mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
α : K
z : ↥U := α • u + x'
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E) (α • u + x')) m = 0

Tactic:
obtain hz₀ | hz₀ := eq_or_ne z 0

Goal state after:
case inl
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
α : K
z : ↥U := α • u + x'
hz₀ : z = 0
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E) (α • u + x')) m = 0

case inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
α : K
z : ↥U := α • u + x'
hz₀ : z ≠ 0
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E) (α • u + x')) m = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Cochain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
L : Type u_2
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x✝³ x✝² : ↥(twoCochain R L M)
h : (fun a x ↦ ↑a x) x✝³ = (fun a x ↦ ↑a x) x✝²
x✝¹ x✝ : L
⊢ (↑x✝³ x✝¹) x✝ = (↑x✝² x✝¹) x✝

Tactic:
exact congrFun (congrArg DFunLike.coe (congrFun h _)) _

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: case h
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E) z
n : ℕ
hn : (LieSubmodule.Quotient.mk' E) (((ad K L) ↑v ^ n) z) = 0
⊢ ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0

Tactic:
rw [← hn]

Goal state after:
case h
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E) z
n : ℕ
hn : (LieSubmodule.Quotient.mk' E) (((ad K L) ↑v ^ n) z) = 0
⊢ ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = (LieSubmodule.Quotient.mk' E) (((ad K L) ↑v ^ n) z)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
this : χ ⁅z, a⁆ = 0
⊢ ⁅⁅a, z⁆, v⁆ + ⁅z, ⁅a, v⁆⁆ = χ a • ⁅z, v⁆

Tactic:
hv a,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
this : χ ⁅z, a⁆ = 0
⊢ ⁅⁅a, z⁆, v⁆ + ⁅z, χ a • v⁆ = χ a • ⁅z, v⁆
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.Cycle.Concrete

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Cycle α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ ~r l₂
h₁ : Nodup ⟦l₁⟧
h₂ : Nodup ⟦l₂⟧
⊢ h₁ ≍ h₂ → l₁.formPerm ≍ l₂.formPerm

Tactic:
_

Goal state after:
case h
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Cycle α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ ~r l₂
h₁ : Nodup ⟦l₁⟧
h₂ : Nodup ⟦l₂⟧
a✝ : h₁ ≍ h₂
⊢ l₁.formPerm ≍ l₂.formPerm
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Loop

Goal state before:
pp: case tmul
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : DecidableEq A
inst✝ : AddCommMonoid A
i j : A
xj : ↥(AddMonoidAlgebra.grade R j) ⊗[R] L
x : ↥(AddMonoidAlgebra.grade R i)
y : L
⊢ ⁅(LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R i).subtype) (x ⊗ₜ[R] y),
      (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R j).subtype) xj⁆ ∈
    (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R (i + j)).subtype).range

Tactic:
| tmul x y =>

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.Cycle.Concrete

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x y : α
⊢ ∀ (m : Multiset α) (b : Cycle α),
    (if f x = x then if f y = y then b else ↑(f.toList y) else ↑(f.toList x)) ≍
      if f y = y then if f x = x then b else ↑(f.toList x) else ↑(f.toList y)

Tactic:
_

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x y : α
m✝ : Multiset α
⊢ ∀ (b : Cycle α),
    (if f x = x then if f y = y then b else ↑(f.toList y) else ↑(f.toList x)) ≍
      if f y = y then if f x = x then b else ↑(f.toList x) else ↑(f.toList y)
Module: Mathlib.Algebra.LinearRecurrence

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
E : LinearRecurrence R
u : ℕ → R
init : Fin E.order → R
h : E.IsSolution u
heq : ∀ (n : Fin E.order), u ↑n = init n
n : ℕ
h' : ¬n < E.order
⊢ u n = ∑ k, E.coeffs k * E.mkSol init (n - E.order + ↑k)

Tactic:
rw [← tsub_add_cancel_of_le (le_of_not_gt h'), h (n - E.order)]

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
E : LinearRecurrence R
u : ℕ → R
init : Fin E.order → R
h : E.IsSolution u
heq : ∀ (n : Fin E.order), u ↑n = init n
n : ℕ
h' : ¬n < E.order
⊢ ∑ i, E.coeffs i * u (n - E.order + ↑i) = ∑ k, E.coeffs k * E.mkSol init (n - E.order + E.order - E.order + ↑k)
Module: Mathlib.Algebra.LinearRecurrence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
E : LinearRecurrence R
q : R
⊢ (E.IsSolution fun n ↦ q ^ n) ↔ ((monomial E.order) 1 - ∑ i, (monomial ↑i) (E.coeffs i)).IsRoot q

Tactic:
Polynomial.IsRoot.def,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
E : LinearRecurrence R
q : R
⊢ (E.IsSolution fun n ↦ q ^ n) ↔ eval q ((monomial E.order) 1 - ∑ i, (monomial ↑i) (E.coeffs i)) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
β : ↥LieSubalgebra.root
α : ↥LieSubalgebra.root
hα : α ∈ I.rootSet
⊢ ((rootSystem H).reflection β) ((rootSystem H).root α) ∈ Submodule.span K (⇑(rootSystem H).root '' I.rootSet)

Tactic:
← RootPairing.root_reflectionPerm

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
β : ↥LieSubalgebra.root
α : ↥LieSubalgebra.root
hα : α ∈ I.rootSet
⊢ (rootSystem H).root (((rootSystem H).reflectionPerm β) α) ∈ Submodule.span K (⇑(rootSystem H).root '' I.rootSet)
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
inst✝² : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
inst✝ : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1
| 1

Tactic:
rw [← factor_orderIso_map_one_eq_bot d.symm]

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
inst✝² : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
inst✝ : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1
| ↑(d.symm ⟨1, ⋯⟩)
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: case neg
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ s = ↑(d ⟨p ^ s, hs'⟩)

Tactic:
obtain ⟨c₁, rfl, hc₁', hc₁''⟩ := exists_chain_of_prime_pow hs (prime_of_normalized_factor p hp)

Goal state after:
case neg
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
⊢ ↑(d ⟨c₁ 1, ⋯⟩) ^ s = ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
C : P → Prop
r : P
hr : r ∈ I * J
hm : ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, C (i * j)
ha : ∀ (x y : P), C x → C y → C (x + y)
⊢ C r

Tactic:
simp only [mul_def] at hr

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
C : P → Prop
r : P
hm : ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, C (i * j)
ha : ∀ (x y : P), C x → C y → C (x + y)
hr : r ∈ ⟨↑I * ↑J, ⋯⟩
⊢ C r
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: case neg.refine_4
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t ↦ ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
⊢ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩) ≠ 0

Tactic:
exact ne_zero_of_dvd_ne_zero hn (Subtype.prop (d ⟨c₁ 1 ^ s, _⟩))

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Cartan

Goal state before:
pp: i j : Fin 4
h : i ≠ j
⊢ F₄ i j ≤ 0

Tactic:
by
  fin_cases i <;> fin_cases j <;> simp_all [F₄]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case neg
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≤ 1
hI_nz : ¬I = 0
⊢ ↑I ≤ ↑I * (1 / ↑I)

Tactic:
rw [← coe_le_coe, coe_one] at hI

Goal state after:
case neg
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ↑I ≤ 1
hI_nz : ¬I = 0
⊢ ↑I ≤ ↑I * (1 / ↑I)
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x✝ : K
hx : x✝ ∈ span R₁ (f '' ↑s)
x y : K
⊢ x ∈ span R₁ (f '' ↑s) →
    y ∈ span R₁ (f '' ↑s) → IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • y) → IsInteger R₁ (↑a' • (x + y))

Tactic:
_

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x✝ : K
hx : x✝ ∈ span R₁ (f '' ↑s)
x y : K
hx✝ : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ y ∈ span R₁ (f '' ↑s) → IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • y) → IsInteger R₁ (↑a' • (x + y))
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x✝ : K
hx : x✝ ∈ span R₁ (f '' ↑s)
x y : K
hx✝ : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ y ∈ span R₁ (f '' ↑s) → IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • y) → IsInteger R₁ (↑a' • (x + y))

Tactic:
_

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x✝ : K
hx : x✝ ∈ span R₁ (f '' ↑s)
x y : K
hx✝ : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
hy✝ : y ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • y) → IsInteger R₁ (↑a' • (x + y))
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x✝ : K
hx : x✝ ∈ span R₁ (f '' ↑s)
c : R₁
x : K
⊢ x ∈ span R₁ (f '' ↑s) → IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • c • x)

Tactic:
_

Goal state after:
case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
a' : ↥R₁⁰
ha' : ∀ i ∈ s, IsInteger R₁ (↑a' • f i)
x✝ : K
hx : x✝ ∈ span R₁ (f '' ↑s)
c : R₁
x : K
hx✝ : x ∈ span R₁ (f '' ↑s)
⊢ IsInteger R₁ (↑a' • x) → IsInteger R₁ (↑a' • c • x)
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
x✝ : IsDedekindDomain A
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hI : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a)⁻¹ * ↑J ≠ ⊥
⊢ spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a)⁻¹ *
      (spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a) * (↑J * (↑J)⁻¹)) =
    1

Tactic:
coe_ideal_mul_inv,

Goal state after:
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
x✝ : IsDedekindDomain A
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hI : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a)⁻¹ * ↑J ≠ ⊥
⊢ spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a)⁻¹ * (spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a) * 1) =
    1

case hI0
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
x✝ : IsDedekindDomain A
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hI : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a)⁻¹ * ↑J ≠ ⊥
⊢ J ≠ ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : a ∉ ↑J / I
⊢ ∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J

Tactic:
refine ⟨a, fun i hi => ?_, ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : a ∉ ↑J / I
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ IsLocalization.IsInteger A (a * f i)

case refine_2
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : a ∉ ↑J / I
⊢ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_3
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y✝ : K
hy : y✝ ∈ I
x y : K
⊢ x ∈ Submodule.span A (f '' ↑s) → y ∈ Submodule.span A (f '' ↑s) → a * x ∈ ↑J → a * y ∈ ↑J → a * (x + y) ∈ ↑J

Tactic:
_

Goal state after:
case refine_2.refine_3
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y✝ : K
hy : y✝ ∈ I
x y : K
hx✝ : x ∈ Submodule.span A (f '' ↑s)
⊢ y ∈ Submodule.span A (f '' ↑s) → a * x ∈ ↑J → a * y ∈ ↑J → a * (x + y) ∈ ↑J
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_3
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y✝ : K
hy : y✝ ∈ I
x y : K
hx✝ : x ∈ Submodule.span A (f '' ↑s)
⊢ y ∈ Submodule.span A (f '' ↑s) → a * x ∈ ↑J → a * y ∈ ↑J → a * (x + y) ∈ ↑J

Tactic:
_

Goal state after:
case refine_2.refine_3
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y✝ : K
hy : y✝ ∈ I
x y : K
hx✝ : x ∈ Submodule.span A (f '' ↑s)
hy✝ : y ∈ Submodule.span A (f '' ↑s)
⊢ a * x ∈ ↑J → a * y ∈ ↑J → a * (x + y) ∈ ↑J
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_4
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y : K
hy : y ∈ I
b : A
x : K
⊢ x ∈ Submodule.span A (f '' ↑s) → a * x ∈ ↑J → a * b • x ∈ ↑J

Tactic:
_

Goal state after:
case refine_2.refine_4
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y : K
hy : y ∈ I
b : A
x : K
hx✝ : x ∈ Submodule.span A (f '' ↑s)
⊢ a * x ∈ ↑J → a * b • x ∈ ↑J
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : ↑n ≤ emultiplicity J I
hI : ¬I = ⊥
⊢ n ≤ count J (normalizedFactors I)

Tactic:
emultiplicity_eq_count_normalizedFactors hJ hI,

Goal state after:
case neg
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : ↑n ≤ ↑(count (normalize J) (normalizedFactors I))
hI : ¬I = ⊥
⊢ n ≤ count J (normalizedFactors I)