mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.NumberTheory.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ
inst✝¹⁰ : NeZero n
S T : Set ℕ
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : NeZero ↑n
x✝ : ↥(nonZeroDivisors (CyclotomicRing n A K))
x : CyclotomicRing n A K
hx : x ∈ nonZeroDivisors (CyclotomicRing n A K)
⊢ IsUnit ((algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) ↑⟨x, hx⟩)

Tactic:
rw [isUnit_iff_ne_zero]
    apply map_ne_zero_of_mem_nonZeroDivisors
    · apply adjoin_algebra_injective
    · exact hx

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.DirichletCharacter.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
inst✝ : NeZero 2
h : ψ (-1) = 1
h' : ψ (-1) = -1
⊢ False

Tactic:
simp only [h', neg_eq_iff_add_eq_zero, one_add_one_eq_two, two_ne_zero] at h

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Grade

Goal state before:
pp: 𝕆 : Type u_1
ℙ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : Preorder 𝕆
inst✝³ : Preorder ℙ
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
n : ℕ
inst✝ : GradeMinOrder (Fin n) α
a : Fin n
h : IsMin a
⊢ IsMin ↑a

Tactic:
cases n
    · exact a.elim0
    rw [h.eq_bot, bot_eq_zero]
    exact isMin_bot

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.Grade

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
⊢ s ⋖ cons a s ha

Tactic:
by simp [← val_covBy_val]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.ZMod

Goal state before:
pp: N : ℕ
inst✝⁶ : NeZero N
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℂ E
R : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module ℂ R
inst✝¹ : Module R E
inst✝ : IsScalarTower ℂ R E
Φ : ZMod N → R
e : E
⊢ (𝓕 fun j ↦ Φ j • e) = fun k ↦ 𝓕 Φ k • e

Tactic:
by
  simp only [dft_def, sum_smul, smul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.ZMod

Goal state before:
pp: N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
hχ : χ.IsPrimitive
k : ZMod N
⊢ gaussSum χ (stdAddChar.mulShift (-k)) = χ⁻¹ (-k) * gaussSum χ stdAddChar

Tactic:
gaussSum_mulShift_of_isPrimitive _ hχ

Goal state after:
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
hχ : χ.IsPrimitive
k : ZMod N
⊢ χ⁻¹ (-k) * gaussSum χ stdAddChar = χ⁻¹ (-k) * gaussSum χ stdAddChar
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
⊢ ⟪a -ᵥ b, a -ᵥ c⟫ = dist a b ^ 2 ↔ ⟪a -ᵥ b, b -ᵥ c⟫ = 0

Tactic:
by
  rw [dist_eq_norm_vsub V, inner_eq_norm_sq_left_iff, vsub_sub_vsub_cancel_left,
    inner_vsub_right_eq_zero_symm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
t₁ t₂ : ℝ
h_inner : ⟪b -ᵥ a, c -ᵥ a⟫ = 0
hvec : (AffineMap.lineMap a b) t₁ -ᵥ (AffineMap.lineMap a c) t₂ = t₁ • (b -ᵥ a) - t₂ • (c -ᵥ a)
⊢ ‖(AffineMap.lineMap a b) t₁ -ᵥ (AffineMap.lineMap a c) t₂‖ ^ 2 = t₁ ^ 2 * dist a b ^ 2 + t₂ ^ 2 * dist a c ^ 2

Tactic:
hvec,

Goal state after:
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
t₁ t₂ : ℝ
h_inner : ⟪b -ᵥ a, c -ᵥ a⟫ = 0
hvec : (AffineMap.lineMap a b) t₁ -ᵥ (AffineMap.lineMap a c) t₂ = t₁ • (b -ᵥ a) - t₂ • (c -ᵥ a)
⊢ ‖t₁ • (b -ᵥ a) - t₂ • (c -ᵥ a)‖ ^ 2 = t₁ ^ 2 * dist a b ^ 2 + t₂ ^ 2 * dist a c ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
s : Finset ι
hp : ↑(#s) * p ≤ 1
i : ι
hi : i ∉ s
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
x : (i : ι) → A i
X : A i → (a : ι) → A a := update x i
hF₁ : ∀ {j : ι}, Measurable fun t ↦ (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (X t)
hF₀ : Measurable fun t ↦ f (X t)
k : ℝ := ↑(#s)
hk' : 0 ≤ 1 - k * p
⊢ (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x ^ p * ((∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x ^ (1 - k * p) * ∏ j ∈ s, (∫⋯∫⁻_{i, j}, f ∂μ) x ^ p) =
    (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x ^ (p + (1 - k * p)) * ∏ j ∈ s, (∫⋯∫⁻_{i, j}, f ∂μ) x ^ p

Tactic:
rw [ENNReal.rpow_add_of_nonneg]
              · ring
              · exact hp₀
              · exact hk'

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.ExteriorPower

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
I : Type u_2
inst✝¹ : Fintype I
inst✝ : LinearOrder I
b : OrthonormalBasis I ℝ E
n : ℕ
⊢ Orthonormal ℝ ⇑(Module.Basis.exteriorPower n b.toBasis)

Tactic:
rw [orthonormal_iff_ite]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
I : Type u_2
inst✝¹ : Fintype I
inst✝ : LinearOrder I
b : OrthonormalBasis I ℝ E
n : ℕ
⊢ ∀ (i j : ↑(Set.powersetCard I n)),
    inner ℝ ((Module.Basis.exteriorPower n b.toBasis) i) ((Module.Basis.exteriorPower n b.toBasis) j) =
      if i = j then 1 else 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : f.IsPositive
h : ∃ s, Nonempty (Module.Basis (↥s) 𝕜 E)
this : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ 0 ≤ (traceAux 𝕜 ⋯.some) f

Tactic:
traceAux_eq 𝕜 _ (stdOrthonormalBasis 𝕜 E).toBasis

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : f.IsPositive
h : ∃ s, Nonempty (Module.Basis (↥s) 𝕜 E)
this : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ 0 ≤ (traceAux 𝕜 (stdOrthonormalBasis 𝕜 E).toBasis) f
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.JointEigenspace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
hAB : Commute A B
⊢ (⨆ i, eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1)ᗮ = ⊥

Tactic:
rw [Submodule.orthogonal_eq_bot_iff, iSup_prod, iSup_comm]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
hAB : Commute A B
⊢ ⨆ j, ⨆ i, eigenspace A (i, j).2 ⊓ eigenspace B (i, j).1 = ⊤
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.JointEigenspace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
T : n → Module.End 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq (n → 𝕜)
hT : ∀ (i : n), IsSymmetric (T i)
hC : Pairwise (Commute on T)
⊢ (⨆ α, ⨅ j, (T j).eigenspace (α j))ᗮ = ⊥

Tactic:
iSup_iInf_eq_top_of_commute hT hC,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
T : n → Module.End 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq (n → 𝕜)
hT : ∀ (i : n), IsSymmetric (T i)
hC : Pairwise (Commute on T)
⊢ ⊤ᗮ = ⊥
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
a : Fin (Module.finrank 𝕜 E) → E := fun i ↦ ↑√(⋯.eigenvalues ⋯ i) • (⋯.eigenvectorBasis ⋯) i
x✝ : E
⊢ T x✝ =
    ∑ x, (↑(√(⋯.eigenvalues ⋯ x) * √(⋯.eigenvalues ⋯ x)) * ⟪(⋯.eigenvectorBasis ⋯) x, x✝⟫) • (⋯.eigenvectorBasis ⋯) x

Tactic:
← Real.sqrt_mul (hT.toLinearMap.nonneg_eigenvalues rfl _),

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
a : Fin (Module.finrank 𝕜 E) → E := fun i ↦ ↑√(⋯.eigenvalues ⋯ i) • (⋯.eigenvectorBasis ⋯) i
x✝ : E
⊢ T x✝ = ∑ x, (↑√(⋯.eigenvalues ⋯ x * ⋯.eigenvalues ⋯ x) * ⟪(⋯.eigenvectorBasis ⋯) x, x✝⟫) • (⋯.eigenvectorBasis ⋯) x
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : RCLike 𝕜
n : Type u_4
inst✝ : Finite n
M : Matrix n n 𝕜
this : Fintype n
⊢ (∃ m u, toEuclideanLin.symm (∑ d, ↑(((rankOne 𝕜) (u d)) (u d))) = M) ↔ ∃ m v, M = ∑ i, vecMulVec (v i) (star (v i))

Tactic:
map_sum,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : RCLike 𝕜
n : Type u_4
inst✝ : Finite n
M : Matrix n n 𝕜
this : Fintype n
⊢ (∃ m u, ∑ x, toEuclideanLin.symm ↑(((rankOne 𝕜) (u x)) (u x)) = M) ↔ ∃ m v, M = ∑ i, vecMulVec (v i) (star (v i))
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.LinearPMap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
⊢ ∃! f', f.graph.topologicalClosure = f'.graph

Tactic:
refine existsUnique_of_exists_of_unique hf fun _ _ hy₁ hy₂ => eq_of_eq_graph ?_

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
x✝¹ x✝ : E →ₗ.[R] F
hy₁ : f.graph.topologicalClosure = x✝¹.graph
hy₂ : f.graph.topologicalClosure = x✝.graph
⊢ x✝¹.graph = x✝.graph
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.LinearPMap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
⊢ f.closure.IsClosed

Tactic:
rw [IsClosed, ← hf.graph_closure_eq_closure_graph]

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
⊢ IsClosed[instTopologicalSpaceProd] ↑f.graph.topologicalClosure
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ

Tactic:
rcases hp.eq_or_lt with rfl | hp

Goal state after:
case neg.inl
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p' : ℝ≥0
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hp : 1 ≤ 1
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑1⁻¹ - (↑n)⁻¹
h2p : ↑1 < ↑n
hnp : 0 < ↑n - ↑1
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑1) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑1) μ

case neg.inr
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).HolderConjugate n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearPMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
⊢ Continuous ⇑(0 ∘ₗ T.toFun)

Tactic:
LinearMap.zero_comp

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
⊢ Continuous ⇑0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearPMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
inst✝ : CompleteSpace E
y : F
w : E
hw : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪w, ↑x⟫ = ⟪y, ↑T x⟫
⊢ y ∈ T†.domain

Tactic:
rw [T.mem_adjoint_domain_iff]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
inst✝ : CompleteSpace E
y : F
w : E
hw : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪w, ↑x⟫ = ⟪y, ↑T x⟫
⊢ Continuous ⇑((innerₛₗ 𝕜) y ∘ₗ T.toFun)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearPMap

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
inst✝ : CompleteSpace E
hT : Dense ↑T.domain
x : F × E
h : ∀ (a : E) (a_1 : a ∈ T.domain), ⟪↑T ⟨a, ⋯⟩, x.1⟫ = ⟪a, x.2⟫
hx : x.1 ∈ T†.domain
a : E
ha : a ∈ ↑T.domain
⊢ ⟪a, ↑T† ⟨x.1, ⋯⟩⟫ = ⟪a, x.2⟫

Tactic:
rw [← h a ha, (adjoint_isFormalAdjoint hT).symm ⟨a, ha⟩ ⟨x.fst, hx⟩]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.SingularValues

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
T : E →ₗ[𝕜] F
n : ℕ
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
⊢ T.singularValues ↑i ^ 2 = ⋯.eigenvalues hn i

Tactic:
by
  simp [T.singularValues_fin hn, T.isPositive_adjoint_comp_self.nonneg_eigenvalues hn i]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
x : E ⊗[𝕜] G
n : ℕ
e : Fin n → E
g : Fin n → G
hx : x = ∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j
c : E ⊗[𝕜] G →₀ 𝕜
hc_supp : ↑c.support ⊆ {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[𝕜] n = t}
hc : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) = x
m : ℕ
A : Fin m → Fin n → 𝕜
hA :
  ∀ (i j : Fin n),
    ‖f‖ ^ 2 • inner 𝕜 (e i) (e j) - (∑ i, Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i))) i j = inner 𝕜 (f (e i)) (f (e j))
⊢ ‖(LinearMap.rTensor G ↑f) (∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j)‖ ^ 2 ≤ ‖f‖ ^ 2 * ‖∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j‖ ^ 2

Tactic:
map_sum,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
x : E ⊗[𝕜] G
n : ℕ
e : Fin n → E
g : Fin n → G
hx : x = ∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j
c : E ⊗[𝕜] G →₀ 𝕜
hc_supp : ↑c.support ⊆ {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[𝕜] n = t}
hc : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) = x
m : ℕ
A : Fin m → Fin n → 𝕜
hA :
  ∀ (i j : Fin n),
    ‖f‖ ^ 2 • inner 𝕜 (e i) (e j) - (∑ i, Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i))) i j = inner 𝕜 (f (e i)) (f (e j))
⊢ ‖∑ x, (LinearMap.rTensor G ↑f) (e x ⊗ₜ[𝕜] g x)‖ ^ 2 ≤ ‖f‖ ^ 2 * ‖∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j‖ ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
b₁ : ι₁ → E
b₂ : ι₂ → F
hb₁ : Orthonormal 𝕜 b₁
hb₂ : Orthonormal 𝕜 b₂
⊢ Orthonormal 𝕜 fun i ↦ b₁ i.1 ⊗ₜ[𝕜] b₂ i.2

Tactic:
rw [orthonormal_iff_ite]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
b₁ : ι₁ → E
b₂ : ι₂ → F
hb₁ : Orthonormal 𝕜 b₁
hb₂ : Orthonormal 𝕜 b₂
⊢ ∀ (i j : ι₁ × ι₂), inner 𝕜 (b₁ i.1 ⊗ₜ[𝕜] b₂ i.2) (b₁ j.1 ⊗ₜ[𝕜] b₂ j.2) = if i = j then 1 else 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : U →ₗ[𝕜] V
bu : OrthonormalBasis ι 𝕜 U
bv : OrthonormalBasis ι 𝕜 ↥f.range
hrank : finrank 𝕜 U = finrank 𝕜 ↥f.range
⊢ f.normDet = ‖((toMatrix bu.toBasis bv.toBasis) f.rangeRestrict).det‖

Tactic:
have h : Nonempty (OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 f.range) := by
    rw [hrank]
    exact ⟨stdOrthonormalBasis 𝕜 f.range⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : U →ₗ[𝕜] V
bu : OrthonormalBasis ι 𝕜 U
bv : OrthonormalBasis ι 𝕜 ↥f.range
hrank : finrank 𝕜 U = finrank 𝕜 ↥f.range
h : Nonempty (OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥f.range)
⊢ f.normDet = ‖((toMatrix bu.toBasis bv.toBasis) f.rangeRestrict).det‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ (fun r ↦ r ^ d₂) ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] ↑c • fun r ↦ r ^ d₁

Tactic:
have : 0 < ((c : ℝ≥0∞) ^ (d₂ - d₁)⁻¹) := by
    rw [← ENNReal.coe_rpow_of_ne_zero hc, pos_iff_ne_zero, Ne, ENNReal.coe_eq_zero,
      NNReal.rpow_eq_zero_iff]
    exact mt And.left hc

Goal state after:
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
⊢ (fun r ↦ r ^ d₂) ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] ↑c • fun r ↦ r ^ d₁
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : 𝕜
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) ↑(re r) * inner_ 𝕜 x y + inner_ 𝕜 (↑(im r) • I • x) y =
    (starRingEnd 𝕜) (↑(re r) + ↑(im r) * I) * inner_ 𝕜 x y

Tactic:
real_prop _ _ y,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : 𝕜
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) ↑(re r) * inner_ 𝕜 x y + (starRingEnd 𝕜) ↑(im r) * inner_ 𝕜 (I • x) y =
    (starRingEnd 𝕜) (↑(re r) + ↑(im r) * I) * inner_ 𝕜 x y
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.StarOrder

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
H : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : CompleteSpace H
inst✝¹ : Algebra ℝ (H →L[𝕜] H)
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 (H →L[𝕜] H)
f : H →L[𝕜] H
hf : f.IsPositive
c✝ : ℝ
c : ℝ := -c✝
hc : 0 < c
x : H
⊢ ‖x‖ ^ 2 * c = c * re ⟪x, x⟫_𝕜

Tactic:
inner_self_eq_norm_sq,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
H : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : CompleteSpace H
inst✝¹ : Algebra ℝ (H →L[𝕜] H)
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 (H →L[𝕜] H)
f : H →L[𝕜] H
hf : f.IsPositive
c✝ : ℝ
c : ℝ := -c✝
hc : 0 < c
x : H
⊢ ‖x‖ ^ 2 * c = c * ‖x‖ ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.StandardSubspace

Goal state before:
pp: H : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : InnerProductSpace ℂ H
inst✝ : CompleteSpace H
S : StandardSubspace H
⊢ S.toClosedSubmodule.symplComp ⊔ S.toClosedSubmodule.symplComp.mulI = ⊤

Tactic:
simp [mulI_symplComp, ClosedSubmodule.sup_orthogonal, inf_comm, S.IsSeparating]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ ↑(b i) - ↑(a i)
γ : ℕ → Type u_4 := fun n ↦ (i : ι) → Fin ⌈(↑(b i) - ↑(a i)) * ↑n⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) := fun n f ↦ univ.pi fun i ↦ Icc (↑(a i) + ↑↑(f i) / ↑n) (↑(a i) + (↑↑(f i) + 1) / ↑n)
A : Tendsto (fun n ↦ 1 / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
f : γ n
⊢ ediam (t n f) ≤ 1 / ↑n

Tactic:
refine ediam_pi_le_of_le fun b => ?_

Goal state after:
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
a b✝ : ι → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b✝ i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ ↑(b✝ i) - ↑(a i)
γ : ℕ → Type u_4 := fun n ↦ (i : ι) → Fin ⌈(↑(b✝ i) - ↑(a i)) * ↑n⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) := fun n f ↦ univ.pi fun i ↦ Icc (↑(a i) + ↑↑(f i) / ↑n) (↑(a i) + (↑↑(f i) + 1) / ↑n)
A : Tendsto (fun n ↦ 1 / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
f : γ n
b : ι
⊢ ediam (Icc (↑(a b) + ↑↑(f b) / ↑n) (↑(a b) + (↑↑(f b) + 1) / ↑n)) ≤ 1 / ↑n
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.WeakOperatorTopology

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E →WOT[𝕜] F
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (x : E) (y : F), ContinuousOn (fun x_1 ↦ ⟪y, (f x_1) x⟫_𝕜) s

Tactic:
by
  simp_rw [ContinuousOn, forall_comm (α := E), forall_comm (α := F), continuousWithinAt_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WeakSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁶ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : Module 𝕜 F
inst✝¹¹ : Module ℝ E
inst✝¹⁰ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : Module ℝ F
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : IsTopologicalAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ F
s : Set E
hs : Convex ℝ s
e : E ≃ₗ[𝕜] F
he₁ : ∀ (f : StrongDual 𝕜 F), Continuous ⇑(e.dualMap ↑f)
he₂ : ∀ (f : StrongDual 𝕜 E), Continuous ⇑(e.symm.dualMap ↑f)
⊢ ⇑e.symm '' closure (⇑e '' s) ⊆ ⇑e.symm '' ⇑e '' closure s

Tactic:
simpa [Set.image_image]
    using (e.symm : F →ₗ[𝕜] E).image_closure_of_convex (hs.linear_image (e : E →ₗ[𝕜] F)) he₂

Goal state after: