mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
β : Type u_13
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
f : α → β
i : n ⊕ o
j : l ⊕ m
⊢ (fromBlocks A B C D).map f i j = fromBlocks (A.map f) (B.map f) (C.map f) (D.map f) i j

Tactic:
rcases i with ⟨⟩

Goal state after:
case inl
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
β : Type u_13
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
f : α → β
j : l ⊕ m
val✝ : n
⊢ (fromBlocks A B C D).map f (Sum.inl val✝) j = fromBlocks (A.map f) (B.map f) (C.map f) (D.map f) (Sum.inl val✝) j

case inr
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
β : Type u_13
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
f : α → β
j : l ⊕ m
val✝ : o
⊢ (fromBlocks A B C D).map f (Sum.inr val✝) j = fromBlocks (A.map f) (B.map f) (C.map f) (D.map f) (Sum.inr val✝) j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
i : l ⊕ m
j : n ⊕ o
⊢ (fromBlocks A B C D)ᵀ i j = fromBlocks Aᵀ Cᵀ Bᵀ Dᵀ i j

Tactic:
rcases i with ⟨⟩

Goal state after:
case inl
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
j : n ⊕ o
val✝ : l
⊢ (fromBlocks A B C D)ᵀ (Sum.inl val✝) j = fromBlocks Aᵀ Cᵀ Bᵀ Dᵀ (Sum.inl val✝) j

case inr
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
j : n ⊕ o
val✝ : m
⊢ (fromBlocks A B C D)ᵀ (Sum.inr val✝) j = fromBlocks Aᵀ Cᵀ Bᵀ Dᵀ (Sum.inr val✝) j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_10
α : Type u_12
inst✝ : SMul R α
x : R
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
i : n ⊕ o
j : l ⊕ m
⊢ (x • fromBlocks A B C D) i j = fromBlocks (x • A) (x • B) (x • C) (x • D) i j

Tactic:
rcases i with ⟨⟩

Goal state after:
case inl
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_10
α : Type u_12
inst✝ : SMul R α
x : R
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
j : l ⊕ m
val✝ : n
⊢ (x • fromBlocks A B C D) (Sum.inl val✝) j = fromBlocks (x • A) (x • B) (x • C) (x • D) (Sum.inl val✝) j

case inr
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_10
α : Type u_12
inst✝ : SMul R α
x : R
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
j : l ⊕ m
val✝ : o
⊢ (x • fromBlocks A B C D) (Sum.inr val✝) j = fromBlocks (x • A) (x • B) (x • C) (x • D) (Sum.inr val✝) j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
inst✝ : Zero α
i : n ⊕ o
j : l ⊕ m
⊢ fromBlocks 0 0 0 0 i j = 0 i j

Tactic:
rcases i with ⟨⟩

Goal state after:
case inl
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
inst✝ : Zero α
j : l ⊕ m
val✝ : n
⊢ fromBlocks 0 0 0 0 (Sum.inl val✝) j = 0 (Sum.inl val✝) j

case inr
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
inst✝ : Zero α
j : l ⊕ m
val✝ : o
⊢ fromBlocks 0 0 0 0 (Sum.inr val✝) j = 0 (Sum.inr val✝) j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
inst✝ : Add α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
A' : Matrix n l α
B' : Matrix n m α
C' : Matrix o l α
D' : Matrix o m α
i : n ⊕ o
j : l ⊕ m
⊢ (fromBlocks A B C D + fromBlocks A' B' C' D') i j = fromBlocks (A + A') (B + B') (C + C') (D + D') i j

Tactic:
rcases i with ⟨⟩

Goal state after:
case inl
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
inst✝ : Add α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
A' : Matrix n l α
B' : Matrix n m α
C' : Matrix o l α
D' : Matrix o m α
j : l ⊕ m
val✝ : n
⊢ (fromBlocks A B C D + fromBlocks A' B' C' D') (Sum.inl val✝) j =
    fromBlocks (A + A') (B + B') (C + C') (D + D') (Sum.inl val✝) j

case inr
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
inst✝ : Add α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
A' : Matrix n l α
B' : Matrix n m α
C' : Matrix o l α
D' : Matrix o m α
j : l ⊕ m
val✝ : o
⊢ (fromBlocks A B C D + fromBlocks A' B' C' D') (Sum.inr val✝) j =
    fromBlocks (A + A') (B + B') (C + C') (D + D') (Sum.inr val✝) j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
α : Type u_12
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
A' : Matrix l p α
B' : Matrix l q α
C' : Matrix m p α
D' : Matrix m q α
i : n ⊕ o
j : p ⊕ q
⊢ (fromBlocks A B C D * fromBlocks A' B' C' D') i j =
    fromBlocks (A * A' + B * C') (A * B' + B * D') (C * A' + D * C') (C * B' + D * D') i j

Tactic:
rcases i with ⟨⟩

Goal state after:
case inl
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
α : Type u_12
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
A' : Matrix l p α
B' : Matrix l q α
C' : Matrix m p α
D' : Matrix m q α
j : p ⊕ q
val✝ : n
⊢ (fromBlocks A B C D * fromBlocks A' B' C' D') (Sum.inl val✝) j =
    fromBlocks (A * A' + B * C') (A * B' + B * D') (C * A' + D * C') (C * B' + D * D') (Sum.inl val✝) j

case inr
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
α : Type u_12
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
A' : Matrix l p α
B' : Matrix l q α
C' : Matrix m p α
D' : Matrix m q α
j : p ⊕ q
val✝ : o
⊢ (fromBlocks A B C D * fromBlocks A' B' C' D') (Sum.inr val✝) j =
    fromBlocks (A * A' + B * C') (A * B' + B * D') (C * A' + D * C') (C * B' + D * D') (Sum.inr val✝) j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
x : n ⊕ o → α
i : l ⊕ m
⊢ (x ᵥ* fromBlocks A B C D) i = Sum.elim (x ∘ Sum.inl ᵥ* A + x ∘ Sum.inr ᵥ* C) (x ∘ Sum.inl ᵥ* B + x ∘ Sum.inr ᵥ* D) i

Tactic:
cases i <;> simp [vecMul, dotProduct]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
d₁ : l → α
d₂ : m → α
i j : l ⊕ m
⊢ fromBlocks (diagonal d₁) 0 0 (diagonal d₂) i j = diagonal (Sum.elim d₁ d₂) i j

Tactic:
rcases i with ⟨⟩

Goal state after:
case inl
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
d₁ : l → α
d₂ : m → α
j : l ⊕ m
val✝ : l
⊢ fromBlocks (diagonal d₁) 0 0 (diagonal d₂) (Sum.inl val✝) j = diagonal (Sum.elim d₁ d₂) (Sum.inl val✝) j

case inr
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
d₁ : l → α
d₂ : m → α
j : l ⊕ m
val✝ : m
⊢ fromBlocks (diagonal d₁) 0 0 (diagonal d₂) (Sum.inr val✝) j = diagonal (Sum.elim d₁ d₂) (Sum.inr val✝) j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Block

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
i j : l ⊕ m
⊢ fromBlocks 1 0 0 1 i j = 1 i j

Tactic:
rcases i with ⟨⟩

Goal state after:
case inl
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
j : l ⊕ m
val✝ : l
⊢ fromBlocks 1 0 0 1 (Sum.inl val✝) j = 1 (Sum.inl val✝) j

case inr
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
j : l ⊕ m
val✝ : m
⊢ fromBlocks 1 0 0 1 (Sum.inr val✝) j = 1 (Sum.inr val✝) j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.RowCol

Goal state before:
pp: m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Unique ι
w : m → α
v : n → α
i✝ : m
j✝ : n
⊢ vecMulVec w v i✝ j✝ = (replicateCol ι w * replicateRow ι v) i✝ j✝

Tactic:
simp [vecMulVec, mul_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩} = R ∙ generator (ϕ.submoduleImage N)

pp: R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∈ span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩}

Tactic:
←
    span_singleton_generator (Submodule.span R {a, ψ ⟨y, hNO yN⟩})

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ R ∙ generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩}) = R ∙ generator (ϕ.submoduleImage N)

R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∈ span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
x : A ⊗[R] N
⊢ (LinearEquiv.baseChange R A N M e.symm) x = (LinearEquiv.baseChange R A M N e).symm x

Tactic:
rw [LinearEquiv.eq_symm_apply]

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
x : A ⊗[R] N
⊢ (LinearEquiv.baseChange R A M N e) ((LinearEquiv.baseChange R A N M e.symm) x) = x
Module: Mathlib.RingTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₁' : X
s₁' : ↥S
r₁ : X
s₁ sb : ↥S
rb : R
hb : sb • r₁ = rb • r₁'
hb' : ↑sb * ↑s₁ = rb * ↑s₁'
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑s₁' = rc * ↑s₂
rd : R
sd : ↥S
hd : ↑sd * rb = rd * ↑sc
this : ↑sd * ↑sb * ↑s₁ = rd * rc * ↑s₂
⊢ (↑sc • r₁' + rc • r₂) /ₒ ⟨↑sc * ↑s₁', ⋯⟩ = ((↑sd * ↑sb) • r₁ + (rd * rc) • r₂) /ₒ ⟨↑sd * ↑sb * ↑s₁, ⋯⟩

Tactic:
rw [mul_smul, ← Submonoid.smul_def sb, hb, smul_smul, hd, oreDiv_eq_iff]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₁' : X
s₁' : ↥S
r₁ : X
s₁ sb : ↥S
rb : R
hb : sb • r₁ = rb • r₁'
hb' : ↑sb * ↑s₁ = rb * ↑s₁'
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑s₁' = rc * ↑s₂
rd : R
sd : ↥S
hd : ↑sd * rb = rd * ↑sc
this : ↑sd * ↑sb * ↑s₁ = rd * rc * ↑s₂
⊢ ∃ u v,
    u • ((rd * ↑sc) • r₁' + (rd * rc) • r₂) = v • (↑sc • r₁' + rc • r₂) ∧
      ↑u * ↑⟨↑sd * ↑sb * ↑s₁, ⋯⟩ = v * ↑⟨↑sc * ↑s₁', ⋯⟩
Module: Mathlib.RingTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ sb : ↥S
rb : R
hb : sb • r₂ = rb • r₁
hb' : ↑sb * ↑s₂ = rb * ↑s₁
r₃ : X
s₃ : ↥S
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑s₃ = rc * ↑s₂
rd : R
sd : ↥S
hd : ↑sd * rc = rd * ↑sb
⊢ rd * ↑sb * ↑s₂ = ↑sd * ↑sc * ↑s₃

Tactic:
← hd,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ sb : ↥S
rb : R
hb : sb • r₂ = rb • r₁
hb' : ↑sb * ↑s₂ = rb * ↑s₁
r₃ : X
s₃ : ↥S
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑s₃ = rc * ↑s₂
rd : R
sd : ↥S
hd : ↑sd * rc = rd * ↑sb
⊢ ↑sd * rc * ↑s₂ = ↑sd * ↑sc * ↑s₃
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: case neg.intro.refine_2.refine_1.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R ↥M'
z : O
zM : z ∈ M
⊢ M.subtype (⟨z, zM⟩ - ϕ ⟨z, zM⟩ • ⟨y', y'M⟩) = z + -ϕ ⟨z, zM⟩ • y'

Tactic:
rw [map_sub, map_smul, sub_eq_add_neg, neg_smul]
      rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝ : Fintype m
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
⊢ (∑ i_1, M j i_1 * (Finsupp.single i 1) i_1) • v₂ j = M j i • v₂ j

Tactic:
Finset.sum_eq_single i,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝ : Fintype m
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
⊢ (M j i * (Finsupp.single i 1) i) • v₂ j = M j i • v₂ j

case h₀
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝ : Fintype m
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → M j b * (Finsupp.single i 1) b = 0

case h₁
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝ : Fintype m
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
⊢ i ∉ Finset.univ → M j i * (Finsupp.single i 1) i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : IsDomain R
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
⊢ ∃ n, Nonempty (Basis (Fin n) R ↥N)

Tactic:
by
  have := Classical.decEq M
  cases nonempty_fintype ι
  induction N using inductionOnRank b with | ih N ih =>
  let b' := (b.reindex (Fintype.equivFin ι)).map (LinearEquiv.ofTop _ rfl).symm
  by_cases N_bot : N = ⊥
  · subst N_bot
    exact ⟨0, ⟨Basis.empty _⟩⟩
  obtain ⟨y, -, a, hay, M', -, N', N'_le_N, -, -, ay_ortho, h'⟩ :=
    Submodule.basis_of_pid_aux ⊤ N b' N_bot le_top
  obtain ⟨n', ⟨bN'⟩⟩ := ih N' N'_le_N _ hay ay_ortho
  obtain ⟨bN, _hbN⟩ := h' n' bN'
  exact ⟨n' + 1, ⟨bN⟩⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: case refine_2
A : Type u_3
inst✝ : Semiring A
h : ∀ (n : ℕ) (f : End A (Fin n → A)), Surjective ⇑f → Injective ⇑f
n : ℕ
f g : End A (Fin n → A)
eq : f * g = 1
⊢ g * f = 1

Tactic:
have surj := surjective_of_comp_eq_id _ _ eq
    have := (LinearEquiv.ofBijective f ⟨h _ _ surj, surj⟩).symm_comp
    rwa [← left_inv_eq_right_inv this eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝¹⁹ : CommSemiring R✝
M✝ N : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁷ : Algebra R✝ S✝
P✝ : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring P✝
inst✝¹⁵ : IsLocalization M✝ S✝
g : R✝ →+* P✝
hg : ∀ (y : ↥M✝), IsUnit (g ↑y)
A : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommSemiring A
R : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Algebra A R
M : Submonoid R
S : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra A S
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : IsScalarTower A R S
inst✝⁷ : IsLocalization M S
P : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring P
inst✝⁵ : Algebra A P
T : Submonoid P
Q : Type u_8
inst✝⁴ : CommSemiring Q
inst✝³ : Algebra A Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsScalarTower A P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
h : R ≃ₐ[A] P
H : Submonoid.map h M = T
x✝ : A
⊢ (ringEquivOfRingEquiv S Q h.toRingEquiv H).toFun ((algebraMap A S) x✝) = (algebraMap A Q) x✝

Tactic:
dsimp; rw [IsScalarTower.algebraMap_apply A R S, map_eq,
    RingHom.coe_coe, AlgEquiv.commutes, IsScalarTower.algebraMap_apply A P Q]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
⊢ ∀ (z : ℚ), ∃ x, z * (algebraMap ℤ ℚ) ↑x.2 = (algebraMap ℤ ℚ) x.1

Tactic:
rintro ⟨n, d, hd, h⟩

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
n : ℤ
d : ℕ
hd : d ≠ 0
h : n.natAbs.Coprime d
⊢ ∃ x, { num := n, den := d, den_nz := hd, reduced := h } * (algebraMap ℤ ℚ) ↑x.2 = (algebraMap ℤ ℚ) x.1
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
t : Set B
⊢ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1})) ≤ (adjoin R s).prod (adjoin R t)

pp: case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
t : Set B
⊢ (adjoin R s).prod (adjoin R t) ≤ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))

Tactic:
· simp only [adjoin_le_iff, Set.insert_subset_iff, Subalgebra.zero_mem, Subalgebra.one_mem,
      subset_adjoin, -- the rest comes from `squeeze_simp`
      Set.union_subset_iff,
      LinearMap.coe_inl, Set.mk_preimage_prod_right, Set.image_subset_iff, SetLike.mem_coe,
      Set.mk_preimage_prod_left, LinearMap.coe_inr, and_self_iff, Set.union_singleton,
      Subalgebra.coe_prod]

Goal state after:
case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
t : Set B
⊢ (adjoin R s).prod (adjoin R t) ≤ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
h : R ≃+* P
⊢ P⁰ = Submonoid.map h R⁰

Tactic:
exact (MulEquivClass.map_nonZeroDivisors h).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
S₁ : Type u_4
S₂ : Type u_5
T : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring S₁
inst✝¹¹ : CommSemiring S₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring T
inst✝⁹ : Algebra R S₁
inst✝⁸ : Algebra R S₂
inst✝⁷ : Algebra R T
inst✝⁶ : Algebra S₁ T
inst✝⁵ : Algebra S₂ T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S₁ T
inst✝³ : IsScalarTower R S₂ T
M₁ M₂ : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization M₁ S₁
inst✝¹ : IsLocalization M₂ S₂
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S₂ M₁) T
x y : S₁
r s : R
d : ↥M₁
hr : x * (algebraMap R S₁) ↑d = (algebraMap R S₁) r
hs : y * (algebraMap R S₁) ↑d = (algebraMap R S₁) s
hxy : (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) r) = (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) s)
c : R
hmc : c ∈ ↑M₁
hc : (algebraMap R S₂) (c * r) = (algebraMap R S₂) (c * s)
a : ↥M₂
ha : ↑a * (c * r) = ↑a * (c * s)
⊢ (algebraMap R S₁) (↑a * (r * ↑⟨c, hmc⟩)) =
    ↑⟨(algebraMap R S₁) ↑a, ⋯⟩ * (algebraMap R S₁) s * (algebraMap R S₁) ↑⟨c, hmc⟩

Tactic:
mul_comm _ c,

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
S₁ : Type u_4
S₂ : Type u_5
T : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring S₁
inst✝¹¹ : CommSemiring S₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring T
inst✝⁹ : Algebra R S₁
inst✝⁸ : Algebra R S₂
inst✝⁷ : Algebra R T
inst✝⁶ : Algebra S₁ T
inst✝⁵ : Algebra S₂ T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S₁ T
inst✝³ : IsScalarTower R S₂ T
M₁ M₂ : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization M₁ S₁
inst✝¹ : IsLocalization M₂ S₂
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S₂ M₁) T
x y : S₁
r s : R
d : ↥M₁
hr : x * (algebraMap R S₁) ↑d = (algebraMap R S₁) r
hs : y * (algebraMap R S₁) ↑d = (algebraMap R S₁) s
hxy : (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) r) = (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) s)
c : R
hmc : c ∈ ↑M₁
hc : (algebraMap R S₂) (c * r) = (algebraMap R S₂) (c * s)
a : ↥M₂
ha : ↑a * (c * r) = ↑a * (c * s)
⊢ (algebraMap R S₁) (↑a * (c * r)) = ↑⟨(algebraMap R S₁) ↑a, ⋯⟩ * (algebraMap R S₁) s * (algebraMap R S₁) ↑⟨c, hmc⟩