mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case hws
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
hs : s.Nonempty
⊢ 0 < ∑ i ∈ s, centroidWeights R s i

Tactic:
have hs_card : (#s : R) ≠ 0 := by simp [Finset.nonempty_iff_ne_empty.mp hs]

Goal state after:
case hws
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
hs : s.Nonempty
hs_card : ↑(#s) ≠ 0
⊢ 0 < ∑ i ∈ s, centroidWeights R s i
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∑ i ∈ sx.disjSum sy, Sum.elim (fun i ↦ a * wx i) (fun j ↦ b * wy j) i = 1

pp: case refine_2.refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∀ i ∈ sx.disjSum sy, Sum.elim zx zy i ∈ s

Tactic:
· simp [← mul_sum, *]

Goal state after:
case refine_2.refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∀ i ∈ sx.disjSum sy, Sum.elim zx zy i ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x ↦ (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
ht : ∀ x ∈ t₁, x ∉ t₂ → w₁ x = 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x

Tactic:
refine ⟨w₁, ?_, ?_, ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x ↦ (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
ht : ∀ x ∈ t₁, x ∉ t₂ → w₁ x = 0
⊢ ∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w₁ y

case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x ↦ (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
ht : ∀ x ∈ t₁, x ∉ t₂ → w₁ x = 0
⊢ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w₁ y = 1

case refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x ↦ (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
ht : ∀ x ∈ t₁, x ∉ t₂ → w₁ x = 0
⊢ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w₁ y • y = x
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : IsTopologicalAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
ι : Type u_6
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this✝ : UniformSpace F := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace F
this : IsUniformAddGroup F
⊢ comap (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe)
      (⨅ s ∈ 𝔖,
        ⨅ i,
          ⨅ (_ : p i),
            𝓟
              {g |
                ∀ x ∈ s,
                  ((UniformOnFun.toFun 𝔖) ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) 0) x, (UniformOnFun.toFun 𝔖) g x) ∈
                    {x | x.2 - x.1 ∈ b i}}) =
    ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 {f | MapsTo (⇑f) s (b i)}

Tactic:
simp [MapsTo]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
𝓕 : Type u_8
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : 𝓕
x : F
r : ℝ
hr : 0 < r
h : ∀ x_1 ∈ ball x r, x_1 ∈ Set.range ⇑f
⊢ ∀ x ∈ ball 0 r, x ∈ (↑f).range

Tactic:
intro _ _

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
𝓕 : Type u_8
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : 𝓕
x : F
r : ℝ
hr : 0 < r
h : ∀ x_1 ∈ ball x r, x_1 ∈ Set.range ⇑f
x✝ : F
a✝ : x✝ ∈ ball 0 r
⊢ x✝ ∈ (↑f).range
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_6
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
h : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded R (image2 (fun f x ↦ f x) S s)
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : image2 (fun f x ↦ f x) S s ⊆ c • U
⊢ c ≠ 0 → S ⊆ c • {f | MapsTo (⇑f) s U}

Tactic:
hc₀

Goal state after:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_6
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
h : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded R (image2 (fun f x ↦ f x) S s)
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : image2 (fun f x ↦ f x) S s ⊆ c • U
hc₀ : c ≠ 0
⊢ S ⊆ c • {f | MapsTo (⇑f) s U}
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case refine_3.refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
h' : IsVonNBounded 𝕜 (p.ball 0 1)
s : Set E
hs : s ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).filter
t : Set E
ht : t ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).toFilterBasis
ts : t ⊆ s
w : Finset (Fin 1)
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hw : t = (w.sup fun x ↦ p).ball 0 r
⊢ t ∈ 𝓝 0

Tactic:
rcases eq_or_ne w ∅ with rfl | w_ne

Goal state after:
case refine_3.refine_2.inl
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
h' : IsVonNBounded 𝕜 (p.ball 0 1)
s : Set E
hs : s ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).filter
t : Set E
ht : t ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).toFilterBasis
ts : t ⊆ s
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hw : t = (∅.sup fun x ↦ p).ball 0 r
⊢ t ∈ 𝓝 0

case refine_3.refine_2.inr
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
h' : IsVonNBounded 𝕜 (p.ball 0 1)
s : Set E
hs : s ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).filter
t : Set E
ht : t ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).toFilterBasis
ts : t ⊆ s
w : Finset (Fin 1)
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hw : t = (w.sup fun x ↦ p).ball 0 r
w_ne : w ≠ ∅
⊢ t ∈ 𝓝 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
K : ℝ≥0
h : ‖f‖ ≤ ↑K
⊢ LipschitzWith K ⇑f

Tactic:
by simpa using AddMonoidHomClass.lipschitz_of_bound f K <| le_of_opNorm_le f h

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded (fun i ↦ (Finset.Iic i).sup p) p LinearMap.id

Tactic:
· intro i
    refine ⟨{i}, 1, ?_⟩
    rw [Finset.sup_singleton, one_smul]
    exact (Finset.le_sup (Finset.mem_Iic.mpr le_rfl) : p i ≤ (Finset.Iic i).sup p)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NNNorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ‖f‖ = sInf (NNReal.toReal '' {c | ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊})

Tactic:
norm_def,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf (NNReal.toReal '' {c | ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊})
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
κ : ι → Type u_11
p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)
t : ι → TopologicalSpace E
hp : ∀ (i : ι), WithSeminorms (p i)
⊢ WithSeminorms (SeminormFamily.sigma p)

Tactic:
have : ∀ i, @IsTopologicalAddGroup E (t i) _ :=
    fun i ↦ @WithSeminorms.topologicalAddGroup _ _ _ _ _ _ (t i) _ (hp i)
  have : @IsTopologicalAddGroup E (⨅ i, t i) _ := topologicalAddGroup_iInf inferInstance
  simp_rw [@SeminormFamily.withSeminorms_iff_topologicalSpace_eq_iInf _ _ _ _ _ _ _ (_)] at hp ⊢
  rw [iInf_sigma]
  exact iInf_congr hp

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Compactness.CompactlyCoherentSpace

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ Continuous[instTopologicalSpace, inst✝] ⇑(CompactCoherentification.mk X).symm

Tactic:
continuous_dom_iff

Goal state after:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ ∀ (K : Set X), IsCompact K → ContinuousOn (⇑(CompactCoherentification.mk X).symm ∘ ⇑(CompactCoherentification.mk X)) K
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.CompactConvergence

Goal state before:
pp: α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompleteSpace C(α, β)
f : α → β
s : Set α
l : Filter C(α, β)
hlc : Cauchy l
hlf : l ≤ 𝓟 {g | EqOn (⇑g) f s}
f' : C(α, β)
hf' : l ≤ 𝓝 f'
this : l.NeBot
H₁ : ∀ x ∈ s, Inseparable (f x) (f' x)
H₂ : ∀ (x : α), Inseparable (s.piecewise f (⇑f') x) (f' x)
⊢ ∃ x ∈ {g | EqOn (⇑g) f s}, l ≤ 𝓝 x

Tactic:
set g : C(α, β) :=
    ⟨s.piecewise f f', (continuous_congr_of_inseparable H₂).mpr <| map_continuous f'⟩

Goal state after:
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompleteSpace C(α, β)
f : α → β
s : Set α
l : Filter C(α, β)
hlc : Cauchy l
hlf : l ≤ 𝓟 {g | EqOn (⇑g) f s}
f' : C(α, β)
hf' : l ≤ 𝓝 f'
this : l.NeBot
H₁ : ∀ x ∈ s, Inseparable (f x) (f' x)
H₂ : ∀ (x : α), Inseparable (s.piecewise f (⇑f') x) (f' x)
g : C(α, β) := { toFun := s.piecewise f ⇑f', continuous_toFun := ⋯ }
⊢ ∃ x ∈ {g | EqOn (⇑g) f s}, l ≤ 𝓝 x
Module: Mathlib.Order.Filter.ENNReal

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u_1
f : Filter ι
u : ι → ℝ≥0
⊢ (∃ x,
      ∃ (hx : 0 ≤ x),
        ∀ (x_1 : ℝ) (hx_1 : 0 ≤ x_1),
          (∀ᶠ (a : ι) in f, ↑(NNReal.mk x_1 hx_1) ≤ ↑(u a)) → ↑(NNReal.mk x_1 hx_1) ≤ ↑(NNReal.mk x hx)) →
    ∃ b, ∀ (a : ℝ), (∀ᶠ (a_1 : ι) in f, ↑(u a_1) ≥ a) → b ≥ a

Tactic:
· rintro ⟨b, hb₀, hb⟩
    refine ⟨b, fun x hx ↦ ?_⟩
    obtain hx₀ | hx₀ := le_total x 0
    · exact hx₀.trans hb₀
    · exact hb _ hx₀ hx

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.UniformOn

Goal state before:
pp: case inr.inl
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : ∅.Finite
hst : Disjoint s ∅
⊢ (uniformOn s) u * (uniformOn (s ∪ ∅)) s + (uniformOn ∅) u * (uniformOn (s ∪ ∅)) ∅ = (uniformOn (s ∪ ∅)) u

Tactic:
simp [uniformOn_self hs hs']

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.SpecialFunctions.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
⊢ Measurable fun x ↦ ∞ ^ x

Tactic:
ENNReal.top_rpow_def

Goal state after:
case refine_2
⊢ Measurable fun x ↦ if 0 < x then ∞ else if x = 0 then 1 else 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Indicator

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace ε
inst✝¹ : ESeminormedAddMonoid ε
s : Set α
f : α → ε
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
g : α → ε
hs : MeasurableSet s
hf : MemLp f p (μ.restrict s)
hg : MemLp g p (μ.restrict sᶜ)
hp_zero : p = 0
⊢ MemLp (s.piecewise f g) p μ

pp: case neg
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace ε
inst✝¹ : ESeminormedAddMonoid ε
s : Set α
f : α → ε
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
g : α → ε
hs : MeasurableSet s
hf : MemLp f p (μ.restrict s)
hg : MemLp g p (μ.restrict sᶜ)
hp_zero : ¬p = 0
⊢ MemLp (s.piecewise f g) p μ

Tactic:
· simp only [hp_zero, memLp_zero_iff_aestronglyMeasurable]
    exact AEStronglyMeasurable.piecewise hs hf.1 hg.1

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace ε
inst✝¹ : ESeminormedAddMonoid ε
s : Set α
f : α → ε
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
g : α → ε
hs : MeasurableSet s
hf : MemLp f p (μ.restrict s)
hg : MemLp g p (μ.restrict sᶜ)
hp_zero : ¬p = 0
⊢ MemLp (s.piecewise f g) p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝⁴ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : (i : ι) → Group (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), MeasurableMul (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (μ i).IsMulLeftInvariant
v : (i : ι) → α i
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
⊢ ∏ i, (μ i) ((fun x ↦ v i * x) ⁻¹' s i) = ∏ i, (μ i) (s i)

Tactic:
simp_rw [measure_preimage_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
ε : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : ENorm ε
f : α → ε
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
h : ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ < ∞
hp' : 0 < p.toReal
⊢ eLpNorm f p μ < ∞

Tactic:
have : 0 < 1 / p.toReal := div_pos zero_lt_one hp'

Goal state after:
α : Type u_1
ε : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : ENorm ε
f : α → ε
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
h : ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ < ∞
hp' : 0 < p.toReal
this : 0 < 1 / p.toReal
⊢ eLpNorm f p μ < ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
q : ℝ
ε : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace ε
inst✝¹ : ESeminormedAddMonoid ε
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ε
hq_pos : 0 < q
⊢ eLpNorm' f q 0 = 0

Tactic:
by simp [eLpNorm', hq_pos]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
c : E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
⊢ MemLp (fun x ↦ c) p μ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ∞

Tactic:
memLp_const_iff_enorm enorm_ne_top hp_ne_zero hp_ne_top

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
c : E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
⊢ ‖c‖ₑ = 0 ∨ μ Set.univ < ∞ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ∞
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Slope

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)

Tactic:
have := StrictConvexOn.slope_strict_mono_adjacent hf.neg hx hz hxy hyz
  simp only [Pi.neg_apply] at this
  linear_combination this

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
⊢ y⁻¹ < (log y - log x) / (y - x)

Tactic:
rw [lt_div_iff₀ h]

Goal state after:
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
⊢ y⁻¹ * (y - x) < log y - log x
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p q : ℝ
h : p.HolderConjugate q
⊢ ENNReal.ofReal p⁻¹ + (ENNReal.ofReal q)⁻¹ = ENNReal.ofReal 1

Tactic:
← ENNReal.ofReal_inv_of_pos h.symm.pos,

Goal state after:
p q : ℝ
h : p.HolderConjugate q
⊢ ENNReal.ofReal p⁻¹ + ENNReal.ofReal q⁻¹ = ENNReal.ofReal 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
ε : Type u_8
inst✝ : ENorm ε
f : α → ε
μ ν : Measure α
⊢ eLpNorm f 1 (μ + ν) = eLpNorm f 1 μ + eLpNorm f 1 ν

Tactic:
simp_rw [eLpNorm_one_eq_lintegral_enorm]
  rw [lintegral_add_measure _ μ ν]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁴ : CommRing E
inst✝¹³ : LinearOrder E
inst✝¹² : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : LinearOrder F
inst✝⁹ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 G
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : Module E F
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝¹ : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a • a) • f x • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y) =
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)

Tactic:
← smul_smul_smul_comm b,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁴ : CommRing E
inst✝¹³ : LinearOrder E
inst✝¹² : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : LinearOrder F
inst✝⁹ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 G
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : Module E F
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝¹ : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y) =
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁷ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁶ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁵ : CommRing E
inst✝¹⁴ : LinearOrder E
inst✝¹³ : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : LinearOrder F
inst✝¹⁰ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : Module 𝕜 G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝¹ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst✝ : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)

Tactic:
← smul_smul_smul_comm b,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁷ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁶ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁵ : CommRing E
inst✝¹⁴ : LinearOrder E
inst✝¹³ : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : LinearOrder F
inst✝¹⁰ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : Module 𝕜 G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝¹ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst✝ : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)