mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³² : NormedAddCommGroup E
inst✝³¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁹ : TopologicalSpace M
inst✝²⁸ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝²³ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝²² : NormedAddCommGroup E''
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁸ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace N
inst✝¹³ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝⁹ : TopologicalSpace N'
inst✝⁸ : ChartedSpace G' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
s : Set M
x z : M
f g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : MDiffAt f z
hg : MDiffAt g z
⊢ TangentSpace I z →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E') ((f + g) z)

Tactic:
exact mfderiv% f z

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Diffeomorph

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
e : E ≃L[𝕜] E'
⊢ (I.toPartialEquiv ≫ (↑e).toEquiv.toPartialEquiv).source = univ

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.UniqueDifferential

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
s : Set M
F : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝¹ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝ : FiberBundle F Z
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffAt[s] p.proj
this : UniqueMDiffAt[TotalSpace.proj ⁻¹' (s ∩ (trivializationAt F Z p.proj).baseSet)] p
⊢ TotalSpace.proj ⁻¹' (s ∩ (trivializationAt F Z p.proj).baseSet) ⊆ TotalSpace.proj ⁻¹' s

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³² : NormedAddCommGroup E
inst✝³¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁹ : TopologicalSpace M
inst✝²⁸ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝²³ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝²² : NormedAddCommGroup E''
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁸ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace N
inst✝¹³ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝⁹ : TopologicalSpace N'
inst✝⁸ : ChartedSpace G' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
s : Set M
x z : M
f g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : MDiffAt f z
hg : MDiffAt g z
⊢ TangentSpace I z →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E') ((f - g) z)

Tactic:
exact mfderiv% f z

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝² : NormedCommRing F'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 F'
ι : Type
t✝ : Finset ι
f : ι → M → F'
f' : ι → TangentSpace I z →L[𝕜] F'
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
IH :
  (∀ i ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i)) →
    HasMFDerivAt[s] (∏ i ∈ t, f i) z (∑ i ∈ t, (∏ j ∈ t.erase i, f j z) • f' i)
hf : ∀ i_1 ∈ insert i t, HasMFDerivAt[s] (f i_1) z (f' i_1)
⊢ HasMFDerivAt[s] (∏ i ∈ insert i t, f i) z (∑ i_1 ∈ insert i t, (∏ j ∈ (insert i t).erase i_1, f j z) • f' i_1)

Tactic:
t.sum_insert hi,

Goal state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝² : NormedCommRing F'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 F'
ι : Type
t✝ : Finset ι
f : ι → M → F'
f' : ι → TangentSpace I z →L[𝕜] F'
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
IH :
  (∀ i ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i)) →
    HasMFDerivAt[s] (∏ i ∈ t, f i) z (∑ i ∈ t, (∏ j ∈ t.erase i, f j z) • f' i)
hf : ∀ i_1 ∈ insert i t, HasMFDerivAt[s] (f i_1) z (f' i_1)
⊢ HasMFDerivAt[s] (∏ i ∈ insert i t, f i) z
    ((∏ j ∈ (insert i t).erase i, f j z) • f' i + ∑ x ∈ t, (∏ j ∈ (insert i t).erase x, f j z) • f' x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
φ : PartialEquiv M E := extChartAt I x
eq_nhd : ↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x).symm =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x] id
⊢ (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x) = id (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x : M
⊢ x ∈ (chartAt H x).source

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: case e'_6
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝² : NormedCommRing F'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 F'
ι : Type
t✝ : Finset ι
f : ι → M → F'
f' : ι → TangentSpace I z →L[𝕜] F'
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
IH :
  (∀ i ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i)) →
    HasMFDerivAt[s] (∏ i ∈ t, f i) z (∑ i ∈ t, (∏ j ∈ t.erase i, f j z) • f' i)
hf : HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i) ∧ ∀ x ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f x) z (f' x)
e_2✝ : (TangentSpace I z →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, F') ((f i * ∏ x ∈ t, f x) z)) = (TangentSpace I z →L[𝕜] F')
⊢ (∏ j ∈ t, f j z) • f' i = (∏ i ∈ t, f i) z • f' i

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝¹ : NormedField F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p : M → F'
p' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivAt[s] p z p'
hp_ne : p z ≠ 0
x✝ : TangentSpace I z
⊢ (-(p z ^ 2)⁻¹ • p') x✝ = (-(MulOpposite.op (p z)⁻¹ • (p z)⁻¹ • p')) x✝

Tactic:
simp

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝¹ : NormedField F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p : M → F'
p' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivAt[s] p z p'
hp_ne : p z ≠ 0
x✝ : TangentSpace I z
⊢ (p z ^ 2)⁻¹ * p' x✝ = (p z)⁻¹ * p' x✝ * (p z)⁻¹
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : IsManifold I ∞ M
x : M
hx : x ∈ tsupport ↑f
this : x ∈ (chartAt H c).source
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)) x

Tactic:
exact f.contDiffAt.contMDiffAt.comp _ (contMDiffAt_extChartAt' this)

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Compactness.Paracompact

Goal state before:
pp: X : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
ι : X → Type u
p : (x : X) → ι x → Prop
B : (x : X) → ι x → Set X
s : Set X
hs : IsClosed[inst✝³] s
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (p x) (B x)
⊢ ∃ α c r, (∀ (a : α), c a ∈ s ∧ p (c a) (r a)) ∧ s ⊆ ⋃ a, B (c a) (r a) ∧ LocallyFinite fun a ↦ B (c a) (r a)

Tactic:
set K' : CompactExhaustion X := CompactExhaustion.choice X

Goal state after:
X : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
ι : X → Type u
p : (x : X) → ι x → Prop
B : (x : X) → ι x → Set X
s : Set X
hs : IsClosed[inst✝³] s
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (p x) (B x)
K' : CompactExhaustion X := CompactExhaustion.choice X
⊢ ∃ α c r, (∀ (a : α), c a ∈ s ∧ p (c a) (r a)) ∧ s ⊆ ⋃ a, B (c a) (r a) ∧ LocallyFinite fun a ↦ B (c a) (r a)
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ∀ (i_1 : ι), IsOpen (update v.toFun i vi i_1)

Tactic:
intro j

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
⊢ IsOpen (update v.toFun i vi j)
Module: Mathlib.Topology.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ y : X
hy : {i | y ∈ closure[inst✝] (support ⇑(ρ i))} ⊆ {i | x₀ ∈ closure[inst✝] (support ⇑(ρ i))}
z : ι
hz : z ∈ ρ.fintsupport y
⊢ z ∈ ρ.fintsupport x₀

Tactic:
PartitionOfUnity.mem_fintsupport_iff

Goal state after:
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ y : X
hy : {i | y ∈ closure[inst✝] (support ⇑(ρ i))} ⊆ {i | x₀ ∈ closure[inst✝] (support ⇑(ρ i))}
z : ι
hz : y ∈ tsupport ⇑(ρ z)
⊢ x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ z)
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_5
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ∀ {i_1 : ι}, i_1 ∉ insert i v.carrier → update v.toFun i vi i_1 = u i_1

Tactic:
intro j

Goal state after:
case refine_5
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
⊢ j ∉ insert i v.carrier → update v.toFun i vi j = u j
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := ⋯
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
⊢ ∀ i_1 ∈ fun i_2 ↦ i_2 = i → False, IsOpen (v.toFun i_1)

Tactic:
intro j

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
j : ι
⊢ (j ∈ fun i_1 ↦ i_1 = i → False) → IsOpen (v.toFun j)
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
⊢ ∀ (i_1 : ι), IsOpen (update v.toFun i vi i_1)

Tactic:
intro j

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
⊢ IsOpen (update v.toFun i vi j)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
z : ℤ
⊢ ⇑(z • s) = z • ⇑s

Tactic:
rcases z with n | n

Goal state after:
case ofNat
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ ⇑(Int.ofNat n • s) = Int.ofNat n • ⇑s

case negSucc
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ ⇑(Int.negSucc n • s) = Int.negSucc n • ⇑s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝¹ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
s : Cₛ^∞⟮I; F, V⟯
⊢ ∞ ≠ 0

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i ↦ support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hyU : y ∈ U
⊢ ∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → (f j) y ≠ 0 → j ∈ hf.toFinset

Tactic:
intro j

Goal state after:
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i ↦ support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hyU : y ∈ U
j : ι
⊢ WellOrderingRel j i → (f j) y ≠ 0 → j ∈ hf.toFinset
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_4
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
⊢ ∀ {i_1 : ι}, i_1 ∈ insert i v.carrier → IsCompact (closure (update v.toFun i vi i_1))

Tactic:
intro j

Goal state after:
case refine_4
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
⊢ j ∈ insert i v.carrier → IsCompact (closure (update v.toFun i vi j))
Module: Mathlib.Topology.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
n : ℕ
t : Set X
s : Fin n → Set X
hs : ∀ (i : Fin n), IsOpen[inst✝²] (s i)
htcp : IsCompact t
hst : t ⊆ ⋃ i, s i
f : PartitionOfUnity (Fin n) X t
hfsub : f.IsSubordinate s
hfcp : ∀ (i : Fin n), HasCompactSupport ⇑(f i)
x : X
hx : x ∈ t
h : ∑ i ∈ ⋯.toFinset, (f.toFun i) x = 1
⊢ ∀ (i : Fin n), (f.toFun i) x ≠ 0 → i ∈ ⋯.toFinset

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.StronglyMeasurable.Lp

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : Type u_2
p : ℝ≥0∞
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → G
hf : MemLp f p μ
hf_meas : StronglyMeasurable f
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
⊢ 0 ∈ Set.range f ∪ {0}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.StronglyMeasurable.Lp

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
G : Type u_2
p : ℝ≥0∞
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → G
hf : MemLp f p μ
hf_meas : StronglyMeasurable f
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
this✝¹ : MeasurableSpace G := ⋯
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fs : ℕ → α →ₛ G := ⋯
x : α
⊢ f x ∈ Set.range f ∪ {0}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_5
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
⊢ ∀ {i_1 : ι}, i_1 ∉ insert i v.carrier → update v.toFun i vi i_1 = u i_1

Tactic:
intro j

Goal state after:
case refine_5
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
⊢ j ∉ insert i v.carrier → update v.toFun i vi j = u j
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
n : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x ↦ sᶜ
g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity
⊢ ↑n ≤ ∞

Tactic:
simp

Goal state after: