Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.Lemmas

Goal state before:
pp: β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
β' : Type u_5
ε : Type u_6
mβ' : MeasurableSpace β'
mε : MeasurableSpace ε
κ : Kernel γ β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel ε β'
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
ξ : Kernel (β × ε) δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
f : γ → ε
hf : Measurable f
ω : γ
s : Set (δ × β')
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β), ((ξ ×ₖ prodMkLeft β η) (b, f ω)) s ∂κ ω =
    ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : δ), ((η ∘ₖ deterministic f hf) ω) (Prod.mk c ⁻¹' s) ∂ξ (b, f ω) ∂κ ω

pp: case hg
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
β' : Type u_5
ε : Type u_6
mβ' : MeasurableSpace β'
mε : MeasurableSpace ε
κ : Kernel γ β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel ε β'
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
ξ : Kernel (β × ε) δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
f : γ → ε
hf : Measurable f
ω : γ
s : Set (δ × β')
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b ↦ ∫⁻ (c : δ), ((η ∘ₖ deterministic f hf) ω) (Prod.mk c ⁻¹' s) ∂ξ b

pp: case hg
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
β' : Type u_5
ε : Type u_6
mβ' : MeasurableSpace β'
mε : MeasurableSpace ε
κ : Kernel γ β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel ε β'
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
ξ : Kernel (β × ε) δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
f : γ → ε
hf : Measurable f
ω : γ
s : Set (δ × β')
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b ↦ ((η ∘ₖ deterministic f hf) ω) (Prod.mk b ⁻¹' s)

pp: case hg
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
β' : Type u_5
ε : Type u_6
mβ' : MeasurableSpace β'
mε : MeasurableSpace ε
κ : Kernel γ β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel ε β'
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
ξ : Kernel (β × ε) δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
f : γ → ε
hf : Measurable f
ω : γ
s : Set (δ × β')
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b ↦ ((ξ ×ₖ prodMkLeft β η) b) s

Tactic:
· congr with b
    rw [prod_apply' _ _ _ hs, prodMkLeft_apply, comp_deterministic_eq_comap, comap_apply]

Goal state after:
case hg
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
β' : Type u_5
ε : Type u_6
mβ' : MeasurableSpace β'
mε : MeasurableSpace ε
κ : Kernel γ β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel ε β'
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
ξ : Kernel (β × ε) δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
f : γ → ε
hf : Measurable f
ω : γ
s : Set (δ × β')
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b ↦ ∫⁻ (c : δ), ((η ∘ₖ deterministic f hf) ω) (Prod.mk c ⁻¹' s) ∂ξ b

case hg
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
β' : Type u_5
ε : Type u_6
mβ' : MeasurableSpace β'
mε : MeasurableSpace ε
κ : Kernel γ β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel ε β'
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
ξ : Kernel (β × ε) δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
f : γ → ε
hf : Measurable f
ω : γ
s : Set (δ × β')
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b ↦ ((η ∘ₖ deterministic f hf) ω) (Prod.mk b ⁻¹' s)

case hg
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
β' : Type u_5
ε : Type u_6
mβ' : MeasurableSpace β'
mε : MeasurableSpace ε
κ : Kernel γ β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel ε β'
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
ξ : Kernel (β × ε) δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
f : γ → ε
hf : Measurable f
ω : γ
s : Set (δ × β')
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b ↦ ((ξ ×ₖ prodMkLeft β η) b) s