mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed

Goal state before:
pp: J : Type w
inst✝ : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
D : Diagram J κ
e : J
prop_id : D.W (𝟙 e)
h₁ : ∀ ⦃j : J⦄, D.P j → ∃ lift, D.W lift
h₂ : ∀ ⦃j : J⦄, D.P j → ∀ (l₁ l₂ : j ⟶ e), D.W l₁ → D.W l₂ → l₁ = l₂
h₃ : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), D.W f → ∃ li lj, D.W li ∧ D.W lj ∧ f ≫ lj = li
i✝ j✝ : J
x✝ : i✝ ⟶ j✝
hf : D.W x✝
li : i✝ ⟶ e
lj : j✝ ⟶ e
hli : D.W li
hlj : D.W lj
fac : x✝ ≫ lj = li
⊢ x✝ ≫ ⋯.choose = ⋯.choose

Tactic:
rw [h₂ (D.src hf) _ li (h₁ (D.src hf)).choose_spec hli,
      h₂ (D.tgt hf) _ lj (h₁ (D.tgt hf)).choose_spec hlj, fac]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.SharplyLT.Basic

Goal state before:
pp: κ₁ κ₂ : Cardinal.{w}
inst✝² : Fact κ₁.IsRegular
inst✝¹ : Fact κ₂.IsRegular
h : κ₁ ≤ κ₂
inst✝ : IsCardinalAccessibleCategory (CardinalDirectedPoset κ₁) κ₂
X : Type w
hX : HasCardinalLT X κ₂
J : Type w
w✝¹ : SmallCategory J
w✝ : IsCardinalFiltered J κ₂
p : (isCardinalPresentable (CardinalDirectedPoset κ₁) κ₂).ColimitOfShape J (setCardinalLT κ₁ X)
this : IsCardinalFiltered J κ₁
hp : ∀ (j : J), HasCardinalLT (↑(p.diag.obj j).obj) κ₂
j : X → J
y : (x : X) → ToType (p.diag.obj (j x))
hy : ∀ (x : X), (ConcreteCategory.hom (p.ι.app (j x))) (y x) = SetCardinalLT.singleton κ₁ x
j' : J := IsCardinalFiltered.max j hX
y' : X → ↑(p.diag.obj j').obj := fun x ↦ (ConcreteCategory.hom (p.diag.map (IsCardinalFiltered.toMax j hX x))) (y x)
⊢ ∃ Y, HasCardinalLT (↑Y) κ₂ ∧ IsCofinal Y

Tactic:
have hy' (x : X) : p.ι.app j' (y' x) = SetCardinalLT.singleton κ₁ x := by
    rw [← hy, ← p.w (IsCardinalFiltered.toMax j hX x)]
    rfl

Goal state after:
κ₁ κ₂ : Cardinal.{w}
inst✝² : Fact κ₁.IsRegular
inst✝¹ : Fact κ₂.IsRegular
h : κ₁ ≤ κ₂
inst✝ : IsCardinalAccessibleCategory (CardinalDirectedPoset κ₁) κ₂
X : Type w
hX : HasCardinalLT X κ₂
J : Type w
w✝¹ : SmallCategory J
w✝ : IsCardinalFiltered J κ₂
p : (isCardinalPresentable (CardinalDirectedPoset κ₁) κ₂).ColimitOfShape J (setCardinalLT κ₁ X)
this : IsCardinalFiltered J κ₁
hp : ∀ (j : J), HasCardinalLT (↑(p.diag.obj j).obj) κ₂
j : X → J
y : (x : X) → ToType (p.diag.obj (j x))
hy : ∀ (x : X), (ConcreteCategory.hom (p.ι.app (j x))) (y x) = SetCardinalLT.singleton κ₁ x
j' : J := IsCardinalFiltered.max j hX
y' : X → ↑(p.diag.obj j').obj := fun x ↦ (ConcreteCategory.hom (p.diag.map (IsCardinalFiltered.toMax j hX x))) (y x)
hy' : ∀ (x : X), (ConcreteCategory.hom (p.ι.app j')) (y' x) = SetCardinalLT.singleton κ₁ x
⊢ ∃ Y, HasCardinalLT (↑Y) κ₂ ∧ IsCofinal Y
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.OrthogonalReflection

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
W : MorphismProperty C
Z : C
inst✝⁶ : HasPushouts C
inst✝⁵ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₁
inst✝⁴ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₂
inst✝³ : ∀ (Z : C), HasMulticoequalizer (D₂.multispanIndex W Z)
κ : Cardinal.{w}
inst✝² : OrderBot κ.ord.ToType
inst✝¹ : HasIterationOfShape κ.ord.ToType C
inst✝ : Fact κ.IsRegular
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : W f
j : κ.ord.ToType
g : X ⟶ (iteration W Z κ).obj j
⊢ ∃ g', f ≫ g' = g ≫ (iteration W Z κ).map (homOfLE ⋯)

Tactic:
simp only [iteration_map_succ]
  obtain ⟨g', hg'⟩ := toSucc_surjectivity f hf g
  exact ⟨g' ≫ (iterationObjSuccIso W Z κ j).inv, by simp [reassoc_of% hg']⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.OrthogonalReflection

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
W : MorphismProperty C
Z : C
inst✝⁶ : HasPushouts C
inst✝⁵ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₁
inst✝⁴ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₂
inst✝³ : ∀ (Z : C), HasMulticoequalizer (D₂.multispanIndex W Z)
κ : Cardinal.{w}
inst✝² : OrderBot κ.ord.ToType
inst✝¹ : HasIterationOfShape κ.ord.ToType C
inst✝ : Fact κ.IsRegular
hW : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsCardinalPresentable X κ ∧ IsCardinalPresentable Y κ
H : W.isLocal.isLocal.TransfiniteCompositionOfShape κ.ord.ToType (reflection W Z κ) :=
  transfiniteCompositionOfShapeReflection W Z κ
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : W f
left✝ : IsCardinalPresentable X κ
right✝ : IsCardinalPresentable Y κ
j : κ.ord.ToType
g₁ g₂ : Y ⟶ H.F.obj j
h : f ≫ g₁ ≫ H.incl.app j = f ≫ g₂ ≫ H.incl.app j
k : κ.ord.ToType
u : j ⟶ k
hk : (f ≫ g₁) ≫ H.F.map u = (f ≫ g₂) ≫ H.F.map u
hg : g₁ ≫ H.F.map u ≫ (iteration W Z κ).map (homOfLE ⋯) = g₂ ≫ H.F.map u ≫ (iteration W Z κ).map (homOfLE ⋯)
⊢ g₁ ≫ H.incl.app j = g₂ ≫ H.incl.app j

Tactic:
have := H.incl.naturality (u ≫ homOfLE (Order.le_succ k))

Goal state after:
case refine_1
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
W : MorphismProperty C
Z : C
inst✝⁶ : HasPushouts C
inst✝⁵ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₁
inst✝⁴ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₂
inst✝³ : ∀ (Z : C), HasMulticoequalizer (D₂.multispanIndex W Z)
κ : Cardinal.{w}
inst✝² : OrderBot κ.ord.ToType
inst✝¹ : HasIterationOfShape κ.ord.ToType C
inst✝ : Fact κ.IsRegular
hW : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsCardinalPresentable X κ ∧ IsCardinalPresentable Y κ
H : W.isLocal.isLocal.TransfiniteCompositionOfShape κ.ord.ToType (reflection W Z κ) :=
  transfiniteCompositionOfShapeReflection W Z κ
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : W f
left✝ : IsCardinalPresentable X κ
right✝ : IsCardinalPresentable Y κ
j : κ.ord.ToType
g₁ g₂ : Y ⟶ H.F.obj j
h : f ≫ g₁ ≫ H.incl.app j = f ≫ g₂ ≫ H.incl.app j
k : κ.ord.ToType
u : j ⟶ k
hk : (f ≫ g₁) ≫ H.F.map u = (f ≫ g₂) ≫ H.F.map u
hg : g₁ ≫ H.F.map u ≫ (iteration W Z κ).map (homOfLE ⋯) = g₂ ≫ H.F.map u ≫ (iteration W Z κ).map (homOfLE ⋯)
this :
  H.F.map (u ≫ homOfLE ⋯) ≫ H.incl.app (Order.succ k) =
    H.incl.app j ≫ ((Functor.const κ.ord.ToType).obj (reflectionObj W Z κ)).map (u ≫ homOfLE ⋯)
⊢ g₁ ≫ H.incl.app j = g₂ ≫ H.incl.app j
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.OrthogonalReflection

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : HasPushouts C
inst✝⁵ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₁
inst✝⁴ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₂
inst✝³ : ∀ (Z : C), HasMulticoequalizer (D₂.multispanIndex W Z)
κ : Cardinal.{w}
inst✝² : OrderBot κ.ord.ToType
inst✝¹ : HasIterationOfShape κ.ord.ToType C
inst✝ : Fact κ.IsRegular
hW : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsCardinalPresentable X κ ∧ IsCardinalPresentable Y κ
⊢ W.isLocal.ι.IsRightAdjoint

Tactic:
rw [Functor.isRightAdjoint_iff_leftAdjointObjIsDefined_eq_top]

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : HasPushouts C
inst✝⁵ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₁
inst✝⁴ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₂
inst✝³ : ∀ (Z : C), HasMulticoequalizer (D₂.multispanIndex W Z)
κ : Cardinal.{w}
inst✝² : OrderBot κ.ord.ToType
inst✝¹ : HasIterationOfShape κ.ord.ToType C
inst✝ : Fact κ.IsRegular
hW : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsCardinalPresentable X κ ∧ IsCardinalPresentable Y κ
⊢ W.isLocal.ι.leftAdjointObjIsDefined = ⊤
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coherent.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preregular C
⊢ ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    ∀ S ∈ {S | ∃ X_1 f, (S = Presieve.ofArrows (fun x ↦ X_1) fun x ↦ f) ∧ EffectiveEpi f},
      ∃ T ∈ {S | ∃ X f, (S = Presieve.ofArrows (fun x ↦ X) fun x ↦ f) ∧ EffectiveEpi f}, T.FactorsThruAlong S f

Tactic:
intro X Y f S ⟨Z, π, hπ, h_epi⟩

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve X
Z : C
π : Z ⟶ X
hπ : S = Presieve.ofArrows (fun x ↦ Z) fun x ↦ π
h_epi : EffectiveEpi π
⊢ ∃ T ∈ {S | ∃ X f, (S = Presieve.ofArrows (fun x ↦ X) fun x ↦ f) ∧ EffectiveEpi f}, T.FactorsThruAlong S f
Module: Mathlib.CategoryTheory.RegularCategory.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Regular C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
A B : C
f : A ⟶ B
A' : Subobject A
B' : Subobject B
⊢ ((A' ⊓ (Subobject.pullback f).obj B').ofLE ((Subobject.pullback f).obj B') ⋯ ≫ pullbackπ f B') ≫ B'.arrow =
    ((A' ⊓ (Subobject.pullback f).obj B').ofLE A' ⋯ ≫ (imageFactorisation f A').F.e) ≫ ((«exists» f).obj A').arrow

Tactic:
simp [← imageFactorisation_F_m, (isPullback _ _).w]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coherent.SheafComparison

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Precoherent D
X : C
S : Sieve X
hS : Sieve.functorPushforward F S ∈ (coherentTopology D) (F.obj X)
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → D
π : (a : α) → Y a ⟶ F.obj X
H₁ : EffectiveEpiFamily Y π
H₂ : ∀ (a : α), (Sieve.functorPushforward F S).arrows (π a)
Z : α → C := fun a ↦ ⋯.some.p
g₀ : (a : α) → F.obj (Z a) ⟶ Y a := fun a ↦ F.effectiveEpiOver (Y a)
this : EffectiveEpiFamily (fun a ↦ F.obj (Z a)) fun a ↦ g₀ a ≫ π a
⊢ EffectiveEpiFamily (fun a ↦ F.obj (Z a)) fun a ↦ F.map (F.preimage (g₀ a ≫ π a))

Tactic:
simpa using this

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coherent.SheafComparison

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Preregular D
X : C
S : Sieve X
hS : Sieve.functorPushforward F S ∈ (regularTopology D) (F.obj X)
Y : D
π : Y ⟶ F.obj X
H₁ : EffectiveEpi π
H₂ : (Sieve.functorPushforward F S).arrows π
g₀ : F.effectiveEpiOverObj Y ⟶ Y := F.effectiveEpiOver Y
⊢ EffectiveEpi (F.map (F.preimage (g₀ ≫ π)))

Tactic:
simp only [map_preimage]

Goal state after:
case refine_2.refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Preregular D
X : C
S : Sieve X
hS : Sieve.functorPushforward F S ∈ (regularTopology D) (F.obj X)
Y : D
π : Y ⟶ F.obj X
H₁ : EffectiveEpi π
H₂ : (Sieve.functorPushforward F S).arrows π
g₀ : F.effectiveEpiOverObj Y ⟶ Y := F.effectiveEpiOver Y
⊢ EffectiveEpi (g₀ ≫ π)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.Homotopy

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
S : C
E : PreOneHypercover S
F : PreOneHypercover S
inst✝ : HasPullbacks C
f g : E.Hom F
i j : (i : E.I₀) × F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)
⊢ (cylinder f g).sieve₁' i j ≤
    Sieve.pullback
      (pullback.map ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j) (E.f i.fst) (E.f j.fst)
        (pullback.fst (pullback.lift (f.h₀ i.fst) (g.h₀ i.fst) ⋯) (F.toPullback i.snd))
        (pullback.fst (pullback.lift (f.h₀ j.fst) (g.h₀ j.fst) ⋯) (F.toPullback j.snd)) (𝟙 S) ⋯ ⋯)
      (E.sieve₁' i.fst j.fst)

Tactic:
rw [sieve₁', Sieve.ofArrows, Sieve.generate_le_iff]

Goal state after:
case refine_1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
S : C
E : PreOneHypercover S
F : PreOneHypercover S
inst✝ : HasPullbacks C
f g : E.Hom F
i j : (i : E.I₀) × F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)
⊢ (Presieve.ofArrows (cylinder f g).Y fun j_1 ↦ (cylinder f g).toPullback j_1) ≤
    (Sieve.pullback
        (pullback.map ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j) (E.f i.fst) (E.f j.fst)
          (pullback.fst (pullback.lift (f.h₀ i.fst) (g.h₀ i.fst) ⋯) (F.toPullback i.snd))
          (pullback.fst (pullback.lift (f.h₀ j.fst) (g.h₀ j.fst) ⋯) (F.toPullback j.snd)) (𝟙 S) ⋯ ⋯)
        (E.sieve₁' i.fst j.fst)).arrows
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentDataPrime

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
sq : (i j : ι) → ChosenPullback (f i) (f j)
sq₃ : (i₁ i₂ i₃ : ι) → ChosenPullback₃ (sq i₁ i₂) (sq i₂ i₃) (sq i₁ i₃)
D₁ D₂ : F.DescentData' sq sq₃
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S
i₁ i₂ : ι
f₁ : Y ⟶ X i₁
f₂ : Y ⟶ X i₂
hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q
p : Y ⟶ (sq i₁ i₂).pullback
left✝ : p ≫ (sq i₁ i₂).p₁ = f₁
right✝ : p ≫ (sq i₁ i₂).p₂ = f₂
⊢ (F.map f₁.op.toLoc).toFunctor.map (φ.hom i₁) ≫ pullHom (D₂.hom i₁ i₂) p f₁ f₂ ⋯ ⋯ =
    pullHom (pullHom' D₁.hom (sq i₁ i₂).p (sq i₁ i₂).p₁ (sq i₁ i₂).p₂ ⋯ ⋯) p f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫
      (F.map f₂.op.toLoc).toFunctor.map (φ.hom i₂)

Tactic:
pullHom'_p₁_p₂

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
sq : (i j : ι) → ChosenPullback (f i) (f j)
sq₃ : (i₁ i₂ i₃ : ι) → ChosenPullback₃ (sq i₁ i₂) (sq i₂ i₃) (sq i₁ i₃)
D₁ D₂ : F.DescentData' sq sq₃
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S
i₁ i₂ : ι
f₁ : Y ⟶ X i₁
f₂ : Y ⟶ X i₂
hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q
p : Y ⟶ (sq i₁ i₂).pullback
left✝ : p ≫ (sq i₁ i₂).p₁ = f₁
right✝ : p ≫ (sq i₁ i₂).p₂ = f₂
⊢ (F.map f₁.op.toLoc).toFunctor.map (φ.hom i₁) ≫ pullHom (D₂.hom i₁ i₂) p f₁ f₂ ⋯ ⋯ =
    pullHom (D₁.hom i₁ i₂) p f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫ (F.map f₂.op.toLoc).toFunctor.map (φ.hom i₂)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
q' : Y ⟶ S
f₁' : Y ⟶ X (α j₁)
f₂' : Y ⟶ X (α j₂)
hf₁ : autoParam (f₁ ≫ f' j₁ = q) pullFunctorObjHom_eq._auto_1
hf₂ : autoParam (f₂ ≫ f' j₂ = q) pullFunctorObjHom_eq._auto_3
hq' : autoParam (q ≫ p = q') pullFunctorObjHom_eq._auto_5
hf₁' : autoParam (f₁ ≫ p' j₁ = f₁') pullFunctorObjHom_eq._auto_7
hf₂' : autoParam (f₂ ≫ p' j₂ = f₂') pullFunctorObjHom_eq._auto_9
⊢ f₁ ≫ f' j₁ ≫ p = q ≫ p

Tactic:
reassoc_of% hf₁

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
q' : Y ⟶ S
f₁' : Y ⟶ X (α j₁)
f₂' : Y ⟶ X (α j₂)
hf₁ : autoParam (f₁ ≫ f' j₁ = q) pullFunctorObjHom_eq._auto_1
hf₂ : autoParam (f₂ ≫ f' j₂ = q) pullFunctorObjHom_eq._auto_3
hq' : autoParam (q ≫ p = q') pullFunctorObjHom_eq._auto_5
hf₁' : autoParam (f₁ ≫ p' j₁ = f₁') pullFunctorObjHom_eq._auto_7
hf₂' : autoParam (f₂ ≫ p' j₂ = f₂') pullFunctorObjHom_eq._auto_9
⊢ q ≫ p = q ≫ p
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y' Y : C
g : Y' ⟶ Y
q : Y ⟶ S'
q' : Y' ⟶ S'
hq : g ≫ q = q'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
gf₁ : Y' ⟶ X' j₁
gf₂ : Y' ⟶ X' j₂
hgf₁ : g ≫ f₁ = gf₁
hgf₂ : g ≫ f₂ = gf₂
⊢ f₁ ≫ f' j₁ ≫ p = q ≫ p

Tactic:
reassoc_of% hf₁

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y' Y : C
g : Y' ⟶ Y
q : Y ⟶ S'
q' : Y' ⟶ S'
hq : g ≫ q = q'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
gf₁ : Y' ⟶ X' j₁
gf₂ : Y' ⟶ X' j₂
hgf₁ : g ≫ f₁ = gf₁
hgf₂ : g ≫ f₂ = gf₂
⊢ q ≫ p = q ≫ p
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ f₁ ≫ f' j₁ ≫ p = q ≫ p

Tactic:
reassoc_of% hf₁

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ q ≫ p = q ≫ p
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
inst✝³ : HasPullbacks C
J : Precoverage C
inst✝² : J.HasIsos
inst✝¹ : J.IsStableUnderBaseChange
inst✝ : J.IsStableUnderComposition
hF : ∀ (S : C), ∀ R ∈ J.coverings S, F.IsStackFor R
this : F.IsPrestack J.toGrothendieck
S : C
R : Sieve S
hR : R ∈ (Precoverage.toPretopology C J).toGrothendieck S
⊢ F.IsStackFor R.arrows

Tactic:
obtain ⟨R', hR', h⟩ := hR

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
inst✝³ : HasPullbacks C
J : Precoverage C
inst✝² : J.HasIsos
inst✝¹ : J.IsStableUnderBaseChange
inst✝ : J.IsStableUnderComposition
hF : ∀ (S : C), ∀ R ∈ J.coverings S, F.IsStackFor R
this : F.IsPrestack J.toGrothendieck
S : C
R : Sieve S
R' : Presieve S
hR' : R' ∈ (Precoverage.toPretopology C J).coverings S
h : R' ≤ R.arrows
⊢ F.IsStackFor R.arrows
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Monoidal

Goal state before:
pp: case e_a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝² : MonoidalCategory A
inst✝¹ : MonoidalClosed A
M : A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝ : HasFunctorEnrichedHom A F G
X : C
f : (functorEnrichedHom A F G ⋙ coyoneda.obj (op M)).obj (op X)
j j' : (Over (unop (op X)))ᵒᵖ
φ : j ⟶ j'
⊢ enrichedHomπ A (Under.forget (op X) ⋙ F) (Under.forget (op X) ⋙ G) (Under.mk (unop j').hom.op) ≫
      eHomWhiskerRight A (F.map (Over.Hom.left φ.unop).op) (G.obj (op (unop j').left)) =
    enrichedHomπ A (Under.forget (op X) ⋙ F) (Under.forget (op X) ⋙ G) (Under.mk (unop j).hom.op) ≫
      eHomWhiskerLeft A (F.obj (op (unop j).left)) (G.map (Over.Hom.left φ.unop).op)

Tactic:
exact (enrichedHom_condition A (Under.forget (op X) ⋙ F) (Under.forget (op X) ⋙ G)
          (i := Under.mk j.unop.hom.op) (j := Under.mk j'.unop.hom.op)
            (Under.homMk φ.unop.left.op (Quiver.Hom.unop_inj (by simp)))).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Monoidal

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₃
inst✝⁷ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝⁶ : MonoidalCategory A
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
G : D ⥤ C
inst✝⁴ : G.IsCoverDense J
inst✝³ : G.Full
inst✝² : G.IsContinuous K J
inst✝¹ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
inst✝ : K.W.IsMonoidal
⊢ J.W.IsMonoidal

Tactic:
← J.W_inverseImage_whiskeringLeft K G

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₃
inst✝⁷ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝⁶ : MonoidalCategory A
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
G : D ⥤ C
inst✝⁴ : G.IsCoverDense J
inst✝³ : G.Full
inst✝² : G.IsContinuous K J
inst✝¹ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
inst✝ : K.W.IsMonoidal
⊢ (K.W.inverseImage ((Functor.whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op)).IsMonoidal
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ f₁ ≫ f' j₁ ≫ p = q ≫ p

Tactic:
reassoc_of% hf₁

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ q ≫ p = q ≫ p
Module: Mathlib.CategoryTheory.Subfunctor.Subobject

Goal state before:
pp: case mp
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
A B : Subfunctor F
h :
  { toFun := fun A ↦ Subobject.mk A.ι, invFun := fun X ↦ range X.arrow, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } A ≤
    { toFun := fun A ↦ Subobject.mk A.ι, invFun := fun X ↦ range X.arrow, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } B
this : range (Subobject.mk A.ι).arrow ≤ range (Subobject.mk B.ι).arrow
⊢ A ≤ B

Tactic:
simpa using this

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
S : C
R : Sieve S
⊢ (∀ (M N : ↑(F.obj { as := op S })),
      Presieve.IsSheafFor (F.presheafHom M N) ((Sieve.overEquiv (Over.mk (𝟙 S))).symm R).arrows) ↔
    ∀ ⦃S₀ : C⦄ (M N : ↑(F.obj { as := op S₀ })) (a : S ⟶ S₀),
      Presieve.IsSheafFor (F.presheafHom M N) ((Sieve.overEquiv (Over.mk a)).symm R).arrows

Tactic:
refine ⟨fun h S₀ M N a ↦ ?_, by tauto⟩

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
S : C
R : Sieve S
h :
  ∀ (M N : ↑(F.obj { as := op S })),
    Presieve.IsSheafFor (F.presheafHom M N) ((Sieve.overEquiv (Over.mk (𝟙 S))).symm R).arrows
S₀ : C
M N : ↑(F.obj { as := op S₀ })
a : S ⟶ S₀
⊢ Presieve.IsSheafFor (F.presheafHom M N) ((Sieve.overEquiv (Over.mk a)).symm R).arrows
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
S : C
R : Sieve S
S₀ : C
M N : ↑(F.obj { as := op S₀ })
a : S ⟶ S₀
h✝ :
  Presieve.IsSheafFor (F.presheafHom M N)
    (Sieve.pullback (Over.isoMk (Iso.refl ((Over.map a).obj (Over.mk (𝟙 S))).left) ⋯).inv
        (Sieve.functorPushforward (Over.map a) ((Sieve.overEquiv (Over.mk (𝟙 S))).symm R))).arrows
X : Over S₀
b : X ⟶ Over.mk a
Y : Over S
c : Y ⟶ Over.mk (𝟙 S)
d : X ⟶ (Over.map a).obj Y
h : ((Sieve.overEquiv (Over.mk (𝟙 S))).symm R).arrows c
fac : Over.Hom.left b ≫ 𝟙 S = Over.Hom.left d ≫ Over.Hom.left c
⊢ ((Sieve.overEquiv (Over.mk a)).symm R).arrows b

Tactic:
rw [Category.comp_id] at fac

Goal state after:
case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
S : C
R : Sieve S
S₀ : C
M N : ↑(F.obj { as := op S₀ })
a : S ⟶ S₀
h✝ :
  Presieve.IsSheafFor (F.presheafHom M N)
    (Sieve.pullback (Over.isoMk (Iso.refl ((Over.map a).obj (Over.mk (𝟙 S))).left) ⋯).inv
        (Sieve.functorPushforward (Over.map a) ((Sieve.overEquiv (Over.mk (𝟙 S))).symm R))).arrows
X : Over S₀
b : X ⟶ Over.mk a
Y : Over S
c : Y ⟶ Over.mk (𝟙 S)
d : X ⟶ (Over.map a).obj Y
h : ((Sieve.overEquiv (Over.mk (𝟙 S))).symm R).arrows c
fac : Over.Hom.left b = Over.Hom.left d ≫ Over.Hom.left c
⊢ ((Sieve.overEquiv (Over.mk a)).symm R).arrows b