Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn

Goal state before:
pp: case refine_1
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst✝²] UV.1 ⊆ UV.2}
this✝² : Encodable ↑s
this✝¹ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this✝ : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure[inst✝²] (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x ↦ ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x ↦ { toFun := fun UV ↦ (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
hF : ∀ (x : X) (UV : ↑s), (F x) UV = (f UV) x
x : X
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
h_fin : {UV | δ ≤ ε UV}.Finite
this : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (UV : ↑s), δ ≤ ε UV → dist ((F y) UV) ((F x) UV) ≤ δ
y : X
hy : ∀ (UV : ↑s), δ ≤ ε UV → dist ((F y) UV) ((F x) UV) ≤ δ
UV : ↑s
⊢ dist ((F y) UV) ((F x) UV) ≤ δ

Tactic:
rcases le_total δ (ε UV) with hle | hle

Goal state after:
case refine_1.inl
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst✝²] UV.1 ⊆ UV.2}
this✝² : Encodable ↑s
this✝¹ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this✝ : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure[inst✝²] (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x ↦ ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x ↦ { toFun := fun UV ↦ (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
hF : ∀ (x : X) (UV : ↑s), (F x) UV = (f UV) x
x : X
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
h_fin : {UV | δ ≤ ε UV}.Finite
this : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (UV : ↑s), δ ≤ ε UV → dist ((F y) UV) ((F x) UV) ≤ δ
y : X
hy : ∀ (UV : ↑s), δ ≤ ε UV → dist ((F y) UV) ((F x) UV) ≤ δ
UV : ↑s
hle : δ ≤ ε UV
⊢ dist ((F y) UV) ((F x) UV) ≤ δ

case refine_1.inr
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst✝²] UV.1 ⊆ UV.2}
this✝² : Encodable ↑s
this✝¹ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this✝ : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure[inst✝²] (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x ↦ ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x ↦ { toFun := fun UV ↦ (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
hF : ∀ (x : X) (UV : ↑s), (F x) UV = (f UV) x
x : X
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
h_fin : {UV | δ ≤ ε UV}.Finite
this : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (UV : ↑s), δ ≤ ε UV → dist ((F y) UV) ((F x) UV) ≤ δ
y : X
hy : ∀ (UV : ↑s), δ ≤ ε UV → dist ((F y) UV) ((F x) UV) ≤ δ
UV : ↑s
hle : ε UV ≤ δ
⊢ dist ((F y) UV) ((F x) UV) ≤ δ