mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Monoidal

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝¹⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹³ : MonoidalCategory C
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : (curriedTensor C).Additive
inst✝⁹ : ∀ (X₁ : C), ((curriedTensor C).obj X₁).Additive
I : Type u_2
inst✝⁸ : AddMonoid I
c : ComplexShape I
inst✝⁷ : c.TensorSigns
inst✝⁶ : ∀ (X₁ X₂ : GradedObject I C), X₁.HasTensor X₂
inst✝⁵ : ∀ (X₁ : C), PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).obj X₁)
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C), PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).flip.obj X₂)
inst✝³ : ∀ (X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C), X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄
inst✝² : ∀ (X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C), X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
inst✝¹ : ∀ (X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C), X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
inst✝ : DecidableEq I
K₁ K₂ K₃ : HomologicalComplex C c
⊢ (α_ K₁ K₂ K₃).hom.f = 𝟙 ((K₁ ⊗ K₂).X ⊗ K₃.X) ≫ 𝟙 ((K₁ ⊗ K₂).X ⊗ K₃.X) ≫ (α_ K₁.X K₂.X K₃.X).hom

Tactic:
rw [id_comp]

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝¹⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹³ : MonoidalCategory C
inst✝¹² : Preadditive C
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : (curriedTensor C).Additive
inst✝⁹ : ∀ (X₁ : C), ((curriedTensor C).obj X₁).Additive
I : Type u_2
inst✝⁸ : AddMonoid I
c : ComplexShape I
inst✝⁷ : c.TensorSigns
inst✝⁶ : ∀ (X₁ X₂ : GradedObject I C), X₁.HasTensor X₂
inst✝⁵ : ∀ (X₁ : C), PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).obj X₁)
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C), PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).flip.obj X₂)
inst✝³ : ∀ (X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C), X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄
inst✝² : ∀ (X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C), X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
inst✝¹ : ∀ (X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C), X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
inst✝ : DecidableEq I
K₁ K₂ K₃ : HomologicalComplex C c
⊢ (α_ K₁ K₂ K₃).hom.f = 𝟙 ((K₁ ⊗ K₂).X ⊗ K₃.X) ≫ (α_ K₁.X K₂.X K₃.X).hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.GradedObject.Monoidal

Goal state before:
pp: I : Type u
inst✝⁶ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : X₁.HasTensor X₂
inst✝² : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝¹ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j
i₁₂ : I
h' : i₁ + i₂ = i₁₂
⊢ i₁₂ + i₃ = j

Tactic:
by rw [← h', h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.Differentials

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i₀ i₁ i₂ i₃ i₄ i₅ : ι
f₁ : i₀ ⟶ i₁
f₂ : i₁ ⟶ i₂
f₃ : i₂ ⟶ i₃
f₄ : i₃ ⟶ i₄
f₅ : i₄ ⟶ i₅
f₁₂ : i₀ ⟶ i₂
h₁₂ : f₁ ≫ f₂ = f₁₂
f₂₃ : i₁ ⟶ i₃
h₂₃ : f₂ ≫ f₃ = f₂₃
f₃₄ : i₂ ⟶ i₄
h₃₄ : f₃ ≫ f₄ = f₃₄
f₄₅ : i₃ ⟶ i₅
h₄₅ : f₄ ≫ f₅ = f₄₅
n₀ n₁ n₂ n₃ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
hn₃ : n₂ + 1 = n₃
⊢ X.δ (f₁ ≫ f₂) f₃ n₁ n₂ hn₂ ≫ X.toCycles f₁ f₂ (f₁ ≫ f₂) ⋯ n₂ ≫ X.πE f₁ f₂ f₃ n₁ n₂ n₃ hn₂ hn₃ = 0

Tactic:
δ_toCycles_assoc ..,

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i₀ i₁ i₂ i₃ i₄ i₅ : ι
f₁ : i₀ ⟶ i₁
f₂ : i₁ ⟶ i₂
f₃ : i₂ ⟶ i₃
f₄ : i₃ ⟶ i₄
f₅ : i₄ ⟶ i₅
f₁₂ : i₀ ⟶ i₂
h₁₂ : f₁ ≫ f₂ = f₁₂
f₂₃ : i₁ ⟶ i₃
h₂₃ : f₂ ≫ f₃ = f₂₃
f₃₄ : i₂ ⟶ i₄
h₃₄ : f₃ ≫ f₄ = f₃₄
f₄₅ : i₃ ⟶ i₅
h₄₅ : f₄ ≫ f₅ = f₄₅
n₀ n₁ n₂ n₃ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
hn₃ : n₂ + 1 = n₃
⊢ X.δToCycles f₁ f₂ f₃ n₁ n₂ (CategoryTheory.Abelian.SpectralObject.d._proof_1 n₁ n₂ hn₂) ≫
      X.πE f₁ f₂ f₃ n₁ n₂ n₃ hn₂ hn₃ =
    0
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.Differentials

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i j k l : ι
f₁ : i ⟶ j
f₂ : j ⟶ k
f₃ : k ⟶ l
f₁₂ : i ⟶ k
h₁₂ : f₁ ≫ f₂ = f₁₂
f₂₃ : j ⟶ l
h₂₃ : f₂ ≫ f₃ = f₂₃
n₀ n₁ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
⊢ (X.H n₀).map (twoδ₂Toδ₁ f₂ f₃ (f₂ ≫ f₃) ⋯) ≫ X.δ f₁ (f₂ ≫ f₃) n₀ n₁ hn₁ ≫ X.pOpcycles f₁ f₂ n₁ = 0

Tactic:
by
      rw [X.δ_naturality_assoc f₁ f₂ f₁ (f₂ ≫ f₃) (𝟙 _) (twoδ₂Toδ₁ f₂ f₃ _ rfl) _ _ rfl,
        Functor.map_id, id_comp, δ_pOpcycles ..]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.Cycles

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i j k l : ι
f₁ : i ⟶ j
f₂ : j ⟶ k
f₃ : k ⟶ l
f₁₂ : i ⟶ k
h₁₂ : f₁ ≫ f₂ = f₁₂
n₀ n₁ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
⊢ X.δ f₁₂ f₃ n₀ n₁ hn₁ ≫ X.toCycles f₁ f₂ f₁₂ h₁₂ n₁ = X.δToCycles f₁ f₂ f₃ n₀ n₁ hn₁

Tactic:
by
  rw [← cancel_mono (X.iCycles f₁ f₂ n₁), Category.assoc,
    toCycles_i, δToCycles_iCycles,
    ← X.δ_naturality f₁₂ f₃ f₂ f₃ (twoδ₁Toδ₀ f₁ f₂ f₁₂ h₁₂) (𝟙 _) n₀ n₁,
    Functor.map_id, Category.id_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.EpiMono

Goal state before:
pp: case h₂
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Category.{v_2, u_2} ι
X : SpectralObject C ι
i₀ i₁ i₂ i₃ i₄ : ι
f₁ : i₀ ⟶ i₁
f₂ : i₁ ⟶ i₂
f₃ : i₂ ⟶ i₃
f₄ : i₃ ⟶ i₄
f₃₄ : i₂ ⟶ i₄
h₃₄ : f₃ ≫ f₄ = f₃₄
n₁ n₂ n₃ : ℤ
h : (X.H n₁).map (twoδ₁Toδ₀ f₃ f₄ f₃₄ h₃₄) = 0
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
hn₃ : n₂ + 1 = n₃
⊢ IsIso (X.shortComplexMap f₁ f₂ f₃ f₁ f₂ f₃₄ (fourδ₄Toδ₃ f₁ f₂ f₃ f₄ f₃₄ h₃₄) n₁ n₂ n₃ ⋯ ⋯).τ₂

Tactic:
dsimp
    convert! (inferInstance : IsIso ((X.H n₂).map (𝟙 _)))
    cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.Page

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i j k l : ι
f₁ : i ⟶ j
f₂ : j ⟶ k
f₃ : k ⟶ l
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
⊢ X.map f₁ f₂ f₃ f₁ f₂ f₃ (𝟙 (mk₃ f₁ f₂ f₃)) n₀ n₁ n₂ hn₁ hn₂ = 𝟙 (X.E f₁ f₂ f₃ n₀ n₁ n₂ hn₁ hn₂)

Tactic:
by
  dsimp only [map]
  simp [shortComplexMap_id, ShortComplex.homologyMap_id]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.Page

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i j k l : ι
f₁ : i ⟶ j
f₂ : j ⟶ k
f₃ : k ⟶ l
i' j' k' l' : ι
f₁' : i' ⟶ j'
f₂' : j' ⟶ k'
f₃' : k' ⟶ l'
i'' j'' k'' l'' : ι
f₁'' : i'' ⟶ j''
f₂'' : j'' ⟶ k''
f₃'' : k'' ⟶ l''
α : mk₃ f₁ f₂ f₃ ⟶ mk₃ f₁' f₂' f₃'
β : mk₃ f₁' f₂' f₃' ⟶ mk₃ f₁'' f₂'' f₃''
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
⊢ X.map f₁ f₂ f₃ f₁'' f₂'' f₃'' (α ≫ β) n₀ n₁ n₂ hn₁ hn₂ =
    X.map f₁ f₂ f₃ f₁' f₂' f₃' α n₀ n₁ n₂ hn₁ hn₂ ≫ X.map f₁' f₂' f₃' f₁'' f₂'' f₃'' β n₀ n₁ n₂ hn₁ hn₂

Tactic:
by
  dsimp only [map]
  simp [shortComplexMap_comp, ShortComplex.homologyMap_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.HasSpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ r : ℤ
pq pq' : ℕ × ℕ
hpq : (ComplexShape.spectralSequenceNat (-r, r - 1)).Rel pq pq'
hr : 2 ≤ r
⊢ -↑pq.1 - ↑pq.2 + 1 = -↑pq'.1 - ↑pq'.2

Tactic:
by
    simp only [ComplexShape.spectralSequenceNat_rel_iff] at hpq
    lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
x✝² : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
x✝¹ : R
x✝ : L₁
⊢ x✝¹ • x✝².toLinearEquiv x✝ = (RingHom.id R) x✝¹ • x✝².toLinearEquiv x✝

Tactic:
RingHom.id_apply

Goal state after:
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
x✝² : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
x✝¹ : R
x✝ : L₁
⊢ x✝¹ • x✝².toLinearEquiv x✝ = x✝¹ • x✝².toLinearEquiv x✝
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieRingModule L N
⊢ Injective DFunLike.coe

Tactic:
by
  rintro ⟨⟨⟨f, _⟩⟩⟩ ⟨⟨⟨g, _⟩⟩⟩ h
  congr

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
x✝² : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
x✝¹ : R
x✝ : M
⊢ x✝¹ • x✝².toLinearEquiv x✝ = (RingHom.id R) x✝¹ • x✝².toLinearEquiv x✝

Tactic:
RingHom.id_apply

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
x✝² : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
x✝¹ : R
x✝ : M
⊢ x✝¹ • x✝².toLinearEquiv x✝ = x✝¹ • x✝².toLinearEquiv x✝
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
hpq : (c r).prev pq' = pq
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ i₃' = data.i₂ pq

Tactic:
rw [hi₃', data.i₃_next r r' pq pq' h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.OfAssociative

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h : IsFaithful R L M
x : L
hx : ∀ (m : M), ⁅x, m⁆ = 0
m : M
⊢ ((toEnd R L M) x) m = 0 m

Tactic:
simpa using hx m

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Jordan.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b : A
this : 2 • ⁅L a, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L b, L (b * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = 0
⊢ 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (b * a)⁆) + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = 0

Tactic:
nsmul_add

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b : A
this : 2 • ⁅L a, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L b, L (b * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = 0
⊢ 2 • ⁅L a, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L b, L (b * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Subalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
x : ↥K'
⊢ x ∈ ofLe h ↔ ↑x ∈ K

Tactic:
by
  simp only [ofLe, inclusion_apply, LieHom.mem_range]
  constructor
  · rintro ⟨y, rfl⟩
    exact y.property
  · intro h
    use ⟨(x : L), h⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieRing L'
inst✝⁹ : LieAlgebra R L'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : LieRingModule L M'
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x y : L
h : y ∈ (Submodule.comap (↑f) (toLieSubalgebra R L' J).toSubmodule).carrier
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ (Submodule.comap (↑f) (toLieSubalgebra R L' J).toSubmodule).carrier

Tactic:
suffices ⁅f x, f y⁆ ∈ J by
        simp only [AddSubsemigroup.mem_carrier, AddSubmonoid.mem_toSubsemigroup,
          Submodule.mem_toAddSubmonoid, Submodule.mem_comap, LieHom.coe_toLinearMap, LieHom.map_lie,
          LieSubalgebra.mem_toSubmodule]
        exact this

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieRing L'
inst✝⁹ : LieAlgebra R L'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : LieRingModule L M'
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x y : L
h : y ∈ (Submodule.comap (↑f) (toLieSubalgebra R L' J).toSubmodule).carrier
⊢ ⁅f x, f y⁆ ∈ J
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule R L M
m : M
⊢ (∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m) → ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m

Tactic:
rintro ⟨x, hx, n, hn, rfl⟩

Goal state after:
case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ∃ x_1 n_1, ⁅↑x_1, ↑n_1⁆ = ⁅x, n⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
m : M
x : ↥I
n : ↥N
hn : ⁅↑x, ↑n⁆ = m
⊢ m ∈ ↑N

Tactic:
← hn

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
m : M
x : ↥I
n : ↥N
hn : ⁅↑x, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑x, ↑n⁆ ∈ ↑N
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
m : M
x : L
hx : x ∈ ⊥
n : ↥N
hn : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
⊢ m ∈ ↑⊥

Tactic:
← hn

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
m : M
x : L
hx : x ∈ ⊥
n : ↥N
hn : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Abelian

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ IsTrivial L M ↔ maxTrivSubmodule R L M = ⊤

Tactic:
by
  constructor
  · rintro ⟨h⟩; ext; simp only [mem_maxTrivSubmodule, h, forall_const, LieSubmodule.mem_top]
  · intro h; constructor; intro x m; revert x
    rw [← mem_maxTrivSubmodule R L M, h]; exact LieSubmodule.mem_top m

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
⊢ map f ⊥ = ⊥

Tactic:
ext m; simp [eq_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x : L
hx : x ∈ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}
⊢ x ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)

Tactic:
obtain ⟨⟨y₁, hy₁⟩, ⟨y₂, hy₂⟩, hx⟩ := hx

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
⊢ x ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: case pos.refine_2
A : Type u_1
inst✝² : Field A
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hx : IsIntegral A x
q : A[X]
qmo : q.Monic
hq : (Polynomial.aeval (x + (algebraMap A B) a)) q = 0
this : (Polynomial.aeval x) (q.comp (X + C a)) = 0
H : (minpoly A x).degree ≤ (q.comp (X + C a)).degree
⊢ ↑((minpoly A x).comp (X - C a)).natDegree ≤ ↑q.natDegree

Tactic:
natDegree_comp,

Goal state after:
case pos.refine_2
A : Type u_1
inst✝² : Field A
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hx : IsIntegral A x
q : A[X]
qmo : q.Monic
hq : (Polynomial.aeval (x + (algebraMap A B) a)) q = 0
this : (Polynomial.aeval x) (q.comp (X + C a)) = 0
H : (minpoly A x).degree ≤ (q.comp (X + C a)).degree
⊢ ↑((minpoly A x).natDegree * (X - C a).natDegree) ≤ ↑q.natDegree
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: case pos.refine_2
A : Type u_1
inst✝² : Field A
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hx : IsIntegral A x
q : A[X]
qmo : q.Monic
hq : (Polynomial.aeval (x + (algebraMap A B) a)) q = 0
this : (Polynomial.aeval x) (q.comp (X + C a)) = 0
H : ↑(minpoly A x).natDegree ≤ ↑(q.comp (X + C a)).natDegree
⊢ ↑(minpoly A x).natDegree ≤ ↑q.natDegree

Tactic:
natDegree_comp,

Goal state after:
case pos.refine_2
A : Type u_1
inst✝² : Field A
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hx : IsIntegral A x
q : A[X]
qmo : q.Monic
hq : (Polynomial.aeval (x + (algebraMap A B) a)) q = 0
this : (Polynomial.aeval x) (q.comp (X + C a)) = 0
H : ↑(minpoly A x).natDegree ≤ ↑(q.natDegree * (X + C a).natDegree)
⊢ ↑(minpoly A x).natDegree ≤ ↑q.natDegree
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: case pos.refine_2
A : Type u_1
inst✝² : Field A
B : Type u_3
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
q : A[X]
qmo : q.Monic
hq : (Polynomial.aeval (-x)) q = 0
⊢ ((-1) ^ (minpoly A x).natDegree * (minpoly A x).comp (-X)).degree ≤ q.degree

Tactic:
have : (Polynomial.aeval x) ((-1) ^ q.natDegree * q.comp (-X)) = 0 := by
        simpa [aeval_comp] using hq

Goal state after:
case pos.refine_2
A : Type u_1
inst✝² : Field A
B : Type u_3
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
q : A[X]
qmo : q.Monic
hq : (Polynomial.aeval (-x)) q = 0
this : (Polynomial.aeval x) ((-1) ^ q.natDegree * q.comp (-X)) = 0
⊢ ((-1) ^ (minpoly A x).natDegree * (minpoly A x).comp (-X)).degree ≤ q.degree
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: case neg
A : Type u_1
inst✝² : Field A
B : Type u_3
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : ¬IsIntegral A x
⊢ minpoly A (-x) = (-1) ^ (minpoly A x).natDegree * (minpoly A x).comp (-X)

Tactic:
· rw [minpoly.eq_zero hx, minpoly.eq_zero, zero_comp]
    · simp only [natDegree_zero, pow_zero, mul_zero]
    · exact IsIntegral.neg_iff.not.mpr hx

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SModEq.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
U : Submodule R M
x y : M
h : x - y ∈ U
⊢ x +ᵥ ↑U ⊆ y +ᵥ ↑U

Tactic:
· rw [Set.vadd_set_subset_iff_subset_neg_vadd_set, vadd_vadd, neg_add_eq_sub]
    intro z hz
    simpa [Set.mem_vadd_set_iff_neg_vadd_mem] using U.add_mem h hz

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
y : ↥R[x]
a : R
ha : a ∈ ↑I
i : ℕ
⊢ (C a).coeff i ∈ I

Tactic:
rw [coeff_C]; aesop

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Jordan.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ 2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆ =
    2 • (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (c * a)⁆) + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆

Tactic:
nsmul_add

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ 2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆ =
    2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆
Module: Mathlib.RingTheory.PowerBasis

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
B : PowerBasis R S
i : Fin B.dim
⊢ B.basis i ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule R[B.gen])

Tactic:
B.basis_eq_pow i

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
B : PowerBasis R S
i : Fin B.dim
⊢ B.gen ^ ↑i ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule R[B.gen])
Module: Mathlib.FieldTheory.KummerPolynomial

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
H : Irreducible (X ^ 0 - C a)
⊢ False

Tactic:
rw [pow_zero, ← C.map_one, ← map_sub] at H

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
H : Irreducible (C (1 - a))
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Squarefree.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero R
inst✝¹ : IsCancelMulZero R
inst✝ : DecompositionMonoid R
⊢ IsRadical 0

Tactic:
zero_isRadical_iff

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero R
inst✝¹ : IsCancelMulZero R
inst✝ : DecompositionMonoid R
⊢ IsReduced R
Module: Mathlib.FieldTheory.Separable

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.Separable
x : S
hx : eval₂ f x p = 0
hx' : eval₂ f x (derivative p) = 0
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨a, b, e⟩ := h

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
p : R[X]
x : S
hx : eval₂ f x p = 0
hx' : eval₂ f x (derivative p) = 0
a b : R[X]
e : a * p + b * derivative p = 1
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Squarefree.Basic

Goal state before:
pp: n : ℤ
⊢ (∀ (x : ℤ), x * x ∣ n → IsUnit x.natAbs) ↔ ∀ (x : ℤ), x * x ∣ n → IsUnit x

Tactic:
isUnit_iff_natAbs_eq,

Goal state after:
n : ℤ
⊢ (∀ (x : ℤ), x * x ∣ n → IsUnit x.natAbs) ↔ ∀ (x : ℤ), x * x ∣ n → x.natAbs = 1
Module: Mathlib.FieldTheory.Separable

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0
n' : R
hn' : n' * ↑n = 1
⊢ -C ↑u⁻¹ * (X ^ n - C ↑u) + C ↑u⁻¹ * C n' * X * (↑n * X ^ (n - 1)) =
    C (↑u⁻¹ * ↑u) - C ↑u⁻¹ * X ^ n + C ↑u⁻¹ * C (n' * ↑n) * (X * X ^ (n - 1))

Tactic:
simp only [C.map_mul, C_eq_natCast]

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0
n' : R
hn' : n' * ↑n = 1
⊢ -C ↑u⁻¹ * (X ^ n - C ↑u) + C ↑u⁻¹ * C n' * X * (↑n * X ^ (n - 1)) =
    C ↑u⁻¹ * C ↑u - C ↑u⁻¹ * X ^ n + C ↑u⁻¹ * (C n' * ↑n) * (X * X ^ (n - 1))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Determinant

Goal state before:
pp: K : Type u_5
m : Type u_6
n : Type u_7
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
F : Type u_8
inst✝¹ : EquivLike F (Matrix m m K) (Matrix n n K)
inst✝ : AlgEquivClass F K (Matrix m m K) (Matrix n n K)
f : F
x : Matrix m m K
⊢ (f x).det = x.det

Tactic:
simpa [toMatrixAlgEquiv', Matrix.toLinAlgEquiv'] using
    LinearMap.det_map ((Matrix.toLinAlgEquiv'.symm.trans
      (AlgEquivClass.toAlgEquiv f)).trans Matrix.toLinAlgEquiv') x.toLin'

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.AdjoinRoot

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_6
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
f g : AdjoinRoot (C r * X - 1) →ₐ[R] S
⊢ (algebraMap R S) r * f (root (C r * X - 1)) = 1

Tactic:
← f.commutes,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_6
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
f g : AdjoinRoot (C r * X - 1) →ₐ[R] S
⊢ f ((algebraMap R (AdjoinRoot (C r * X - 1))) r) * f (root (C r * X - 1)) = 1