mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p : P
h : dist p₁ p * dist p₂ p = dist p₃ p * dist p₄ p
hp₁p₂ : ∠ p₁ p p₂ = π
hp₃p₄ : ∠ p₃ p p₄ = π
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p, p₃}
hp₁p₂_sbtw : Sbtw ℝ p₁ p p₂
hp₃p₄_sbtw : Sbtw ℝ p₃ p p₄
hindep : AffineIndependent ℝ ![p₁, p, p₃]
t : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p, p₃], independent := hindep }
ht : t = { points := ![p₁, p, p₃], independent := hindep }
S : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hS : S = affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hp₂ : p₂ ∈ S
hmem : p₄ ∈ line[ℝ, p₃, p]
⊢ {p₃, p} ⊆ {p₃, p, p₁}

Tactic:
;

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p : P
h : dist p₁ p * dist p₂ p = dist p₃ p * dist p₄ p
hp₁p₂ : ∠ p₁ p p₂ = π
hp₃p₄ : ∠ p₃ p p₄ = π
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p, p₃}
hp₁p₂_sbtw : Sbtw ℝ p₁ p p₂
hp₃p₄_sbtw : Sbtw ℝ p₃ p p₄
hindep : AffineIndependent ℝ ![p₁, p, p₃]
t : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p, p₃], independent := hindep }
ht : t = { points := ![p₁, p, p₃], independent := hindep }
S : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hS : S = affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hp₂ : p₂ ∈ S
hmem : p₄ ∈ line[ℝ, p₃, p]
⊢ {p₃, p} ⊆ {p₃, p, p₁}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : v = 0
⊢ dist ((-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ dist ((-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center

Tactic:
;

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : v = 0
⊢ dist ((-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center

case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ dist ((-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case e_a.e_direction.mp
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
r : ℝ
⊢ ∃ a, a • (s.points i₂ -ᵥ s.points i₁) = r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂)

Tactic:
;

Goal state after:
case e_a.e_direction.mp
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
r : ℝ
⊢ ∃ a, a • (s.points i₂ -ᵥ s.points i₁) = r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
r : ℝ
⊢ -r • (s.points i₂ -ᵥ s.points i₁) = r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂)

Tactic:
;

Goal state after:
case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
r : ℝ
⊢ -r • (s.points i₂ -ᵥ s.points i₁) = r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case e_a.e_direction.mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
r : ℝ
⊢ ∃ a, a • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂) = r • (s.points i₂ -ᵥ s.points i₁)

Tactic:
;

Goal state after:
case e_a.e_direction.mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
r : ℝ
⊢ ∃ a, a • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂) = r • (s.points i₂ -ᵥ s.points i₁)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
r : ℝ
⊢ -r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂) = r • (s.points i₂ -ᵥ s.points i₁)

Tactic:
;

Goal state after:
case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
r : ℝ
⊢ -r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂) = r • (s.points i₂ -ᵥ s.points i₁)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity

Goal state before:
pp: case h.«0».«1»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ dist a b = k * dist a' b'

Tactic:
;

Goal state after:
case h.«0».«1»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ dist a b = k * dist a' b'
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity

Goal state before:
pp: case h.«0».«2»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ dist a c = k * dist a' c'

Tactic:
;

Goal state after:
case h.«0».«2»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ dist a c = k * dist a' c'
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity

Goal state before:
pp: case h.«1».«0»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ dist b a = k * dist b' a'

Tactic:
;

Goal state after:
case h.«1».«0»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ dist b a = k * dist b' a'
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity

Goal state before:
pp: case h.«1».«2»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ dist b c = k * dist b' c'

Tactic:
;

Goal state after:
case h.«1».«2»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩
⊢ dist b c = k * dist b' c'
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity

Goal state before:
pp: case h.«2».«0»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ dist c a = k * dist c' a'

Tactic:
;

Goal state after:
case h.«2».«0»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ dist c a = k * dist c' a'
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity

Goal state before:
pp: case h.«2».«1»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ dist c b = k * dist c' b'

Tactic:
;

Goal state after:
case h.«2».«1»
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
dist_a'b' : dist a' b' ≠ 0
dist_b'c' : dist b' c' ≠ 0
k : ℝ := dist a b / dist a' b'
hd : k = dist b c / dist b' c'
hk : k = dist a b / dist a' b'
k_pos : 0 < k
h_ab : dist a b = k * dist a' b'
h_bc : dist b c = k * dist b' c'
hcos : dist c a = k * dist c' a'
hcos' : dist a' c' ^ 2 = dist a' b' ^ 2 + dist c' b' ^ 2 - dist a' b' * dist c' b' * 2 * Real.cos (∠ a' b' c')
dist_ac_pos : 0 < dist a c
k_dist_a'c' : 0 ≤ k * dist a' c'
hij : (fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ dist c b = k * dist c' b'
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : v = 0
⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p

Tactic:
;

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : v = 0
⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p

case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: case e'_9
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p : P
h : dist p₁ p * dist p₂ p = dist p₃ p * dist p₄ p
hp₁p₂ : ∠ p₁ p p₂ = π
hp₃p₄ : ∠ p₃ p p₄ = π
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p, p₃}
hp₁p₂_sbtw : Sbtw ℝ p₁ p p₂
hp₃p₄_sbtw : Sbtw ℝ p₃ p p₄
hindep : AffineIndependent ℝ ![p₁, p, p₃]
t : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p, p₃], independent := hindep }
ht : t = { points := ![p₁, p, p₃], independent := hindep }
S : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hS : S = affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hp₂ : p₂ ∈ S
hp₄ : p₄ ∈ S
s_isom : ↥S →ᵃⁱ[ℝ] P := S.subtypeₐᵢ
p₁' : ↥S := ⟨p₁, ⋯⟩
p' : ↥S := ⟨p, ⋯⟩
p₃' : ↥S := ⟨p₃, ⋯⟩
p₂' : ↥S := ⟨p₂, hp₂⟩
p₄' : ↥S := ⟨p₄, hp₄⟩
h_dist' : dist p₁' p' * dist p₂' p' = dist p₃' p' * dist p₄' p'
hp₁'p₂' : ∠ p₁' p' p₂' = π
hp₃'p₄' : ∠ p₃' p' p₄' = π
hf2 : Fact (finrank ℝ ↥S.direction = 2)
this : Oriented ℝ (↥S.direction) (Fin 2) :=
  { positiveOrientation := (finBasisOfFinrankEq ℝ ↥S.direction ⋯).orientation }
i : Fin (Nat.succ 0).succ.succ
⊢ (⇑s_isom.toAffineMap ∘ ![p₁', p', p₃']) i = ![p₁, p, p₃] i

Tactic:
;

Goal state after:
case e'_9
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p : P
h : dist p₁ p * dist p₂ p = dist p₃ p * dist p₄ p
hp₁p₂ : ∠ p₁ p p₂ = π
hp₃p₄ : ∠ p₃ p p₄ = π
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p, p₃}
hp₁p₂_sbtw : Sbtw ℝ p₁ p p₂
hp₃p₄_sbtw : Sbtw ℝ p₃ p p₄
hindep : AffineIndependent ℝ ![p₁, p, p₃]
t : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p, p₃], independent := hindep }
ht : t = { points := ![p₁, p, p₃], independent := hindep }
S : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hS : S = affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hp₂ : p₂ ∈ S
hp₄ : p₄ ∈ S
s_isom : ↥S →ᵃⁱ[ℝ] P := S.subtypeₐᵢ
p₁' : ↥S := ⟨p₁, ⋯⟩
p' : ↥S := ⟨p, ⋯⟩
p₃' : ↥S := ⟨p₃, ⋯⟩
p₂' : ↥S := ⟨p₂, hp₂⟩
p₄' : ↥S := ⟨p₄, hp₄⟩
h_dist' : dist p₁' p' * dist p₂' p' = dist p₃' p' * dist p₄' p'
hp₁'p₂' : ∠ p₁' p' p₂' = π
hp₃'p₄' : ∠ p₃' p' p₄' = π
hf2 : Fact (finrank ℝ ↥S.direction = 2)
this : Oriented ℝ (↥S.direction) (Fin 2) :=
  { positiveOrientation := (finBasisOfFinrankEq ℝ ↥S.direction ⋯).orientation }
i : Fin (Nat.succ 0).succ.succ
⊢ (⇑s_isom.toAffineMap ∘ ![p₁', p', p₃']) i = ![p₁, p, p₃] i
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : p' = p
⊢ Wbtw ℝ p p' (s.secondInter p (p' -ᵥ p))

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : ¬p' = p
⊢ Wbtw ℝ p p' (s.secondInter p (p' -ᵥ p))

Tactic:
;

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : p' = p
⊢ Wbtw ℝ p p' (s.secondInter p (p' -ᵥ p))

case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : ¬p' = p
⊢ Wbtw ℝ p p' (s.secondInter p (p' -ᵥ p))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₂ : p ∈ altitude t i₂
i₃ : Fin 3
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter

Tactic:
t.altitude_eq_mongePlane h₂₃ h₁₂.symm h₁₃.symm

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
p : P
hr : 0 ≤ s.radius
⊢ s.power p = 0 ↔ p ∈ s

Tactic:
power,

Goal state after:
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
p : P
hr : 0 ≤ s.radius
⊢ dist p s.center ^ 2 - s.radius ^ 2 = 0 ↔ p ∈ s
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
p : P
hr : 0 ≤ s.radius
⊢ 0 < s.power p ↔ s.radius < dist p s.center

Tactic:
power,

Goal state after:
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
p : P
hr : 0 ≤ s.radius
⊢ 0 < dist p s.center ^ 2 - s.radius ^ 2 ↔ s.radius < dist p s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
p : P
hr : 0 ≤ s.radius
⊢ s.power p < 0 ↔ dist p s.center < s.radius

Tactic:
power,

Goal state after:
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
p : P
hr : 0 ≤ s.radius
⊢ dist p s.center ^ 2 - s.radius ^ 2 < 0 ↔ dist p s.center < s.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
p : P
hr : 0 ≤ s.radius
⊢ 0 ≤ s.power p ↔ s.radius ≤ dist p s.center

Tactic:
power,

Goal state after:
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
p : P
hr : 0 ≤ s.radius
⊢ 0 ≤ dist p s.center ^ 2 - s.radius ^ 2 ↔ s.radius ≤ dist p s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
p : P
hr : 0 ≤ s.radius
⊢ s.power p ≤ 0 ↔ dist p s.center ≤ s.radius

Tactic:
power,

Goal state after:
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
p : P
hr : 0 ≤ s.radius
⊢ dist p s.center ^ 2 - s.radius ^ 2 ≤ 0 ↔ dist p s.center ≤ s.radius