mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
φ ψ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
⊢ lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (φ + ψ))) =
    lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ)) +
      lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) ψ))

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
φ ψ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
⊢ lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (φ + ψ))) =
    lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ)) +
      lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) ψ))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
φ ψ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
x✝¹ : (i : ι) → s i
x✝ : (i : ι) → t i
⊢ ((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (φ + ψ)))).compMultilinearMap (tprod R))
            x✝¹).compMultilinearMap
        (tprod R))
      x✝ =
    ((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ)) +
                  lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) ψ))).compMultilinearMap
              (tprod R))
            x✝¹).compMultilinearMap
        (tprod R))
      x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
φ ψ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
x✝¹ : (i : ι) → s i
x✝ : (i : ι) → t i
⊢ ((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (φ + ψ)))).compMultilinearMap (tprod R))
            x✝¹).compMultilinearMap
        (tprod R))
      x✝ =
    ((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ)) +
                  lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) ψ))).compMultilinearMap
              (tprod R))
            x✝¹).compMultilinearMap
        (tprod R))
      x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
r : R
φ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
⊢ lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (r • φ))) =
    r • lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ))

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
r : R
φ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
⊢ lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (r • φ))) =
    r • lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
r : R
φ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
x✝¹ : (i : ι) → s i
x✝ : (i : ι) → t i
⊢ ((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (r • φ)))).compMultilinearMap (tprod R))
            x✝¹).compMultilinearMap
        (tprod R))
      x✝ =
    ((((r • lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ))).compMultilinearMap (tprod R))
            x✝¹).compMultilinearMap
        (tprod R))
      x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
r : R
φ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
x✝¹ : (i : ι) → s i
x✝ : (i : ι) → t i
⊢ ((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (r • φ)))).compMultilinearMap (tprod R))
            x✝¹).compMultilinearMap
        (tprod R))
      x✝ =
    ((((r • lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ))).compMultilinearMap (tprod R))
            x✝¹).compMultilinearMap
        (tprod R))
      x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
e : ι ≃ ι₂
φ : MultilinearMap R (fun i ↦ s (e.symm i)) E
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ ((lift φ ∘ₗ ↑(reindex R s e)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ =
    ((lift ((domDomCongrLinearEquiv' R R s E e).symm φ)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
e : ι ≃ ι₂
φ : MultilinearMap R (fun i ↦ s (e.symm i)) E
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ ((lift φ ∘ₗ ↑(reindex R s e)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ =
    ((lift ((domDomCongrLinearEquiv' R R s E e).symm φ)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
e : ι ≃ ι₂
φ : MultilinearMap R s E
x✝ : (i : ι₂) → s (e.symm i)
⊢ ((lift φ ∘ₗ ↑(reindex R s e).symm).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ =
    ((lift ((domDomCongrLinearEquiv' R R s E e) φ)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
e : ι ≃ ι₂
φ : MultilinearMap R s E
x✝ : (i : ι₂) → s (e.symm i)
⊢ ((lift φ ∘ₗ ↑(reindex R s e).symm).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ =
    ((lift ((domDomCongrLinearEquiv' R R s E e) φ)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: case insert.inl
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i✝ : ι
hi✝¹ : i✝ ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), a i j = a' ↑i
hfn : f ↑n = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * ↑hj.unit⁻¹
c : ι → R := fun i ↦ (-if i = ↑n then 0 else a' i) * ↑hj.unit⁻¹
hi✝ : i✝ = n✝
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ f i * a' i = 0

Tactic:
;

Goal state after:
case insert.inl
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i✝ : ι
hi✝¹ : i✝ ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), a i j = a' ↑i
hfn : f ↑n = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * ↑hj.unit⁻¹
c : ι → R := fun i ↦ (-if i = ↑n then 0 else a' i) * ↑hj.unit⁻¹
hi✝ : i✝ = n✝
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ f i * a' i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : Subsingleton ι
i₀ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → s i
i : ι
⊢ ∀ (x y : s i₀), update m i₀ (x + y) i₀ = update m i₀ x i₀ + update m i₀ y i₀

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : Subsingleton ι
i₀ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → s i
i : ι
⊢ ∀ (x y : s i₀), update m i₀ (x + y) i₀ = update m i₀ x i₀ + update m i₀ y i₀
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : Subsingleton ι
i₀ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → s i
i : ι
⊢ ∀ (c : R) (x : s i₀), update m i₀ (c • x) i₀ = c • update m i₀ x i₀

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : Subsingleton ι
i₀ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → s i
i : ι
⊢ ∀ (c : R) (x : s i₀), update m i₀ (c • x) i₀ = c • update m i₀ x i₀
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : Subsingleton ι
i₀ : ι
x✝ : s i₀
⊢ (lift { toFun := fun f ↦ f i₀, map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ } ∘ₗ
        { toFun := fun x ↦ (tprod R) (update 0 i₀ x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      x✝ =
    LinearMap.id x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : Subsingleton ι
i₀ : ι
x✝ : s i₀
⊢ (lift { toFun := fun f ↦ f i₀, map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ } ∘ₗ
        { toFun := fun x ↦ (tprod R) (update 0 i₀ x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      x✝ =
    LinearMap.id x✝
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝³ : IsLocalRing R
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Free R N
hf : Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor k f)
⊢ (Submodule.map f ⊤).FG

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝³ : IsLocalRing R
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Free R N
hf : Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor k f)
⊢ (Submodule.map f ⊤).FG
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝³ : IsLocalRing R
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Free R N
hf : Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor k f)
⊢ g.ker.FG

Tactic:
by rw [h.linearMap_ker_eq, LinearMap.range_eq_map]; exact (Module.Finite.fg_top).map f

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Basic

Goal state before:
pp: case pos.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
M'' : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
g : M' →ₗ[R] M''
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
p : Ideal R
toIsPrime✝ : p.IsPrime
x : M'
hx : p = (⊥.colon {x}).radical
a : R
ha : a ∈ p.primeCompl
y : M
k : ℕ
h : f y = a ^ k • x
b : R
x✝ : b ∈ (⊥.colon {y}).radical
n : ℕ
hb : b ^ n • a ^ k • x = 0
⊢ b ∈ p

Tactic:
← mul_smul,

Goal state after:
case pos.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
M'' : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
g : M' →ₗ[R] M''
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
p : Ideal R
toIsPrime✝ : p.IsPrime
x : M'
hx : p = (⊥.colon {x}).radical
a : R
ha : a ∈ p.primeCompl
y : M
k : ℕ
h : f y = a ^ k • x
b : R
x✝ : b ∈ (⊥.colon {y}).radical
n : ℕ
hb : (b ^ n * a ^ k) • x = 0
⊢ b ∈ p
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Subsingleton M
x✝ : Ideal R
⊢ x✝ ∈ associatedPrimes R M ↔ x✝ ∈ ∅

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Subsingleton M
x✝ : Ideal R
⊢ x✝ ∈ associatedPrimes R M ↔ x✝ ∈ ∅
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherianRing R
⊢ {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r • x = 0} ⊆ ⋃ p, ⋃ (_ : p.IsPrime ∧ ∃ x, p = ⊥.colon {x}), ↑p

Tactic:
intro r

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherianRing R
r : R
⊢ r ∈ {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r • x = 0} → r ∈ ⋃ p, ⋃ (_ : p.IsPrime ∧ ∃ x, p = ⊥.colon {x}), ↑p
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : IsNoetherianRing R
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r • x = 0} ↔ x✝ ∈ (↑(nonZeroDivisors R))ᶜ

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : IsNoetherianRing R
x✝ : R
⊢ x✝ ∈ {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r • x = 0} ↔ x✝ ∈ (↑(nonZeroDivisors R))ᶜ
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Finiteness

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : IsNoetherianRing A
inst✝ : Module.Finite A M
N : Submodule A M
hN : N ≠ ⊤
s : RelSeries {(N₁, N₂) | N₁.IsQuotientEquivQuotientPrime N₂}
hs₁ : s.head = ⊥
hs₂ : s.last = N
this : Nontrivial (M ⧸ N)
x : M
hp : (⊥.colon {N.mkQ x}).IsPrime
h : x ∈ N
⊢ ⊥.colon {0} = ⊤

Tactic:
;

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : IsNoetherianRing A
inst✝ : Module.Finite A M
N : Submodule A M
hN : N ≠ ⊤
s : RelSeries {(N₁, N₂) | N₁.IsQuotientEquivQuotientPrime N₂}
hs₁ : s.head = ⊥
hs₂ : s.last = N
this : Nontrivial (M ⧸ N)
x : M
hp : (⊥.colon {N.mkQ x}).IsPrime
h : x ∈ N
⊢ ⊥.colon {0} = ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : Kˣ
⊢ ↑({ toFun := fun x ↦ { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ },
          map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
        x) =
    spanSingleton R⁰ ↑x

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : Kˣ
⊢ ↑({ toFun := fun x ↦ { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ },
          map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
        x) =
    spanSingleton R⁰ ↑x
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
x : Kˣ
⊢ { toFun := fun x ↦ { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ },
          map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
        x =
      I ↔
    spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
x : Kˣ
⊢ { toFun := fun x ↦ { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ },
          map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
        x =
      I ↔
    spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
⊢ Subgroup.map ((↑unitsMulEquivSubmodule).comp (toPrincipalIdeal R (FractionRing R))) ⊤ =
    Subgroup.map (Units.map ↑(Submodule.spanSingleton R)) ⊤

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
⊢ Subgroup.map ((↑unitsMulEquivSubmodule).comp (toPrincipalIdeal R (FractionRing R))) ⊤ =
    Subgroup.map (Units.map ↑(Submodule.spanSingleton R)) ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: case e_f
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
⊢ (↑unitsMulEquivSubmodule).comp (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) = Units.map ↑(Submodule.spanSingleton R)

Tactic:
;

Goal state after:
case e_f
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
⊢ (↑unitsMulEquivSubmodule).comp (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) = Units.map ↑(Submodule.spanSingleton R)
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: case e_f
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
x✝¹ : (FractionRing R)ˣ
x✝ : FractionRing R
⊢ x✝ ∈ ↑(((↑unitsMulEquivSubmodule).comp (toPrincipalIdeal R (FractionRing R))) x✝¹) ↔
    x✝ ∈ ↑((Units.map ↑(Submodule.spanSingleton R)) x✝¹)

Tactic:
;

Goal state after:
case e_f
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
x✝¹ : (FractionRing R)ˣ
x✝ : FractionRing R
⊢ x✝ ∈ ↑(((↑unitsMulEquivSubmodule).comp (toPrincipalIdeal R (FractionRing R))) x✝¹) ↔
    x✝ ∈ ↑((Units.map ↑(Submodule.spanSingleton R)) x✝¹)
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: case mp.refine_1
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
X : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hx : ↑↑I * ↑X = ↑↑J
hX : spanSingleton R⁰ 0 = ↑X
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
case mp.refine_1
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
X : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hx : ↑↑I * ↑X = ↑↑J
hX : spanSingleton R⁰ 0 = ↑X
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
x y : R
hy : y ∈ R⁰
hz : mk' (FractionRing R) x ⟨y, hy⟩ ≠ 0
h : spanSingleton R⁰ (mk' (FractionRing R) x ⟨y, hy⟩) * ↑↑I = ↑↑J
hx : x = 0
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_1.refine_1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰
x y : R
hy : y ∈ R⁰
hz : mk' (FractionRing R) x ⟨y, hy⟩ ≠ 0
h : spanSingleton R⁰ (mk' (FractionRing R) x ⟨y, hy⟩) * ↑↑I = ↑↑J
hx : x = 0
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal
x : K
hx : ↑↑I = R ∙ x
hx' : ↑I = spanSingleton R⁰ x
x_eq : x = 0
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal
x : K
hx : ↑↑I = R ∙ x
hx' : ↑I = spanSingleton R⁰ x
x_eq : x = 0
⊢ False