Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
U : M → Set M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed[inst✝⁴] s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f ↦ tsupport ↑f ⊆ U x) fun f ↦ support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a ↦ support ↑(f a)
hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s
hfU : ∀ (a : ι), tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
V : ι → Set M
hsV : s ⊆ iUnion V
hVc : ∀ (i : ι), IsClosed[inst✝⁴] (V i)
hVf : ∀ (i : ι), V i ⊆ support ↑(f i)
r : ι → ℝ
hrR : ∀ (i : ι), r i ∈ Ioo 0 (f i).rOut
hr :
  ∀ (i : ι), V i ⊆ (chartAt H (c i)).source ∩ ↑(extChartAt I (c i)) ⁻¹' Metric.ball (↑(extChartAt I (c i)) (c i)) (r i)
⊢ ∃ ι f, f.IsSubordinate U

Tactic:
refine ⟨ι, ⟨c, fun i => (f i).updateRIn (r i) (hrR i), hcs, ?_, fun x hx => ?_⟩, fun i => ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
U : M → Set M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed[inst✝⁴] s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f ↦ tsupport ↑f ⊆ U x) fun f ↦ support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a ↦ support ↑(f a)
hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s
hfU : ∀ (a : ι), tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
V : ι → Set M
hsV : s ⊆ iUnion V
hVc : ∀ (i : ι), IsClosed[inst✝⁴] (V i)
hVf : ∀ (i : ι), V i ⊆ support ↑(f i)
r : ι → ℝ
hrR : ∀ (i : ι), r i ∈ Ioo 0 (f i).rOut
hr :
  ∀ (i : ι), V i ⊆ (chartAt H (c i)).source ∩ ↑(extChartAt I (c i)) ⁻¹' Metric.ball (↑(extChartAt I (c i)) (c i)) (r i)
⊢ LocallyFinite fun i ↦ support ↑((f i).updateRIn (r i) ⋯)

case refine_2
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
U : M → Set M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed[inst✝⁴] s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f ↦ tsupport ↑f ⊆ U x) fun f ↦ support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a ↦ support ↑(f a)
hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s
hfU : ∀ (a : ι), tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
V : ι → Set M
hsV : s ⊆ iUnion V
hVc : ∀ (i : ι), IsClosed[inst✝⁴] (V i)
hVf : ∀ (i : ι), V i ⊆ support ↑(f i)
r : ι → ℝ
hrR : ∀ (i : ι), r i ∈ Ioo 0 (f i).rOut
hr :
  ∀ (i : ι), V i ⊆ (chartAt H (c i)).source ∩ ↑(extChartAt I (c i)) ⁻¹' Metric.ball (↑(extChartAt I (c i)) (c i)) (r i)
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ∃ i, ↑((f i).updateRIn (r i) ⋯) =ᶠ[𝓝 x] 1

case refine_3
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
U : M → Set M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed[inst✝⁴] s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f ↦ tsupport ↑f ⊆ U x) fun f ↦ support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a ↦ support ↑(f a)
hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s
hfU : ∀ (a : ι), tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
V : ι → Set M
hsV : s ⊆ iUnion V
hVc : ∀ (i : ι), IsClosed[inst✝⁴] (V i)
hVf : ∀ (i : ι), V i ⊆ support ↑(f i)
r : ι → ℝ
hrR : ∀ (i : ι), r i ∈ Ioo 0 (f i).rOut
hr :
  ∀ (i : ι), V i ⊆ (chartAt H (c i)).source ∩ ↑(extChartAt I (c i)) ⁻¹' Metric.ball (↑(extChartAt I (c i)) (c i)) (r i)
i : ι
⊢ tsupport
      ↑({ c := c, toFun := fun i ↦ (f i).updateRIn (r i) ⋯, c_mem' := hcs, locallyFinite' := ?refine_1,
              eventuallyEq_one' := ⋯ }.toFun
          i) ⊆
    U
      ({ c := c, toFun := fun i ↦ (f i).updateRIn (r i) ⋯, c_mem' := hcs, locallyFinite' := ?refine_1,
            eventuallyEq_one' := ⋯ }.c
        i)