Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IteratedFDeriv

Goal state before:
pp: case h'
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
v : Fin n → E
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f (s ∩ Metric.eball x r) x
⊢ AnalyticOn 𝕜 f (s ∩ Metric.eball x r)

pp: case hs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
v : Fin n → E
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f (s ∩ Metric.eball x r) x
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ Metric.eball x r)

pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
v : Fin n → E
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f (s ∩ Metric.eball x r) x
⊢ x ∈ s ∩ Metric.eball x r

pp: case h's
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
v : Fin n → E
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f (s ∩ Metric.eball x r) x
⊢ s ∩ Metric.eball x r ⊆ Metric.eball x r

Tactic:
· apply h.analyticOn.mono
    rw [insert_eq_of_mem hx]

Goal state after:
case hs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
v : Fin n → E
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f (s ∩ Metric.eball x r) x
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ Metric.eball x r)

case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
v : Fin n → E
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f (s ∩ Metric.eball x r) x
⊢ x ∈ s ∩ Metric.eball x r

case h's
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
v : Fin n → E
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 n f (s ∩ Metric.eball x r) x
⊢ s ∩ Metric.eball x r ⊆ Metric.eball x r