mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), ↑(f x) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑δ
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∀ (x : α), 0 x ≤ (fun x ↦ ↑(f x)) x

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), ↑(f x) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑δ
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∀ (x : α), 0 x ≤ (fun x ↦ ↑(f x)) x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: case hd
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := ⋯
F' : ℝ → ℝ := ⋯
hI : Set.Icc (-|x|) |x| ⊆ Set.Ioo (-1) 1
A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y
y : ℝ
hy : y ∈ Set.Icc (-|x|) |x|
this : y ^ 2 ≤ x ^ 2
⊢ 0 < 1 - x ^ 2

Tactic:
;

Goal state after:
case hd
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := ⋯
F' : ℝ → ℝ := ⋯
hI : Set.Icc (-|x|) |x| ⊆ Set.Ioo (-1) 1
A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y
y : ℝ
hy : y ∈ Set.Icc (-|x|) |x|
this : y ^ 2 ≤ x ^ 2
⊢ 0 < 1 - x ^ 2
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), ↑(f x) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑δ
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∀ (x : α), 0 x ≤ (fun x ↦ (g x).toReal) x

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), ↑(f x) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑δ
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∀ (x : α), 0 x ≤ (fun x ↦ (g x).toReal) x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
e p q e' p' q' : ℕ
hp : n e ≤ p
hq : n e ≤ q
hp' : n e' ≤ p'
hq' : n e' ≤ q'
he' : e ≤ e'
r : ℕ := max (n e) (n e')
I : (1 / 2) ^ e' ≤ (1 / 2) ^ e
J1 : ‖L e p q - L e p r‖ ≤ 4 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
J2 : ‖L e p r - L e' p' r‖ ≤ 4 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
J3 : ‖L e' p' r - L e' p' q'‖ ≤ 4 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
⊢ L e p q - L e' p' q' = L e p q - L e p r + (L e p r - L e' p' r) + (L e' p' r - L e' p' q')

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
e p q e' p' q' : ℕ
hp : n e ≤ p
hq : n e ≤ q
hp' : n e' ≤ p'
hq' : n e' ≤ q'
he' : e ≤ e'
r : ℕ := max (n e) (n e')
I : (1 / 2) ^ e' ≤ (1 / 2) ^ e
J1 : ‖L e p q - L e p r‖ ≤ 4 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
J2 : ‖L e p r - L e' p' r‖ ≤ 4 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
J3 : ‖L e' p' r - L e' p' q'‖ ≤ 4 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
⊢ L e p q - L e' p' q' = L e p q - L e p r + (L e p r - L e' p' r) + (L e' p' r - L e' p' q')
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: x : ℝ
h₀ : 0 ≤ x
h : x < 1
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (2 * i + 1) / (2 * ↑i + 1) ≤ 1 / 2 * log ((1 + x) / (1 - x))

Tactic:
let F (x : ℝ) : ℝ :=
    1 / 2 * log ((1 + x) / (1 - x)) - (∑ i ∈ range n, x ^ (2 * i + 1) / (2 * i + 1))
  let F' (y : ℝ) : ℝ := (y ^ 2) ^ n / (1 - y ^ 2)
  -- First step: compute the derivative of `F`
  have A : ∀ y ∈ Icc 0 x, HasDerivAt F (F' y) y := by
    intro y hy
    exact hasDerivAt_half_log_one_add_div_one_sub_sub_sum_range _ (by grind) (by grind)
  -- It suffices to show that `F` is monotone on `[0, x]`
  suffices MonotoneOn F (Icc 0 x) by simpa [F] using this ⟨le_rfl, h₀⟩ ⟨h₀, le_rfl⟩ h₀
  -- Second step: show that the derivative of `F` is nonnegative; it has been computed already.
  refine monotoneOn_of_hasDerivWithinAt_nonneg (convex_Icc 0 x)
    (fun y hy ↦ (A y hy).continuousAt.continuousWithinAt)
    (fun y hy ↦ (A y (interior_subset hy)).hasDerivWithinAt) ?_
  intro y hy
  simp only [interior_Icc, Set.mem_Ioo] at hy
  have : 0 ≤ 1 - y ^ 2 := by calc
    0 ≤ 1 - x ^ 2 := by simp [abs_of_nonneg h₀, h.le]
    _ ≤ 1 - y ^ 2 := sub_le_sub_left (pow_le_pow_left₀ hy.1.le hy.2.le 2) 1
  positivity

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case ht
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
hs : Absorbent ℝ s
h : s ⊆ t
x✝ : E
⊢ BddBelow {r | 0 < r ∧ x✝ ∈ r • t}

pp: case hs
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
hs : Absorbent ℝ s
h : s ⊆ t
x✝ : E
⊢ {r | 0 < r ∧ x✝ ∈ r • s}.Nonempty

Tactic:
;

Goal state after:
case ht
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
hs : Absorbent ℝ s
h : s ⊆ t
x✝ : E
⊢ BddBelow {r | 0 < r ∧ x✝ ∈ r • t}

case hs
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
hs : Absorbent ℝ s
h : s ⊆ t
x✝ : E
⊢ {r | 0 < r ∧ x✝ ∈ r • s}.Nonempty
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Cone.Extension

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
c : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ)
⊢ c ⊆ S → IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub

Tactic:
hcs

Goal state after:
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
c : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ)
hcs : c ⊆ S
⊢ IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x ↦ b • x) x}
hx : (fun x ↦ b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x ↦ b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
ha : 0 < a
⊢ a • (a⁻¹ * b) • x = b • x

Tactic:
← mul_smul,

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x ↦ b • x) x}
hx : (fun x ↦ b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x ↦ b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
ha : 0 < a
⊢ (a * (a⁻¹ * b)) • x = b • x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case inr.mp
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
α : Type u_3
inst✝⁶ : Field α
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : IsStrictOrderedModule α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hx : r⁻¹ • a • x ∈ s
hr : 0 < r
⊢ ∃ y, (0 < y ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r

Tactic:
rw [← mem_smul_set_iff_inv_smul_mem₀ hr.ne'] at hx

Goal state after:
case inr.mp
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
α : Type u_3
inst✝⁶ : Field α
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : IsStrictOrderedModule α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hx : a • x ∈ r • s
hr : 0 < r
⊢ ∃ y, (0 < y ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case inr.mpr
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
α : Type u_3
inst✝⁶ : Field α
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : IsStrictOrderedModule α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hr : 0 < r
hx : r⁻¹ • x ∈ s
⊢ 0 < a • r ∧ (a • r)⁻¹ • a • x ∈ s

Tactic:
rw [← mem_smul_set_iff_inv_smul_mem₀ hr.ne'] at hx

Goal state after:
case inr.mpr
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
α : Type u_3
inst✝⁶ : Field α
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : IsStrictOrderedModule α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
hr : 0 < r
hx : x ∈ r • s
⊢ 0 < a • r ∧ (a • r)⁻¹ • a • x ∈ s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory

Goal state before:
pp: case e'_4
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε
Ig : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ∞
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ↑(g a) ∂μ).toReal + ↑ε = (∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ).toReal + (↑ε).toReal

Tactic:
;

Goal state after:
case e'_4
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε
Ig : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ∞
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ↑(g a) ∂μ).toReal + ↑ε = (∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ).toReal + (↑ε).toReal
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝ y✝ : Dual ℝ F
⊢ (x✝ + y✝).extendRCLike = x✝.extendRCLike + y✝.extendRCLike

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝ y✝ : Dual ℝ F
⊢ (x✝ + y✝).extendRCLike = x✝.extendRCLike + y✝.extendRCLike
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝¹ y✝ : Dual ℝ F
x✝ : F
⊢ (x✝¹ + y✝).extendRCLike x✝ = (x✝¹.extendRCLike + y✝.extendRCLike) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝¹ y✝ : Dual ℝ F
x✝ : F
⊢ (x✝¹ + y✝).extendRCLike x✝ = (x✝¹.extendRCLike + y✝.extendRCLike) x✝
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory

Goal state before:
pp: case refine_2.hf
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε
Ig : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ∞
⊢ ∀ (x : α), 0 x ≤ (fun x ↦ ↑(g x)) x

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_2.hf
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε
Ig : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ∞
⊢ ∀ (x : α), 0 x ≤ (fun x ↦ ↑(g x)) x
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝¹ y✝ : Dual ℝ F
x✝ : F
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ x✝) + (algebraMap ℝ 𝕜) (y✝ x✝) -
      I * ((algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ (I • x✝)) + (algebraMap ℝ 𝕜) (y✝ (I • x✝))) =
    ↑(x✝¹ x✝) - I * ↑(x✝¹ (I • x✝)) + (↑(y✝ x✝) - I * ↑(y✝ (I • x✝)))

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝¹ y✝ : Dual ℝ F
x✝ : F
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ x✝) + (algebraMap ℝ 𝕜) (y✝ x✝) -
      I * ((algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ (I • x✝)) + (algebraMap ℝ 𝕜) (y✝ (I • x✝))) =
    ↑(x✝¹ x✝) - I * ↑(x✝¹ (I • x✝)) + (↑(y✝ x✝) - I * ↑(y✝ (I • x✝)))
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝ : Dual ℝ F
⊢ (m✝ • x✝).extendRCLike = (RingHom.id ℝ) m✝ • x✝.extendRCLike

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝ : Dual ℝ F
⊢ (m✝ • x✝).extendRCLike = (RingHom.id ℝ) m✝ • x✝.extendRCLike
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝¹ : Dual ℝ F
x✝ : F
⊢ (m✝ • x✝¹).extendRCLike x✝ = ((RingHom.id ℝ) m✝ • x✝¹.extendRCLike) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝¹ : Dual ℝ F
x✝ : F
⊢ (m✝ • x✝¹).extendRCLike x✝ = ((RingHom.id ℝ) m✝ • x✝¹.extendRCLike) x✝
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝¹ : Dual ℝ F
x✝ : F
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) m✝ * (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ x✝) - I * ((algebraMap ℝ 𝕜) m✝ * (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ (I • x✝))) =
    ↑m✝ * (↑(x✝¹ x✝) - I * ↑(x✝¹ (I • x✝)))

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝¹ : Dual ℝ F
x✝ : F
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) m✝ * (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ x✝) - I * ((algebraMap ℝ 𝕜) m✝ * (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ (I • x✝))) =
    ↑m✝ * (↑(x✝¹ x✝) - I * ↑(x✝¹ (I • x✝)))
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
f : Dual ℝ F
x✝ : F
⊢ ((fun f ↦ reLm ∘ₗ ↑ℝ f) f.extendRCLike) x✝ = f x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
f : Dual ℝ F
x✝ : F
⊢ ((fun f ↦ reLm ∘ₗ ↑ℝ f) f.extendRCLike) x✝ = f x✝
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
f : Dual 𝕜 F
x✝ : F
⊢ (extendRCLike ((fun f ↦ reLm ∘ₗ ↑ℝ f) f)) x✝ = f x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
f : Dual 𝕜 F
x✝ : F
⊢ (extendRCLike ((fun f ↦ reLm ∘ₗ ↑ℝ f) f)) x✝ = f x✝
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory

Goal state before:
pp: case refine_2.hf
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε
Ig : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ∞
⊢ ∀ (x : α), 0 x ≤ (fun x ↦ ↑(f x)) x

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_2.hf
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε
Ig : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ∞
⊢ ∀ (x : α), 0 x ≤ (fun x ↦ ↑(f x)) x
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝ y✝ : StrongDual ℝ F
⊢ (x✝ + y✝).extendRCLike = x✝.extendRCLike + y✝.extendRCLike

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝ y✝ : StrongDual ℝ F
⊢ (x✝ + y✝).extendRCLike = x✝.extendRCLike + y✝.extendRCLike
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝¹ y✝ : StrongDual ℝ F
x✝ : F
⊢ (x✝¹ + y✝).extendRCLike x✝ = (x✝¹.extendRCLike + y✝.extendRCLike) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝¹ y✝ : StrongDual ℝ F
x✝ : F
⊢ (x✝¹ + y✝).extendRCLike x✝ = (x✝¹.extendRCLike + y✝.extendRCLike) x✝
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝¹ y✝ : StrongDual ℝ F
x✝ : F
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ x✝) + (algebraMap ℝ 𝕜) (y✝ x✝) -
      I * ((algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ (I • x✝)) + (algebraMap ℝ 𝕜) (y✝ (I • x✝))) =
    ↑(x✝¹ x✝) - I * ↑(x✝¹ (I • x✝)) + (↑(y✝ x✝) - I * ↑(y✝ (I • x✝)))

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
x✝¹ y✝ : StrongDual ℝ F
x✝ : F
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ x✝) + (algebraMap ℝ 𝕜) (y✝ x✝) -
      I * ((algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ (I • x✝)) + (algebraMap ℝ 𝕜) (y✝ (I • x✝))) =
    ↑(x✝¹ x✝) - I * ↑(x✝¹ (I • x✝)) + (↑(y✝ x✝) - I * ↑(y✝ (I • x✝)))
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝ : StrongDual ℝ F
⊢ (m✝ • x✝).extendRCLike = (RingHom.id ℝ) m✝ • x✝.extendRCLike

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝ : StrongDual ℝ F
⊢ (m✝ • x✝).extendRCLike = (RingHom.id ℝ) m✝ • x✝.extendRCLike
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝¹ : StrongDual ℝ F
x✝ : F
⊢ (m✝ • x✝¹).extendRCLike x✝ = ((RingHom.id ℝ) m✝ • x✝¹.extendRCLike) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝¹ : StrongDual ℝ F
x✝ : F
⊢ (m✝ • x✝¹).extendRCLike x✝ = ((RingHom.id ℝ) m✝ • x✝¹.extendRCLike) x✝
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝¹ : StrongDual ℝ F
x✝ : F
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) m✝ * (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ x✝) - I * ((algebraMap ℝ 𝕜) m✝ * (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ (I • x✝))) =
    ↑m✝ * (↑(x✝¹ x✝) - I * ↑(x✝¹ (I • x✝)))

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
m✝ : ℝ
x✝¹ : StrongDual ℝ F
x✝ : F
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) m✝ * (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ x✝) - I * ((algebraMap ℝ 𝕜) m✝ * (algebraMap ℝ 𝕜) (x✝¹ (I • x✝))) =
    ↑m✝ * (↑(x✝¹ x✝) - I * ↑(x✝¹ (I • x✝)))
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Extend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
f : StrongDual ℝ F
x✝ : F
⊢ ((fun f ↦ reCLM ∘SL ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f) f.extendRCLike) x✝ = f x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
f : StrongDual ℝ F
x✝ : F
⊢ ((fun f ↦ reCLM ∘SL ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f) f.extendRCLike) x✝ = f x✝