mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Factorizations.CM5a

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
f : K ⟶ L
inst✝ : EnoughInjectives C
n₀✝ n₁ : ℤ
hn₁ : n₀✝ + 1 = n₁
hf : ∀ i ≤ n₀✝, QuasiIsoAt f i
n₀ : ℤ := n₁ - 1
A : C
x₁ : A ⟶ K.X n₁
x✝ : x₁ ≫ K.d n₁ (n₁ + 1) = 0
y₀ : A ⟶ L.X n₀
h₂ : x₁ ≫ f.f n₁ = y₀ ≫ L.d n₀ n₁
h₁ : x₁ ≫ pOpcycles K n₁ = 0
⊢ n₁ - 1 = n₀

Tactic:
;

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
f : K ⟶ L
inst✝ : EnoughInjectives C
n₀✝ n₁ : ℤ
hn₁ : n₀✝ + 1 = n₁
hf : ∀ i ≤ n₀✝, QuasiIsoAt f i
n₀ : ℤ := n₁ - 1
A : C
x₁ : A ⟶ K.X n₁
x✝ : x₁ ≫ K.d n₁ (n₁ + 1) = 0
y₀ : A ⟶ L.X n₀
h₂ : x₁ ≫ f.f n₁ = y₀ ≫ L.d n₀ n₁
h₁ : x₁ ≫ pOpcycles K n₁ = 0
⊢ n₁ - 1 = n₀
Module: Mathlib.AlgebraicTopology.ModelCategory.FibrantObjectHomotopy

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : ModelCategory C
⊢ (Quotient.functor (homRel C)).Full

Tactic:
;

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : ModelCategory C
⊢ (Quotient.functor (homRel C)).Full
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Factorizations.CM5a

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
f : K ⟶ L
inst✝ : EnoughInjectives C
n q : ℤ
hq : q < n
this✝ : Mono (homologyMap (π f n) q)
this : Epi (homologyMap (π f n) q)
⊢ IsIso (homologyMap (π f n) q)

Tactic:
apply Balanced.isIso_of_mono_of_epi

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicTopology.ModelCategory.FibrantObjectHomotopy

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : ModelCategory C
X : FibrantObject C
⊢ IsFibrant X.obj

Tactic:
;

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : ModelCategory C
X : FibrantObject C
⊢ IsFibrant X.obj
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Factorizations.CM5a

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
f : K ⟶ L
inst✝² : EnoughInjectives C
n : ℤ
hf : ∀ i < n, QuasiIsoAt f i
inst✝¹ : Mono f
inst✝ : Mono (homologyMap f n)
hq : n ≤ n
this : Mono (homologyMap (π f n) n)
⊢ Mono (homologyMap (mappingCocone.fst (α f n)) n)

Tactic:
;

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
f : K ⟶ L
inst✝² : EnoughInjectives C
n : ℤ
hf : ∀ i < n, QuasiIsoAt f i
inst✝¹ : Mono f
inst✝ : Mono (homologyMap f n)
hq : n ≤ n
this : Mono (homologyMap (π f n) n)
⊢ Mono (homologyMap (mappingCocone.fst (α f n)) n)
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Opposite

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
F : C₁ ⥤ C₂
⊢ (mk F (𝟭 C₁) (𝟭 C₂) F (𝟙 F)).GuitartExact

Tactic:
rw [← guitartExact_op_iff]

Goal state after:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
F : C₁ ⥤ C₂
⊢ (mk F (𝟭 C₁) (𝟭 C₂) F (𝟙 F)).op.GuitartExact
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Opposite

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
F : C₁ ⥤ C₂
⊢ (mk F (𝟭 C₁) (𝟭 C₂) F (𝟙 F)).GuitartExact

Tactic:
by
  rw [← guitartExact_op_iff]
  apply guitartExact_id

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Opposite

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
inst✝² : T.IsEquivalence
inst✝¹ : B.IsEquivalence
inst✝ : IsIso w.natTrans
⊢ w.GuitartExact

Tactic:
rw [← guitartExact_op_iff]

Goal state after:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
inst✝² : T.IsEquivalence
inst✝¹ : B.IsEquivalence
inst✝ : IsIso w.natTrans
⊢ w.op.GuitartExact
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Factorizations.CM5a

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
f : K ⟶ L
inst✝¹ : EnoughInjectives C
inst✝ : Mono f
n₀ n₁ : ℤ
hf : ∀ i ≤ n₀, QuasiIsoAt f i
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
F₁ : (cofFib f).FullSubcategory
h₁ : quasiIsoLE n₀ F₁
h₂ : isIsoLE n₀ F₁
right✝ : Mono (homologyMap F₁.obj.ι n₁)
F₂ : (cofFib F₁.obj.ι).FullSubcategory
h₃ : quasiIsoLE n₁ F₂
h₄ : isIsoLE n₁ F₂
⊢ Mono F₂.obj.ι

Tactic:
;

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
f : K ⟶ L
inst✝¹ : EnoughInjectives C
inst✝ : Mono f
n₀ n₁ : ℤ
hf : ∀ i ≤ n₀, QuasiIsoAt f i
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
F₁ : (cofFib f).FullSubcategory
h₁ : quasiIsoLE n₀ F₁
h₂ : isIsoLE n₀ F₁
right✝ : Mono (homologyMap F₁.obj.ι n₁)
F₂ : (cofFib F₁.obj.ι).FullSubcategory
h₃ : quasiIsoLE n₁ F₂
h₄ : isIsoLE n₁ F₂
⊢ Mono F₂.obj.ι
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Basic

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ (StructuredArrow.hom f₁).left ≫ T.map (StructuredArrow.Hom.right φ).left = (StructuredArrow.hom f₂).left

Tactic:
;

Goal state after:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ (StructuredArrow.hom f₁).left ≫ T.map (StructuredArrow.Hom.right φ).left = (StructuredArrow.hom f₂).left
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Basic

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ (StructuredArrow.hom f₁).left ≫ T.map (StructuredArrow.Hom.right φ).left =
    (StructuredArrow.hom f₁ ≫ (w.costructuredArrowRightwards X₃).map (StructuredArrow.Hom.right φ)).left

Tactic:
;

Goal state after:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ (StructuredArrow.hom f₁).left ≫ T.map (StructuredArrow.Hom.right φ).left =
    (StructuredArrow.hom f₁ ≫ (w.costructuredArrowRightwards X₃).map (StructuredArrow.Hom.right φ)).left
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Basic

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ StructuredArrow.Hom.right
      ((w.structuredArrowDownwards X₂).map (StructuredArrow.homMk (StructuredArrow.Hom.right φ).left ⋯) ≫
        (CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk (StructuredArrow.right f₂).hom ⋯)).hom) =
    StructuredArrow.Hom.right (CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk (StructuredArrow.right f₁).hom ⋯)).hom

Tactic:
;

Goal state after:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ StructuredArrow.Hom.right
      ((w.structuredArrowDownwards X₂).map (StructuredArrow.homMk (StructuredArrow.Hom.right φ).left ⋯) ≫
        (CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk (StructuredArrow.right f₂).hom ⋯)).hom) =
    StructuredArrow.Hom.right (CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk (StructuredArrow.right f₁).hom ⋯)).hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Basic

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ L.map (StructuredArrow.Hom.right φ.left) ≫ StructuredArrow.Hom.right (CostructuredArrow.hom f₂) =
    StructuredArrow.Hom.right (CostructuredArrow.hom f₁)

Tactic:
;

Goal state after:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ L.map (StructuredArrow.Hom.right φ.left) ≫ StructuredArrow.Hom.right (CostructuredArrow.hom f₂) =
    StructuredArrow.Hom.right (CostructuredArrow.hom f₁)
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Basic

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ L.map (StructuredArrow.Hom.right φ.left) ≫ StructuredArrow.Hom.right (CostructuredArrow.hom f₂) =
    StructuredArrow.Hom.right ((w.structuredArrowDownwards X₂).map φ.left ≫ CostructuredArrow.hom f₂)

Tactic:
;

Goal state after:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ L.map (StructuredArrow.Hom.right φ.left) ≫ StructuredArrow.Hom.right (CostructuredArrow.hom f₂) =
    StructuredArrow.Hom.right ((w.structuredArrowDownwards X₂).map φ.left ≫ CostructuredArrow.hom f₂)
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Basic

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ ((StructuredArrow.mk (CostructuredArrow.homMk (CostructuredArrow.left f₁).hom ⋯)).hom ≫
        (w.costructuredArrowRightwards X₃).map (CostructuredArrow.homMk (StructuredArrow.Hom.right φ.left) ⋯)).left =
    (StructuredArrow.mk (CostructuredArrow.homMk (CostructuredArrow.left f₂).hom ⋯)).hom.left

Tactic:
;

Goal state after:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ ((StructuredArrow.mk (CostructuredArrow.homMk (CostructuredArrow.left f₁).hom ⋯)).hom ≫
        (w.costructuredArrowRightwards X₃).map (CostructuredArrow.homMk (StructuredArrow.Hom.right φ.left) ⋯)).left =
    (StructuredArrow.mk (CostructuredArrow.homMk (CostructuredArrow.left f₂).hom ⋯)).hom.left
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Factorizations.CM5a

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
f : K ⟶ L
inst✝ : EnoughInjectives C
n₀ : ℤ
F : CofFibFactorizationQuasiIsoLE f n₀
n₁ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
F₁₂ : (cofFib F.obj.obj.ι).FullSubcategory
h₁ : quasiIsoLE n₁ F₁₂
h₂ : isIsoLE n₀ F₁₂
⊢ Mono F₁₂.obj.ι

Tactic:
;

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
f : K ⟶ L
inst✝ : EnoughInjectives C
n₀ : ℤ
F : CofFibFactorizationQuasiIsoLE f n₀
n₁ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
F₁₂ : (cofFib F.obj.obj.ι).FullSubcategory
h₁ : quasiIsoLE n₁ F₁₂
h₂ : isIsoLE n₀ F₁₂
⊢ Mono F₁₂.obj.ι
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Basic

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
F : C₁ ⥤ C₂
⊢ (mk (𝟭 C₁) F F (𝟭 C₂) (𝟙 F)).GuitartExact

Tactic:
rw [guitartExact_iff_isConnected_rightwards]
  intro X₂ X₃ (g : F.obj X₂ ⟶ X₃)
  let Z := StructuredArrowRightwards (TwoSquare.mk (𝟭 C₁) F F (𝟭 C₂) (𝟙 F)) g
  let X₀ : Z := StructuredArrow.mk (Y := CostructuredArrow.mk g) (CostructuredArrow.homMk (𝟙 _))
  have φ : ∀ (X : Z), X₀ ⟶ X := fun X =>
    StructuredArrow.homMk (CostructuredArrow.homMk X.hom.left
      (by simpa using! CostructuredArrow.w X.hom))
  have : Nonempty Z := ⟨X₀⟩
  apply zigzag_isConnected
  intro X Y
  exact Zigzag.of_inv_hom (φ X) (φ Y)

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Quotient

Goal state before:
pp: C₀ : Type u_1
C : Type u_2
H₀ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C₀
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} C
inst✝⁴ : Category.{v_3, u_3} H₀
inst✝³ : Category.{v_4, u_4} H
T : C₀ ⥤ H₀
L : C₀ ⥤ C
R : H₀ ⥤ H
B : C ⥤ H
inst✝² : T.EssSurj
inst✝¹ : T.Full
inst✝ : B.Full
e : T ⋙ R ≅ L ⋙ B
he :
  ∀ ⦃X : C⦄ ⦃Y₀ : C₀⦄ (f₀ f₁ : X ⟶ L.obj Y₀),
    B.map f₀ = B.map f₁ → ∃ P, T.map P.p₀ = T.map P.p₁ ∧ Nonempty ((P.map L).RightHomotopy f₀ f₁)
⊢ GuitartExact e.inv

Tactic:
rw [← guitartExact_op_iff]

Goal state after:
C₀ : Type u_1
C : Type u_2
H₀ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C₀
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} C
inst✝⁴ : Category.{v_3, u_3} H₀
inst✝³ : Category.{v_4, u_4} H
T : C₀ ⥤ H₀
L : C₀ ⥤ C
R : H₀ ⥤ H
B : C ⥤ H
inst✝² : T.EssSurj
inst✝¹ : T.Full
inst✝ : B.Full
e : T ⋙ R ≅ L ⋙ B
he :
  ∀ ⦃X : C⦄ ⦃Y₀ : C₀⦄ (f₀ f₁ : X ⟶ L.obj Y₀),
    B.map f₀ = B.map f₁ → ∃ P, T.map P.p₀ = T.map P.p₁ ∧ Nonempty ((P.map L).RightHomotopy f₀ f₁)
⊢ (op e.inv).GuitartExact
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Factorizations.CM5a

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
inst✝¹ : EnoughInjectives C
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
inst✝ : K.IsStrictlyGE n₁
⊢ K.IsStrictlyGE n₁

Tactic:
;

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
inst✝¹ : EnoughInjectives C
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
inst✝ : K.IsStrictlyGE n₁
⊢ K.IsStrictlyGE n₁
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.HorizontalComposition

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{v_3, u_3} C₃
inst✝⁴ : Category.{v_4, u_4} D₁
inst✝³ : Category.{v_5, u_5} D₂
inst✝² : Category.{v_6, u_6} D₃
V₁ : C₁ ⥤ D₁
T₁ : C₁ ⥤ C₂
B₁ : D₁ ⥤ D₂
V₂ : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T₁ V₁ V₂ B₁
T₂ : C₂ ⥤ C₃
B₂ : D₂ ⥤ D₃
V₃ : C₃ ⥤ D₃
w' : TwoSquare T₂ V₂ V₃ B₂
inst✝¹ : w.GuitartExact
inst✝ : w'.GuitartExact
⊢ (w ≫ₕ w').GuitartExact

Tactic:
rw [← guitartExact_op_iff]

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{v_3, u_3} C₃
inst✝⁴ : Category.{v_4, u_4} D₁
inst✝³ : Category.{v_5, u_5} D₂
inst✝² : Category.{v_6, u_6} D₃
V₁ : C₁ ⥤ D₁
T₁ : C₁ ⥤ C₂
B₁ : D₁ ⥤ D₂
V₂ : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T₁ V₁ V₂ B₁
T₂ : C₂ ⥤ C₃
B₂ : D₂ ⥤ D₃
V₃ : C₃ ⥤ D₃
w' : TwoSquare T₂ V₂ V₃ B₂
inst✝¹ : w.GuitartExact
inst✝ : w'.GuitartExact
⊢ (w ≫ₕ w').op.GuitartExact
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.HorizontalComposition

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{v_3, u_3} C₃
inst✝⁴ : Category.{v_4, u_4} D₁
inst✝³ : Category.{v_5, u_5} D₂
inst✝² : Category.{v_6, u_6} D₃
V₁ : C₁ ⥤ D₁
T₁ : C₁ ⥤ C₂
B₁ : D₁ ⥤ D₂
V₂ : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T₁ V₁ V₂ B₁
T₂ : C₂ ⥤ C₃
B₂ : D₂ ⥤ D₃
V₃ : C₃ ⥤ D₃
w' : TwoSquare T₂ V₂ V₃ B₂
inst✝¹ : w.GuitartExact
inst✝ : w'.GuitartExact
X✝ : C₁ᵒᵖ
⊢ (w ≫ₕ w').op.natTrans.app X✝ = (w.op ≫ᵥ w'.op).natTrans.app X✝

Tactic:
;

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{v_3, u_3} C₃
inst✝⁴ : Category.{v_4, u_4} D₁
inst✝³ : Category.{v_5, u_5} D₂
inst✝² : Category.{v_6, u_6} D₃
V₁ : C₁ ⥤ D₁
T₁ : C₁ ⥤ C₂
B₁ : D₁ ⥤ D₂
V₂ : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T₁ V₁ V₂ B₁
T₂ : C₂ ⥤ C₃
B₂ : D₂ ⥤ D₃
V₃ : C₃ ⥤ D₃
w' : TwoSquare T₂ V₂ V₃ B₂
inst✝¹ : w.GuitartExact
inst✝ : w'.GuitartExact
X✝ : C₁ᵒᵖ
⊢ (w ≫ₕ w').op.natTrans.app X✝ = (w.op ≫ᵥ w'.op).natTrans.app X✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.DerivabilityStructure.OfLocalizedEquivalences

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} D₁
inst✝⁸ : Category.{v_4, u_4} D₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₁' : MorphismProperty D₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₂' : MorphismProperty D₂
T : LocalizerMorphism W₁ W₂
L : LocalizerMorphism W₁ W₁'
R : LocalizerMorphism W₂ W₂'
B : LocalizerMorphism W₁' W₂'
inst✝⁷ : W₂'.RespectsIso
inst✝⁶ : L.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : R.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁴ : R.functor.EssSurj
inst✝³ : L.functor.EssSurj
inst✝² : R.functor.Full
inst✝¹ : R.IsInduced
iso : T.functor ⋙ R.functor ≅ L.functor ⋙ B.functor
inst✝ : TwoSquare.GuitartExact iso.inv
x✝ : B.IsLeftDerivabilityStructure
this : T.HasLeftResolutions
F : W₁'.Localization ⥤ W₂'.Localization := B.localizedFunctor W₁'.Q W₂'.Q
e' : B.functor ⋙ W₂'.Q ≅ W₁'.Q ⋙ F := CatCommSq.iso B.functor W₁'.Q W₂'.Q F
e : T.functor ⋙ R.functor ⋙ W₂'.Q ≅ (L.functor ⋙ W₁'.Q) ⋙ F :=
  (T.functor.associator R.functor W₂'.Q).symm ≪≫
    Functor.isoWhiskerRight iso W₂'.Q ≪≫
      L.functor.associator B.functor W₂'.Q ≪≫ L.functor.isoWhiskerLeft e' ≪≫ (L.functor.associator W₁'.Q F).symm
he' : TwoSquare.GuitartExact e'.inv
X✝ : C₁
⊢ (TwoSquare.hComp iso.inv e'.inv).natTrans.app X✝ = (TwoSquare.natTrans e.inv).app X✝

Tactic:
;

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} D₁
inst✝⁸ : Category.{v_4, u_4} D₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₁' : MorphismProperty D₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₂' : MorphismProperty D₂
T : LocalizerMorphism W₁ W₂
L : LocalizerMorphism W₁ W₁'
R : LocalizerMorphism W₂ W₂'
B : LocalizerMorphism W₁' W₂'
inst✝⁷ : W₂'.RespectsIso
inst✝⁶ : L.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : R.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁴ : R.functor.EssSurj
inst✝³ : L.functor.EssSurj
inst✝² : R.functor.Full
inst✝¹ : R.IsInduced
iso : T.functor ⋙ R.functor ≅ L.functor ⋙ B.functor
inst✝ : TwoSquare.GuitartExact iso.inv
x✝ : B.IsLeftDerivabilityStructure
this : T.HasLeftResolutions
F : W₁'.Localization ⥤ W₂'.Localization := B.localizedFunctor W₁'.Q W₂'.Q
e' : B.functor ⋙ W₂'.Q ≅ W₁'.Q ⋙ F := CatCommSq.iso B.functor W₁'.Q W₂'.Q F
e : T.functor ⋙ R.functor ⋙ W₂'.Q ≅ (L.functor ⋙ W₁'.Q) ⋙ F :=
  (T.functor.associator R.functor W₂'.Q).symm ≪≫
    Functor.isoWhiskerRight iso W₂'.Q ≪≫
      L.functor.associator B.functor W₂'.Q ≪≫ L.functor.isoWhiskerLeft e' ≪≫ (L.functor.associator W₁'.Q F).symm
he' : TwoSquare.GuitartExact e'.inv
X✝ : C₁
⊢ (TwoSquare.hComp iso.inv e'.inv).natTrans.app X✝ = (TwoSquare.natTrans e.inv).app X✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.HorizontalComposition

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{v_4, u_4} D₁
inst✝⁴ : Category.{v_5, u_5} D₂
inst✝³ : Category.{v_6, u_6} D₃
V₁ : C₁ ⥤ D₁
T₁ : C₁ ⥤ C₂
B₁ : D₁ ⥤ D₂
V₂ : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T₁ V₁ V₂ B₁
T₂ : C₂ ⥤ C₃
B₂ : D₂ ⥤ D₃
V₃ : C₃ ⥤ D₃
w' : TwoSquare T₂ V₂ V₃ B₂
inst✝² : B₁.EssSurj
inst✝¹ : w.GuitartExact
inst✝ : (w ≫ₕ w').GuitartExact
Y₂ : D₂
⊢ (w'.costructuredArrowRightwards Y₂).Final

Tactic:
rw [costructuredArrowRightwards_final_iff_of_iso _ (B₁.objObjPreimageIso Y₂).symm]

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{v_4, u_4} D₁
inst✝⁴ : Category.{v_5, u_5} D₂
inst✝³ : Category.{v_6, u_6} D₃
V₁ : C₁ ⥤ D₁
T₁ : C₁ ⥤ C₂
B₁ : D₁ ⥤ D₂
V₂ : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T₁ V₁ V₂ B₁
T₂ : C₂ ⥤ C₃
B₂ : D₂ ⥤ D₃
V₃ : C₃ ⥤ D₃
w' : TwoSquare T₂ V₂ V₃ B₂
inst✝² : B₁.EssSurj
inst✝¹ : w.GuitartExact
inst✝ : (w ≫ₕ w').GuitartExact
Y₂ : D₂
⊢ (w'.costructuredArrowRightwards (B₁.obj (B₁.objPreimage Y₂))).Final
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.HorizontalComposition

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{v_3, u_3} C₃
inst✝² : Category.{v_4, u_4} D₁
inst✝¹ : Category.{v_5, u_5} D₂
inst✝ : Category.{v_6, u_6} D₃
V₁ : C₁ ⥤ D₁
T₁ : C₁ ⥤ C₂
B₁ : D₁ ⥤ D₂
V₂ : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T₁ V₁ V₂ B₁
V₃ : C₃ ⥤ D₃
eT : C₂ ≌ C₃
eB : D₂ ≌ D₃
w' : eT.functor ⋙ V₃ ≅ V₂ ⋙ eB.functor
w'' : V₂.op ⋙ eB.op.functor ≅ eT.op.functor ⋙ V₃.op := NatIso.op w'
X✝ : C₁ᵒᵖ
⊢ (w ≫ₕ w'.hom).op.natTrans.app X✝ = (w.op ≫ᵥ w''.hom).natTrans.app X✝

Tactic:
;

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{v_3, u_3} C₃
inst✝² : Category.{v_4, u_4} D₁
inst✝¹ : Category.{v_5, u_5} D₂
inst✝ : Category.{v_6, u_6} D₃
V₁ : C₁ ⥤ D₁
T₁ : C₁ ⥤ C₂
B₁ : D₁ ⥤ D₂
V₂ : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T₁ V₁ V₂ B₁
V₃ : C₃ ⥤ D₃
eT : C₂ ≌ C₃
eB : D₂ ≌ D₃
w' : eT.functor ⋙ V₃ ≅ V₂ ⋙ eB.functor
w'' : V₂.op ⋙ eB.op.functor ≅ eT.op.functor ⋙ V₃.op := NatIso.op w'
X✝ : C₁ᵒᵖ
⊢ (w ≫ₕ w'.hom).op.natTrans.app X✝ = (w.op ≫ᵥ w''.hom).natTrans.app X✝
Module: Mathlib.Algebra.Homology.DerivedCategory.DerivabilityStructureInjectives

Goal state before:
pp: C : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Category.{v_2, u_2} H
K : CochainComplex (InjectiveObject C) ℤ
n✝ : ℤ
hn : K.IsStrictlyGE n✝
L : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ) := ((InjectiveObject.ι C).mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).obj K
n : ℤ
⊢ Injective (K.X n).obj

Tactic:
;

Goal state after:
C : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Category.{v_2, u_2} H
K : CochainComplex (InjectiveObject C) ℤ
n✝ : ℤ
hn : K.IsStrictlyGE n✝
L : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ) := ((InjectiveObject.ι C).mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).obj K
n : ℤ
⊢ Injective (K.X n).obj