Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : AddCommGroup M
inst✝²⁰ : Module R M
inst✝¹⁹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁸ : Module R N
S : Type u_5
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra S R
P✝ : RootPairing ι R M N
inst✝¹⁵ : P✝.IsValuedIn S
b✝ : P✝.Base
inst✝¹⁴ : P✝.IsCrystallographic
inst✝¹³ : CharZero R
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : Module R M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsRootSystem
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝³ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
inst✝² : Finite ι₂
inst✝¹ : P₂.IsRootSystem
inst✝ : P₂.IsReduced
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
f : M ≃ₗ[R] M₂ := b.toWeightBasis.equiv b₂.toWeightBasis e
m : M
h : f m ∈ range ⇑P₂.root
⊢ m ∈ range ⇑P.root

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : AddCommGroup M
inst✝²⁰ : Module R M
inst✝¹⁹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁸ : Module R N
S : Type u_5
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra S R
P✝ : RootPairing ι R M N
inst✝¹⁵ : P✝.IsValuedIn S
b✝ : P✝.Base
inst✝¹⁴ : P✝.IsCrystallographic
inst✝¹³ : CharZero R
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : Module R M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsRootSystem
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝³ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
inst✝² : Finite ι₂
inst✝¹ : P₂.IsRootSystem
inst✝ : P₂.IsReduced
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
f : M ≃ₗ[R] M₂ := b.toWeightBasis.equiv b₂.toWeightBasis e
m : M
h : m ∈ range ⇑P.root
⊢ f m ∈ range ⇑P₂.root

Tactic:
· simpa using apply_mem_range_root_of_cartanMatrixEq _ b e.symm f.symm
        (by simp [f, Module.Basis.equiv]) (f m) h (by simp [(he _ _).symm])

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : AddCommGroup M
inst✝²⁰ : Module R M
inst✝¹⁹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁸ : Module R N
S : Type u_5
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra S R
P✝ : RootPairing ι R M N
inst✝¹⁵ : P✝.IsValuedIn S
b✝ : P✝.Base
inst✝¹⁴ : P✝.IsCrystallographic
inst✝¹³ : CharZero R
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : Module R M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsRootSystem
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝³ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
inst✝² : Finite ι₂
inst✝¹ : P₂.IsRootSystem
inst✝ : P₂.IsReduced
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
f : M ≃ₗ[R] M₂ := b.toWeightBasis.equiv b₂.toWeightBasis e
m : M
h : m ∈ range ⇑P.root
⊢ f m ∈ range ⇑P₂.root