mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case e_a
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : emultiplicity J I ≤ ↑n
⊢ count J (normalizedFactors I) = multiplicity J I

Tactic:
← Nat.cast_inj (R := ℕ∞),

Goal state after:
case e_a
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : emultiplicity J I ≤ ↑n
⊢ ↑(count J (normalizedFactors I)) = ↑(multiplicity J I)
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
s : Finset N
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
hs' : (linearCombination R Subtype.val).ker.FG
H : Function.Surjective ⇑(linearCombination R Subtype.val)
f : N → M
hf : ∀ (b : N), l (f b) = b
a✝ : ↥s
⊢ ((l ∘ₗ linearCombination R fun i ↦ f ↑i) ∘ₗ lsingle a✝) 1 = (linearCombination R Subtype.val ∘ₗ lsingle a✝) 1

Tactic:
simp [hf]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
a : R
h : Squarefree a
I : Ideal R
hI : I * I ∣ span {a}
⊢ IsUnit I

Tactic:
· rw [← span_singleton_generator I, span_singleton_mul_span_singleton,
      span_singleton_dvd_span_singleton_iff_dvd] at hI
    exact isUnit_iff.mpr <| eq_top_of_isUnit_mem _ (Submodule.IsPrincipal.generator_mem I) (h _ hI)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
w_plus : Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α ≠ 0
w_minus : Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α ≠ 0
w_chi : Weight.toLinear K (↥H) L χ ≠ 0
m_pos m_neg : L
y : ↥H
hy : y ∈ corootSpace ⇑α
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, ↑y⁆
h_pos_containment : ⁅x_χ, m_pos⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑χ + ⇑α)
h_neg_containment : ⁅x_χ, m_neg⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑χ - ⇑α)
h_chi_not_in_q : Weight.toLinear K (↥H) L χ ∉ q
S : RootPairing (↥LieSubalgebra.root) K (Dual K ↥H) ↥H := rootSystem H
exists_root_index : ∀ (γ : Weight K (↥H) L), γ.IsNonZero → ∃ i, S.root i = Weight.toLinear K (↥H) L γ
h_plus_bot : genWeightSpace L ⇑(Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α) = ⊥
h_minus_bot : genWeightSpace L ⇑(Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α) = ⊥
i : ↥LieSubalgebra.root
hi : S.root i = Weight.toLinear K (↥H) L χ
j : ↥LieSubalgebra.root
hj : S.root j = Weight.toLinear K (↥H) L α
h_pairing_zero : S.pairing i j = 0
h_pos_zero : ⁅x_χ, m_pos⁆ = 0
h_neg_zero : ⁅x_χ, m_neg⁆ = 0
h_pairing_eq : 0 = ↑i (coroot ↑j)
w_eq : ∀ {w₁ w₂ : Weight K (↥H) L}, Weight.toLinear K (↥H) L w₁ = Weight.toLinear K (↥H) L w₂ → w₁ = w₂
⊢ Weight.toLinear K (↥H) L ↑i = Weight.toLinear K (↥H) L χ

Tactic:
by rw [← hi]; rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : NormalizationMonoid R
r : R
hr : r ≠ 0
a : R
ha : a ∈ {d | d ∈ normalizedFactors r}
b : R
hb : b ∈ {d | d ∈ normalizedFactors r}
h : Associated a b
⊢ ⟨a, ha⟩ = ⟨b, hb⟩

Tactic:
exact Subtype.mk_eq_mk.mpr (mem_normalizedFactors_eq_of_associated ha hb h)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf : Function.Bijective ⇑((IsLocalizedModule.map S f g) l)
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g) l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • ↑e.symm ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • s₀ • LinearMap.id
H₂ : f ∘ₗ l' ∘ₗ l = f ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₂ : ↥S
hs₂ : s₂ • l' ∘ₗ l = s₂ • s₀ • LinearMap.id
t : R
ht : ↑s₀ * ↑s₁ * ↑s₂ ∣ t
Rₛ : Type u_3 := Localization (Submonoid.powers t)
lₛ : LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
  LocalizedModule (Submonoid.powers t) N :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l
hu : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑⟨t, ⋯⟩)
⊢ ↑s₀ * ↑s₁ * ↑s₂ = ↑s₀ * (↑s₁ * ↑s₂)

Tactic:
simp [mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Derivation

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
f : σ → A
s : σ →₀ ℕ
i : σ
⊢ ((s + Finsupp.single i 1).sum fun i_1 k ↦ (monomial (s + Finsupp.single i 1 - Finsupp.single i_1 1)) ↑k • f i_1) =
    ((monomial s) 1 •
        (Finsupp.single i 1).sum fun i_1 k ↦ (monomial (Finsupp.single i 1 - Finsupp.single i_1 1)) ↑k • f i_1) +
      (monomial (Finsupp.single i 1)) 1 • s.sum fun i k ↦ (monomial (s - Finsupp.single i 1)) ↑k • f i

Tactic:
Finsupp.sum_add_index'

Goal state after:
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
f : σ → A
s : σ →₀ ℕ
i : σ
⊢ ((s.sum fun i_1 k ↦ (monomial (s + Finsupp.single i 1 - Finsupp.single i_1 1)) ↑k • f i_1) +
      (Finsupp.single i 1).sum fun i_1 k ↦ (monomial (s + Finsupp.single i 1 - Finsupp.single i_1 1)) ↑k • f i_1) =
    ((monomial s) 1 •
        (Finsupp.single i 1).sum fun i_1 k ↦ (monomial (Finsupp.single i 1 - Finsupp.single i_1 1)) ↑k • f i_1) +
      (monomial (Finsupp.single i 1)) 1 • s.sum fun i k ↦ (monomial (s - Finsupp.single i 1)) ↑k • f i

case h_zero
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
f : σ → A
s : σ →₀ ℕ
i : σ
⊢ ∀ (a : σ), (monomial (s + Finsupp.single i 1 - Finsupp.single a 1)) ↑0 • f a = 0

case h_add
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
f : σ → A
s : σ →₀ ℕ
i : σ
⊢ ∀ (a : σ) (b₁ b₂ : ℕ),
    (monomial (s + Finsupp.single i 1 - Finsupp.single a 1)) ↑(b₁ + b₂) • f a =
      (monomial (s + Finsupp.single i 1 - Finsupp.single a 1)) ↑b₁ • f a +
        (monomial (s + Finsupp.single i 1 - Finsupp.single a 1)) ↑b₂ • f a
Module: Mathlib.Algebra.Module.PID

Goal state before:
pp: case h.succ.refine_1
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module R M],
    IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → M), Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → M ⧸ R ∙ s j := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
⊢ IsTorsion' (M ⧸ R ∙ s j) ↥(Submonoid.powers p)

pp: case h.succ.refine_2
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module R M],
    IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → M), Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → M ⧸ R ∙ s j := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
⊢ Submodule.span R (Set.range s') = ⊤

Tactic:
· exact (mk_surjective _).forall.mpr fun x =>
        ⟨(@hM x).choose, by rw [← Quotient.mk_smul, (@hM x).choose_spec, Quotient.mk_zero]⟩

Goal state after:
case h.succ.refine_2
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module R M],
    IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → M), Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → M ⧸ R ∙ s j := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
⊢ Submodule.span R (Set.range s') = ⊤
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.PDeriv

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
σ : Type v
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
m n : σ →₀ ℕ
a : R
h : ¬n = m + single i 1
hn : n i = 0
⊢ (if n - single i 1 = m then a * ↑(n i) else 0) = 0

pp: case neg
R : Type u
σ : Type v
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
m n : σ →₀ ℕ
a : R
h : ¬n = m + single i 1
hn : ¬n i = 0
⊢ (if n - single i 1 = m then a * ↑(n i) else 0) = 0

Tactic:
· simp [hn]

Goal state after:
case neg
R : Type u
σ : Type v
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
m n : σ →₀ ℕ
a : R
h : ¬n = m + single i 1
hn : ¬n i = 0
⊢ (if n - single i 1 = m then a * ↑(n i) else 0) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra S T
Q : Presentation S T ι' σ'
P : Presentation R S ι σ
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsScalarTower R S T
⊢ Ideal.span (Set.range (Sum.elim (Q.compRelationAux P) fun rp ↦ (rename Sum.inr) (P.relation rp))) =
    Ideal.comap (Q.aux P) (RingHom.ker (aeval Q.val))

Tactic:
rw [← Q.ker_eq_ker_aeval_val, ← Q.span_range_relation_eq_ker, ← Q.aux_image_relation P,
    ← Ideal.map_span, Ideal.comap_map_of_surjective' _ (Q.aux_surjective P)]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra S T
Q : Presentation S T ι' σ'
P : Presentation R S ι σ
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsScalarTower R S T
⊢ Ideal.span (Set.range (Sum.elim (Q.compRelationAux P) fun rp ↦ (rename Sum.inr) (P.relation rp))) =
    Ideal.span (Set.range (Q.compRelationAux P)) ⊔ RingHom.ker (Q.aux P)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I J : LieIdeal K L
⊢ { toFun := LieIdeal.toInvtRootSubmodule, invFun := fun q ↦ invtSubmoduleToLieIdeal ↑q ⋯, left_inv := ⋯,
          right_inv := ⋯ }
        I ≤
      { toFun := LieIdeal.toInvtRootSubmodule, invFun := fun q ↦ invtSubmoduleToLieIdeal ↑q ⋯, left_inv := ⋯,
          right_inv := ⋯ }
        J ↔
    I ≤ J

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ ?_, LieIdeal.toInvtRootSubmodule_mono⟩
    rw [← lieIdealOrderIso_left_inv (H := H) I, ← lieIdealOrderIso_left_inv (H := H) J]
    exact invtSubmoduleToLieIdeal_mono _ _ h

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap R R)

Tactic:
algebraMap_self

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
⊢ Function.Surjective ⇑(RingHom.id R)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
r : σ
⊢ ((pres.toExtension.cotangentComplex ∘ₗ hom₁ pres) ∘ₗ Finsupp.lsingle r) 1 =
    ((↑pres.cotangentSpaceBasis.repr.symm ∘ₗ pres.differentialsRelations.map) ∘ₗ Finsupp.lsingle r) 1

Tactic:
have := (differentialsRelations pres).map_single

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
r : σ
this :
  ∀ (r : pres.differentialsRelations.R),
    pres.differentialsRelations.map (Finsupp.single r 1) = pres.differentialsRelations.relation r
⊢ ((pres.toExtension.cotangentComplex ∘ₗ hom₁ pres) ∘ₗ Finsupp.lsingle r) 1 =
    ((↑pres.cotangentSpaceBasis.repr.symm ∘ₗ pres.differentialsRelations.map) ∘ₗ Finsupp.lsingle r) 1
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Free

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝² : Ring A
relations : Relations A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
G : Type w₀
⊢ { G := G, R := PEmpty.{w₁ + 1}, relation := fun r ↦ PEmpty.casesOn (fun x ↦ G →₀ A) r }.solutionFinsupp.IsPresentation

Tactic:
by exact Relations.solutionFinsupp_isPresentation _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Vanishing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u_5
inst✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
hay : ∀ (i : ι), n i = ∑ j, a i j • y j
ham : ∀ (j : κ), ∑ i, a i j • m i = 0
e : Fin (Fintype.card κ) ≃ κ
⊢ ∀ (j : Fin (Fintype.card κ)), ∑ i, (fun x ↦ a x ∘ ⇑e) i j • m i = 0

Tactic:
← e.forall_congr_right

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u_5
inst✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
hay : ∀ (i : ι), n i = ∑ j, a i j • y j
e : Fin (Fintype.card κ) ≃ κ
ham : ∀ (a_1 : Fin (Fintype.card κ)), ∑ i, a i (e a_1) • m i = 0
⊢ ∀ (j : Fin (Fintype.card κ)), ∑ i, (fun x ↦ a x ∘ ⇑e) i j • m i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Vanishing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u_5
inst✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
hay : ∀ (i : ι), n i = ∑ j, a i j • y j
ham : ∀ (j : κ), ∑ i, a i j • m i = 0
e : Fin (Fintype.card κ) ≃ κ
⊢ ∀ (j : Fin (Fintype.card κ)), ∑ i, (fun x ↦ a x ∘ ⇑e) i j • m i = 0

Tactic:
rwa [← e.forall_congr_right] at ham

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ [Flat R M, ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)),
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x,
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x,
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0].TFAE

Tactic:
tfae_have 1 ↔ 2 := iff_rTensor_injective'

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
⊢ [Flat R M, ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)),
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x,
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x,
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0].TFAE
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.ChineseRemainder

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
ι : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
I : ι → Ideal R
hI : Pairwise (IsCoprime on I)
inst✝ : Finite ι
this :
  Surjective
    ⇑(↑(piLeft R M fun i ↦ R ⧸ I i).symm ∘ₗ
        (LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I i) M) 1) ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid R M))
⊢ Surjective ⇑(LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I i) M) 1)

Tactic:
simpa using this

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Vanishing

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : ∀ {l : ℕ} {m : Fin l → M} {n : Fin l → N}, ∑ i, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n
⊢ ∀ (M' : Submodule R M), M'.FG → Injective ⇑(rTensor N M'.subtype)

Tactic:
M'

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : ∀ {l : ℕ} {m : Fin l → M} {n : Fin l → N}, ∑ i, m i ⊗ₜ[R] n i = 0 → VanishesTrivially R m n
M' : Submodule R M
⊢ M'.FG → Injective ⇑(rTensor N M'.subtype)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
ι : Type w
ι' : Type u_1
P : Generators R S ι
S' : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : Algebra S' T
inst✝ : IsScalarTower R S' T
e : S ≃ₐ[R] S'
this✝⁴ : Algebra S S' := e.toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this✝³ : Algebra S' S := e.symm.toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this✝² : IsScalarTower R S S'
this✝¹ : IsScalarTower R S' S
this✝ : IsScalarTower S S' S
this : IsScalarTower S' S S'
x : H1Cotangent R S
⊢ (Extension.H1Cotangent.map ?g) x = x

pp: case g
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
ι : Type w
ι' : Type u_1
P : Generators R S ι
S' : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : Algebra S' T
inst✝ : IsScalarTower R S' T
e : S ≃ₐ[R] S'
this✝⁴ : Algebra S S' := ⋯
this✝³ : Algebra S' S := ⋯
this✝² : IsScalarTower R S S'
this✝¹ : IsScalarTower R S' S
this✝ : IsScalarTower S S' S
this : IsScalarTower S' S S'
x : H1Cotangent R S
⊢ (Generators.self R S).toExtension.Hom (Generators.self R S).toExtension

Tactic:
Extension.H1Cotangent.map_id,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
ι : Type w
ι' : Type u_1
P : Generators R S ι
S' : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : Algebra S' T
inst✝ : IsScalarTower R S' T
e : S ≃ₐ[R] S'
this✝⁴ : Algebra S S' := e.toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this✝³ : Algebra S' S := e.symm.toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this✝² : IsScalarTower R S S'
this✝¹ : IsScalarTower R S' S
this✝ : IsScalarTower S S' S
this : IsScalarTower S' S S'
x : H1Cotangent R S
⊢ LinearMap.id x = x
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
ι : Type w
ι' : Type u_1
P : Generators R S ι
S' : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : Algebra S' T
inst✝ : IsScalarTower R S' T
e : S ≃ₐ[R] S'
this✝⁴ : Algebra S S' := e.toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this✝³ : Algebra S' S := e.symm.toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this✝² : IsScalarTower R S S'
this✝¹ : IsScalarTower R S' S
this✝ : IsScalarTower S S' S
this : IsScalarTower S' S S'
x : H1Cotangent R S'
⊢ (Extension.H1Cotangent.map ?g) x = x

pp: case g
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
ι : Type w
ι' : Type u_1
P : Generators R S ι
S' : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : Algebra S' T
inst✝ : IsScalarTower R S' T
e : S ≃ₐ[R] S'
this✝⁴ : Algebra S S' := ⋯
this✝³ : Algebra S' S := ⋯
this✝² : IsScalarTower R S S'
this✝¹ : IsScalarTower R S' S
this✝ : IsScalarTower S S' S
this : IsScalarTower S' S S'
x : H1Cotangent R S'
⊢ (Generators.self R S').toExtension.Hom (Generators.self R S').toExtension

Tactic:
Extension.H1Cotangent.map_id,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
ι : Type w
ι' : Type u_1
P : Generators R S ι
S' : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : Algebra S' T
inst✝ : IsScalarTower R S' T
e : S ≃ₐ[R] S'
this✝⁴ : Algebra S S' := e.toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this✝³ : Algebra S' S := e.symm.toRingEquiv.toRingHom.toAlgebra
this✝² : IsScalarTower R S S'
this✝¹ : IsScalarTower R S' S
this✝ : IsScalarTower S S' S
this : IsScalarTower S' S S'
x : H1Cotangent R S'
⊢ LinearMap.id x = x
Module: Mathlib.Algebra.Module.SpanRankOperations

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
inst✝ : IsLocalRing R
fg : N.FG
this : Module.Finite R ↥N := Module.Finite.iff_fg.mpr fg
s : Set (𝓀 ⊗[R] ↥N)
hs₁ : Cardinal.mk ↑s = ⊤.spanRank
hs₃ : s.Finite
t : Set ↥N := Function.surjInv ⋯ '' s
hs₂ : Submodule.map ((mk R 𝓀 ↥N) 1) (span R t) = ⊤
ht₁ : ⇑((mk R 𝓀 ↥N) 1) '' t = s
⊢ span R t = ⊤

Tactic:
map_tensorProduct_mk_eq_top

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
inst✝ : IsLocalRing R
fg : N.FG
this : Module.Finite R ↥N := Module.Finite.iff_fg.mpr fg
s : Set (𝓀 ⊗[R] ↥N)
hs₁ : Cardinal.mk ↑s = ⊤.spanRank
hs₃ : s.Finite
t : Set ↥N := Function.surjInv ⋯ '' s
hs₂ : span R t = ⊤
ht₁ : ⇑((mk R 𝓀 ↥N) 1) '' t = s
⊢ span R t = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorPower.Pairing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
f : Fin n → Module.Dual R M
i j : Fin n
hf : f i = f j
hij : i ≠ j
v : Fin n → M
⊢ ∀ (k : Fin n), Matrix.of (fun i j ↦ (f j) (v i)) k i = Matrix.of (fun i j ↦ (f j) (v i)) k j

Tactic:
simp [hf]

Goal state after: