mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
hms : (s.weightedVSub p) wm = 0
hwm : ∑ i ∈ s, wm i = 0
hwmi : wm i = -1
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ wm ↑x
hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 1
⊢ (affineCombination k ({x ∈ s | x ≠ i}) p) wm ∈ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})

Tactic:
←
        (Subtype.range_coe : _ = { x | x ≠ i }),

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
hms : (s.weightedVSub p) wm = 0
hwm : ∑ i ∈ s, wm i = 0
hwmi : wm i = -1
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ wm ↑x
hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 1
⊢ (affineCombination k ({x ∈ s | x ≠ i}) p) wm ∈ affineSpan k (p '' Set.range Subtype.val)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
⊢ ∑ x ∈ s, w x = 0

pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
⊢ ∀ x ∈ s, w x ≠ 0 → x ≠ i

Tactic:
hw

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
⊢ 0 = 0

k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
⊢ ∀ x ∈ s, w x ≠ 0 → x ≠ i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 0
hs' : (s'.weightedVSub p') w' = 0
⊢ ∀ i ∈ s, w i = 0

Tactic:
intro j

Goal state after:
case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 0
hs' : (s'.weightedVSub p') w' = 0
j : ι
⊢ j ∈ s → w j = 0
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: ι : Type u_3
Z : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (Z i)
h : LocallyPathConnectedSpace ((i : ι) → Z i)
x : (i : ι) → Z i
this : ∀ (i : ι), Nonempty (Z i)
J : Set ι
hJ : J.Finite
t : (i : ι) → Set (Z i)
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 (x i)
htV : J.pi t ⊆ pathComponent x
i : ι
hi : i ∈ {i | ¬PathConnectedSpace (Z i)}
hiJ : i ∉ J
z : Z i
x✝ : z ∈ univ
⊢ eval i (update x i z) = z

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
j k : ι
hjk : p j ≠ p k
u : Finset ι
hj✝ : j ∉ u
hk✝ : k ∉ u
h₀ : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, p i ∈ s
hj : j ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
hk : k ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
this : k ∈ (cons j (cons k u hk✝) ⋯).erase j
⊢ j ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
j k : ι
hjk : p j ≠ p k
u : Finset ι
hj✝ : j ∉ u
hk✝ : k ∉ u
h₀ : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, p i ∈ s
hj : j ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
hk : k ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
this✝ : k ∈ (cons j (cons k u hk✝) ⋯).erase j
this : 0 < w j
⊢ k ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
j k : ι
hjk : p j ≠ p k
u : Finset ι
hj✝ : j ∉ u
hk✝ : k ∉ u
h₀ : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, p i ∈ s
hj : j ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
hk : k ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
this✝¹ : k ∈ (cons j (cons k u hk✝) ⋯).erase j
this✝ : 0 < w j
this : 0 < w k
c : 𝕜 := w j + w k
hc : w j / c + w k / c = 1
⊢ j ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
j k : ι
hjk : p j ≠ p k
u : Finset ι
hj✝ : j ∉ u
hk✝ : k ∉ u
h₀ : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, p i ∈ s
hj : j ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
hk : k ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
this✝¹ : k ∈ (cons j (cons k u hk✝) ⋯).erase j
this✝ : 0 < w j
this : 0 < w k
c : 𝕜 := w j + w k
hc : w j / c + w k / c = 1
⊢ k ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case fst
R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i, v i • g i = y
h_sum : ∑ i, w i.1 * v i.2 = 1
⊢ ∑ j, w j • f j = x

Tactic:
hf

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
h : ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ t → ∀ ⦃k : ι⦄, k ∈ t → p j = p k
i : ι
hi : i ∈ t
⊢ f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i)

Tactic:
suffices f (∑ k ∈ t, w k • p i) = ∑ k ∈ t, w k • f (p i) by convert this using 3 <;> grind

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
h : ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ t → ∀ ⦃k : ι⦄, k ∈ t → p j = p k
i : ι
hi : i ∈ t
⊢ f (∑ k ∈ t, w k • p i) = ∑ k ∈ t, w k • f (p i)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: case refine_1.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ ∅, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ ∅, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ ∅, p i ∈ s
⊢ f (∑ i ∈ ∅, w i • p i) = ∑ i ∈ ∅, w i • f (p i) → ∀ j ∈ ∅, p j = ∑ i ∈ ∅, w i • p i

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
i₀ : ι
hi₀ : i₀ ∈ t
h_eq : f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
i : ι
hi : i ∈ t
H : ∀ j ∈ t, p j = p i₀
⊢ p i₀ = 1 • p i₀

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ i ∈ s, x i ∈ (convexHull 𝕜) (t i)
val✝ : Fintype ι
this :
  ∀ {s : Set ι} {t : (i : ι) → Set (E i)},
    (∀ i ∈ s, x i ∈ (convexHull 𝕜) (t i)) → s = Set.univ → x ∈ (convexHull 𝕜) (s.pi t)
hs : ¬s = Set.univ
i : ι
x✝ : i ∈ Set.univ
hi : i ∉ s
⊢ x i ∈ (convexHull 𝕜) Set.univ

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
⊢ (∀ j ∈ {x ∈ t | w x ≠ 0}, p j = ∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i • p i) ↔
    ∀ j ∈ t, w j ≠ 0 → p j = ∑ x ∈ t with w x ≠ 0, w x • p x

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 • f i i_1 = x i
i : ι
j : κ i
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ ∀ (a : (a : ι) → κ a) (ha : a ∈ piFinset fun k ↦ if hk : k = i then ⋯ ▸ {j} else Finset.univ), ⟨a, ⋯⟩ ∈ Finset.univ

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 • f i i_1 = x i
i : ι
j : κ i
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ ∀ a ∈ Finset.univ, ⟨↑a, ⋯⟩ = a

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 • f i i_1 = x i
i : ι
j : κ i
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ ∀ (a : (a : ι) → κ a) (ha : a ∈ piFinset fun k ↦ if hk : k = i then ⋯ ▸ {j} else Finset.univ), ↑⟨a, ⋯⟩ = a

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 • f i i_1 = x i
i : ι
j : κ i
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ ∀ a ∈ Finset.univ, ∏ k, w k (↑a k) = ∏ k, w k (↑a k)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝² : SeminormedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : SeminormFamily R E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ (s.sup p).ball 0 (r / 2) ∈ p.basisSets ∧ (s.sup p).ball 0 (r / 2) + (s.sup p).ball 0 (r / 2) ⊆ U

Tactic:
refine ⟨p.basisSets_mem s (div_pos hr zero_lt_two), ?_⟩

Goal state after:
case h
R : Type u_1
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝² : SeminormedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : SeminormFamily R E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ (s.sup p).ball 0 (r / 2) + (s.sup p).ball 0 (r / 2) ⊆ U
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
F : Type u_7
ι : Type u_9
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 F ι
x : 𝕜
U : Set F
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
⊢ ∃ V ∈ p.addGroupFilterBasis.sets, V ⊆ (fun y ↦ x • y) ⁻¹' (s.sup p).ball 0 r

Tactic:
by_cases h : x ≠ 0

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_2
F : Type u_7
ι : Type u_9
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 F ι
x : 𝕜
U : Set F
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : x ≠ 0
⊢ ∃ V ∈ p.addGroupFilterBasis.sets, V ⊆ (fun y ↦ x • y) ⁻¹' (s.sup p).ball 0 r

case neg
𝕜 : Type u_2
F : Type u_7
ι : Type u_9
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 F ι
x : 𝕜
U : Set F
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬x ≠ 0
⊢ ∃ V ∈ p.addGroupFilterBasis.sets, V ⊆ (fun y ↦ x • y) ⁻¹' (s.sup p).ball 0 r
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_6
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : DistribMulAction R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : S ⊆ c • {x | MapsTo (⇑x) s U}
f : E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
⊢ f ∈ S → ∀ y ∈ s, f y ∈ c • U

Tactic:
hf

Goal state after:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_6
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : DistribMulAction R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : S ⊆ c • {x | MapsTo (⇑x) s U}
f : E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
hf : f ∈ S
⊢ ∀ y ∈ s, f y ∈ c • U
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : WithSeminorms fun x ↦ p
⊢ (Finset.univ.sup fun x ↦ p).ball 0 1 ⊆ p.ball 0 1

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : WithSeminorms fun x ↦ p
i : Fin 1
⊢ ∀ x ∈ p.ball 0 1, p x < 1

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_6
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
h : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded R (image2 (fun f x ↦ f x) S s)
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : image2 (fun f x ↦ f x) S s ⊆ c • U
hc₀ : c ≠ 0
f : E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
⊢ f ∈ S → f ∈ c • {f | MapsTo (⇑f) s U}

Tactic:
hf

Goal state after:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_6
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
h : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded R (image2 (fun f x ↦ f x) S s)
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : image2 (fun f x ↦ f x) S s ⊆ c • U
hc₀ : c ≠ 0
f : E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
hf : f ∈ S
⊢ f ∈ c • {f | MapsTo (⇑f) s U}
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
x✝ : E
⊢ ‖0 x✝‖ ≤ 0 * ‖x✝‖

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ‖(ContinuousLinearMap.id 𝕜 E) x‖ ≤ 1 * ‖x‖

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
h' : IsVonNBounded 𝕜 (p.ball 0 1)
s : Set E
hs : s ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).filter
t : Set E
ht : t ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).toFilterBasis
ts : t ⊆ s
w : Finset (Fin 1)
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hw : t = (w.sup fun x ↦ p).ball 0 r
w_ne : w ≠ ∅
this : t = p.ball 0 r
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < r
⊢ c ≠ 0

Tactic:
by simpa using c_pos

Goal state after: