mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝³⁶ : CommSemiring R
inst✝³⁵ : CommSemiring R₂
inst✝³⁴ : CommSemiring R₃
inst✝³³ : Monoid R'
inst✝³² : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : AddCommMonoid P
inst✝²⁸ : AddCommMonoid Q
inst✝²⁷ : AddCommMonoid S
inst✝²⁶ : AddCommMonoid P'
inst✝²⁵ : AddCommMonoid Q'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝²³ : AddCommMonoid N₂
inst✝²² : AddCommMonoid P₂
inst✝²¹ : AddCommMonoid Q₂
inst✝²⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P₃
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid Q₃
inst✝¹⁶ : DistribMulAction R' M
inst✝¹⁵ : Module R'' M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : Module R N
inst✝¹² : Module R S
inst✝¹¹ : Module R P'
inst✝¹⁰ : Module R Q'
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
inst✝⁸ : Module R₂ N₂
inst✝⁷ : Module R₂ P₂
inst✝⁶ : Module R₂ Q₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : Module R₃ N₃
inst✝³ : Module R₃ P₃
inst✝² : Module R₃ Q₃
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
f' : M →ₛₗ[σ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P₂
x✝³ : R₂
x✝² : M →ₛₗ[σ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P₂
x✝¹ : M
x✝ : N
⊢ (((mk R M N).compr₂ₛₗ (lift (x✝³ • x✝²))) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ₛₗ ((RingHom.id R₂) x✝³ • lift x✝²)) x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝³⁶ : CommSemiring R
inst✝³⁵ : CommSemiring R₂
inst✝³⁴ : CommSemiring R₃
inst✝³³ : Monoid R'
inst✝³² : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : AddCommMonoid P
inst✝²⁸ : AddCommMonoid Q
inst✝²⁷ : AddCommMonoid S
inst✝²⁶ : AddCommMonoid P'
inst✝²⁵ : AddCommMonoid Q'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝²³ : AddCommMonoid N₂
inst✝²² : AddCommMonoid P₂
inst✝²¹ : AddCommMonoid Q₂
inst✝²⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P₃
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid Q₃
inst✝¹⁶ : DistribMulAction R' M
inst✝¹⁵ : Module R'' M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : Module R N
inst✝¹² : Module R S
inst✝¹¹ : Module R P'
inst✝¹⁰ : Module R Q'
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
inst✝⁸ : Module R₂ N₂
inst✝⁷ : Module R₂ P₂
inst✝⁶ : Module R₂ Q₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : Module R₃ N₃
inst✝³ : Module R₃ P₃
inst✝² : Module R₃ Q₃
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
f' : M →ₛₗ[σ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P₂
x✝³ : R₂
x✝² : M →ₛₗ[σ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P₂
x✝¹ : M
x✝ : N
⊢ (((mk R M N).compr₂ₛₗ (lift (x✝³ • x✝²))) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ₛₗ ((RingHom.id R₂) x✝³ • lift x✝²)) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
⊢ ↑(TensorProduct.comm R N M ≪≫ₗ TensorProduct.comm R M N) = ↑(LinearEquiv.refl R (N ⊗[R] M))

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
⊢ ↑(TensorProduct.comm R N M ≪≫ₗ TensorProduct.comm R M N) = ↑(LinearEquiv.refl R (N ⊗[R] M))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x✝¹ : N
x✝ : M
⊢ (((mk R N M).compr₂ₛₗ ↑(TensorProduct.comm R N M ≪≫ₗ TensorProduct.comm R M N)) x✝¹) x✝ =
    (((mk R N M).compr₂ₛₗ ↑(LinearEquiv.refl R (N ⊗[R] M))) x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x✝¹ : N
x✝ : M
⊢ (((mk R N M).compr₂ₛₗ ↑(TensorProduct.comm R N M ≪≫ₗ TensorProduct.comm R M N)) x✝¹) x✝ =
    (((mk R N M).compr₂ₛₗ ↑(LinearEquiv.refl R (N ⊗[R] M))) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries α
hlast : RelSeries.last p = x
p' : RelSeries {(a, b) | a < b} := RelSeries.cons (p.map (fun a ↦ ↑a) ⋯) ⊥ ⋯
⊢ p'.last ≤ ↑x

Tactic:
simp [p', hlast]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries α
hlast : RelSeries.last p = x
p' : LTSeries (WithTop α) := p.map (fun a ↦ ↑a) ⋯
⊢ RelSeries.last p' ≤ ↑x

Tactic:
simp [p', hlast]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M ⊗[R] N
⊢ -0 = 0

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M ⊗[R] N
⊢ -0 = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x✝ : M ⊗[R] N
x : M
y : N
⊢ 0 = (-x + x) ⊗ₜ[R] y

Tactic:
;

Goal state after:
case e'_3
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x✝ : M ⊗[R] N
x : M
y : N
⊢ 0 = (-x + x) ⊗ₜ[R] y
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Bilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
⊢ (toSpanSingleton R A 1) 1 = (Algebra.linearMap R A) 1

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
⊢ (toSpanSingleton R A 1) 1 = (Algebra.linearMap R A) 1
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Bilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocCommSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : IsScalarTower R A A
x✝¹ x✝ : A
⊢ ((mul R A).flip x✝¹) x✝ = ((mul R A) x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocCommSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : IsScalarTower R A A
x✝¹ x✝ : A
⊢ ((mul R A).flip x✝¹) x✝ = ((mul R A) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Finsupp

Goal state before:
pp: case closed_under_smul
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
⊢ ∀ ⦃r : R⦄ ⦃n : M⦄,
    r ∈ sR →
      n ∈ N → r • n ∈ map (N.subtype ∘ₗ (Finsupp.lsum R) (DistribSMul.toLinearMap R ↥N)) (Finsupp.supported (↥N) R sR)

Tactic:
intro r

Goal state after:
case closed_under_smul
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
r : R
⊢ ∀ ⦃n : M⦄,
    r ∈ sR →
      n ∈ N → r • n ∈ map (N.subtype ∘ₗ (Finsupp.lsum R) (DistribSMul.toLinearMap R ↥N)) (Finsupp.supported (↥N) R sR)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
t : M ⊗[R] N
⊢ t ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ↔ t ∈ ⊤

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
t : M ⊗[R] N
⊢ t ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ↔ t ∈ ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Finsupp

Goal state before:
pp: α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R M
s t : Set R
x : Submodule R M
n✝ : M
w✝¹ : R
left✝¹ : w✝¹ ∈ s
w✝ : R
left✝ : w✝ ∈ t
a✝ : n✝ ∈ x
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) w✝¹ w✝ • n✝ ∈ s • t • x

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R M
s t : Set R
x : Submodule R M
n✝ : M
w✝¹ : R
left✝¹ : w✝¹ ∈ s
w✝ : R
left✝ : w✝ ∈ t
a✝ : n✝ ∈ x
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) w✝¹ w✝ • n✝ ∈ s • t • x
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Finsupp

Goal state before:
pp: α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R M
s t : Set R
x : Submodule R M
n✝ : M
w✝¹ : R
left✝¹ : w✝¹ ∈ s
w✝ : R
left✝ : w✝ ∈ t
a✝ : n✝ ∈ x
⊢ w✝¹ • w✝ • n✝ ∈ s • t • x

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R M
s t : Set R
x : Submodule R M
n✝ : M
w✝¹ : R
left✝¹ : w✝¹ ∈ s
w✝ : R
left✝ : w✝ ∈ t
a✝ : n✝ ∈ x
⊢ w✝¹ • w✝ • n✝ ∈ s • t • x
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Finsupp

Goal state before:
pp: α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R M
x : Submodule R M
w✝ : M
h : w✝ ∈ x
⊢ 1 • w✝ ∈ x

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R M
x : Submodule R M
w✝ : M
h : w✝ ∈ x
⊢ 1 • w✝ ∈ x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Map

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ ⇑(map f g) '' {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} = {t | ∃ m n, f m ⊗ₜ[R] g n = t}

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ ⇑(map f g) '' {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} = {t | ∃ m n, f m ⊗ₜ[R] g n = t}
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ AddMonoidHom.mrange (Nat.castAddMonoidHom R) = AddMonoidHom.mrange ((multiplesHom R) 1)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ AddMonoidHom.mrange (Nat.castAddMonoidHom R) = AddMonoidHom.mrange ((multiplesHom R) 1)
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ Nat.castAddMonoidHom R = (multiplesHom R) 1

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ Nat.castAddMonoidHom R = (multiplesHom R) 1
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ (Nat.castAddMonoidHom R) 1 = ((multiplesHom R) 1) 1

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝ : AddMonoidWithOne R
⊢ (Nat.castAddMonoidHom R) 1 = ((multiplesHom R) 1) 1
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : DistribSMul R A
S : AddSubmonoid R
m : R
x✝ : m ∈ S
n : A
hn : n = 0
⊢ m • n = 0

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : DistribSMul R A
S : AddSubmonoid R
m : R
x✝ : m ∈ S
n : A
hn : n = 0
⊢ m • n = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Map

Goal state before:
pp: case negSucc
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : M ≃ₗ[R] M
g : N ≃ₗ[R] N
n : ℕ
⊢ (congr (f ^ (n + 1)) (g ^ (n + 1)))⁻¹ = congr (f ^ (n + 1))⁻¹ (g ^ (n + 1))⁻¹

Tactic:
;

Goal state after:
case negSucc
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : M ≃ₗ[R] M
g : N ≃ₗ[R] N
n : ℕ
⊢ (congr (f ^ (n + 1)) (g ^ (n + 1)))⁻¹ = congr (f ^ (n + 1))⁻¹ (g ^ (n + 1))⁻¹
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Map

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N
⊢ (⇑(lTensor M g) ∘ ⇑(lTensor M f)) x = (lTensor M g) ((lTensor M f) x)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N
⊢ (⇑(lTensor M g) ∘ ⇑(lTensor M f)) x = (lTensor M g) ((lTensor M f) x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Map

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : N ⊗[R] M
⊢ (⇑(rTensor M g) ∘ ⇑(rTensor M f)) x = (rTensor M g) ((rTensor M f) x)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : N ⊗[R] M
⊢ (⇑(rTensor M g) ∘ ⇑(rTensor M f)) x = (rTensor M g) ((rTensor M f) x)
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : DistribSMul R A
M : AddSubmonoid R
N P : AddSubmonoid A
m : R
hm : m ∈ M
np : A
hnp : np ∈ N ⊔ P
x✝ y✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ closure (↑N ∪ ↑P)
hy✝ : y✝ ∈ closure (↑N ∪ ↑P)
h1 : m • x✝ ∈ M • N ⊔ M • P
h2 : m • y✝ ∈ M • N ⊔ M • P
⊢ m • (x✝ + y✝) ∈ M • N ⊔ M • P

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : DistribSMul R A
M : AddSubmonoid R
N P : AddSubmonoid A
m : R
hm : m ∈ M
np : A
hnp : np ∈ N ⊔ P
x✝ y✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ closure (↑N ∪ ↑P)
hy✝ : y✝ ∈ closure (↑N ∪ ↑P)
h1 : m • x✝ ∈ M • N ⊔ M • P
h2 : m • y✝ ∈ M • N ⊔ M • P
⊢ m • (x✝ + y✝) ∈ M • N ⊔ M • P
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : DistribSMul R A
M : AddSubmonoid R
N P : AddSubmonoid A
m : R
hm : m ∈ M
np : A
hnp : np ∈ N ⊔ P
x✝ y✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ closure (↑N ∪ ↑P)
hy✝ : y✝ ∈ closure (↑N ∪ ↑P)
h1 : m • x✝ ∈ M • N ⊔ M • P
h2 : m • y✝ ∈ M • N ⊔ M • P
⊢ m • x✝ + m • y✝ ∈ M • N ⊔ M • P

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : DistribSMul R A
M : AddSubmonoid R
N P : AddSubmonoid A
m : R
hm : m ∈ M
np : A
hnp : np ∈ N ⊔ P
x✝ y✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ closure (↑N ∪ ↑P)
hy✝ : y✝ ∈ closure (↑N ∪ ↑P)
h1 : m • x✝ ∈ M • N ⊔ M • P
h2 : m • y✝ ∈ M • N ⊔ M • P
⊢ m • x✝ + m • y✝ ∈ M • N ⊔ M • P
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : DistribSMul R A
ι : Sort u_4
T : AddSubmonoid R
S : ι → AddSubmonoid A
t : R
ht : t ∈ T
s : A
hs : s ∈ ⨆ i, S i
⊢ 0 ∈ ⨆ i, T • S i

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : DistribSMul R A
ι : Sort u_4
T : AddSubmonoid R
S : ι → AddSubmonoid A
t : R
ht : t ∈ T
s : A
hs : s ∈ ⨆ i, S i
⊢ 0 ∈ ⨆ i, T • S i
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : DistribSMul R A
ι : Sort u_4
T : AddSubmonoid R
S : ι → AddSubmonoid A
t : R
ht : t ∈ T
s : A
hs : s ∈ ⨆ i, S i
x y : A
⊢ t • x ∈ ⨆ i, T • S i → t • y ∈ ⨆ i, T • S i → t • x + t • y ∈ ⨆ i, T • S i

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : DistribSMul R A
ι : Sort u_4
T : AddSubmonoid R
S : ι → AddSubmonoid A
t : R
ht : t ∈ T
s : A
hs : s ∈ ⨆ i, S i
x y : A
⊢ t • x ∈ ⨆ i, T • S i → t • y ∈ ⨆ i, T • S i → t • x + t • y ∈ ⨆ i, T • S i
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
hm : m = 0
n : R
x✝ : n ∈ S
⊢ m * n = 0

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
hm : m = 0
n : R
x✝ : n ∈ S
⊢ m * n = 0
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M N P : AddSubmonoid R
p : R
hp : p ∈ P
m : R
hm : m ∈ M
n : R
hn : n ∈ N
hmn : m + n ∈ M ⊔ N
⊢ m * p + n * p ∈ M * P ⊔ N * P

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M N P : AddSubmonoid R
p : R
hp : p ∈ P
m : R
hm : m ∈ M
n : R
hn : n ∈ N
hmn : m + n ∈ M ⊔ N
⊢ m * p + n * p ∈ M * P ⊔ N * P
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
ι : Sort u_4
S : ι → AddSubmonoid R
T : AddSubmonoid R
s : R
hs : s ∈ ⨆ i, S i
t : R
ht : t ∈ T
⊢ 0 ∈ ⨆ i, S i * T

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
ι : Sort u_4
S : ι → AddSubmonoid R
T : AddSubmonoid R
s : R
hs : s ∈ ⨆ i, S i
t : R
ht : t ∈ T
⊢ 0 ∈ ⨆ i, S i * T
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
ι : Sort u_4
S : ι → AddSubmonoid R
T : AddSubmonoid R
s : R
hs : s ∈ ⨆ i, S i
t : R
ht : t ∈ T
x✝¹ x✝ : R
⊢ x✝¹ * t ∈ ⨆ i, S i * T → x✝ * t ∈ ⨆ i, S i * T → x✝¹ * t + x✝ * t ∈ ⨆ i, S i * T

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
ι : Sort u_4
S : ι → AddSubmonoid R
T : AddSubmonoid R
s : R
hs : s ∈ ⨆ i, S i
t : R
ht : t ∈ T
x✝¹ x✝ : R
⊢ x✝¹ * t ∈ ⨆ i, S i * T → x✝ * t ∈ ⨆ i, S i * T → x✝¹ * t + x✝ * t ∈ ⨆ i, S i * T
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Map

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
A' : Type u_3
B : Type u_4
B' : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A'
inst✝² : AddCommMonoid B'
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B'
eA : A ≃ A'
eB : B ≃ B'
x : A ⊗[R] B
⊢ (TensorProduct.comm R A B) x =
    (TensorProduct.congr (linearEquiv R eA) (linearEquiv R eB) ≪≫ₗ
        (TensorProduct.comm R A' B' ≪≫ₗ TensorProduct.congr (linearEquiv R eB).symm (linearEquiv R eA).symm))
      x

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
A' : Type u_3
B : Type u_4
B' : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A'
inst✝² : AddCommMonoid B'
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B'
eA : A ≃ A'
eB : B ≃ B'
x : A ⊗[R] B
⊢ (TensorProduct.comm R A B) x =
    (TensorProduct.congr (linearEquiv R eA) (linearEquiv R eB) ≪≫ₗ
        (TensorProduct.comm R A' B' ≪≫ₗ TensorProduct.congr (linearEquiv R eB).symm (linearEquiv R eA).symm))
      x
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y z : R
⊢ IsCoprime (x + y * -z) y ↔ IsCoprime x y

Tactic:
add_mul_left_left_iff

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y z : R
⊢ IsCoprime x y ↔ IsCoprime x y
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y z : R
⊢ IsRelPrime (x + y * -z) y ↔ IsRelPrime x y

Tactic:
add_mul_left_left_iff

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y z : R
⊢ IsRelPrime x y ↔ IsRelPrime x y
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Lemmas

Goal state before:
pp: case mpr
m n : ℤ
⊢ ↑(m.gcd n) = ↑1 → IsCoprime m n

Tactic:
IsCoprime,

Goal state after:
case mpr
m n : ℤ
⊢ ↑(m.gcd n) = ↑1 → ∃ a b, a * m + b * n = 1
Module: Mathlib.Tactic.Order.ToInt

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
n : ℕ
val : Fin n → α
li : List α := List.ofFn val
sli : List α := li.mergeSort fun a b ↦ decide (a ≤ b)
this : ∀ (i : Fin n), ∃ j, sli[j] = val i
i j : Fin n
h_eq : ¬val i = val j
pf✝ : ∀ (j : Fin sli.length), ↑j < sli.length
hi : ∃ j, sli[↑j] = val i
hj : ∃ j_1, sli[↑j_1] = val j
⊢ val i ≤ val j ↔ ↑hi.choose ≤ ↑hj.choose

Tactic:
← hi.choose_spec,

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
n : ℕ
val : Fin n → α
li : List α := List.ofFn val
sli : List α := li.mergeSort fun a b ↦ decide (a ≤ b)
this : ∀ (i : Fin n), ∃ j, sli[j] = val i
i j : Fin n
pf✝ : ∀ (j : Fin sli.length), ↑j < sli.length
hi : ∃ j, sli[↑j] = val i
h_eq : ¬sli[↑hi.choose] = val j
hj : ∃ j_1, sli[↑j_1] = val j
⊢ val i ≤ val j ↔ ↑hi.choose ≤ ↑hj.choose
Module: Mathlib.Tactic.Order.ToInt

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
n : ℕ
val : Fin n → α
li : List α := List.ofFn val
sli : List α := li.mergeSort fun a b ↦ decide (a ≤ b)
this : ∀ (i : Fin n), ∃ j, sli[j] = val i
i j : Fin n
pf✝ : ∀ (j : Fin sli.length), ↑j < sli.length
hi : ∃ j, sli[↑j] = val i
hj : ∃ j_1, sli[↑j_1] = val j
h_eq : ¬sli[↑hi.choose] = sli[↑hj.choose]
| val i ≤ val j

Tactic:
← hi.choose_spec,

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
n : ℕ
val : Fin n → α
li : List α := List.ofFn val
sli : List α := li.mergeSort fun a b ↦ decide (a ≤ b)
this : ∀ (i : Fin n), ∃ j, sli[j] = val i
i j : Fin n
pf✝ : ∀ (j : Fin sli.length), ↑j < sli.length
hi : ∃ j, sli[↑j] = val i
hj : ∃ j_1, sli[↑j_1] = val j
h_eq : ¬sli[↑hi.choose] = sli[↑hj.choose]
| sli[↑hi.choose] ≤ val j
Module: Mathlib.Tactic.Order.ToInt

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
n : ℕ
val : Fin n → α
li : List α := ⋯
sli : List α := ⋯
this✝ : ∀ (i : Fin n), ∃ j, sli[j] = val i
i j : Fin n
pf✝ : ∀ (j : Fin sli.length), ↑j < sli.length
hi : ∃ j, sli[↑j] = val i
hj : ∃ j_1, sli[↑j_1] = val j
h_eq : ¬sli[↑hi.choose] = sli[↑hj.choose]
this :
  ∀ (i j : Fin (li.mergeSort fun a b ↦ decide (a ≤ b)).length),
    i < j →
      decide ((li.mergeSort fun a b ↦ decide (a ≤ b)).get i ≤ (li.mergeSort fun a b ↦ decide (a ≤ b)).get j) = true
h : ↑hi.choose ≤ ↑hj.choose
⊢ ↑hi.choose ≠ ↑hj.choose

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
n : ℕ
val : Fin n → α
li : List α := ⋯
sli : List α := ⋯
this✝ : ∀ (i : Fin n), ∃ j, sli[j] = val i
i j : Fin n
pf✝ : ∀ (j : Fin sli.length), ↑j < sli.length
hi : ∃ j, sli[↑j] = val i
hj : ∃ j_1, sli[↑j_1] = val j
h_eq : ¬sli[↑hi.choose] = sli[↑hj.choose]
this :
  ∀ (i j : Fin (li.mergeSort fun a b ↦ decide (a ≤ b)).length),
    i < j →
      decide ((li.mergeSort fun a b ↦ decide (a ≤ b)).get i ≤ (li.mergeSort fun a b ↦ decide (a ≤ b)).get j) = true
h : ↑hi.choose ≤ ↑hj.choose
⊢ ↑hi.choose ≠ ↑hj.choose