Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
⊢ (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)).inverse = mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀

Tactic:
apply ContinuousLinearMap.inverse_eq

Goal state after:
case hf
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
⊢ mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) ∘SL mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀ =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I (↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)))

case hg
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
⊢ mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀ ∘SL mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x₀) x₀))