mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DSlope

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
a b : 𝕜
f : 𝕜 → E
h : b ≠ a
⊢ dslope f a b = slope f a b

Tactic:
classical
  exact update_of_ne h ..

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸' : Type u_6
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
hd : HasStrictFDerivAt d d' x
z : E →L[𝕜] 𝔸'
x✝ : E
⊢ (d x •> z) x✝ = (z <• d x) x✝

Tactic:
apply mul_comm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
𝔸' : Type u_6
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hd : HasFDerivWithinAt d d' s x
z : E →L[𝕜] 𝔸'
x✝ : E
⊢ (d x •> z) x✝ = (z <• d x) x✝

Tactic:
apply mul_comm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸' : Type u_6
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
hd : HasFDerivAt d d' x
z : E →L[𝕜] 𝔸'
x✝ : E
⊢ (d x •> z) x✝ = (z <• d x) x✝

Tactic:
apply mul_comm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸' : Type u_6
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c : E → 𝔸'
c' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
d : 𝔸'
z : E →L[𝕜] 𝔸'
x✝ : E
⊢ (d •> z) x✝ = (z <• d) x✝

Tactic:
apply mul_comm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
𝔸' : Type u_6
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c : E → 𝔸'
c' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸'
z : E →L[𝕜] 𝔸'
x✝ : E
⊢ (d •> z) x✝ = (z <• d) x✝

Tactic:
apply mul_comm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸' : Type u_6
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
c : E → 𝔸'
c' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
d : 𝔸'
z : E →L[𝕜] 𝔸'
x✝ : E
⊢ (d •> z) x✝ = (z <• d) x✝

Tactic:
apply mul_comm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Inv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
⊢ (fun p ↦ (p.1 - p.2) * ((x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹)) =o[𝓝 (x, x)] fun p ↦ (p.1 - p.2) * 1

Tactic:
refine (isBigO_refl (fun p : 𝕜 × 𝕜 => p.1 - p.2) _).mul_isLittleO ((isLittleO_one_iff 𝕜).2 ?_)

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
⊢ Tendsto (fun p ↦ (x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹) (𝓝 (x, x)) (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Inv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hx : c x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt c⁻¹ (-c' / c x ^ 2) s x

Tactic:
convert! (hasDerivAt_inv hx).comp_hasDerivWithinAt x hc using 1
  ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
t : Set 𝕜'
x : E
hh : HasDerivWithinAt h₂ h₂' t y
hf : HasFDerivAt f f' x
ht : ∀ᶠ (x' : E) in 𝓝 x, f x' ∈ t
hy : y = f x
⊢ HasFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x

Tactic:
subst y

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
t : Set 𝕜'
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
ht : ∀ᶠ (x' : E) in 𝓝 x, f x' ∈ t
hh : HasDerivWithinAt h₂ h₂' t (f x)
⊢ HasFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' y : 𝕜'
t : Set 𝕜'
hh₂ : HasDerivWithinAt h₂ h₂' t y
hh : HasDerivAt h h' x
ht : ∀ᶠ (x' : 𝕜) in 𝓝 x, h x' ∈ t
hy : y = h x
⊢ HasDerivAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x

Tactic:
subst y

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
t : Set 𝕜'
hh : HasDerivAt h h' x
ht : ∀ᶠ (x' : 𝕜) in 𝓝 x, h x' ∈ t
hh₂ : HasDerivWithinAt h₂ h₂' t (h x)
⊢ HasDerivAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z₀, x ∈ {z₀}ᶜ → f x = (x - z₀) ^ m • g x
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z₀, x ∈ {z₀}ᶜ → f x = (x - z₀) ^ n • j x
hj_ne : m ≠ n
z : 𝕜
hfz : z ∈ {z₀}ᶜ → f z = (z - z₀) ^ n • (z - z₀) ^ (m - n) • g z
hfz' : z ∈ {z₀}ᶜ → f z = (z - z₀) ^ n • j z
hz : z ∈ {z₀}ᶜ
⊢ j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z

Tactic:
hfz' hz,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z₀, x ∈ {z₀}ᶜ → f x = (x - z₀) ^ m • g x
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z₀, x ∈ {z₀}ᶜ → f x = (x - z₀) ^ n • j x
hj_ne : m ≠ n
z : 𝕜
hfz : z ∈ {z₀}ᶜ → (z - z₀) ^ n • j z = (z - z₀) ^ n • (z - z₀) ^ (m - n) • g z
hfz' : z ∈ {z₀}ᶜ → f z = (z - z₀) ^ n • j z
hz : z ∈ {z₀}ᶜ
⊢ j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
t : Set F
hl : HasFDerivWithinAt l l' t y
hf : HasDerivAt f f' x
ht : ∀ᶠ (x' : 𝕜) in 𝓝 x, f x' ∈ t
hy : y = f x
⊢ HasDerivAt (l ∘ f) (l' f') x

Tactic:
subst y

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
t : Set F
hf : HasDerivAt f f' x
ht : ∀ᶠ (x' : 𝕜) in 𝓝 x, f x' ∈ t
hl : HasFDerivWithinAt l l' t (f x)
⊢ HasDerivAt (l ∘ f) (l' f') x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
t : Set F
hl : HasFDerivWithinAt l l' t y
hf : HasDerivAt f f' x
ht : ∀ᶠ (x' : 𝕜) in 𝓝 x, f x' ∈ t
hy : y = f x
⊢ HasDerivAt (l ∘ f) (l' f') x

Tactic:
subst y; exact hl.comp_hasDerivAt x hf ht

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.RCLike

Goal state before:
pp: n : WithTop ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : n ≠ 0
u : Set E'
p : E' → FormalMultilinearSeries 𝕂 E' F'
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
H : u ∈ 𝓝 x
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x

Tactic:
have := hp.hasStrictFDerivAt one_ne_zero H

Goal state after:
n : WithTop ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : n ≠ 0
u : Set E'
p : E' → FormalMultilinearSeries 𝕂 E' F'
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
H : u ∈ 𝓝 x
this : HasStrictFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕂 E' F') (p x 1)) x
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞ω
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x ↦ 0

Tactic:
exact contDiff_const

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
s : Set E
f' : E → E →L[𝕜] G
x₀ : E
n : ℕ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hff' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
c : ℝ
hc : 0 < c
hf' : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, ‖f' x‖ ≤ c * ‖x - x₀‖ ^ n
h1 : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, x ∈ s
x : E
⊢ x ∈ s →
    (∀ y ∈ [x₀ -[ℝ] x], ‖f' y‖ ≤ c * ‖y - x₀‖ ^ n) → [x₀ -[ℝ] x] ⊆ s ∧ ∀ y ∈ [x₀ -[ℝ] x], ‖f' y‖ ≤ c * ‖x - x₀‖ ^ n

Tactic:
hxs

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
s : Set E
f' : E → E →L[𝕜] G
x₀ : E
n : ℕ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hff' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
c : ℝ
hc : 0 < c
hf' : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, ‖f' x‖ ≤ c * ‖x - x₀‖ ^ n
h1 : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, x ∈ s
x : E
hxs : x ∈ s
⊢ (∀ y ∈ [x₀ -[ℝ] x], ‖f' y‖ ≤ c * ‖y - x₀‖ ^ n) → [x₀ -[ℝ] x] ⊆ s ∧ ∀ y ∈ [x₀ -[ℝ] x], ‖f' y‖ ≤ c * ‖x - x₀‖ ^ n
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : 𝕜 → G
s : Set 𝕜
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hs' : IsPreconnected s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hf' : EqOn (deriv f) 0 s
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a : 𝕜
ha : a ∈ s
⊢ fderiv 𝕜 f a = 0 a

Tactic:
ext; simp [← toSpanSingleton_deriv, hf' ha]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: case right
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ EqOn (↑(e.restr e'.source)) (↑(e'.restr e.source)) (e.source ∩ e'.source)

Tactic:
refine (EqOn.trans ?_ h).trans ?_

Goal state after:
case right.refine_1
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ EqOn (↑(e.restr e'.source)) (↑e) (e.source ∩ e'.source)

case right.refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ EqOn (↑e') (↑(e'.restr e.source)) (e.source ∩ e'.source)
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : OpenPartialHomeomorph X Y
s : Set X
⊢ e.source ∩ interior (e.source ∩ s) = e.source ∩ interior s

Tactic:
simp [interior_eq_iff_isOpen.mpr e.open_source]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.IteratedDeriv.Defs

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
hsx : AccPt x (𝓟 s)
⊢ iteratedDerivWithin 1 f s x = derivWithin f s x

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
hsx : ¬AccPt x (𝓟 s)
⊢ iteratedDerivWithin 1 f s x = derivWithin f s x

Tactic:
· simp only [iteratedDerivWithin, iteratedFDerivWithin_one_apply hsx.uniqueDiffWithinAt,
      derivWithin]

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
hsx : ¬AccPt x (𝓟 s)
⊢ iteratedDerivWithin 1 f s x = derivWithin f s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
t : Set F
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c✝ : OrderedFinpartition n
c : OrderedFinpartition (n + 1)
hc : range (c.emb 0) = {0}
⊢ Fin (c.length - 1) → ℕ

Tactic:
have : c.length - 1 + 1 = c.length := Nat.sub_add_cancel (c.length_pos (Nat.zero_lt_succ n))
    exact fun i ↦ c.partSize (Fin.cast this (succ i))

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Algebra.Exponential

Goal state before:
pp: 𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁷ : NormedRing 𝔸
inst✝⁶ : NormedRing 𝔹
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔹
inst✝² : CharZero 𝕂
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F 𝔸 𝔹
inst✝ : RingHomClass F 𝔸 𝔹
f : F
hf :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    ⇑f
x : 𝔸
hx : x ∈ Metric.eball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ f ((fun x ↦ ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) x) = exp (f x)

Tactic:
exp_eq_tsum 𝕂

Goal state after:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁷ : NormedRing 𝔸
inst✝⁶ : NormedRing 𝔹
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔹
inst✝² : CharZero 𝕂
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F 𝔸 𝔹
inst✝ : RingHomClass F 𝔸 𝔹
f : F
hf :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    ⇑f
x : 𝔸
hx : x ∈ Metric.eball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ f ((fun x ↦ ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) x) = (fun x ↦ ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (f x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Operations

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
F' : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
inst✝ : DecidableEq ι
k : ℕ∞ω
x : (i : ι) → F' i
i j : ι
h : ¬j = i
⊢ ContDiff 𝕜 k fun x_1 ↦ x j

Tactic:
exact contDiff_const

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LocalExtr.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : StrongDual ℝ E
s : Set E
a y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
⊢ f' y ≤ 0

Tactic:
rcases exists_fun_of_mem_tangentConeAt hy with ⟨ι, l, hl, c, d, hd₀, hd, hcd⟩

Goal state after:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : StrongDual ℝ E
s : Set E
a y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
ι : Type u
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → ℝ≥0
d : ι → E
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hd : ∀ᶠ (n : ι) in l, a + d n ∈ s
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ f' y ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LocalExtr.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
⊢ 0 ≤ (fderivWithin ℝ f s a) y

Tactic:
classical
  exact
    if hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s a then h.hasFDerivWithinAt_nonneg hf.hasFDerivWithinAt hy
    else by rw [fderivWithin_zero_of_not_differentiableWithinAt hf]; rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Operations

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
ι : Type u_3
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
x : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
h : ∀ j ∈ u, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) (f j) s x
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun z ↦ ∑ j ∈ u, f j z) s x = ∑ j ∈ u, iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f j) s x

Tactic:
convert! iteratedFDerivWithin_sum_apply hs hx h
  rw [Finset.sum_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Order.Rolle

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hfI : f a = f b
ne : (Icc a b).Nonempty
c : X
cmem : c ∈ Icc a b
cle : ∀ x ∈ Icc a b, f c ≤ f x
C : X
Cmem : C ∈ Icc a b
Cge : ∀ x ∈ Icc a b, f x ≤ f C
hc : f c = f a
hC : ¬f C = f a
h : C = b
⊢ f C = f a

Tactic:
rw [h, hfI]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Order.Rolle

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hfI : f a = f b
ne : (Icc a b).Nonempty
c : X
cmem : c ∈ Icc a b
cle : ∀ x ∈ Icc a b, f c ≤ f x
C : X
Cmem : C ∈ Icc a b
Cge : ∀ x ∈ Icc a b, f x ≤ f C
hc : ¬f c = f a
h : c = b
⊢ f c = f a

Tactic:
rw [h, hfI]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Operations

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞ω
𝕜' : Type u_4
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝕜'
hf : ContDiff 𝕜 n f
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0
⊢ ContDiff 𝕜 n f⁻¹

Tactic:
by
  rw [contDiff_iff_contDiffAt]; exact fun x => hf.contDiffAt.inv (h x)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Operations

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞ω
inst✝ : CompleteSpace E
f : OpenPartialHomeomorph E F
f₀' : E ≃L[𝕜] F
a : F
ha : a ∈ f.target
hf₀' : HasFDerivAt (↑f) (↑f₀') (↑f.symm a)
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑↑n) (↑f) (↑f.symm a) → ContDiffAt 𝕜 (↑↑n) (↑f.symm) a
hf : ContDiffAt 𝕜 (↑↑n.succ) (↑f) (↑f.symm a)
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' (↑f.symm a)
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 (↑f.symm a)
hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
eq_f₀' : f' (↑f.symm a) = ↑f₀'
h_nhds : {y | ∃ e, ↑e = f' y} ∈ 𝓝 (↑f.symm a)
t : Set E
htu : t ⊆ u ∩ {y | ∃ e, ↑e = f' y}
ht : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t
htf : ↑f.symm a ∈ t
x : F
hx : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' t
hxu : ↑f.symm x ∈ u
e : E ≃L[𝕜] F
he : ↑e = f' (↑f.symm x)
⊢ HasFDerivAt (↑f) (↑e) (↑f.symm x)

Tactic:
rw [he]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞ω
inst✝ : CompleteSpace E
f : OpenPartialHomeomorph E F
f₀' : E ≃L[𝕜] F
a : F
ha : a ∈ f.target
hf₀' : HasFDerivAt (↑f) (↑f₀') (↑f.symm a)
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑↑n) (↑f) (↑f.symm a) → ContDiffAt 𝕜 (↑↑n) (↑f.symm) a
hf : ContDiffAt 𝕜 (↑↑n.succ) (↑f) (↑f.symm a)
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' (↑f.symm a)
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 (↑f.symm a)
hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
eq_f₀' : f' (↑f.symm a) = ↑f₀'
h_nhds : {y | ∃ e, ↑e = f' y} ∈ 𝓝 (↑f.symm a)
t : Set E
htu : t ⊆ u ∩ {y | ∃ e, ↑e = f' y}
ht : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t
htf : ↑f.symm a ∈ t
x : F
hx : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' t
hxu : ↑f.symm x ∈ u
e : E ≃L[𝕜] F
he : ↑e = f' (↑f.symm x)
⊢ HasFDerivAt (↑f) (f' (↑f.symm x)) (↑f.symm x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.MeanValue

Goal state before:
pp: f : ℝ → ℝ
a : ℝ
hf : ∃ i < a, ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ Ioo i a → deriv f x ∈ Iic (-1)
f' : ℝ → ℝ := f ∘ Neg.neg
⊢ deriv f' =ᶠ[𝓝[>] (-a)] -deriv f ∘ Neg.neg

Tactic:
rw [EventuallyEq, (nhdsGT_basis (-a)).eventually_iff]

Goal state after:
f : ℝ → ℝ
a : ℝ
hf : ∃ i < a, ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ Ioo i a → deriv f x ∈ Iic (-1)
f' : ℝ → ℝ := f ∘ Neg.neg
⊢ ∃ i, -a < i ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ Ioo (-a) i → deriv f' x = (-deriv f ∘ Neg.neg) x
Module: Mathlib.Geometry.Convex.Cone.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
s : Set M
x : M
hs : Convex 𝕜 s
hx : x ∈ hull 𝕜 s
r₁ : 𝕜
hr₁ : 0 < r₁
y : M
r₂ : 𝕜
hr₂ : 0 < r₂
hy : y ∈ r₂ • s
⊢ r₁ • y ∈ (r₁ * r₂) • s

Tactic:
rw [mul_smul]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
s : Set M
x : M
hs : Convex 𝕜 s
hx : x ∈ hull 𝕜 s
r₁ : 𝕜
hr₁ : 0 < r₁
y : M
r₂ : 𝕜
hr₂ : 0 < r₂
hy : y ∈ r₂ • s
⊢ r₁ • y ∈ r₁ • r₂ • s
Module: Mathlib.Geometry.Convex.Cone.Pointed

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
C : PointedCone R E
r : R
x✝ : E
hx : x✝ ∈ C.support.carrier
hr✝ : ¬0 ≤ r
hr : 0 ≤ -r
⊢ r • x✝ ∈ C.support.carrier

Tactic:
simpa using And.intro (C.smul_mem hr hx.2) (C.smul_mem hr hx.1)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
h : 0 ∈ s
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ s} = 0

Tactic:
simp only [smul_zero, sep_true, h, csInf_Ioi]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Cone.Extension

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
c : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ)
hcs : c ⊆ S
c_chain : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
y : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hy : y ∈ c
cne : c.Nonempty
hcd : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
x : E
hx : x ∈ (LinearPMap.sSup c hcd).domain
hxs : ↑⟨x, hx⟩ ∈ s
hdir : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (LinearPMap.domain '' c)
⊢ 0 ≤ ↑(LinearPMap.sSup c hcd) ⟨x, hx⟩

Tactic:
rcases (mem_sSup_of_directed (cne.image _) hdir).1 hx with ⟨_, ⟨f, hfc, rfl⟩, hfx⟩

Goal state after:
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
c : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ)
hcs : c ⊆ S
c_chain : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
y : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hy : y ∈ c
cne : c.Nonempty
hcd : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
x : E
hx : x ∈ (LinearPMap.sSup c hcd).domain
hxs : ↑⟨x, hx⟩ ∈ s
hdir : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (LinearPMap.domain '' c)
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hfc : f ∈ c
hfx : x ∈ f.domain
⊢ 0 ≤ ↑(LinearPMap.sSup c hcd) ⟨x, hx⟩