Module: Mathlib.Probability.Distributions.Gaussian.IsGaussianProcess.Independence

Goal state before:
pp: case refine_2
T : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : CompleteSpace E
S : T → Type u_4
X : (t : T) → S t → Ω → E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hX : IsGaussianProcess (fun p ω ↦ X p.fst p.snd ω) P
mX : ∀ (t : T) (s : S t), AEMeasurable (X t s) P
h :
  ∀ (t₁ t₂ : T), t₁ ≠ t₂ → ∀ (s₁ : S t₁) (s₂ : S t₂) (L₁ L₂ : StrongDual ℝ E), cov[⇑L₁ ∘ X t₁ s₁, ⇑L₂ ∘ X t₂ s₂; P] = 0
this : IsProbabilityMeasure P
I : Finset T
J : (i : ↥I) → Finset (S ↑i)
i j : ↥I
hij : i ≠ j
L₁ : StrongDual ℝ (↥(J i) → E)
L₂ : StrongDual ℝ (↥(J j) → E)
h1 : (⇑L₁ ∘ fun ω k ↦ X (↑i) (↑k) ω) = ∑ k, ⇑(L₁ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) k) ∘ X ↑i ↑k
h2 : (⇑L₂ ∘ fun ω k ↦ X (↑j) (↑k) ω) = ∑ k, ⇑(L₂ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) k) ∘ X ↑j ↑k
⊢ cov[⇑L₁ ∘ fun ω j ↦ X (↑i) (↑j) ω, ⇑L₂ ∘ fun ω j_1 ↦ X (↑j) (↑j_1) ω; P] = 0

Tactic:
rw [h1, h2, covariance_sum_sum]

Goal state after:
case refine_2
T : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : CompleteSpace E
S : T → Type u_4
X : (t : T) → S t → Ω → E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hX : IsGaussianProcess (fun p ω ↦ X p.fst p.snd ω) P
mX : ∀ (t : T) (s : S t), AEMeasurable (X t s) P
h :
  ∀ (t₁ t₂ : T), t₁ ≠ t₂ → ∀ (s₁ : S t₁) (s₂ : S t₂) (L₁ L₂ : StrongDual ℝ E), cov[⇑L₁ ∘ X t₁ s₁, ⇑L₂ ∘ X t₂ s₂; P] = 0
this : IsProbabilityMeasure P
I : Finset T
J : (i : ↥I) → Finset (S ↑i)
i j : ↥I
hij : i ≠ j
L₁ : StrongDual ℝ (↥(J i) → E)
L₂ : StrongDual ℝ (↥(J j) → E)
h1 : (⇑L₁ ∘ fun ω k ↦ X (↑i) (↑k) ω) = ∑ k, ⇑(L₁ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) k) ∘ X ↑i ↑k
h2 : (⇑L₂ ∘ fun ω k ↦ X (↑j) (↑k) ω) = ∑ k, ⇑(L₂ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) k) ∘ X ↑j ↑k
⊢ ∑ i_1,
      ∑ j_1,
        cov[⇑(L₁ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) i_1) ∘ X ↑i ↑i_1,
          ⇑(L₂ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) j_1) ∘ X ↑j ↑j_1; P] =
    0

case refine_2.hX
T : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : CompleteSpace E
S : T → Type u_4
X : (t : T) → S t → Ω → E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hX : IsGaussianProcess (fun p ω ↦ X p.fst p.snd ω) P
mX : ∀ (t : T) (s : S t), AEMeasurable (X t s) P
h :
  ∀ (t₁ t₂ : T), t₁ ≠ t₂ → ∀ (s₁ : S t₁) (s₂ : S t₂) (L₁ L₂ : StrongDual ℝ E), cov[⇑L₁ ∘ X t₁ s₁, ⇑L₂ ∘ X t₂ s₂; P] = 0
this : IsProbabilityMeasure P
I : Finset T
J : (i : ↥I) → Finset (S ↑i)
i j : ↥I
hij : i ≠ j
L₁ : StrongDual ℝ (↥(J i) → E)
L₂ : StrongDual ℝ (↥(J j) → E)
h1 : (⇑L₁ ∘ fun ω k ↦ X (↑i) (↑k) ω) = ∑ k, ⇑(L₁ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) k) ∘ X ↑i ↑k
h2 : (⇑L₂ ∘ fun ω k ↦ X (↑j) (↑k) ω) = ∑ k, ⇑(L₂ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) k) ∘ X ↑j ↑k
⊢ ∀ (i_1 : ↥(J i)), MemLp (⇑(L₁ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) i_1) ∘ X ↑i ↑i_1) 2 P

case refine_2.hY
T : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : CompleteSpace E
S : T → Type u_4
X : (t : T) → S t → Ω → E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hX : IsGaussianProcess (fun p ω ↦ X p.fst p.snd ω) P
mX : ∀ (t : T) (s : S t), AEMeasurable (X t s) P
h :
  ∀ (t₁ t₂ : T), t₁ ≠ t₂ → ∀ (s₁ : S t₁) (s₂ : S t₂) (L₁ L₂ : StrongDual ℝ E), cov[⇑L₁ ∘ X t₁ s₁, ⇑L₂ ∘ X t₂ s₂; P] = 0
this : IsProbabilityMeasure P
I : Finset T
J : (i : ↥I) → Finset (S ↑i)
i j : ↥I
hij : i ≠ j
L₁ : StrongDual ℝ (↥(J i) → E)
L₂ : StrongDual ℝ (↥(J j) → E)
h1 : (⇑L₁ ∘ fun ω k ↦ X (↑i) (↑k) ω) = ∑ k, ⇑(L₁ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) k) ∘ X ↑i ↑k
h2 : (⇑L₂ ∘ fun ω k ↦ X (↑j) (↑k) ω) = ∑ k, ⇑(L₂ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) k) ∘ X ↑j ↑k
⊢ ∀ (i : ↥(J j)), MemLp (⇑(L₂ ∘SL ContinuousLinearMap.single ℝ (fun j ↦ E) i) ∘ X ↑j ↑i) 2 P