mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : ↥(lp G 2)
j : ι
a : G j
⊢ ⟪Pi.single j a j, ↑f j⟫ = ⟪a, ↑f j⟫

Tactic:
;

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : ↥(lp G 2)
j : ι
a : G j
⊢ ⟪Pi.single j a j, ↑f j⟫ = ⟪a, ↑f j⟫
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ 2 * ↑π / ↑T * (↑n * ↑x) * Complex.I = 2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T

Tactic:
;

Goal state after:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ 2 * ↑π / ↑T * (↑n * ↑x) * Complex.I = 2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ (fourier n) ↑x = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)

Tactic:
;

Goal state after:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ (fourier n) ↑x = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
x : G j
⊢ (V j) (Pi.single j x j) = (V j) x

Tactic:
;

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
x : G j
⊢ (V j) (Pi.single j x j) = (V j) x
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ (fourier (-n)) x = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)

Tactic:
;

Goal state after:
T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ (fourier (-n)) x = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
m n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ (fourier (m + n)) x = (fourier m) x * (fourier n) x

Tactic:
;

Goal state after:
T : ℝ
m n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ (fourier (m + n)) x = (fourier m) x * (fourier n) x
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hT : 0 < T
x : AddCircle T
this : ↑(toCircle ↑(n • (T / 2 / ↑n))) = -1
⊢ ↑(n • x).toCircle * -1 = -(fourier n) x

Tactic:
;

Goal state after:
T : ℝ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hT : 0 < T
x : AddCircle T
this : ↑(toCircle ↑(n • (T / 2 / ↑n))) = -1
⊢ ↑(n • x).toCircle * -1 = -(fourier n) x
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case refine_1
T : ℝ
x : C(AddCircle T, ℂ)
hx : x ∈ ↑(Submonoid.closure (range fourier))
z : AddCircle T
⊢ (fourier 0) z = 1 z

Tactic:
;

Goal state after:
case refine_1
T : ℝ
x : C(AddCircle T, ℂ)
hx : x ∈ ↑(Submonoid.closure (range fourier))
z : AddCircle T
⊢ (fourier 0) z = 1 z
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
⊢ (fourier 1) x ≠ (fourier 1) y

Tactic:
;

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
⊢ (fourier 1) x ≠ (fourier 1) y
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : AddCircle T → E
n : ℤ
a x : ℝ
⊢ (fourier (-n)) ↑x • f ↑x = (fun z ↦ (fourier (-n)) z • f z) ↑x

Tactic:
;

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : AddCircle T → E
n : ℤ
a x : ℝ
⊢ (fourier (-n)) ↑x • f ↑x = (fun z ↦ (fourier (-n)) z • f z) ↑x
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case hφ2
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : AddCircle T → E
hf : Integrable f haarAddCircle
n : ℤ
⊢ ∀ (a : AddCircle T), ‖(fourier n) a‖ ≤ 1

Tactic:
;

Goal state after:
case hφ2
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : AddCircle T → E
hf : Integrable f haarAddCircle
n : ℤ
⊢ ∀ (a : AddCircle T), ‖(fourier n) a‖ ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case empty
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
ι : Type u_2
f : ι → AddCircle T → E
hf : ∀ i ∈ ∅, Integrable (f i) haarAddCircle
x✝ : ℤ
⊢ fourierCoeff (∑ i ∈ ∅, f i) x✝ = (∑ i ∈ ∅, fourierCoeff (f i)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
case empty
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
ι : Type u_2
f : ι → AddCircle T → E
hf : ∀ i ∈ ∅, Integrable (f i) haarAddCircle
x✝ : ℤ
⊢ fourierCoeff (∑ i ∈ ∅, f i) x✝ = (∑ i ∈ ∅, fourierCoeff (f i)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
⊢ HasSum (fun i ↦ ↑(fourierBasis.repr f) i • fourierLp 2 i) f

Tactic:
;

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
⊢ HasSum (fun i ↦ ↑(fourierBasis.repr f) i • fourierLp 2 i) f
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : C(AddCircle T, ℂ)
h : Summable (fourierCoeff ⇑f)
x : AddCircle T
⊢ HasSum (fun i ↦ fourierCoeff (⇑f) i • (fourier i) x) (f x)

Tactic:
convert! (ContinuousMap.evalCLM ℂ x).hasSum (hasSum_fourier_series_of_summable h)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case inl
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
m : ℤ
⊢ ↑1 ^ 2 = Pi.single m 1 m

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
m : ℤ
⊢ ↑1 ^ 2 = Pi.single m 1 m
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case inr
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n m : ℤ
hmn : m ≠ n
⊢ 0 = Pi.single n 1 m

Tactic:
;

Goal state after:
case inr
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n m : ℤ
hmn : m ≠ n
⊢ 0 = Pi.single n 1 m
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case e'_8
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
y : ℂ
⊢ 2 * ↑π * I * ↑n * y / ↑T = y * (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)

Tactic:
;

Goal state after:
case e'_8
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
y : ℂ
⊢ 2 * ↑π * I * ↑n * y / ↑T = y * (2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case e'_8
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
⊢ ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y = (fourier (-n)) ↑y / (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)

Tactic:
;

Goal state after:
case e'_8
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
⊢ ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y = (fourier (-n)) ↑y / (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case e'_8
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
⊢ ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y = (fourier (-n)) ↑y * ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n)

Tactic:
;

Goal state after:
case e'_8
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
⊢ ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y = (fourier (-n)) ↑y * ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case e'_8
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x : ℝ
⊢ (fun y ↦ ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y) = fun x ↦ (fourier (-n)) ↑x / (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)

pp: case e'_9
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x : ℝ
⊢ (fourier (-n)) ↑x = -2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * (fourier (-n)) ↑x / (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)

Tactic:
· ext1 y; rw [div_div_eq_mul_div]; ring

Goal state after:
case e'_9
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x : ℝ
⊢ (fourier (-n)) ↑x = -2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * (fourier (-n)) ↑x / (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
u✝ v✝ w✝ : ℂ
⊢ u✝ * (↑(b - a) / v✝ * w✝) = ↑(b - a) / v✝ * (u✝ * w✝)

Tactic:
;

Goal state after:
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
u✝ v✝ w✝ : ℂ
⊢ u✝ * (↑(b - a) / v✝ * w✝) = ↑(b - a) / v✝ * (u✝ * w✝)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case f
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| fun x ↦ f' x * (↑(b - a) / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑x)

pp: case a
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| a

pp: case b
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| b

pp: case μ
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| volume

Tactic:
;

Goal state after:
case f
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| fun x ↦ f' x * (↑(b - a) / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑x)

case a
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| a

case b
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| b

case μ
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| volume
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case f
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
x✝ : ℝ
| f' x✝ * (↑(b - a) / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑x✝)

pp: case a
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| a

pp: case b
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| b

pp: case μ
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| volume

Tactic:
;

Goal state after:
case f
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
x✝ : ℝ
| f' x✝ * (↑(b - a) / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑x✝)

case a
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| a

case b
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| b

case μ
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
| volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ

Tactic:
rw [tendsto_iff_norm_sub_tendsto_zero] at hiφ

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e ↦ ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e ↦ ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) (s \ u) μ
x : α
hx : x ∈ s ∩ u
⊢ ‖g x‖ ≤ ‖a‖ + 1

Tactic:
rw [inter_comm] at hx

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e ↦ ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) (s \ u) μ
x : α
hx : x ∈ u ∩ s
⊢ ‖g x‖ ≤ ‖a‖ + 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: case hbc
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ
hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
I : IntegrableOn (φ i) t μ
⊢ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ ≤ 2

Tactic:
;

Goal state after:
case hbc
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ
hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
I : IntegrableOn (φ i) t μ
⊢ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ ≤ 2
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w y : W
⊢ (fderiv ℝ (fun w ↦ ↑(𝐞 (-(L v) w))) w) y = -2 * ↑π * I * ↑((L v) y) * ↑(𝐞 (-(L v) w))

Tactic:
simp only [(hasFDerivAt_fourierChar_neg_bilinear_right L v w).fderiv, neg_mul, neg_smul,
    neg_apply, smul_apply, ContinuousLinearMap.comp_apply, ofRealCLM_apply, smul_eq_mul, neg_inj]
  ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: case mk
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
g : 𝓢(E, F)
toFun✝ : E → F
smooth'✝ : ContDiff ℝ ∞ toFun✝
decay'✝ : ∀ (k n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n toFun✝ x‖ ≤ C
h : (fun f ↦ f.toFun) { toFun := toFun✝, smooth' := smooth'✝, decay' := decay'✝ } = (fun f ↦ f.toFun) g
⊢ { toFun := toFun✝, smooth' := smooth'✝, decay' := decay'✝ } = g

Tactic:
;

Goal state after:
case mk
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
g : 𝓢(E, F)
toFun✝ : E → F
smooth'✝ : ContDiff ℝ ∞ toFun✝
decay'✝ : ∀ (k n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n toFun✝ x‖ ≤ C
h : (fun f ↦ f.toFun) { toFun := toFun✝, smooth' := smooth'✝, decay' := decay'✝ } = (fun f ↦ f.toFun) g
⊢ { toFun := toFun✝, smooth' := smooth'✝, decay' := decay'✝ } = g
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: case mk.mk
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
toFun✝¹ : E → F
smooth'✝¹ : ContDiff ℝ ∞ toFun✝¹
decay'✝¹ : ∀ (k n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n toFun✝¹ x‖ ≤ C
toFun✝ : E → F
smooth'✝ : ContDiff ℝ ∞ toFun✝
decay'✝ : ∀ (k n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n toFun✝ x‖ ≤ C
h :
  (fun f ↦ f.toFun) { toFun := toFun✝¹, smooth' := smooth'✝¹, decay' := decay'✝¹ } =
    (fun f ↦ f.toFun) { toFun := toFun✝, smooth' := smooth'✝, decay' := decay'✝ }
⊢ { toFun := toFun✝¹, smooth' := smooth'✝¹, decay' := decay'✝¹ } =
    { toFun := toFun✝, smooth' := smooth'✝, decay' := decay'✝ }

Tactic:
;

Goal state after:
case mk.mk
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
toFun✝¹ : E → F
smooth'✝¹ : ContDiff ℝ ∞ toFun✝¹
decay'✝¹ : ∀ (k n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n toFun✝¹ x‖ ≤ C
toFun✝ : E → F
smooth'✝ : ContDiff ℝ ∞ toFun✝
decay'✝ : ∀ (k n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n toFun✝ x‖ ≤ C
h :
  (fun f ↦ f.toFun) { toFun := toFun✝¹, smooth' := smooth'✝¹, decay' := decay'✝¹ } =
    (fun f ↦ f.toFun) { toFun := toFun✝, smooth' := smooth'✝, decay' := decay'✝ }
⊢ { toFun := toFun✝¹, smooth' := smooth'✝¹, decay' := decay'✝¹ } =
    { toFun := toFun✝, smooth' := smooth'✝, decay' := decay'✝ }
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case hbc
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
⊢ ‖L v‖ ≤ ‖L‖ * ‖v‖

Tactic:
;

Goal state after:
case hbc
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
⊢ ‖L v‖ ≤ ‖L‖ * ‖v‖