mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
m : ℕ
a✝ : ↑m < N
⊢ m < m.succ + k

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
m : ℕ
a✝ : ↑m < N
⊢ m < m.succ + k
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: case cont
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + 1)) f p s
m : ℕ
⊢ ↑m ≤ ↑n → ContinuousOn (fun x ↦ (p x).shift m) s

Tactic:
(hm : (m : ℕ∞ω) ≤ n)

Goal state after:
case cont
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + 1)) f p s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ ↑n
⊢ ContinuousOn (fun x ↦ (p x).shift m) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x) m =
    ((⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F).symm ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y) s)
        x)
      m

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x) m =
    ((⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F).symm ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y) s)
        x)
      m
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
y x✝ : E
a✝ : x✝ ∈ {x}ᶜ
⊢ x✝ ∈ insert x s ↔ x✝ ∈ s

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ
y x✝ : E
a✝ : x✝ ∈ {x}ᶜ
⊢ x✝ ∈ insert x s ↔ x✝ ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
m n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
hmn : m ≤ n
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn m f p univ

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
m n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
hmn : m ≤ n
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn m f p univ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
⊢ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f univ x = ftaylorSeries 𝕜 f x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
⊢ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f univ x = ftaylorSeries 𝕜 f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
⊢ AnalyticOnNhd 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 0 f) s

Tactic:
rw [iteratedFDeriv_zero_eq_comp]
    exact ((continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm : F →L[𝕜] E [×0]→L[𝕜] F).comp_analyticOnNhd h

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
v : 𝕜 → 𝕜'
u : 𝕜'
hv : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 v s x
hu : ¬u = 0
x✝ : 𝕜
⊢ v x✝ = v x✝ * u * u⁻¹

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
v : 𝕜 → 𝕜'
u : 𝕜'
hv : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 v s x
hu : ¬u = 0
x✝ : 𝕜
⊢ v x✝ = v x✝ * u * u⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasDerivAt (f i) (f' i) x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasDerivAt (f i) (f' i) x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : OpenPartialHomeomorph E F
a : F
i : E ≃L[𝕜] F
h0 : a ∈ f.target
h : AnalyticAt 𝕜 (↑f) (↑f.symm a)
h' : fderiv 𝕜 (↑f) (↑f.symm a) = ↑i
⊢ AnalyticAt 𝕜 (↑f.symm) a

Tactic:
have : a = f (f.symm a) := by simp [h0]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : OpenPartialHomeomorph E F
a : F
i : E ≃L[𝕜] F
h0 : a ∈ f.target
h : AnalyticAt 𝕜 (↑f) (↑f.symm a)
h' : fderiv 𝕜 (↑f) (↑f.symm a) = ↑i
this : a = ↑f (↑f.symm a)
⊢ AnalyticAt 𝕜 (↑f.symm) a
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasDerivWithinAt (f i) (f' i) s x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasDerivWithinAt (f i) (f' i) s x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasStrictDerivAt (f i) (f' i) x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasStrictDerivAt (f i) (f' i) x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (f i) s x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (f i) s x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_2
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hd : ∀ i ∈ u, DifferentiableAt 𝕜 (f i) x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
ι : Type u_2
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hd : ∀ i ∈ u, DifferentiableAt 𝕜 (f i) x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inl.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
n : ℕ
⊢ ∀ (x : Fin n → E), (p.derivSeries n) x = 0 x

Tactic:
;

Goal state after:
case inl.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
n : ℕ
⊢ ∀ (x : Fin n → E), (p.derivSeries n) x = 0 x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hd : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (f i) s x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hd : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (f i) s x
x✝ : 𝕜
⊢ (∏ i ∈ u, f i) x✝ = ∏ i ∈ u, f i x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : IsEmpty ι
l : ℕ
⊢ l + 1 ≠ 0

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : IsEmpty ι
l : ℕ
⊢ l + 1 ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : IsEmpty ι
this : ∀ (l : ℕ), 1 + l ≠ Fintype.card ι
⊢ 0 (Fin.snoc 0 y) = 0

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : IsEmpty ι
this : ∀ (l : ℕ), 1 + l ≠ Fintype.card ι
⊢ 0 (Fin.snoc 0 y) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
⊢ ((∑ s, f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm 1 (Fintype.card ι - 1) ↑s ⋯) fun x_1 ↦ x) (Fin.snoc 0 y) =
    ∑ i, f (Function.update x i (y i))

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
⊢ ∀ (b' : ℕ), b' ≠ Fintype.card ι - 1 → ((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 b') fun x_1 ↦ x) = 0

Tactic:
;

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
⊢ ((∑ s, f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm 1 (Fintype.card ι - 1) ↑s ⋯) fun x_1 ↦ x) (Fin.snoc 0 y) =
    ∑ i, f (Function.update x i (y i))

case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
⊢ ∀ (b' : ℕ), b' ≠ Fintype.card ι - 1 → ((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 b') fun x_1 ↦ x) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Uniqueness

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : E [×n + 1]→L[𝕜] F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x ↦ y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
hy : 0 < ‖y‖
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
h₀ : 0 < c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)
k : 𝕜
k_pos : 0 < ‖k‖
k_norm : ‖k‖ < min (δ * ‖y‖⁻¹) (ε * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1))⁻¹)
h₁ : ‖k • y‖ < δ
⊢ ‖p fun x ↦ k • y‖ ≤ c * ‖k • y‖ ^ (n.succ + 1)

Tactic:
simpa only [norm_pow, _root_.norm_norm] using! ht (k • y) (δε (mem_ball_zero_iff.mpr h₁))

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Slope

Goal state before:
pp: k : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
f : k → E
x y : k
⊢ slope (-f) x y = (-slope f) x y

Tactic:
;

Goal state after:
k : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
f : k → E
x y : k
⊢ slope (-f) x y = (-slope f) x y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Slope

Goal state before:
pp: case inl
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a r : k
⊢ (lineMap (slope f ((lineMap a a) r) a) (slope f a ((lineMap a a) r))) r = slope f a a

pp: case inr
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
hab : a ≠ b
⊢ (lineMap (slope f ((lineMap a b) r) b) (slope f a ((lineMap a b) r))) r = slope f a b

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a r : k
⊢ (lineMap (slope f ((lineMap a a) r) a) (slope f a ((lineMap a a) r))) r = slope f a a

case inr
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
hab : a ≠ b
⊢ (lineMap (slope f ((lineMap a b) r) b) (slope f a ((lineMap a b) r))) r = slope f a b
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Uniqueness

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : E [×n + 1]→L[𝕜] F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x ↦ y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
hy : 0 < ‖y‖
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
h₀ : 0 < c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)
k : 𝕜
k_pos : 0 < ‖k‖
k_norm : ‖k‖ < min (δ * ‖y‖⁻¹) (ε * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1))⁻¹)
h₁ : ‖k • y‖ < δ
h₂ : ‖p fun x ↦ k • y‖ ≤ ‖k‖ ^ n.succ * (‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)))
h₃ : ‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)) < ε
⊢ ‖k⁻¹ ^ n.succ‖ * (‖k‖ ^ n.succ * (‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)))) =
    ‖(k⁻¹ * k) ^ n.succ‖ * (‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)))

Tactic:
by
        rw [← mul_assoc]
        simp [norm_mul, mul_pow]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Slope

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
k : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field k
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module k E
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : IsStrictOrderedRing k
inst✝² : PartialOrder E
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝ : PosSMulMono k E
f : k → E
x y : k
hxy : x ≤ y
hxeqy : ¬x = y
h : 0 ≤ slope f x y
this : 0 ≤ (y - x) • (y - x)⁻¹ • (f y -ᵥ f x)
⊢ f x ≤ f y

Tactic:
← mul_smul,

Goal state after:
case neg.refine_1
k : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field k
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module k E
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : IsStrictOrderedRing k
inst✝² : PartialOrder E
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝ : PosSMulMono k E
f : k → E
x y : k
hxy : x ≤ y
hxeqy : ¬x = y
h : 0 ≤ slope f x y
this : 0 ≤ ((y - x) * (y - x)⁻¹) • (f y -ᵥ f x)
⊢ f x ≤ f y
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Uniqueness

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
⊢ EqOn f 0 U

Tactic:
let u := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
⊢ EqOn f 0 U
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Slope

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
⊢ Tendsto (fun y ↦ slope f x y - f') (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0) ↔ Tendsto ((fun x ↦ x - f') ∘ slope f x) (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
⊢ Tendsto (fun y ↦ slope f x y - f') (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0) ↔ Tendsto ((fun x ↦ x - f') ∘ slope f x) (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Slope

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

Tactic:
;

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Slope

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H' : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

Tactic:
;

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H' : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))