mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
l : Filter α
g : α → F
ι : Type u_7
E : ι → Type u_8
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
f : (i : ι) → α → E i
h : ∀ (i : ι), f i =O[𝕜; l] g
this :
  (𝓝 fun i ↦ 0).HasBasis (fun If ↦ If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, If.2 i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (If.2 i)) fun If ↦
    If.1.pi fun i ↦ id (If.2 i)
⊢ (fun x i ↦ f i x) =O[𝕜; l] g

Tactic:
← Pi.zero_def

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
l : Filter α
g : α → F
ι : Type u_7
E : ι → Type u_8
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
f : (i : ι) → α → E i
h : ∀ (i : ι), f i =O[𝕜; l] g
this :
  (𝓝 0).HasBasis (fun If ↦ If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, If.2 i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (If.2 i)) fun If ↦
    If.1.pi fun i ↦ id (If.2 i)
⊢ (fun x i ↦ f i x) =O[𝕜; l] g
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case funProp.discharger
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : Filter α
f : α → E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hf :
  ∀ i ∈ 𝓝 0, ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (1 x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
hUb : Balanced 𝕜 U
r : ℝ≥0
hr : ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id U) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) (1 x)
hr₀ : 0 < r
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ↑r ≠ 0

Tactic:
;

Goal state after:
case funProp.discharger
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : Filter α
f : α → E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hf :
  ∀ i ∈ 𝓝 0, ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (1 x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
hUb : Balanced 𝕜 U
r : ℝ≥0
hr : ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id U) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) (1 x)
hr₀ : 0 < r
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ↑r ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : ContinuousAdd F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
inst✝ : T2Space F
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderiv 𝕜 f x

Tactic:
by
  rw [← fderivWithin_univ]
  exact fderivWithin_subset (subset_univ _) hs h.differentiableWithinAt

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case funProp.discharger
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : Filter α
f : α → E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hf :
  ∀ i ∈ 𝓝 0, ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (1 x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
hUb : Balanced 𝕜 U
r : ℝ≥0
hr : ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id U) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) (1 x)
hr₀ : 0 < r
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ↑‖c‖₊ ≠ ∞

Tactic:
;

Goal state after:
case funProp.discharger
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : Filter α
f : α → E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hf :
  ∀ i ∈ 𝓝 0, ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (1 x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
hUb : Balanced 𝕜 U
r : ℝ≥0
hr : ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id U) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) (1 x)
hr₀ : 0 < r
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ↑‖c‖₊ ≠ ∞
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
n : ℕ
h : f =O[𝓝 x₀] fun x ↦ ‖x - x₀‖ ^ n
hn : 1 < n
⊢ HasFDerivAt f 0 x₀

Tactic:
rw [← nhdsWithin_univ] at h
  exact (h.hasFDerivWithinAt (mem_univ _) hn).hasFDerivAt_of_univ

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FormalMultilinearSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝¹⁰ : Semiring 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : ContinuousAdd E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
k : ℕ
h' : p k = 0
⊢ p k = 0

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝¹⁰ : Semiring 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : ContinuousAdd E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
k : ℕ
h' : p k = 0
⊢ p k = 0
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
δ : ℝ
hδ₀ : 0 < δ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 δ) (g x)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ↑ε * ‖g x‖

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
δ : ℝ
hδ₀ : 0 < δ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 δ) (g x)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ↑ε * ‖g x‖
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ₀ : 0 < ↑δ
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ↑ε * ‖g x‖

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ₀ : 0 < ↑δ
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ↑ε * ‖g x‖
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ ↑δ * (↑‖c‖₊)⁻¹ * (↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊ * (↑δ)⁻¹) = ↑δ * (↑δ)⁻¹ * (↑‖c‖₊ * (↑‖c‖₊)⁻¹) * ↑‖g x‖₊

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ ↑δ * (↑‖c‖₊)⁻¹ * (↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊ * (↑δ)⁻¹) = ↑δ * (↑δ)⁻¹ * (↑‖c‖₊ * (↑‖c‖₊)⁻¹) * ↑‖g x‖₊
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ↑(ε * δ / ‖c‖₊) * ↑‖g x‖₊

Tactic:
;

Goal state after:
case h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ↑(ε * δ / ‖c‖₊) * ↑‖g x‖₊
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖c‖₊ * (↑ε * ↑δ * (↑‖c‖₊)⁻¹ * ↑‖g x‖₊) * (↑ε)⁻¹ = ↑‖c‖₊ * (↑‖c‖₊)⁻¹ * (↑ε * (↑ε)⁻¹) * ↑δ * ↑‖g x‖₊

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖c‖₊ * (↑ε * ↑δ * (↑‖c‖₊)⁻¹ * ↑‖g x‖₊) * (↑ε)⁻¹ = ↑‖c‖₊ * (↑‖c‖₊)⁻¹ * (↑ε * (↑ε)⁻¹) * ↑δ * ↑‖g x‖₊
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖g x‖₊ ≤ egauge 𝕜 (ball 0 1) (g x)

Tactic:
;

Goal state after:
case h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖g x‖₊ ≤ egauge 𝕜 (ball 0 1) (g x)
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
C : ℝ≥0
hC₀ : ↑C > 0
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ↑C * ‖g x‖
⊢ ∃ j, 0 < j ∧ ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 r) (f x) ≤ egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)

Tactic:
;

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
C : ℝ≥0
hC₀ : ↑C > 0
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ↑C * ‖g x‖
⊢ ∃ j, 0 < j ∧ ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 r) (f x) ≤ egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
C : ℝ≥0
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ↑C * ‖g x‖
hC₀ : 0 < C
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 < ↑r
⊢ ∃ j, 0 < j ∧ ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) (f x) ≤ egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)

Tactic:
;

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
C : ℝ≥0
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ↑C * ‖g x‖
hC₀ : 0 < C
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 < ↑r
⊢ ∃ j, 0 < j ∧ ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) (f x) ≤ egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ConvergenceRadius

Goal state before:
pp: case hbc
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n ↦ ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x ↦ a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r / ↑t < 1
this : 0 < ↑t
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C

Tactic:
;

Goal state after:
case hbc
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n ↦ ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x ↦ a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r / ↑t < 1
this : 0 < ↑t
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
n : ℕ
t : Finset (Fin n)
this :
  ∀ (m : ℕ) (hm : n = m),
    (p n) (t.piecewise (fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y) =
      (p m) ((Finset.map (finCongr hm).toEmbedding t).piecewise (fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y)
⊢ (p n) (t.piecewise (fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y) =
    (p ((changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).fst + (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).snd.fst))
      ((↑(changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).snd.snd).piecewise (fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
n : ℕ
t : Finset (Fin n)
this :
  ∀ (m : ℕ) (hm : n = m),
    (p n) (t.piecewise (fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y) =
      (p m) ((Finset.map (finCongr hm).toEmbedding t).piecewise (fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y)
⊢ (p n) (t.piecewise (fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y) =
    (p ((changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).fst + (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).snd.fst))
      ((↑(changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, t⟩).snd.snd).piecewise (fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y)
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin

Goal state before:
pp: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius
k : ℕ
⊢ ‖p.changeOrigin x k‖₊ ≤ ∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst

Tactic:
;

Goal state after:
case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius
k : ℕ
⊢ ‖p.changeOrigin x k‖₊ ≤ ∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hp : p (n + 1) = 0
this : p.changeOriginSeries 1 n = 0
v : Fin n → E
x✝ : E
⊢ ((p.derivSeries n) v) x✝ = (0 v) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hp : p (n + 1) = 0
this : p.changeOriginSeries 1 n = 0
v : Fin n → E
x✝ : E
⊢ ((p.derivSeries n) v) x✝ = (0 v) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ConvergenceRadius

Goal state before:
pp: case hbc
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C
m : ℕ
⊢ ‖p (m + 1)‖ * ↑r ^ m ≤ C

Tactic:
;

Goal state after:
case hbc
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C
m : ℕ
⊢ ‖p (m + 1)‖ * ↑r ^ m ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Curry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
⊢ ‖f.curryLeft‖ ≤ ‖f‖

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
⊢ ‖f.curryLeft‖ ≤ ‖f‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Curry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
f' : MultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ Ei i.castSucc) (Ei (last n) →L[𝕜] G) :=
  { toFun := fun m ↦ (f.curryRight m).mkContinuous (‖f‖ * ∏ i, ‖m i‖) ⋯, map_update_add' := ⋯, map_update_smul' := ⋯ }
m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc
⊢ ‖(f.curryRight m).mkContinuous (‖f‖ * ∏ i, ‖m i‖) ⋯‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i, ‖m i‖

Tactic:
exact LinearMap.mkContinuous_norm_le _ (by positivity) _

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Curry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝² : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : Fin (n + 1)
f : Ei p →L[𝕜] Ei (p.succAbove i) [×n]→L[𝕜] G
x✝¹ : Ei p
x✝ : (i : Fin n) → Ei (p.succAbove i)
⊢ ((curryMid p (uncurryMid p f)) x✝¹) x✝ = (f x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
n : ℕ
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝² : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : Fin (n + 1)
f : Ei p →L[𝕜] Ei (p.succAbove i) [×n]→L[𝕜] G
x✝¹ : Ei p
x✝ : (i : Fin n) → Ei (p.succAbove i)
⊢ ((curryMid p (uncurryMid p f)) x✝¹) x✝ = (f x✝¹) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Curry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
p : Fin (n + 1)
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
⊢ ‖curryMid p f‖ ≤ ‖f‖

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
p : Fin (n + 1)
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
⊢ ‖curryMid p f‖ ≤ ‖f‖