mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: case inl
m : Type u_2
o : Type u_4
α : Type u_12
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq m
d : m × o → α
k : o
i : m
⊢ d (i, k) = diagonal (fun i ↦ d (i, k)) i i

Tactic:
diagonal_apply_eq

Goal state after:
case inl
m : Type u_2
o : Type u_4
α : Type u_12
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq m
d : m × o → α
k : o
i : m
⊢ d (i, k) = d (i, k)
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: case inl
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
α : Type u_12
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) × m' i → α
k : o
i : m' k
⊢ d ⟨k, i⟩ = diagonal (fun i ↦ d ⟨k, i⟩) i i

Tactic:
diagonal_apply_eq

Goal state after:
case inl
o : Type u_4
m' : o → Type u_7
α : Type u_12
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) × m' i → α
k : o
i : m' k
⊢ d ⟨k, i⟩ = d ⟨k, i⟩
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.MonoidWithZero

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero N
f : S.LocalizationMap N
⊢ f 0 = 0

Tactic:
have ⟨ms, eq⟩ := f.surj 0
  rw [← zero_mul, map_mul, ← eq, zero_mul, mul_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝⁴ : Fintype m
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
this : DecidableEq l
⊢ (toMatrix v₁ v₃) ((toLin v₁ v₃) (A * B)) = (toMatrix v₁ v₃) ((toLin v₂ v₃) A ∘ₗ (toLin v₁ v₂) B)

Tactic:
rw [LinearMap.toMatrix_comp v₁ v₂ v₃]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝⁴ : Fintype m
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
this : DecidableEq l
⊢ (toMatrix v₁ v₃) ((toLin v₁ v₃) (A * B)) = (toMatrix v₂ v₃) ((toLin v₂ v₃) A) * (toMatrix v₁ v₂) ((toLin v₁ v₂) B)
Module: Mathlib.RingTheory.OreLocalization.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₂ = ra * ↑s₃
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * sa • r₂ = rb * ↑s₁
hs₃rasb : ↑sb * ra * ↑s₃ ∈ S
ha' : ↑(sb * sa * s₂) = ↑sb * ra * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * (↑sb * ra) • r₃ = rc * ↑s₁
hc' : ((↑sb * ra) • r₃ /ₒ (sb * sa * s₂)) • (r₁ /ₒ s₁) = rc • r₁ /ₒ (sc * (sb * sa * s₂))
⊢ ↑sc * ↑(sb * (sa * s₂)) = 1 * ↑(sc * (sb * sa * s₂))

Tactic:
simp [mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: case intro.ih
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : IsDomain R
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val✝ : Fintype ι
N : Submodule R M
ih : ∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ n, Nonempty (Basis (Fin n) R ↥N')
⊢ ∃ n, Nonempty (Basis (Fin n) R ↥N)

Tactic:
let b' := (b.reindex (Fintype.equivFin ι)).map (LinearEquiv.ofTop _ rfl).symm

Goal state after:
case intro.ih
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : IsDomain R
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val✝ : Fintype ι
N : Submodule R M
ih : ∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ n, Nonempty (Basis (Fin n) R ↥N')
b' : Basis (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ := (b.reindex (Fintype.equivFin ι)).map (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯).symm
⊢ ∃ n, Nonempty (Basis (Fin n) R ↥N)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N : Submodule R M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
h : finrank R ↥N = finrank R M
i : ι
⊢ smithNormalFormCoeffs b h i ≠ 0

Tactic:
intro hi
  apply Basis.ne_zero (smithNormalFormBotBasis b h) i
  refine Subtype.coe_injective ?_
  simp [hi]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝¹⁹ : CommSemiring R✝
M✝ N : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁷ : Algebra R✝ S✝
P✝ : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring P✝
inst✝¹⁵ : IsLocalization M✝ S✝
g : R✝ →+* P✝
hg : ∀ (y : ↥M✝), IsUnit (g ↑y)
A : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommSemiring A
R : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Algebra A R
M : Submonoid R
S : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra A S
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : IsScalarTower A R S
inst✝⁷ : IsLocalization M S
P : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring P
inst✝⁵ : Algebra A P
T : Submonoid P
Q : Type u_8
inst✝⁴ : CommSemiring Q
inst✝³ : Algebra A Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsScalarTower A P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
h : R ≃ₐ[A] P
H : Submonoid.map h M = T
⊢ Submonoid.map (↑h).symm (Submonoid.map h M) = M

Tactic:
← Submonoid.comap_equiv_eq_map_symm,

Goal state after:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁹ : CommSemiring R✝
M✝ N : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁷ : Algebra R✝ S✝
P✝ : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring P✝
inst✝¹⁵ : IsLocalization M✝ S✝
g : R✝ →+* P✝
hg : ∀ (y : ↥M✝), IsUnit (g ↑y)
A : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommSemiring A
R : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Algebra A R
M : Submonoid R
S : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra A S
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : IsScalarTower A R S
inst✝⁷ : IsLocalization M S
P : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring P
inst✝⁵ : Algebra A P
T : Submonoid P
Q : Type u_8
inst✝⁴ : CommSemiring Q
inst✝³ : Algebra A Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsScalarTower A P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
h : R ≃ₐ[A] P
H : Submonoid.map h M = T
⊢ Submonoid.comap (↑h) (Submonoid.map h M) = M
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
S₁ : Type u_4
S₂ : Type u_5
T : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring S₁
inst✝¹¹ : CommSemiring S₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring T
inst✝⁹ : Algebra R S₁
inst✝⁸ : Algebra R S₂
inst✝⁷ : Algebra R T
inst✝⁶ : Algebra S₁ T
inst✝⁵ : Algebra S₂ T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S₁ T
inst✝³ : IsScalarTower R S₂ T
M₁ M₂ : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization M₁ S₁
inst✝¹ : IsLocalization M₂ S₂
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S₂ M₁) T
a : R
ha : a ∈ ↑M₂
⊢ IsUnit ((algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) a))

Tactic:
exact IsUnit.map _ (IsLocalization.map_units _ ⟨a, ha⟩)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
j : R ≃+* P
H : Submonoid.map j M = T
⊢ Submonoid.map (↑j).symm (Submonoid.map j M) = M

Tactic:
← Submonoid.comap_equiv_eq_map_symm,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
j : R ≃+* P
H : Submonoid.map j M = T
⊢ Submonoid.comap (↑j) (Submonoid.map j M) = M
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: case exists_of_eq
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ⋯
⊢ ∀ {x y : P}, (algebraMap P S) x = (algebraMap P S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Tactic:
intro x y
    rw [RingHom.algebraMap_toAlgebra, RingHom.comp_apply, RingHom.comp_apply,
      IsLocalization.eq_iff_exists M S]
    simp [← h.toEquiv.apply_eq_iff_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
M : Submonoid R
x : R
y : ↥M
⊢ mk x y = mk' (Localization M) x y

Tactic:
by
  rw [mk_eq_monoidOf_mk'_apply, mk', toLocalizationMap_eq_monoidOf]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝²⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝²⁷ : CommRing S✝
inst✝²⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝²⁵ : CommRing P
A✝ : Type u_4
inst✝²⁴ : CommRing A✝
K✝ : Type u_5
B✝ : Type u_6
inst✝²³ : CommRing B✝
inst✝²² : IsDomain B✝
inst✝²¹ : Field K✝
L✝ : Type u_7
inst✝²⁰ : Field L✝
inst✝¹⁹ : Algebra A✝ K✝
inst✝¹⁸ : IsFractionRing A✝ K✝
g✝ : A✝ →+* L✝
R : Type u_8
S : Type u_9
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring S
inst✝¹⁵ : Algebra R S
h : IsFractionRing R S
G : Type u_10
A : Type u_11
B : Type u_12
K : Type u_13
L : Type u_14
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : MulSemiringAction G B
inst✝¹⁰ : Algebra A B
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A K
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsFractionRing A K
inst✝² : IsFractionRing B L
inst✝¹ : IsScalarTower A K L
inst✝ : IsScalarTower A B L
this : MulSemiringAction G L := mulSemiringAction G B L
g : G
b : B
x : L
⊢ g • ((algebraMap B L) b * x) = (algebraMap B L) (g • b) * g • x

Tactic:
smul_mul'

Goal state after:
R✝ : Type u_1
inst✝²⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝²⁷ : CommRing S✝
inst✝²⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝²⁵ : CommRing P
A✝ : Type u_4
inst✝²⁴ : CommRing A✝
K✝ : Type u_5
B✝ : Type u_6
inst✝²³ : CommRing B✝
inst✝²² : IsDomain B✝
inst✝²¹ : Field K✝
L✝ : Type u_7
inst✝²⁰ : Field L✝
inst✝¹⁹ : Algebra A✝ K✝
inst✝¹⁸ : IsFractionRing A✝ K✝
g✝ : A✝ →+* L✝
R : Type u_8
S : Type u_9
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring S
inst✝¹⁵ : Algebra R S
h : IsFractionRing R S
G : Type u_10
A : Type u_11
B : Type u_12
K : Type u_13
L : Type u_14
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : MulSemiringAction G B
inst✝¹⁰ : Algebra A B
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A K
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsFractionRing A K
inst✝² : IsFractionRing B L
inst✝¹ : IsScalarTower A K L
inst✝ : IsScalarTower A B L
this : MulSemiringAction G L := mulSemiringAction G B L
g : G
b : B
x : L
⊢ g • (algebraMap B L) b * g • x = (algebraMap B L) (g • b) * g • x
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
u : Aˣ
this : ∀ (b : A) (v : Aˣ), spectrum R (↑v * b * ↑v⁻¹) ⊆ spectrum R b
⊢ spectrum R (↑u * a * ↑u⁻¹) = spectrum R a

Tactic:
refine le_antisymm (this a u) ?_

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
u : Aˣ
this : ∀ (b : A) (v : Aˣ), spectrum R (↑v * b * ↑v⁻¹) ⊆ spectrum R b
⊢ spectrum R a ⊆ spectrum R (↑u * a * ↑u⁻¹)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
u : Aˣ
this : ∀ (b : A) (v : Aˣ), spectrum R (↑v * b * ↑v⁻¹) ⊆ spectrum R b
⊢ spectrum R a = spectrum R (↑u⁻¹ * (↑u * a * ↑u⁻¹) * ↑u⁻¹⁻¹)

Tactic:
simp [mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Ring T
inst✝ : Algebra R T
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R T)
s : S
t : T
⊢ s ⊗ₜ[R] t ∈ ↑((mk R S T).flip 1).range

Tactic:
obtain ⟨r, rfl⟩ := h t

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Ring T
inst✝ : Algebra R T
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R T)
s : S
r : R
⊢ s ⊗ₜ[R] (algebraMap R T) r ∈ ↑((mk R S T).flip 1).range
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalSemiring R
x y z : PreQuasiregular R
⊢ equiv.symm (x * y * z) = equiv.symm (x * (y * z))

Tactic:
by simp [mul_add, add_mul, mul_assoc]; abel

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
x : A
y : C
⊢ x • 1 ⊗ₜ[A] (1 ⊗ₜ[R] y) = 1 ⊗ₜ[A] (x ⊗ₜ[R] y)

Tactic:
simp [← tmul_smul, smul_tmul' (M := A)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Pi.Units

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
x : (i : ι) → M i
inst✝ : ∀ (i : ι), Subsingleton (M i)ˣ
⊢ ∀ (a : (i : ι) → M i), IsUnit a → a = 1

Tactic:
by simp [Pi.isUnit_iff, funext_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
M' : Submodule R M
x✝¹ : { s // LinearIndepOn R id s }
s : Set (M ⧸ M')
hs : LinearIndepOn R id s
x✝ : { s // LinearIndepOn R id s }
t : Set ↥M'
ht : LinearIndepOn R id t
f : M ⧸ M' → M
hf : ∀ (b : M ⧸ M'), Submodule.Quotient.mk (f b) = b
⊢ LinearIndependent (ι := ↑s) R (Submodule.Quotient.mk ∘ fun i ↦ f ↑i)

Tactic:
by simpa [Function.comp_def, hf] using! hs

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Centralizer

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
B : Type u_3
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Module.Free R A
⊢ centralizer R ↑(Algebra.TensorProduct.map (Algebra.ofId R A) (AlgHom.id R B)).range =
    (Algebra.TensorProduct.map (AlgHom.id R A) (center R B).val).range

Tactic:
rw [← centralizer_range_includeRight_eq_center_tensorProduct]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
B : Type u_3
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Module.Free R A
⊢ centralizer R ↑(Algebra.TensorProduct.map (Algebra.ofId R A) (AlgHom.id R B)).range =
    centralizer R ↑includeRight.range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
h : Module.rank R M = 0
inst✝ : Nontrivial R
⊢ Module.Finite R M

Tactic:
rank_zero_iff

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
h : Subsingleton M
inst✝ : Nontrivial R
⊢ Module.Finite R M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
s : Set M
inst✝ : Fintype ↑s
hs : LinearIndepOn R id s
⊢ Module.rank R ↥(span R s) = ↑s.toFinset.card

Tactic:
have : Module.rank R (span R s) = #s := rank_span_set hs

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
s : Set M
inst✝ : Fintype ↑s
hs : LinearIndepOn R id s
this : Module.rank R ↥(span R s) = #↑s
⊢ Module.rank R ↥(span R s) = ↑s.toFinset.card
Module: Mathlib.Algebra.Star.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u
A : Type v
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
x : A
hx : x ∈ s ∪ Star.star s
⊢ p x ⋯

Tactic:
push _ ∈ _ at hx

Goal state after:
R : Type u
A : Type v
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
x : A
hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s
hx : x ∈ s ∨ Star.star x ∈ s
⊢ p x ⋯
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
h : Module.rank R M = 0
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ⊥ = ⊤

Tactic:
rank_zero_iff

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
h : Subsingleton M
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ⊥ = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
ι : Type u_1
⊢ IsEmpty ι → Subsingleton R ∨ Finite ι

Tactic:
exact fun _ ↦ .inr inferInstance

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Star.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
⊢ Set.univ.centralizer = Set.center A

Tactic:
Set.centralizer_univ

Goal state after:
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
⊢ Set.center A = Set.center A
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ Injective ((↑p).domRestrict ⇑f) ↔ Surjective (Set.MapsTo.restrict (⇑f) (↑p) (↑p) h)

Tactic:
change Injective (f.domRestrict p) ↔ Surjective (f.restrict h)

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
⊢ Injective ⇑(f.domRestrict p) ↔ Surjective ⇑(f.restrict h)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p f.ker
⊢ comap f p = p ⊔ f.ker

Tactic:
refine le_antisymm (fun x hx ↦ ?_) (sup_le_iff.mpr ⟨h, ker_le_comap _⟩)

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p f.ker
x : V
hx : x ∈ comap f p
⊢ x ∈ p ⊔ f.ker
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
⊢ p.comp X = p

Tactic:
simp only [comp, eval₂_def, C_mul_X_pow_eq_monomial]

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
⊢ (p.sum fun e a ↦ (monomial e) a) = p
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Defs

Goal state before:
pp: case monomial
R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
n : ℕ
b : R
⊢ (C a * (monomial n) b).comp r = C a * ((monomial n) b).comp r

Tactic:
simp [mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.Prime.Defs

Goal state before:
pp: n : ℕ
⊢ Prime n.minFac → n ≠ 1

Tactic:
rintro h rfl

Goal state after:
h : Prime (minFac 1)
⊢ False
Module: Mathlib.Data.Nat.Prime.Defs

Goal state before:
pp: case neg
n m✝ : ℕ
n1 : ¬n = 1
⊢ 2 ≤ m✝ → m✝ ∣ n → n.minFac ≤ m✝

Tactic:
apply (minFac_has_prop n1).2.2

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: case left
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx : ∃ y, (x, y) ∈ f.graph
⊢ ∃ y, (x, y) ∈ g.graph

Tactic:
obtain ⟨y, hx⟩ := hx

Goal state after:
case left
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
y : F
hx : (x, y) ∈ f.graph
⊢ ∃ y, (x, y) ∈ g.graph
Module: Mathlib.Algebra.CharP.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : CharZero R
⊢ max (ringChar R) 1 = 1

Tactic:
ringChar.eq_zero,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : CharZero R
⊢ max 0 1 = 1
Module: Mathlib.Algebra.CharP.Defs

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Nontrivial R
q : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R q
inst✝ : CharP R 0
⊢ q = 1

Tactic:
exact expChar_one_of_char_zero R q

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
hx : ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g y = x.2

Tactic:
obtain ⟨y, hx⟩ := hx

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2
⊢ ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g y = x.2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module S F
G : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module T G
inst✝ : Module R F
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
a : R
v : ↥(map (LinearMap.fst R E F) g)
hsmul : a • ↑v ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
⊢ valFromGraph hg ⋯ = (RingHom.id R) a • valFromGraph hg ⋯

Tactic:
have hav := valFromGraph_mem hg hsmul

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module S F
G : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module T G
inst✝ : Module R F
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
a : R
v : ↥(map (LinearMap.fst R E F) g)
hsmul : a • ↑v ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
hav : (a • ↑v, valFromGraph hg hsmul) ∈ g
⊢ valFromGraph hg ⋯ = (RingHom.id R) a • valFromGraph hg ⋯
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_4
M : Type u_7
N : Type u_8
F : Type u_10
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
r : R
⊢ mapDomain (⇑f) ((algebraMap R A[M]) r) = (algebraMap R A[N]) r

Tactic:
by
  simp only [coe_algebraMap, mapDomain_single, map_one, (· ∘ ·)]

Goal state after: