mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.SubMulAction

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DistribMulAction R M
x y : { v // v ≠ 0 }
a : Rˣ
ha : (fun m ↦ m • ↑y) a = ↑x
⊢ (MulAction.orbitRel Rˣ { v // v ≠ 0 }) x y

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DistribMulAction R M
x y : { v // v ≠ 0 }
a : Rˣ
ha : (fun m ↦ m • ↑y) a = ↑x
⊢ (MulAction.orbitRel Rˣ { v // v ≠ 0 }) x y
Module: Mathlib.Algebra.Module.Equiv.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
e : (x : M) → V x →ₗ[R] R
x✝ y✝ : (x : M) → V x
⊢ (fun x ↦ (e x) ((x✝ + y✝) x)) = (fun x ↦ (e x) (x✝ x)) + fun x ↦ (e x) (y✝ x)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
e : (x : M) → V x →ₗ[R] R
x✝ y✝ : (x : M) → V x
⊢ (fun x ↦ (e x) ((x✝ + y✝) x)) = (fun x ↦ (e x) (x✝ x)) + fun x ↦ (e x) (y✝ x)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.SubMulAction

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DistribMulAction R M
x y : { v // v ≠ 0 }
a : Rˣ
ha : (fun m ↦ m • ↑y) a = ↑x
⊢ ↑((fun m ↦ m • y) a) = ↑x

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DistribMulAction R M
x y : { v // v ≠ 0 }
a : Rˣ
ha : (fun m ↦ m • ↑y) a = ↑x
⊢ ↑((fun m ↦ m • y) a) = ↑x
Module: Mathlib.Algebra.Module.Equiv.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
e : (x : M) → V x →ₗ[R] R
x✝¹ y✝ : (x : M) → V x
x✝ : M
⊢ (e x✝) ((x✝¹ + y✝) x✝) = ((fun x ↦ (e x) (x✝¹ x)) + fun x ↦ (e x) (y✝ x)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
e : (x : M) → V x →ₗ[R] R
x✝¹ y✝ : (x : M) → V x
x✝ : M
⊢ (e x✝) ((x✝¹ + y✝) x✝) = ((fun x ↦ (e x) (x✝¹ x)) + fun x ↦ (e x) (y✝ x)) x✝
Module: Mathlib.Algebra.Module.Equiv.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
e : (x : M) → V x →ₗ[R] R
m✝ : R
x✝ : (x : M) → V x
⊢ (fun x ↦ (e x) ((m✝ • x✝) x)) = (RingHom.id R) m✝ • fun x ↦ (e x) (x✝ x)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
e : (x : M) → V x →ₗ[R] R
m✝ : R
x✝ : (x : M) → V x
⊢ (fun x ↦ (e x) ((m✝ • x✝) x)) = (RingHom.id R) m✝ • fun x ↦ (e x) (x✝ x)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Equiv.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
e : (x : M) → V x →ₗ[R] R
m✝ : R
x✝¹ : (x : M) → V x
x✝ : M
⊢ (e x✝) ((m✝ • x✝¹) x✝) = ((RingHom.id R) m✝ • fun x ↦ (e x) (x✝¹ x)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
e : (x : M) → V x →ₗ[R] R
m✝ : R
x✝¹ : (x : M) → V x
x✝ : M
⊢ (e x✝) ((m✝ • x✝¹) x✝) = ((RingHom.id R) m✝ • fun x ↦ (e x) (x✝¹ x)) x✝
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
M₂' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R₂ M₂'
p : M₂' →ₗ[R₂] M₂
hp : Injective ⇑p
h : ∀ (c : M), f c ∈ range ⇑p
b c : M
⊢ p (Exists.choose ⋯) = p (Exists.choose ⋯ + Exists.choose ⋯)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
M₂' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R₂ M₂'
p : M₂' →ₗ[R₂] M₂
hp : Injective ⇑p
h : ∀ (c : M), f c ∈ range ⇑p
b c : M
⊢ p (Exists.choose ⋯) = p (Exists.choose ⋯ + Exists.choose ⋯)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Equiv.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
x✝ y✝ : (x : M) → V x →ₗ[R] R
⊢ { toFun := fun s x ↦ ((x✝ + y✝) x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    { toFun := fun s x ↦ (x✝ x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
      { toFun := fun s x ↦ (y✝ x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
x✝ y✝ : (x : M) → V x →ₗ[R] R
⊢ { toFun := fun s x ↦ ((x✝ + y✝) x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    { toFun := fun s x ↦ (x✝ x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
      { toFun := fun s x ↦ (y✝ x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
Module: Mathlib.Algebra.Module.Equiv.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
x✝² y✝ : (x : M) → V x →ₗ[R] R
x✝¹ : (x : M) → V x
x✝ : M
⊢ { toFun := fun s x ↦ ((x✝² + y✝) x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x✝¹ x✝ =
    ({ toFun := fun s x ↦ (x✝² x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
        { toFun := fun s x ↦ (y✝ x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      x✝¹ x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
x✝² y✝ : (x : M) → V x →ₗ[R] R
x✝¹ : (x : M) → V x
x✝ : M
⊢ { toFun := fun s x ↦ ((x✝² + y✝) x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x✝¹ x✝ =
    ({ toFun := fun s x ↦ (x✝² x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
        { toFun := fun s x ↦ (y✝ x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      x✝¹ x✝
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
M₂' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R₂ M₂'
p : M₂' →ₗ[R₂] M₂
hp : Injective ⇑p
h : ∀ (c : M), f c ∈ range ⇑p
r : R
c : M
⊢ p (Exists.choose ⋯) = p (σ₁₂ r • Exists.choose ⋯)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
M₂' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R₂ M₂'
p : M₂' →ₗ[R₂] M₂
hp : Injective ⇑p
h : ∀ (c : M), f c ∈ range ⇑p
r : R
c : M
⊢ p (Exists.choose ⋯) = p (σ₁₂ r • Exists.choose ⋯)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Equiv.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
m✝ : R
x✝ : (x : M) → V x →ₗ[R] R
⊢ { toFun := fun s x ↦ ((m✝ • x✝) x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    (RingHom.id R) m✝ • { toFun := fun s x ↦ (x✝ x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
m✝ : R
x✝ : (x : M) → V x →ₗ[R] R
⊢ { toFun := fun s x ↦ ((m✝ • x✝) x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    (RingHom.id R) m✝ • { toFun := fun s x ↦ (x✝ x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
Module: Mathlib.Algebra.Module.Equiv.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
m✝ : R
x✝² : (x : M) → V x →ₗ[R] R
x✝¹ : (x : M) → V x
x✝ : M
⊢ { toFun := fun s x ↦ ((m✝ • x✝²) x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x✝¹ x✝ =
    ((RingHom.id R) m✝ • { toFun := fun s x ↦ (x✝² x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x✝¹ x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : M → Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (x : M) → AddCommMonoid (V x)
inst✝ : (x : M) → Module R (V x)
m✝ : R
x✝² : (x : M) → V x →ₗ[R] R
x✝¹ : (x : M) → V x
x✝ : M
⊢ { toFun := fun s x ↦ ((m✝ • x✝²) x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x✝¹ x✝ =
    ((RingHom.id R) m✝ • { toFun := fun s x ↦ (x✝² x) (s x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x✝¹ x✝
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice

Goal state before:
pp: case add
R : Type u_1
M : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set (Submodule R M)
t : R
m x✝ y✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, ↑i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i, ↑i
⊢ t • x✝ ∈ ⨆ a, ↑a → t • y✝ ∈ ⨆ a, ↑a → t • (x✝ + y✝) ∈ ⨆ a, ↑a

Tactic:
;

Goal state after:
case add
R : Type u_1
M : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set (Submodule R M)
t : R
m x✝ y✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, ↑i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i, ↑i
⊢ t • x✝ ∈ ⨆ a, ↑a → t • y✝ ∈ ⨆ a, ↑a → t • (x✝ + y✝) ∈ ⨆ a, ↑a
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice

Goal state before:
pp: case add
R : Type u_1
M : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set (Submodule R M)
t : R
m x✝ y✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, ↑i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i, ↑i
⊢ t • x✝ ∈ ⨆ a, ↑a → t • y✝ ∈ ⨆ a, ↑a → t • x✝ + t • y✝ ∈ ⨆ a, ↑a

Tactic:
;

Goal state after:
case add
R : Type u_1
M : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set (Submodule R M)
t : R
m x✝ y✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, ↑i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i, ↑i
⊢ t • x✝ ∈ ⨆ a, ↑a → t • y✝ ∈ ⨆ a, ↑a → t • x✝ + t • y✝ ∈ ⨆ a, ↑a
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap

Goal state before:
pp: R : Type u_10
R₂ : Type u_11
M : Type u_12
M₂ : Type u_13
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R₂ M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : MapsTo ⇑f ↑p ↑q
hg : MapsTo ⇑g ↑p ↑q
hfg : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑q
x✝ : ↥p
⊢ ↑((f.restrict hf - g.restrict hg) x✝) = ↑(((f - g).restrict hfg) x✝)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_10
R₂ : Type u_11
M : Type u_12
M₂ : Type u_13
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R₂ M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : MapsTo ⇑f ↑p ↑q
hg : MapsTo ⇑g ↑p ↑q
hfg : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑q
x✝ : ↥p
⊢ ↑((f.restrict hf - g.restrict hg) x✝) = ↑(((f - g).restrict hfg) x✝)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Equiv.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂✝ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁✝ : Type u_6
M₂✝ : Type u_7
M₃ : Type u_8
R₁ : Type u_9
R₂ : Type u_10
R₁' : Type u_11
R₂' : Type u_12
M₁ : Type u_13
M₂ : Type u_14
M₁' : Type u_15
M₂' : Type u_16
inst✝¹⁹ : Semiring R₁
inst✝¹⁸ : Semiring R₂
inst✝¹⁷ : Semiring R₁'
inst✝¹⁶ : Semiring R₂'
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁'
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
inst✝⁹ : Module R₁' M₁'
inst✝⁸ : Module R₂' M₂'
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₁'₂' : R₁' →+* R₂'
σ₂'₁' : R₂' →+* R₁'
σ₁₁' : R₁ →+* R₁'
σ₂₂' : R₂ →+* R₂'
σ₂₁' : R₂ →+* R₁'
σ₁₂' : R₁ →+* R₂'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁵ : RingHomInvPair σ₁'₂' σ₂'₁'
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₂'₁' σ₁'₂'
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₁' σ₁'₂' σ₁₂'
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₂' σ₂₂'
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₂' σ₂'₁' σ₂₁'
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₁' σ₁₁'
e : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
x✝² x✝¹ : Module.End R₁ M₁
x✝ : M₂
⊢ ((e.arrowCongrAddEquiv e).toFun (x✝² * x✝¹)) x✝ =
    ((e.arrowCongrAddEquiv e).toFun x✝² * (e.arrowCongrAddEquiv e).toFun x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₂✝ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁✝ : Type u_6
M₂✝ : Type u_7
M₃ : Type u_8
R₁ : Type u_9
R₂ : Type u_10
R₁' : Type u_11
R₂' : Type u_12
M₁ : Type u_13
M₂ : Type u_14
M₁' : Type u_15
M₂' : Type u_16
inst✝¹⁹ : Semiring R₁
inst✝¹⁸ : Semiring R₂
inst✝¹⁷ : Semiring R₁'
inst✝¹⁶ : Semiring R₂'
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁'
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
inst✝⁹ : Module R₁' M₁'
inst✝⁸ : Module R₂' M₂'
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₁'₂' : R₁' →+* R₂'
σ₂'₁' : R₂' →+* R₁'
σ₁₁' : R₁ →+* R₁'
σ₂₂' : R₂ →+* R₂'
σ₂₁' : R₂ →+* R₁'
σ₁₂' : R₁ →+* R₂'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁵ : RingHomInvPair σ₁'₂' σ₂'₁'
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₂'₁' σ₁'₂'
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₁' σ₁'₂' σ₁₂'
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₂' σ₂₂'
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₂' σ₂'₁' σ₂₁'
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₁' σ₁₁'
e : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
x✝² x✝¹ : Module.End R₁ M₁
x✝ : M₂
⊢ ((e.arrowCongrAddEquiv e).toFun (x✝² * x✝¹)) x✝ =
    ((e.arrowCongrAddEquiv e).toFun x✝² * (e.arrowCongrAddEquiv e).toFun x✝¹) x✝
Module: Mathlib.Algebra.Module.Equiv.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂✝ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁✝ : Type u_6
M₂✝ : Type u_7
M₃ : Type u_8
R₁ : Type u_9
R₂ : Type u_10
R₁' : Type u_11
R₂' : Type u_12
M₁ : Type u_13
M₂ : Type u_14
M₁' : Type u_15
M₂' : Type u_16
inst✝²³ : Semiring R₁
inst✝²² : Semiring R₂
inst✝²¹ : Semiring R₁'
inst✝²⁰ : Semiring R₂'
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁴ : Module R₂ M₂
inst✝¹³ : Module R₁' M₁'
inst✝¹² : Module R₂' M₂'
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₁'₂' : R₁' →+* R₂'
σ₂'₁' : R₂' →+* R₁'
σ₁₁' : R₁ →+* R₁'
σ₂₂' : R₂ →+* R₂'
σ₂₁' : R₂ →+* R₁'
σ₁₂' : R₁ →+* R₂'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ₁'₂' σ₂'₁'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₂'₁' σ₁'₂'
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₁' σ₁'₂' σ₁₂'
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₂' σ₂₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂₂' σ₂'₁' σ₂₁'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₁' σ₁₁'
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₁
inst✝¹ : SMulCommClass R₁ S M₁
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂' σ₂'₁' σ₁₁'
e₂ : M₁' ≃ₛₗ[σ₁'₂'] M₂'
x✝² : S
x✝¹ : M₁ →ₛₗ[σ₁₁'] M₁'
x✝ : M₁
⊢ (((refl R₁ M₁).arrowCongrAddEquiv e₂).toFun (DomMulAct.mk x✝² • x✝¹)) x✝ =
    ((RingHom.id Sᵈᵐᵃ) (DomMulAct.mk x✝²) • ((refl R₁ M₁).arrowCongrAddEquiv e₂).toFun x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
R₂✝ : Type u_2
K : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁✝ : Type u_6
M₂✝ : Type u_7
M₃ : Type u_8
R₁ : Type u_9
R₂ : Type u_10
R₁' : Type u_11
R₂' : Type u_12
M₁ : Type u_13
M₂ : Type u_14
M₁' : Type u_15
M₂' : Type u_16
inst✝²³ : Semiring R₁
inst✝²² : Semiring R₂
inst✝²¹ : Semiring R₁'
inst✝²⁰ : Semiring R₂'
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁴ : Module R₂ M₂
inst✝¹³ : Module R₁' M₁'
inst✝¹² : Module R₂' M₂'
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₁'₂' : R₁' →+* R₂'
σ₂'₁' : R₂' →+* R₁'
σ₁₁' : R₁ →+* R₁'
σ₂₂' : R₂ →+* R₂'
σ₂₁' : R₂ →+* R₁'
σ₁₂' : R₁ →+* R₂'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ₁'₂' σ₂'₁'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₂'₁' σ₁'₂'
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₁' σ₁'₂' σ₁₂'
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₂' σ₂₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂₂' σ₂'₁' σ₂₁'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₁' σ₁₁'
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₁
inst✝¹ : SMulCommClass R₁ S M₁
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂' σ₂'₁' σ₁₁'
e₂ : M₁' ≃ₛₗ[σ₁'₂'] M₂'
x✝² : S
x✝¹ : M₁ →ₛₗ[σ₁₁'] M₁'
x✝ : M₁
⊢ (((refl R₁ M₁).arrowCongrAddEquiv e₂).toFun (DomMulAct.mk x✝² • x✝¹)) x✝ =
    ((RingHom.id Sᵈᵐᵃ) (DomMulAct.mk x✝²) • ((refl R₁ M₁).arrowCongrAddEquiv e₂).toFun x✝¹) x✝
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMul S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M
inst✝ : Subsingleton R
this : Subsingleton M
⊢ Unique (Submodule R M)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMul S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M
inst✝ : Subsingleton R
this : Subsingleton M
⊢ Unique (Submodule R M)
Module: Mathlib.Order.Hom.CompleteLattice

Goal state before:
pp: case mk
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : SupSet α
inst✝² : SupSet β
inst✝¹ : SupSet γ
inst✝ : SupSet δ
g : sSupHom α β
toFun✝ : α → β
map_sSup'✝ : ∀ (s : Set α), toFun✝ (sSup s) = sSup (toFun✝ '' s)
h : { toFun := toFun✝, map_sSup' := map_sSup'✝ }.toFun = g.toFun
⊢ { toFun := toFun✝, map_sSup' := map_sSup'✝ } = g

Tactic:
;

Goal state after:
case mk
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : SupSet α
inst✝² : SupSet β
inst✝¹ : SupSet γ
inst✝ : SupSet δ
g : sSupHom α β
toFun✝ : α → β
map_sSup'✝ : ∀ (s : Set α), toFun✝ (sSup s) = sSup (toFun✝ '' s)
h : { toFun := toFun✝, map_sSup' := map_sSup'✝ }.toFun = g.toFun
⊢ { toFun := toFun✝, map_sSup' := map_sSup'✝ } = g
Module: Mathlib.Order.Hom.CompleteLattice

Goal state before:
pp: case mk.mk
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : SupSet α
inst✝² : SupSet β
inst✝¹ : SupSet γ
inst✝ : SupSet δ
toFun✝¹ : α → β
map_sSup'✝¹ : ∀ (s : Set α), toFun✝¹ (sSup s) = sSup (toFun✝¹ '' s)
toFun✝ : α → β
map_sSup'✝ : ∀ (s : Set α), toFun✝ (sSup s) = sSup (toFun✝ '' s)
h : { toFun := toFun✝¹, map_sSup' := map_sSup'✝¹ }.toFun = { toFun := toFun✝, map_sSup' := map_sSup'✝ }.toFun
⊢ { toFun := toFun✝¹, map_sSup' := map_sSup'✝¹ } = { toFun := toFun✝, map_sSup' := map_sSup'✝ }

Tactic:
;

Goal state after:
case mk.mk
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : SupSet α
inst✝² : SupSet β
inst✝¹ : SupSet γ
inst✝ : SupSet δ
toFun✝¹ : α → β
map_sSup'✝¹ : ∀ (s : Set α), toFun✝¹ (sSup s) = sSup (toFun✝¹ '' s)
toFun✝ : α → β
map_sSup'✝ : ∀ (s : Set α), toFun✝ (sSup s) = sSup (toFun✝ '' s)
h : { toFun := toFun✝¹, map_sSup' := map_sSup'✝¹ }.toFun = { toFun := toFun✝, map_sSup' := map_sSup'✝ }.toFun
⊢ { toFun := toFun✝¹, map_sSup' := map_sSup'✝¹ } = { toFun := toFun✝, map_sSup' := map_sSup'✝ }
Module: Mathlib.Order.Hom.CompleteLattice

Goal state before:
pp: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : SupSet α
inst✝² : SupSet β
inst✝¹ : SupSet γ
inst✝ : SupSet δ
f : sSupHom β γ
g : sSupHom α β
s : Set α
⊢ sSup ((fun x ↦ f (g x)) '' s) = sSup (⇑f ∘ ⇑g '' s)

Tactic:
;

Goal state after:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : SupSet α
inst✝² : SupSet β
inst✝¹ : SupSet γ
inst✝ : SupSet δ
f : sSupHom β γ
g : sSupHom α β
s : Set α
⊢ sSup ((fun x ↦ f (g x)) '' s) = sSup (⇑f ∘ ⇑g '' s)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.RestrictScalars

Goal state before:
pp: S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
s : Set (Submodule R M)
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ restrictScalars S (sInf s) ↔ x✝ ∈ sInf (restrictScalars S '' s)

Tactic:
;

Goal state after:
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
s : Set (Submodule R M)
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ restrictScalars S (sInf s) ↔ x✝ ∈ sInf (restrictScalars S '' s)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.RestrictScalars

Goal state before:
pp: S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
ι : Sort u_4
s : ι → Submodule R M
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ restrictScalars S (iInf s) ↔ x✝ ∈ ⨅ i, restrictScalars S (s i)

Tactic:
;

Goal state after:
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
ι : Sort u_4
s : ι → Submodule R M
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ restrictScalars S (iInf s) ↔ x✝ ∈ ⨅ i, restrictScalars S (s i)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.RestrictScalars

Goal state before:
pp: S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
s t : Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ restrictScalars S (s ⊓ t) ↔ x ∈ restrictScalars S s ⊓ restrictScalars S t

Tactic:
;

Goal state after:
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
s t : Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ restrictScalars S (s ⊓ t) ↔ x ∈ restrictScalars S s ⊓ restrictScalars S t