mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.AsymptoticCone

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁹ : Field k
inst✝⁸ : LinearOrder k
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing k
inst✝⁶ : TopologicalSpace k
inst✝⁵ : OrderTopology k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup V
inst✝ : ContinuousSMul k V
s : Set V
c : k
v p : V
hs : Convex k s
hc : 0 ≤ c
hp : s ∈ 𝓝 p
hv : ∃ᶠ (a : k × V) in atTop ×ˢ 𝓝 v, a.1 • a.2 +ᵥ c • v +ᵥ p ∈ s
this : Tendsto (fun u ↦ -(c • u) +ᵥ c • v +ᵥ p) (𝓝 v) (𝓝 p)
t : k
u : V
⊢ 0 < (t, u).1 →
    (t, u) ∈ (fun u ↦ -(c • u) +ᵥ c • v +ᵥ p) ∘ Prod.snd ⁻¹' s → (t, u).1 • (t, u).2 +ᵥ c • v +ᵥ p ∈ s → c • v +ᵥ p ∈ s

Tactic:
(ht : 0 < t)

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁹ : Field k
inst✝⁸ : LinearOrder k
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing k
inst✝⁶ : TopologicalSpace k
inst✝⁵ : OrderTopology k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup V
inst✝ : ContinuousSMul k V
s : Set V
c : k
v p : V
hs : Convex k s
hc : 0 ≤ c
hp : s ∈ 𝓝 p
hv : ∃ᶠ (a : k × V) in atTop ×ˢ 𝓝 v, a.1 • a.2 +ᵥ c • v +ᵥ p ∈ s
this : Tendsto (fun u ↦ -(c • u) +ᵥ c • v +ᵥ p) (𝓝 v) (𝓝 p)
t : k
u : V
ht : 0 < t
⊢ (t, u) ∈ (fun u ↦ -(c • u) +ᵥ c • v +ᵥ p) ∘ Prod.snd ⁻¹' s → (t, u).1 • (t, u).2 +ᵥ c • v +ᵥ p ∈ s → c • v +ᵥ p ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.Beta

Goal state before:
pp: case pos
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : sin (↑π * z) = 0
⊢ Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / sin (↑π * z)

Tactic:
rw [hs, div_zero]

Goal state after:
case pos
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : sin (↑π * z) = 0
⊢ Gamma z * Gamma (1 - z) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex

Goal state before:
pp: case e'_2
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex R P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
f : { x // x.1 < x.2 } ≃ { y // y.1 < y.2 } :=
  { toFun := fun x ↦ if h : e (↑x).1 < e (↑x).2 then ⟨(e (↑x).1, e (↑x).2), h⟩ else ⟨(e (↑x).2, e (↑x).1), ⋯⟩,
    invFun := fun y ↦
      if h : e.symm (↑y).1 < e.symm (↑y).2 then ⟨(e.symm (↑y).1, e.symm (↑y).2), h⟩
      else ⟨(e.symm (↑y).2, e.symm (↑y).1), ⋯⟩,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
x✝ : { x // x.1 < x.2 }
⊢ dist (s.points (↑x✝).1) (s.points (↑x✝).2) =
    dist
      (s.points
        (e.symm (↑(if h : e (↑x✝).1 < e (↑x✝).2 then ⟨(e (↑x✝).1, e (↑x✝).2), h⟩ else ⟨(e (↑x✝).2, e (↑x✝).1), ⋯⟩)).1))
      (s.points
        (e.symm (↑(if h : e (↑x✝).1 < e (↑x✝).2 then ⟨(e (↑x✝).1, e (↑x✝).2), h⟩ else ⟨(e (↑x✝).2, e (↑x✝).1), ⋯⟩)).2))

Tactic:
split <;> simp [dist_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex R P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
h : (s.reindex e).Regular
σ : Equiv.Perm (Fin (m + 1))
x : P ≃ᵢ P
hx : (s.reindex e).points ∘ ⇑((e.symm.trans σ).trans e) = ⇑x ∘ (s.reindex e).points
⊢ s.points ∘ ⇑σ = ⇑x ∘ s.points

Tactic:
ext i

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex R P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
h : (s.reindex e).Regular
σ : Equiv.Perm (Fin (m + 1))
x : P ≃ᵢ P
hx : (s.reindex e).points ∘ ⇑((e.symm.trans σ).trans e) = ⇑x ∘ (s.reindex e).points
i : Fin (m + 1)
⊢ (s.points ∘ ⇑σ) i = (⇑x ∘ s.points) i
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex R P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
h : s.Regular
σ : Equiv.Perm (Fin (n + 1))
x : P ≃ᵢ P
hx : s.points ∘ ⇑((e.trans σ).trans e.symm) = ⇑x ∘ s.points
⊢ (s.reindex e).points ∘ ⇑σ = ⇑x ∘ (s.reindex e).points

Tactic:
ext i

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex R P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
h : s.Regular
σ : Equiv.Perm (Fin (n + 1))
x : P ≃ᵢ P
hx : s.points ∘ ⇑((e.trans σ).trans e.symm) = ⇑x ∘ s.points
i : Fin (n + 1)
⊢ ((s.reindex e).points ∘ ⇑σ) i = (⇑x ∘ (s.reindex e).points) i
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hr : s.Regular
i j : Fin (n + 1)
hij : i ≠ j
hn : n ≠ 0
hi : i = 1
x : P ≃ᵢ P
hx : s.points ∘ ⇑(Equiv.swap 0 j) = ⇑x ∘ s.points
⊢ dist (s.points j) (s.points 1) = dist (x (s.points 0)) (x (s.points 1))

Tactic:
simp_rw [← Function.comp_apply (f := x), ← hx]

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hr : s.Regular
i j : Fin (n + 1)
hij : i ≠ j
hn : n ≠ 0
hi : i = 1
x : P ≃ᵢ P
hx : s.points ∘ ⇑(Equiv.swap 0 j) = ⇑x ∘ s.points
⊢ dist (s.points j) (s.points 1) = dist ((s.points ∘ ⇑(Equiv.swap 0 j)) 0) ((s.points ∘ ⇑(Equiv.swap 0 j)) 1)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hr : s.Regular
i j : Fin (n + 1)
hij : i ≠ j
hn : n ≠ 0
hi : ¬i = 1
x : P ≃ᵢ P
hx : s.points ∘ ⇑(Equiv.trans (Equiv.swap 0 i) (Equiv.swap 1 j)) = ⇑x ∘ s.points
⊢ dist (s.points i) (s.points j) = dist (x (s.points 0)) (x (s.points 1))

Tactic:
simp_rw [← Function.comp_apply (f := x), ← hx]

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hr : s.Regular
i j : Fin (n + 1)
hij : i ≠ j
hn : n ≠ 0
hi : ¬i = 1
x : P ≃ᵢ P
hx : s.points ∘ ⇑(Equiv.trans (Equiv.swap 0 i) (Equiv.swap 1 j)) = ⇑x ∘ s.points
⊢ dist (s.points i) (s.points j) =
    dist ((s.points ∘ ⇑(Equiv.trans (Equiv.swap 0 i) (Equiv.swap 1 j))) 0)
      ((s.points ∘ ⇑(Equiv.trans (Equiv.swap 0 i) (Equiv.swap 1 j))) 1)
Module: Mathlib.Analysis.Quaternion

Goal state before:
pp: a : ℍ
⊢ ‖star a‖ = ‖a‖

Tactic:
by
  simp_rw [norm_eq_sqrt_real_inner, inner_self, normSq_star]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Field.Ultra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : NormedDivisionRing R
h : ∀ (x : R), ‖x‖ ≤ 1 → ‖x + 1‖ ≤ 1
x : R
H : 1 < ‖x‖
⊢ x ≠ 0

Tactic:
by simpa using H.trans' zero_lt_one

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.LiminfLimsup

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : AddLeftMono α
f : Filter ι
inst✝ : f.NeBot
u v : ι → α
h₁ : IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≥ x2) f u
h₂ : IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) f u
h₃ : IsCoboundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) f v
h₄ : IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) f v
h : IsCoboundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) f (u + v)
⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup u f + limsup v f

Tactic:
have h' := isBoundedUnder_le_add h₂ h₄

Goal state after:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : AddLeftMono α
f : Filter ι
inst✝ : f.NeBot
u v : ι → α
h₁ : IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≥ x2) f u
h₂ : IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) f u
h₃ : IsCoboundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) f v
h₄ : IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) f v
h : IsCoboundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) f (u + v)
h' : IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) f (u + v)
⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup u f + limsup v f
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
⊢ μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1) + n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < L + ε

Tactic:
have hL0' : 0 < L + ε / 2 := add_pos_of_nonneg_of_pos hL0 (half_pos hε)

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
⊢ μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1) + n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < L + ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SpectralNorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : SeminormedRing R
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree ≤ n
⊢ spectralValueTerms p n = 0

Tactic:
simp only [spectralValueTerms, if_neg (not_lt.mpr hn)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
s : ℕ → ℕ
hs_le : ∀ (n : ℕ), s n ≤ n
x : R
ψ : ℕ → ℕ
hψ_lim : Tendsto ((fun n ↦ ↑(s n) / ↑n) ∘ ψ) atTop (𝓝 0)
⊢ limsup (fun n ↦ μ x ^ (↑(s (ψ n)) * (1 / ↑(ψ n)))) atTop ≤ 1

Tactic:
simp only [limsup, limsSup]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
s : ℕ → ℕ
hs_le : ∀ (n : ℕ), s n ≤ n
x : R
ψ : ℕ → ℕ
hψ_lim : Tendsto ((fun n ↦ ↑(s n) / ↑n) ∘ ψ) atTop (𝓝 0)
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℝ) in map (fun n ↦ μ x ^ (↑(s (ψ n)) * (1 / ↑(ψ n)))) atTop, n ≤ a} ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
s : ℕ → ℕ
hs_le : ∀ (n : ℕ), s n ≤ n
x : R
ψ : ℕ → ℕ
hψ_lim : Tendsto ((fun n ↦ ↑(s n) / ↑n) ∘ ψ) atTop (𝓝 0)
c : ℝ
hc_bd : ∀ (x_1 : ℝ) (x_2 : ℕ), (∀ (b : ℕ), x_2 ≤ b → μ x ^ (↑(s (ψ b)) * (1 / ↑(ψ b))) ≤ x_1) → c ≤ x_1
hμx : ¬μ x < 1
x✝ : ℕ
⊢ ↑(s (ψ x✝)) * (μ x ^ 0 / ↑(ψ x✝)) = ((fun n ↦ ↑(s n) / ↑n) ∘ ψ) x✝

pp: case e'_5
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
s : ℕ → ℕ
hs_le : ∀ (n : ℕ), s n ≤ n
x : R
ψ : ℕ → ℕ
hψ_lim : Tendsto ((fun n ↦ ↑(s n) / ↑n) ∘ ψ) atTop (𝓝 0)
c : ℝ
hc_bd : ∀ (x_1 : ℝ) (x_2 : ℕ), (∀ (b : ℕ), x_2 ≤ b → μ x ^ (↑(s (ψ b)) * (1 / ↑(ψ b))) ≤ x_1) → c ≤ x_1
hμx : ¬μ x < 1
⊢ 1 = μ x ^ 0

Tactic:
· simp only [rpow_zero, mul_one_div, Function.comp_apply]

Goal state after:
case e'_5
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
s : ℕ → ℕ
hs_le : ∀ (n : ℕ), s n ≤ n
x : R
ψ : ℕ → ℕ
hψ_lim : Tendsto ((fun n ↦ ↑(s n) / ↑n) ∘ ψ) atTop (𝓝 0)
c : ℝ
hc_bd : ∀ (x_1 : ℝ) (x_2 : ℕ), (∀ (b : ℕ), x_2 ≤ b → μ x ^ (↑(s (ψ b)) * (1 / ↑(ψ b))) ≤ x_1) → c ≤ x_1
hμx : ¬μ x < 1
⊢ 1 = μ x ^ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.SemiNormedGrp.Kernels

Goal state before:
pp: case zero
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
e : explicitCokernel f ⟶ Z
he : explicitCokernelπ f ≫ e = g
⊢ (cokernelCocone f).ι.app WalkingParallelPair.zero ≫ e = (Cofork.ofπ g ⋯).ι.app WalkingParallelPair.zero

Tactic:
convert! w.symm
    simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.SemiNormedGrp.Kernels

Goal state before:
pp: X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
hg : (Hom.hom g).NormNoninc
⊢ ‖Hom.hom (explicitCokernelDesc cond)‖ ≤ 1

Tactic:
rw [← NNReal.coe_one]

Goal state after:
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
hg : (Hom.hom g).NormNoninc
⊢ ‖Hom.hom (explicitCokernelDesc cond)‖ ≤ ↑1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.Finsupp

Goal state before:
pp: case e_a.e_s
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Zero X
p : ℝ≥0
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
f g : WithLp (↑p) (ι →₀ X)
⊢ (zipWith edist ⋯ f.ofLp g.ofLp).support = (zipWith edist ⋯ g.ofLp f.ofLp).support

Tactic:
ext i

Goal state after:
case e_a.e_s
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Zero X
p : ℝ≥0
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
f g : WithLp (↑p) (ι →₀ X)
i : ι
⊢ i ∈ (zipWith edist ⋯ f.ofLp g.ofLp).support ↔ i ∈ (zipWith edist ⋯ g.ofLp f.ofLp).support
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.Finsupp

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Zero X
p : ℝ≥0
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
f g h : WithLp (↑p) (ι →₀ X)
this : 0 < p
s : Finset ι := f.ofLp.support ∪ g.ofLp.support ∪ h.ofLp.support
⊢ (zipWith edist ⋯ f.ofLp h.ofLp).support ⊆ s

Tactic:
by grind [support_zipWith]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.Finsupp

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Zero X
p : ℝ≥0
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
f g h : WithLp (↑p) (ι →₀ X)
this : 0 < p
s : Finset ι := f.ofLp.support ∪ g.ofLp.support ∪ h.ofLp.support
⊢ (zipWith edist ⋯ f.ofLp g.ofLp).support ⊆ s

Tactic:
by grind [support_zipWith]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.Finsupp

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Zero X
p : ℝ≥0
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
f g h : WithLp (↑p) (ι →₀ X)
this : 0 < p
s : Finset ι := f.ofLp.support ∪ g.ofLp.support ∪ h.ofLp.support
⊢ (zipWith edist ⋯ g.ofLp h.ofLp).support ⊆ s

Tactic:
by grind [support_zipWith]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.Finsupp

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Zero X
p : ℝ≥0
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : PseudoMetricSpace X
f g : WithLp (↑p) (ι →₀ X)
⊢ (zipWith edist ⋯ f.ofLp g.ofLp).support = (zipWith dist ⋯ f.ofLp g.ofLp).support

Tactic:
ext i

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Zero X
p : ℝ≥0
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : PseudoMetricSpace X
f g : WithLp (↑p) (ι →₀ X)
i : ι
⊢ i ∈ (zipWith edist ⋯ f.ofLp g.ofLp).support ↔ i ∈ (zipWith dist ⋯ f.ofLp g.ofLp).support
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.Finsupp

Goal state before:
pp: case e_a.e_s
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Zero X
p : ℝ≥0
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : PseudoMetricSpace X
f g : WithLp (↑p) (ι →₀ X)
⊢ (zipWith dist ⋯ f.ofLp g.ofLp).support = (zipWith nndist ⋯ f.ofLp g.ofLp).support

Tactic:
ext i

Goal state after:
case e_a.e_s
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Zero X
p : ℝ≥0
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : PseudoMetricSpace X
f g : WithLp (↑p) (ι →₀ X)
i : ι
⊢ i ∈ (zipWith dist ⋯ f.ofLp g.ofLp).support ↔ i ∈ (zipWith nndist ⋯ f.ofLp g.ofLp).support
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Ball.RadialEquiv

Goal state before:
pp: E✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedSpace ℝ E✝
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ↑{0}ᶜ
this : 0 < ‖↑x‖
⊢ ‖↑x‖ / r ∈ Ioi 0

Tactic:
rw [mem_Ioi]

Goal state after:
E✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedSpace ℝ E✝
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ↑{0}ᶜ
this : 0 < ‖↑x‖
⊢ 0 < ‖↑x‖ / r
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Ball.RadialEquiv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
U : Set ℝ
V : Set ↑(sphere 0 r)
hU : IsOpen U
hU₀ : 0 ∉ U
hV : IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] V
x : ℝ
hxU : x ∈ U
y : { x // x ∈ sphere 0 r }
hyV : y ∈ V
this : ∀ {U : Set ℝ}, IsOpen U → 0 ∉ U → ∀ x ∈ U, 0 < x → U • Subtype.val '' V ∈ 𝓝 ((fun x1 x2 ↦ x1 • x2) x ↑y)
hx₀ : ¬0 < x
⊢ 0 < -x

Tactic:
rw [not_lt, le_iff_eq_or_lt, ← neg_pos] at hx₀

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
U : Set ℝ
V : Set ↑(sphere 0 r)
hU : IsOpen U
hU₀ : 0 ∉ U
hV : IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] V
x : ℝ
hxU : x ∈ U
y : { x // x ∈ sphere 0 r }
hyV : y ∈ V
this : ∀ {U : Set ℝ}, IsOpen U → 0 ∉ U → ∀ x ∈ U, 0 < x → U • Subtype.val '' V ∈ 𝓝 ((fun x1 x2 ↦ x1 • x2) x ↑y)
hx₀ : x = 0 ∨ 0 < -x
⊢ 0 < -x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Ball.RadialEquiv

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
U : Set ℝ
V : Set ↑(sphere 0 r)
hU : IsOpen U
hU₀ : 0 ∉ U
hV : IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] V
x : ℝ
hxU : x ∈ U
y : { x // x ∈ sphere 0 r }
hyV : y ∈ V
this : ∀ {U : Set ℝ}, IsOpen U → 0 ∉ U → ∀ x ∈ U, 0 < x → U • Subtype.val '' V ∈ 𝓝 ((fun x1 x2 ↦ x1 • x2) x ↑y)
hx₀ : ¬0 < x
⊢ U • Subtype.val '' V ∈ 𝓝 ((fun x1 x2 ↦ x1 • x2) x ↑y)

pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
V : Set ↑(sphere 0 r)
hV : IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] V
y : { x // x ∈ sphere 0 r }
hyV : y ∈ V
U : Set ℝ
hU : IsOpen U
hU₀ : 0 ∉ U
x : ℝ
hxU : x ∈ U
hx₀ : 0 < x
⊢ U • Subtype.val '' V ∈ 𝓝 ((fun x1 x2 ↦ x1 • x2) x ↑y)

Tactic:
· replace hx₀ : 0 < -x := by
      rw [not_lt, le_iff_eq_or_lt, ← neg_pos] at hx₀
      exact hx₀.resolve_left <| ne_of_mem_of_not_mem hxU hU₀
    specialize this hU.neg (by simpa) (-x) (by simpa) hx₀
    simp only [neg_smul, nhds_neg, Set.neg_smul, Filter.mem_neg] at this
    simpa using this

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
V : Set ↑(sphere 0 r)
hV : IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] V
y : { x // x ∈ sphere 0 r }
hyV : y ∈ V
U : Set ℝ
hU : IsOpen U
hU₀ : 0 ∉ U
x : ℝ
hxU : x ∈ U
hx₀ : 0 < x
⊢ U • Subtype.val '' V ∈ 𝓝 ((fun x1 x2 ↦ x1 • x2) x ↑y)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Ball.RadialEquiv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
V : Set ↑(sphere 0 r)
hV : IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] V
y : { x // x ∈ sphere 0 r }
hyV : y ∈ V
U : Set ℝ
hU : IsOpen U
hU₀ : 0 ∉ U
hr₀ : 0 < r
x : { x // x ∈ Ioi 0 }
hxU : ↑x ∈ U
this : Subtype.val ∘ ⇑(homeomorphSphereProd E r hr₀).symm '' V ×ˢ Ioi 0 ↓∩ U ∈ 𝓝 (↑(y, x).2 • ↑(y, x).1)
a : ↑(sphere 0 r)
b : ↑(Ioi 0)
ha : (a, b).1 ∈ V
hb : (a, b).2 ∈ Ioi 0 ↓∩ U
⊢ (Subtype.val ∘ ⇑(homeomorphSphereProd E r hr₀).symm) (a, b) ∈ U • Subtype.val '' V

Tactic:
rw [Function.comp_apply, homeomorphSphereProd_symm_apply_coe]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
V : Set ↑(sphere 0 r)
hV : IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] V
y : { x // x ∈ sphere 0 r }
hyV : y ∈ V
U : Set ℝ
hU : IsOpen U
hU₀ : 0 ∉ U
hr₀ : 0 < r
x : { x // x ∈ Ioi 0 }
hxU : ↑x ∈ U
this : Subtype.val ∘ ⇑(homeomorphSphereProd E r hr₀).symm '' V ×ˢ Ioi 0 ↓∩ U ∈ 𝓝 (↑(y, x).2 • ↑(y, x).1)
a : ↑(sphere 0 r)
b : ↑(Ioi 0)
ha : (a, b).1 ∈ V
hb : (a, b).2 ∈ Ioi 0 ↓∩ U
⊢ ↑(a, b).2 • ↑(a, b).1 ∈ U • Subtype.val '' V
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : T2Space F
u : E →L[𝕜] F
v : F →L[𝕜] E
hvu : (↑v).IsQuasiInverse ↑u
⊢ ∃ E₁ F₁,
    IsClosed[inst✝³] ↑E₁ ∧
      IsClosed[inst✝²] ↑F₁ ∧ E₁.CoFG ∧ F₁.CoFG ∧ ∃ (h : MapsTo ⇑u ↑E₁ ↑F₁), (u.restrict h).IsInvertible

Tactic:
obtain ⟨hvu, huv⟩ := hvu

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : T2Space F
u : E →L[𝕜] F
v : F →L[𝕜] E
hvu : (↑v).IsLeftQuasiInverse ↑u
huv : (↑v).IsRightQuasiInverse ↑u
⊢ ∃ E₁ F₁,
    IsClosed[inst✝³] ↑E₁ ∧
      IsClosed[inst✝²] ↑F₁ ∧ E₁.CoFG ∧ F₁.CoFG ∧ ∃ (h : MapsTo ⇑u ↑E₁ ↑F₁), (u.restrict h).IsInvertible
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : CompleteSpace 𝕜
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
u_fred : u.IsFredholm
⊢ Nonempty u.FredholmPackage

Tactic:
obtain ⟨codom₀, h_codom⟩ := u_fred.closedComplemented_range.exists_isTopCompl
  obtain ⟨dom₁, h_dom⟩ := u_fred.closedComplemented_ker.exists_isTopCompl
  exact ⟨u_fred.fredholmPackage h_dom h_codom⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.UpperLower

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
y y₁ : ι → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ Iic y
y₂ : ι → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ Iic y
hy : y₁ ≤ y₂
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ (y i - y₂ i).toNNReal ≤ Real.nnabs (y i - y₁ i)

Tactic:
Real.nnabs_of_nonneg (sub_nonneg_of_le (‹_ ≤ y› i : y₁ i ≤ y i))

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
y y₁ : ι → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ Iic y
y₂ : ι → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ Iic y
hy : y₁ ≤ y₂
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ (y i - y₂ i).toNNReal ≤ (y i - y₁ i).toNNReal
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.UpperLower

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : dist z (x + const ι (3 / 4 * δ)) ≤ δ / 4
i : ι
⊢ y i < z i

Tactic:
dist_eq_norm'

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : ‖x + const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι
⊢ y i < z i
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.UpperLower

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : dist z (x - const ι (3 / 4 * δ)) ≤ δ / 4
i : ι
⊢ z i < y i

Tactic:
dist_eq_norm'

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : ‖x - const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι
⊢ z i < y i