mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomIsometric σ
inst✝¹ : RingHomIsometric σ'
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ 2 ^ 2 = 4

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomIsometric σ
inst✝¹ : RingHomIsometric σ'
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ 2 ^ 2 = 4
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Basic

Goal state before:
pp: case hbc
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
v : E
⊢ ‖K.orthogonalProjectionOnto‖ ≤ 1

Tactic:
;

Goal state after:
case hbc
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
v : E
⊢ ‖K.orthogonalProjectionOnto‖ ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
inst✝ : U.HasOrthogonalProjection
h : U ⟂ V
v : ↥V
⊢ ↑((U.orthogonalProjectionOnto ∘SL V.subtypeL) v) = ↑(0 v)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
U V : Submodule 𝕜 E
inst✝ : U.HasOrthogonalProjection
h : U ⟂ V
v : ↥V
⊢ ↑((U.orthogonalProjectionOnto ∘SL V.subtypeL) v) = ↑(0 v)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
w✝¹ : Submodule 𝕜 E
w✝ : w✝¹.HasOrthogonalProjection
⊢ (↑w✝¹.starProjection).IsSymmetricProjection

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
w✝¹ : Submodule 𝕜 E
w✝ : w✝¹.HasOrthogonalProjection
⊢ (↑w✝¹.starProjection).IsSymmetricProjection
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach

Goal state before:
pp: case hbc
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : RingHomIsometric σ'
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := ⋯
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := ⋯
n : ℕ
⊢ ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖

Tactic:
;

Goal state after:
case hbc
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : RingHomIsometric σ'
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := ⋯
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := ⋯
n : ℕ
⊢ ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : WithLp p (α × β)
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ p ≠ ∞

Tactic:
;

Goal state after:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : WithLp p (α × β)
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ p ≠ ∞
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
hp : Fact (1 ≤ ∞)
f g : WithLp ∞ (α × β)
h : 1 ≤ ∞.toReal
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
hp : Fact (1 ≤ ∞)
f g : WithLp ∞ (α × β)
h : 1 ≤ ∞.toReal
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(V i)
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i ↦ ↥(V i)) fun i ↦ (V i).subtypeₗᵢ
h : iSup V = ⊤
x : E
this : (i : ι) → DecidableEq ↥(V i) := fun i ↦ Classical.decEq ↥(V i)
⊢ ((DFinsupp.equivFunOnFintype.symm fun i ↦ (V i).orthogonalProjectionOnto x).sum fun x ↦
      ⇑(AddSubmonoidClass.subtype (V x))) =
    x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(V i)
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i ↦ ↥(V i)) fun i ↦ (V i).subtypeₗᵢ
h : iSup V = ⊤
x : E
this : (i : ι) → DecidableEq ↥(V i) := fun i ↦ Classical.decEq ↥(V i)
⊢ ((DFinsupp.equivFunOnFintype.symm fun i ↦ (V i).orthogonalProjectionOnto x).sum fun x ↦
      ⇑(AddSubmonoidClass.subtype (V x))) =
    x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : RingHomIsometric σ'
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
y : F
yfs : y ∈ ⇑f '' s
⊢ ∃ ε > 0, ball y ε ⊆ ⇑f '' s

Tactic:
rcases yfs with ⟨x, xs, fxy⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : RingHomIsometric σ'
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ (y : F), ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
y : F
x : E
xs : x ∈ s
fxy : f x = y
⊢ ∃ ε > 0, ball y ε ⊆ ⇑f '' s
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.Matrix

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_4
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
p : ℝ≥0∞
x✝ : WithLp p (n → R)
i✝ : n
⊢ (((toLpLin p p) 1) x✝).ofLp i✝ = (LinearMap.id x✝).ofLp i✝

Tactic:
;

Goal state after:
n : Type u_2
R : Type u_4
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
p : ℝ≥0∞
x✝ : WithLp p (n → R)
i✝ : n
⊢ (((toLpLin p p) 1) x✝).ofLp i✝ = (LinearMap.id x✝).ofLp i✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.Matrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : CommRing R
p q r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
x✝ : WithLp p (o → R)
i✝ : m
⊢ (((toLpLin p r) (A * B)) x✝).ofLp i✝ = (((toLpLin q r) A ∘ₗ (toLpLin p q) B) x✝).ofLp i✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : CommRing R
p q r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
x✝ : WithLp p (o → R)
i✝ : m
⊢ (((toLpLin p r) (A * B)) x✝).ofLp i✝ = (((toLpLin q r) A ∘ₗ (toLpLin p q) B) x✝).ofLp i✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.UnitaryGroup

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
U : ↥(unitaryGroup n α)
i✝ j✝ : n
⊢ ↑(map_star U)⁻¹ i✝ j✝ = ↑(transpose U) i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
U : ↥(unitaryGroup n α)
i✝ j✝ : n
⊢ ↑(map_star U)⁻¹ i✝ j✝ = ↑(transpose U) i✝ j✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.UnitaryGroup

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
A : ↥(specialUnitaryGroup n α)
this : ↑A ∈ ↑(MonoidHom.mker detMonoidHom)
⊢ star ↑A ∈ ↑(MonoidHom.mker detMonoidHom)

Tactic:
;

Goal state after:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
A : ↥(specialUnitaryGroup n α)
this : ↑A ∈ ↑(MonoidHom.mker detMonoidHom)
⊢ star ↑A ∈ ↑(MonoidHom.mker detMonoidHom)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
f g : PiLp p α
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ 0 ≤ dist f g

Tactic:
simp only [dist]
        split_ifs with hp
        · linarith
        · exact Real.iSup_nonneg fun i ↦ dist_nonneg
        · exact rpow_nonneg (Fintype.sum_nonneg fun i ↦ by positivity) (1 / p.toReal)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E✝ : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
F✝ : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝¹ : E✝ →SL[σ] F✝
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
inst✝⁸ : CompleteSpace F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ' σ
f✝ : E✝ →SL[σ] F✝
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
hf : Injective ⇑f
hf' : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Set.range ⇑f)
K : ℝ≥0 := f.antilipschitzConstant_of_injective_of_isClosed_range hf hf'
hfK : AntilipschitzWith (f.antilipschitzConstant_of_injective_of_isClosed_range hf hf') ⇑f :=
  antilipschitz_antiLipschitzConstant_of_injective_of_isClosed_range f hf hf'
x : E
aux : ‖x‖ ≤ ↑(f.antilipschitzConstant_of_injective_of_isClosed_range hf hf') * ‖f x‖
⊢ (↑f).ker = ⊥

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E✝ : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
F✝ : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝¹ : E✝ →SL[σ] F✝
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
inst✝⁸ : CompleteSpace F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ' σ
f✝ : E✝ →SL[σ] F✝
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
hf : Injective ⇑f
hf' : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Set.range ⇑f)
K : ℝ≥0 := f.antilipschitzConstant_of_injective_of_isClosed_range hf hf'
hfK : AntilipschitzWith (f.antilipschitzConstant_of_injective_of_isClosed_range hf hf') ⇑f :=
  antilipschitz_antiLipschitzConstant_of_injective_of_isClosed_range f hf hf'
x : E
aux : ‖x‖ ≤ ↑(f.antilipschitzConstant_of_injective_of_isClosed_range hf hf') * ‖f x‖
⊢ (↑f).ker = ⊥
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
f g : PiLp p α
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ p ≠ ∞

Tactic:
;

Goal state after:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
f g : PiLp p α
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ p ≠ ∞
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝² : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fact (1 ≤ ∞)
f g : PiLp ∞ α
h : 1 ≤ ∞.toReal
⊢ False

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝² : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fact (1 ≤ ∞)
f g : PiLp ∞ α
h : 1 ≤ ∞.toReal
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
β : Type u_3
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
f : α → α'
hf : Isometry f
g : β → β'
hg : Isometry g
hp : Fact (1 ≤ 0)
x1✝ x2✝ : WithLp 0 (α × β)
⊢ ¬1 ≤ 0

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
β : Type u_3
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
f : α → α'
hf : Isometry f
g : β → β'
hg : Isometry g
hp : Fact (1 ≤ 0)
x1✝ x2✝ : WithLp 0 (α × β)
⊢ ¬1 ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ 0)
__spread✝⁻⁰ : WithLp 0 (α × β) ≃ WithLp 0 (β × α) := WithLp.congr 0 (Equiv.prodComm α β)
x✝¹ x✝ : WithLp 0 (α × β)
⊢ ¬1 ≤ 0

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ 0)
__spread✝⁻⁰ : WithLp 0 (α × β) ≃ WithLp 0 (β × α) := WithLp.congr 0 (Equiv.prodComm α β)
x✝¹ x✝ : WithLp 0 (α × β)
⊢ ¬1 ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ 0)
x✝¹ x✝ : WithLp 0 (WithLp 0 (α × β) × γ)
⊢ ¬1 ≤ 0

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ 0)
x✝¹ x✝ : WithLp 0 (WithLp 0 (α × β) × γ)
⊢ ¬1 ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
hp : Fact (1 ≤ 0)
__spread✝⁻⁰ : WithLp 0 (α × β) ≃ α := (WithLp.equiv 0 (α × β)).trans (Equiv.prodUnique α β)
x y : WithLp 0 (α × β)
⊢ ¬1 ≤ 0

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
hp : Fact (1 ≤ 0)
__spread✝⁻⁰ : WithLp 0 (α × β) ≃ α := (WithLp.equiv 0 (α × β)).trans (Equiv.prodUnique α β)
x y : WithLp 0 (α × β)
⊢ ¬1 ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp 1 β
⊢ ‖x‖ = ∑ i, ‖x.ofLp i‖

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp 1 β
⊢ ‖x‖ = ∑ i, ‖x.ofLp i‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 1 β
⊢ dist x y = ∑ i, dist (x.ofLp i) (y.ofLp i)

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 1 β
⊢ dist x y = ∑ i, dist (x.ofLp i) (y.ofLp i)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Basic

Goal state before:
pp: a : ℝ
⊢ volume (Ioi a) = ∞

Tactic:
;

Goal state after:
a : ℝ
⊢ volume (Ioi a) = ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Basic

Goal state before:
pp: a : ℝ
⊢ volume (Iio a) = ∞

Tactic:
;

Goal state after:
a : ℝ
⊢ volume (Iio a) = ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Basic

Goal state before:
pp: case neg
s : Set ℝ
hs : ¬Bornology.IsBounded s
⊢ volume s ≤ ∞

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
s : Set ℝ
hs : ¬Bornology.IsBounded s
⊢ volume s ≤ ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Basic

Goal state before:
pp: a : ℝ
h : a ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ (ofReal |a⁻¹| • volume) s = ofReal |a⁻¹| * volume s

Tactic:
;

Goal state after:
a : ℝ
h : a ≠ 0
s : Set ℝ
⊢ (ofReal |a⁻¹| • volume) s = ofReal |a⁻¹| * volume s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ Measurable ⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))

pp: ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ ofReal |∏ i, D i| * volume (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D)) ⁻¹' univ.pi s) = ∏ x, volume (s x)

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ Measurable ⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))

ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ ofReal |∏ i, D i| * volume (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D)) ⁻¹' univ.pi s) = ∏ x, volume (s x)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (α✝ i)
inst✝⁷ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁶ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (α✝ i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι : Type u_5
κ : Type u_6
p : ℝ≥0∞
α : ι ⊕ κ → Type u_7
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : Fintype κ
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι ⊕ κ) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝ : (i : ι ⊕ κ) → Module 𝕜 (α i)
x : (i : ι ⊕ κ) → α i
hp : 1 ≤ p.toReal
this : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ ↑‖(WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i) ≪≫ₗ LinearEquiv.sumPiEquivProdPi 𝕜 ι κ α ≪≫ₗ
              (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((s : ι) → α (Sum.inl s))).symm.prodCongr
                (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((t : κ) → α (Sum.inr t))).symm ≪≫ₗ
            (WithLp.linearEquiv p 𝕜 (WithLp p ((s : ι) → α (Sum.inl s)) × WithLp p ((t : κ) → α (Sum.inr t)))).symm)
          ((WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i)).symm x)‖₊ =
    ↑‖(WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i)).symm x‖₊

Tactic:
;

Goal state after:
case inr
p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝¹⁰ : Fintype ι✝
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (α✝ i)
inst✝⁷ : (i : ι✝) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁶ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (α✝ i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι : Type u_5
κ : Type u_6
p : ℝ≥0∞
α : ι ⊕ κ → Type u_7
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : Fintype κ
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι ⊕ κ) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝ : (i : ι ⊕ κ) → Module 𝕜 (α i)
x : (i : ι ⊕ κ) → α i
hp : 1 ≤ p.toReal
this : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ ↑‖(WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i) ≪≫ₗ LinearEquiv.sumPiEquivProdPi 𝕜 ι κ α ≪≫ₗ
              (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((s : ι) → α (Sum.inl s))).symm.prodCongr
                (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((t : κ) → α (Sum.inr t))).symm ≪≫ₗ
            (WithLp.linearEquiv p 𝕜 (WithLp p ((s : ι) → α (Sum.inl s)) × WithLp p ((t : κ) → α (Sum.inr t)))).symm)
          ((WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i)).symm x)‖₊ =
    ↑‖(WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι ⊕ κ) → α i)).symm x‖₊
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case top.refine_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
b : β i
this : Nonempty ι
hp : Fact (1 ≤ ∞)
j : ι
⊢ ‖(single ∞ i b).ofLp j‖₊ ≤ ‖b‖₊

pp: case top.refine_2
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
b : β i
this : Nonempty ι
hp : Fact (1 ≤ ∞)
n : ℝ≥0
hn : n < ‖b‖₊
⊢ ‖b‖₊ = ‖(single ∞ i b).ofLp i‖₊

Tactic:
· obtain rfl | hij := Decidable.eq_or_ne i j
      · rw [single_eq_same]
      · simp [hij]

Goal state after:
case top.refine_2
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
b : β i
this : Nonempty ι
hp : Fact (1 ≤ ∞)
n : ℝ≥0
hn : n < ‖b‖₊
⊢ ‖b‖₊ = ‖(single ∞ i b).ofLp i‖₊