Module: Mathlib.Probability.Distributions.Gaussian.HasGaussianLaw.Independence

Goal state before:
pp: case h
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ charFunDual (Measure.map Y P) L =
    cexp
      (↑(∫ (x : Ω), (⇑L ∘ X) x ∂P + ∫ (x : Ω), (⇑L ∘ (Y - X)) x ∂P) * I -
        (↑Var[⇑L ∘ X; P] / 2 + ↑Var[⇑L ∘ (Y - X); P] / 2))

pp: case h.mX
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ AEMeasurable X P

pp: case h.mY
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ AEMeasurable (Y - X) P

Tactic:
← integral_add,

Goal state after:
case h
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ charFunDual (Measure.map Y P) L =
    cexp (↑(∫ (a : Ω), (⇑L ∘ X) a + (⇑L ∘ (Y - X)) a ∂P) * I - (↑Var[⇑L ∘ X; P] / 2 + ↑Var[⇑L ∘ (Y - X); P] / 2))

case h.hf
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ Integrable (⇑L ∘ X) P

case h.hg
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ Integrable (⇑L ∘ (Y - X)) P

case h.mX
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ AEMeasurable X P

case h.mY
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
X Y : Ω → E
hX : HasGaussianLaw X P
hY : HasGaussianLaw Y P
h : X ⟂ᵢ[P] Y - X
this : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ E
⊢ AEMeasurable (Y - X) P