Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.LogLikelihoodRatio

Goal state before:
pp: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable (fun x ↦ rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
h0 : NeZero μ
x : α
hx : ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_lt_top : μ.rnDeriv ν x < ∞
⊢ f x + -log (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) + log (μ.rnDeriv ν x).toReal = f x - log (∫ (z : α), rexp (f z) ∂μ) + llr μ ν x

pp: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable (fun x ↦ rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
h0 : NeZero μ
x : α
hx : ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_lt_top : μ.rnDeriv ν x < ∞
⊢ (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)⁻¹ ≠ 0

pp: case hx
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable (fun x ↦ rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
h0 : NeZero μ
x : α
hx : ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_lt_top : μ.rnDeriv ν x < ∞
⊢ rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ ≠ 0

pp: case hy
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable (fun x ↦ rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
h0 : NeZero μ
x : α
hx : ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_lt_top : μ.rnDeriv ν x < ∞
⊢ (μ.rnDeriv ν x).toReal ≠ 0

Tactic:
llr,

Goal state after:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable (fun x ↦ rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
h0 : NeZero μ
x : α
hx : ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_lt_top : μ.rnDeriv ν x < ∞
⊢ f x + -log (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) + log (μ.rnDeriv ν x).toReal =
    f x - log (∫ (z : α), rexp (f z) ∂μ) + log (μ.rnDeriv ν x).toReal

α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable (fun x ↦ rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
h0 : NeZero μ
x : α
hx : ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_lt_top : μ.rnDeriv ν x < ∞
⊢ (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)⁻¹ ≠ 0

case hx
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable (fun x ↦ rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
h0 : NeZero μ
x : α
hx : ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_lt_top : μ.rnDeriv ν x < ∞
⊢ rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ ≠ 0

case hy
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable (fun x ↦ rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
h0 : NeZero μ
x : α
hx : ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
hx_lt_top : μ.rnDeriv ν x < ∞
⊢ (μ.rnDeriv ν x).toReal ≠ 0