Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: case hadd
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
⊢ ∀ (f g_1 : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)) (x : E), (B ((f + g_1) x)) (g x) = (B (f x)) (g x) + (B (g_1 x)) (g x)

pp: case hsmul
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
⊢ ∀ (c : 𝕜) (f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)) (x : E), (B ((c • f) x)) (g x) = c • (B (f x)) (g x)

pp: case hsmooth
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
φ : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
⊢ ContDiff ℝ ↑n fun x ↦ (B (φ x)) (g x)

pp: case hsupp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
φ : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
x : E
hx : x ∈ (↑K)ᶜ
⊢ (fun x ↦ (B (φ x)) (g x)) x = 0 x

pp: case hbound
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k✝ : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
k : ℕ
hk : ↑k ≤ n
⊢ ∃ s C,
    0 ≤ C ∧
      ∀ (f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)),
        ∀ x ∈ K,
          ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) x‖ ≤
            C * (s.sup fun j ↦ ContDiffMapSupportedIn.seminorm 𝕜 E F₁ n K j) f

Tactic:
case hadd | hsmul => intros; simp

Goal state after:
case hsmooth
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
φ : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
⊢ ContDiff ℝ ↑n fun x ↦ (B (φ x)) (g x)

case hsupp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
φ : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
x : E
hx : x ∈ (↑K)ᶜ
⊢ (fun x ↦ (B (φ x)) (g x)) x = 0 x

case hbound
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k✝ : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝³ : NormedSpace ℝ F₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F₃
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝ : NormedSpace ℝ F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
g : E → F₂
hg : ContDiff ℝ (↑n) g
k : ℕ
hk : ↑k ≤ n
⊢ ∃ s C,
    0 ≤ C ∧
      ∀ (f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)),
        ∀ x ∈ K,
          ‖iteratedFDeriv ℝ k (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) x‖ ≤
            C * (s.sup fun j ↦ ContDiffMapSupportedIn.seminorm 𝕜 E F₁ n K j) f