mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
a b c d : 𝕜
⊢ c * (starRingEnd 𝕜) a * (d * (starRingEnd 𝕜) b) = c * d * ((starRingEnd 𝕜) a * (starRingEnd 𝕜) b)

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
a b c d : 𝕜
⊢ c * (starRingEnd 𝕜) a * (d * (starRingEnd 𝕜) b) = c * d * ((starRingEnd 𝕜) a * (starRingEnd 𝕜) b)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
x✝ : E ⊗[𝕜] F
⊢ (mapIsometry LinearIsometry.id LinearIsometry.id) x✝ = LinearIsometry.id x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
x✝ : E ⊗[𝕜] F
⊢ (mapIsometry LinearIsometry.id LinearIsometry.id) x✝ = LinearIsometry.id x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
x✝¹ : E
x✝ : F
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry
          ↑(congrIsometry (LinearIsometryEquiv.refl 𝕜 E) (LinearIsometryEquiv.refl 𝕜 F)).toLinearEquiv)
        x✝¹)
      x✝ =
    ((AlgebraTensorModule.curry ↑(LinearIsometryEquiv.refl 𝕜 (E ⊗[𝕜] F)).toLinearEquiv) x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
x✝¹ : E
x✝ : F
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry
          ↑(congrIsometry (LinearIsometryEquiv.refl 𝕜 E) (LinearIsometryEquiv.refl 𝕜 F)).toLinearEquiv)
        x✝¹)
      x✝ =
    ((AlgebraTensorModule.curry ↑(LinearIsometryEquiv.refl 𝕜 (E ⊗[𝕜] F)).toLinearEquiv) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
x✝ : 𝕜 ⊗[𝕜] 𝕜
⊢ (lidIsometry 𝕜 𝕜) x✝ = (ridIsometry 𝕜 𝕜) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
x✝ : 𝕜 ⊗[𝕜] 𝕜
⊢ (lidIsometry 𝕜 𝕜) x✝ = (ridIsometry 𝕜 𝕜) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x✝ : E ⊗[𝕜] 𝕜
⊢ ((commIsometry 𝕜 E 𝕜).trans (lidIsometry 𝕜 E)) x✝ = (ridIsometry 𝕜 E) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x✝ : E ⊗[𝕜] 𝕜
⊢ ((commIsometry 𝕜 E 𝕜).trans (lidIsometry 𝕜 E)) x✝ = (ridIsometry 𝕜 E) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜 ⊗[𝕜] E
⊢ ((commIsometry 𝕜 𝕜 E).trans (ridIsometry 𝕜 E)) x✝ = (lidIsometry 𝕜 E) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜 ⊗[𝕜] E
⊢ ((commIsometry 𝕜 𝕜 E).trans (ridIsometry 𝕜 E)) x✝ = (lidIsometry 𝕜 E) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f₁ f₂ : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (f₁ + f₂)) x✝ = (rTensor G f₁ + rTensor G f₂) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f₁ f₂ : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (f₁ + f₂)) x✝ = (rTensor G f₁ + rTensor G f₂) x✝
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ ↑C₁ * eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑C₁ * (↑C * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ)

Tactic:
;

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ ↑C₁ * eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑C₁ * (↑C * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
r : 𝕜
f : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (r • f)) x✝ = (r • rTensor G f) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
r : 𝕜
f : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (r • f)) x✝ = (r • rTensor G f) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E)) x✝ = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E ⊗[𝕜] G)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E)) x✝ = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E ⊗[𝕜] G)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: case h₂
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := ⋯
e : F ≃L[ℝ] F' := ⋯
C₁ : ℝ≥0 := ⋯
C : ℝ≥0 := ⋯
C₂ : ℝ≥0 := ⋯
v : E → F' := ⋯
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ ≤ ↑C₂ * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ

Tactic:
;

Goal state after:
case h₂
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := ⋯
e : F ≃L[ℝ] F' := ⋯
C₁ : ℝ≥0 := ⋯
C : ℝ≥0 := ⋯
C₂ : ℝ≥0 := ⋯
v : E → F' := ⋯
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ ≤ ↑C₂ * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G 0) x✝ = 0 x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G 0) x✝ = 0 x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (-f)) x✝ = (-rTensor G f) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (-f)) x✝ = (-rTensor G f) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f₁ f₂ : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (f₁ - f₂)) x✝ = (rTensor G f₁ - rTensor G f₂) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f₁ f₂ : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (f₁ - f₂)) x✝ = (rTensor G f₁ - rTensor G f₂) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f₁ : E →L[𝕜] F
f₂ : H →L[𝕜] E
x✝ : H ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (f₁ ∘SL f₂)) x✝ = (rTensor G f₁ ∘SL rTensor G f₂) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f₁ : E →L[𝕜] F
f₂ : H →L[𝕜] E
x✝ : H ⊗[𝕜] G
⊢ (rTensor G (f₁ ∘SL f₂)) x✝ = (rTensor G f₁ ∘SL rTensor G f₂) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (↑↑(commIsometry 𝕜 G F) ∘SL lTensor G f ∘SL ↑↑(commIsometry 𝕜 E G)) x✝ = (rTensor G f) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (↑↑(commIsometry 𝕜 G F) ∘SL lTensor G f ∘SL ↑↑(commIsometry 𝕜 E G)) x✝ = (rTensor G f) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (lTensor G f ∘SL ↑↑(commIsometry 𝕜 E G)) x✝ = (↑↑(commIsometry 𝕜 F G) ∘SL rTensor G f) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (lTensor G f ∘SL ↑↑(commIsometry 𝕜 E G)) x✝ = (↑↑(commIsometry 𝕜 F G) ∘SL rTensor G f) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
g : E →L[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (rTensor G g ∘SL ↑↑(commIsometry 𝕜 G E)) x✝ = (↑↑(commIsometry 𝕜 G F) ∘SL lTensor G g) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
g : E →L[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (rTensor G g ∘SL ↑↑(commIsometry 𝕜 G E)) x✝ = (↑↑(commIsometry 𝕜 G F) ∘SL lTensor G g) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
g : E →L[𝕜] F
x✝¹ : G
x✝ : E
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry ↑(lTensor G g)) x✝¹) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (LinearMap.lTensor G ↑g)) x✝¹) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
g : E →L[𝕜] F
x✝¹ : G
x✝ : E
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry ↑(lTensor G g)) x✝¹) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (LinearMap.lTensor G ↑g)) x✝¹) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
g : E →ₗᵢ[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (LinearIsometry.lTensor G g).toContinuousLinearMap x✝ = (lTensor G g.toContinuousLinearMap) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
g : E →ₗᵢ[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (LinearIsometry.lTensor G g).toContinuousLinearMap x✝ = (lTensor G g.toContinuousLinearMap) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f₁ f₂ : E →L[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G (f₁ + f₂)) x✝ = (lTensor G f₁ + lTensor G f₂) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f₁ f₂ : E →L[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G (f₁ + f₂)) x✝ = (lTensor G f₁ + lTensor G f₂) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
r : 𝕜
f : E →L[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G (r • f)) x✝ = (r • lTensor G f) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
r : 𝕜
f : E →L[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G (r • f)) x✝ = (r • lTensor G f) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E)) x✝ = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (G ⊗[𝕜] E)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G (ContinuousLinearMap.id 𝕜 E)) x✝ = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (G ⊗[𝕜] E)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G 0) x✝ = 0 x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G 0) x✝ = 0 x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G (-f)) x✝ = (-lTensor G f) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G (-f)) x✝ = (-lTensor G f) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f₁ f₂ : E →L[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G (f₁ - f₂)) x✝ = (lTensor G f₁ - lTensor G f₂) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 G
f₁ f₂ : E →L[𝕜] F
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (lTensor G (f₁ - f₂)) x✝ = (lTensor G f₁ - lTensor G f₂) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f₁ : E →L[𝕜] F
f₂ : H →L[𝕜] E
x✝ : G ⊗[𝕜] H
⊢ (lTensor G (f₁ ∘SL f₂)) x✝ = (lTensor G f₁ ∘SL lTensor G f₂) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f₁ : E →L[𝕜] F
f₂ : H →L[𝕜] E
x✝ : G ⊗[𝕜] H
⊢ (lTensor G (f₁ ∘SL f₂)) x✝ = (lTensor G f₁ ∘SL lTensor G f₂) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (mapL f g ∘SL ↑↑(commIsometry 𝕜 G E)) x✝ = (↑↑(commIsometry 𝕜 H F) ∘SL mapL g f) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
x✝ : G ⊗[𝕜] E
⊢ (mapL f g ∘SL ↑↑(commIsometry 𝕜 G E)) x✝ = (↑↑(commIsometry 𝕜 H F) ∘SL mapL g f) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f₁ f₂ : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (mapL (f₁ + f₂) g) x✝ = (mapL f₁ g + mapL f₂ g) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f₁ f₂ : E →L[𝕜] F
g : G →L[𝕜] H
x✝ : E ⊗[𝕜] G
⊢ (mapL (f₁ + f₂) g) x✝ = (mapL f₁ g + mapL f₂ g) x✝