mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Center

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
ι : Type u_3
inst✝ : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (r : R), r • f (b j) = (b.coord i) (f (b i)) • r • b j
h_allEq : ∀ (i j : ι), (b.coord i) (f (b i)) = (b.coord j) (f (b j))
i : ι
r : R
j : ι
hji : j ≠ i
⊢ r • f (b i) = (b.coord i) (f (b i)) • r • b i

Tactic:
simpa [h_allEq j i] using hcomm j i hji r

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
e✝ e : V ≃ₗ[R] V
f : Dual R V
v : V
he : ↑e = LinearMap.transvection f v
x : V
⊢ ↑e.symm x = (LinearMap.transvection f (-e.symm v)) x

Tactic:
suffices x = e x - f x • v by
    simpa [LinearMap.transvection.apply, ← sub_eq_add_neg, symm_apply_eq]

Goal state after:
case h
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
e✝ e : V ≃ₗ[R] V
f : Dual R V
v : V
he : ↑e = LinearMap.transvection f v
x : V
⊢ x = e x - f x • v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Basic

Goal state before:
pp: case h
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : Module K V
e : V ≃ₗ[K] V
u : V →ₗ[K] V := ↑e - LinearMap.id
he : Module.rank K ↥u.range ≤ 1
hu : u + LinearMap.id = ↑e
hr : Module.rank K ↥u.range = 0
x : V
⊢ u x = 0

Tactic:
rank_zero_iff

Goal state after:
case h
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : Module K V
e : V ≃ₗ[K] V
u : V →ₗ[K] V := ↑e - LinearMap.id
he : Module.rank K ↥u.range ≤ 1
hu : u + LinearMap.id = ↑e
hr : Subsingleton ↥u.range
x : V
⊢ u x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.CliffordAlgebra.Contraction

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
a : M
b : CliffordAlgebra Q
⊢ (contractLeft d) ((ι Q) a * b) = d a • b - (ι Q) a * (contractLeft d) b

Tactic:
refine foldr'_ι_mul _ _ ?_ _ _ _
  exact fun m x fx ↦ contractLeftAux_contractLeftAux Q d m x fx

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Basic

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : Dual K V
v : V
hfv : f v = 0
hv : ¬v = 0
hf : f = 0
⊢ LinearMap.det (transvection f v) = 1 + f v

Tactic:
simp [hf]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ ∀ (i : ℕ) (x : ↥(⋀[R]^i M)), (GradedAlgebra.liftι R M) ↑x = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥(⋀[R]^i M)) i) x

Tactic:
by apply GradedAlgebra.liftι_eq R M

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
c : Fin n → R
i : ι
⊢ (if h : ∃ j, f j = i then a h.choose else 0) ∣ (∑ x, c x • Pi.single (f x) (a x)) i

Tactic:
simp only [Finset.sum_apply, Pi.smul_apply, Pi.single_apply]

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
c : Fin n → R
i : ι
⊢ (if h : ∃ j, f j = i then a h.choose else 0) ∣ ∑ x, c x • if i = f x then a x else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Echelon.Decomposition

Goal state before:
pp: m : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : LinearOrder m
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : LinearOrder n
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
A : Matrix m n R
cert : Decomposition A
⊢ A.rank = #{i | cert.pivot i ≠ ⊤}

Tactic:
← cert.isPivotedBy.rank_eq,

Goal state after:
m : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : LinearOrder m
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : LinearOrder n
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
A : Matrix m n R
cert : Decomposition A
⊢ A.rank = (cert.L * A.submatrix (⇑cert.σ) id).rank
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Gershgorin

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
h✝ : Nonempty n
⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)

Tactic:
obtain ⟨v, h_eg, h_nz⟩ := hμ.exists_hasEigenvector

Goal state after:
case inr
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
h✝ : Nonempty n
v : n → K
h_eg : v ∈ (Module.End.genEigenspace (Matrix.toLin' A) μ) 1
h_nz : v ≠ 0
⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.IsDiag

Goal state before:
pp: α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass α
A : Matrix m m α
B : Matrix n n α
hA : A.IsDiag
hB : B.IsDiag
⊢ (kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) A B).IsDiag

Tactic:
rintro ⟨a, b⟩ ⟨c, d⟩ h
  simp only [Prod.mk_inj, Ne, not_and_or] at h
  rcases h with hac | hbd
  · simp [hA hac]
  · simp [hB hbd]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.IsDiag

Goal state before:
pp: case inl.inl
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix m m α
D : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
i j : m
hij : Sum.inl i ≠ Sum.inl j
⊢ Matrix.fromBlocks A 0 0 D (Sum.inl i) (Sum.inl j) = 0

pp: case inl.inr
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix m m α
D : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
i : m
j : n
hij : Sum.inl i ≠ Sum.inr j
⊢ Matrix.fromBlocks A 0 0 D (Sum.inl i) (Sum.inr j) = 0

pp: case inr.inl
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix m m α
D : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
i : n
j : m
hij : Sum.inr i ≠ Sum.inl j
⊢ Matrix.fromBlocks A 0 0 D (Sum.inr i) (Sum.inl j) = 0

pp: case inr.inr
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix m m α
D : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
i j : n
hij : Sum.inr i ≠ Sum.inr j
⊢ Matrix.fromBlocks A 0 0 D (Sum.inr i) (Sum.inr j) = 0

Tactic:
· exact ha (ne_of_apply_ne _ hij)

Goal state after:
case inl.inr
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix m m α
D : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
i : m
j : n
hij : Sum.inl i ≠ Sum.inr j
⊢ Matrix.fromBlocks A 0 0 D (Sum.inl i) (Sum.inr j) = 0

case inr.inl
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix m m α
D : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
i : n
j : m
hij : Sum.inr i ≠ Sum.inl j
⊢ Matrix.fromBlocks A 0 0 D (Sum.inr i) (Sum.inl j) = 0

case inr.inr
α : Type u_1
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix m m α
D : Matrix n n α
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag
i j : n
hij : Sum.inr i ≠ Sum.inr j
⊢ Matrix.fromBlocks A 0 0 D (Sum.inr i) (Sum.inr j) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Permanent

Goal state before:
pp: n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
M : Matrix n n R
j : n
c : R
u : n → R
⊢ ∑ x, c * u (x j) * ∏ i ∈ univ.erase j, M.updateCol j (c • u) (x i) i =
    ∑ x, c * u (x j) * ∏ i ∈ univ.erase j, M.updateCol j u (x i) i

Tactic:
congr 1 with p

Goal state after:
case e_f
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
M : Matrix n n R
j : n
c : R
u : n → R
p : Perm n
⊢ c * u (p j) * ∏ i ∈ univ.erase j, M.updateCol j (c • u) (p i) i =
    c * u (p j) * ∏ i ∈ univ.erase j, M.updateCol j u (p i) i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
u v : ℙ K V
⊢ v.rep ≠ 0 ∨ u = v

Tactic:
exact Or.inl (rep_nonzero v)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.PSL2

Goal state before:
pp: case «1».«0»
F : Type u_2
inst✝ : Field F
c : F
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ SpecialLinearGroup.transvection hij c ∈ lineStab (F ∙ Pi.single 0 1) ⊔ lineStab (F ∙ Pi.single 1 1)

Tactic:
· exact Subgroup.mem_sup_right <| transvection_mem_lineStab one_ne_zero c

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
r : ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)
⊢ ∃ r_1, r_1 ^ Module.finrank R V = 1 ∧ ↑↑r • LinearMap.id = r_1 • LinearMap.id

Tactic:
use r.val

Goal state after:
case h
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
r : ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)
⊢ ↑↑r ^ Module.finrank R V = 1 ∧ ↑↑r • LinearMap.id = ↑↑r • LinearMap.id
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
V : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : Module.Free R V
inst✝² : Module.Finite R V
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Module.Basis ι R V
g : ↥(center (Matrix.SpecialLinearGroup ι R))
a✝ : Nontrivial R
hV : Nontrivial V
hι : ¬IsEmpty ι
this : FaithfulSMul R V
⊢ ↑(((centerCongr (toLin_equiv b)).trans centerEquivRootsOfUnity) g) = ↑(center_equiv_rootsOfUnity g)

Tactic:
suffices (((((Subgroup.centerCongr (Matrix.SpecialLinearGroup.toLin_equiv b)).trans
      centerEquivRootsOfUnity g).val : R) • LinearMap.id) : V →ₗ[R] V) =
        ((Matrix.SpecialLinearGroup.center_equiv_rootsOfUnity g).val : R) • LinearMap.id by
      rw [← Units.val_inj]
      apply FaithfulSMul.eq_of_smul_eq_smul (α := V)
      intro x
      simp only [MulEquiv.trans_apply, LinearMap.ext_iff, LinearMap.smul_apply, LinearMap.id_coe,
        id_eq] at this
      rw [MulEquiv.trans_apply, this]

Goal state after:
case neg
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
V : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : Module.Free R V
inst✝² : Module.Finite R V
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Module.Basis ι R V
g : ↥(center (Matrix.SpecialLinearGroup ι R))
a✝ : Nontrivial R
hV : Nontrivial V
hι : ¬IsEmpty ι
this : FaithfulSMul R V
⊢ ↑↑(((centerCongr (toLin_equiv b)).trans centerEquivRootsOfUnity) g) • LinearMap.id =
    ↑↑(center_equiv_rootsOfUnity g) • LinearMap.id
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
⊢ Nondegenerate ↔ Q.radical = ⊥

Tactic:
refine ⟨Nondegenerate.radical_eq_bot, fun h ↦ ⟨h, ?_⟩⟩

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
h : Q.radical = ⊥
⊢ Module.rank R ↥(LinearMap.ker Q.polarBilin) ≤ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
⊢ LinearMap.IsRefl Q.polarBilin

Tactic:
exact fun x y ↦ (polar_comm Q y x).trans

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl : P.root l = P.root k + P.root i - P.root j
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairingIn ℤ i k ≤ -2
⊢ P.root k + P.root i ≠ 0

Tactic:
intro contra

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl : P.root l = P.root k + P.root i - P.root j
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairingIn ℤ i k ≤ -2
contra : P.root k + P.root i = 0
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
⊢ ¬P.IsG2

Tactic:
intro contra

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
⊢ x * ω b * ω b = x

Tactic:
simp [mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i - P.root j ∈ Set.range ⇑P.root
⊢ chainTopCoeff i j = if P.pairingIn ℤ i j = 0 then 1 else 0

Tactic:
by
  let := P.indexNeg
  replace h : P.root i + P.root (-j) ∈ range P.root := by simpa [← sub_eq_add_neg] using h
  simpa using P.chainBotCoeff_if_one_zero h

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ threeShortAddTwoLongRoot P = 3 • shortRoot P + 2 • longRoot P

Tactic:
simp [threeShortAddTwoLongRoot, threeShortAddTwoLong, reflection_apply_root]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ -P.root (long P) + (3 • P.root (short P) + 3 • P.root (long P)) = 3 • shortRoot P + 2 • longRoot P
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ allRoots P = List.map (⇑(Fintype.linearCombination ℤ ![shortRoot P, longRoot P])) allCoeffs

Tactic:
simp [Fintype.linearCombination_apply, neg_add, -neg_add_rev, shortAddLongRoot_eq,
    twoShortAddLongRoot_eq, threeShortAddLongRoot_eq, threeShortAddTwoLongRoot_eq,
    ← Int.cast_smul_eq_zsmul R]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ -(b.cartanMatrix i j • e i) * ω b = -b.cartanMatrix i j • (e i * ω b)

Tactic:
simp [mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i : ↥b.support
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : ∑ j, P.pairingIn ℤ (-j) ↑i = ∑ j, P.pairingIn ℤ j ↑i
⊢ -∑ j, P.pairingIn ℤ j ↑i = ∑ j, P.pairingIn ℤ j ↑i

Tactic:
simpa using this

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
h₁ : ∀ (a : ι), ¬P.root k = P.root ↑i + P.root a
y : ι
hy : P.root k = P.root y - P.root ↑i
⊢ ((∑ x, if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)

Tactic:
if_neg (h₁ _),

Goal state after:
case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
h₁ : ∀ (a : ι), ¬P.root k = P.root ↑i + P.root a
y : ι
hy : P.root k = P.root y - P.root ↑i
⊢ (∑ x, 0 -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
χ : ↥H → K
hχ : χ ≠ 0
w : ↥b.support ⊕ ι → K
hw : w ∈ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ
aux :
  ∀ (d : ↥b.support ⊕ ι → K) (x : ↥H),
    ↑↑x = diagonal d → (w ∈ genWeightSpaceOf (↥b.support ⊕ ι → K) (χ x) x ↔ ∃ k, diagonal ((d - χ x • 1) ^ k) *ᵥ w = 0)
hw₀ : genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ ≠ ⊥
⊢ ∃ l, χ (h' l) ≠ 0

Tactic:
let χ' : H →ₗ[K] K := (Weight.mk χ hw₀).toLinear

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
χ : ↥H → K
hχ : χ ≠ 0
w : ↥b.support ⊕ ι → K
hw : w ∈ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ
aux :
  ∀ (d : ↥b.support ⊕ ι → K) (x : ↥H),
    ↑↑x = diagonal d → (w ∈ genWeightSpaceOf (↥b.support ⊕ ι → K) (χ x) x ↔ ∃ k, diagonal ((d - χ x • 1) ^ k) *ᵥ w = 0)
hw₀ : genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ ≠ ⊥
χ' : ↥H →ₗ[K] K := Weight.toLinear K (↥H) (↥b.support ⊕ ι → K) { toFun := χ, genWeightSpace_ne_bot' := hw₀ }
⊢ ∃ l, χ (h' l) ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: case regular
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
x : M
hSB : B.IsSymm
y : M
hx : B.IsReflective x
hy : B.IsReflective y
⊢ IsRegular ((B ((reflection ⋯) y)) ((reflection ⋯) y))

pp: case dvd_two_mul
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
x : M
hSB : B.IsSymm
y : M
hx : B.IsReflective x
hy : B.IsReflective y
⊢ ∀ (y_1 : M), (B ((reflection ⋯) y)) ((reflection ⋯) y) ∣ 2 * (B ((reflection ⋯) y)) y_1

Tactic:
· rw [isOrthogonal_reflection B hx hSB]
    exact hy.1

Goal state after:
case dvd_two_mul
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
x : M
hSB : B.IsSymm
y : M
hx : B.IsReflective x
hy : B.IsReflective y
⊢ ∀ (y_1 : M), (B ((reflection ⋯) y)) ((reflection ⋯) y) ∣ 2 * (B ((reflection ⋯) y)) y_1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : P.IsNotG2
this : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hlj_mem : P.root l - P.root j ∈ range ⇑P.root
hmi : P.pairingIn ℤ m i = 0
hlj : P.pairingIn ℤ l j ≠ 0
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = P.pairingIn ℤ k i
⊢ P.pairingIn ℤ k j ≤ 2

Tactic:
· have := IsNotG2.pairingIn_mem_zero_one_two (P := P) k j
      grind

Goal state after: