Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.DistLEIntegral

Goal state before:
pp: case hf
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
a : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hdf : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, DifferentiableAt ℝ f x
hderiv : fderiv ℝ f =O[𝓝 a] fun x ↦ ‖x - a‖ ^ r
C : ℝ
hC₀ : C > 0
hC : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, ‖fderiv ℝ f x‖ ≤ C * ‖‖x - a‖ ^ r‖
ε : ℝ
hε₀ : ε > 0
hε : ∀ y ∈ ball a ε, DifferentiableAt ℝ f y ∧ ‖fderiv ℝ f y‖ ≤ C * ‖‖y - a‖ ^ r‖
y : E
hy : y ∈ ball a ε
hsub : closedBall a ‖y - a‖ ⊆ ball a ε
⊢ ∀ x ∈ closedBall a ‖y - a‖, DifferentiableAt ℝ f x

pp: case bound
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
a : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hdf : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, DifferentiableAt ℝ f x
hderiv : fderiv ℝ f =O[𝓝 a] fun x ↦ ‖x - a‖ ^ r
C : ℝ
hC₀ : C > 0
hC : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, ‖fderiv ℝ f x‖ ≤ C * ‖‖x - a‖ ^ r‖
ε : ℝ
hε₀ : ε > 0
hε : ∀ y ∈ ball a ε, DifferentiableAt ℝ f y ∧ ‖fderiv ℝ f y‖ ≤ C * ‖‖y - a‖ ^ r‖
y : E
hy : y ∈ ball a ε
hsub : closedBall a ‖y - a‖ ⊆ ball a ε
⊢ ∀ x ∈ closedBall a ‖y - a‖, ‖fderiv ℝ f x‖ ≤ C * ‖y - a‖ ^ r

pp: case xs
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
a : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hdf : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, DifferentiableAt ℝ f x
hderiv : fderiv ℝ f =O[𝓝 a] fun x ↦ ‖x - a‖ ^ r
C : ℝ
hC₀ : C > 0
hC : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, ‖fderiv ℝ f x‖ ≤ C * ‖‖x - a‖ ^ r‖
ε : ℝ
hε₀ : ε > 0
hε : ∀ y ∈ ball a ε, DifferentiableAt ℝ f y ∧ ‖fderiv ℝ f y‖ ≤ C * ‖‖y - a‖ ^ r‖
y : E
hy : y ∈ ball a ε
hsub : closedBall a ‖y - a‖ ⊆ ball a ε
⊢ a ∈ closedBall a ‖y - a‖

pp: case ys
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
a : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hdf : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, DifferentiableAt ℝ f x
hderiv : fderiv ℝ f =O[𝓝 a] fun x ↦ ‖x - a‖ ^ r
C : ℝ
hC₀ : C > 0
hC : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, ‖fderiv ℝ f x‖ ≤ C * ‖‖x - a‖ ^ r‖
ε : ℝ
hε₀ : ε > 0
hε : ∀ y ∈ ball a ε, DifferentiableAt ℝ f y ∧ ‖fderiv ℝ f y‖ ≤ C * ‖‖y - a‖ ^ r‖
y : E
hy : y ∈ ball a ε
hsub : closedBall a ‖y - a‖ ⊆ ball a ε
⊢ y ∈ closedBall a ‖y - a‖

Tactic:
· exact fun z hz ↦ (hε z <| hsub hz).1

Goal state after:
case bound
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
a : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hdf : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, DifferentiableAt ℝ f x
hderiv : fderiv ℝ f =O[𝓝 a] fun x ↦ ‖x - a‖ ^ r
C : ℝ
hC₀ : C > 0
hC : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, ‖fderiv ℝ f x‖ ≤ C * ‖‖x - a‖ ^ r‖
ε : ℝ
hε₀ : ε > 0
hε : ∀ y ∈ ball a ε, DifferentiableAt ℝ f y ∧ ‖fderiv ℝ f y‖ ≤ C * ‖‖y - a‖ ^ r‖
y : E
hy : y ∈ ball a ε
hsub : closedBall a ‖y - a‖ ⊆ ball a ε
⊢ ∀ x ∈ closedBall a ‖y - a‖, ‖fderiv ℝ f x‖ ≤ C * ‖y - a‖ ^ r

case xs
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
a : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hdf : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, DifferentiableAt ℝ f x
hderiv : fderiv ℝ f =O[𝓝 a] fun x ↦ ‖x - a‖ ^ r
C : ℝ
hC₀ : C > 0
hC : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, ‖fderiv ℝ f x‖ ≤ C * ‖‖x - a‖ ^ r‖
ε : ℝ
hε₀ : ε > 0
hε : ∀ y ∈ ball a ε, DifferentiableAt ℝ f y ∧ ‖fderiv ℝ f y‖ ≤ C * ‖‖y - a‖ ^ r‖
y : E
hy : y ∈ ball a ε
hsub : closedBall a ‖y - a‖ ⊆ ball a ε
⊢ a ∈ closedBall a ‖y - a‖

case ys
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
a : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hdf : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, DifferentiableAt ℝ f x
hderiv : fderiv ℝ f =O[𝓝 a] fun x ↦ ‖x - a‖ ^ r
C : ℝ
hC₀ : C > 0
hC : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 a, ‖fderiv ℝ f x‖ ≤ C * ‖‖x - a‖ ^ r‖
ε : ℝ
hε₀ : ε > 0
hε : ∀ y ∈ ball a ε, DifferentiableAt ℝ f y ∧ ‖fderiv ℝ f y‖ ≤ C * ‖‖y - a‖ ^ r‖
y : E
hy : y ∈ ball a ε
hsub : closedBall a ‖y - a‖ ⊆ ball a ε
⊢ y ∈ closedBall a ‖y - a‖