v‖ ^ 2

Tactic:
simpa only [sq_pos_iff, norm_ne_zero_iff] using hv₂

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 < RCLike.re ⟪x, T x⟫
v : E
hv₁ : v ∈ (genEigenspace T ↑μ) 1
hv₂ : v ≠ 0
⊢ 0 < ‖v‖ ^ 2

Tactic:
simpa only [sq_pos_iff, norm_ne_zero_iff] using hv₂

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
⊢ IsUniformAddGroup 𝓓^{n}_{K}(E, F)

Tactic:
exact isUniformAddGroup_iInf fun _ ↦ IsUniformAddGroup.comap _

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Order

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Finite n
m : Type u_3
inst✝ : Finite m
x : Matrix n n 𝕜
y : Matrix m m 𝕜
hx : x.PosSemidef
hy : y.PosSemidef
this : Fintype n
⊢ (kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) x y).PosSemidef

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Finite n
m : Type u_3
inst✝ : Finite m
x : Matrix n n 𝕜
y : Matrix m m 𝕜
hx : x.PosSemidef
hy : y.PosSemidef
this : Fintype n
⊢ (kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) x y).PosSemidef
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Order

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Finite n
m : Type u_3
inst✝ : Finite m
x : Matrix n n 𝕜
y : Matrix m m 𝕜
hx : x.PosDef
hy : y.PosDef
this : Fintype n
⊢ (kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) x y).PosDef

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Finite n
m : Type u_3
inst✝ : Finite m
x : Matrix n n 𝕜
y : Matrix m m 𝕜
hx : x.PosDef
hy : y.PosDef
this : Fintype n
⊢ (kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) x y).PosDef
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Order

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA✝ : IsSelfAdjoint A
hA : A.IsHermitian
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
x✝ : n
⊢ (RCLike.ofReal ∘ 0) x✝ = 0 x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA✝ : IsSelfAdjoint A
hA : A.IsHermitian
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
x✝ : n
⊢ (RCLike.ofReal ∘ 0) x✝ = 0 x✝
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.ContinuousFunctions

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : α →ᵇ E
⊢ ((ContinuousMap.toAEEqFunAddHom μ).comp (toContinuousMapAddMonoidHom α E)) f ∈ Lp E p μ

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : α →ᵇ E
⊢ ((ContinuousMap.toAEEqFunAddHom μ).comp (toContinuousMapAddMonoidHom α E)) f ∈ Lp E p μ
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.Abs

Goal state before:
pp: A : Type u_2
inst✝¹⁶ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁵ : StarRing A
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Module ℝ A
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ A A
inst✝¹¹ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹⁰ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst✝⁹ : PartialOrder A
inst✝⁸ : StarOrderedRing A
inst✝⁷ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝⁶ : IsTopologicalRing A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : StarModule ℝ A
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : SMulWithZero R ℝ≥0
inst✝¹ : SMul R A
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 A
r : R
a : A
⊢ ∀ (r : ℝ≥0), abs (r • a) = r • abs a

Tactic:
intro r

Goal state after:
A : Type u_2
inst✝¹⁶ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁵ : StarRing A
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Module ℝ A
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ A A
inst✝¹¹ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹⁰ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst✝⁹ : PartialOrder A
inst✝⁸ : StarOrderedRing A
inst✝⁷ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝⁶ : IsTopologicalRing A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : StarModule ℝ A
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : SMulWithZero R ℝ≥0
inst✝¹ : SMul R A
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 A
r✝ : R
a : A
r : ℝ≥0
⊢ abs (r • a) = r • abs a
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L2Space

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : MemLp f p μ
c : E
x : α
⊢ ‖⟪f x, c⟫‖ ≤ ‖f x‖ * ‖c‖

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : MemLp f p μ
c : E
x : α
⊢ ‖⟪f x, c⟫‖ ≤ ‖f x‖ * ‖c‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L2Space

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
c : E
hf : MemLp f 1 μ
⊢ MemLp (fun x ↦ ⟪c, f x⟫) 1 μ

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
c : E
hf : MemLp f 1 μ
⊢ MemLp (fun x ↦ ⟪c, f x⟫) 1 μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L2Space

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : MemLp f 1 μ
c : E
⊢ MemLp (fun x ↦ ⟪f x, c⟫) 1 μ

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : MemLp f 1 μ
c : E
⊢ MemLp (fun x ↦ ⟪f x, c⟫) 1 μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L2Space

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_int : ∫ (x : α), ⟪∫ (x : α), f x ∂μ, f x⟫ ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = 0

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_int : ∫ (x : α), ⟪∫ (x : α), f x ∂μ, f x⟫ ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n₁ n₂ : ℕ∞
K₁ K₂ : Compacts E
H : ¬(n₂ ≤ n₁ ∧ K₁ ≤ K₂)
x✝ : 𝓓^{n₁}_{K₁}(E, F)
a✝ : E
⊢ ((monoCLM 𝕜) x✝) a✝ = (0 x✝) a✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n₁ n₂ : ℕ∞
K₁ K₂ : Compacts E
H : ¬(n₂ ≤ n₁ ∧ K₁ ≤ K₂)
x✝ : 𝓓^{n₁}_{K₁}(E, F)
a✝ : E
⊢ ((monoCLM 𝕜) x✝) a✝ = (0 x✝) a✝
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L2Space

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f g : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ eLpNorm (fun x ↦ ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫) 1 μ < ∞

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f g : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ eLpNorm (fun x ↦ ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫) 1 μ < ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L2Space

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_4
inst✝ : RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
⊢ ⟪1, ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ⟫ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_4
inst✝ : RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
⊢ ⟪1, ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ⟫ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.SmoothApprox

Goal state before:
pp: E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : Continuous f
x✝ : E
⊢ 0 < ε

Tactic:
;

Goal state after:
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : Continuous f
x✝ : E
⊢ 0 < ε
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
f✝ g✝ : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
x✝ : E
⊢ (B ((f✝ + g✝) x✝)) (g x✝) = (B (f✝ x✝)) (g x✝) + (B (g✝ x✝)) (g x✝)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
f✝ g✝ : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
x✝ : E
⊢ (B ((f✝ + g✝) x✝)) (g x✝) = (B (f✝ x✝)) (g x✝) + (B (g✝ x✝)) (g x✝)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
c✝ : 𝕜
f✝ : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
x✝ : E
⊢ (B ((c✝ • f✝) x✝)) (g x✝) = c✝ • (B (f✝ x✝)) (g x✝)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
c✝ : 𝕜
f✝ : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
x✝ : E
⊢ (B ((c✝ • f✝) x✝)) (g x✝) = c✝ • (B (f✝ x✝)) (g x✝)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.SmoothApprox

Goal state before:
pp: E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
p : ℝ≥0∞
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : Continuous f
hp : p ≠ ∞
hf : ¬f =ᵐ[μ] 0
hs₁ : μ (tsupport f) ≠ ∞
hs₂ : 0 < (μ (tsupport f)).toReal
ε' : ℝ := ε * (μ (tsupport f)).toReal ^ (-(1 / p.toReal))
ε'_def : ε' = ε * (μ (tsupport f)).toReal ^ (-(1 / p.toReal))
hε' : 0 < ε'
hε₂ : ENNReal.ofReal ε' * μ (tsupport f) ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal ε
x✝ : E
⊢ 0 < ε'

Tactic:
;

Goal state after:
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
p : ℝ≥0∞
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : Continuous f
hp : p ≠ ∞
hf : ¬f =ᵐ[μ] 0
hs₁ : μ (tsupport f) ≠ ∞
hs₂ : 0 < (μ (tsupport f)).toReal
ε' : ℝ := ε * (μ (tsupport f)).toReal ^ (-(1 / p.toReal))
ε'_def : ε' = ε * (μ (tsupport f)).toReal ^ (-(1 / p.toReal))
hε' : 0 < ε'
hε₂ : ENNReal.ofReal ε' * μ (tsupport f) ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal ε
x✝ : E
⊢ 0 < ε'
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
h0 : P 0 = 0
n : ℕ
ih : ∑ i ∈ Finset.range n, succSub P i = P n
⊢ P n + (P (n + 1) - P n) = P (n + 1)

Tactic:
;

Goal state after:
case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
h0 : P 0 = 0
n : ℕ
ih : ∑ i ∈ Finset.range n, succSub P i = P n
⊢ P n + (P (n + 1) - P n) = P (n + 1)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Deriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝓢(ℝ, F)
⊢ (tsupport fun x ↦ (fderiv ℝ (⇑f) x) 1) ⊆ tsupport ⇑f

Tactic:
exact tsupport_fderiv_apply_subset ℝ 1

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
x : X
x✝ : x ∈ U ⊓ V
y : X
hy : ↑(succSub P n) y = x
z : X
hz : ↑(P n) z = x
⊢ (P n) ((succSub P n) y) = 0

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
x : X
x✝ : x ∈ U ⊓ V
y : X
hy : ↑(succSub P n) y = x
z : X
hz : ↑(P n) z = x
⊢ (P n) ((succSub P n) y) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
hdisj : U ⊓ V = ⊥
⊢ 0 < n + 1

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
hdisj : U ⊓ V = ⊥
⊢ 0 < n + 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ 1 < ENNReal.toReal 2 ∧ (ENNReal.toReal 2)⁻¹ + (ENNReal.toReal 2)⁻¹ = 1

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ 1 < ENNReal.toReal 2 ∧ (ENNReal.toReal 2)⁻¹ + (ENNReal.toReal 2)⁻¹ = 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ (ENNReal.toReal 2).HolderConjugate (ENNReal.toReal 2)

pp: case refine_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ ∀ (i : ι), ‖⟪↑f i, ↑g i⟫‖ ≤ ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖

Tactic:
· rw [Real.holderConjugate_iff]; norm_num

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ ∀ (i : ι), ‖⟪↑f i, ↑g i⟫‖ ≤ ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖