mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (p '' Set.univ)) = n

Tactic:
← Finset.coe_univ,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (p '' ↑Finset.univ)) = n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (p '' Set.univ)) ≤ n

Tactic:
← Finset.coe_univ,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (p '' ↑Finset.univ)) ≤ n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
m n : ℕ
inst✝¹ : NeZero m
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).faceOppositeCentroid = s.faceOppositeCentroid ∘ ⇑e.symm

Tactic:
ext i

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
m n : ℕ
inst✝¹ : NeZero m
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
i : Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).faceOppositeCentroid i = (s.faceOppositeCentroid ∘ ⇑e.symm) i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
m n : ℕ
inst✝¹ : NeZero m
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
⊢ (s.reindex e).median = s.median ∘ ⇑e.symm

Tactic:
ext i

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
m n : ℕ
inst✝¹ : NeZero m
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
i : Fin (m + 1)
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ (s.reindex e).median i ↔ x✝ ∈ (s.median ∘ ⇑e.symm) i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
sp : AffineSubspace k P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥sp.direction
hle : affineSpan k (p '' Set.univ) ≤ sp
hc : #Finset.univ = finrank k ↥sp.direction + 1
⊢ affineSpan k (p '' Set.univ) = sp

Tactic:
← Finset.coe_univ,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
sp : AffineSubspace k P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥sp.direction
hle : affineSpan k (p '' ↑Finset.univ) ≤ sp
hc : #Finset.univ = finrank k ↥sp.direction + 1
⊢ affineSpan k (p '' ↑Finset.univ) = sp
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
s : Set P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥(affineSpan k s).direction
p : P
this : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
⊢ FiniteDimensional k ↥(affineSpan k (insert p s)).direction

Tactic:
rw [direction_affineSpan]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
s : Set P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥(affineSpan k s).direction
p : P
this : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
⊢ FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k (insert p s))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : DivisionRing k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
m n : ℕ
inst✝² : NeZero m
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
⊢ (s.reindex e).medial = s.medial.reindex e

Tactic:
ext i

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : DivisionRing k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
m n : ℕ
inst✝² : NeZero m
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
i : Fin (m + 1)
⊢ (s.reindex e).medial.points i = (s.medial.reindex e).points i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁸ : DivisionRing k
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module k V₂
inst✝² : AffineSpace V₂ P₂
inst✝¹ : CharZero k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ (s.map f hf).medial = s.medial.map f hf

Tactic:
ext i

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁸ : DivisionRing k
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module k V₂
inst✝² : AffineSpace V₂ P₂
inst✝¹ : CharZero k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Injective ⇑f
i : Fin (n + 1)
⊢ (s.map f hf).medial.points i = (s.medial.map f hf).points i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
x : V
hx : ∃ x_1 ∈ s, x_1 -ᵥ p₀ = x
⊢ ∃ a, a • v = x

Tactic:
rcases hx with ⟨p, hp, rfl⟩

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
p : P
hp : p ∈ s
⊢ ∃ a, a • v = p -ᵥ p₀
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : Fin 3 → P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
⊢ ¬Collinear k (p '' Set.univ) ↔ ¬Collinear k {p i₁, p i₂, p i₃}

Tactic:
← Finset.coe_univ,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : Fin 3 → P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
⊢ ¬Collinear k (p '' ↑Finset.univ) ↔ ¬Collinear k {p i₁, p i₂, p i₃}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
S : AffineSubspace k P
hS : affineSpan k (Set.range s.points) ≤ S
this : Nonempty ↥S
⊢ (s.restrict S hS).medial = s.medial.restrict S ⋯

Tactic:
ext i

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
S : AffineSubspace k P
hS : affineSpan k (Set.range s.points) ≤ S
this : Nonempty ↥S
i : Fin (n + 1)
⊢ ↑((s.restrict S hS).medial.points i) = ↑((s.medial.restrict S ⋯).points i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case pos.inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
hs : s = ⊥
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ∅)) ≤ finrank k ↥⊥.direction + 1

Tactic:
direction_bot,

Goal state after:
case pos.inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
hs : s = ⊥
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ∅)) ≤ finrank k ↥⊥ + 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: case e'_12
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g g' : α → 𝕜 → F
t : Set 𝕜
y₀ y : 𝕜
hu : Summable u
ht : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t
h't : IsPreconnected t
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n ↦ g n y₀
hy : y ∈ t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton 𝕜 (g' n y)) y
e_4✝ : inst✝⁴.toDivisionRing.toAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup.toAddCommGroup
e_5✝ : Semiring.toModule ≍ NormedField.toNormedSpace.toModule
⊢ ContinuousLinearMap.toSpanSingleton 𝕜 (∑' (n : α), g' n y) =
    ∑' (n : α), ContinuousLinearMap.toSpanSingleton 𝕜 (g' n y)

pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g g' : α → 𝕜 → F
t : Set 𝕜
y₀ y : 𝕜
hu : Summable u
ht : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t
h't : IsPreconnected t
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n ↦ g n y₀
hy : y ∈ t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton 𝕜 (g' n y)) y
⊢ ∀ (n : α), ∀ x ∈ t, ‖ContinuousLinearMap.toSpanSingleton 𝕜 (g' n x)‖ ≤ u n

Tactic:
· exact (ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 𝕜 F 1).map_tsum <|
      .of_norm_bounded hu fun n ↦ hg' n y hy

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g g' : α → 𝕜 → F
t : Set 𝕜
y₀ y : 𝕜
hu : Summable u
ht : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t
h't : IsPreconnected t
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n ↦ g n y₀
hy : y ∈ t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton 𝕜 (g' n y)) y
⊢ ∀ (n : α), ∀ x ∈ t, ‖ContinuousLinearMap.toSpanSingleton 𝕜 (g' n x)‖ ≤ u n
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E 0)
h : ‖f‖ = 0
⊢ f = 0

Tactic:
ext i

Goal state after:
case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E 0)
h : ‖f‖ = 0
i : α
⊢ ↑f i = ↑0 i
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ∞)
h : ‖f‖ = 0
_i : Nonempty α
H : IsLUB (Set.range fun i ↦ ‖↑f i‖) 0
⊢ f = 0

Tactic:
ext i

Goal state after:
case inr.inl.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ∞)
h : ‖f‖ = 0
_i : Nonempty α
H : IsLUB (Set.range fun i ↦ ‖↑f i‖) 0
i : α
⊢ ↑f i = ↑0 i
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
hp : 0 < p.toReal
hf : (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) = 0
this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
⊢ f = 0

Tactic:
ext i

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
hp : 0 < p.toReal
hf : (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) = 0
this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
i : α
⊢ ↑f i = ↑0 i
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case h₁
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
F : α → Type u_5
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (F i)
p : ℝ≥0∞
hp✝ : p ≠ 0
x : ↥(lp E p)
y : ↥(lp F p)
h : ∀ (i : α), ‖↑x i‖ ≤ ‖↑y i‖
hp : 0 < p.toReal
s : Finset α
i : α
a✝ : i ∈ s
⊢ ‖↑x i‖ ≤ ‖↑y i‖

Tactic:
exact h i

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
h : ∀ i ∉ s, ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0
⊢ HasSum (fun i ↦ ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)

Tactic:
have h' : ∀ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal = ‖ite (i ∈ s) (f i) 0‖ ^ p.toReal := by
    intro i hi
    rw [if_pos hi]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
h : ∀ i ∉ s, ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0
h' : ∀ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal = ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal
⊢ HasSum (fun i ↦ ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous[inst✝², PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g
x₀ : G
⊢ HasCompactSupport fun t ↦ (L (f t)) (g (x₀ - t))

Tactic:
refine hcf.mono ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous[inst✝², PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g
x₀ : G
⊢ (support fun t ↦ (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ support f
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : H → α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) μ
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ s, ‖F' x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (fun x ↦ F x a) (F' x a) x
this✝ : NormedSpace ℝ H := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 H
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
diff_x₀ : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x ↦ F x a) (F' x₀ a) x₀
this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x ↦ F x a) (ball x₀ ε)
⊢ HasFDerivAt (fun x ↦ ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' x₀ a ∂μ) x₀

Tactic:
apply (hasFDerivAt_integral_of_dominated_loc_of_lip (ball_mem_nhds x₀ ε_pos)
    hF_meas hF_int hF'_meas this bound_integrable diff_x₀).2

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
t : G
hg : ‖t‖ < R → g (x₀ - t) = g x₀
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
⊢ (L (f t)) (g (x₀ - t)) = (L (f t)) (g x₀)

Tactic:
hg h2t

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
t : G
hg : ‖t‖ < R → g (x₀ - t) = g x₀
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
⊢ (L (f t)) (g x₀) = (L (f t)) (g x₀)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
R : ℝ
s : Set E
hR : 0 < R
⊢ ∫ (x : E) in s, f (R • x) ∂μ = (R ^ finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (x : E) in R • s, f x ∂μ

Tactic:
by
  rw [setIntegral_comp_smul μ f s hR.ne', abs_of_nonneg (inv_nonneg.2 (pow_nonneg hR.le _))]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝¹⁶ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SFinite μ
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
⊢ ∫ (y : G), (L (f y)) (∫ (x : G), g (x - y) ∂μ) ∂ν = (L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)

Tactic:
integral_sub_right_eq_self

Goal state after:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝¹⁶ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SFinite μ
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
⊢ ∫ (y : G), (L (f y)) (∫ (x : G), g x ∂μ) ∂ν = (L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case pos
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : Measure ℝ
inst✝ : NullSingletonClass ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
⊢ ∫ (t : ℝ) in 0..x, (L (f t)) (g (x - t)) ∂ν = ∫ (t : ℝ), (L ((Ioi 0).indicator f t)) ((Ioi 0).indicator g (x - t)) ∂ν

pp: case neg
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : Measure ℝ
inst✝ : NullSingletonClass ν
x : ℝ
h : x ∉ Ioi 0
⊢ 0 = ∫ (t : ℝ), (L ((Ioi 0).indicator f t)) ((Ioi 0).indicator g (x - t)) ∂ν

Tactic:
· rw [intervalIntegral.integral_of_le (le_of_lt h), integral_Ioc_eq_integral_Ioo, ←
      integral_indicator (measurableSet_Ioo : MeasurableSet (Ioo 0 x))]
    congr 1 with t : 1
    have : t ≤ 0 ∨ t ∈ Ioo 0 x ∨ x ≤ t := by
      rcases le_or_gt t 0 with (h | h)
      · exact Or.inl h
      · rcases lt_or_ge t x with (h' | h')
        exacts [Or.inr (Or.inl ⟨h, h'⟩), Or.inr (Or.inr h')]
    rcases this with (ht | ht | ht)
    · rw [indicator_of_notMem (notMem_Ioo_of_le ht), indicator_of_notMem (notMem_Ioi.mpr ht),
        map_zero, zero_apply]
    · rw [indicator_of_mem ht, indicator_of_mem (mem_Ioi.mpr ht.1),
          indicator_of_mem (mem_Ioi.mpr <| sub_pos.mpr ht.2)]
    · rw [indicator_of_notMem (notMem_Ioo_of_ge ht),
          indicator_of_notMem (notMem_Ioi.mpr (sub_nonpos_of_le ht)), map_zero]

Goal state after:
case neg
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : Measure ℝ
inst✝ : NullSingletonClass ν
x : ℝ
h : x ∉ Ioi 0
⊢ 0 = ∫ (t : ℝ), (L ((Ioi 0).indicator f t)) ((Ioi 0).indicator g (x - t)) ∂ν
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.Normed

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : HasContDiffBump E
inst✝³ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ = ∫ (x : E) in closedBall c f.rOut, ↑f x ∂μ

Tactic:
apply (setIntegral_eq_integral_of_forall_compl_eq_zero (fun x hx ↦ ?_)).symm

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : HasContDiffBump E
inst✝³ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : E
hx : x ∉ closedBall c f.rOut
⊢ ↑f x = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
H : x < y
h : ∃ x, p.c x ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r x
A : p.r (p.index y) ≤ 0
⊢ x = y

Tactic:
exact (lt_irrefl _ ((p.rpos (p.index y)).trans_le A)).elim

Goal state after: