Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
x : ι
hx : P.root k = P.root ↑i + P.root x
y : ι
hy : P.root k = P.root y - P.root ↑i
⊢ ((∑ x, if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)

pp: case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
x : ι
hx : P.root k = P.root ↑i + P.root x
h₂ : ∀ (a : ι), ¬P.root k = P.root a - P.root ↑i
⊢ ((∑ x, if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)

pp: case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
h₁ : ∀ (a : ι), ¬P.root k = P.root ↑i + P.root a
y : ι
hy : P.root k = P.root y - P.root ↑i
⊢ ((∑ x, if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)

pp: case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
h₁ : ∀ (a : ι), ¬P.root k = P.root ↑i + P.root a
h₂ : ∀ (a : ι), ¬P.root k = P.root a - P.root ↑i
⊢ ((∑ x, if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)

Tactic:
· have h_lin_ind_x : LinearIndependent R ![P.root i, P.root x] := by simpa [hx] using h_lin_ind
    have h_lin_ind_y : LinearIndependent R ![P.root i, P.root y] := by
      rw [← add_eq_of_eq_sub hy, add_comm]; simpa
    have hx' : P.chainBotCoeff i k = P.chainBotCoeff i x + 1 :=
      chainBotCoeff_of_add h_lin_ind_x (add_comm (P.root i) _ ▸ hx)
    have hy' : P.chainTopCoeff i k = P.chainTopCoeff i y + 1 := chainTopCoeff_of_sub h_lin_ind_y hy
    rw [Finset.sum_eq_single_of_mem x (Finset.mem_univ _) (by aesop),
      Finset.sum_eq_single_of_mem y (Finset.mem_univ _) (by aesop)]
    simp only [hx, hy.symm, hx', hy', reduceIte, Nat.cast_add]
    ring

Goal state after:
case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
x : ι
hx : P.root k = P.root ↑i + P.root x
h₂ : ∀ (a : ι), ¬P.root k = P.root a - P.root ↑i
⊢ ((∑ x, if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)

case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
h₁ : ∀ (a : ι), ¬P.root k = P.root ↑i + P.root a
y : ι
hy : P.root k = P.root y - P.root ↑i
⊢ ((∑ x, if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)

case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
h₁ : ∀ (a : ι), ¬P.root k = P.root ↑i + P.root a
h₂ : ∀ (a : ι), ¬P.root k = P.root a - P.root ↑i
⊢ ((∑ x, if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)