mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
⊢ ⟨p.proj.2, (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.proj.1) (TangentSpace I' p.proj.2)) p.snd⟩ =
    ⟨p.proj.2, p.snd.2⟩

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
⊢ ⟨p.proj.2, (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.proj.1) (TangentSpace I' p.proj.2)) p.snd⟩ =
    ⟨p.proj.2, p.snd.2⟩
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
this : IsManifold I (0 + 1) M
i j k : ↑(atlas H M)
x✝ : M
hxk : x✝ ∈ (↑k).source
hxi : x✝ ∈ (↑i).source
hxj : x✝ ∈ (↑j).source
v x : E
a✝ : x ∈ range ↑I
⊢ (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) x ∈ range ↑I

Tactic:
;

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
this : IsManifold I (0 + 1) M
i j k : ↑(atlas H M)
x✝ : M
hxk : x✝ ∈ (↑k).source
hxi : x✝ ∈ (↑i).source
hxj : x✝ ∈ (↑j).source
v x : E
a✝ : x ∈ range ↑I
⊢ (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) x ∈ range ↑I
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set (M × M')
proj✝ : M × M'
snd✝ : TangentSpace (I.prod I') proj✝
hs : UniqueMDiffAt[s] ⟨proj✝, snd✝⟩.proj
⊢ ⟨⟨proj✝, snd✝⟩.proj.2,
      (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I ⟨proj✝, snd✝⟩.proj.1) (TangentSpace I' ⟨proj✝, snd✝⟩.proj.2))
        ⟨proj✝, snd✝⟩.snd⟩ =
    ⟨⟨proj✝, snd✝⟩.proj.2, ⟨proj✝, snd✝⟩.snd.2⟩

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set (M × M')
proj✝ : M × M'
snd✝ : TangentSpace (I.prod I') proj✝
hs : UniqueMDiffAt[s] ⟨proj✝, snd✝⟩.proj
⊢ ⟨⟨proj✝, snd✝⟩.proj.2,
      (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I ⟨proj✝, snd✝⟩.proj.1) (TangentSpace I' ⟨proj✝, snd✝⟩.proj.2))
        ⟨proj✝, snd✝⟩.snd⟩ =
    ⟨⟨proj✝, snd✝⟩.proj.2, ⟨proj✝, snd✝⟩.snd.2⟩
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
g : M' → M''
hg : MDiff g
hf : MDiff f
p : TangentBundle I M
⊢ tangentMap I I'' (g ∘ f) p = (tangentMap I' I'' g ∘ tangentMap I I' f) p

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
g : M' → M''
hg : MDiff g
hf : MDiff f
p : TangentBundle I M
⊢ tangentMap I I'' (g ∘ f) p = (tangentMap I' I'' g ∘ tangentMap I I' f) p
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M × M' → M''
p : M × M'
hf : MDiffAt f p
⊢ (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)).prod 0 +
      ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2)) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace (I.prod I') (p.1, p.2))

Tactic:
exact ContinuousLinearMap.coprod_inl_inr

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: case h.h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p x : TangentBundle I H
⊢ (↑(chartAt (ModelProd H E) p).toPartialEquiv x).1 = (↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv x).1

pp: case h.h₂
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p x : TangentBundle I H
⊢ (↑(chartAt (ModelProd H E) p).toPartialEquiv x).2 = (↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv x).2

Tactic:
;

Goal state after:
case h.h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p x : TangentBundle I H
⊢ (↑(chartAt (ModelProd H E) p).toPartialEquiv x).1 = (↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv x).1

case h.h₂
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p x : TangentBundle I H
⊢ (↑(chartAt (ModelProd H E) p).toPartialEquiv x).2 = (↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv x).2
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: case hsymm.proj
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
x : ModelProd H E
⊢ (↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm x).proj = (↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.symm x).proj

pp: case hsymm.snd
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
x : ModelProd H E
⊢ (↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm x).snd ≍ (↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.symm x).snd

Tactic:
;

Goal state after:
case hsymm.proj
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
x : ModelProd H E
⊢ (↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm x).proj = (↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.symm x).proj

case hsymm.snd
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
x : ModelProd H E
⊢ (↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm x).snd ≍ (↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.symm x).snd
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
⊢ ↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv = ⇑(TotalSpace.toProd H E)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
⊢ ↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv = ⇑(TotalSpace.toProd H E)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
⊢ ↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.symm = ⇑(TotalSpace.toProd H E).symm

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
⊢ ↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.symm = ⇑(TotalSpace.toProd H E).symm
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x x' z : H
v : E
⊢ ((tangentBundleCore I H).coordChange (achart H x) (achart H x') z) v = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E) v

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x x' z : H
v : E
⊢ ((tangentBundleCore I H).coordChange (achart H x) (achart H x') z) v = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E) v
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: case fst
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : ChartedSpace HB B
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsContMDiff IB a n
e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ (↑e.symm (b, v)).proj ∈ e'.baseSet

Tactic:
rw [e.proj_symm_apply' hb.1]

Goal state after:
case fst
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : ChartedSpace HB B
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsContMDiff IB a n
e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ b ∈ e'.baseSet
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: case fst
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : ChartedSpace HB B
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsContMDiff IB a n
e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ b ∈ e'.baseSet

Tactic:
;

Goal state after:
case fst
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : ChartedSpace HB B
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsContMDiff IB a n
e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.pretrivializationAtlas
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ b ∈ e'.baseSet
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
s : Set M
z : M
f : M → E'
hf : MDiffAt[s] (-f) z
⊢ f = - -f

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
s : Set M
z : M
f : M → E'
hf : MDiffAt[s] (-f) z
⊢ f = - -f
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f : M → E'
hf : MDiffAt (-f) z
⊢ f = - -f

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f : M → E'
hf : MDiffAt (-f) z
⊢ f = - -f
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
s : Set M
x : M
f : M → E'
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hf : ¬MDiffAt[s] f x
⊢ (if MDiffAt[s] (-f) x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x (-f)) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x)
    else 0) =
    -0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
s : Set M
x : M
f : M → E'
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hf : ¬MDiffAt[s] f x
⊢ (if MDiffAt[s] (-f) x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x (-f)) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x)
    else 0) =
    -0
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
s : Set M
x : M
f : M → E'
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hf : ¬MDiffAt[s] (-f) x
⊢ (if MDiffAt[s] (-f) x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x (-f)) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x)
    else 0) =
    -0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
s : Set M
x : M
f : M → E'
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hf : ¬MDiffAt[s] (-f) x
⊢ (if MDiffAt[s] (-f) x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I 𝓘(𝕜, E') x (-f)) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x)
    else 0) =
    -0
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝¹ : NormedCommRing F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivAt[s] p z p'
hq : HasMFDerivAt[s] q z q'
⊢ HSMul.hSMul (q z) = HSMul.hSMul (MulOpposite.op (q z))

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝¹ : NormedCommRing F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivAt[s] p z p'
hq : HasMFDerivAt[s] q z q'
⊢ HSMul.hSMul (q z) = HSMul.hSMul (MulOpposite.op (q z))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SMul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
H'' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H''
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
G : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : ChartedSpace H G
M : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H' M
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H'' N
n : ℕ∞ω
⊢ ContMDiff (𝓘(𝕜, 𝕜).prod 𝓘(𝕜, E)) (𝓘(𝕜, 𝕜).prod 𝓘(𝕜, E)) n id

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
H'' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H''
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
G : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : ChartedSpace H G
M : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H' M
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H'' N
n : ℕ∞ω
⊢ ContMDiff (𝓘(𝕜, 𝕜).prod 𝓘(𝕜, E)) (𝓘(𝕜, 𝕜).prod 𝓘(𝕜, E)) n id
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝¹ : NormedCommRing F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivAt[s] p z p'
hq : HasMFDerivAt[s] q z q'
x✝¹ : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
x✝ : TangentSpace I z
⊢ (q z • x✝¹) x✝ = (MulOpposite.op (q z) • x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝¹ : NormedCommRing F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivAt[s] p z p'
hq : HasMFDerivAt[s] q z q'
x✝¹ : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
x✝ : TangentSpace I z
⊢ (q z • x✝¹) x✝ = (MulOpposite.op (q z) • x✝¹) x✝