mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : α
f : Multiset α
ha : Irreducible a
pfa : (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
this : DecidableEq α
p : α
s : Multiset α
a✝ : s.prod ~ᵤ a → (∀ b ∈ s, Prime b) → ∃ p, a ~ᵤ p ∧ s = {p}
u : αˣ
hu : (p ::ₘ s).prod * ↑u = a
hs : ∀ b ∈ p ::ₘ s, Prime b
hs0 : ¬s = 0
q : α
hq : q ∈ s
⊢ a = p * ↑u * (s.erase q).prod * q

Tactic:
rw [mul_right_comm _ _ q, mul_assoc, ← Multiset.prod_cons, Multiset.cons_erase hq, ← hu,
          mul_comm, mul_comm p _, mul_assoc]
        simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finsupp.Weight

Goal state before:
pp: case zero
σ : Type u_5
s : Set ℕ
hn : 0 ≠ 0
⊢ ⇑degree ⁻¹' (0 • s) = 0 • ⇑degree ⁻¹' s

pp: case succ
σ : Type u_5
s : Set ℕ
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
⊢ ⇑degree ⁻¹' ((n + 1) • s) = (n + 1) • ⇑degree ⁻¹' s

Tactic:
· contradiction

Goal state after:
case succ
σ : Type u_5
s : Set ℕ
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
⊢ ⇑degree ⁻¹' ((n + 1) • s) = (n + 1) • ⇑degree ⁻¹' s
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif :
  ∀ (f g : Multiset α),
    (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
p : α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
hpi : Irreducible p
a b : α
x✝ : p ∣ a * b
x : α
hx : a * b = p * x
hab0 : ¬a * b = 0
hx0 : x ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
fx : Multiset α
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ fx.prod ~ᵤ x
fa : Multiset α
hfa : (∀ b ∈ fa, Irreducible b) ∧ fa.prod ~ᵤ a
fb : Multiset α
hfb : (∀ b ∈ fb, Irreducible b) ∧ fb.prod ~ᵤ b
⊢ (p ::ₘ fx).prod ~ᵤ a * b

Tactic:
rw [hx, Multiset.prod_cons]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif :
  ∀ (f g : Multiset α),
    (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
p : α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
hpi : Irreducible p
a b : α
x✝ : p ∣ a * b
x : α
hx : a * b = p * x
hab0 : ¬a * b = 0
hx0 : x ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
fx : Multiset α
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ fx.prod ~ᵤ x
fa : Multiset α
hfa : (∀ b ∈ fa, Irreducible b) ∧ fa.prod ~ᵤ a
fb : Multiset α
hfb : (∀ b ∈ fb, Irreducible b) ∧ fb.prod ~ᵤ b
⊢ p * fx.prod ~ᵤ p * x
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p.natDegree ∈ p.support
⊢ p.content = gcd p.leadingCoeff p.eraseLead.content

Tactic:
rw [content, ← Finset.insert_erase h, Finset.gcd_insert, leadingCoeff, content,
    eraseLead_support]

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p.natDegree ∈ p.support
⊢ gcd (p.coeff p.natDegree) ((p.support.erase p.natDegree).gcd p.coeff) =
    gcd (p.coeff p.natDegree) ((p.support.erase p.natDegree).gcd p.eraseLead.coeff)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
⊢ p.IsPrimitive ↔ p.content = 1

Tactic:
by
  rw [← normalize_content, normalize_eq_one, IsPrimitive]
  simp_rw [← dvd_content_iff_C_dvd]
  exact ⟨fun h => h p.content (dvd_refl p.content), fun h r hdvd => isUnit_of_dvd_unit hdvd h⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a : c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a'_1 b' c'_1, IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
⊢ ∃ a'_1 b'_1 c'_1, IsRelPrime a'_1 b'_1 ∧ c'_1 * a'_1 = p * (c' * a') ∧ c'_1 * b'_1 = c' * b'

Tactic:
refine ⟨p * a', b', c', ?_, mul_left_comm _ _ _, rfl⟩

Goal state after:
case neg
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a : c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a'_1 b' c'_1, IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
⊢ IsRelPrime (p * a') b'
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Roots

Goal state before:
pp: case mp.refine_3
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
hu : IsUnit q.leadingCoeff
⊢ hu.unit⁻¹ • q ∣ q

Tactic:
Units.smul_def,

Goal state after:
case mp.refine_3
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
hu : IsUnit q.leadingCoeff
⊢ ↑hu.unit⁻¹ • q ∣ q
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.FactorSet

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Subsingleton α
a : Associates α
⊢ a.factors = ⊤

Tactic:
by
  have : Subsingleton (Associates α) := inferInstance
  convert! factors_zero

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Roots

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
h : map f p ≠ 0
b : B
⊢ count b (Multiset.map (⇑f) p.roots) ≤ count b (map f p).roots

Tactic:
by
    rw [count_roots]
    apply count_map_roots h

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ n r, r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ n s, s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel : (r.cancelLeads s).natDegree < Nat.find con
rcs : r ∣ r.cancelLeads s
⊢ r ∣ s

Tactic:
rw [← rprim.dvd_primPart_iff_dvd s0]

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ n r, r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ n s, s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel : (r.cancelLeads s).natDegree < Nat.find con
rcs : r ∣ r.cancelLeads s
⊢ r ∣ s.primPart
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.FieldDivision

Goal state before:
pp: R : Type u
a : R
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
x✝ : p ∣ C a * q
r : R[X]
hr : C a * q = p * r
⊢ q = C (a⁻¹ * a) * q

Tactic:
inv_mul_cancel₀ ha,

Goal state after:
R : Type u
a : R
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
x✝ : p ∣ C a * q
r : R[X]
hr : C a * q = p * r
⊢ q = C 1 * q
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.FieldDivision

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring F
f : F[X]
h : Irreducible f
⊢ 0 < f.degree

Tactic:
rw [← natDegree_pos_iff_degree_pos]
  exact h.natDegree_pos

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
r : R
⊢ ∀ (x : DirectLimit G f),
    (↑((addConGen (Eqv f)).lift ↑(DirectSum.toModule R ι P g) ⋯)).toFun (r • x) =
      (RingHom.id R) r • (↑((addConGen (Eqv f)).lift ↑(DirectSum.toModule R ι P g) ⋯)).toFun x

Tactic:
rintro ⟨x⟩

Goal state after:
case mk
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
r : R
x✝ : DirectLimit G f
x : DirectSum ι G
⊢ (↑((addConGen (Eqv f)).lift ↑(DirectSum.toModule R ι P g) ⋯)).toFun (r • Quot.mk (⇑(moduleCon f).toSetoid) x) =
    (RingHom.id R) r •
      (↑((addConGen (Eqv f)).lift ↑(DirectSum.toModule R ι P g) ⋯)).toFun (Quot.mk (⇑(moduleCon f).toSetoid) x)
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁵ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁴ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝³ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝² : IsDirectedOrder ι
inst✝¹ : (i : ι) → InvolutiveStar (G i)
inst✝ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), StarHomClass (T h) (G i) (G j)
⊢ Function.Involutive star

Tactic:
by
    apply DirectLimit.induction
    intro i x
    rw [star_def, star_def, star_star]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁸ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁷ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁶ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁵ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁴ : IsDirectedOrder ι
inst✝³ : (i : ι) → Mul (G i)
inst✝² : Mul C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MulHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ y✝ : DirectLimit G f
i : ι
x y : G i
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h (⟦⟨i, x⟩⟧ * ⟦⟨i, y⟩⟧) =
    DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⟩⟧ * DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, y⟩⟧

Tactic:
by simp_rw [mul_def, lift_def, map_mul (g i)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.Density

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_2
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
h✝ : Nonempty α
⊢ ↑(Fintype.card α) * s.dens = ↑(#s)

Tactic:
rw [dens, mul_div_cancel₀]

Goal state after:
case inr.hb
α : Type u_2
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
h✝ : Nonempty α
⊢ ↑(Fintype.card α) ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidHomClass (H i) (G i) C
n : ℕ
i : ι
x : G i
⊢ ⟦⟨i, x⟩⟧ ^ ↑n.succ = ⟦⟨i, x⟩⟧ ^ ↑n * ⟦⟨i, x⟩⟧

Tactic:
simp_rw [HPow.hPow, Pow.pow, map_def, mul_def]; congr; apply DivInvMonoid.zpow_succ'

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst✝² : GroupWithZero C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass (H i) (G i) C
n : ℕ
i : ι
x : G i
⊢ ⟦⟨i, x⟩⟧ ^ ↑n.succ = ⟦⟨i, x⟩⟧ ^ ↑n * ⟦⟨i, x⟩⟧

Tactic:
simp_rw [HPow.hPow, Pow.pow, map_def, mul_def]; congr; apply DivInvMonoid.zpow_succ'

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝³⁵ : CommSemiring R✝
M₁✝ : Type u_2
M₂✝ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝³⁴ : AddCommMonoid M₁✝
inst✝³³ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝³² : AddCommMonoid M
inst✝³¹ : AddCommMonoid M'
inst✝³⁰ : Module R✝ M₁✝
inst✝²⁹ : Module R✝ M₂✝
inst✝²⁸ : Module R✝ M
inst✝²⁷ : Module R✝ M'
f✝ : M₁✝ →ₗ[R✝] M₂✝ →ₗ[R✝] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝²⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid N
inst✝²³ : Module R✝ N₁
inst✝²² : Module R✝ N₂
inst✝²¹ : Module R✝ N
g✝ : N₁ →ₗ[R✝] N₂ →ₗ[R✝] N
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
M₁₂ : Type u_14
M₂₃ : Type u_15
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂₃
inst✝¹² : Module R M₁
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module S M₂
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M₂
inst✝⁸ : Module R M₃
inst✝⁷ : Module S M₃
inst✝⁶ : IsScalarTower R S M₃
inst✝⁵ : Module R M₁₂
inst✝⁴ : Module S M₁₂
inst✝³ : IsScalarTower R S M₁₂
inst✝² : Module R M₂₃
inst✝¹ : Module S M₂₃
inst✝ : IsScalarTower R S M₂₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[S] M₁₂
hf : IsTensorProduct (LinearMap.restrictScalars₁₂ R R f)
g : M₂ →ₗ[S] M₃ →ₗ[S] M₂₃
hg : IsTensorProduct g
this : Module S (M₁ ⊗[R] M₂) := AddEquiv.module S hf.equiv.toAddEquiv
s : S
y : M₁
x : M₂
⊢ hf.equiv.symm (s • (f y) x) = y ⊗ₜ[R] (s • x)

Tactic:
← map_smul

Goal state after:
R✝ : Type u_1
inst✝³⁵ : CommSemiring R✝
M₁✝ : Type u_2
M₂✝ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝³⁴ : AddCommMonoid M₁✝
inst✝³³ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝³² : AddCommMonoid M
inst✝³¹ : AddCommMonoid M'
inst✝³⁰ : Module R✝ M₁✝
inst✝²⁹ : Module R✝ M₂✝
inst✝²⁸ : Module R✝ M
inst✝²⁷ : Module R✝ M'
f✝ : M₁✝ →ₗ[R✝] M₂✝ →ₗ[R✝] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝²⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid N
inst✝²³ : Module R✝ N₁
inst✝²² : Module R✝ N₂
inst✝²¹ : Module R✝ N
g✝ : N₁ →ₗ[R✝] N₂ →ₗ[R✝] N
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
M₁₂ : Type u_14
M₂₃ : Type u_15
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂₃
inst✝¹² : Module R M₁
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module S M₂
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M₂
inst✝⁸ : Module R M₃
inst✝⁷ : Module S M₃
inst✝⁶ : IsScalarTower R S M₃
inst✝⁵ : Module R M₁₂
inst✝⁴ : Module S M₁₂
inst✝³ : IsScalarTower R S M₁₂
inst✝² : Module R M₂₃
inst✝¹ : Module S M₂₃
inst✝ : IsScalarTower R S M₂₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[S] M₁₂
hf : IsTensorProduct (LinearMap.restrictScalars₁₂ R R f)
g : M₂ →ₗ[S] M₃ →ₗ[S] M₂₃
hg : IsTensorProduct g
this : Module S (M₁ ⊗[R] M₂) := AddEquiv.module S hf.equiv.toAddEquiv
s : S
y : M₁
x : M₂
⊢ hf.equiv.symm ((f y) (s • x)) = y ⊗ₜ[R] (s • x)
Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
e : S ⊗[R] M ≃ₗ[S] N
he : ∀ (x : M), e (1 ⊗ₜ[R] x) = f x
x : S
y : M
⊢ x ⊗ₜ[R] y = x • 1 ⊗ₜ[R] y

Tactic:
simp [smul_tmul']

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.List.Sym

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
xs : List α
a b : α
ha : a ∈ xs
hb : b ∈ xs
⊢ s(a, b) ∈ xs.sym2

Tactic:
exact mk_mem_sym2 ha hb

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.List.Sym

Goal state before:
pp: case cons
α : Type u_1
xs✝ : List α
x : α
xs : List α
ih : map (⇑(Sym2.equivSym α)) xs.sym2 = List.sym 2 xs
⊢ map (⇑(Sym2.equivSym α)) (x :: xs).sym2 = List.sym 2 (x :: xs)

Tactic:
rw [List.sym, ← ih, sym_one_eq, map_map, List.sym2, map_append, map_map]
    rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
⊢ r • 1 • q = (r * 1) • q

Tactic:
← @smul_assoc _ _ _ (id _) (id _) (id _) I₄,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
⊢ (r • 1) • q = (r * 1) • q
Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct

Goal state before:
pp: case tmul.tmul
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
inst✝²⁰ : Module R Q
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
a : S
b : R'
x : S
y : R'
⊢ ⋯.equiv (a ⊗ₜ[R] b * x ⊗ₜ[R] y) = ⋯.equiv (a ⊗ₜ[R] b) * ⋯.equiv (x ⊗ₜ[R] y)

Tactic:
simp [IsBaseChange.equiv_tmul, Algebra.smul_def, mul_mul_mul_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.ObjectProperty.ClosedUnderIsomorphisms

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
P : ObjectProperty C
F : C ⥤ D
⊢ (P.strictMap F).isoClosure = P.map F

Tactic:
by
  refine le_antisymm ?_ ?_
  · rw [isoClosure_le_iff]
    exact P.strictMap_le_map F
  · rintro X ⟨Y, hY, ⟨e⟩⟩
    exact ⟨F.obj Y, ⟨Y, hY⟩, ⟨e.symm⟩⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Comma.Arrow

Goal state before:
pp: T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
i : Arrow T
X Y : T
p : X ≅ Y
sq : i ⟶ mk p.hom
⊢ i.hom ≫ Hom.right sq ≫ p.inv = Hom.left sq

Tactic:
by
  simpa only [mk_right, Category.assoc] using! (Iso.comp_inv_eq p).mpr (Arrow.w_mk_right sq).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.MorphismProperty.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} D
P : MorphismProperty C
F : C ⥤ D
E : Type u_2
inst✝ : Category.{v_2, u_2} E
G : D ⥤ E
⊢ (P.map F).map G = P.map (F ⋙ G)

Tactic:
by
  apply le_antisymm
  · rw [map_le_iff]
    intro X Y f ⟨X', Y', f', hf', ⟨e⟩⟩
    exact ⟨X', Y', f', hf', ⟨G.mapArrow.mapIso e⟩⟩
  · rw [map_le_iff]
    intro X Y f hf
    exact map_mem_map _ _ _ (map_mem_map _ _ _ hf)

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Conj

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
f : End X
⊢ (refl X).conj f = f

Tactic:
rw [conj_apply, Iso.refl_inv, Iso.refl_hom, Category.id_comp, Category.comp_id]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.IsLimit

Goal state before:
pp: J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cone F
X : C
h : F.cones.RepresentableBy X
s : Cone F
j : J
⊢ homOfCone h s ≫ (limitCone h).π.app j = s.π.app j

Tactic:
have h := cone_fac h s
    cases s
    injection h with h₁ h₂
    simp only at h₂
    conv_rhs => rw [← h₂]
    rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Cones

Goal state before:
pp: J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F✝ F : J ⥤ C
⊢ ((↾fun c ↦ { pt := unop c.fst, π := c.snd }) ≫ ↾fun c ↦ ⟨op c.pt, c.π⟩) = 𝟙 ((X : Cᵒᵖ) × ((const J).obj (unop X) ⟶ F))

Tactic:
by
    ext X
    cases X
    all_goals rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Cones

Goal state before:
pp: J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F✝ F : J ⥤ C
⊢ ((↾fun c ↦ { pt := c.fst, ι := c.snd }) ≫ ↾fun c ↦ ⟨c.pt, c.ι⟩) = 𝟙 ((X : C) × F.cocones.obj X)

Tactic:
by
    ext X
    cases X
    all_goals rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Cones

Goal state before:
pp: J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
s : Cone (e.functor ⋙ F)
⊢ ∀ (j : K),
    (((whiskering e.inverse ⋙ postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom) ⋙ whiskering e.functor).obj s).π.app j =
      (Iso.refl (((whiskering e.inverse ⋙ postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom) ⋙ whiskering e.functor).obj s).pt).hom ≫
        ((𝟭 (Cone (e.functor ⋙ F))).obj s).π.app j

Tactic:
intro k
            simpa [e.counit_app_functor] using s.w (e.unitInv.app k)

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.IsTerminal

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ C
X : C
⊢ Function.LeftInverse (fun u ↦ { desc := fun s ↦ default, fac := ⋯, uniq := ⋯ }) fun t X_1 ↦
    {
      default :=
        t.desc { pt := X_1, ι := { app := fun X_2 ↦ id (Discrete.casesOn X_2 fun as ↦ ⋯.elim), naturality := ⋯ } },
      uniq := ⋯ }

Tactic:
by dsimp [Function.LeftInverse]; intro; simp only [eq_iff_true_of_subsingleton]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.IsTerminal

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
F₁ : Discrete PEmpty.{w + 1} ⥤ C
F₂ : Discrete PEmpty.{w' + 1} ⥤ C
c₁ : Cone F₁
c₂ : Cone F₂
h : c₁.pt ≅ c₂.pt
⊢ Function.LeftInverse (fun hl ↦ isLimitChangeEmptyCone C hl c₁ h.symm) fun hl ↦ isLimitChangeEmptyCone C hl c₂ h

Tactic:
by dsimp [Function.LeftInverse]; intro; simp only [eq_iff_true_of_subsingleton]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.IsTerminal

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
F₁ : Discrete PEmpty.{w + 1} ⥤ C
F₂ : Discrete PEmpty.{w' + 1} ⥤ C
c₁ : Cocone F₁
c₂ : Cocone F₂
h : c₁.pt ≅ c₂.pt
⊢ Function.LeftInverse (fun hl ↦ isColimitChangeEmptyCocone C hl c₁ h.symm) fun hl ↦
    isColimitChangeEmptyCocone C hl c₂ h

Tactic:
by dsimp [Function.LeftInverse]; intro; simp only [eq_iff_true_of_subsingleton]

Goal state after: