mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case mp.refine_5.mpr
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h✝ : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h✝ i
H : H✝.IsVanKampen
F' : WalkingSpan ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ span f g
fα : c'.pt ⟶ (PushoutCocone.mk h✝ i ⋯).pt
eα : α ≫ (PushoutCocone.mk h✝ i ⋯).ι = c'.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map fα
hα : NatTrans.Equifibered α
h : ∀ (j : WalkingSpan), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) fα ((PushoutCocone.mk h✝ i ⋯).ι.app j)
⊢ IsPullback (c'.ι.app WalkingSpan.left) (α.app WalkingSpan.left) fα h✝ ∧
    IsPullback (c'.ι.app WalkingSpan.right) (α.app WalkingSpan.right) fα i

Tactic:
;

Goal state after:
case mp.refine_5.mpr
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h✝ : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h✝ i
H : H✝.IsVanKampen
F' : WalkingSpan ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ span f g
fα : c'.pt ⟶ (PushoutCocone.mk h✝ i ⋯).pt
eα : α ≫ (PushoutCocone.mk h✝ i ⋯).ι = c'.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map fα
hα : NatTrans.Equifibered α
h : ∀ (j : WalkingSpan), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) fα ((PushoutCocone.mk h✝ i ⋯).ι.app j)
⊢ IsPullback (c'.ι.app WalkingSpan.left) (α.app WalkingSpan.left) fα h✝ ∧
    IsPullback (c'.ι.app WalkingSpan.right) (α.app WalkingSpan.right) fα i
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H : IsPushout f g h i
⊢ IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯) → H.IsVanKampen

Tactic:
introv H W' hf hg hh hi w

Goal state after:
case mpr
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ IsPushout f' g' h' i' ↔ IsPullback h' αX αZ h ∧ IsPullback i' αY αZ i
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case none
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ (span f' g').obj none ⟶ (span f g).obj none

pp: case some.left
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ (span f' g').obj (some WalkingPair.left) ⟶ (span f g).obj (some WalkingPair.left)

pp: case some.right
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ (span f' g').obj (some WalkingPair.right) ⟶ (span f g).obj (some WalkingPair.right)

Tactic:
;

Goal state after:
case none
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ (span f' g').obj none ⟶ (span f g).obj none

case some.left
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ (span f' g').obj (some WalkingPair.left) ⟶ (span f g).obj (some WalkingPair.left)

case some.right
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ (span f' g').obj (some WalkingPair.right) ⟶ (span f g).obj (some WalkingPair.right)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2.id
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i✝ : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i✝
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i✝ ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i✝
w : CommSq f' g' h' i'
i : WalkingSpan
⊢ (span f' g').map (𝟙 i) ≫ Option.rec αW (fun val ↦ WalkingPair.rec αX αY val) i =
    Option.rec αW (fun val ↦ WalkingPair.rec αX αY val) i ≫ (span f g).map (𝟙 i)

Tactic:
;

Goal state after:
case mpr.refine_2.id
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i✝ : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i✝
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i✝ ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i✝
w : CommSq f' g' h' i'
i : WalkingSpan
⊢ (span f' g').map (𝟙 i) ≫ Option.rec αW (fun val ↦ WalkingPair.rec αX αY val) i =
    Option.rec αW (fun val ↦ WalkingPair.rec αX αY val) i ≫ (span f g).map (𝟙 i)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.refine_4.id
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i✝ : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i✝
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i✝ ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i✝
w : CommSq f' g' h' i'
i : WalkingSpan
⊢ IsPullback ((span f' g').map (𝟙 i)) (Option.rec αW (fun val ↦ WalkingPair.rec αX αY val) i)
    (Option.rec αW (fun val ↦ WalkingPair.rec αX αY val) i) ((span f g).map (𝟙 i))

Tactic:
;

Goal state after:
case mpr.refine_4.id
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i✝ : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i✝
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i✝ ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i✝
w : CommSq f' g' h' i'
i : WalkingSpan
⊢ IsPullback ((span f' g').map (𝟙 i)) (Option.rec αW (fun val ↦ WalkingPair.rec αX αY val) i)
    (Option.rec αW (fun val ↦ WalkingPair.rec αX αY val) i) ((span f g).map (𝟙 i))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Extensive

Goal state before:
pp: case fst
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : Type u
f : Z ⟶ (Types.binaryCoproductCocone PUnit.{u + 1} PUnit.{u + 1}).pt
this :
  ∀ (x : (fun X ↦ X) Z),
    (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit ∨ (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inr PUnit.unit
x✝ : { p // (ConcreteCategory.hom f) p.1 = Sum.inl p.2 }
⊢ (↑((fun x ↦ ⟨(x.1, PUnit.unit), ⋯⟩) ((fun p ↦ ⟨(↑p).1, ⋯⟩) x✝))).1 = (↑x✝).1

Tactic:
;

Goal state after:
case fst
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : Type u
f : Z ⟶ (Types.binaryCoproductCocone PUnit.{u + 1} PUnit.{u + 1}).pt
this :
  ∀ (x : (fun X ↦ X) Z),
    (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit ∨ (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inr PUnit.unit
x✝ : { p // (ConcreteCategory.hom f) p.1 = Sum.inl p.2 }
⊢ (↑((fun x ↦ ⟨(x.1, PUnit.unit), ⋯⟩) ((fun p ↦ ⟨(↑p).1, ⋯⟩) x✝))).1 = (↑x✝).1
Module: Mathlib.CategoryTheory.Extensive

Goal state before:
pp: J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : Type u
f : Z ⟶ (Types.binaryCoproductCocone PUnit.{u + 1} PUnit.{u + 1}).pt
this :
  ∀ (x : (fun X ↦ X) Z),
    (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit ∨ (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inr PUnit.unit
x✝ : { x // (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit }
⊢ ↑((fun p ↦ ⟨(↑p).1, ⋯⟩) ((fun x ↦ ⟨(x.1, PUnit.unit), ⋯⟩) x✝)) = ↑x✝

Tactic:
;

Goal state after:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : Type u
f : Z ⟶ (Types.binaryCoproductCocone PUnit.{u + 1} PUnit.{u + 1}).pt
this :
  ∀ (x : (fun X ↦ X) Z),
    (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit ∨ (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inr PUnit.unit
x✝ : { x // (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit }
⊢ ↑((fun p ↦ ⟨(↑p).1, ⋯⟩) ((fun x ↦ ⟨(x.1, PUnit.unit), ⋯⟩) x✝)) = ↑x✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.refine_5.mp
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h✝ : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h✝ i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h✝ i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h✝
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
h :
  ∀ (j : WalkingSpan),
    IsPullback (w.cocone.ι.app j)
      ({ app := fun X_1 ↦ Option.casesOn X_1 αW fun val ↦ WalkingPair.casesOn val αX αY, naturality := ⋯ }.app j) αZ
      ((PushoutCocone.mk h✝ i ⋯).ι.app j)
⊢ IsPullback h' αX αZ h✝ ∧ IsPullback i' αY αZ i

Tactic:
;

Goal state after:
case mpr.refine_5.mp
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h✝ : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h✝ i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h✝ i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h✝
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
h :
  ∀ (j : WalkingSpan),
    IsPullback (w.cocone.ι.app j)
      ({ app := fun X_1 ↦ Option.casesOn X_1 αW fun val ↦ WalkingPair.casesOn val αX αY, naturality := ⋯ }.app j) αZ
      ((PushoutCocone.mk h✝ i ⋯).ι.app j)
⊢ IsPullback h' αX αZ h✝ ∧ IsPullback i' αY αZ i
Module: Mathlib.CategoryTheory.Extensive

Goal state before:
pp: case fst
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : Type u
f : Z ⟶ (Types.binaryCoproductCocone PUnit.{u + 1} PUnit.{u + 1}).pt
this :
  ∀ (x : (fun X ↦ X) Z),
    (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit ∨ (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inr PUnit.unit
eX : { p // (ConcreteCategory.hom f) p.1 = Sum.inl p.2 } ≃ { x // (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit } := ⋯
x✝ : { p // (ConcreteCategory.hom f) p.1 = Sum.inr p.2 }
⊢ (↑((fun x ↦ ⟨(x.1, PUnit.unit), ⋯⟩) ((fun p ↦ ⟨(↑p).1, ⋯⟩) x✝))).1 = (↑x✝).1

Tactic:
;

Goal state after:
case fst
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : Type u
f : Z ⟶ (Types.binaryCoproductCocone PUnit.{u + 1} PUnit.{u + 1}).pt
this :
  ∀ (x : (fun X ↦ X) Z),
    (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit ∨ (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inr PUnit.unit
eX : { p // (ConcreteCategory.hom f) p.1 = Sum.inl p.2 } ≃ { x // (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit } := ⋯
x✝ : { p // (ConcreteCategory.hom f) p.1 = Sum.inr p.2 }
⊢ (↑((fun x ↦ ⟨(x.1, PUnit.unit), ⋯⟩) ((fun p ↦ ⟨(↑p).1, ⋯⟩) x✝))).1 = (↑x✝).1
Module: Mathlib.CategoryTheory.Extensive

Goal state before:
pp: J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : Type u
f : Z ⟶ (Types.binaryCoproductCocone PUnit.{u + 1} PUnit.{u + 1}).pt
this :
  ∀ (x : (fun X ↦ X) Z),
    (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit ∨ (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inr PUnit.unit
eX : { p // (ConcreteCategory.hom f) p.1 = Sum.inl p.2 } ≃ { x // (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit } := ⋯
x✝ : { x // (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inr PUnit.unit }
⊢ ↑((fun p ↦ ⟨(↑p).1, ⋯⟩) ((fun x ↦ ⟨(x.1, PUnit.unit), ⋯⟩) x✝)) = ↑x✝

Tactic:
;

Goal state after:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : Type u
f : Z ⟶ (Types.binaryCoproductCocone PUnit.{u + 1} PUnit.{u + 1}).pt
this :
  ∀ (x : (fun X ↦ X) Z),
    (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit ∨ (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inr PUnit.unit
eX : { p // (ConcreteCategory.hom f) p.1 = Sum.inl p.2 } ≃ { x // (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inl PUnit.unit } := ⋯
x✝ : { x // (ConcreteCategory.hom f) x = Sum.inr PUnit.unit }
⊢ ↑((fun p ↦ ⟨(↑p).1, ⋯⟩) ((fun x ↦ ⟨(x.1, PUnit.unit), ⋯⟩) x✝)) = ↑x✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.refine_5.mpr.none
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
h₁ : IsPullback h' αX αZ h
h₂ : IsPullback i' αY αZ i
⊢ IsPullback (w.cocone.ι.app none) αW αZ (f ≫ h)

Tactic:
;

Goal state after:
case mpr.refine_5.mpr.none
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
h₁ : IsPullback h' αX αZ h
h₂ : IsPullback i' αY αZ i
⊢ IsPullback (w.cocone.ι.app none) αW αZ (f ≫ h)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.refine_5.mpr.none
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
h₁ : IsPullback h' αX αZ h
h₂ : IsPullback i' αY αZ i
⊢ IsPullback (f' ≫ w.cocone.inl) αW αZ (f ≫ h)

Tactic:
;

Goal state after:
case mpr.refine_5.mpr.none
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
h₁ : IsPullback h' αX αZ h
h₂ : IsPullback i' αY αZ i
⊢ IsPullback (f' ≫ w.cocone.inl) αW αZ (f ≫ h)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Extensive

Goal state before:
pp: case a
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : TopCat
f : Z ⟶ TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})
x :
  ↑(TopCat.of
      { p //
        (ConcreteCategory.hom f) p.1 =
          (ConcreteCategory.hom ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inl) p.2 })
⊢ (ConcreteCategory.hom (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inl))
      x ∈
    ⇑(ConcreteCategory.hom f) ⁻¹' Set.range Sum.inl

Tactic:
;

Goal state after:
case a
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : TopCat
f : Z ⟶ TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})
x :
  ↑(TopCat.of
      { p //
        (ConcreteCategory.hom f) p.1 =
          (ConcreteCategory.hom ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inl) p.2 })
⊢ (ConcreteCategory.hom (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inl))
      x ∈
    ⇑(ConcreteCategory.hom f) ⁻¹' Set.range Sum.inl
Module: Mathlib.CategoryTheory.Extensive

Goal state before:
pp: case a
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : TopCat
f : Z ⟶ TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})
x : ↑Z
hx : Sum.inl PUnit.unit = (ConcreteCategory.hom f) x
⊢ x ∈
    Set.range
      ⇑(ConcreteCategory.hom
          (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inl))

Tactic:
;

Goal state after:
case a
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : TopCat
f : Z ⟶ TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})
x : ↑Z
hx : Sum.inl PUnit.unit = (ConcreteCategory.hom f) x
⊢ x ∈
    Set.range
      ⇑(ConcreteCategory.hom
          (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inl))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Extensive

Goal state before:
pp: case a
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : TopCat
f : Z ⟶ TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})
h₁ :
  Set.range
      ⇑(ConcreteCategory.hom
          (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inl)) =
    ⇑(ConcreteCategory.hom f) ⁻¹' Set.range Sum.inl
x :
  ↑(TopCat.of
      { p //
        (ConcreteCategory.hom f) p.1 =
          (ConcreteCategory.hom ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inr) p.2 })
⊢ (ConcreteCategory.hom (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inr))
      x ∈
    ⇑(ConcreteCategory.hom f) ⁻¹' Set.range Sum.inr

Tactic:
;

Goal state after:
case a
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : TopCat
f : Z ⟶ TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})
h₁ :
  Set.range
      ⇑(ConcreteCategory.hom
          (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inl)) =
    ⇑(ConcreteCategory.hom f) ⁻¹' Set.range Sum.inl
x :
  ↑(TopCat.of
      { p //
        (ConcreteCategory.hom f) p.1 =
          (ConcreteCategory.hom ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inr) p.2 })
⊢ (ConcreteCategory.hom (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inr))
      x ∈
    ⇑(ConcreteCategory.hom f) ⁻¹' Set.range Sum.inr
Module: Mathlib.CategoryTheory.Extensive

Goal state before:
pp: case a
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : TopCat
f : Z ⟶ TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})
h₁ :
  Set.range
      ⇑(ConcreteCategory.hom
          (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inl)) =
    ⇑(ConcreteCategory.hom f) ⁻¹' Set.range Sum.inl
x : ↑Z
hx : Sum.inr PUnit.unit = (ConcreteCategory.hom f) x
⊢ x ∈
    Set.range
      ⇑(ConcreteCategory.hom
          (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inr))

Tactic:
;

Goal state after:
case a
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : TopCat
f : Z ⟶ TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})
h₁ :
  Set.range
      ⇑(ConcreteCategory.hom
          (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inl)) =
    ⇑(ConcreteCategory.hom f) ⁻¹' Set.range Sum.inl
x : ↑Z
hx : Sum.inr PUnit.unit = (ConcreteCategory.hom f) x
⊢ x ∈
    Set.range
      ⇑(ConcreteCategory.hom
          (TopCat.pullbackFst f ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inr))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case mp.refine_1.h₁
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X E Y YE : C
c : BinaryCofan X E
hc : IsColimit c
f : X ⟶ Y
iY : Y ⟶ YE
fE : c.pt ⟶ YE
H : CommSq f c.inl iY fE
h : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ fE) iY)
s : PushoutCocone f c.inl
⊢ f ≫ iY ≫ BinaryCofan.IsColimit.desc h (c.inr ≫ s.inr) s.inl = c.inl ≫ s.inr

Tactic:
;

Goal state after:
case mp.refine_1.h₁
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X E Y YE : C
c : BinaryCofan X E
hc : IsColimit c
f : X ⟶ Y
iY : Y ⟶ YE
fE : c.pt ⟶ YE
H : CommSq f c.inl iY fE
h : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ fE) iY)
s : PushoutCocone f c.inl
⊢ f ≫ iY ≫ BinaryCofan.IsColimit.desc h (c.inr ≫ s.inr) s.inl = c.inl ≫ s.inr
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case mp.refine_1.h₁
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X E Y YE : C
c : BinaryCofan X E
hc : IsColimit c
f : X ⟶ Y
iY : Y ⟶ YE
fE : c.pt ⟶ YE
H : CommSq f c.inl iY fE
h : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ fE) iY)
s : PushoutCocone f c.inl
⊢ f ≫ (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ s.inr) s.inl).ι.app { as := WalkingPair.right } = c.inl ≫ s.inr

Tactic:
;

Goal state after:
case mp.refine_1.h₁
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X E Y YE : C
c : BinaryCofan X E
hc : IsColimit c
f : X ⟶ Y
iY : Y ⟶ YE
fE : c.pt ⟶ YE
H : CommSq f c.inl iY fE
h : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ fE) iY)
s : PushoutCocone f c.inl
⊢ f ≫ (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ s.inr) s.inl).ι.app { as := WalkingPair.right } = c.inl ≫ s.inr
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case mp.refine_1.h₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X E Y YE : C
c : BinaryCofan X E
hc : IsColimit c
f : X ⟶ Y
iY : Y ⟶ YE
fE : c.pt ⟶ YE
H : CommSq f c.inl iY fE
h : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ fE) iY)
s : PushoutCocone f c.inl
⊢ (c.inr ≫ fE) ≫ BinaryCofan.IsColimit.desc h (c.inr ≫ s.inr) s.inl = c.inr ≫ s.inr

Tactic:
;

Goal state after:
case mp.refine_1.h₂
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X E Y YE : C
c : BinaryCofan X E
hc : IsColimit c
f : X ⟶ Y
iY : Y ⟶ YE
fE : c.pt ⟶ YE
H : CommSq f c.inl iY fE
h : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ fE) iY)
s : PushoutCocone f c.inl
⊢ (c.inr ≫ fE) ≫ BinaryCofan.IsColimit.desc h (c.inr ≫ s.inr) s.inl = c.inr ≫ s.inr