mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ p₃ -ᵥ p₂ = (-(1 - r) / r) • (p₁ -ᵥ p₂)

Tactic:
rw [← hp₂, AffineMap.lineMap_apply, vsub_vadd_eq_vsub_sub, vsub_vadd_eq_vsub_sub, vsub_self,
    zero_sub, smul_neg, smul_smul, div_mul_cancel₀ _ hr0', neg_smul, neg_neg, sub_eq_iff_eq_add, ←
    add_smul, sub_add_cancel, one_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: case neg.h.inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫ = 0
h0 : ¬y = 0
⊢ 0 < ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖

Tactic:
exact Left.add_pos_of_nonneg_of_pos (mul_self_nonneg _) (mul_self_pos.2 (norm_ne_zero_iff.2 h0))

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2

Tactic:
rw [angle, ← InnerProductGeometry.inner_eq_zero_iff_angle_eq_pi_div_two]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂⟫ = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2

Tactic:
rw [angle, ← InnerProductGeometry.inner_eq_zero_iff_angle_eq_pi_div_two]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂⟫ = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.Projection

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
h : p' ∈ s
this : Nonempty ↥s
⊢ ∠ p (↑((orthogonalProjection s) p)) p' = π / 2

Tactic:
rw [angle, ← InnerProductGeometry.inner_eq_zero_iff_angle_eq_pi_div_two]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
h : p' ∈ s
this : Nonempty ↥s
⊢ inner ℝ (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) (p' -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ (o.oangle (r₁ • x + r₂ • y) ((-r₃ / r₁ * r₁) • x + (-r₃ / r₁ * r₂) • y + (r₃ • x + r₄ • y))).sign =
    SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign

Tactic:
div_mul_cancel₀ _ hr₁,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ (o.oangle (r₁ • x + r₂ • y) (-r₃ • x + (-r₃ / r₁ * r₂) • y + (r₃ • x + r₄ • y))).sign =
    SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ SignType.sign (-r₃ / r₁ * r₁ * r₂ + r₄ * r₁) * (o.oangle x y).sign =
    SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign

Tactic:
div_mul_cancel₀ _ hr₁,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ SignType.sign (-r₃ * r₂ + r₄ * r₁) * (o.oangle x y).sign = SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : ¬y = 0
hr : ¬SameRay ℝ x z
hs : ¬(o.oangle x y).sign = (o.oangle y z).sign
hn : o.oangle x y ≠ o.oangle y z
he : o.oangle x y = -o.oangle y z
hs' : (o.oangle x y).sign = -(o.oangle y z).sign
⊢ SameRay ℝ x z

Tactic:
← o.oangle_eq_zero_iff_sameRay,

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : ¬y = 0
hr : ¬SameRay ℝ x z
hs : ¬(o.oangle x y).sign = (o.oangle y z).sign
hn : o.oangle x y ≠ o.oangle y z
he : o.oangle x y = -o.oangle y z
hs' : (o.oangle x y).sign = -(o.oangle y z).sign
⊢ o.oangle x z = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h' : p ∉ s₁ ∧ p ∉ s₂
h :
  Real.arcsin (dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) / dist p p') =
    Real.arcsin (dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p) / dist p p')
hp : p ≠ p'
hpd : 0 < dist p p'
⊢ Metric.infDist p ↑s₂ ≤ dist p p'

Tactic:
exact Metric.infDist_le_dist_of_mem (SetLike.mem_coe.1 hp'₂)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
⊢ ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p' →
    ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p' →
      ∡ (↑((orthogonalProjection s₁) p)) p' p = ∡ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p) →
        dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
intro hp₁

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hp₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p'
⊢ ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p' →
    ∡ (↑((orthogonalProjection s₁) p)) p' p = ∡ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p) →
      dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h : v = 0
⊢ ‖v‖⁻¹ * |⟪v, q -ᵥ p⟫| = ‖q -ᵥ p‖ ↔ ∃ a, a • v = q -ᵥ p

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h : ¬v = 0
⊢ ‖v‖⁻¹ * |⟪v, q -ᵥ p⟫| = ‖q -ᵥ p‖ ↔ ∃ a, a • v = q -ᵥ p

Tactic:
· simp [h, eq_comm (a := (0 : ℝ)), eq_comm (a := (0 : V))]

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h : ¬v = 0
⊢ ‖v‖⁻¹ * |⟪v, q -ᵥ p⟫| = ‖q -ᵥ p‖ ↔ ∃ a, a • v = q -ᵥ p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h : v = 0
⊢ ‖v‖⁻¹ * ⟪v, q -ᵥ p⟫ = ‖q -ᵥ p‖ ↔ ∃ a, a • v = q -ᵥ p

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h : ¬v = 0
⊢ ‖v‖⁻¹ * ⟪v, q -ᵥ p⟫ = ‖q -ᵥ p‖ ↔ ∃ a, a • v = q -ᵥ p

Tactic:
· simp [h, eq_comm (a := (0 : ℝ)), eq_comm (a := (0 : V))]

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h : ¬v = 0
⊢ ‖v‖⁻¹ * ⟪v, q -ᵥ p⟫ = ‖q -ᵥ p‖ ↔ ∃ a, a • v = q -ᵥ p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
⊢ ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p' →
    ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p' →
      2 • ∡ (↑((orthogonalProjection s₁) p)) p' p = 2 • ∡ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p) →
        dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
intro hp₁

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hp₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p'
⊢ ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p' →
    2 • ∡ (↑((orthogonalProjection s₁) p)) p' p = 2 • ∡ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p) →
      dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
p : P
hpar : as ∥ s.orthRadius p
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hqas : q ∈ as
hqo : as ≤ s.orthRadius q
hrad : s.radius ≠ 0
hr : q -ᵥ s.center = 0 • (p -ᵥ s.center)
⊢ ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) = ℝ ∙ (q -ᵥ s.center)

pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
p : P
hpar : as ∥ s.orthRadius p
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hqas : q ∈ as
hqo : as ≤ s.orthRadius q
r : ℝ
hr : q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)
hrad : s.radius ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
⊢ ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) = ℝ ∙ (q -ᵥ s.center)

Tactic:
· simp_all

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
p : P
hpar : as ∥ s.orthRadius p
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hqas : q ∈ as
hqo : as ≤ s.orthRadius q
r : ℝ
hr : q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)
hrad : s.radius ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
⊢ ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) = ℝ ∙ (q -ᵥ s.center)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr : q -ᵥ s.center = 0 • (p -ᵥ s.center)
⊢ s.orthRadius q = s.orthRadius p ∨ s.orthRadius q = s.orthRadius ((Equiv.pointReflection s.center) p)

pp: case inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
r : ℝ
hr : q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr0 : r ≠ 0
⊢ s.orthRadius q = s.orthRadius p ∨ s.orthRadius q = s.orthRadius ((Equiv.pointReflection s.center) p)

Tactic:
· simp_all

Goal state after:
case inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
r : ℝ
hr : q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr0 : r ≠ 0
⊢ s.orthRadius q = s.orthRadius p ∨ s.orthRadius q = s.orthRadius ((Equiv.pointReflection s.center) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr : q -ᵥ s.center = 1 • (p -ᵥ s.center)
hr0 : 1 ≠ 0
hr' : |1| = 1
⊢ s.orthRadius q = s.orthRadius p ∨ s.orthRadius q = s.orthRadius ((Equiv.pointReflection s.center) p)

pp: case inr.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr : q -ᵥ s.center = -1 • (p -ᵥ s.center)
hr0 : -1 ≠ 0
hr' : |(-1)| = 1
⊢ s.orthRadius q = s.orthRadius p ∨ s.orthRadius q = s.orthRadius ((Equiv.pointReflection s.center) p)

Tactic:
· simp_all

Goal state after:
case inr.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr : q -ᵥ s.center = -1 • (p -ᵥ s.center)
hr0 : -1 ≠ 0
hr' : |(-1)| = 1
⊢ s.orthRadius q = s.orthRadius p ∨ s.orthRadius q = s.orthRadius ((Equiv.pointReflection s.center) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case neg.refine_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : Sphere P
h : dist s₁.center s₂.center = s₁.radius + s₂.radius
h₁ : 0 ≤ s₁.radius
h₂ : 0 ≤ s₂.radius
h0 : ¬s₁.radius + s₂.radius = 0
⊢ Wbtw ℝ s₁.center ((AffineMap.lineMap s₁.center s₂.center) (s₁.radius / (s₁.radius + s₂.radius))) s₂.center

Tactic:
simp only [wbtw_lineMap_iff]

Goal state after:
case neg.refine_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : Sphere P
h : dist s₁.center s₂.center = s₁.radius + s₂.radius
h₁ : 0 ≤ s₁.radius
h₂ : 0 ≤ s₂.radius
h0 : ¬s₁.radius + s₂.radius = 0
⊢ s₁.center = s₂.center ∨ s₁.radius / (s₁.radius + s₂.radius) ∈ Set.Icc 0 1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan p)
h₂ : dist p ↑((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p)
⊢ ∃ signs, p = excenter t signs

Tactic:
have hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points) := by
    convert! AffineSubspace.mem_top ℝ V p
    rw [t.independent.affineSpan_eq_top_iff_card_eq_finrank_add_one]
    simp [hd2.out]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan p)
h₂ : dist p ↑((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p)
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
⊢ ∃ signs, p = excenter t signs
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) p = ∡ p (t.points i₁) (t.points i₃)
h₂ : ∡ (t.points i₃) (t.points i₂) p = ∡ p (t.points i₂) (t.points i₁)
⊢ 2 • ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) ?m.151 = 2 • ∡ ?m.151 (t.points i₁) (t.points i₃)

Tactic:
rw [h₁]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) p = ∡ p (t.points i₁) (t.points i₃)
h₂ : ∡ (t.points i₃) (t.points i₂) p = ∡ p (t.points i₂) (t.points i₁) + ↑π
⊢ 2 • ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) ?m.158 = 2 • ∡ ?m.158 (t.points i₁) (t.points i₃)

Tactic:
rw [h₁]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) p = ∡ p (t.points i₁) (t.points i₃) + ↑π
h₂ : ∡ (t.points i₃) (t.points i₂) p = ∡ p (t.points i₂) (t.points i₁) + ↑π
⊢ 2 • ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) ?m.162 = 2 • ∡ ?m.162 (t.points i₁) (t.points i₃)

Tactic:
rw [h₁]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) p = ∡ p (t.points i₁) (t.points i₃) + ↑π
h₂ : ∡ (t.points i₃) (t.points i₂) p = ∡ p (t.points i₂) (t.points i₁) + ↑π
⊢ 2 • (∡ p (t.points i₁) (t.points i₃) + ↑π) = 2 • ∡ p (t.points i₁) (t.points i₃)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : ∠ q p s.center = π / 2
hp : p ∈ s
⊢ s.IsTangentAt p line[ℝ, p, q]

Tactic:
have hp_mem := left_mem_affineSpan_pair ℝ p q

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : ∠ q p s.center = π / 2
hp : p ∈ s
hp_mem : p ∈ line[ℝ, p, q]
⊢ s.IsTangentAt p line[ℝ, p, q]
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hpi : angle x y ≠ π
hxy : ¬x = y
h : (‖y‖ - ‖x‖) * -1 = (‖y‖ - ‖x‖) * (⟪x, y⟫ / (‖x‖ * ‖y‖))
hx0 : ¬x = 0
hy0 : ¬y = 0
⊢ ‖y‖ = ‖x‖

Tactic:
by_contra hyx

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hpi : angle x y ≠ π
hxy : ¬x = y
h : (‖y‖ - ‖x‖) * -1 = (‖y‖ - ‖x‖) * (⟪x, y⟫ / (‖x‖ * ‖y‖))
hx0 : ¬x = 0
hy0 : ¬y = 0
hyx : ¬‖y‖ = ‖x‖
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
⊢ p ∈ Simplex.circumsphere t

Tactic:
let t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
⊢ p ∈ Simplex.circumsphere t
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
h₃ : t'p i₃ = t.points i₃
ha : AffineIndependent ℝ t'p
t' : Triangle ℝ P := { points := t'p, independent := ha }
h₁' : t'.points i₁ = t.points i₁
⊢ p ∈ Simplex.circumsphere t

Tactic:
have h₂' : t'.points i₂ = p := h₂

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
h₃ : t'p i₃ = t.points i₃
ha : AffineIndependent ℝ t'p
t' : Triangle ℝ P := { points := t'p, independent := ha }
h₁' : t'.points i₁ = t.points i₁
h₂' : t'.points i₂ = p
⊢ p ∈ Simplex.circumsphere t
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
⊢ dist a b ^ 2 + dist a c ^ 2 = 2 * (dist a (midpoint ℝ b c) ^ 2 + (dist b c / 2) ^ 2)

Tactic:
by_cases hbc : b = c
  · simp [hbc, midpoint_self, dist_self, two_mul]
  · let m := midpoint ℝ b c
    have : dist b c ≠ 0 := (dist_pos.mpr hbc).ne'
    have hm := dist_sq_mul_dist_add_dist_sq_mul_dist a b c m (angle_midpoint_eq_pi b c hbc)
    simp only [m, dist_left_midpoint, dist_right_midpoint, Real.norm_two] at hm
    calc
      dist a b ^ 2 + dist a c ^ 2 = 2 / dist b c * (dist a b ^ 2 *
        ((2 : ℝ)⁻¹ * dist b c) + dist a c ^ 2 * (2⁻¹ * dist b c)) := by
        field
      _ = 2 * (dist a (midpoint ℝ b c) ^ 2 + (dist b c / 2) ^ 2) := by
        rw [hm]
        field

Goal state after: