mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inr.inl
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p = y
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}

pp: case inr.inr
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p ∈ Ioo x y
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}

Tactic:
· have : p = ⊤ := SetCoe.ext hp
    rw [this]
    apply iff_of_true Icc_isBoundaryPoint_top (mem_insert_of_mem ⊥ rfl)

Goal state after:
case inr.inr
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p ∈ Ioo x y
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
t₀ : ℝ
inst✝ : IsManifold I 1 M
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v s
t : ℝ
ht : t ∈ s
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t
⊢ (mfderiv% ↑(chartAt H (γ t₀)) (γ t)) ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t))) a) =
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) a

Tactic:
ContinuousLinearMap.smulRight_apply,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
t₀ : ℝ
inst✝ : IsManifold I 1 M
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v s
t : ℝ
ht : t ∈ s
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t
⊢ (mfderiv% ↑(chartAt H (γ t₀)) (γ t)) (1 a • v (γ t)) =
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) a
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : IsManifold I 1 M
hγ : IsMIntegralCurveAt γ v t₀
t : ℝ
ht1 : γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source ∈ 𝓝 t
ht2 : HasMFDerivAt% γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t
⊢ (mfderiv% ↑(chartAt H (γ t₀)) (γ t)) ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t))) a) =
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) a

Tactic:
ContinuousLinearMap.smulRight_apply,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : IsManifold I 1 M
hγ : IsMIntegralCurveAt γ v t₀
t : ℝ
ht1 : γ ⁻¹' (extChartAt I (γ t₀)).source ∈ 𝓝 t
ht2 : HasMFDerivAt% γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
hsrc : γ t ∈ (chartAt H (γ t₀)).source
a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t
⊢ (mfderiv% ↑(chartAt H (γ t₀)) (γ t)) (1 a • v (γ t)) =
    (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton ℝ ((tangentCoordChange I (γ t) (γ t₀) (γ t)) (v (γ t)))) a
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
x : EuclideanSpace ℝ (Fin n)
⊢ ↑(↑(stereographic' n v).symm x) =
    let U := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr;
    (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑(U.symm x) + (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 - 4) • ↑v

Tactic:
by
  simp [stereographic, stereographic', ← Submodule.coe_norm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v s
a t : ℝ
ht : t ∈ {t | t * a ∈ s}
⊢ HasMFDerivAt[{t | t * a ∈ s}] (γ ∘ fun x ↦ x * a) t
    (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((a • v) ((γ ∘ fun x ↦ x * a) t)))

Tactic:
have : (1 : ℝ →L[ℝ] ℝ).smulRight (a • v (γ (t * a))) =
      (1 : ℝ →L[ℝ] ℝ).smulRight (v (γ (t * a))) ∘SL (1 : ℝ →L[ℝ] ℝ).smulRight a := by
    simp [ContinuousLinearMap.smulRight_comp_smulRight]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v s
a t : ℝ
ht : t ∈ {t | t * a ∈ s}
this :
  ContinuousLinearMap.smulRight 1 (a • v (γ (t * a))) =
    ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ (t * a))) ∘SL ContinuousLinearMap.smulRight 1 a
⊢ HasMFDerivAt[{t | t * a ∈ s}] (γ ∘ fun x ↦ x * a) t
    (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((a • v) ((γ ∘ fun x ↦ x * a) t)))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 :
  ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' :
  ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 t₀
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsMIntegralCurveAt γ v t₀

Tactic:
← eventually_mem_nhds_iff

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 :
  ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' :
  ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsMIntegralCurveAt γ v t₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.UniformTime

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H✝ M
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : T2Space M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
a b a' b' : ℝ
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsMIntegralCurveOn γ' v (Ioo a' b')
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b ∩ Ioo a' b'
h : γ t₀ = γ' t₀
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo a' b'
H : EqOn γ γ' (Ioo (max a a') (min b b'))
hmem : t ∈ Ioo a b
⊢ (Ioo a b).piecewise γ γ' t = γ' t

Tactic:
rw [piecewise, if_pos hmem]

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H✝ M
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : T2Space M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
a b a' b' : ℝ
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsMIntegralCurveOn γ' v (Ioo a' b')
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b ∩ Ioo a' b'
h : γ t₀ = γ' t₀
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo a' b'
H : EqOn γ γ' (Ioo (max a a') (min b b'))
hmem : t ∈ Ioo a b
⊢ γ t = γ' t
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: case a
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)
hγ : IsMIntegralCurveAt γ v t₀
hγ' : IsMIntegralCurveAt γ' v t₀
h : γ t₀ = γ' t₀
v' : E → E := ⋯
hv' :
  v' = fun x ↦
    (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
      (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) (γ t₀)
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨γ t₀, v (γ t₀)⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I (γ t₀)).symm)
    (range ↑I) (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
K : NNReal
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
hlip✝ : LipschitzOnWith K v' s
hlip : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K ((fun x ↦ v') t) ((fun x ↦ s) t)
hsrc : ∀ {g : ℝ → M}, IsMIntegralCurveAt g v t₀ → ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t
hmem : ∀ {g : ℝ → M} {t : ℝ}, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t → g t ∈ (extChartAt I (g t₀)).source
g : ℝ → M
hg : IsMIntegralCurveAt g v t₀
h' : γ t₀ = g t₀
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt (↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) ((fun x ↦ v') x ((↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) x)) x

Tactic:
apply (hsrc hg |>.and hg.eventually_hasDerivAt).mono

Goal state after:
case a
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)
hγ : IsMIntegralCurveAt γ v t₀
hγ' : IsMIntegralCurveAt γ' v t₀
h : γ t₀ = γ' t₀
v' : E → E := ⋯
hv' :
  v' = fun x ↦
    (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
      (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) (γ t₀)
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨γ t₀, v (γ t₀)⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I (γ t₀)).symm)
    (range ↑I) (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
K : NNReal
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
hlip✝ : LipschitzOnWith K v' s
hlip : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K ((fun x ↦ v') t) ((fun x ↦ s) t)
hsrc : ∀ {g : ℝ → M}, IsMIntegralCurveAt g v t₀ → ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t
hmem : ∀ {g : ℝ → M} {t : ℝ}, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t → g t ∈ (extChartAt I (g t₀)).source
g : ℝ → M
hg : IsMIntegralCurveAt g v t₀
h' : γ t₀ = g t₀
⊢ ∀ (x : ℝ),
    g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 x ∧
        HasDerivAt (↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) ((tangentCoordChange I (g x) (g t₀) (g x)) (v (g x))) x →
      HasDerivAt (↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) ((fun x ↦ v') x ((↑(extChartAt I (g t₀)) ∘ g) x)) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.UniformTime

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : T2Space M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
a b a' b' : ℝ
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsMIntegralCurveOn γ' v (Ioo a' b')
t₀ : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b ∩ Ioo a' b'
h : γ t₀ = γ' t₀
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo a b ∪ Ioo a' b'
hmem : t ∈ Ioo a b
⊢ HasMFDerivAt[Ioo a b ∪ Ioo a' b'] ((Ioo a b).piecewise γ γ') t
    (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((Ioo a b).piecewise γ γ' t)))

Tactic:
rw [piecewise, if_pos hmem]

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : T2Space M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
a b a' b' : ℝ
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsMIntegralCurveOn γ' v (Ioo a' b')
t₀ : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b ∩ Ioo a' b'
h : γ t₀ = γ' t₀
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo a b ∪ Ioo a' b'
hmem : t ∈ Ioo a b
⊢ HasMFDerivAt[Ioo a b ∪ Ioo a' b'] ((Ioo a b).piecewise γ γ') t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.UniformTime

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : T2Space M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
a b a' b' : ℝ
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsMIntegralCurveOn γ' v (Ioo a' b')
t₀ : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b ∩ Ioo a' b'
h : γ t₀ = γ' t₀
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo a b ∪ Ioo a' b'
hmem : t ∈ Ioo a b
⊢ (Ioo a b).piecewise γ γ' t = γ t

Tactic:
rw [piecewise, if_pos hmem]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp : p.1.proj ∈ (chartAt H a.proj).source ∧ p.2.proj ∈ (chartAt H' b.proj).source
φ : E → E := fun x ↦ ↑I (↑(chartAt H a.proj) (↑(chartAt H p.1.proj).symm (↑I.symm x)))
D0 : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H p.1.proj) p.1.proj))
w : TangentBundle I' M'
⊢ MapsTo Prod.fst (range (Prod.map ↑I ↑I')) (range ↑I)

Tactic:
simp [mapsTo_fst_prod]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
smooth_pM' : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I'.tangent n Prod.snd (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp : p.1.proj ∈ (chartAt H a.proj).source ∧ p.2.proj ∈ (chartAt H' b.proj).source
φ : E' → E' := fun x ↦ ↑I' (↑(chartAt H' b.proj) (↑(chartAt H' p.2.proj).symm (↑I'.symm x)))
D0 : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range ↑I') (↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))
D :
  ∀ (w : TangentBundle I M),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (φ ∘ Prod.snd) (range (Prod.map ↑I ↑I'))
      (↑I (↑(chartAt H w.proj) w.proj), ↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))
φ' : E → E := fun x ↦ ↑I (↑(chartAt H a.proj) (↑(chartAt H p.1.proj).symm (↑I.symm x)))
D0' : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ' (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H p.1.proj) p.1.proj))
⊢ MapsTo Prod.fst (range (Prod.map ↑I ↑I')) (range ↑I)

Tactic:
simp [mapsTo_fst_prod]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
a b : ℝ
γ : ℝ → M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ ‖(mfderiv% γ t) 1‖ₑ = ‖(mfderiv[Icc a b] γ t) 1‖ₑ

Tactic:
rw [mfderivWithin_of_mem_nhds]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
a b : ℝ
γ : ℝ → M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ Icc a b ∈ 𝓝 t
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: case refine_1.hf
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := ⋯
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, ℝ) 1 η univ

Tactic:
contMDiffOn_univ,

Goal state after:
case refine_1.hf
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := fun t ↦ ((b' - a')⁻¹ * (t - a')).smoothTransition
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, ℝ) 1 η
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: case hf
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := ⋯
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ MonotoneOn η (Icc a b)

Tactic:
apply Monotone.monotoneOn

Goal state after:
case hf
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := ⋯
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ Monotone η
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s u : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hs : UniqueMDiff[s]
hu : UniqueMDiff[u]
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f u x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
h'x₀ : x₀ ∈ closure[inst✝⁹] (interior u)
hsu : s ⊆ u
⊢ ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' u =ᶠ[𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀)] ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' u

Tactic:
by rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s u : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hs : UniqueMDiff[s]
hu : UniqueMDiff[u]
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f u x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
h'x₀ : x₀ ∈ closure[inst✝⁹] (interior u)
hsu : s ⊆ u
B :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' u ∩ (extChartAt I x₀).target) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
⊢ ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s =ᶠ[𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀)] ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s

Tactic:
by rfl

Goal state after: