mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Equicontinuity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : IsTopologicalGroup G
inst✝² : IsUniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
a b : G
x✝ : ι
⊢ swap (DFunLike.coe ∘ F) (a * b) x✝ = (swap (DFunLike.coe ∘ F) a * swap (DFunLike.coe ∘ F) b) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : IsTopologicalGroup G
inst✝² : IsUniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
a b : G
x✝ : ι
⊢ swap (DFunLike.coe ∘ F) (a * b) x✝ = (swap (DFunLike.coe ∘ F) a * swap (DFunLike.coe ∘ F) b) x✝
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Equicontinuity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : IsUniformGroup G
inst✝² : IsUniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
⊢ swap (DFunLike.coe ∘ F) 1 = 1

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : IsUniformGroup G
inst✝² : IsUniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
⊢ swap (DFunLike.coe ∘ F) 1 = 1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Equicontinuity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : IsUniformGroup G
inst✝² : IsUniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
x✝ : ι
⊢ swap (DFunLike.coe ∘ F) 1 x✝ = 1 x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : IsUniformGroup G
inst✝² : IsUniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
x✝ : ι
⊢ swap (DFunLike.coe ∘ F) 1 x✝ = 1 x✝
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Equicontinuity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : IsUniformGroup G
inst✝² : IsUniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
a b : G
⊢ swap (DFunLike.coe ∘ F) (a * b) = swap (DFunLike.coe ∘ F) a * swap (DFunLike.coe ∘ F) b

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : IsUniformGroup G
inst✝² : IsUniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
a b : G
⊢ swap (DFunLike.coe ∘ F) (a * b) = swap (DFunLike.coe ∘ F) a * swap (DFunLike.coe ∘ F) b
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Equicontinuity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : IsUniformGroup G
inst✝² : IsUniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
a b : G
x✝ : ι
⊢ swap (DFunLike.coe ∘ F) (a * b) x✝ = (swap (DFunLike.coe ∘ F) a * swap (DFunLike.coe ∘ F) b) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
hom : Type u_4
inst✝⁷ : UniformSpace G
inst✝⁶ : UniformSpace M
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group M
inst✝³ : IsUniformGroup G
inst✝² : IsUniformGroup M
inst✝¹ : FunLike hom G M
inst✝ : MonoidHomClass hom G M
F : ι → hom
hf : ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap (DFunLike.coe ∘ F)) 1
a b : G
x✝ : ι
⊢ swap (DFunLike.coe ∘ F) (a * b) x✝ = (swap (DFunLike.coe ∘ F) a * swap (DFunLike.coe ∘ F) b) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁶ : IsDomain 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree 𝕜 E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun z ↦ 0 • z) ⁻¹' s)

Tactic:
simp_rw [zero_smul, preimage_const]

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁶ : IsDomain 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree 𝕜 E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
⊢ StrictConvex 𝕜 (if 0 ∈ s then univ else ∅)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
v : V
⊢ v ∈ vectorSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₂ -ᵥ p₁) = v

Tactic:
vectorSpan_pair_rev,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
v : V
⊢ v ∈ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁) ↔ ∃ r, r • (p₂ -ᵥ p₁) = v
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s (-f) ↔ StrictConvexOn 𝕜 s f

Tactic:
rw [← neg_strictConvexOn_iff, neg_neg f]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁷ : AddGroup E
inst✝⁶ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
r : ℝ
inst✝⁵ : SMul R ℝ
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
inst✝² : Preorder R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : IsOrderedModule R ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
hpq : p ≤ q
c : R
x : E
⊢ (c • 1) • q x ≤ (c • q) x

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁷ : AddGroup E
inst✝⁶ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
r : ℝ
inst✝⁵ : SMul R ℝ
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
inst✝² : Preorder R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : IsOrderedModule R ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
hpq : p ≤ q
c : R
x : E
⊢ (c • 1) • q x ≤ (c • q) x
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ (∅.sup p) x = 0

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ (∅.sup p) x = 0
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x

Tactic:
;

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedCommRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜₂ E₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
c : 𝕜₂
x✝ : E
⊢ (p.comp (c • f)) x✝ = (‖c‖₊ • p.comp f) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedCommRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜₂ E₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
c : 𝕜₂
x✝ : E
⊢ (p.comp (c • f)) x✝ = (‖c‖₊ • p.comp f) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x✝ x : E
⊢ 0 ≤ p x + q (x✝ - x)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x✝ x : E
⊢ 0 ≤ p x + q (x✝ - x)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ x ≠ y

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ x ≠ y
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ p x ≤ p x

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ p x ≤ p x
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ q x ≤ q x

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ q x ≤ q x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ x ≠ y

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ x ≠ y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case inl
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
V₂ : Type u_8
P₂ : Type u_9
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f g : P₁ →ᵃ[k] P₂
h_agree : EqOn ⇑f ⇑g ∅
⊢ EqOn ⇑f ⇑g ↑(affineSpan k ∅)

pp: case inr
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
V₂ : Type u_8
P₂ : Type u_9
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P₁
f g : P₁ →ᵃ[k] P₂
h_agree : EqOn (⇑f) (⇑g) s
q : P₁
hq : q ∈ s
⊢ EqOn ⇑f ⇑g ↑(affineSpan k s)

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
V₂ : Type u_8
P₂ : Type u_9
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f g : P₁ →ᵃ[k] P₂
h_agree : EqOn ⇑f ⇑g ∅
⊢ EqOn ⇑f ⇑g ↑(affineSpan k ∅)

case inr
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
V₂ : Type u_8
P₂ : Type u_9
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P₁
f g : P₁ →ᵃ[k] P₂
h_agree : EqOn (⇑f) (⇑g) s
q : P₁
hq : q ∈ s
⊢ EqOn ⇑f ⇑g ↑(affineSpan k s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
h : affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤
⊢ s = ⇑e.symm ∘ ⇑e '' s

Tactic:
;

Goal state after:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
h : affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤
⊢ s = ⇑e.symm ∘ ⇑e '' s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (affineCombination k s p) (Pi.single i 1) = p i

Tactic:
refine s.affineCombination_of_eq_one_of_eq_zero _ _ hi (by simp) ?_
  rintro j - hj
  simp [hj]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_12
p : ι → Seminorm 𝕜 E
⊢ (∀ (a : E), BddAbove (range fun i ↦ (DFunLike.coe ∘ p) i a)) ↔ ∀ (x : E), BddAbove (range fun i ↦ (p i) x)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_12
p : ι → Seminorm 𝕜 E
⊢ (∀ (a : E), BddAbove (range fun i ↦ (DFunLike.coe ∘ p) i a)) ↔ ∀ (x : E), BddAbove (range fun i ↦ (p i) x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Injective ⇑f
s : AffineSubspace k P₁
p : P₁
⊢ ∀ x ∈ s, f x = f p → p ∈ s

Tactic:
;

Goal state after:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Injective ⇑f
s : AffineSubspace k P₁
p : P₁
⊢ ∀ x ∈ s, f x = f p → p ∈ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k W
inst✝ : AffineSpace W Q
x✝ : P × Q
⊢ x✝ ∈ ⊤.prod ⊤ ↔ x✝ ∈ ⊤

Tactic:
;

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k W
inst✝ : AffineSpace W Q
x✝ : P × Q
⊢ x✝ ∈ ⊤.prod ⊤ ↔ x✝ ∈ ⊤
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_12
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
⊢ ⨆ p_1, ⇑↑p_1 = ⨆ i, ⇑(p i)

Tactic:
exact iSup_range' (fun p : Seminorm 𝕜 E => (p : E → ℝ)) p

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case hb
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid β
inst✝⁵ : PartialOrder β
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := ⋯
hz : z ∈ s
⊢ f x ≤ f z

pp: case hb
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid β
inst✝⁵ : PartialOrder β
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := ⋯
hz : z ∈ s
⊢ f y ≤ f z

Tactic:
;

Goal state after:
case hb
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid β
inst✝⁵ : PartialOrder β
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := ⋯
hz : z ∈ s
⊢ f x ≤ f z

case hb
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid β
inst✝⁵ : PartialOrder β
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := ⋯
hz : z ∈ s
⊢ f y ≤ f z
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid β
inst✝⁵ : PartialOrder β
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s
⊢ (2⁻¹ + 2⁻¹) • f z = f z

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid β
inst✝⁵ : PartialOrder β
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s
⊢ (2⁻¹ + 2⁻¹) • f z = f z
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
y : E
⊢ y ∈ p.closedBall x r ↔ y ∈ ⋂ ρ, ⋂ (_ : ρ > r), p.ball x ρ

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
y : E
⊢ y ∈ p.closedBall x r ↔ y ∈ ⋂ ρ, ⋂ (_ : ρ > r), p.ball x ρ
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : IsDomain k
inst✝ : Module.IsTorsionFree k V
p₁ q₁ p₂ q₂ : P
⊢ vectorSpan k {p₁, q₁} = vectorSpan k {p₂, q₂} ↔ ∃ z, z • (q₁ -ᵥ p₁) = q₂ -ᵥ p₂

Tactic:
vectorSpan_pair_rev,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : IsDomain k
inst✝ : Module.IsTorsionFree k V
p₁ q₁ p₂ q₂ : P
⊢ k ∙ (q₁ -ᵥ p₁) = vectorSpan k {p₂, q₂} ↔ ∃ z, z • (q₁ -ᵥ p₁) = q₂ -ᵥ p₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : IsDomain k
inst✝ : Module.IsTorsionFree k V
p₁ q₁ p₂ q₂ : P
⊢ k ∙ (q₁ -ᵥ p₁) = vectorSpan k {p₂, q₂} ↔ ∃ z, z • (q₁ -ᵥ p₁) = q₂ -ᵥ p₂

Tactic:
vectorSpan_pair_rev,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : IsDomain k
inst✝ : Module.IsTorsionFree k V
p₁ q₁ p₂ q₂ : P
⊢ k ∙ (q₁ -ᵥ p₁) = k ∙ (q₂ -ᵥ p₂) ↔ ∃ z, z • (q₁ -ᵥ p₁) = q₂ -ᵥ p₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ q₁ p₂ q₂ : P
⊢ vectorSpan k {p₁, q₁} ≤ vectorSpan k {p₂, q₂} ↔ ∃ z, z • (q₂ -ᵥ p₂) = q₁ -ᵥ p₁

Tactic:
vectorSpan_pair_rev,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ q₁ p₂ q₂ : P
⊢ k ∙ (q₁ -ᵥ p₁) ≤ vectorSpan k {p₂, q₂} ↔ ∃ z, z • (q₂ -ᵥ p₂) = q₁ -ᵥ p₁
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ q₁ p₂ q₂ : P
⊢ k ∙ (q₁ -ᵥ p₁) ≤ vectorSpan k {p₂, q₂} ↔ ∃ z, z • (q₂ -ᵥ p₂) = q₁ -ᵥ p₁

Tactic:
vectorSpan_pair_rev,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ q₁ p₂ q₂ : P
⊢ k ∙ (q₁ -ᵥ p₁) ≤ k ∙ (q₂ -ᵥ p₂) ↔ ∃ z, z • (q₂ -ᵥ p₂) = q₁ -ᵥ p₁