mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : (n : ℕ) → M →ₗ[R] N ⧸ I ^ n • ⊤
h : ∀ {m n : ℕ} (hle : m ≤ n), transitionMap I N hle ∘ₗ f n = f m
r : R
x : M
⊢ ⟨fun n ↦ (f n) (r • x), ⋯⟩ = (RingHom.id R) r • ⟨fun n ↦ (f n) x, ⋯⟩

Tactic:
simp only [LinearMapClass.map_smul, RingHom.id_apply]

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : (n : ℕ) → M →ₗ[R] N ⧸ I ^ n • ⊤
h : ∀ {m n : ℕ} (hle : m ≤ n), transitionMap I N hle ∘ₗ f n = f m
r : R
x : M
⊢ ⟨fun n ↦ r • (f n) x, ⋯⟩ = r • ⟨fun n ↦ (f n) x, ⋯⟩
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case neg
𝒪 : Type u
K : Type v
inst✝² : CommRing 𝒪
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra 𝒪 K
h : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)
this✝¹ : IsDomain 𝒪
this✝ : FaithfulSMul 𝒪 K
this : IsDomain 𝒪
x : K
a : 𝒪
ha : x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a
h0 : ¬a = 0
⊢ ∃ x_1, x * (algebraMap 𝒪 K) ↑x_1.2 = (algebraMap 𝒪 K) x_1.1

Tactic:
have : algebraMap 𝒪 K a ≠ 0 := by simpa using h0
    rw [inv_eq_iff_eq_inv, ← one_div, eq_div_iff this] at ha
    cases ha with
    | inl ha => exact ⟨⟨a, 1⟩, by simpa⟩
    | inr ha => exact ⟨⟨1, ⟨a, mem_nonZeroDivisors_of_ne_zero h0⟩⟩, by simpa using ha⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
q : R
hq : q ∈ fx
⊢ Associated q p

Tactic:
apply h₂ (hfx.1 _ hq) hp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) ≤ g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g) → v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g
hf : v (f a) ≤ g ∧ ∀ x ∈ s, v (f x) ≤ g
⊢ v (f a + ∑ x ∈ s, f x) ≤ g

Tactic:
exact v.map_add_le hf.1 (ih hf.2)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
this : sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) P'
⊢ under R P'.jacobson ≤ sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}

Tactic:
rw [Ideal.jacobson, under_def, comap_sInf', sInf_eq_iInf]

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
this : sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) P'
⊢ ⨅ I ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) '' {J | P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}, I ≤
    ⨅ a ∈ {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}, a
Module: Mathlib.RingTheory.KrullDimension.Zero

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
⊢ KrullDimLE 0 R ∧ IsLocalRing R → ∀ (x : R), IsNilpotent x ↔ ¬IsUnit x

Tactic:
intro ⟨h₁, h₂⟩ x

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
h₁ : KrullDimLE 0 R
h₂ : IsLocalRing R
x : R
⊢ IsNilpotent x ↔ ¬IsUnit x
Module: Mathlib.RingTheory.KrullDimension.Zero

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
tfae_1_to_3 : KrullDimLE 0 R ∧ IsLocalRing R → ∀ (x : R), IsNilpotent x ↔ ¬IsUnit x
H : ∀ (x : R), IsNilpotent x ↔ ¬IsUnit x
I : Ideal R
hI : nilradical R < I
⊢ I = ⊤

Tactic:
· obtain ⟨x, hx, hx'⟩ := (SetLike.lt_iff_le_and_exists.mp hI).2
      exact Ideal.eq_top_of_isUnit_mem _ hx (not_not.mp ((H x).not.mp hx'))

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u_7
inst✝¹ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation K Γ₀
hv : v.IsNontrivial
x : Kˣ
hx : 1 < v ↑x
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ v x < 1

Tactic:
· use x⁻¹
    simp [-map_inv₀, ← one_lt_val_iff, hx]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsJacobsonRing K
inst✝¹ : IsNoetherianRing K
inst✝ : Nontrivial A
f : K →+* L
g : L →+* A
hfg : (g.comp f).FiniteType
⊢ f.Finite

Tactic:
by
  algebraize [f, (g.comp f)]
  exact finite_of_algHom_finiteType_of_isJacobsonRing ⟨g, fun _ ↦ rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.IsValuedIn

Goal state before:
pp: case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
x✝ : M
i : ι
t : S
x : M
hx✝ : x ∈ span S (range ⇑P.root)
hx : (P.coroot' i) x ∈ ↑(Algebra.linearMap S R).range
⊢ (P.coroot' i) (t • x) ∈ ↑(Algebra.linearMap S R).range

Tactic:
| smul t x _ hx =>

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)
i j : ι
⊢ coroot j - (p (root i)) (coroot j) • coroot i = coroot ((RootPairing.equiv_of_mapsTo p root coroot i hr hp) j)

Tactic:
refine (coroot_eq_coreflection_of_root_eq' p root coroot hp hr hc ?_).symm

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)
i j : ι
⊢ root ((RootPairing.equiv_of_mapsTo p root coroot i hr hp) j) = (preReflection (root i) (p.flip (coroot i))) (root j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
⊢ ∀ (P₁ P₂ : RootPairing ι R M N) [P₁.IsRootSystem] [P₂.IsRootSystem],
    P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap → P₁.root = P₂.root → range ⇑P₁.coroot ⊆ range ⇑P₂.coroot

Tactic:
rintro P₁ P₂ hP₁ hP₂ he hr - ⟨i, rfl⟩

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ P₁.coroot i ∈ range ⇑P₂.coroot
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : P.IsReduced
h : i ≠ j → P.root i = -P.root j
h' : i ≠ j
⊢ ∃ s t, s • P.root i + t • P.root j = 0 ∧ (s = 0 → t ≠ 0)

Tactic:
rw [h h']
    exact ⟨1, 1, by simp⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : ι
⊢ n • P.root i ∉ range ⇑P.root

Tactic:
have : ¬ LinearIndependent R ![n • P.root i, P.root i] := by
    simpa only [LinearIndependent.pair_iff, not_forall] using
      ⟨1, -(n : R), by simp [Nat.cast_smul_eq_nsmul], by simp⟩

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : ι
this : ¬LinearIndependent R ![n • P.root i, P.root i]
⊢ n • P.root i ∉ range ⇑P.root
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ((chainTop (⇑α) β) (coroot α))
μ : ℕ
hμ : (chainTop (⇑α) β) (coroot α) = ↑μ
⊢ (chainTop (⇑α) β) (coroot α) • x = ⁅coroot α, x⁆

Tactic:
lie_eq_smul_of_mem_rootSpace hx

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ((chainTop (⇑α) β) (coroot α))
μ : ℕ
hμ : (chainTop (⇑α) β) (coroot α) = ↑μ
⊢ (chainTop (⇑α) β) (coroot α) • x = (chainTop (⇑α) β) (coroot α) • x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n
e : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), genWeightSpace_ne_bot' := e }
hW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)
H₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W
H₂ : (1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑α + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W) = (chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β
this : rootSpace H ((1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑α + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W)) ≠ ⊥
⊢ False

Tactic:
H₂

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n
e : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), genWeightSpace_ne_bot' := e }
hW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)
H₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W
H₂ : (1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑α + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W) = (chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β
this : rootSpace H ((chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: case left
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), Q₁ a + Q₂ b = 0 → a = 0 ∧ b = 0
⊢ Q₁.Anisotropic

Tactic:
intro x hx
    refine (h x 0 ?_).1
    rw [hx, zero_add, map_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: case indexEquiv
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
f g : P.End
hfg : (weightHom P) f = (weightHom P) g
x : ι
⊢ P.root (f.indexEquiv x) = P.root (g.indexEquiv x)

Tactic:
← root_weightMap_apply

Goal state after:
case indexEquiv
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
f g : P.End
hfg : (weightHom P) f = (weightHom P) g
x : ι
⊢ f.weightMap (P.root x) = g.weightMap (P.root x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
f g : P.End
hfg : f.coweightMap = g.coweightMap
x : M
h : f.weightMap.dualMap ∘ₗ ↑P.flip.toPerfPair = g.weightMap.dualMap ∘ₗ ↑P.flip.toPerfPair
⊢ f.weightMap = g.weightMap

Tactic:
have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
f g : P.End
hfg : f.coweightMap = g.coweightMap
x : M
h : f.weightMap.dualMap ∘ₗ ↑P.flip.toPerfPair = g.weightMap.dualMap ∘ₗ ↑P.flip.toPerfPair
this : Module.IsReflexive R M
⊢ f.weightMap = g.weightMap
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: case succ
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
x : V
n : ℕ
h : (ρ g - LinearMap.id) (Fin.partialSum (fun j ↦ (ρ (g ^ ↑j)) x) (Fin.last (n + 1))) = (ρ (g ^ (n + 1))) x - x
this : (Fin.init fun j ↦ (ρ (g ^ ↑j)) x) = fun j ↦ (ρ (g ^ ↑j)) x
⊢ (ρ (g ^ (n + 1))) x - x + (ρ g - LinearMap.id) ((ρ (g ^ ↑(Fin.last (n + 1)))) x) = (ρ (g ^ (n + 1 + 1))) x - x

Tactic:
simp [pow_succ']

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
e : ¬LinearIndependent K ![(rootSystem H).root ⟨α, hα⟩, (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩]
⊢ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩ ∨ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = -(rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩

Tactic:
rw [LinearIndependent.pair_iff' ((rootSystem H).ne_zero _), not_forall] at e

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
e : ∃ x, ¬x • (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ ≠ (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩
⊢ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩ ∨ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = -(rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.OrdConnectedLinear

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : ∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, Ioo x y ⊆ Iᶜ → Ioo x y = ∅
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : x < y
z : α
hz : z ∈ Ioo x y
⊢ z ∈ I

Tactic:
by_contra hz'

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : ∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, Ioo x y ⊆ Iᶜ → Ioo x y = ∅
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : x < y
z : α
hz : z ∈ Ioo x y
hz' : z ∉ I
⊢ False
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.OrdConnectedLinear

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : ∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, Ioo x y ⊆ Iᶜ → Ioo x y = ∅
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : x < y
z : α
hz : z ∈ Ioo x y
⊢ z ∈ I

Tactic:
· by_contra hz'
    obtain ⟨x', hx', hx''⟩ :=
      ((finite_Icc x z).inter_of_right I).exists_le_maximal ⟨hx, le_refl _, hz.1.le⟩
    have hxz : x' < z := lt_of_le_of_ne hx''.1.2.2 (ne_of_mem_of_not_mem hx''.1.1 hz')
    obtain ⟨y', hy', hy''⟩ :=
      ((finite_Icc z y).inter_of_right I).exists_le_minimal ⟨hy, hz.2.le, le_refl _⟩
    have hzy : z < y' := lt_of_le_of_ne' hy''.1.2.1 (ne_of_mem_of_not_mem hy''.1.1 hz')
    have h₃ : Ioc x' z ⊆ Iᶜ := fun t ht ht' ↦ hx''.not_gt (⟨ht', le_trans hx' ht.1.le, ht.2⟩) ht.1
    have h₄ : Ico z y' ⊆ Iᶜ := fun t ht ht' ↦ hy''.not_lt (⟨ht', ht.1, le_trans ht.2.le hy'⟩) ht.2
    have h₅ : Ioo x' y' ⊆ Iᶜ := by
      simp only [← Ioc_union_Ico_eq_Ioo hxz hzy, union_subset_iff, and_true, h₃, h₄]
    exact eq_empty_iff_forall_notMem.1 (h' x' hx''.prop.1 y' hy''.prop.1 h₅) z ⟨hxz, hzy⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: case h.right
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
f : P.Endˣ
⊢ RightInverse ⇑f.inv.weightMap ⇑(↑f).weightMap

Tactic:
· refine rightInverse_iff_comp.mpr ?_
        simp only [← @LinearMap.coe_comp]
        rw [← Hom.weightMap_mul, f.val_inv, Hom.weightMap_one, LinearMap.id_coe]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsReduced
⊢ (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (2, 2), (-2, -2)}

Tactic:
have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsReduced
this : Module.IsReflexive R M
⊢ (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (2, 2), (-2, -2)}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsReduced
hij : P.root i ≠ P.root j
hij' : P.root i ≠ -P.root j
⊢ (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}

Tactic:
have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsReduced
hij : P.root i ≠ P.root j
hij' : P.root i ≠ -P.root j
this : Module.IsReflexive R M
⊢ (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
z : ℤ
hz : z ∈ S
z' : ℤ
hz' : z' ∈ S
hzz : (fun z ↦ Exists.choose ⋯) ⟨z, hz⟩ = (fun z ↦ Exists.choose ⋯) ⟨z', hz'⟩
⊢ ⟨z, hz⟩ = ⟨z', hz'⟩

Tactic:
have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
z : ℤ
hz : z ∈ S
z' : ℤ
hz' : z' ∈ S
hzz : (fun z ↦ Exists.choose ⋯) ⟨z, hz⟩ = (fun z ↦ Exists.choose ⋯) ⟨z', hz'⟩
this : Module.IsReflexive R M
⊢ ⟨z, hz⟩ = ⟨z', hz'⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
hij' :
  P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -4 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4
⊢ P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1

Tactic:
have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
hij' :
  P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -4 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4
this : Module.IsReflexive R M
⊢ P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1