Module: Mathlib.Algebra.Category.Ring.FinitePresentation

Goal state before:
pp: case refine_1
J : Type uJ
inst✝² : Category.{vJ, uJ} J
inst✝¹ : IsFiltered J
R : CommRingCat
F : J ⥤ CommRingCat
α : (Functor.const J).obj R ⟶ F
S : CommRingCat
c : Cocone F
hc : IsColimit c
inst✝ : PreservesColimit F (forget CommRingCat)
g : S ⟶ c.pt
hc' : IsColimit ((forget CommRingCat).mapCocone c)
n : ℕ
P : CommRingCat := ⋯
iP : R ⟶ P := ⋯
π : P ⟶ S
hg : ∀ (i : J), (iP ≫ π) ≫ g = α.app i ≫ c.ι.app i
this : Algebra ↑R ↑S := ⋯
hn : ∃ f, Function.Surjective ⇑f ∧ (ker f.toRingHom).FG
hπ : Function.Surjective ⇑(ConcreteCategory.hom π)
s : Finset ↑P
hs : Ideal.span ↑s = ker (CommRingCat.Hom.hom π)
j : Fin n → J
x : (i : Fin n) → (fun X ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj (j i))
h :
  ∀ (i : Fin n),
    (ConcreteCategory.hom (((forget CommRingCat).mapCocone c).ι.app (j i))) (x i) =
      (ConcreteCategory.hom (π ≫ g)) (MvPolynomial.X i)
i : J
hi : (a : Fin n) → j a ⟶ i
⊢ CommRingCat.Hom.hom (π ≫ g) =
    CommRingCat.Hom.hom
      (CommRingCat.ofHom
          (MvPolynomial.eval₂Hom (CommRingCat.Hom.hom (α.app i)) fun x_1 ↦
            (ConcreteCategory.hom (F.map (hi x_1))) (x x_1)) ≫
        c.ι.app i)

Tactic:
apply MvPolynomial.ringHom_ext

Goal state after:
case refine_1.hC
J : Type uJ
inst✝² : Category.{vJ, uJ} J
inst✝¹ : IsFiltered J
R : CommRingCat
F : J ⥤ CommRingCat
α : (Functor.const J).obj R ⟶ F
S : CommRingCat
c : Cocone F
hc : IsColimit c
inst✝ : PreservesColimit F (forget CommRingCat)
g : S ⟶ c.pt
hc' : IsColimit ((forget CommRingCat).mapCocone c)
n : ℕ
P : CommRingCat := ⋯
iP : R ⟶ P := ⋯
π : P ⟶ S
hg : ∀ (i : J), (iP ≫ π) ≫ g = α.app i ≫ c.ι.app i
this : Algebra ↑R ↑S := ⋯
hn : ∃ f, Function.Surjective ⇑f ∧ (ker f.toRingHom).FG
hπ : Function.Surjective ⇑(ConcreteCategory.hom π)
s : Finset ↑P
hs : Ideal.span ↑s = ker (CommRingCat.Hom.hom π)
j : Fin n → J
x : (i : Fin n) → (fun X ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj (j i))
h :
  ∀ (i : Fin n),
    (ConcreteCategory.hom (((forget CommRingCat).mapCocone c).ι.app (j i))) (x i) =
      (ConcreteCategory.hom (π ≫ g)) (MvPolynomial.X i)
i : J
hi : (a : Fin n) → j a ⟶ i
⊢ ∀ (r : ↑R),
    (CommRingCat.Hom.hom (π ≫ g)) (MvPolynomial.C r) =
      (CommRingCat.Hom.hom
          (CommRingCat.ofHom
              (MvPolynomial.eval₂Hom (CommRingCat.Hom.hom (α.app i)) fun x_1 ↦
                (ConcreteCategory.hom (F.map (hi x_1))) (x x_1)) ≫
            c.ι.app i))
        (MvPolynomial.C r)

case refine_1.hX
J : Type uJ
inst✝² : Category.{vJ, uJ} J
inst✝¹ : IsFiltered J
R : CommRingCat
F : J ⥤ CommRingCat
α : (Functor.const J).obj R ⟶ F
S : CommRingCat
c : Cocone F
hc : IsColimit c
inst✝ : PreservesColimit F (forget CommRingCat)
g : S ⟶ c.pt
hc' : IsColimit ((forget CommRingCat).mapCocone c)
n : ℕ
P : CommRingCat := ⋯
iP : R ⟶ P := ⋯
π : P ⟶ S
hg : ∀ (i : J), (iP ≫ π) ≫ g = α.app i ≫ c.ι.app i
this : Algebra ↑R ↑S := ⋯
hn : ∃ f, Function.Surjective ⇑f ∧ (ker f.toRingHom).FG
hπ : Function.Surjective ⇑(ConcreteCategory.hom π)
s : Finset ↑P
hs : Ideal.span ↑s = ker (CommRingCat.Hom.hom π)
j : Fin n → J
x : (i : Fin n) → (fun X ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj (j i))
h :
  ∀ (i : Fin n),
    (ConcreteCategory.hom (((forget CommRingCat).mapCocone c).ι.app (j i))) (x i) =
      (ConcreteCategory.hom (π ≫ g)) (MvPolynomial.X i)
i : J
hi : (a : Fin n) → j a ⟶ i
⊢ ∀ (i_1 : Fin n),
    (CommRingCat.Hom.hom (π ≫ g)) (MvPolynomial.X i_1) =
      (CommRingCat.Hom.hom
          (CommRingCat.ofHom
              (MvPolynomial.eval₂Hom (CommRingCat.Hom.hom (α.app i)) fun x_1 ↦
                (ConcreteCategory.hom (F.map (hi x_1))) (x x_1)) ≫
            c.ι.app i))
        (MvPolynomial.X i_1)