Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff

Goal state before:
pp: case refine_1
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
x✝¹ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝⁴ : 0 ≤ ε₂
this✝³ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
x✝ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x ↦ ↑x) (fun x ↦ Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝³
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)
this✝ :
  hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤
    hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)
this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁
⊢ ∀ x ∈ Fl '' s, ∃ y ∈ Fr '' range Φ, dist x y ≤ ε₂ / 2 + δ

pp: case refine_2
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
x✝¹ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝⁴ : 0 ≤ ε₂
this✝³ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
x✝ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x ↦ ↑x) (fun x ↦ Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝³
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)
this✝ :
  hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤
    hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)
this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁
⊢ ∀ x ∈ Fr '' range Φ, ∃ y ∈ Fl '' s, dist x y ≤ ε₂ / 2 + δ

Tactic:
· intro x' hx'
      rcases (Set.mem_image _ _ _).1 hx' with ⟨x, ⟨x_in_s, xx'⟩⟩
      rw [← xx']
      use Fr (Φ ⟨x, x_in_s⟩), mem_image_of_mem Fr (mem_range_self _)
      exact le_of_eq (glueDist_glued_points (fun x : s => (x : X)) Φ (ε₂ / 2 + δ) ⟨x, x_in_s⟩)

Goal state after:
case refine_2
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
x✝¹ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝⁴ : 0 ≤ ε₂
this✝³ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
x✝ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x ↦ ↑x) (fun x ↦ Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝³
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)
this✝ :
  hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤
    hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)
this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁
⊢ ∀ x ∈ Fr '' range Φ, ∃ y ∈ Fl '' s, dist x y ≤ ε₂ / 2 + δ