Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
k : ι
⊢ ∑ x ∈ {k, k},
      ((if P.root x = P.root ↑i + P.root k then
          Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) k x * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1)
        else 0) -
        if P.root k = P.root ↑i + P.root x then
          (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) x k
        else 0) =
    if P.root k = P.root ↑i + P.root k then ↑(b.cartanMatrix i j) * ↑(chainBotCoeff (↑i) k) + ↑(b.cartanMatrix i j)
    else 0

pp: case inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
k l : ι
hkl : k ≠ l
⊢ ∑ x ∈ {k, l},
      ((if P.root x = P.root ↑i + P.root l then
          Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) k x * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
        else 0) -
        if P.root k = P.root ↑i + P.root x then
          (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) x l
        else 0) =
    if P.root k = P.root ↑i + P.root l then ↑(b.cartanMatrix i j) * ↑(chainBotCoeff (↑i) l) + ↑(b.cartanMatrix i j)
    else 0

Tactic:
;

Goal state after:
case inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
k : ι
⊢ ∑ x ∈ {k, k},
      ((if P.root x = P.root ↑i + P.root k then
          Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) k x * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1)
        else 0) -
        if P.root k = P.root ↑i + P.root x then
          (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) x k
        else 0) =
    if P.root k = P.root ↑i + P.root k then ↑(b.cartanMatrix i j) * ↑(chainBotCoeff (↑i) k) + ↑(b.cartanMatrix i j)
    else 0

case inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
k l : ι
hkl : k ≠ l
⊢ ∑ x ∈ {k, l},
      ((if P.root x = P.root ↑i + P.root l then
          Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) k x * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
        else 0) -
        if P.root k = P.root ↑i + P.root x then
          (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) x l
        else 0) =
    if P.root k = P.root ↑i + P.root l then ↑(b.cartanMatrix i j) * ↑(chainBotCoeff (↑i) l) + ↑(b.cartanMatrix i j)
    else 0