mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.PowTransition

Goal state before:
pp: R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
npos : n > 0
a : R ⧸ I ^ (n + 1)
h : IsUnit ((factorPow I ⋯) a)
b : R ⧸ I ^ n
right✝ : b * (factorPow I ⋯) a = 1
b' : R ⧸ I ^ n.succ
hb' : (factor ⋯) b' = b
hb : a * b' - 1 ∈ map (mk (I ^ n.succ)) (I ^ n)
c : R
hc : c ∈ ↑(I ^ n)
eq : (mk (I ^ (n + 1))) c = a * b' - 1
⊢ (mk (I ^ (n + 1))) c * 1 - (mk (I ^ (n + 1))) c * (mk (I ^ (n + 1))) c + (1 - (mk (I ^ (n + 1))) c) = 1

Tactic:
mul_one,

Goal state after:
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
npos : n > 0
a : R ⧸ I ^ (n + 1)
h : IsUnit ((factorPow I ⋯) a)
b : R ⧸ I ^ n
right✝ : b * (factorPow I ⋯) a = 1
b' : R ⧸ I ^ n.succ
hb' : (factor ⋯) b' = b
hb : a * b' - 1 ∈ map (mk (I ^ n.succ)) (I ^ n)
c : R
hc : c ∈ ↑(I ^ n)
eq : (mk (I ^ (n + 1))) c = a * b' - 1
⊢ (mk (I ^ (n + 1))) c - (mk (I ^ (n + 1))) c * (mk (I ^ (n + 1))) c + (1 - (mk (I ^ (n + 1))) c) = 1
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : CompositionSeries (Submodule R M)
h₁ : RelSeries.head s = ⊥
h₂ : RelSeries.last s = ⊤
H : IsFiniteLength R M
⊢ ↑s.length = length R M

Tactic:
have := (isFiniteLength_iff_isNoetherian_isArtinian.mp H).1

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : CompositionSeries (Submodule R M)
h₁ : RelSeries.head s = ⊥
h₂ : RelSeries.last s = ⊤
H : IsFiniteLength R M
this : IsNoetherian R M
⊢ ↑s.length = length R M
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
I : Ideal R
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
M : Type u_6
inst✝ : IsHausdorff I N
f g : M → N
h : ∀ (n : ℕ) (m : M), Submodule.Quotient.mk (f m) = Submodule.Quotient.mk (g m)
m : M
n : ℕ
⊢ f m ≡ g m [SMOD I ^ n • ⊤]

Tactic:
exact h n m

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
I : Ideal R
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
M : Type u_6
inst✝ : IsHausdorff I N
f g : M → N
a : ℕ → ℕ
ha : StrictMono a
h : ∀ (n : ℕ) (m : M), Submodule.Quotient.mk (f m) = Submodule.Quotient.mk (g m)
m : M
n : ℕ
⊢ f m ≡ g m [SMOD I ^ a n • ⊤]

Tactic:
exact h n m

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
⊢ ∃ ϖ, Irreducible ϖ

Tactic:
simp_rw [irreducible_iff_uniformizer]

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
⊢ ∃ ϖ, maximalIdeal R = span {ϖ}
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
this : ∀ {p : R}, Irreducible p → Associated p ϖ
⊢ Associated p q

Tactic:
apply Associated.trans (this hp) (this hq).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
h : J.IsMaximal
⊢ (under R J).IsMaximal

Tactic:
have hJ : J.IsPrime := IsMaximal.isPrime h

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
h : J.IsMaximal
hJ : J.IsPrime
⊢ (under R J).IsMaximal
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n ↦ ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
hL : ∀ (n : ℕ), f n ≡ L [SMOD I ^ n • ⊤]
n : ℕ
⊢ (1 + -(x * y)) * L - 1 ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]

Tactic:
specialize hL n

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n ↦ ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
n : ℕ
hL : f n ≡ L [SMOD I ^ n • ⊤]
⊢ (1 + -(x * y)) * L - 1 ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : IsDomain S
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobsonRing R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝⁵ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors Sₘ hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝⁴ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this✝³ : (comap φ' I).IsPrime
this✝² : ⊥.IsPrime
hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ
f : R ⧸ comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I) →+* S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I :=
  quotientMap (comap (algebraMap S Sₘ) I) φ ⋯
g : S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I →+* Sₘ ⧸ I := quotientMap I (algebraMap S Sₘ) ⋯
this✝¹ : (comap φ' I).IsMaximal
this✝ : (under R (comap φ' I)).IsMaximal
this : ⊥.IsMaximal
⊢ ((quotientMap I φ' ⋯).comp (quotientMap (comap φ' I) (algebraMap R Rₘ) ⋯)).IsIntegral

Tactic:
refine RingHom.IsIntegral.trans _ _ (RingHom.isIntegral_of_surjective _ ?_) (hφ'.quotient _)

Goal state after:
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : IsDomain S
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobsonRing R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S
this✝⁵ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors Sₘ hM
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
I : Ideal Sₘ
hI : I.IsMaximal
this✝⁴ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime
this✝³ : (comap φ' I).IsPrime
this✝² : ⊥.IsPrime
hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ
f : R ⧸ comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I) →+* S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I :=
  quotientMap (comap (algebraMap S Sₘ) I) φ ⋯
g : S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I →+* Sₘ ⧸ I := quotientMap I (algebraMap S Sₘ) ⋯
this✝¹ : (comap φ' I).IsMaximal
this✝ : (under R (comap φ' I)).IsMaximal
this : ⊥.IsMaximal
⊢ Function.Surjective ⇑(quotientMap (comap φ' I) (algebraMap R Rₘ) ⋯)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.IsPrincipal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : R
⊢ (R ∙ x) * (R ∙ y) ∈ {I | IsPrincipal I}

Tactic:
exact ⟨x * y, span_singleton_mul_span_singleton x y⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.IsValuedIn

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
⊢ P.root j - (algebraMap S R) (P.pairingIn S j i) • P.root i = P.root j - P.pairingIn S j i • P.root i

Tactic:
algebraMap_smul

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
⊢ P.root j - P.pairingIn S j i • P.root i = P.root j - P.pairingIn S j i • P.root i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.RootPositive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : P.InvariantForm
i j : ι
⊢ -(B.form (P.root i)) (P.root j) - P.pairing i j * -(B.form (P.root j)) (P.root j) =
    P.pairing i j * (B.form (P.root j)) (P.root j) - (B.form (P.root i)) (P.root j)

Tactic:
mul_neg,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : P.InvariantForm
i j : ι
⊢ -(B.form (P.root i)) (P.root j) - -(P.pairing i j * (B.form (P.root j)) (P.root j)) =
    P.pairing i j * (B.form (P.root j)) (P.root j) - (B.form (P.root i)) (P.root j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.RootPositive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : P.InvariantForm
i j : ι
⊢ -(B.form (P.root i)) (P.root j) - -(P.pairing i j * (B.form (P.root j)) (P.root j)) =
    P.pairing i j * (B.form (P.root j)) (P.root j) - (B.form (P.root i)) (P.root j)

Tactic:
neg_sub_neg

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : P.InvariantForm
i j : ι
⊢ P.pairing i j * (B.form (P.root j)) (P.root j) - (B.form (P.root i)) (P.root j) =
    P.pairing i j * (B.form (P.root j)) (P.root j) - (B.form (P.root i)) (P.root j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.RootPositive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : LinearOrder S
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Algebra S R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
B : RootPositiveForm S P
i j : ι
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
hi : P.root i ∈ span S (range ⇑P.root)
hj : P.root j ∈ span S (range ⇑P.root)
⊢ (B.posForm ⟨P.root i, hi⟩) ⟨P.root j, hj⟩ ≤ 0 ↔ P.pairingIn S i j ≤ 0

Tactic:
rw [← not_iff_not, not_le, not_le, zero_lt_apply_root_root_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsDomain S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : P.IsValuedIn S
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower S R M
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R N
this : IsTorsionFree S N
h_ne : ∏ i, ((P.RootFormIn S) (P.rootSpanMem S i)) (P.rootSpanMem S i) ≠ 0
x✝ : N
hx : x✝ ∈ P.corootSpan S
c : ι → S
hc : ∑ i, c i • P.coroot i = x✝
⊢ (∏ i, ((P.RootFormIn S) (P.rootSpanMem S i)) (P.rootSpanMem S i)) • ∑ i, c i • P.coroot i ∈ (P.PolarizationIn S).range

Tactic:
Finset.smul_sum

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsDomain S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : P.IsValuedIn S
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower S R M
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R N
this : IsTorsionFree S N
h_ne : ∏ i, ((P.RootFormIn S) (P.rootSpanMem S i)) (P.rootSpanMem S i) ≠ 0
x✝ : N
hx : x✝ ∈ P.corootSpan S
c : ι → S
hc : ∑ i, c i • P.coroot i = x✝
⊢ ∑ x, (∏ i, ((P.RootFormIn S) (P.rootSpanMem S i)) (P.rootSpanMem S i)) • c x • P.coroot x ∈ (P.PolarizationIn S).range
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
⊢ v x ≤ v (x + y) ∨ v y ≤ v (x + y)

Tactic:
rw [← min_le_iff]

Goal state after:
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
⊢ min (v x) (v y) ≤ v (x + y)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
aux0 : finrank R ↥(P.corootSpan R) + finrank R ↥(P.corootSpan R).dualAnnihilator = finrank R N
aux1 : finrank R ↥(P.rootSpan R) + finrank R ↥(LinearMap.ker P.RootForm) = finrank R M
⊢ finrank R ↥(LinearMap.ker P.RootForm) = finrank R ↥(P.corootSpan R).dualAnnihilator

Tactic:
rw [← P.finrank_corootSpan_eq', P.toPerfPair.finrank_eq, Subspace.dual_finrank_eq] at aux1

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
aux0 : finrank R ↥(P.corootSpan R) + finrank R ↥(P.corootSpan R).dualAnnihilator = finrank R N
aux1 : finrank R ↥(P.corootSpan R) + finrank R ↥(LinearMap.ker P.RootForm) = finrank R N
⊢ finrank R ↥(LinearMap.ker P.RootForm) = finrank R ↥(P.corootSpan R).dualAnnihilator
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Union

Goal state before:
pp: case insert.inl
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
h₁ : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤
j : ι
hj : j ∉ ∅
h₂ : ↑(insert j ∅).card < ENat.card K
hj' : ↑∅.card < ENat.card K → ⋃ i ∈ ∅, ↑(p i) ≠ univ
⊢ ⋃ i ∈ insert j ∅, ↑(p i) ≠ univ

Tactic:
simpa using! h₁ j

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
i j : ι
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsTorsionFree R M
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : FaithfulSMul S R
inst✝ : P.IsValuedIn S
⊢ P.pairingIn S i j = 2 ∧ P.pairingIn S j i = 2 ↔ i = j

Tactic:
by
  simp only [← P.pairing_two_two_iff, ← P.algebraMap_pairingIn S, ← map_ofNat (algebraMap S R),
    (algebraMap_injective S R).eq_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ ⅟2 •
      (LinearMap.compl₁₂ Q₁.polarBilin (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) +
        LinearMap.compl₁₂ Q₂.polarBilin (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)) =
    LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • Q₁.polarBilin) (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) +
      LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • Q₂.polarBilin) (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)

Tactic:
smul_add

Goal state after:
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ ⅟2 • LinearMap.compl₁₂ Q₁.polarBilin (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) +
      ⅟2 • LinearMap.compl₁₂ Q₂.polarBilin (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂) =
    LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • Q₁.polarBilin) (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) +
      LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • Q₂.polarBilin) (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Invertible 2
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ ⅟2 • ∑ i, LinearMap.compl₁₂ (Q i).polarBilin (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i) =
    ∑ i, LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • (Q i).polarBilin) (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)

Tactic:
Finset.smul_sum

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Invertible 2
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ ∑ x, ⅟2 • LinearMap.compl₁₂ (Q x).polarBilin (LinearMap.proj x) (LinearMap.proj x) =
    ∑ i, LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • (Q i).polarBilin) (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Submodule

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
h : Nontrivial V
⊢ ⊥ ≠ ⊤

Tactic:
exact bot_ne_top

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₁ : Type u_5
M₁ : Type u_6
N₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
P₁ : RootPairing ι₁ R M₁ N₁
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
g : P₁.Hom P₂
f : P.Hom P₁
i : ι
⊢ ((⇑g.weightMap ∘ ⇑f.weightMap) ∘ ⇑P.root) i = (⇑P₂.root ∘ ⇑g.indexEquiv ∘ ⇑f.indexEquiv) i

Tactic:
rw [comp_assoc, f.root_weightMap, ← comp_assoc, g.root_weightMap, comp_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
⊢ ¬↑⊥ = ↑⊤

Tactic:
exact bot_ne_top

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsRootSystem
x : M
⊢ x = 0 ↔ ∀ (i : ι), (P.coroot' i) x = 0

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ by simp [h], fun h ↦ ?_⟩
  replace h : x ∈ ⨅ i, ker (P.coroot' i) := by aesop
  simpa [← P.corootSpan_dualAnnihilator_map_eq_iInf_ker_coroot'] using h

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
S : Subgroup G
inst✝¹ : S.Normal
inst✝ : IsTrivial (MonoidHom.comp ρ S.subtype)
⊢ QuotientGroup.con S ≤ Con.ker ρ

Tactic:
rintro x y ⟨⟨z, hz⟩, rfl⟩
    ext w
    change ρ (_ * z.unop) _ = _
    exact congr($(apply_eq_of_coe_eq ρ S _ _ (by simp_all)) w)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
⊢ P.root l - P.root i = P.root j + (s - 1) • P.root i

Tactic:
hl

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
⊢ P.root j + s • P.root i - P.root i = P.root j + (s - 1) • P.root i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
⊢ P.root l ≠ P.root i

Tactic:
hl

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
⊢ P.root j + s • P.root i ≠ P.root i