mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthonormal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
s : Set (Set E)
hs : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) s
h : ∀ a ∈ s, Orthonormal 𝕜 fun x ↦ ↑x
⊢ Orthonormal 𝕜 fun x ↦ ↑x

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
s : Set (Set E)
hs : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) s
h : ∀ a ∈ s, Orthonormal 𝕜 fun x ↦ ↑x
⊢ Orthonormal 𝕜 fun x ↦ ↑x
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
F : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
x : F
⊢ (((rankOne 𝕜) x) 1) 1 = (toSpanSingleton 𝕜 x) 1

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
F : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
x : F
⊢ (((rankOne 𝕜) x) 1) 1 = (toSpanSingleton 𝕜 x) 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
F : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
x x✝ : F
⊢ (((rankOne 𝕜) 1) x) x✝ = ((innerSL 𝕜) x) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
F : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
x x✝ : F
⊢ (((rankOne 𝕜) 1) x) x✝ = ((innerSL 𝕜) x) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_8
H : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
a c : F
b d : H
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (x : H), ⟪b, x⟫_𝕜 • a = ⟪d, x⟫_𝕜 • c
h₂ : ∀ (x : F), ⟪a, x⟫_𝕜 • b = ⟪c, x⟫_𝕜 • d
⊢ (⟪b, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • a = (1 / ⟪b, b⟫_𝕜 * ⟪b, b⟫_𝕜) • a

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_8
H : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
a c : F
b d : H
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (x : H), ⟪b, x⟫_𝕜 • a = ⟪d, x⟫_𝕜 • c
h₂ : ∀ (x : F), ⟪a, x⟫_𝕜 • b = ⟪c, x⟫_𝕜 • d
⊢ (⟪b, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • a = (1 / ⟪b, b⟫_𝕜 * ⟪b, b⟫_𝕜) • a
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_8
H : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
a c : F
b d : H
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (x : H), ⟪b, x⟫_𝕜 • a = ⟪d, x⟫_𝕜 • c
h₂ : ∀ (x : F), ⟪a, x⟫_𝕜 • b = ⟪c, x⟫_𝕜 • d
⊢ (1 / ⟪b, b⟫_𝕜 * ⟪d, b⟫_𝕜) • c = (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • c

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_8
H : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
a c : F
b d : H
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (x : H), ⟪b, x⟫_𝕜 • a = ⟪d, x⟫_𝕜 • c
h₂ : ∀ (x : F), ⟪a, x⟫_𝕜 • b = ⟪c, x⟫_𝕜 • d
⊢ (1 / ⟪b, b⟫_𝕜 * ⟪d, b⟫_𝕜) • c = (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • c
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_8
H : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
a c : F
b d : H
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (x : H), ⟪b, x⟫_𝕜 • a = ⟪d, x⟫_𝕜 • c
h₂ : ∀ (x : F), ⟪a, x⟫_𝕜 • b = ⟪c, x⟫_𝕜 • d
h₃ : a = (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • c
⊢ (⟪a, a⟫_𝕜 / ⟪a, a⟫_𝕜) • b = (1 / ⟪a, a⟫_𝕜 * ⟪a, a⟫_𝕜) • b

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_8
H : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
a c : F
b d : H
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (x : H), ⟪b, x⟫_𝕜 • a = ⟪d, x⟫_𝕜 • c
h₂ : ∀ (x : F), ⟪a, x⟫_𝕜 • b = ⟪c, x⟫_𝕜 • d
h₃ : a = (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • c
⊢ (⟪a, a⟫_𝕜 / ⟪a, a⟫_𝕜) • b = (1 / ⟪a, a⟫_𝕜 * ⟪a, a⟫_𝕜) • b
Module: Mathlib.Topology.Baire.CompleteMetrizable

Goal state before:
pp: case refine_4
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : IsCompletelyPseudoMetrizableSpace X
x✝ : UpgradedIsCompletelyPseudoMetrizableSpace X := upgradeIsCompletelyPseudoMetrizable X
f : ℕ → Set X
ho : ∀ (n : ℕ), IsOpen (f n)
hd : ∀ (n : ℕ), Dense (f n)
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n ↦ 1 / 2 ^ n
Bpos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
n : ℕ
x : X
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
this : x ∈ closure (f n)
y : X
ys : y ∈ f n
xy : edist y x < δ / 2
r : ℝ≥0∞
rpos : r > 0
hr : closedEBall y r ⊆ f n
z : X
hz : z ∈ closedEBall y (min (min (δ / 2) r) (B (n + 1)))
⊢ z ∈ f n

Tactic:
exact hr (calc
      edist z y ≤ min (min (δ / 2) r) (B (n + 1)) := hz
      _ ≤ r := le_trans (min_le_left _ _) (min_le_right _ _))

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_8
H : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
a c : F
b d : H
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (x : H), ⟪b, x⟫_𝕜 • a = ⟪d, x⟫_𝕜 • c
h₂ : ∀ (x : F), ⟪a, x⟫_𝕜 • b = ⟪c, x⟫_𝕜 • d
h₃ : a = (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • c
⊢ (1 / (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜 * ⟪(⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • c, c⟫_𝕜) * (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜 * ⟪c, c⟫_𝕜)) • d =
    (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜 * (⟪c, c⟫_𝕜 / (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜 * ⟪(⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • c, c⟫_𝕜))) • d

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_8
H : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
a c : F
b d : H
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (x : H), ⟪b, x⟫_𝕜 • a = ⟪d, x⟫_𝕜 • c
h₂ : ∀ (x : F), ⟪a, x⟫_𝕜 • b = ⟪c, x⟫_𝕜 • d
h₃ : a = (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • c
⊢ (1 / (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜 * ⟪(⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • c, c⟫_𝕜) * (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜 * ⟪c, c⟫_𝕜)) • d =
    (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜 * (⟪c, c⟫_𝕜 / (⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜 * ⟪(⟪d, b⟫_𝕜 / ⟪b, b⟫_𝕜) • c, c⟫_𝕜))) • d
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Subspace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : CompleteSpace E
f : (i : ι) → G i
hf : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ (m : Finset ι), N ⊆ m → ∀ (n : Finset ι), N ⊆ n → ‖∑ i ∈ m, (V i) (f i) - ∑ i ∈ n, (V i) (f i)‖ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : Finset ι
H : ∀ (m : Finset ι), a ⊆ m → ∀ (n : Finset ι), a ⊆ n → ‖∑ i ∈ m, (V i) (f i) - ∑ i ∈ n, (V i) (f i)‖ < √ε
s₁ : Finset ι
hs₁ : a ⊆ s₁
s₂ : Finset ι
hs₂ : a ⊆ s₂
this : ∀ (i : ι), 0 ≤ ‖f i‖ ^ 2
⊢ ‖∑ i ∈ s₁, (V i) (f i) - ∑ i ∈ s₂, (V i) (f i)‖ < √ε

Tactic:
exact H s₁ hs₁ s₂ hs₂

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: case mk
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : Module R M
t : ClosedSubmodule R M
toSubmodule✝ : Submodule R M
isClosed'✝ : IsClosed toSubmodule✝.carrier
h : ↑{ toSubmodule := toSubmodule✝, isClosed' := isClosed'✝ } = ↑t
⊢ { toSubmodule := toSubmodule✝, isClosed' := isClosed'✝ } = t

Tactic:
;

Goal state after:
case mk
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : Module R M
t : ClosedSubmodule R M
toSubmodule✝ : Submodule R M
isClosed'✝ : IsClosed toSubmodule✝.carrier
h : ↑{ toSubmodule := toSubmodule✝, isClosed' := isClosed'✝ } = ↑t
⊢ { toSubmodule := toSubmodule✝, isClosed' := isClosed'✝ } = t
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousConstSMul R M
s : Submodule R M
hs : IsClosed s.carrier
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ (↑s.closure).carrier ↔ x✝ ∈ (↑{ toSubmodule := s, isClosed' := hs }).carrier

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousConstSMul R M
s : Submodule R M
hs : IsClosed s.carrier
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ (↑s.closure).carrier ↔ x✝ ∈ (↑{ toSubmodule := s, isClosed' := hs }).carrier
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd N
inst✝ : ContinuousConstSMul R N
s : ClosedSubmodule R N
x : N
⊢ x ∈ (↑(↑s).closure).carrier ↔ x ∈ (↑s).carrier

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd N
inst✝ : ContinuousConstSMul R N
s : ClosedSubmodule R N
x : N
⊢ x ∈ (↑(↑s).closure).carrier ↔ x ∈ (↑s).carrier
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd N
inst✝ : ContinuousConstSMul R N
f : M →L[R] N
s : ClosedSubmodule R M
t : ClosedSubmodule R N
⊢ ↑s ≤ Submodule.comap ↑f ↑t ↔ s ≤ comap f t

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd N
inst✝ : ContinuousConstSMul R N
f : M →L[R] N
s : ClosedSubmodule R M
t : ClosedSubmodule R N
⊢ ↑s ≤ Submodule.comap ↑f ↑t ↔ s ≤ comap f t
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: ι : Sort u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
O : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid O
inst✝¹ : TopologicalSpace O
inst✝ : Module R O
f : M ≃L[R] N
x✝ : ClosedSubmodule R M
⊢ (fun t ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f.symm ↑t, isClosed' := ⋯ })
      ((fun s ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f ↑s, isClosed' := ⋯ }) x✝) =
    x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
O : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid O
inst✝¹ : TopologicalSpace O
inst✝ : Module R O
f : M ≃L[R] N
x✝ : ClosedSubmodule R M
⊢ (fun t ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f.symm ↑t, isClosed' := ⋯ })
      ((fun s ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f ↑s, isClosed' := ⋯ }) x✝) =
    x✝
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: ι : Sort u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
O : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid O
inst✝¹ : TopologicalSpace O
inst✝ : Module R O
f : M ≃L[R] N
x✝¹ : ClosedSubmodule R M
x✝ : M
⊢ x✝ ∈
      (↑((fun t ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f.symm ↑t, isClosed' := ⋯ })
            ((fun s ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f ↑s, isClosed' := ⋯ }) x✝¹))).carrier ↔
    x✝ ∈ (↑x✝¹).carrier

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
O : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid O
inst✝¹ : TopologicalSpace O
inst✝ : Module R O
f : M ≃L[R] N
x✝¹ : ClosedSubmodule R M
x✝ : M
⊢ x✝ ∈
      (↑((fun t ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f.symm ↑t, isClosed' := ⋯ })
            ((fun s ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f ↑s, isClosed' := ⋯ }) x✝¹))).carrier ↔
    x✝ ∈ (↑x✝¹).carrier
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: ι : Sort u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
O : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid O
inst✝¹ : TopologicalSpace O
inst✝ : Module R O
f : M ≃L[R] N
x✝ : ClosedSubmodule R N
⊢ (fun s ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f ↑s, isClosed' := ⋯ })
      ((fun t ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f.symm ↑t, isClosed' := ⋯ }) x✝) =
    x✝

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
O : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid O
inst✝¹ : TopologicalSpace O
inst✝ : Module R O
f : M ≃L[R] N
x✝ : ClosedSubmodule R N
⊢ (fun s ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f ↑s, isClosed' := ⋯ })
      ((fun t ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f.symm ↑t, isClosed' := ⋯ }) x✝) =
    x✝
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: ι : Sort u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
O : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid O
inst✝¹ : TopologicalSpace O
inst✝ : Module R O
f : M ≃L[R] N
x✝¹ : ClosedSubmodule R N
x✝ : N
⊢ x✝ ∈
      (↑((fun s ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f ↑s, isClosed' := ⋯ })
            ((fun t ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f.symm ↑t, isClosed' := ⋯ }) x✝¹))).carrier ↔
    x✝ ∈ (↑x✝¹).carrier

Tactic:
;

Goal state after:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
O : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid O
inst✝¹ : TopologicalSpace O
inst✝ : Module R O
f : M ≃L[R] N
x✝¹ : ClosedSubmodule R N
x✝ : N
⊢ x✝ ∈
      (↑((fun s ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f ↑s, isClosed' := ⋯ })
            ((fun t ↦ { toSubmodule := Submodule.map ↑↑f.symm ↑t, isClosed' := ⋯ }) x✝¹))).carrier ↔
    x✝ ∈ (↑x✝¹).carrier
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : Module R N
f : M ≃L[R] N
inst✝¹ : T1Space M
inst✝ : T1Space N
x : N
⊢ x ∈ (↑((mapEquiv f) ⊥)).carrier ↔ x ∈ (↑⊥).carrier

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : Module R N
f : M ≃L[R] N
inst✝¹ : T1Space M
inst✝ : T1Space N
x : N
⊢ x ∈ (↑((mapEquiv f) ⊥)).carrier ↔ x ∈ (↑⊥).carrier
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : Module R N
f : M ≃L[R] N
x : N
⊢ x ∈ (↑((mapEquiv f) ⊤)).carrier ↔ x ∈ (↑⊤).carrier

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : Module R N
f : M ≃L[R] N
x : N
⊢ x ∈ (↑((mapEquiv f) ⊤)).carrier ↔ x ∈ (↑⊤).carrier
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : TopologicalSpace N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : ContinuousAdd N
inst✝² : ContinuousConstSMul R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousConstSMul R M
f : M ≃L[R] N
s t : ClosedSubmodule R M
⊢ (mapEquiv f) (s ⊔ t) = (mapEquiv f) s ⊔ (mapEquiv f) t

Tactic:
ext x
  simp only [mapEquiv_apply, toSubmodule_sup, Submodule.carrier_eq_coe, Submodule.map_coe,
    LinearEquiv.coe_coe, ContinuousLinearEquiv.coe_toLinearEquiv, coe_toSubmodule,
    Submodule.coe_closure, Set.mem_image]
  have : f = f.toLinearEquiv.toLinearMap := by
    exact LinearMap.ext (congrFun rfl)
  rw [← this, ← Submodule.coe_closure, ← Submodule.map_sup, Submodule.map_coe]
  simp [← ContinuousLinearEquiv.image_closure]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝ : RCLike K
⊢ Module.rank ℝ K = Module.rank ℝ ↥⊤

Tactic:
;

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝ : RCLike K
⊢ Module.rank ℝ K = Module.rank ℝ ↥⊤
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthogonal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hu : u ∈ K
hv : v ∈ Kᗮ
⊢ ⟪u, v⟫ = 0

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hu : u ∈ K
hv : v ∈ Kᗮ
⊢ ⟪u, v⟫ = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthogonal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ K ⊓ Kᗮ → x ∈ ⊥

Tactic:
rw [mem_inf]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ K ∧ x ∈ Kᗮ → x ∈ ⊥
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthogonal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
h : Kᗮ = ⊤
this : K ⊓ ⊤ = ⊥
⊢ K = ⊥

Tactic:
inf_comm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
h : Kᗮ = ⊤
this : ⊤ ⊓ K = ⊥
⊢ K = ⊥
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Symmetric

Goal state before:
pp: case mpr
V : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    (starRingEnd ℂ)
      ((⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ -
          Complex.I * ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ) /
        4)

Tactic:
simp only [starRingEnd_apply, star_div₀, star_sub, star_add, star_mul]

Goal state after:
case mpr
V : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    (star ⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - star ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ +
          star ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ * star Complex.I -
        star ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ * star Complex.I) /
      star 4
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthogonal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ (↑⊤ᗮ).carrier ↔ x ∈ (↑⊥).carrier

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ (↑⊤ᗮ).carrier ↔ x ∈ (↑⊥).carrier
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthogonal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ (↑⊥ᗮ).carrier ↔ x ∈ (↑⊤).carrier

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ (↑⊥ᗮ).carrier ↔ x ∈ (↑⊤).carrier
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthogonal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ⊥ᗮ = ⊤

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ⊥ᗮ = ⊤
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthogonal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : ClosedSubmodule 𝕜 E
h : Kᗮ = ⊤
this : K ⊓ ⊤ = ⊥
⊢ K = ⊥

Tactic:
inf_comm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : ClosedSubmodule 𝕜 E
h : Kᗮ = ⊤
this : ⊤ ⊓ K = ⊥
⊢ K = ⊥
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthogonal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ (↑K.closureᗮ).carrier ↔ x ∈ (↑{ toSubmodule := Kᗮ, isClosed' := ⋯ }).carrier

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x : E
⊢ x ∈ (↑K.closureᗮ).carrier ↔ x ∈ (↑{ toSubmodule := Kᗮ, isClosed' := ⋯ }).carrier
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Reflection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
v : E
⊢ 2 • (v - K.starProjection v) - v = v - 2 • K.starProjection v

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
v : E
⊢ 2 • (v - K.starProjection v) - v = v - 2 • K.starProjection v
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Reflection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
x✝ : E
⊢ Kᗮ.reflection x✝ = (K.reflection.trans (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜)) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
x✝ : E
⊢ Kᗮ.reflection x✝ = (K.reflection.trans (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜)) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Reflection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x✝ : E
⊢ ⊥.reflection x✝ = (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x✝ : E
⊢ ⊥.reflection x✝ = (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Submodule

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : ClosedSubmodule 𝕜 E
inst✝ : (↑K).HasOrthogonalProjection
x : E
⊢ x ∈ (↑Kᗮᗮ).carrier ↔ x ∈ (↑K).carrier

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : ClosedSubmodule 𝕜 E
inst✝ : (↑K).HasOrthogonalProjection
x : E
⊢ x ∈ (↑Kᗮᗮ).carrier ↔ x ∈ (↑K).carrier
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ (↑K.orthogonalProjectionOnto).ker ↔ x✝ ∈ Kᗮ

Tactic:
;

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ (↑K.orthogonalProjectionOnto).ker ↔ x✝ ∈ Kᗮ