mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
m✝ n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
h' : ↑m = ∞ → n = ω
this✝ : IsManifold I (↑m) M
this : IsManifold I' (↑m) M'
⊢ ↑m ≠ ∞

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
m n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hm : ω ≤ n
h' : ω = ∞ → n = ω
this✝ : IsManifold I ω M
this : IsManifold I' ω M'
⊢ ω ≠ ∞

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.FDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
x : E
⊢ mfderiv% f x = fderiv 𝕜 f x

Tactic:
rw [← mfderivWithin_univ, ← fderivWithin_univ]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
x : E
⊢ mfderiv[Set.univ] f x = fderivWithin 𝕜 f Set.univ x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
x : H
⊢ (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I x) = id (↑I x)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x) x ∈ range ↑I

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
x : M
⊢ ↑I.symm (↑(extChartAt I x) x) ∈ (chartAt H x).symm.source

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: case e'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ (↑(extChartAt I (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) y =
    ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
φ : OpenPartialHomeomorph M H
hφ : ContMDiffOn I I n (↑φ) φ.source
hφ' : ContMDiffOn I I n (↑φ.symm) φ.target
e : OpenPartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
he' : ContMDiffOn I I n (↑e) e.source
he'' : ContMDiffOn I I n (↑e.symm) e.target
⊢ ↑I.symm ⁻¹' φ.target ∩ ↑I.symm ⁻¹' ↑φ.symm ⁻¹' e.source ∩ range ↑I ⊆ range ↑I

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
φ : OpenPartialHomeomorph M H
hφ : ContMDiffOn I I n (↑φ) φ.source
hφ' : ContMDiffOn I I n (↑φ.symm) φ.target
e : OpenPartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
he' : ContMDiffOn I I n (↑e) e.source
he'' : ContMDiffOn I I n (↑e.symm) e.target
⊢ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ ↑I.symm ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' φ.source ∩ range ↑I ⊆ range ↑I

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
h : MDiff[s] f
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑I.symm z ∈ (chartAt H x).target) ∧
    ↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z) ∈ s ∧ f (↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z)) ∈ (chartAt H' y).source
w : M := ↑(extChartAt I x).symm z
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) z

Tactic:
have : w ∈ s := by simp only [w, hz, mfld_simps]

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
h : MDiff[s] f
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑I.symm z ∈ (chartAt H x).target) ∧
    ↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z) ∈ s ∧ f (↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z)) ∈ (chartAt H' y).source
w : M := ↑(extChartAt I x).symm z
this : w ∈ s
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) z
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: case e'_6
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
h : ContinuousOn f s
h' :
  ∀ (x : M) (y : M'),
    DifferentiableOn 𝕜
      (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘
        f ∘ ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm)
      (((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
        ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm ⁻¹'
          (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source))
y : M'
h'' : ContinuousOn (↑I') univ
⊢ ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source =
    (chartAt H' y).source ∩ ↑(chartAt H' y).toPartialEquiv ⁻¹' univ

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace B
x : B
v : Trivial B F x
⊢ x ∈ (trivialization B F).baseSet

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace B
x : B
x✝ : Trivial B F x
⊢ (Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜 (trivialization B F) x) x✝ = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 F) x✝

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace B
x : B
x✝ : Trivial B F x
⊢ (Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜 (trivialization B F) x ⋯) x✝ = (ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F) x✝

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
y : M
this : T1Space M
hf : HasMFDerivAt[s] f x f'
h : x ≠ y
⊢ s ∈ 𝓝[s] x

Tactic:
self_mem_nhdsWithin

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
y : M
this : T1Space M
hf : HasMFDerivAt[s] f x f'
h : x ≠ y
⊢ s ∈ 𝓝[insert y s] x

Tactic:
simp_rw [nhdsWithin_insert_of_ne h, self_mem_nhdsWithin]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
y : M
h : x ≠ y
this : T1Space M
⊢ MDiffAt[insert y s] f x ↔ MDiffAt[s] f x

Tactic:
apply mdifferentiableWithinAt_congr_nhds

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
y : M
h : x ≠ y
this : T1Space M
⊢ 𝓝[insert y s] x = 𝓝[s] x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
s t : Set M
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
⊢ (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝[univ] ↑(extChartAt I x) x

Tactic:
← union_compl_self (range I),

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
s t : Set M
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
⊢ (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝[range ↑I ∪ (range ↑I)ᶜ] ↑(extChartAt I x) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
s t : Set M
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
hIz : z ∈ range ↑I
hz : ↑(extChartAt I x).symm z ∈ u ∧ z ∈ (extChartAt I x).target
h'z : ¬z = ↑(extChartAt I x) x
⊢ x ∈ (extChartAt I x).source

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
hg : MDiffAt[univ] g (f x)
hf : MDiffAt[s] f x
⊢ s ⊆ f ⁻¹' univ

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
hg : MDiffAt g (f x)
hf : MDiffAt[s] f x
hxs : UniqueMDiffAt[s] x
⊢ s ⊆ f ⁻¹' univ

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
g : M' → M''
hg : MDiff[univ] g
hf : MDiff[s] f
⊢ s ⊆ f ⁻¹' univ

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_21
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
x : M
t : Set E := ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∩ range ↑I
this : EqOn (writtenInExtChartAt I I (Sum.inl x) Sum.swap) id t
⊢ ↑I.symm (↑I (↑(chartAt H (Sum.inl x)) (Sum.inl x))) ∈ (chartAt H x).target

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
p : TangentBundle I H := ⟨↑I.symm 0, 0⟩
this : Continuous[_, instTopologicalSpaceModelProd H E] ↑(chartAt (ModelProd H E) p)
⊢ Continuous[_, instTopologicalSpaceModelProd H E] (TotalSpace.toProd H E).toFun

Tactic:
simpa only [mfld_simps] using this

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
p : TangentBundle I H := ⟨↑I.symm 0, 0⟩
this : Continuous[instTopologicalSpaceModelProd H E, _] ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm
⊢ Continuous[instTopologicalSpaceModelProd H E, _] (TotalSpace.toProd H E).invFun

Tactic:
simpa only [mfld_simps] using this

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_21
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
x : M'
t : Set E := ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∩ range ↑I
this : EqOn (writtenInExtChartAt I I (Sum.inr x) Sum.swap) id t
⊢ ↑I.symm (↑I (↑(chartAt H (Sum.inr x)) (Sum.inr x))) ∈ (chartAt H x).target

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: case hx.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_21
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
val✝ : M
⊢ ↑I (↑(chartAt H (Sum.inl val✝).swap) (Sum.inl val✝).swap) = ↑I (↑(chartAt H (Sum.inl val✝)) (Sum.inl val✝))

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: case hx.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_21
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
val✝ : M'
⊢ ↑I (↑(chartAt H (Sum.inr val✝).swap) (Sum.inr val✝).swap) = ↑I (↑(chartAt H (Sum.inr val✝)) (Sum.inr val✝))

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
V : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x
s : Set E
x : E
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n V s x
⊢ (ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E) n fun x_1 ↦
      (↑(trivializationAt E (TangentSpace 𝓘(𝕜, E)) ⟨x, V x⟩.proj) ⟨x_1, V x_1⟩).2) =
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E) n V

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_21
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
q' : M'
⊢ HasMFDerivAt% Sum.inr q' (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I p))

Tactic:
by
  simpa [HasMFDerivAt, hasMFDerivWithinAt_univ] using! hasMFDerivWithinAt_inr (t := Set.univ)

Goal state after: