mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Finiteness

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : ↥t → Type u_1
inst✝⁷ : (g : ↥t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : ↥t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↥t → Type u_2
inst✝⁵ : (g : ↥t) → CommSemiring (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↥t) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : ↥t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↥t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : ↥t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↥t) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : ↥t), IsLocalizedModule.Away (↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↥t), Module.Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : ↥t) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : ↥t), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : ↥t → Finset M := ⋯
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := ⋯
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x ↦ ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ :
  ↑⟨(fun x ↦ ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x ↦ ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈
    Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))
⊢ ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Submodule.span R ↑(sf r)

Tactic:
pow_add,

Goal state after:
case h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : ↥t → Type u_1
inst✝⁷ : (g : ↥t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : ↥t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↥t → Type u_2
inst✝⁵ : (g : ↥t) → CommSemiring (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↥t) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : ↥t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↥t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : ↥t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↥t) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : ↥t), IsLocalizedModule.Away (↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↥t), Module.Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : ↥t) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : ↥t), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : ↥t → Finset M := fun x ↦ IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x ↦ ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ :
  ↑⟨(fun x ↦ ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x ↦ ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈
    Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))
⊢ (↑r ^ n₂ * ↑r ^ n₁) • x ∈ Submodule.span R ↑(sf r)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Uncurry.Fin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
m : ℕ
f : M [⋀^Fin (m + 1)]→ₗ[R] N
v : Fin (m + 1 + 1) → M
j : Fin (m + 1 + 1)
i : Fin (m + 1)
hvij : v (j.succAbove i) = v j
hij : j.succAbove i ≠ j
⊢ -((-1) ^ (↑j + ↑i) • (-1) ^ ↑i • f (j.removeNth v)) + (-1) ^ ↑j • f (j.removeNth v) = 0

pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
m : ℕ
f : M [⋀^Fin (m + 1)]→ₗ[R] N
v : Fin (m + 1 + 1) → M
j : Fin (m + 1 + 1)
i : Fin (m + 1)
hvij : v (j.succAbove i) = v j
hij : j.succAbove i ≠ j
⊢ v j = j.removeNth v i

Tactic:
pow_add,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
m : ℕ
f : M [⋀^Fin (m + 1)]→ₗ[R] N
v : Fin (m + 1 + 1) → M
j : Fin (m + 1 + 1)
i : Fin (m + 1)
hvij : v (j.succAbove i) = v j
hij : j.succAbove i ≠ j
⊢ -(((-1) ^ ↑j * (-1) ^ ↑i) • (-1) ^ ↑i • f (j.removeNth v)) + (-1) ^ ↑j • f (j.removeNth v) = 0

R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
m : ℕ
f : M [⋀^Fin (m + 1)]→ₗ[R] N
v : Fin (m + 1 + 1) → M
j : Fin (m + 1 + 1)
i : Fin (m + 1)
hvij : v (j.succAbove i) = v j
hij : j.succAbove i ≠ j
⊢ v j = j.removeNth v i
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : FinitePresentation R M
ι : Type u_5
v : ι → M
hli : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hsp : Submodule.span k (Set.range (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)) = ⊤
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
⊢ ∃ b, ∀ (i : ι), b i = v i

Tactic:
let bk : Basis ι k (k ⊗[R] M) := Basis.mk hli (by rw [hsp])

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : FinitePresentation R M
ι : Type u_5
v : ι → M
hli : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hsp : Submodule.span k (Set.range (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)) = ⊤
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
bk : Basis ι k (k ⊗[R] M) := Basis.mk hli ⋯
⊢ ∃ b, ∀ (i : ι), b i = v i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
N : Submodule R S
y : R
n : ↥N
⊢ ↑(N.lTensorOne' ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n)) = ↑(y • n)

Tactic:
lTensorOne',

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
N : Submodule R S
y : R
n : ↥N
⊢ ↑((↑(LinearEquiv.ofEq ((Subalgebra.toSubmodule ⊥).mulMap N).range N ⋯) ∘ₗ
          ((Subalgebra.toSubmodule ⊥).mulMap N).rangeRestrict)
        ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n)) =
    ↑(y • n)
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : FinitePresentation R M
ι : Type u_5
v : ι → M
hli : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hsp : Submodule.span k (Set.range (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)) = ⊤
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
bk : Basis ι k (k ⊗[R] M) := Basis.mk hli ⋯
this✝² : Finite ι
this✝¹ : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
i : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.linearCombination R v
hi : Surjective ⇑i
this✝ : Module.Finite R ↥i.ker
this : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
hi' : Function.Bijective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
x : k ⊗[R] ↥i.ker
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor R i.ker.subtype)

Tactic:
apply Module.Flat.lTensor_preserves_injective_linearMap

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : FinitePresentation R M
ι : Type u_5
v : ι → M
hli : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hsp : Submodule.span k (Set.range (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)) = ⊤
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
bk : Basis ι k (k ⊗[R] M) := ⋯
this✝² : Finite ι
this✝¹ : Fintype ι := ⋯
i : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := ⋯
hi : Surjective ⇑i
this✝ : Module.Finite R ↥i.ker
this : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
hi' : Function.Bijective ⇑(LinearMap.baseChange k i)
x : k ⊗[R] ↥i.ker
⊢ Function.Injective ⇑i.ker.subtype
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(M.mulRightMap ⇑n)
⊢ M.LinearDisjoint N

Tactic:
by
  classical simp_rw [mulRightMap_eq_mulMap_comp, ← Basis.coe_repr_symm,
    ← LinearEquiv.coe_lTensor, LinearEquiv.comp_coe, LinearMap.coe_comp,
    LinearEquiv.coe_coe, EquivLike.injective_comp] at H
  exact ⟨H⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
inst✝⁴ : DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R₁
inst✝³ : SMul R₁ R
inst✝² : IsScalarTower R₁ R R
inst✝¹ : SMul R₁ (s i)
inst✝ : IsScalarTower R₁ R (s i)
⊢ tprodCoeff R z (update f i (r • f i)) = tprodCoeff R (r • z) f

Tactic:
have h₁ : r • z = r • (1 : R) * z := by rw [smul_mul_assoc, one_mul]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
inst✝⁴ : DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R₁
inst✝³ : SMul R₁ R
inst✝² : IsScalarTower R₁ R R
inst✝¹ : SMul R₁ (s i)
inst✝ : IsScalarTower R₁ R (s i)
h₁ : r • z = r • 1 * z
⊢ tprodCoeff R z (update f i (r • f i)) = tprodCoeff R (r • z) f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
N : Submodule R S
⊢ Submodule.LinearDisjoint 1 N

Tactic:
by
  rw [linearDisjoint_iff, ← Algebra.toSubmodule_bot, mulMap_one_left_eq]
  exact N.injective_subtype.comp N.lTensorOne.injective

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorPower.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M :=
  fun n m ↦ (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M :=
  (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
      ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ
    mul na nb
lhs_eq :
  ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M),
    ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M :=
  (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)
          (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
        ↑LinearMap.lflip)
      ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
          (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ
        mul nb nc)).flip
rhs_eq :
  ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
⊢ (((((lhs.compMultilinearMap (tprod R)) a).compMultilinearMap (tprod R)) b).compMultilinearMap (tprod R)) c =
    (((((rhs.compMultilinearMap (tprod R)) a).compMultilinearMap (tprod R)) b).compMultilinearMap (tprod R)) c

Tactic:
simp only [e, LinearMap.compMultilinearMap_apply, lhs_eq, rhs_eq, tprod_mul_tprod, cast_tprod]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M :=
  fun n m ↦ (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M :=
  (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
      ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ
    mul na nb
lhs_eq :
  ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M),
    ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M :=
  (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)
          (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
        ↑LinearMap.lflip)
      ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
          (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ
        mul nb nc)).flip
rhs_eq :
  ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
⊢ (tprod R) (Fin.append (Fin.append a b) c ∘ Fin.cast ⋯) = (tprod R) (Fin.append a (Fin.append b c))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (s i)
z : R
f : (i : ι) → s i
this : z = z • 1
| tprodCoeff R z f

Tactic:
rw [this]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (s i)
z : R
f : (i : ι) → s i
this : z = z • 1
| tprodCoeff R (z • 1) f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
| ((addConGen (Eqv R s)).lift (FreeAddMonoid.lift fun p ↦ p.1 • φ p.2) ⋯) ↑(FreeAddMonoid.of (1, f))

Tactic:
apply AddCon.lift_coe

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
φ : MultilinearMap R s E
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ ∀ (r_1 : R) (f : (i : ι) → s i), (liftAux φ) (r • tprodCoeff R r_1 f) = r • (liftAux φ) (tprodCoeff R r_1 f)

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
φ : MultilinearMap R s E
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i),
    (liftAux φ) (r • x) = r • (liftAux φ) x →
      (liftAux φ) (r • y) = r • (liftAux φ) y → (liftAux φ) (r • (x + y)) = r • (liftAux φ) (x + y)

Tactic:
· intro z f
    rw [smul_tprodCoeff' r z f, liftAux_tprodCoeff, liftAux_tprodCoeff, smul_assoc]

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
φ : MultilinearMap R s E
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i),
    (liftAux φ) (r • x) = r • (liftAux φ) x →
      (liftAux φ) (r • y) = r • (liftAux φ) y → (liftAux φ) (r • (x + y)) = r • (liftAux φ) (x + y)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ P, IsAssociatedPrime P M ∧ ⊥.colon {x} ≤ P

Tactic:
simp only [isAssociatedPrime_iff]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ P, (P.IsPrime ∧ ∃ x, P = ⊥.colon {x}) ∧ ⊥.colon {x} ≤ P
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Finiteness

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : IsNoetherianRing A
inst✝ : Module.Finite A M
N : Submodule A M
hN : N ≠ ⊤
s : RelSeries {(N₁, N₂) | N₁.IsQuotientEquivQuotientPrime N₂}
hs₁ : s.head = ⊥
hs₂ : s.last = N
this : Nontrivial (M ⧸ N)
x : M
hp : (⊥.colon {N.mkQ x}).IsPrime
h : x ∈ N
⊢ ⊥.colon {N.mkQ x} = ⊤

Tactic:
by rw [show N.mkQ x = 0 by simpa]; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
x : K
hx : spanSingleton R⁰ x = ↑I
⊢ ∃ x,
    (∃ x_1, spanSingleton R⁰ x_1 = ↑x) ∧
      (Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K).toMulEquiv).toMonoidHom x = I

Tactic:
refine ⟨Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R)).toMulEquiv I,
        ⟨(FractionRing.algEquiv R K).symm x, ?_⟩, Units.ext ?_⟩

Goal state after:
case mpr.refine_1
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
x : K
hx : spanSingleton R⁰ x = ↑I
⊢ spanSingleton R⁰ ((FractionRing.algEquiv R K).symm x) =
    ↑((Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R)).toMulEquiv) I)

case mpr.refine_2
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
x : K
hx : spanSingleton R⁰ x = ↑I
⊢ ↑((Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K).toMulEquiv).toMonoidHom
        ((Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R)).toMulEquiv) I)) =
    ↑I
Module: Mathlib.Topology.LocallyConstant.Basic

Goal state before:
pp: X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → LocallyConstant X β
g : α → β
this : (fun x a ↦ (f a) x) ⁻¹' {g} = ⋂ a, ⇑(f a) ⁻¹' {g a}
⊢ IsOpen[inst✝] ((fun x a ↦ (f a) x) ⁻¹' {g})

Tactic:
rw [this]

Goal state after:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → LocallyConstant X β
g : α → β
this : (fun x a ↦ (f a) x) ⁻¹' {g} = ⋂ a, ⇑(f a) ⁻¹' {g a}
⊢ IsOpen[inst✝] (⋂ a, ⇑(f a) ⁻¹' {g a})
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.FreeLocus

Goal state before:
pp: R : Type uR
M : Type uM
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
Rₚ : Type u_1
Mₚ : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing Rₚ
inst✝⁶ : Algebra R Rₚ
inst✝⁵ : IsLocalization.AtPrime Rₚ p.asIdeal
inst✝⁴ : AddCommGroup Mₚ
inst✝³ : Module R Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝² : IsLocalizedModule p.asIdeal.primeCompl f
inst✝¹ : Module Rₚ Mₚ
inst✝ : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
e : Localization.AtPrime p.asIdeal ≃+* Rₚ :=
  (IsLocalization.algEquiv p.asIdeal.primeCompl (Localization.AtPrime p.asIdeal) Rₚ).toRingEquiv
x : LocalizedModule p.asIdeal.primeCompl M
r : R
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
⊢ (↑(IsLocalizedModule.iso p.asIdeal.primeCompl f)).toFun
      (IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime p.asIdeal) r s • x) =
    ↑e (IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime p.asIdeal) r s) •
      (↑(IsLocalizedModule.iso p.asIdeal.primeCompl f)).toFun x

Tactic:
apply ((Module.End.isUnit_iff _).mp (IsLocalizedModule.map_units f s)).1

Goal state after:
R : Type uR
M : Type uM
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
Rₚ : Type u_1
Mₚ : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing Rₚ
inst✝⁶ : Algebra R Rₚ
inst✝⁵ : IsLocalization.AtPrime Rₚ p.asIdeal
inst✝⁴ : AddCommGroup Mₚ
inst✝³ : Module R Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝² : IsLocalizedModule p.asIdeal.primeCompl f
inst✝¹ : Module Rₚ Mₚ
inst✝ : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
e : Localization.AtPrime p.asIdeal ≃+* Rₚ := ⋯
x : LocalizedModule p.asIdeal.primeCompl M
r : R
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
⊢ ((algebraMap R (End R Mₚ)) ↑s)
      ((↑(IsLocalizedModule.iso p.asIdeal.primeCompl f)).toFun
        (IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime p.asIdeal) r s • x)) =
    ((algebraMap R (End R Mₚ)) ↑s)
      (↑e (IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime p.asIdeal) r s) •
        (↑(IsLocalizedModule.iso p.asIdeal.primeCompl f)).toFun x)
Module: Mathlib.FieldTheory.Normal.Basic

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_3
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
⊢ IsIntegral F x ∧ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).Splits

Tactic:
have : FiniteDimensional F E := IsSplittingField.finiteDimensional E p

Goal state after:
case inr
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_3
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E
⊢ IsIntegral F x ∧ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).Splits
Module: Mathlib.FieldTheory.PrimitiveElement

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯

Tactic:
let ιFE := algebraMap F E

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hα : IsIntegral F α
hβ : IsIntegral F β
f : F[X] := minpoly F α
g : F[X] := minpoly F β
ιFE : F →+* E := algebraMap F E
⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
Module: Mathlib.FieldTheory.PrimitiveElement

Goal state before:
pp: case h.a
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x ↦ F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : ¬x = y
heq : F⟮α + x • β⟯ = F⟮α + y • β⟯
αxβ_in_K : α + x • β ∈ F⟮α + x • β⟯
αyβ_in_K : α + y • β ∈ F⟮α + x • β⟯
β_in_K : β ∈ F⟮α + x • β⟯
⊢ {α, β} ⊆ ↑F⟮α + x • β⟯

Tactic:
have α_in_K : α ∈ F⟮α + x • β⟯ := by
      convert! ← sub_mem αxβ_in_K (smul_mem _ β_in_K)
      apply add_sub_cancel_right

Goal state after:
case h.a
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x ↦ F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : ¬x = y
heq : F⟮α + x • β⟯ = F⟮α + y • β⟯
αxβ_in_K : α + x • β ∈ F⟮α + x • β⟯
αyβ_in_K : α + y • β ∈ F⟮α + x • β⟯
β_in_K : β ∈ F⟮α + x • β⟯
α_in_K : α ∈ F⟮α + x • β⟯
⊢ {α, β} ⊆ ↑F⟮α + x • β⟯
Module: Mathlib.FieldTheory.PrimitiveElement

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
⊢ (aeval α) f = 0

Tactic:
· simp only [f, map_sub, map_mul, map_pow, aeval_X, expand_aeval, h]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.PrimitiveElement

Goal state before:
pp: F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E
⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ (minpoly F α).degree = ↑(finrank F E)

Tactic:
rw [degree_eq_iff_natDegree_eq, primitive_element_iff_minpoly_natDegree_eq]
  exact minpoly.ne_zero_of_finite F α

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.PicardGroup

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
N : Type u_1
P : Type u_2
Q : Type u_3
A : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : AddCommMonoid Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
e : A ⊗[R] M ≃ₗ[A] A
inst✝¹ : Flat R M
inst✝ : FaithfulSMul R A
⊢ Function.Bijective ⇑(LinearMap.mul'' R A ∘ₗ (AlgebraTensorModule.lTensor A A) (submoduleAlgebra e).subtype)

Tactic:
convert! (AlgebraTensorModule.congr (.refl ..) (submoduleAlgebraEquiv e) ≪≫ₗ e).bijective

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
N : Type u_1
P : Type u_2
Q : Type u_3
A : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : AddCommMonoid Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
e : A ⊗[R] M ≃ₗ[A] A
inst✝¹ : Flat R M
inst✝ : FaithfulSMul R A
⊢ ⇑(LinearMap.mul'' R A ∘ₗ (AlgebraTensorModule.lTensor A A) (submoduleAlgebra e).subtype) =
    ⇑(AlgebraTensorModule.congr (LinearEquiv.refl A A) (submoduleAlgebraEquiv e) ≪≫ₗ e)