mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
x✝ : ↥M
⊢ ↑((M.rTensorOne' ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥M) ∘ₗ (TensorProduct.mk R ↥⊥ ↥M) 1) x✝) = ↑(LinearMap.id x✝)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
x✝ : ↥M
⊢ ↑((M.rTensorOne' ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥M) ∘ₗ (TensorProduct.mk R ↥⊥ ↥M) 1) x✝) = ↑(LinearMap.id x✝)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M : Submodule R S
m : ↥M
r : ↥⊥
x : R
h : (algebraMap R ↥⊥) x = r
⊢ ↑(TensorProduct.comm R ↥M ↥⊥ ≪≫ₗ M.lTensorOne) (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) x) =
    ↑M.rTensorOne (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) x)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M : Submodule R S
m : ↥M
r : ↥⊥
x : R
h : (algebraMap R ↥⊥) x = r
⊢ ↑(TensorProduct.comm R ↥M ↥⊥ ≪≫ₗ M.lTensorOne) (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) x) =
    ↑M.rTensorOne (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M : Submodule R S
r : ↥⊥
m : ↥M
x : R
h : (algebraMap R ↥⊥) x = r
⊢ ↑(TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥M ≪≫ₗ M.rTensorOne) ((algebraMap R ↥⊥) x ⊗ₜ[R] m) =
    ↑M.lTensorOne ((algebraMap R ↥⊥) x ⊗ₜ[R] m)

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M : Submodule R S
r : ↥⊥
m : ↥M
x : R
h : (algebraMap R ↥⊥) x = r
⊢ ↑(TensorProduct.comm R ↥⊥ ↥M ≪≫ₗ M.rTensorOne) ((algebraMap R ↥⊥) x ⊗ₜ[R] m) =
    ↑M.lTensorOne ((algebraMap R ↥⊥) x ⊗ₜ[R] m)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
m : ι → ↥M
a✝ : ι
x✝ : ↥N
⊢ (mulLeftMap N m ∘ₗ Finsupp.lsingle a✝) x✝ =
    ((M.mulMap N ∘ₗ
          LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.linearCombination R m) ∘ₗ ↑(TensorProduct.finsuppScalarLeft R (↥N) ι).symm) ∘ₗ
        Finsupp.lsingle a✝)
      x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
m : ι → ↥M
a✝ : ι
x✝ : ↥N
⊢ (mulLeftMap N m ∘ₗ Finsupp.lsingle a✝) x✝ =
    ((M.mulMap N ∘ₗ
          LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.linearCombination R m) ∘ₗ ↑(TensorProduct.finsuppScalarLeft R (↥N) ι).symm) ∘ₗ
        Finsupp.lsingle a✝)
      x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
n : ι → ↥N
a✝ : ι
x✝ : ↥M
⊢ (M.mulRightMap n ∘ₗ Finsupp.lsingle a✝) x✝ =
    ((M.mulMap N ∘ₗ
          LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.linearCombination R n) ∘ₗ
            ↑(TensorProduct.finsuppScalarRight R R (↥M) ι).symm) ∘ₗ
        Finsupp.lsingle a✝)
      x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
n : ι → ↥N
a✝ : ι
x✝ : ↥M
⊢ (M.mulRightMap n ∘ₗ Finsupp.lsingle a✝) x✝ =
    ((M.mulMap N ∘ₗ
          LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.linearCombination R n) ∘ₗ
            ↑(TensorProduct.finsuppScalarRight R R (↥M) ι).symm) ∘ₗ
        Finsupp.lsingle a✝)
      x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
hFG : Module.Finite R ↥M'
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)).range
⊢ x = y

Tactic:
rw [Module.Finite.iff_fg] at hFG

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
hFG : M'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)).range
⊢ x = y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
hFG : M'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)).range
x' : ↥M' ⊗[R] ↥N
hx' : (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) x' = x
y' : ↥M' ⊗[R] ↥N
hy' : (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) y' = y
⊢ (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) x' = (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) y'

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
hFG : M'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)).range
x' : ↥M' ⊗[R] ↥N
hx' : (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) x' = x
y' : ↥M' ⊗[R] ↥N
hy' : (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) y' = y
⊢ (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) x' = (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) y'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : Module.Finite R ↥N'
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)).range
⊢ x = y

Tactic:
rw [Module.Finite.iff_fg] at hFG

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)).range
⊢ x = y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)).range
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
y' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hy' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y' = y
⊢ (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y'

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)).range
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
y' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hy' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y' = y
⊢ (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y'
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
x✝¹ : ↥M'
x✝ : ↥N
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry i) x✝¹) x✝ =
    ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (M'.mulMap N)) x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
x✝¹ : ↥M'
x✝ : ↥N
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry i) x✝¹) x✝ =
    ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (M'.mulMap N)) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
φ₁ φ₂ : (⨂[R] (i : ι), s i) →ₗ[R] E
H : φ₁.compMultilinearMap (tprod R) = φ₂.compMultilinearMap (tprod R)
z : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), φ₁ (tprodCoeff R r f) = φ₂ (tprodCoeff R r f)

Tactic:
intro r

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
φ₁ φ₂ : (⨂[R] (i : ι), s i) →ₗ[R] E
H : φ₁.compMultilinearMap (tprod R) = φ₂.compMultilinearMap (tprod R)
z : ⨂[R] (i : ι), s i
r : R
⊢ ∀ (f : (i : ι) → s i), φ₁ (tprodCoeff R r f) = φ₂ (tprodCoeff R r f)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
N' : Submodule R S
h : N' ≤ N
inst✝ : Flat R ↥M
i : ↥M ⊗[R] ↥N' →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
x✝¹ : ↥M
x✝ : ↥N'
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry i) x✝¹) x✝ =
    ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (M.mulMap N')) x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
N' : Submodule R S
h : N' ≤ N
inst✝ : Flat R ↥M
i : ↥M ⊗[R] ↥N' →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
x✝¹ : ↥M
x✝ : ↥N'
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry i) x✝¹) x✝ =
    ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (M.mulMap N')) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: case e'_4
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i : ι
hi : i ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), a i j = a' ↑i
hfn : f ↑n = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * ↑hj.unit⁻¹
c : ι → R := fun i ↦ (-if i = ↑n then 0 else a' i) * ↑hj.unit⁻¹
x✝ : ι
⊢ (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ (v + fun x ↦ c x • v ↑n)) x✝ =
    (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v + fun x ↦
        (⇑(Ideal.Quotient.mk 𝔪) ∘ c) x • (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) ↑n)
      x✝

Tactic:
;

Goal state after:
case e'_4
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i : ι
hi : i ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), a i j = a' ↑i
hfn : f ↑n = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * ↑hj.unit⁻¹
c : ι → R := fun i ↦ (-if i = ↑n then 0 else a' i) * ↑hj.unit⁻¹
x✝ : ι
⊢ (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ (v + fun x ↦ c x • v ↑n)) x✝ =
    (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v + fun x ↦
        (⇑(Ideal.Quotient.mk 𝔪) ∘ c) x • (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) ↑n)
      x✝
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: case e'_4
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i : ι
hi : i ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), a i j = a' ↑i
hfn : f ↑n = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * ↑hj.unit⁻¹
c : ι → R := fun i ↦ (-if i = ↑n then 0 else a' i) * ↑hj.unit⁻¹
x✝ : ι
⊢ c x✝ • 1 ⊗ₜ[R] v ↑n = (Ideal.Quotient.mk 𝔪) (c x✝) • 1 ⊗ₜ[R] v ↑n

Tactic:
;

Goal state after:
case e'_4
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i : ι
hi : i ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), a i j = a' ↑i
hfn : f ↑n = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * ↑hj.unit⁻¹
c : ι → R := fun i ↦ (-if i = ↑n then 0 else a' i) * ↑hj.unit⁻¹
x✝ : ι
⊢ c x✝ • 1 ⊗ₜ[R] v ↑n = (Ideal.Quotient.mk 𝔪) (c x✝) • 1 ⊗ₜ[R] v ↑n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorPower.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
⊢ r • (tprod R) isEmptyElim = r • GradedMonoid.GOne.one

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
⊢ r • (tprod R) isEmptyElim = r • GradedMonoid.GOne.one
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
⊢ Set.range (⇑(map f) ∘ ⇑(tprod R)) = {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
⊢ Set.range (⇑(map f) ∘ ⇑(tprod R)) = {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
⊢ (map f).range = Submodule.span R {t_1 | ∃ m, (⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)) = t_1}

Tactic:
by
  rw [← Submodule.map_top, ← span_tprod_eq_top, Submodule.map_span, ← Set.range_comp]
  apply congrArg; ext x
  simp only [Set.mem_range, comp_apply, map_tprod, Set.mem_ofPred_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Noetherian

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
hR : IsNoetherianRing R
I✝ : Ideal R
hI✝ : ¬I✝.minimalPrimes.Finite
I : Ideal R
hmax : ∀ (I_1 : Submodule R R), I < I_1 → (Ideal.minimalPrimes I_1).Finite
hI : I.IsPrime
⊢ I.minimalPrimes.Finite

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
hR : IsNoetherianRing R
I✝ : Ideal R
hI✝ : ¬I✝.minimalPrimes.Finite
I : Ideal R
hmax : ∀ (I_1 : Submodule R R), I < I_1 → (Ideal.minimalPrimes I_1).Finite
hI : I.IsPrime
⊢ I.minimalPrimes.Finite
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Noetherian

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
hR : IsNoetherianRing R
I✝ : Ideal R
hI✝ : ¬I✝.minimalPrimes.Finite
I : Ideal R
hmax : ∀ (I_1 : Submodule R R), I < I_1 → (Ideal.minimalPrimes I_1).Finite
h1 : ¬I.IsPrime
hI : I = ⊤
⊢ I.minimalPrimes.Finite

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
hR : IsNoetherianRing R
I✝ : Ideal R
hI✝ : ¬I✝.minimalPrimes.Finite
I : Ideal R
hmax : ∀ (I_1 : Submodule R R), I < I_1 → (Ideal.minimalPrimes I_1).Finite
h1 : ¬I.IsPrime
hI : I = ⊤
⊢ I.minimalPrimes.Finite
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst✝ : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn : n = 0
⊢ ¬ann.radical ^ n ≤ ann

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst✝ : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn : n = 0
⊢ ¬ann.radical ^ n ≤ ann
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ ((piTensorHomMap ((tprod R) f)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((map f).compMultilinearMap (tprod R)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ ((piTensorHomMap ((tprod R) f)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((map f).compMultilinearMap (tprod R)) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f✝ : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
f : (i : ι) → s i ≃ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → t i
⊢ (((map fun i ↦ ↑(f i)) ∘ₗ map fun i ↦ ↑(f i).symm).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ =
    (LinearMap.id.compMultilinearMap (tprod R)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f✝ : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
f : (i : ι) → s i ≃ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → t i
⊢ (((map fun i ↦ ↑(f i)) ∘ₗ map fun i ↦ ↑(f i).symm).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ =
    (LinearMap.id.compMultilinearMap (tprod R)) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f✝ : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
f : (i : ι) → s i ≃ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ (((map fun i ↦ ↑(f i).symm) ∘ₗ map fun i ↦ ↑(f i)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ =
    (LinearMap.id.compMultilinearMap (tprod R)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f✝ : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
f : (i : ι) → s i ≃ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ (((map fun i ↦ ↑(f i).symm) ∘ₗ map fun i ↦ ↑(f i)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ =
    (LinearMap.id.compMultilinearMap (tprod R)) x✝