Module: Mathlib.Algebra.Module.PID

Goal state before:
pp: case h.succ.refine_3
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module R M],
    IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → M), Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → M ⧸ R ∙ s j := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
this : ∃ k, Nonempty ((M ⧸ R ∙ s j) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
⊢ ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ R ∙ p ^ k i)

pp: case h.succ.refine_1
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module R M],
    IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → M), Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → M ⧸ R ∙ s j := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
⊢ IsTorsion' (M ⧸ R ∙ s j) ↥(Submonoid.powers p)

pp: case h.succ.refine_2
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module R M],
    IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → M), Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → M ⧸ R ∙ s j := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
⊢ Submodule.span R (Set.range s') = ⊤

Tactic:
· obtain ⟨k, ⟨f⟩⟩ := this
      clear IH
      have : ∀ i : Fin d,
          ∃ x : M, p ^ k i • x = 0 ∧ f (Submodule.Quotient.mk x) = DirectSum.lof R _ _ i 1 := by
        intro i
        let fi := f.symm.toLinearMap.comp (DirectSum.lof _ _ _ i)
        obtain ⟨x, h0, h1⟩ := exists_smul_eq_zero_and_mk_eq hp hM hj fi; refine ⟨x, h0, ?_⟩; rw [h1]
        simp only [fi, LinearMap.coe_comp, f.symm.coe_toLinearMap, f.apply_symm_apply,
          Function.comp_apply]
      refine ⟨?_, ⟨?_⟩⟩
      · exact fun a => (fun i => (Option.rec (pOrder hM (s j)) k i : ℕ)) (finSuccEquiv d a)
      · refine
          (lequivProdOfRightSplitExact
            (g := f.toLinearMap.comp <| mkQ _)
            (f := (DirectSum.toModule _ _ _ fun i => (liftQSpanSingleton (p ^ k i)
                (LinearMap.toSpanSingleton _ _ _) (this i).choose_spec.left : R ⧸ _ →ₗ[R] _)))
              (R ∙ s j).injective_subtype ?_ ?_).symm ≪≫ₗ
          (((quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M (s j)).symm ≪≫ₗ
            (quotEquivOfEq (torsionOf R M (s j)) _
              (Ideal.torsionOf_eq_span_pow_pOrder hp hM (s j)))).prodCongr (.refl _ _)) ≪≫ₗ
          (@DirectSum.lequivProdDirectSum R _ _
            (fun i => R ⧸ R ∙ p ^ @Option.rec _ (fun _ => ℕ) (pOrder hM <| s j) k i) _ _).symm ≪≫ₗ
          (DirectSum.lequivCongrLeft R (finSuccEquiv d).symm)
        · rw [range_subtype, LinearEquiv.ker_comp, ker_mkQ]
        · rw [LinearMap.comp_assoc]
          ext i : 3
          simp only [LinearMap.coe_comp, Function.comp_apply, mkQ_apply]
          rw [LinearEquiv.coe_toLinearMap, LinearMap.id_apply, DirectSum.toModule_lof,
            liftQSpanSingleton_apply, LinearMap.toSpanSingleton_apply_one, Ideal.Quotient.mk_eq_mk,
            map_one (Ideal.Quotient.mk _), (this i).choose_spec.right]

Goal state after:
case h.succ.refine_1
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module R M],
    IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → M), Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → M ⧸ R ∙ s j := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
⊢ IsTorsion' (M ⧸ R ∙ s j) ↥(Submonoid.powers p)

case h.succ.refine_2
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module R M],
    IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → M), Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → M ⧸ R ∙ s j := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
⊢ Submodule.span R (Set.range s') = ⊤