mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.ContinuousFunctionalCalculus.Commute

Goal state before:
pp: case mul
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : Algebra 𝕜 A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsSemitopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b : A
ha : p a
hb₁ : Commute a b
hb₂ : Commute (star a) b
f g : C(↑(spectrum 𝕜 a), 𝕜)
hf : Commute ((cfcHom ha) f) b
hg : Commute ((cfcHom ha) g) b
⊢ Commute ((cfcHom ha) f * (cfcHom ha) g) b

Tactic:
;

Goal state after:
case mul
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : Algebra 𝕜 A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsSemitopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b : A
ha : p a
hb₁ : Commute a b
hb₂ : Commute (star a) b
f g : C(↑(spectrum 𝕜 a), 𝕜)
hf : Commute ((cfcHom ha) f) b
hg : Commute ((cfcHom ha) g) b
⊢ Commute ((cfcHom ha) f * (cfcHom ha) g) b
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.ContinuousFunctionalCalculus.Commute

Goal state before:
pp: case smul
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : Module 𝕜 A
inst✝⁵ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝⁴ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b : A
ha : p a
hb₁ : Commute a b
hb₂ : Commute (star a) b
r : 𝕜
f : C(↑(quasispectrum 𝕜 a), 𝕜)₀
hf : Commute ((cfcₙHom ha) f) b
⊢ Commute (r • (cfcₙHom ha) f) b

Tactic:
;

Goal state after:
case smul
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : Module 𝕜 A
inst✝⁵ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝⁴ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b : A
ha : p a
hb₁ : Commute a b
hb₂ : Commute (star a) b
r : 𝕜
f : C(↑(quasispectrum 𝕜 a), 𝕜)₀
hf : Commute ((cfcₙHom ha) f) b
⊢ Commute (r • (cfcₙHom ha) f) b
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.ContinuousFunctionalCalculus.Commute

Goal state before:
pp: case add
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : Module 𝕜 A
inst✝⁵ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝⁴ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b : A
ha : p a
hb₁ : Commute a b
hb₂ : Commute (star a) b
f g : C(↑(quasispectrum 𝕜 a), 𝕜)₀
hf : Commute ((cfcₙHom ha) f) b
hg : Commute ((cfcₙHom ha) g) b
⊢ Commute ((cfcₙHom ha) f + (cfcₙHom ha) g) b

Tactic:
;

Goal state after:
case add
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : Module 𝕜 A
inst✝⁵ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝⁴ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b : A
ha : p a
hb₁ : Commute a b
hb₂ : Commute (star a) b
f g : C(↑(quasispectrum 𝕜 a), 𝕜)₀
hf : Commute ((cfcₙHom ha) f) b
hg : Commute ((cfcₙHom ha) g) b
⊢ Commute ((cfcₙHom ha) f + (cfcₙHom ha) g) b
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.ContinuousFunctionalCalculus.Commute

Goal state before:
pp: case mul
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : Module 𝕜 A
inst✝⁵ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝⁴ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b : A
ha : p a
hb₁ : Commute a b
hb₂ : Commute (star a) b
f g : C(↑(quasispectrum 𝕜 a), 𝕜)₀
hf : Commute ((cfcₙHom ha) f) b
hg : Commute ((cfcₙHom ha) g) b
⊢ Commute ((cfcₙHom ha) f * (cfcₙHom ha) g) b

Tactic:
;

Goal state after:
case mul
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : Module 𝕜 A
inst✝⁵ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝⁴ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b : A
ha : p a
hb₁ : Commute a b
hb₂ : Commute (star a) b
f g : C(↑(quasispectrum 𝕜 a), 𝕜)₀
hf : Commute ((cfcₙHom ha) f) b
hg : Commute ((cfcₙHom ha) g) b
⊢ Commute ((cfcₙHom ha) f * (cfcₙHom ha) g) b
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.ContinuousFunctionalCalculus.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Field R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : IsTopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A p
a : A
ha : p a
h : quasispectrum R a ⊆ {0, 1}
⊢ IsIdempotentElem a

Tactic:
rw [IsIdempotentElem, ← cfcₙ_id' R a, ← cfcₙ_mul _ _]

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Field R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : IsTopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A p
a : A
ha : p a
h : quasispectrum R a ⊆ {0, 1}
⊢ cfcₙ (fun x ↦ x * x) a = cfcₙ (fun x ↦ x) a
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.ContinuousFunctionalCalculus.Continuity

Goal state before:
pp: X : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹¹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ A
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁶ : ContinuousStar A
inst✝⁵ : NonUnitalIsometricContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst✝⁴ : PartialOrder A
inst✝³ : StarOrderedRing A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : T2Space A
inst✝ : IsSemitopologicalRing A
s : Set ℝ≥0
hs : IsCompact s
f : ℝ≥0 → ℝ≥0
a : X → A
a₀ : A
l : Filter X
ha_tendsto : Tendsto a l (𝓝 a₀)
ha : ∀ᶠ (x : X) in l, quasispectrum ℝ≥0 (a x) ⊆ s
ha' : ∀ᶠ (x : X) in l, 0 ≤ a x
ha₀ : quasispectrum ℝ≥0 a₀ ⊆ s
ha₀' : 0 ≤ a₀
hf : ContinuousOn f s
hf0 : f 0 = 0
⊢ Tendsto a l (𝓝[{a | 0 ≤ a ∧ quasispectrum ℝ≥0 a ⊆ s}] a₀)

Tactic:
tendsto_nhdsWithin_iff

Goal state after:
X : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹¹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ A
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁶ : ContinuousStar A
inst✝⁵ : NonUnitalIsometricContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst✝⁴ : PartialOrder A
inst✝³ : StarOrderedRing A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : T2Space A
inst✝ : IsSemitopologicalRing A
s : Set ℝ≥0
hs : IsCompact s
f : ℝ≥0 → ℝ≥0
a : X → A
a₀ : A
l : Filter X
ha_tendsto : Tendsto a l (𝓝 a₀)
ha : ∀ᶠ (x : X) in l, quasispectrum ℝ≥0 (a x) ⊆ s
ha' : ∀ᶠ (x : X) in l, 0 ≤ a x
ha₀ : quasispectrum ℝ≥0 a₀ ⊆ s
ha₀' : 0 ≤ a₀
hf : ContinuousOn f s
hf0 : f 0 = 0
⊢ Tendsto a l (𝓝 a₀) ∧ ∀ᶠ (n : X) in l, a n ∈ {a | 0 ≤ a ∧ quasispectrum ℝ≥0 a ⊆ s}
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
M : Matrix m n A
f : A → B
g : B → C
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (M.map f).map g i✝ j✝ = M.map (g ∘ f) i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
M : Matrix m n A
f : A → B
g : B → C
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (M.map f).map g i✝ j✝ = M.map (g ∘ f) i✝ j✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
A : Type u_5
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : StarAddMonoid A
i✝ : n
j✝ : m
⊢ conjTranspose 0 i✝ j✝ = 0 i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
A : Type u_5
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : StarAddMonoid A
i✝ : n
j✝ : m
⊢ conjTranspose 0 i✝ j✝ = 0 i✝ j✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
σ : R →+* S
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module S B
f : A →ₛₗ[σ] B
M N : CStarMatrix m n A
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (M + N).map (⇑f) i✝ j✝ = (M.map ⇑f + N.map ⇑f) i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
σ : R →+* S
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module S B
f : A →ₛₗ[σ] B
M N : CStarMatrix m n A
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (M + N).map (⇑f) i✝ j✝ = (M.map ⇑f + N.map ⇑f) i✝ j✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
σ : R →+* S
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module S B
f : A →ₛₗ[σ] B
r : R
M : CStarMatrix m n A
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (r • M).map (⇑f) i✝ j✝ = (σ r • M.map ⇑f) i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
σ : R →+* S
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module S B
f : A →ₛₗ[σ] B
r : R
M : CStarMatrix m n A
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (r • M).map (⇑f) i✝ j✝ = (σ r • M.map ⇑f) i✝ j✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
l : Type u_7
o : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : Module R A
eₘ : m ≃ l
eₙ : n ≃ o
M N : CStarMatrix m n A
i✝ : l
j✝ : o
⊢ (Matrix.reindex eₘ eₙ).toFun (M + N) i✝ j✝ = ((Matrix.reindex eₘ eₙ).toFun M + (Matrix.reindex eₘ eₙ).toFun N) i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
l : Type u_7
o : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : Module R A
eₘ : m ≃ l
eₙ : n ≃ o
M N : CStarMatrix m n A
i✝ : l
j✝ : o
⊢ (Matrix.reindex eₘ eₙ).toFun (M + N) i✝ j✝ = ((Matrix.reindex eₘ eₙ).toFun M + (Matrix.reindex eₘ eₙ).toFun N) i✝ j✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
l : Type u_7
o : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : Module R A
eₘ : m ≃ l
eₙ : n ≃ o
r : R
M : CStarMatrix m n A
i✝ : l
j✝ : o
⊢ (Matrix.reindex eₘ eₙ).toFun (r • M) i✝ j✝ = ((RingHom.id R) r • (Matrix.reindex eₘ eₙ).toFun M) i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
l : Type u_7
o : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : Module R A
eₘ : m ≃ l
eₙ : n ≃ o
r : R
M : CStarMatrix m n A
i✝ : l
j✝ : o
⊢ (Matrix.reindex eₘ eₙ).toFun (r • M) i✝ j✝ = ((RingHom.id R) r • (Matrix.reindex eₘ eₙ).toFun M) i✝ j✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : Star A
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝¹ : Module R B
inst✝ : Star B
f : A →⋆ₙₐ[R] B
M : CStarMatrix n n A
i✝ j✝ : n
⊢ (mapₗ ↑f) (star M) i✝ j✝ = star ((mapₗ ↑f) M) i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : Star A
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝¹ : Module R B
inst✝ : Star B
f : A →⋆ₙₐ[R] B
M : CStarMatrix n n A
i✝ j✝ : n
⊢ (mapₗ ↑f) (star M) i✝ j✝ = star ((mapₗ ↑f) M) i✝ j✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Unique n
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Mul A
inst✝¹ : Star A
inst✝ : Module R A
x✝ : A
⊢ (fun M ↦ M default default) ((fun a x y ↦ a) x✝) = x✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Unique n
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Mul A
inst✝¹ : Star A
inst✝ : Module R A
x✝ : A
⊢ (fun M ↦ M default default) ((fun a x y ↦ a) x✝) = x✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Unique n
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Mul A
inst✝¹ : Star A
inst✝ : Module R A
x✝¹ x✝ : A
i✝ j✝ : n
⊢ x✝¹ * x✝ = ((fun x y ↦ x✝¹) * fun x y ↦ x✝) i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Unique n
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Mul A
inst✝¹ : Star A
inst✝ : Module R A
x✝¹ x✝ : A
i✝ j✝ : n
⊢ x✝¹ * x✝ = ((fun x y ↦ x✝¹) * fun x y ↦ x✝) i✝ j✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Unique n
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Mul A
inst✝¹ : Star A
inst✝ : Module R A
x✝¹ x✝ : A
i✝ j✝ : n
⊢ x✝¹ + x✝ = ((fun x y ↦ x✝¹) + fun x y ↦ x✝) i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Unique n
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Mul A
inst✝¹ : Star A
inst✝ : Module R A
x✝¹ x✝ : A
i✝ j✝ : n
⊢ x✝¹ + x✝ = ((fun x y ↦ x✝¹) + fun x y ↦ x✝) i✝ j✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Unique n
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Mul A
inst✝¹ : Star A
inst✝ : Module R A
x✝ : A
i✝ j✝ : n
⊢ star x✝ = star (fun x y ↦ x✝) i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Unique n
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Mul A
inst✝¹ : Star A
inst✝ : Module R A
x✝ : A
i✝ j✝ : n
⊢ star x✝ = star (fun x y ↦ x✝) i✝ j✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Unique n
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Mul A
inst✝¹ : Star A
inst✝ : Module R A
x✝¹ : R
x✝ : A
i✝ j✝ : n
⊢ x✝¹ • x✝ = (x✝¹ • fun x y ↦ x✝) i✝ j✝

Tactic:
;

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : Unique n
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Mul A
inst✝¹ : Star A
inst✝ : Module R A
x✝¹ : R
x✝ : A
i✝ j✝ : n
⊢ x✝¹ • x✝ = (x✝¹ • fun x y ↦ x✝) i✝ j✝
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.ContinuousFunctionalCalculus.Integral

Goal state before:
pp: X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
A : Type u_3
p : A → Prop
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormedSpace ℝ A
f : X → 𝕜 → 𝕜
a : A
hf₁ : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ContinuousOn (f x) (spectrum 𝕜 a)
hf₂ : Integrable (fun x ↦ mkD ((spectrum 𝕜 a).domRestrict (f x)) 0) μ
ha : p a
z : ↑(spectrum 𝕜 a)
⊢ (fun x ↦ f x ↑z) =ᵐ[μ] fun x ↦ (mkD ((spectrum 𝕜 a).domRestrict (f x)) 0) z

Tactic:
filter_upwards [hf₁] with x cont_x

Goal state after:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
A : Type u_3
p : A → Prop
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormedSpace ℝ A
f : X → 𝕜 → 𝕜
a : A
hf₁ : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ContinuousOn (f x) (spectrum 𝕜 a)
hf₂ : Integrable (fun x ↦ mkD ((spectrum 𝕜 a).domRestrict (f x)) 0) μ
ha : p a
z : ↑(spectrum 𝕜 a)
x : X
cont_x : ContinuousOn (f x) (spectrum 𝕜 a)
⊢ f x ↑z = (mkD ((spectrum 𝕜 a).domRestrict (f x)) 0) z
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
A : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : NonUnitalCStarAlgebra A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Fintype n
M : CStarMatrix m n A
i : m
j : n
⊢ ‖M i j‖ ≤ ‖M‖

Tactic:
by
  classical
  suffices ‖M i j‖ * ‖M i j‖ ≤ ‖M‖ * ‖M i j‖ by
    obtain (h | h) := eq_zero_or_norm_pos (M i j)
    · simp [h, norm_def]
    · exact le_of_mul_le_mul_right this h
  rw [← CStarRing.norm_star_mul_self, ← toCLM_apply_single_apply]
  apply norm_apply_le_norm _ _ |>.trans
  apply (toCLM M).le_opNorm _ |>.trans
  simp [norm_def]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: case inr
m : Type u_1
n : Type u_2
A : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : NonUnitalCStarAlgebra A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Fintype n
M : CStarMatrix m n A
C : ℝ≥0
h : ∀ (v : C⋆ᵐᵒᵈ(A, m → A)) (w : C⋆ᵐᵒᵈ(A, n → A)), ‖⟪w, (toCLM M) v⟫_A‖ ≤ ↑C * ‖v‖ * ‖w‖
v : C⋆ᵐᵒᵈ(A, m → A)
h₀ : 0 < ‖(toCLM M) v‖
⊢ ‖(toCLM M) v‖ ≤ ↑C * ‖v‖

Tactic:
refine le_of_mul_le_mul_right ?_ h₀
    simpa [← sq, norm_sq_eq A] using h ..

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.ContinuousFunctionalCalculus.Range

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : Algebra 𝕜 A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : StarModule 𝕜 A
inst✝² : ClosedEmbeddingContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : ContinuousStar A
a : A
ha : p a
⊢ (Set.range fun x ↦ cfc x a) = ↑(elemental 𝕜 a)

Tactic:
range_cfc_eq_range_cfcHom 𝕜 ha,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : Algebra 𝕜 A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : StarModule 𝕜 A
inst✝² : ClosedEmbeddingContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : ContinuousStar A
a : A
ha : p a
⊢ ↑(cfcHom ha).range = ↑(elemental 𝕜 a)
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.ContinuousFunctionalCalculus.Range

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : Algebra 𝕜 A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : StarModule 𝕜 A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : ContinuousStar A
a : A
ha : p a
⊢ (Set.range fun x ↦ cfc x a) ⊆ ↑(elemental 𝕜 a)

Tactic:
range_cfc_eq_range_cfcHom 𝕜 ha,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : Algebra 𝕜 A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : StarModule 𝕜 A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A p
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : ContinuousStar A
a : A
ha : p a
⊢ ↑(cfcHom ha).range ⊆ ↑(elemental 𝕜 a)
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.CStarMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : NonUnitalCStarAlgebra A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
this : (fun x ↦ (ofMatrix.symm x.1, ofMatrix.symm x.2)) = id
⊢ 𝓤 (CStarMatrix m n A) = 𝓤 (CStarMatrix m n A)

Tactic:
← uniformInducing_toMatrixAux.comap_uniformity,

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : NonUnitalCStarAlgebra A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
this : (fun x ↦ (ofMatrix.symm x.1, ofMatrix.symm x.2)) = id
⊢ Filter.comap (fun x ↦ (ofMatrix.symm x.1, ofMatrix.symm x.2)) (𝓤 (Matrix m n A)) = 𝓤 (CStarMatrix m n A)
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.ContinuousFunctionalCalculus.Range

Goal state before:
pp: case mp
A : Type u_1
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra ℝ A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : IsTopologicalRing A
inst✝⁴ : T2Space A
inst✝³ : PartialOrder A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
a : A
ha : 0 ≤ a
x✝ : A
⊢ (x✝ ∈ Set.range fun x ↦ cfc x a) → x✝ ∈ (fun x ↦ cfc x a) '' {f | ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 ≤ f x}

pp: case mpr
A : Type u_1
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra ℝ A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : IsTopologicalRing A
inst✝⁴ : T2Space A
inst✝³ : PartialOrder A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
a : A
ha : 0 ≤ a
x✝ : A
⊢ x✝ ∈ (fun x ↦ cfc x a) '' {f | ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 ≤ f x} → x✝ ∈ Set.range fun x ↦ cfc x a

Tactic:
· rintro ⟨f, rfl⟩
    simp only [cfc_nnreal_eq_real f a ha]
    exact ⟨_, fun _ _ ↦ by positivity, rfl⟩

Goal state after:
case mpr
A : Type u_1
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra ℝ A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : IsTopologicalRing A
inst✝⁴ : T2Space A
inst✝³ : PartialOrder A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
a : A
ha : 0 ≤ a
x✝ : A
⊢ x✝ ∈ (fun x ↦ cfc x a) '' {f | ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 ≤ f x} → x✝ ∈ Set.range fun x ↦ cfc x a
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.NullSubmodule

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁴ : SeminormedCommGroup M
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
hx : ‖x‖ = 0
⊢ ‖c‖ * ‖x‖ = 0

Tactic:
rw [hx, mul_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.PerfectPairing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : TopologicalSpace N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
x✝¹ : M
y✝ : N
inst✝¹ : p.IsContPerfPair
inst✝ : IsTopologicalRing R
x y : M
x✝ : N
⊢ { toLinearMap := p (x + y), cont := ⋯ } x✝ =
    ({ toLinearMap := p x, cont := ⋯ } + { toLinearMap := p y, cont := ⋯ }) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : TopologicalSpace N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
x✝¹ : M
y✝ : N
inst✝¹ : p.IsContPerfPair
inst✝ : IsTopologicalRing R
x y : M
x✝ : N
⊢ { toLinearMap := p (x + y), cont := ⋯ } x✝ =
    ({ toLinearMap := p x, cont := ⋯ } + { toLinearMap := p y, cont := ⋯ }) x✝
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.PerfectPairing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : TopologicalSpace N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
x✝¹ : M
y : N
inst✝¹ : p.IsContPerfPair
inst✝ : IsTopologicalRing R
r : R
x : M
x✝ : N
⊢ { toLinearMap := p (r • x), cont := ⋯ } x✝ = ((RingHom.id R) r • { toLinearMap := p x, cont := ⋯ }) x✝

Tactic:
;

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : TopologicalSpace N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
x✝¹ : M
y : N
inst✝¹ : p.IsContPerfPair
inst✝ : IsTopologicalRing R
r : R
x : M
x✝ : N
⊢ { toLinearMap := p (r • x), cont := ⋯ } x✝ = ((RingHom.id R) r • { toLinearMap := p x, cont := ⋯ }) x✝