mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan p)
h₂ : dist p ↑((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p)
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
⊢ ∃ r, ∀ (i : Fin (2 + 1)), dist p ↑((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan p) = r

Tactic:
refine ⟨dist p ((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p), ?_⟩

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan p)
h₂ : dist p ↑((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p)
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
⊢ ∀ (i : Fin (2 + 1)),
    dist p ↑((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan p)
h₂ : dist p ↑((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p)
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
⊢ ∃ signs, p = excenter t signs

Tactic:
have hr : ∃ r : ℝ, ∀ i, dist p ((t.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan p) = r := by
    refine ⟨dist p ((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p), ?_⟩
    intro i
    have h : i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃ := by clear! p t; decide +revert
    rcases h with rfl | rfl | rfl <;> grind

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan p)
h₂ : dist p ↑((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p)
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hr : ∃ r, ∀ (i : Fin (2 + 1)), dist p ↑((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan p) = r
⊢ ∃ signs, p = excenter t signs
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i : Fin (n + 1)
⊢ s.excenterWeights signs i ≠ 0

Tactic:
rw [excenterWeights]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i : Fin (n + 1)
⊢ ((∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹ • s.excenterWeightsUnnorm signs) i ≠ 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center < s.radius
hpc : p ≠ s.center
⊢ (Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p)).ncard = 2

Tactic:
by
  have hf := finrank_orthRadius hpc
  simp only [hf2.out, Nat.reduceEqDiff, finrank_eq_one_iff'] at hf
  obtain ⟨v, hv0, hv⟩ := hf
  replace hv0 : (v : V) ≠ 0 := by simpa using hv0
  rw [inter_orthRadius_eq_of_dist_le_radius hp.le hpc (by simpa using v.property) hv0,
    Submodule.norm_coe, neg_smul, Set.ncard_pair]
  rw [ne_eq, vadd_right_cancel_iff, ← add_eq_zero_iff_eq_neg, ← two_smul ℝ,
    smul_eq_zero_iff_right two_ne_zero, smul_eq_zero_iff_left hv0, div_eq_iff, zero_mul]
  · have hvp : 0 < √(s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2) := by
      rw [Real.sqrt_pos, sub_pos, sq_lt_sq, abs_of_nonneg dist_nonneg]
      exact lt_abs.2 (.inl hp)
    exact hvp.ne'
  · simpa using hv0

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x ≠ -y
⊢ ⟪x, y⟫ / (‖x‖ * ‖y‖) =
    ⟪x, x + y⟫ / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (⟪y, y + x⟫ / (‖y‖ * ‖y + x‖)) -
      √(⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫) / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (√(⟪y, y⟫ * ⟪x, x⟫ - ⟪y, x⟫ * ⟪y, x⟫) / (‖y‖ * ‖y + x‖))

Tactic:
mul_comm ⟪y, y⟫ ⟪x, x⟫,

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x ≠ -y
⊢ ⟪x, y⟫ / (‖x‖ * ‖y‖) =
    ⟪x, x + y⟫ / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (⟪y, y + x⟫ / (‖y‖ * ‖y + x‖)) -
      √(⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫) / (‖x‖ * ‖x + y‖) * (√(⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪y, x⟫ * ⟪y, x⟫) / (‖y‖ * ‖y + x‖))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
| ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ * ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ +
    ‖(∡ p₂ p₁ s.center).tan‖ * ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ * ‖(∡ p₂ p₁ s.center).tan‖ * ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖

Tactic:
mul_comm _ ‖Real.Angle.tan _‖,

Goal state after:
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
| ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ * ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ +
    ‖(∡ p₂ p₁ s.center).tan‖ * (‖(∡ p₂ p₁ s.center).tan‖ * ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖) * ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case intro.succ.succ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
m : ℕ
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = m + 1 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
hn : Fintype.card ι = m + 1 + 1
i : ι
ι2 : Type (max 0 u_3) := { x // x ≠ i }
⊢ ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius

Tactic:
have hc : Fintype.card ι2 = m + 1 := by
        rw [Fintype.card_of_subtype {x | x ≠ i}]
        · rw [Finset.filter_not, Finset.filter_eq' _ i, if_pos (Finset.mem_univ _),
            Finset.card_sdiff, Finset.card_univ, hn]
          simp
        · simp
      have : Nonempty ι2 := Fintype.card_pos_iff.1 (hc.symm ▸ Nat.zero_lt_succ _)
      have ha2 : AffineIndependent ℝ fun i2 : ι2 => p i2 := ha.subtype _
      replace hm := hm ha2 _ hc
      have hr : Set.range p = insert (p i) (Set.range fun i2 : ι2 => p i2) := by
        change _ = insert _ (Set.range fun i2 : { x | x ≠ i } => p i2)
        rw [← Set.image_eq_range, ← Set.image_univ, ← Set.image_insert_eq]
        congr with j
        simp [Classical.em]
      rw [hr, ← affineSpan_insert_affineSpan]
      refine existsUnique_dist_eq_of_insert (Set.range_nonempty _) (subset_affineSpan ℝ _) ?_ hm
      convert! ha.notMem_affineSpan_sdiff i Set.univ
      change (Set.range fun i2 : { x | x ≠ i } => p i2) = _
      rw [← Set.image_eq_range]
      congr 1 with j
      simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃)

Tactic:
convert! angle_sub_eq_angle_sub_rev_of_norm_eq h

Goal state after:
case e'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ p₃ -ᵥ p₂ = p₁ -ᵥ p₂ - (p₁ -ᵥ p₃)

case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ p₂ -ᵥ p₃ = p₁ -ᵥ p₃ - (p₁ -ᵥ p₂)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a c p x : P
hx : Sbtw ℝ a x c
⊢ ∠ a p x + ∠ x p c = ∠ a p c

Tactic:
by
  rcases eq_or_ne p a with rfl | hpa
  · simp [(hx.angle_eq_right x).symm.trans (angle_self_of_ne hx.ne_left)]
  rcases eq_or_ne p c with rfl | hpc
  · simp [(hx.symm.angle_eq_right a).trans (angle_self_of_ne hx.left_ne_right)]
  exact angle_add_of_ne_of_ne hpa hpc hx.wbtw

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Similarity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
P₃ : Type u_5
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
v₃ : ι → P₃
inst✝² : PseudoEMetricSpace P₁
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace P₂
inst✝ : PseudoEMetricSpace P₃
h₁ : v₁ ∼ v₂
h₂ : v₂ ∼ v₃
⊢ v₁ ∼ v₃

Tactic:
by
  rcases h₁ with ⟨r₁, hr₁, h₁⟩; rcases h₂ with ⟨r₂, hr₂, h₂⟩
  refine ⟨r₁ * r₂, mul_ne_zero hr₁ hr₂, fun _ _ => ?_⟩
  rw [ENNReal.coe_mul, mul_assoc, h₁, h₂]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.NinePointCircle

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
hn : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
hn1 : ¬n = 1
hltn : 1 < n
hnsub1 : ↑(n - 1) = ↑n - 1
⊢ ⅟2 • (s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.circumcenter) +
      ⅟2 •
        ((↑n)⁻¹ • (s.points i -ᵥ s.circumcenter) -
          -((↑n - 1) / ↑n * (↑(n + 1) / ↑(n - 1))) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter)) =
    ((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter)

Tactic:
hnsub1,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
hn : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
hn1 : ¬n = 1
hltn : 1 < n
hnsub1 : ↑(n - 1) = ↑n - 1
⊢ ⅟2 • (s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.circumcenter) +
      ⅟2 •
        ((↑n)⁻¹ • (s.points i -ᵥ s.circumcenter) -
          -((↑n - 1) / ↑n * (↑(n + 1) / (↑n - 1))) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter)) =
    ((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₃ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
r : ℝ
hr : x = r • y
⊢ ⟪z, y⟫ = 0

Tactic:
inner_eq_zero_iff_angle_eq_pi_div_two,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₃ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
r : ℝ
hr : x = r • y
⊢ angle z y = π / 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ ∑ x, (mongePointWeightsWithCircumcenter n x - centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂}ᶜ x) = 0

Tactic:
sum_sub_distrib,

Goal state after:
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ ∑ x, mongePointWeightsWithCircumcenter n x - ∑ x, centroidWeightsWithCircumcenter {i₁, i₂}ᶜ x = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : (p -ᵥ a) +ᵥ a ∈ line[ℝ, a, b]
m : P := midpoint ℝ a b
hq : ‖m -ᵥ q - (m -ᵥ a)‖ = ‖m -ᵥ q + (m -ᵥ a)‖
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h1' : m -ᵥ a - (m -ᵥ p) = p -ᵥ a
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)
⊢ ∃ k, m -ᵥ p = k • (m -ᵥ a)

Tactic:
vadd_left_mem_affineSpan_pair

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ r, r • (b -ᵥ a) = p -ᵥ a
m : P := midpoint ℝ a b
hq : ‖m -ᵥ q - (m -ᵥ a)‖ = ‖m -ᵥ q + (m -ᵥ a)‖
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h1' : m -ᵥ a - (m -ᵥ p) = p -ᵥ a
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)
⊢ ∃ k, m -ᵥ p = k • (m -ᵥ a)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : v = 0
⊢ dist ((-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ dist ((-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center

Tactic:
· simp [hv]

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ dist ((-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hp : s.secondInter p v = p
hv : v = 0
⊢ ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ = 0

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hp : s.secondInter p v = p
hv : ¬v = 0
⊢ ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ = 0

Tactic:
· simp [hv]

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hp : s.secondInter p v = p
hv : ¬v = 0
⊢ ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
r : ℝ
h : r • v +ᵥ p ∈ s
hv : v = 0
⊢ r • v +ᵥ p = p ∨ r • v +ᵥ p = s.secondInter p v

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
r : ℝ
h : r • v +ᵥ p ∈ s
hv : ¬v = 0
⊢ r • v +ᵥ p = p ∨ r • v +ᵥ p = s.secondInter p v

Tactic:
· simp [hv]

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
r : ℝ
h : r • v +ᵥ p ∈ s
hv : ¬v = 0
⊢ r • v +ᵥ p = p ∨ r • v +ᵥ p = s.secondInter p v
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: case convert_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
hp : p ∈ s
p' : P
hp' : p' ∈ line[ℝ, p, q]
⊢ p' ∈ AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ (q -ᵥ p))

Tactic:
convert! hp'

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
hp : p ∈ s
p' : P
hp' : p' ∈ line[ℝ, p, q]
⊢ AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ (q -ᵥ p)) = line[ℝ, p, q]
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : v = 0
⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p

Tactic:
· simp [hv]

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity

Goal state before:
pp: V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
r : ℝ
hr_pos : 0 < r
hdist :
  ∀ (i₁ i₂ : Fin (Nat.succ 0).succ.succ),
    dist (![a, b, c] i₁) (![a, b, c] i₂) = r * dist (![a', b', c'] i₁) (![a', b', c'] i₂)
h_ab : dist a b = r * dist a' b'
h_cb : dist c b = r * dist c' b'
⊢ ∠ a b c = ∠ a' b' c'

Tactic:
have h_ac : dist a c = r * dist a' c' := hdist 0 2

Goal state after:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
r : ℝ
hr_pos : 0 < r
hdist :
  ∀ (i₁ i₂ : Fin (Nat.succ 0).succ.succ),
    dist (![a, b, c] i₁) (![a, b, c] i₂) = r * dist (![a', b', c'] i₁) (![a', b', c'] i₂)
h_ab : dist a b = r * dist a' b'
h_cb : dist c b = r * dist c' b'
h_ac : dist a c = r * dist a' c'
⊢ ∠ a b c = ∠ a' b' c'
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalDiffeomorph

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F'
H₁ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₃
I : ModelWithCorners 𝕜 E H₁
J : ModelWithCorners 𝕜 F H₂
K : ModelWithCorners 𝕜 F' H₃
M : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ M
N : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H₂ N
P : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ChartedSpace H₃ P
n : WithTop ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
hf' : Function.Bijective f
g : N → M
hgInverse : Function.LeftInverse g f ∧ Function.RightInverse g f
⊢ M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N

Tactic:
choose Φ hyp using (fun x ↦ hf x)

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F'
H₁ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₃
I : ModelWithCorners 𝕜 E H₁
J : ModelWithCorners 𝕜 F H₂
K : ModelWithCorners 𝕜 F' H₃
M : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ M
N : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H₂ N
P : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ChartedSpace H₃ P
n : WithTop ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
hf' : Function.Bijective f
g : N → M
hgInverse : Function.LeftInverse g f ∧ Function.RightInverse g f
Φ : M → PartialDiffeomorph I J M N n
hyp : ∀ (x : M), x ∈ (Φ x).source ∧ EqOn f (↑(Φ x).toPartialEquiv) (Φ x).source
⊢ M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Complex

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDiffAt f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
this : e.target ∈ 𝓝 (↑e c)
y : E
hyt : y ∈ e.target
hy₂ : MDiffAt f (↑e.symm y)
hys : ↑e.symm y ∈ (chartAt H c).source
⊢ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y

Tactic:
have hfy : f (e.symm y) ∈ (chartAt F (0 : F)).source := mem_univ _

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDiffAt f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
this : e.target ∈ 𝓝 (↑e c)
y : E
hyt : y ∈ e.target
hy₂ : MDiffAt f (↑e.symm y)
hys : ↑e.symm y ∈ (chartAt H c).source
hfy : f (↑e.symm y) ∈ (chartAt F 0).source
⊢ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Complex

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
U : Set M
a b : M
hpc : IsPreconnected U
hc : IsCompact U
ho : IsOpen[inst✝²] U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
f : M → F
hd : MDiff[U] f
hb₀ : f b = 0
⊢ f a = f b

Tactic:
rcases hc.exists_isMaxOn ⟨a, ha⟩ hd.continuousOn.norm with ⟨c, hcU, hc⟩

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
U : Set M
a b : M
hpc : IsPreconnected U
hc✝ : IsCompact U
ho : IsOpen[inst✝²] U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
f : M → F
hd : MDiff[U] f
hb₀ : f b = 0
c : M
hcU : c ∈ U
hc : IsMaxOn (fun x ↦ ‖f x‖) U c
⊢ f a = f b