mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Integrable μ[f | m] μ

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Integrable μ[f | m] μ

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Integrable μ[f | m] μ

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Integrable μ[f | m] μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Integrable 0 μ

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Integrable 0 μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondexpL2

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
x y : G
⊢ (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ (x + y))) ↑((condExpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =
    (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condExpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) +
      (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ y)) ↑((condExpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
x y : G
⊢ (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ (x + y))) ↑((condExpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) =
    (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condExpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) +
      (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ y)) ↑((condExpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : Integrable f μ
this : ∫ (x : α), μ[f | m] x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
⊢ ∫ (x : α), μ[f | m] x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ

Tactic:
;

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : Integrable f μ
this : ∫ (x : α), μ[f | m] x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
⊢ ∫ (x : α), μ[f | m] x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
Module: Mathlib.InformationTheory.KullbackLeibler.ChainRule

Goal state before:
pp: 𝓧 : Type u_1
𝓨 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
m𝓨 : MeasurableSpace 𝓨
μ ν : Measure 𝓧
κ η : Kernel 𝓧 𝓨
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : IsFiniteMeasure ν
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
h_ac : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
h_ac_μν : μ ≪ ν
h_ac_κη : μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x ↦ llr μ ν x.1) (μ ⊗ₘ κ)

pp: 𝓧 : Type u_1
𝓨 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
m𝓨 : MeasurableSpace 𝓨
μ ν : Measure 𝓧
κ η : Kernel 𝓧 𝓨
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : IsFiniteMeasure ν
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
h_ac : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
h_ac_μν : μ ≪ ν
h_ac_κη : μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η
⊢ Integrable (llr μ ν) μ ↔
    (∀ᵐ (x : 𝓧) ∂μ, Integrable (fun y ↦ llr μ ν (x, y).1) (κ x)) ∧
      Integrable (fun x ↦ ∫ (y : 𝓨), ‖llr μ ν (x, y).1‖ ∂κ x) μ

Tactic:
;

Goal state after:
𝓧 : Type u_1
𝓨 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
m𝓨 : MeasurableSpace 𝓨
μ ν : Measure 𝓧
κ η : Kernel 𝓧 𝓨
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : IsFiniteMeasure ν
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
h_ac : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
h_ac_μν : μ ≪ ν
h_ac_κη : μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x ↦ llr μ ν x.1) (μ ⊗ₘ κ)

𝓧 : Type u_1
𝓨 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
m𝓨 : MeasurableSpace 𝓨
μ ν : Measure 𝓧
κ η : Kernel 𝓧 𝓨
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : IsFiniteMeasure ν
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
h_ac : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
h_ac_μν : μ ≪ ν
h_ac_κη : μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η
⊢ Integrable (llr μ ν) μ ↔
    (∀ᵐ (x : 𝓧) ∂μ, Integrable (fun y ↦ llr μ ν (x, y).1) (κ x)) ∧
      Integrable (fun x ↦ ∫ (y : 𝓨), ‖llr μ ν (x, y).1‖ ∂κ x) μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondexpL2

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
x : G
⊢ (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condExpL2 ℝ ℝ hm) 0) = 0

Tactic:
simp only [Submodule.coe_zero, map_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
⊢ 0[f | ⊥] =ᶠ[⊥] fun x ↦ (Measure.real 0 Set.univ)⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂0

Tactic:
;

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
⊢ 0[f | ⊥] =ᶠ[⊥] fun x ↦ (Measure.real 0 Set.univ)⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ μ[f + g | m] =ᵐ[μ] μ[f | m] + μ[g | m]

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
⊢ μ[f + g | m] =ᵐ[μ] μ[f | m] + μ[g | m]

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ μ[f + g | m] =ᵐ[μ] μ[f | m] + μ[g | m]

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
⊢ μ[f + g | m] =ᵐ[μ] μ[f | m] + μ[g | m]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ 0 =ᵐ[μ] 0 + 0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ 0 =ᵐ[μ] 0 + 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f + g | m] =ᵐ[μ] μ[f | m] + μ[g | m]

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f + g | m] =ᵐ[μ] μ[f | m] + μ[g | m]

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f + g | m] =ᵐ[μ] μ[f | m] + μ[g | m]

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f + g | m] =ᵐ[μ] μ[f | m] + μ[g | m]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ 0 =ᵐ[μ] 0 + 0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ 0 =ᵐ[μ] 0 + 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Indicator

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : ¬m ≤ m0
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : ¬m ≤ m0
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0

case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Indicator

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : ¬m ≤ m0
⊢ 0 =ᵐ[μ.restrict s] 0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : ¬m ≤ m0
⊢ 0 =ᵐ[μ.restrict s] 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Indicator

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0

case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Indicator

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ 0 =ᵐ[μ.restrict s] 0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ 0 =ᵐ[μ.restrict s] 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ μ[c • f | m] =ᵐ[μ] c • μ[f | m]

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
⊢ μ[c • f | m] =ᵐ[μ] c • μ[f | m]

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ μ[c • f | m] =ᵐ[μ] c • μ[f | m]

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
⊢ μ[c • f | m] =ᵐ[μ] c • μ[f | m]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ 0 =ᵐ[μ] c • 0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ 0 =ᵐ[μ] c • 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Indicator

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : ¬Integrable f μ
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : ¬Integrable f μ
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0

case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict s] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ.restrict s] 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[c • f | m] =ᵐ[μ] c • μ[f | m]

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[c • f | m] =ᵐ[μ] c • μ[f | m]

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[c • f | m] =ᵐ[μ] c • μ[f | m]

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[c • f | m] =ᵐ[μ] c • μ[f | m]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ 0 =ᵐ[μ] c • 0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
f : α → E
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ 0 =ᵐ[μ] c • 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
f : α → E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m₀
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ : ¬SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ μ[μ[f | m₂] | m₁] =ᵐ[μ] μ[f | m₁]

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
f : α → E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m₀
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ μ[μ[f | m₂] | m₁] =ᵐ[μ] μ[f | m₁]

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
f : α → E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m₀
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ : ¬SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ μ[μ[f | m₂] | m₁] =ᵐ[μ] μ[f | m₁]

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
f : α → E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m₀
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ μ[μ[f | m₂] | m₁] =ᵐ[μ] μ[f | m₁]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
f : α → E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m₀
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ : ¬SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ 0 =ᵐ[μ] 0

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
f : α → E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m₀
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ : ¬SigmaFinite (μ.trim ⋯)
⊢ 0 =ᵐ[μ] 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
f : α → E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m₀
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : ¬Integrable f μ
⊢ μ[μ[f | m₂] | m₁] =ᵐ[μ] μ[f | m₁]

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
f : α → E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m₀
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ
⊢ μ[μ[f | m₂] | m₁] =ᵐ[μ] μ[f | m₁]

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
f : α → E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m₀
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : ¬Integrable f μ
⊢ μ[μ[f | m₂] | m₁] =ᵐ[μ] μ[f | m₁]

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
f : α → E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m₀
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ
⊢ μ[μ[f | m₂] | m₁] =ᵐ[μ] μ[f | m₁]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Indicator

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict sᶜ] 0
hm : ¬m ≤ m0
⊢ μ[s.indicator f | m] =ᵐ[μ] s.indicator μ[f | m]

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict sᶜ] 0
hm : m ≤ m0
⊢ μ[s.indicator f | m] =ᵐ[μ] s.indicator μ[f | m]

Tactic:
;

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict sᶜ] 0
hm : ¬m ≤ m0
⊢ μ[s.indicator f | m] =ᵐ[μ] s.indicator μ[f | m]

case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᵐ[μ.restrict sᶜ] 0
hm : m ≤ m0
⊢ μ[s.indicator f | m] =ᵐ[μ] s.indicator μ[f | m]