mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup G
inst✝⁶ : Module R G
p✝ q✝ : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring S
M : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module S M
m : Submodule S M
R₁ : Type u_7
inst✝² : CommRing R₁
inst✝¹ : Module R₁ E
inst✝ : Module R₁ F
p q : Submodule R₁ E
h : IsCompl p q
c : R₁
φ : (↥p →ₗ[R₁] F) × (↥q →ₗ[R₁] F)
⊢ ofIsCompl h (c • φ).1 (c • φ).2 = (RingHom.id R₁) c • ofIsCompl h φ.1 φ.2

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup G
inst✝⁶ : Module R G
p✝ q✝ : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring S
M : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module S M
m : Submodule S M
R₁ : Type u_7
inst✝² : CommRing R₁
inst✝¹ : Module R₁ E
inst✝ : Module R₁ F
p q : Submodule R₁ E
h : IsCompl p q
c : R₁
φ : (↥p →ₗ[R₁] F) × (↥q →ₗ[R₁] F)
⊢ ofIsCompl h (c • φ).1 (c • φ).2 = (RingHom.id R₁) c • ofIsCompl h φ.1 φ.2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup G
inst✝⁶ : Module R G
p✝ q✝ : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring S
M : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module S M
m : Submodule S M
R₁ : Type u_7
inst✝² : CommRing R₁
inst✝¹ : Module R₁ E
inst✝ : Module R₁ F
p q : Submodule R₁ E
h : IsCompl p q
φ : E →ₗ[R₁] F
x : E
a : ↥p
b : ↥q
hab : ↑a + ↑b = x
right✝ : ∀ (r : ↥p) (s : ↥q), ↑r + ↑s = x → r = a ∧ s = b
⊢ ((ofIsComplProd h).toFun ((fun φ ↦ (φ.domRestrict p, φ.domRestrict q)) φ)) (↑a + ↑b) = φ (↑a + ↑b)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup G
inst✝⁶ : Module R G
p✝ q✝ : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring S
M : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module S M
m : Submodule S M
R₁ : Type u_7
inst✝² : CommRing R₁
inst✝¹ : Module R₁ E
inst✝ : Module R₁ F
p q : Submodule R₁ E
h : IsCompl p q
φ : E →ₗ[R₁] F
x : E
a : ↥p
b : ↥q
hab : ↑a + ↑b = x
right✝ : ∀ (r : ↥p) (s : ↥q), ↑r + ↑s = x → r = a ∧ s = b
⊢ ((ofIsComplProd h).toFun ((fun φ ↦ (φ.domRestrict p, φ.domRestrict q)) φ)) (↑a + ↑b) = φ (↑a + ↑b)
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.mp
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
inst✝⁵ : CommMonoid M₁
inst✝⁴ : CommMonoid M₂
inst✝³ : CommMonoid M₃
inst✝² : CommMonoid N₁
inst✝¹ : CommMonoid N₂
inst✝ : CommMonoid N₃
f : M₁ →* M₂
g : M₂ →* M₃
f' : N₁ →* N₂
g' : N₂ →* N₃
τ₁ : M₁ →* N₁
τ₂ : M₂ →* N₂
τ₃ : M₃ →* N₃
h₁ : Surjective ⇑τ₁
h₂ : Bijective ⇑τ₂
h₃ : Injective ⇑τ₃
comm₁₂ : ∀ (x : M₁), f' (τ₁ x) = τ₂ (f x)
comm₂₃ : ∀ (x : M₂), g' (τ₂ x) = τ₃ (g x)
h : MulExact ⇑f' ⇑g'
x₂ : M₂
⊢ g x₂ = 1 → x₂ ∈ Set.range ⇑f

Tactic:
intro hx₂

Goal state after:
case mpr.mp
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
inst✝⁵ : CommMonoid M₁
inst✝⁴ : CommMonoid M₂
inst✝³ : CommMonoid M₃
inst✝² : CommMonoid N₁
inst✝¹ : CommMonoid N₂
inst✝ : CommMonoid N₃
f : M₁ →* M₂
g : M₂ →* M₃
f' : N₁ →* N₂
g' : N₂ →* N₃
τ₁ : M₁ →* N₁
τ₂ : M₂ →* N₂
τ₃ : M₃ →* N₃
h₁ : Surjective ⇑τ₁
h₂ : Bijective ⇑τ₂
h₃ : Injective ⇑τ₃
comm₁₂ : ∀ (x : M₁), f' (τ₁ x) = τ₂ (f x)
comm₂₃ : ∀ (x : M₂), g' (τ₂ x) = τ₃ (g x)
h : MulExact ⇑f' ⇑g'
x₂ : M₂
hx₂ : g x₂ = 1
⊢ x₂ ∈ Set.range ⇑f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }
x : E
⊢ ↑f x ∈ range ↑f

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }
x : E
⊢ ↑f x ∈ range ↑f
Module: Mathlib.Data.ENat.Lattice

Goal state before:
pp: ι : Sort u_2
κ : Sort u_3
f : ι → ℕ∞
a : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty κ
g : κ → ℕ∞
h : ∀ (i : ι) (j : κ), f i + g j ≤ a
⊢ ⨆ i, ⨆ i_1, f i + g i_1 ≤ a

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Sort u_2
κ : Sort u_3
f : ι → ℕ∞
a : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty κ
g : κ → ℕ∞
h : ∀ (i : ι) (j : κ), f i + g j ≤ a
⊢ ⨆ i, ⨆ i_1, f i + g i_1 ≤ a
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
f : M →ₗ[S] M
m₁ m₂ : Submodule S M
hf₁ : IsProj m₁ f
hf₂ : IsProj m₂ f
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ m₁ ↔ x✝ ∈ m₂

Tactic:
;

Goal state after:
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
f : M →ₗ[S] M
m₁ m₂ : Submodule S M
hf₁ : IsProj m₁ f
hf₂ : IsProj m₂ f
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ m₁ ↔ x✝ ∈ m₂
Module: Mathlib.Data.ENat.Lattice

Goal state before:
pp: ι : Sort u_2
f : ι → ℕ∞
a : ℕ∞
⊢ ⨅ i, f i + a = ⨅ b, a + f b

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Sort u_2
f : ι → ℕ∞
a : ℕ∞
⊢ ⨅ i, f i + a = ⨅ b, a + f b
Module: Mathlib.Data.ENat.Lattice

Goal state before:
pp: ι : Sort u_2
f : ι → ℕ∞
a : ℕ∞
κ : Sort u_4
g : κ → ℕ∞
h : ∀ (i : ι) (j : κ), a ≤ f i + g j
⊢ a ≤ ⨅ i, ⨅ b, f i + g b

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Sort u_2
f : ι → ℕ∞
a : ℕ∞
κ : Sort u_4
g : κ → ℕ∞
h : ∀ (i : ι) (j : κ), a ≤ f i + g j
⊢ a ≤ ⨅ i, ⨅ b, f i + g b
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1.right
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
l : { l // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), g (↑l x) = x
h₂ : ∀ (x : M), g (f x) = 0
x : N
⊢ ∃ a, (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) a = x

Tactic:
obtain ⟨y, hy⟩ := (h (x - l.1 (g x))).mp (by simp [h₁, g.map_sub])

Goal state after:
case refine_1.right
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
l : { l // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), g (↑l x) = x
h₂ : ∀ (x : M), g (f x) = 0
x : N
y : M
hy : f y = x - ↑l (g x)
⊢ ∃ a, (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) a = x
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.left
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
l : { l // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), g (↑l x) = x
h₂ : ∀ (x : M), g (f x) = 0
x✝ : M
⊢ f x✝ = (↑(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) ⋯).symm.symm ∘ₗ inl R M P) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_2.left
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
l : { l // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), g (↑l x) = x
h₂ : ∀ (x : M), g (f x) = 0
x✝ : M
⊢ f x✝ = (↑(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) ⋯).symm.symm ∘ₗ inl R M P) x✝
Module: Mathlib.Data.Rel

Goal state before:
pp: α : Type u_1
R : SetRel α α
inst✝ : R.IsRefl
fst✝ : α
⊢ (fst✝, fst✝) ∈ R

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
R : SetRel α α
inst✝ : R.IsRefl
fst✝ : α
⊢ (fst✝, fst✝) ∈ R
Module: Mathlib.Data.Rel

Goal state before:
pp: α : Type u_1
R : SetRel α α
inst✝ : R.IsSymm
x✝ : α × α
⊢ x✝ ∈ R.inv ↔ x✝ ∈ R

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
R : SetRel α α
inst✝ : R.IsSymm
x✝ : α × α
⊢ x✝ ∈ R.inv ↔ x✝ ∈ R
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
x : RelSeries r
x✝ : Fin (((fun x ↦ fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯) ((fun x ↦ ⟨x.toList, ⋯⟩) x)).length + 1)
⊢ ((fun x ↦ fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯) ((fun x ↦ ⟨x.toList, ⋯⟩) x)).toFun x✝ = (x.toFun ∘ Fin.cast ⋯) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
x : RelSeries r
x✝ : Fin (((fun x ↦ fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯) ((fun x ↦ ⟨x.toList, ⋯⟩) x)).length + 1)
⊢ ((fun x ↦ fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯) ((fun x ↦ ⟨x.toList, ⋯⟩) x)).toFun x✝ = (x.toFun ∘ Fin.cast ⋯) x✝
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
x : RelSeries r
x✝ : Fin (((fun x ↦ fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯) ((fun x ↦ ⟨x.toList, ⋯⟩) x)).length + 1)
⊢ (fromListIsChain x.toList ⋯ ⋯).toFun x✝ = x.toFun (Fin.cast ⋯ x✝)

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
x : RelSeries r
x✝ : Fin (((fun x ↦ fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯) ((fun x ↦ ⟨x.toList, ⋯⟩) x)).length + 1)
⊢ (fromListIsChain x.toList ⋯ ⋯).toFun x✝ = x.toFun (Fin.cast ⋯ x✝)
Module: Mathlib.Data.Rel

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
R✝ R₁✝ R₂✝ : SetRel α β
S✝ : SetRel β γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
a✝¹ a₁ a₂ : α
b✝¹ : β
c✝¹ : γ
R R₁ R₂ : SetRel α α
S : SetRel β β
a✝ b✝ c✝ a c b : α
hab : (a, b) ∈ R
hbc : (b, c) ∈ R.inv
⊢ (c, a) ∈ R ○ R.inv

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
R✝ R₁✝ R₂✝ : SetRel α β
S✝ : SetRel β γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
a✝¹ a₁ a₂ : α
b✝¹ : β
c✝¹ : γ
R R₁ R₂ : SetRel α α
S : SetRel β β
a✝ b✝ c✝ a c b : α
hab : (a, b) ∈ R
hbc : (b, c) ∈ R.inv
⊢ (c, a) ∈ R ○ R.inv
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
e : { e // f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e }
⊢ snd R M P ∘ₗ inr R M P = LinearMap.id

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
e : { e // f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e }
⊢ snd R M P ∘ₗ inr R M P = LinearMap.id
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
x : ↑{x | x ≠ [] ∧ List.IsChain (fun x1 x2 ↦ (x1, x2) ∈ r) x}
n : ℕ
hn1 : n < (↑((fun x ↦ ⟨x.toList, ⋯⟩) ((fun x ↦ fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯) x))).length
x✝ : n < (↑x).length
⊢ (fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯).toList[n] = (↑x)[n]

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
x : ↑{x | x ≠ [] ∧ List.IsChain (fun x1 x2 ↦ (x1, x2) ∈ r) x}
n : ℕ
hn1 : n < (↑((fun x ↦ ⟨x.toList, ⋯⟩) ((fun x ↦ fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯) x))).length
x✝ : n < (↑x).length
⊢ (fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯).toList[n] = (↑x)[n]
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case refine_4
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
x✝ : { l // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
⊢ (fun e ↦ ⟨↑(↑e).symm ∘ₗ inr R M P, ⋯⟩)
      ((fun l ↦ ⟨(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) ⋯).symm, ⋯⟩) x✝) =
    x✝

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_4
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
x✝ : { l // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
⊢ (fun e ↦ ⟨↑(↑e).symm ∘ₗ inr R M P, ⋯⟩)
      ((fun l ↦ ⟨(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) ⋯).symm, ⋯⟩) x✝) =
    x✝
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case refine_4
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
x✝¹ : { l // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
x✝ : P
⊢ ↑((fun e ↦ ⟨↑(↑e).symm ∘ₗ inr R M P, ⋯⟩)
          ((fun l ↦ ⟨(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) ⋯).symm, ⋯⟩) x✝¹))
      x✝ =
    ↑x✝¹ x✝

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_4
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
x✝¹ : { l // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
x✝ : P
⊢ ↑((fun e ↦ ⟨↑(↑e).symm ∘ₗ inr R M P, ⋯⟩)
          ((fun l ↦ ⟨(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) ⋯).symm, ⋯⟩) x✝¹))
      x✝ =
    ↑x✝¹ x✝
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case e'_2
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).succ =
    Fin.append p.toFun q.toFun (Fin.natAdd (p.length + 1) 0)

Tactic:
;

Goal state after:
case e'_2
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).succ =
    Fin.append p.toFun q.toFun (Fin.natAdd (p.length + 1) 0)
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
x : ?m.784 := ?m.785
⊢ ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.castSucc, (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.succ) ∈ r

Tactic:
;

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
x : ?m.784 := ?m.785
⊢ ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.castSucc, (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.succ) ∈ r
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
x : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := ⋯
y : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := ⋯
⊢ ↑x = ↑(Fin.natAdd (p.length + 1) ⟨↑i - (p.length + 1), ⋯⟩)

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
x : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := ⋯
y : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := ⋯
⊢ ↑x = ↑(Fin.natAdd (p.length + 1) ⟨↑i - (p.length + 1), ⋯⟩)
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
x : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.castSucc
y : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.succ
⊢ ↑i = p.length + 1 + (↑i - (p.length + 1))

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
x : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.castSucc
y : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.succ
⊢ ↑i = p.length + 1 + (↑i - (p.length + 1))
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
x : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.castSucc
y : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.succ
⊢ p.length + 1 ≤ ↑i

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
x : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.castSucc
y : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.succ
⊢ p.length + 1 ≤ ↑i
Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic

Goal state before:
pp: case refine_5
G : Type u
inst✝ : Mul G
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < #(map f B✝) * #(map f A✝)
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
hne : (p1.2.1, p1.1.1) = (p2.2.1, p2.1.1)
⊢ p1 = p2

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_5
G : Type u
inst✝ : Mul G
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < #(map f B✝) * #(map f A✝)
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
hne : (p1.2.1, p1.1.1) = (p2.2.1, p2.1.1)
⊢ p1 = p2
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + 1)
⊢ p.length + 1 + (q.length + 1) = p.length + q.length + 1 + 1

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + 1)
⊢ p.length + 1 + (q.length + 1) = p.length + q.length + 1 + 1
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (q.length + 1)
⊢ p.length + 1 + (q.length + 1) = p.length + q.length + 1 + 1

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (q.length + 1)
⊢ p.length + 1 + (q.length + 1) = p.length + q.length + 1 + 1
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case hl
α : Type u_1
r : SetRel α α
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ p.length + q.length + 1 + 1 = p.length + 1 + (q.length + 1)

Tactic:
;

Goal state after:
case hl
α : Type u_1
r : SetRel α α
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ p.length + q.length + 1 + 1 = p.length + 1 + (q.length + 1)
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : (p.toFun i.castSucc, a) ∈ r
connect_next : (a, p.toFun i.succ) ∈ r
m : Fin (p.length + 1)
x : ?m.38 := ?m.39
⊢ (i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc, i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ) ∈ r

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : (p.toFun i.castSucc, a) ∈ r
connect_next : (a, p.toFun i.succ) ∈ r
m : Fin (p.length + 1)
x : ?m.38 := ?m.39
⊢ (i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc, i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ) ∈ r
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : (p.toFun i.castSucc, a) ∈ r
connect_next : (a, p.toFun i.succ) ∈ r
m : Fin (p.length + 1)
x : ?m.38 := ?m.39
y : ?m.44 := ?m.45
⊢ (i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc, i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ) ∈ r

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : (p.toFun i.castSucc, a) ∈ r
connect_next : (a, p.toFun i.succ) ∈ r
m : Fin (p.length + 1)
x : ?m.38 := ?m.39
y : ?m.44 := ?m.45
⊢ (i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc, i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ) ∈ r
Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
G : Type u
H : Type v
inst✝⁴ : Mul G
inst✝³ : Mul H
inst✝² : IsRightCancelMul G
inst✝¹ : LinearOrder G
inst✝ : MulLeftStrictMono G
A B : Finset G
hc : 1 < #(A ×ˢ B)
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
b0 : G
hb0 : b0 ∈ B
he0 : a0 * b0 = (A * B).max' ⋯
a1 : G
ha1 : a1 ∈ A
b1 : G
hb1 : b1 ∈ B
he1 : a1 * b1 = (A * B).min' ⋯
this : UniqueMul A B a0 b0
he : a0 = a1 ∧ b0 = b1
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_1
G : Type u
H : Type v
inst✝⁴ : Mul G
inst✝³ : Mul H
inst✝² : IsRightCancelMul G
inst✝¹ : LinearOrder G
inst✝ : MulLeftStrictMono G
A B : Finset G
hc : 1 < #(A ×ˢ B)
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
b0 : G
hb0 : b0 ∈ B
he0 : a0 * b0 = (A * B).max' ⋯
a1 : G
ha1 : a1 ∈ A
b1 : G
hb1 : b1 ∈ B
he1 : a1 * b1 = (A * B).min' ⋯
this : UniqueMul A B a0 b0
he : a0 = a1 ∧ b0 = b1
⊢ False
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case e'_3
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : (p.toFun i.castSucc, a) ∈ r
connect_next : (a, p.toFun i.succ) ∈ r
m : Fin (p.length + 1)
x : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc
y : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ
hm : ↑m < ↑i
⊢ x = p.toFun ⟨↑m, ⋯⟩.castSucc

Tactic:
change Fin.insertNth _ _ _ _ = _
        rw [Fin.insertNth_apply_below]
        pick_goal 2
        · exact hm.trans (lt_add_one _)
        simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case e'_4.h
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : (p.toFun i.castSucc, a) ∈ r
connect_next : (a, p.toFun i.succ) ∈ r
m : Fin (p.length + 1)
x : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc
y : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ
hm : ↑m < ↑i
⊢ ↑m + 1 < ↑i + 1

Tactic:
;

Goal state after:
case e'_4.h
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : (p.toFun i.castSucc, a) ∈ r
connect_next : (a, p.toFun i.succ) ∈ r
m : Fin (p.length + 1)
x : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc
y : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ
hm : ↑m < ↑i
⊢ ↑m + 1 < ↑i + 1