mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.TotallyUnimodular

Goal state before:
pp: m : Type u_1
m' : Type u_2
n : Type u_3
n' : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m n R
f : m' → m
g : n' → n
hA : ∀ (k : ℕ) (f : Fin k → m) (g : Fin k → n), (A.submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
k✝ : ℕ
⊢ ∀ (f_1 : Fin k✝ → m') (g_1 : Fin k✝ → n'), (A.submatrix (f ∘ f_1) (g ∘ g_1)).det ∈ Set.range SignType.cast

Tactic:
_

Goal state after:
m : Type u_1
m' : Type u_2
n : Type u_3
n' : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m n R
f : m' → m
g : n' → n
hA : ∀ (k : ℕ) (f : Fin k → m) (g : Fin k → n), (A.submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
k✝ : ℕ
f✝ : Fin k✝ → m'
⊢ ∀ (g_1 : Fin k✝ → n'), (A.submatrix (f ∘ f✝) (g ∘ g_1)).det ∈ Set.range SignType.cast
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.TotallyUnimodular

Goal state before:
pp: m : Type u_1
m' : Type u_2
n : Type u_3
n' : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m n R
f : m' → m
g : n' → n
hA : ∀ (k : ℕ) (f : Fin k → m) (g : Fin k → n), (A.submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
k✝ : ℕ
f✝ : Fin k✝ → m'
⊢ ∀ (g_1 : Fin k✝ → n'), (A.submatrix (f ∘ f✝) (g ∘ g_1)).det ∈ Set.range SignType.cast

Tactic:
_

Goal state after:
m : Type u_1
m' : Type u_2
n : Type u_3
n' : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m n R
f : m' → m
g : n' → n
hA : ∀ (k : ℕ) (f : Fin k → m) (g : Fin k → n), (A.submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
k✝ : ℕ
f✝ : Fin k✝ → m'
g✝ : Fin k✝ → n'
⊢ (A.submatrix (f ∘ f✝) (g ∘ g✝)).det ∈ Set.range SignType.cast
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.TotallyUnimodular

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m n R
hA : ∀ (k : ℕ) (f : Fin k → m) (g : Fin k → n), (A.submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
k✝ : ℕ
⊢ ∀ (f : Fin k✝ → n) (g : Fin k✝ → m), (A.submatrix g f).det ∈ Set.range SignType.cast

Tactic:
_

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m n R
hA : ∀ (k : ℕ) (f : Fin k → m) (g : Fin k → n), (A.submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
k✝ : ℕ
f✝ : Fin k✝ → n
⊢ ∀ (g : Fin k✝ → m), (A.submatrix g f✝).det ∈ Set.range SignType.cast
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.TotallyUnimodular

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m n R
hA : ∀ (k : ℕ) (f : Fin k → m) (g : Fin k → n), (A.submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
k✝ : ℕ
f✝ : Fin k✝ → n
⊢ ∀ (g : Fin k✝ → m), (A.submatrix g f✝).det ∈ Set.range SignType.cast

Tactic:
_

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m n R
hA : ∀ (k : ℕ) (f : Fin k → m) (g : Fin k → n), (A.submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
k✝ : ℕ
f✝ : Fin k✝ → n
g✝ : Fin k✝ → m
⊢ (A.submatrix g✝ f✝).det ∈ Set.range SignType.cast
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.TotallyUnimodular

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty m
A : Matrix m n R
k : ℕ
f : Fin k → m
⊢ ∀ (g : Fin k → n), Function.Injective f → Function.Injective g → (A.submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast

Tactic:
_

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty m
A : Matrix m n R
k : ℕ
f : Fin k → m
g✝ : Fin k → n
⊢ Function.Injective f → Function.Injective g✝ → (A.submatrix f g✝).det ∈ Set.range SignType.cast
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.TotallyUnimodular

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty m
A : Matrix m n R
k : ℕ
f : Fin k → m
g✝ : Fin k → n
⊢ Function.Injective f → Function.Injective g✝ → (A.submatrix f g✝).det ∈ Set.range SignType.cast

Tactic:
_

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty m
A : Matrix m n R
k : ℕ
f : Fin k → m
g✝ : Fin k → n
a✝ : Function.Injective f
⊢ Function.Injective g✝ → (A.submatrix f g✝).det ∈ Set.range SignType.cast
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.TotallyUnimodular

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty m
A : Matrix m n R
k : ℕ
f : Fin k → m
g✝ : Fin k → n
a✝ : Function.Injective f
⊢ Function.Injective g✝ → (A.submatrix f g✝).det ∈ Set.range SignType.cast

Tactic:
_

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty m
A : Matrix m n R
k : ℕ
f : Fin k → m
g✝ : Fin k → n
a✝¹ : Function.Injective f
a✝ : Function.Injective g✝
⊢ (A.submatrix f g✝).det ∈ Set.range SignType.cast
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Misc

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j, M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
x✝ : Fin n
⊢ ∑ c, Mᵀ c x✝ = 0 x✝

Tactic:
transpose_apply,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j, M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
x✝ : Fin n
⊢ ∑ x, M x✝ x = 0 x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.GeneralLinearGroup.Card

Goal state before:
pp: 𝔽 : Type u_1
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : Fintype 𝔽
n : ℕ
M : { s // LinearIndependent 𝔽 s }
⊢ IsUnit (↑M)ᵀ.det

Tactic:
by
    classical
    let b := basisOfPiSpaceOfLinearIndependent M.2
    have := (Pi.basisFun 𝔽 (Fin n)).invertibleToMatrix b
    rw [← Basis.coePiBasisFun.toMatrix_eq_transpose,
      ← coe_basisOfPiSpaceOfLinearIndependent M.2]
    exact isUnit_det_of_invertible _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
i j : Fin 2
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
⊢ |↑A i j| ≤ |m|

Tactic:
have h1 : 0 < |A.1 1 1| := (abs_nonneg _).trans_lt h11

Goal state after:
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
i j : Fin 2
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
⊢ |↑A i j| ≤ |m|
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial n
h_irr : A.IsIrreducible
i : n
⊢ ∃ j, 0 < A i j

Tactic:
let : Quiver n := toQuiver A

Goal state after:
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial n
h_irr : A.IsIrreducible
i : n
this : Quiver n := A.toQuiver
⊢ ∃ j, 0 < A i j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: case succ.mpr.cons
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
m : ℕ
ih : ∀ (i j : n), 0 < (A ^ m) i j ↔ Nonempty { p // p.length = m }
i j b : n
q : Path i b
e : b ⟶ j
hp_len : (q.cons e).length = m + 1
⊢ 0 < ∑ j_1, (A ^ m) i j_1 * A j_1 j

Tactic:
| @cons b _ q e =>

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
⊢ A.IsIrreducible ↔ ∀ (i j : n), ∃ k > 0, 0 < (A ^ k) i j

Tactic:
let : Quiver n := toQuiver A

Goal state after:
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
⊢ A.IsIrreducible ↔ ∀ (i j : n), ∃ k > 0, 0 < (A ^ k) i j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.HadamardMatrix

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StarRing R
A : Matrix n n R
s : R
hA : A.IsHadamard
hcard : IsRegular ↑(Fintype.card n)
hcol : ∀ (j : n), ∑ i, A i j = s
hvcol : 1 ᵥ* A = s • 1
hconjcol : Aᴴ *ᵥ 1 = star s • 1
hleft : 1 ᵥ* (A * Aᴴ) ⬝ᵥ 1 = ↑(Fintype.card n) ^ 2
⊢ 1 ᵥ* (A * Aᴴ) ⬝ᵥ 1 = ↑(Fintype.card n) * (s * star s)

Tactic:
← vecMul_vecMul,

Goal state after:
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StarRing R
A : Matrix n n R
s : R
hA : A.IsHadamard
hcard : IsRegular ↑(Fintype.card n)
hcol : ∀ (j : n), ∑ i, A i j = s
hvcol : 1 ᵥ* A = s • 1
hconjcol : Aᴴ *ᵥ 1 = star s • 1
hleft : 1 ᵥ* (A * Aᴴ) ⬝ᵥ 1 = ↑(Fintype.card n) ^ 2
⊢ 1 ᵥ* A ᵥ* Aᴴ ⬝ᵥ 1 = ↑(Fintype.card n) * (s * star s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
i j : n
this : Quiver n := A.toQuiver
b c : n
q : Path i b
e : b ⟶ c
ih : Path b i
⊢ 0 < Aᵀ c b

Tactic:
simpa [Matrix.transpose_apply] using e.down

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
hA : A.IsIrreducible
hA_T_nonneg : ∀ (i j : n), 0 ≤ Aᵀ i j
i j : n
⊢ ∃ p, 0 < p.length

Tactic:
let : Quiver n := toQuiver A

Goal state after:
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
hA : A.IsIrreducible
hA_T_nonneg : ∀ (i j : n), 0 ≤ Aᵀ i j
i j : n
this : Quiver n := A.toQuiver
⊢ ∃ p, 0 < p.length
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: case cons
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
hA : A.IsIrreducible
hA_T_nonneg : ∀ (i j : n), 0 ≤ Aᵀ i j
i j : n
this : Quiver n := A.toQuiver
b : n
q : Path j b
e : b ⟶ i
hp_pos : 0 < (q.cons e).length
⊢ ∃ p, 0 < p.length

Tactic:
| @cons b _ q e =>

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.IsDiag

Goal state before:
pp: case inl.inl
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix m m α
D : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
i j : m
hij : Sum.inl i ≠ Sum.inl j
⊢ Matrix.fromBlocks A 0 0 D (Sum.inl i) (Sum.inl j) = 0

Tactic:
exact ha (ne_of_apply_ne _ hij)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Nonsingular

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
h : IsLeftRegular A
⊢ Function.Injective A.mulVec

Tactic:
← isLeftRegular_iff_mulVec_injective

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
h : IsLeftRegular A
⊢ IsLeftRegular A
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Dual

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
κ : ι → Type u_3
M : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Finite (κ i)
b : (i : ι) → Basis (κ i) R (M i)
this✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → Fintype (κ i)
⊢ dualDistribInvOfBasis b ∘ₗ dualDistrib = LinearMap.id

Tactic:
refine (Basis.piTensorProduct (fun i => (b i).dualBasis)).ext (fun p ↦ ?_)

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
κ : ι → Type u_3
M : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Finite (κ i)
b : (i : ι) → Basis (κ i) R (M i)
this✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → Fintype (κ i)
p : (i : ι) → κ i
⊢ (dualDistribInvOfBasis b ∘ₗ dualDistrib) ((Basis.piTensorProduct fun i ↦ (b i).dualBasis) p) =
    LinearMap.id ((Basis.piTensorProduct fun i ↦ (b i).dualBasis) p)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Independent f ↔ ¬Dependent f

Tactic:
rw [dependent_iff_not_independent, Classical.not_not]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Collinear

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
a b : ℙ K V
⊢ IsCollinear {a, b}

Tactic:
by
  if h : a = b then simp [h] else
  induction a using Projectivization.ind with | h v hv =>
  induction b using Projectivization.ind with | h w hw =>
  rw [← ne_eq, ← independent_pair_iff_ne, independent_mk_iff_LinearIndependent] at h
  refine ⟨(Submodule.span K {v, w}).projectivization, ?_, ?_, fun s hs ↦ hs.casesOn ?_ ?_⟩
  · rw [Subspace.submodule.apply_symm_apply]
    exact Module.Finite.span_of_finite _ (Set.toFinite _)
  · rw [Subspace.submodule.apply_symm_apply, ← Matrix.range_cons_cons_empty v w ![]]
    simp [finrank_span_eq_card h]
  all_goals rintro rfl; simp [Submodule.mem_span_of_mem]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Real

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
w : ι → ℝ
u : ι → ℝˣ := fun i ↦ if h : w i = 0 then 1 else Units.mk0 (w i) h
hu : ∀ (i : ι), 1 / √|↑(u i)| ≠ 0
hwu : ∀ (i : ι), w i / |↑(u i)| = ↑(sign (w i))
v : ι → ℝ
this : ∑ i, w i / |↑(u i)| * v i ^ 2 = ∑ i, w i * (v i ^ 2 * |↑(u i)|⁻¹)
⊢ (weightedSumSquares ℝ fun i ↦ ↑(sign (w i))) v =
    ((weightedSumSquares ℝ w).basisRepr ((Pi.basisFun ℝ ι).unitsSMul fun i ↦ Units.mk0 (1 / √|↑(u i)|) ⋯)) v

Tactic:
simpa [basisRepr_apply, Basis.unitsSMul_apply, ← _root_.sq, mul_pow, ← hwu, Pi.single_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set ι
hs : ∀ i ∈ s, 0 < w i
v : ι → 𝕜
hv : v ∈ Pi.spanSubset 𝕜 s
hv' : ⟨v, hv⟩ ≠ 0
i : ι
⊢ i ∈ univ → 0 ≤ w i • (↑⟨v, hv⟩ i * ↑⟨v, hv⟩ i)

Tactic:
_

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set ι
hs : ∀ i ∈ s, 0 < w i
v : ι → 𝕜
hv : v ∈ Pi.spanSubset 𝕜 s
hv' : ⟨v, hv⟩ ≠ 0
i : ι
a✝ : i ∈ univ
⊢ 0 ≤ w i • (↑⟨v, hv⟩ i * ↑⟨v, hv⟩ i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set ι
hs : ∀ i ∈ s, w i ≤ 0
x : ι → 𝕜
hx : x ∈ Pi.spanSubset 𝕜 s
i : ι
⊢ i ∈ univ → w i * (x i * x i) ≤ 0

Tactic:
_

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set ι
hs : ∀ i ∈ s, w i ≤ 0
x : ι → 𝕜
hx : x ∈ Pi.spanSubset 𝕜 s
i : ι
a✝ : i ∈ univ
⊢ w i * (x i * x i) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl : P.root l = P.root k + P.root i - P.root j
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
⊢ 0 < P.pairingIn ℤ l i

Tactic:
have hki : P.pairingIn ℤ i k ≤ -2 := by
    suffices P.pairingIn ℤ l k = 2 + P.pairingIn ℤ i k - P.pairingIn ℤ j k by linarith
    apply algebraMap_injective ℤ R
    simp only [algebraMap_pairingIn, map_sub, map_add]
    simpa using (P.coroot' k : M →ₗ[R] R).congr_arg hl

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl : P.root l = P.root k + P.root i - P.root j
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairingIn ℤ i k ≤ -2
⊢ 0 < P.pairingIn ℤ l i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ι
⊢ ⁅e i, f j⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr (-↑i)) = (⁅e i, f j⁆ * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inr ↑i)

Tactic:
simp [ω]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ι
⊢ ⁅e i, f j⁆ᵀ (Sum.inr (-↑i)) (Sum.inr k) = 0 (Sum.inr k)

Tactic:
have aux : ⁅e i, f j⁆ (.inr k) (.inr (-i)) = (⁅e i, f j⁆ * ω b) (.inr k) (.inr i) := by simp [ω]

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ι
aux : ⁅e i, f j⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr (-↑i)) = (⁅e i, f j⁆ * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inr ↑i)
⊢ ⁅e i, f j⁆ᵀ (Sum.inr (-↑i)) (Sum.inr k) = 0 (Sum.inr k)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝³ : P.IsReduced
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : P.IsRootSystem
b : P.Base
h₀ : ↥b.support → ↥(lieAlgebra b) := fun i ↦ ⟨h i, ⋯⟩
e₀ : ↥b.support → ↥(lieAlgebra b) := fun i ↦ ⟨e i, ⋯⟩
f₀ : ↥b.support → ↥(lieAlgebra b) := fun i ↦ ⟨f i, ⋯⟩
i : ↥b.support
⊢ h₀ i ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan K (↥(lieAlgebra b)) (range e₀ ∪ range f₀))

Tactic:
have hef : h₀ i = ⁅e₀ i, f₀ i⁆ := by ext1; simp [h₀, e₀, f₀, (isSl2Triple i).lie_e_f]

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝³ : P.IsReduced
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : P.IsRootSystem
b : P.Base
h₀ : ↥b.support → ↥(lieAlgebra b) := fun i ↦ ⟨h i, ⋯⟩
e₀ : ↥b.support → ↥(lieAlgebra b) := fun i ↦ ⟨e i, ⋯⟩
f₀ : ↥b.support → ↥(lieAlgebra b) := fun i ↦ ⟨f i, ⋯⟩
i : ↥b.support
hef : h₀ i = ⁅e₀ i, f₀ i⁆
⊢ h₀ i ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan K (↥(lieAlgebra b)) (range e₀ ∪ range f₀))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case h₁
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
i : ι
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
j : ι
hj : j ∈ b.support
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
hj' : v b j ∈ U
f' : ↥(lieAlgebra b) := ⟨f ⟨j, hj⟩, ⋯⟩
this : u ⟨j, hj⟩ ∈ U
⊢ ∃ j, u j ∈ U

Tactic:
exact ⟨⟨j, hj⟩, this⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsReflexive R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
hNB : B.Nondegenerate
hSB : B.IsSymm
h2 : IsRegular 2
⊢ Injective fun x ↦ IsReflective.coroot B ⋯

Tactic:
by
        intro x y hxy
        simp only [mem_ofPred_eq] at hxy -- x* = y*
        have h1 : ∀ z, IsReflective.coroot B x.2 z = IsReflective.coroot B y.2 z :=
          fun z => congrFun (congrArg DFunLike.coe hxy) z
        have h2x : ∀ z, B x x * IsReflective.coroot B x.2 z =
            B x x * IsReflective.coroot B y.2 z :=
          fun z => congrArg (HMul.hMul ((B x) x)) (h1 z)
        have h2y : ∀ z, B y y * IsReflective.coroot B x.2 z =
            B y y * IsReflective.coroot B y.2 z :=
          fun z => congrArg (HMul.hMul ((B y) y)) (h1 z)
        simp_rw [apply_self_mul_coroot_apply B x.2] at h2x -- 2(x,z) = (x,x)y*(z)
        simp_rw [apply_self_mul_coroot_apply B y.2] at h2y -- (y,y)x*(z) = 2(y,z)
        have h2xy : B x x = B y y := by
          refine h2.1 ?_
          dsimp only
          specialize h2x y
          rw [coroot_apply_self] at h2x
          specialize h2y x
          rw [coroot_apply_self] at h2y
          rw [mul_comm, ← h2x, ← hSB.eq, RingHom.id_apply, ← h2y, mul_comm]
        rw [Subtype.ext_iff, ← sub_eq_zero]
        refine hNB.1 _ (fun z => ?_)
        rw [map_sub, LinearMap.sub_apply, sub_eq_zero]
        refine h2.1 ?_
        dsimp only
        rw [h2x z, ← h2y z, hxy, h2xy]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
⊢ -P.root k - P.root i = -P.root l

Tactic:
rw [← h₁]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
⊢ -P.root k - P.root i = -(P.root k + P.root i)