mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case e_6
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x] ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I

Tactic:
exact preimage_extChartAt_eventuallyEq_compl_singleton y h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := id
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := V ∘ f
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := fun x ↦ (mfderiv[s] f x).inverse
hv : ContMDiffWithinAt I I'.tangent m (fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀
this :
  ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E' →L[𝕜] E) m
    (inverse ∘ fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) s x₀

Tactic:
apply ContMDiffAt.comp_contMDiffWithinAt _ _ this

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := ⋯
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := ⋯
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := ⋯
hv : ContMDiffWithinAt I I'.tangent m (fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀
this :
  ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) s x₀
⊢ ContMDiffAt 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') 𝓘(𝕜, E' →L[𝕜] E) m inverse
    (inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x₀ (f x₀) (f x₀) (mfderiv[s] f x₀))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: n : ℕ
p : ℝ≥0∞
a : ℝ
f : Fin n → (PiLp p fun x ↦ ℝ) → ℝ := fun i x ↦ x.ofLp i
h : {y | ∀ (i : Fin n), a ≤ y.ofLp i} = ⋂ i, f i ⁻¹' Ici a
h' : {y | ∀ (i : Fin n), a < y.ofLp i} = ⋂ i, f i ⁻¹' Ioi a
⊢ ⋂ i, interior (f i ⁻¹' Ici a) = ⋂ i, f i ⁻¹' Ioi a

Tactic:
apply iInter_congr fun i ↦ ?_

Goal state after:
n : ℕ
p : ℝ≥0∞
a : ℝ
f : Fin n → (PiLp p fun x ↦ ℝ) → ℝ := fun i x ↦ x.ofLp i
h : {y | ∀ (i : Fin n), a ≤ y.ofLp i} = ⋂ i, f i ⁻¹' Ici a
h' : {y | ∀ (i : Fin n), a < y.ofLp i} = ⋂ i, f i ⁻¹' Ioi a
i : Fin n
⊢ interior (f i ⁻¹' Ici a) = f i ⁻¹' Ioi a
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: n : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ {y | 0 < y.ofLp 0}.Nonempty

Tactic:
exact ⟨toLp 2 fun i ↦ 1, by simp⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: n : ℕ
x : EuclideanSpace ℝ (Fin n)
hx : x ∈ {x | ∀ (i : Fin n), 0 ≤ x.ofLp i}
⊢ ↑⟨toLp 2 fun i ↦ max (x.ofLp i) 0, ⋯⟩ = x

Tactic:
by ext1 i; simp only [hx i, sup_of_le_left]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: n : ℕ
⊢ {y | ∀ (i : Fin n), 0 < y.ofLp i}.Nonempty

Tactic:
exact ⟨toLp 2 fun i ↦ 1, by simp⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
⊢ IsImmersionOfComplement Unit I I n Sum.inl

Tactic:
intro x
  apply IsImmersionAtOfComplement.mk_of_continuousAt (equiv := (.prodUnique 𝕜 E _))
    (by fun_prop) _ _ (mem_chart_source H x) (mem_chart_source H (Sum.inl x))
    (IsManifold.chart_mem_maximalAtlas x) (IsManifold.chart_mem_maximalAtlas (Sum.inl x))
  intro y hy
  have : I ((chartAt H x) ((chartAt H x).symm (I.symm y))) = y := by
    rw [(chartAt H x).right_inv (by simp_all), I.right_inv (by simp_all)]
  simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
f : M → N
φ : N → N'
hφ : IsImmersionOfComplement F J J' n φ
x✝ : Continuous[inst✝⁵, inst✝³] f ∧ ContMDiff I J' n (φ ∘ f)
x : M
h : Continuous[inst✝⁵, inst✝³] f
h' : ContMDiff I J' n (φ ∘ f)
⊢ ContMDiffAt I J n f x

Tactic:
rw [ContMDiffAt.iff_comp_isImmersionAtOfComplement (hφ (f x))]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
f : M → N
φ : N → N'
hφ : IsImmersionOfComplement F J J' n φ
x✝ : Continuous[inst✝⁵, inst✝³] f ∧ ContMDiff I J' n (φ ∘ f)
x : M
h : Continuous[inst✝⁵, inst✝³] f
h' : ContMDiff I J' n (φ ∘ f)
⊢ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
dt : ℝ
⊢ IsMIntegralCurveOn (γ ∘ fun x ↦ x - dt) v {t | t - dt ∈ s} ↔ IsMIntegralCurveOn γ v s

Tactic:
simpa using! isMIntegralCurveOn_comp_add (dt := -dt)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
this✝¹ : (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)).inverse = mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀
V' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
hV' : V' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
W' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
hW' : W' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
F : E → E' := (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hF : F = (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hFx₀ : ↑(extChartAt I' (f x₀)) (f x₀) = F (↑(extChartAt I x₀) x₀)
Y : (x : M') → TangentSpace I' x
this✝ : (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x₀) x₀
y : E
hy : y ∈ ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
h'''y : y ∈ (extChartAt I x₀).target
h'y : f (↑(extChartAt I x₀).symm y) ∈ (extChartAt I' (f x₀)).source
h''y : f (↑(extChartAt I x₀).symm y) ∈ (chartAt H' (f x₀)).source
huy : UniqueMDiffAt[↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] y
this :
  f (↑(extChartAt I x₀).symm y) = ↑(extChartAt I' (f x₀)).symm (↑(extChartAt I' (f x₀)) (f (↑(extChartAt I x₀).symm y)))
⊢ mfderiv[range ↑I'] ↑(extChartAt I' (f x₀)).symm (↑(extChartAt I' (f x₀)) (f (↑(extChartAt I x₀).symm y))) ∘SL
      mfderiv% ↑(extChartAt I' (f x₀)) (f (↑(extChartAt I x₀).symm y)) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I' (f (↑(extChartAt I x₀).symm y)))

Tactic:
convert!
        mfderivWithin_extChartAt_symm_comp_mfderiv_extChartAt ((PartialEquiv.map_source _ h'y))

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.UniformTime

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : BoundarylessManifold I M
v : (x : M) → TangentSpace I x
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : ∀ (x : M), ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-ε) ε)
x : M
s : Set ℝ := {a | ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-a) a)}
hbdd : BddAbove s
asup : ℝ := sSup s
hasup : asup = sSup s
a : ℝ
hlt : asup - ε / 2 < a
γ : ℝ → M
h0 : γ 0 = x
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-a) a)
γ1_aux : ℝ → M
h1_aux : γ1_aux 0 = γ (-(asup - ε / 2))
γ1 : ℝ → M := γ1_aux ∘ fun x ↦ x + (asup - ε / 2)
γ1_def : γ1 = γ1_aux ∘ fun x ↦ x + (asup - ε / 2)
heq1 : γ1 (-(asup - ε / 2)) = γ (-(asup - ε / 2))
γ2_aux : ℝ → M
h2_aux : γ2_aux 0 = γ (asup - ε / 2)
γ2 : ℝ → M := γ2_aux ∘ fun x ↦ x - (asup - ε / 2)
γ2_def : γ2 = γ2_aux ∘ fun x ↦ x - (asup - ε / 2)
heq2 : γ2 (asup - ε / 2) = γ (asup - ε / 2)
hγ1 : IsMIntegralCurveOn γ1 v {t | t ∈ Ioo (-ε - (asup - ε / 2)) (ε - (asup - ε / 2))}
hγ2 : IsMIntegralCurveOn γ2 v {t | t ∈ Ioo (-ε + (asup - ε / 2)) (ε + (asup - ε / 2))}
hεle : ε ≤ asup
⊢ False

Tactic:
set γ_ext : ℝ → M := piecewise (Ioo (-(asup + ε / 2)) a)
    (piecewise (Ioo (-a) a) γ γ1) γ2 with γ_ext_def

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : BoundarylessManifold I M
v : (x : M) → TangentSpace I x
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : ∀ (x : M), ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-ε) ε)
x : M
s : Set ℝ := {a | ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-a) a)}
hbdd : BddAbove s
asup : ℝ := sSup s
hasup : asup = sSup s
a : ℝ
hlt : asup - ε / 2 < a
γ : ℝ → M
h0 : γ 0 = x
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-a) a)
γ1_aux : ℝ → M
h1_aux : γ1_aux 0 = γ (-(asup - ε / 2))
γ1 : ℝ → M := γ1_aux ∘ fun x ↦ x + (asup - ε / 2)
γ1_def : γ1 = γ1_aux ∘ fun x ↦ x + (asup - ε / 2)
heq1 : γ1 (-(asup - ε / 2)) = γ (-(asup - ε / 2))
γ2_aux : ℝ → M
h2_aux : γ2_aux 0 = γ (asup - ε / 2)
γ2 : ℝ → M := γ2_aux ∘ fun x ↦ x - (asup - ε / 2)
γ2_def : γ2 = γ2_aux ∘ fun x ↦ x - (asup - ε / 2)
heq2 : γ2 (asup - ε / 2) = γ (asup - ε / 2)
hγ1 : IsMIntegralCurveOn γ1 v {t | t ∈ Ioo (-ε - (asup - ε / 2)) (ε - (asup - ε / 2))}
hγ2 : IsMIntegralCurveOn γ2 v {t | t ∈ Ioo (-ε + (asup - ε / 2)) (ε + (asup - ε / 2))}
hεle : ε ≤ asup
γ_ext : ℝ → M := (Ioo (-(asup + ε / 2)) a).piecewise ((Ioo (-a) a).piecewise γ γ1) γ2
γ_ext_def : γ_ext = (Ioo (-(asup + ε / 2)) a).piecewise ((Ioo (-a) a).piecewise γ γ1) γ2
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Metrizable

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this : LocallyCompactSpace H
⊢ MetrizableSpace M

Tactic:
have := ChartedSpace.locallyCompactSpace H M

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ MetrizableSpace M
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: case hxs
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
a b : ℝ
γ : ℝ → M
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
f : ℝ → ℝ
h✝ : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc a b)
h'f : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
hγ : MDiff[f '' Icc a b] γ
h : a < b
f_im : f '' Icc a b = Icc (f a) (f b)
B : ∀ t ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Icc a b) t) (Icc a b) t
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b
⊢ UniqueMDiffAt[Icc a b] t

Tactic:
uniqueMDiffWithinAt_iff_uniqueDiffWithinAt

Goal state after:
case hxs
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
a b : ℝ
γ : ℝ → M
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
f : ℝ → ℝ
h✝ : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc a b)
h'f : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
hγ : MDiff[f '' Icc a b] γ
h : a < b
f_im : f '' Icc a b = Icc (f a) (f b)
B : ∀ t ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Icc a b) t) (Icc a b) t
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b
⊢ UniqueDiffWithinAt ℝ (Icc a b) t
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: case hxs
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
a b : ℝ
γ : ℝ → M
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
f : ℝ → ℝ
h✝ : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc a b)
h'f : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
hγ : MDiff[f '' Icc a b] γ
h : a < b
f_im : f '' Icc a b = Icc (f b) (f a)
B : ∀ t ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Icc a b) t) (Icc a b) t
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b
⊢ UniqueMDiffAt[Icc a b] t

Tactic:
uniqueMDiffWithinAt_iff_uniqueDiffWithinAt

Goal state after:
case hxs
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
a b : ℝ
γ : ℝ → M
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
f : ℝ → ℝ
h✝ : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc a b)
h'f : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
hγ : MDiff[f '' Icc a b] γ
h : a < b
f_im : f '' Icc a b = Icc (f b) (f a)
B : ∀ t ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Icc a b) t) (Icc a b) t
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b
⊢ UniqueDiffWithinAt ℝ (Icc a b) t
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
hr : ∃ i, ContMDiff (𝓡∂ 1) I 1 ⇑i ∧ ∫⁻ (x_1 : ↑unitInterval), ‖(mfderiv% ⇑i x_1) 1‖ₑ < r
⊢ ∃ γ, γ 0 = x ∧ γ 1 = y ∧ ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1) ∧ pathELength I γ 0 1 < r

Tactic:
rcases hr with ⟨γ, γ_smooth, hγ⟩

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
γ : Path x y
γ_smooth : ContMDiff (𝓡∂ 1) I 1 ⇑γ
hγ : ∫⁻ (x_1 : ↑unitInterval), ‖(mfderiv% ⇑γ x_1) 1‖ₑ < r
⊢ ∃ γ, γ 0 = x ∧ γ 1 = y ∧ ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1) ∧ pathELength I γ 0 1 < r
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := fun t ↦ ((b' - a')⁻¹ * (t - a')).smoothTransition
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ pathELength I (γ ∘ η) a b < r

Tactic:
convert! hγ using 1

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := fun t ↦ ((b' - a')⁻¹ * (t - a')).smoothTransition
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ pathELength I (γ ∘ η) a b = pathELength I γ 0 1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x✝ y✝ x y : M
r : ℝ≥0∞
hr : riemannianEDist I x y < r
γ : ℝ → M
γ0 : γ 0 = x
γ1 : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
η : ℝ → ℝ := fun t ↦ -t
h_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 (γ ∘ η)
⊢ riemannianEDist I y x ≤ pathELength I (γ ∘ η) (η 1) (η 0)

Tactic:
apply riemannianEDist_le_pathELength h_smooth.contMDiffOn <;> simp [η, γ0, γ1]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)

Tactic:
ext v

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x v : F
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.Smooth

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup EM
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace N
inst✝¹³ : ChartedSpace H N
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : ChartedSpace H G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : ChartedSpace H A
inst✝⁸ : TopologicalSpace A'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' A'
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : ChartedSpace H R
EP : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup EP
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 EP
HP : Type u_8
inst✝² : TopologicalSpace HP
IP : ModelWithCorners 𝕜 EP HP
P : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ChartedSpace HP P
f : M → P
hf : ContMDiff IM IP ∞ f
U : (Opens ↑(TopCat.of P))ᵒᵖ
g : (smoothSheaf IP I P N).obj.obj U
⊢ (StructureGroupoid.LocalInvariantProp.localPredicate M N ⋯).pred (↑g ∘ (unop U).1.restrictPreimage f)

Tactic:
by
    apply ContMDiff.comp (I' := IP) g.2
    rw [← ContMDiff.subtypeVal_comp_iff]
    exact hf.comp contMDiff_subtype_val

Goal state after: