Module: Mathlib.Analysis.Convex.Approximation

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
φ : E → ℝ
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hφc : LowerSemicontinuous φ
hφcv : ConvexOn ℝ univ φ
𝓕 : Set ({ x // x ∈ univ } → ℝ) := ⋯
this : sSup {f | f ≤ φ ∘ Subtype.val ∧ ∃ l c, f = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c} = φ ∘ Subtype.val
f : E → ℝ
⊢ (f ≤ φ ∧ ∃ l c, f = ⇑re ∘ ⇑l + const E c) ↔ ∃ a ∈ 𝓕, (fun g ↦ g ∘ ⇑(Equiv.Set.univ E).symm) a = f

Tactic:
refine ⟨fun ⟨hp, l, c, hlc⟩ => ⟨f ∘ Subtype.val, ⟨fun x => hp (Subtype.val x), ⟨l, c, ?_⟩⟩, ?_⟩,
      fun ⟨a, ⟨⟨h, ⟨l, c, hlc⟩⟩, hb⟩⟩ => ⟨fun x => ?_, ⟨l, c, ?_⟩⟩⟩

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
φ : E → ℝ
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hφc : LowerSemicontinuous φ
hφcv : ConvexOn ℝ univ φ
𝓕 : Set ({ x // x ∈ univ } → ℝ) := {f | f ≤ φ ∘ Subtype.val ∧ ∃ l c, f = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c}
this : sSup {f | f ≤ φ ∘ Subtype.val ∧ ∃ l c, f = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c} = φ ∘ Subtype.val
f : E → ℝ
x✝ : f ≤ φ ∧ ∃ l c, f = ⇑re ∘ ⇑l + const E c
hp : f ≤ φ
l : E →L[𝕜] 𝕜
c : ℝ
hlc : f = ⇑re ∘ ⇑l + const E c
⊢ f ∘ Subtype.val = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c

case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
φ : E → ℝ
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hφc : LowerSemicontinuous φ
hφcv : ConvexOn ℝ univ φ
𝓕 : Set ({ x // x ∈ univ } → ℝ) := {f | f ≤ φ ∘ Subtype.val ∧ ∃ l c, f = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c}
this : sSup {f | f ≤ φ ∘ Subtype.val ∧ ∃ l c, f = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c} = φ ∘ Subtype.val
f : E → ℝ
x✝ : f ≤ φ ∧ ∃ l c, f = ⇑re ∘ ⇑l + const E c
hp : f ≤ φ
l : E →L[𝕜] 𝕜
c : ℝ
hlc : f = ⇑re ∘ ⇑l + const E c
⊢ (fun g ↦ g ∘ ⇑(Equiv.Set.univ E).symm) (f ∘ Subtype.val) = f

case refine_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
φ : E → ℝ
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hφc : LowerSemicontinuous φ
hφcv : ConvexOn ℝ univ φ
𝓕 : Set ({ x // x ∈ univ } → ℝ) := {f | f ≤ φ ∘ Subtype.val ∧ ∃ l c, f = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c}
this : sSup {f | f ≤ φ ∘ Subtype.val ∧ ∃ l c, f = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c} = φ ∘ Subtype.val
f : E → ℝ
x✝ : ∃ a ∈ 𝓕, (fun g ↦ g ∘ ⇑(Equiv.Set.univ E).symm) a = f
a : ↑univ → ℝ
h : a ≤ φ ∘ Subtype.val
l : E →L[𝕜] 𝕜
c : ℝ
hlc : a = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c
hb : (fun g ↦ g ∘ ⇑(Equiv.Set.univ E).symm) a = f
x : E
⊢ f x ≤ φ x

case refine_4
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
φ : E → ℝ
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hφc : LowerSemicontinuous φ
hφcv : ConvexOn ℝ univ φ
𝓕 : Set ({ x // x ∈ univ } → ℝ) := {f | f ≤ φ ∘ Subtype.val ∧ ∃ l c, f = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c}
this : sSup {f | f ≤ φ ∘ Subtype.val ∧ ∃ l c, f = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c} = φ ∘ Subtype.val
f : E → ℝ
x✝ : ∃ a ∈ 𝓕, (fun g ↦ g ∘ ⇑(Equiv.Set.univ E).symm) a = f
a : ↑univ → ℝ
h : a ≤ φ ∘ Subtype.val
l : E →L[𝕜] 𝕜
c : ℝ
hlc : a = (⇑re ∘ ⇑l) ∘ Subtype.val + const (↑univ) c
hb : (fun g ↦ g ∘ ⇑(Equiv.Set.univ E).symm) a = f
⊢ f = ⇑re ∘ ⇑l + const E c