Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Constructions.LimitsOfProductsAndEqualizers

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ (Cofan.mk (G.obj Q) fun j ↦ G.map (Sigma.ι (fun j ↦ K.obj j.fst.1) j)).pt ⟶
    (Cofan.mk (G.obj (∐ K.obj)) fun f ↦ G.map (Sigma.ι K.obj f)).pt

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ (Cofan.mk (G.obj Q) fun j ↦ G.map (Sigma.ι (fun j ↦ K.obj j.fst.1) j)).pt ⟶
    (Cofan.mk (G.obj (∐ K.obj)) fun f ↦ G.map (Sigma.ι K.obj f)).pt

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)),
    (Cofan.mk (G.obj Q) fun j ↦ G.map (Sigma.ι (fun j ↦ K.obj j.fst.1) j)).ι.app { as := f } ≫ ?m.220 =
      (K ⋙ G).map f.snd ≫ (Cofan.mk (G.obj (∐ K.obj)) fun f ↦ G.map (Sigma.ι K.obj f)).ι.app { as := f.fst.2 }

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)),
    (Cofan.mk (G.obj Q) fun j ↦ G.map (Sigma.ι (fun j ↦ K.obj j.fst.1) j)).ι.app { as := f } ≫ ?m.221 =
      (Cofan.mk (G.obj (∐ K.obj)) fun f ↦ G.map (Sigma.ι K.obj f)).ι.app { as := f.fst.1 }

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ Cofork ?m.220 ?m.221

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ IsColimit (Cofan.mk (G.obj Q) fun j ↦ G.map (Sigma.ι (fun j ↦ K.obj j.fst.1) j))

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ IsColimit (Cofan.mk (G.obj (∐ K.obj)) fun f ↦ G.map (Sigma.ι K.obj f))

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ IsColimit ?m.224

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ buildColimit ?m.220 ?m.221 ?m.222 ?m.223 ?m.224 ≅
    G.mapCocone (buildColimit s t ⋯ ⋯ (colimit.cocone (parallelPair s t)))

Tactic:
· apply G.map s

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ (Cofan.mk (G.obj Q) fun j ↦ G.map (Sigma.ι (fun j ↦ K.obj j.fst.1) j)).pt ⟶
    (Cofan.mk (G.obj (∐ K.obj)) fun f ↦ G.map (Sigma.ι K.obj f)).pt

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)),
    (Cofan.mk (G.obj Q) fun j ↦ G.map (Sigma.ι (fun j ↦ K.obj j.fst.1) j)).ι.app { as := f } ≫ G.map s =
      (K ⋙ G).map f.snd ≫ (Cofan.mk (G.obj (∐ K.obj)) fun f ↦ G.map (Sigma.ι K.obj f)).ι.app { as := f.fst.2 }

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)),
    (Cofan.mk (G.obj Q) fun j ↦ G.map (Sigma.ι (fun j ↦ K.obj j.fst.1) j)).ι.app { as := f } ≫ ?m.221 =
      (Cofan.mk (G.obj (∐ K.obj)) fun f ↦ G.map (Sigma.ι K.obj f)).ι.app { as := f.fst.1 }

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ Cofork (G.map s) ?m.221

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ IsColimit (Cofan.mk (G.obj Q) fun j ↦ G.map (Sigma.ι (fun j ↦ K.obj j.fst.1) j))

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ IsColimit (Cofan.mk (G.obj (∐ K.obj)) fun f ↦ G.map (Sigma.ι K.obj f))

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ IsColimit ?m.224

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasCoequalizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesColimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesColimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : Q ⟶ P := ⋯
t : Q ⟶ P := ⋯
I : C := ⋯
i : P ⟶ I := ⋯
⊢ buildColimit (G.map s) ?m.221 ?m.222 ?m.223 ?m.224 ≅
    G.mapCocone (buildColimit s t ⋯ ⋯ (colimit.cocone (parallelPair s t)))