mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
A : f₁ x = f x
⊢ mfderiv[univ] f₁ x = mfderiv% f x

Tactic:
← mfderivWithin_univ

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
A : f₁ x = f x
⊢ mfderiv[univ] f₁ x = mfderiv[univ] f x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
hg : MDiffAt g (f x)
hf : MDiffAt[s] f x
hxs : UniqueMDiffAt[s] x
⊢ mfderiv[s] (g ∘ f) x = mfderiv% g (f x) ∘SL mfderiv[s] f x

Tactic:
← mfderivWithin_univ

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
hg : MDiffAt g (f x)
hf : MDiffAt[s] f x
hxs : UniqueMDiffAt[s] x
⊢ mfderiv[s] (g ∘ f) x = mfderiv[univ] g (f x) ∘SL mfderiv[s] f x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝⁶ : TopologicalSpace N
inst✝⁵ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
s : Set M
p : M × M'
t : Set M'
f : M → N
g : M' → N'
hf : MDiffAt[s] f p.1
hg : MDiffAt[t] g p.2
hs : UniqueMDiffAt[s] p.1
ht : UniqueMDiffAt[t] p.2
⊢ mfderiv[s ×ˢ t] (Prod.map f g) p = (mfderiv[s] f p.1).prodMap (mfderiv[t] g p.2)

Tactic:
have hf' : HasMFDerivAt[Prod.fst '' s ×ˢ t] f p.1 (mfderiv[s] f p.1) :=
    hf.hasMFDerivWithinAt.mono (by grind)

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝⁶ : TopologicalSpace N
inst✝⁵ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
s : Set M
p : M × M'
t : Set M'
f : M → N
g : M' → N'
hf : MDiffAt[s] f p.1
hg : MDiffAt[t] g p.2
hs : UniqueMDiffAt[s] p.1
ht : UniqueMDiffAt[t] p.2
hf' : HasMFDerivAt[Prod.fst '' s ×ˢ t] f p.1 (mfderiv[s] f p.1)
⊢ mfderiv[s ×ˢ t] (Prod.map f g) p = (mfderiv[s] f p.1).prodMap (mfderiv[t] g p.2)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
inst✝ : IsManifold IB n B
e : Trivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ trivializationAtlas F E
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ trivializationAtlas F E
this✝ : MemTrivializationAtlas e
this : MemTrivializationAtlas e'
⊢ ((fun e ↦ e.toOpenPartialHomeomorph) e).symm ≫ₕ (fun e ↦ e.toOpenPartialHomeomorph) e' ∈
    contMDiffFiberwiseLinear B F IB n

Tactic:
mem_contMDiffFiberwiseLinear_iff

Goal state after:
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
inst✝ : IsManifold IB n B
e : Trivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ trivializationAtlas F E
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ trivializationAtlas F E
this✝ : MemTrivializationAtlas e
this : MemTrivializationAtlas e'
⊢ ∃ φ U,
    ∃ (hU : IsOpen[inst✝¹⁶] U) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U) (h2φ :
      ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U),
      (((fun e ↦ e.toOpenPartialHomeomorph) e).symm ≫ₕ (fun e ↦ e.toOpenPartialHomeomorph) e').EqOnSource
        (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x₀ : M
y₀ : M'
⊢ (mfderiv% fun y ↦ (x₀, y)) y₀ = ContinuousLinearMap.inr 𝕜 (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' y₀)

Tactic:
by
  refine (mdifferentiableAt_const.mfderiv_prod mdifferentiableAt_id).trans ?_
  rw [mfderiv_id, mfderiv_const, ContinuousLinearMap.inr]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
inst✝ : IsManifold IB n B
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
he : e ∈ contMDiffFiberwiseLinear B F IB n
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn (contDiffGroupoid n (IB.prod 𝓘(𝕜, F))).IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source

Tactic:
mem_contMDiffFiberwiseLinear_iff

Goal state after:
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
inst✝ : IsManifold IB n B
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
he :
  ∃ φ U,
    ∃ (hU : IsOpen[inst✝¹⁶] U) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U) (h2φ :
      ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U),
      e.EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn (contDiffGroupoid n (IB.prod 𝓘(𝕜, F))).IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_21
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
⊢ HasMFDerivAt% Sum.swap p (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I p))

Tactic:
refine ⟨by fun_prop, ?_⟩
  apply (hasFDerivWithinAt_id _ (range I)).congr_of_eventuallyEq
  · exact writtenInExtChartAt_sumSwap_eventuallyEq_id
  · simp only [mfld_simps]
    cases p <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.UniqueDifferential

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
s : Set M
inst✝ : IsManifold I 1 M
hs : UniqueMDiff[s]
x : M
⊢ UniqueMDiff[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s]

Tactic:
rw [← PartialEquiv.image_source_inter_eq', inter_comm, extChartAt_source]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
s : Set M
inst✝ : IsManifold I 1 M
hs : UniqueMDiff[s]
x : M
⊢ UniqueMDiff[↑(extChartAt I x) '' (s ∩ (chartAt H x).source)]
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.UniqueDifferential

Goal state before:
pp: case left
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
s : Set M
F : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝¹ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝ : FiberBundle F Z
x : M
v : Z x
hs : UniqueMDiffAt[s] ⟨x, v⟩.proj
h's : s ⊆ (trivializationAt F Z ⟨x, v⟩.proj).baseSet
z : E
w : F
hz : ↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z) ∈ s ∧ ∃ y, ↑I y = z
⊢ (↑(trivializationAt F Z x).symm
        ((fun p ↦ (↑(chartAt H x).symm p.1, id p.2)) ((fun p ↦ (↑I.symm p.1, id p.2)) (z, w)))).proj ∈
    s

Tactic:
convert! hz.1

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
s : Set M
F : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝¹ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝ : FiberBundle F Z
x : M
v : Z x
hs : UniqueMDiffAt[s] ⟨x, v⟩.proj
h's : s ⊆ (trivializationAt F Z ⟨x, v⟩.proj).baseSet
z : E
w : F
hz : ↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z) ∈ s ∧ ∃ y, ↑I y = z
⊢ (↑(trivializationAt F Z x).symm
        ((fun p ↦ (↑(chartAt H x).symm p.1, id p.2)) ((fun p ↦ (↑I.symm p.1, id p.2)) (z, w)))).proj =
    ↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Diffeomorph

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
e✝ e : E ≃L[𝕜] F
x : M
y : E
hy :
  y ∈
    (extChartAt I x).target ∩
      ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹'
        (univ ∩ ⇑(Equiv.refl M) ⁻¹' (extChartAt (I.transContinuousLinearEquiv e) ((Equiv.refl M) x)).source)
⊢ (↑(extChartAt (I.transContinuousLinearEquiv e) ((Equiv.refl M) x)) ∘ ⇑(Equiv.refl M) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) y = e y

Tactic:
simp only [Equiv.coe_refl, id, (· ∘ ·), I.coe_extChartAt_transContinuousLinearEquiv,
        (extChartAt I x).right_inv hy.1]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x : M
⊢ mfderiv% ↑(extChartAt I x) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)

Tactic:
by
  rw [← TangentBundle.continuousLinearMapAt_trivializationAt (by simp),
    TangentBundle.continuousLinearMapAt_trivializationAt_eq_core (by simp)]
  ext v
  simpa using! (tangentBundleCore I M).coordChange_self (achart H x) x (mem_chart_source H x) v

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : M
hx : ↑f x = 1 x
⊢ ↑f x ≠ 0

Tactic:
by rw [hx]; exact one_ne_zero

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝¹ : NormedCommRing F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
ι : Type
t : Finset ι
f : ι → M → F'
hf : ∀ i ∈ t, MDiffAt[s] (f i) z
⊢ MDiffAt[s] (∏ i ∈ t, f i) z

Tactic:
classical exact (HasMFDerivWithinAt.prod
    fun i hi ↦ (hf i hi).hasMFDerivWithinAt).mdifferentiableWithinAt

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hsc : IsClosed[inst✝²] s
hs : s ⊆ support ↑f
⊢ IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (↑(extChartAt I c) '' s)

Tactic:
rw [f.image_eq_inter_preimage_of_subset_support hs]

Goal state after:
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hsc : IsClosed[inst✝²] s
hs : s ⊆ support ↑f
⊢ IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Topology.Compactness.Paracompact

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : ParacompactSpace Y
α : Type (max v w)
s : α → Set (X × Y)
ho : ∀ (a : α), IsOpen[instTopologicalSpaceProd] (s a)
hu : ⋃ a, s a = univ
a : X → Y → α
U : X → Y → Set X
V : X → Y → Set Y
hUo : ∀ (x : X) (y : Y), IsOpen[inst✝³] (U x y)
hVo : ∀ (x : X) (y : Y), IsOpen[inst✝²] (V x y)
hxU : ∀ (x : X) (y : Y), x ∈ U x y
hyV : ∀ (x : X) (y : Y), y ∈ V x y
hUV : ∀ (x : X) (y : Y), U x y ×ˢ V x y ⊆ s (a x y)
T : Y → Finset X
hT : ∀ (y : Y), ⋃ x ∈ T y, U x y = ⊤
W : Y → Set Y := fun y ↦ ⋂ x ∈ T y, V x y
hWo : ∀ (y : Y), IsOpen[inst✝²] (W y)
hW : ∀ (y : Y), y ∈ W y
E : Y → Set Y
hEo : ∀ (a : Y), IsOpen[inst✝²] (E a)
hE : ⋃ i, E i = univ
hEf : LocallyFinite E
hEA : ∀ (a : Y), E a ⊆ W a
x✝ : X × Y
x : X
y : Y
t : Set Y
ht : t ∈ 𝓝 y
htf : {i | (E i ∩ t).Nonempty}.Finite
⊢ {i | ((fun z ↦ U (↑z.snd) z.fst ×ˢ E z.fst) i ∩ univ ×ˢ t).Nonempty} ⊆
    ⋃ i ∈ {i | (E i ∩ t).Nonempty}, range (Sigma.mk i)

Tactic:
rintro ⟨b, a, ha⟩ ⟨⟨c, d⟩, ⟨-, hd : d ∈ E b⟩, -, hdt : d ∈ t⟩

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : ParacompactSpace Y
α : Type (max v w)
s : α → Set (X × Y)
ho : ∀ (a : α), IsOpen[instTopologicalSpaceProd] (s a)
hu : ⋃ a, s a = univ
a✝ : X → Y → α
U : X → Y → Set X
V : X → Y → Set Y
hUo : ∀ (x : X) (y : Y), IsOpen[inst✝³] (U x y)
hVo : ∀ (x : X) (y : Y), IsOpen[inst✝²] (V x y)
hxU : ∀ (x : X) (y : Y), x ∈ U x y
hyV : ∀ (x : X) (y : Y), y ∈ V x y
hUV : ∀ (x : X) (y : Y), U x y ×ˢ V x y ⊆ s (a✝ x y)
T : Y → Finset X
hT : ∀ (y : Y), ⋃ x ∈ T y, U x y = ⊤
W : Y → Set Y := fun y ↦ ⋂ x ∈ T y, V x y
hWo : ∀ (y : Y), IsOpen[inst✝²] (W y)
hW : ∀ (y : Y), y ∈ W y
E : Y → Set Y
hEo : ∀ (a : Y), IsOpen[inst✝²] (E a)
hE : ⋃ i, E i = univ
hEf : LocallyFinite E
hEA : ∀ (a : Y), E a ⊆ W a
x✝ : X × Y
x : X
y : Y
t : Set Y
ht : t ∈ 𝓝 y
htf : {i | (E i ∩ t).Nonempty}.Finite
b : Y
a : X
ha : a ∈ T b
c : X
d : Y
hd : d ∈ E b
hdt : d ∈ t
⊢ ⟨b, ⟨a, ha⟩⟩ ∈ ⋃ i ∈ {i | (E i ∩ t).Nonempty}, range (Sigma.mk i)
Module: Mathlib.Topology.EMetricSpace.Paracompact

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
pow_pos : ∀ (k : ℕ), 0 < 2⁻¹ ^ k
hpow_le : ∀ {m n : ℕ}, m ≤ n → 2⁻¹ ^ n ≤ 2⁻¹ ^ m
h2pow : ∀ (n : ℕ), 2 * 2⁻¹ ^ (n + 1) = 2⁻¹ ^ n
ι : Type u_1
s : ι → Set α
ho : ∀ (a : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s a)
hcov : ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ s i
w✝ : LinearOrder ι
wf : WellFoundedLT ι
ind : α → ι := fun x ↦ ⋯.min {i | x ∈ s i} ⋯
mem_ind : ∀ (x : α), x ∈ s (ind x)
notMem_of_lt_ind : ∀ {x : α} {i : ι}, i < ind x → x ∈ s i → False
D : ℕ → ι → Set α :=
  fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
hD :
  D = fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
n : ℕ
i : ι
⊢ Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      n i =
    ⋃ x,
      ⋃ (_ : ind x = i),
        ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i),
          ⋃ (_ :
            ∀ m < n,
              ∀ (j : ι),
                x ∉
                  Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
                    (fun n D' i ↦
                      ⋃ x,
                        ⋃ (_ : ind x = i),
                          ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i),
                            ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
                    m j),
            eball x (2⁻¹ ^ n)

Tactic:
rw [Nat.strongRec_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := ⋯
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
⊢ IsClosed (s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ)

Tactic:
have : IsOpen (⋃ j ≠ i, v j) := by
        apply isOpen_biUnion
        intro j _
        exact v.isOpen j

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
this : IsOpen (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)
⊢ IsClosed (s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ)