mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R✝
inst✝¹⁶ : CommRing A✝
inst✝¹⁵ : Algebra R✝ A✝
inst✝¹⁴ : LieRing L✝
inst✝¹³ : LieAlgebra R✝ L✝
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R✝ M
inst✝¹⁰ : LieRingModule L✝ M
inst✝⁹ : LieModule R✝ L✝ M
R : Type u_5
A : Type u_6
B : Type u_7
L : Type u_8
L' : Type u_9
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : A →ₐ[R] B
g : L →ₗ⁅R⁆ L'
x y : A ⊗[R] L
x✝² : A
y✝ : L
x✝¹ : A
x✝ : L
⊢ (TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket'✝ R A L L) (x✝² ⊗ₜ[R] y✝)) (x✝¹ ⊗ₜ[R] x✝)) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket'✝ R B L' L') ((TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) (x✝² ⊗ₜ[R] y✝)))
      ((TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) (x✝¹ ⊗ₜ[R] x✝))

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
⊢ lcs 0 N ≤ N

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ lowerCentralSeries R L (↥N) 0 = comap N.incl (lcs 0 N)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R✝
inst✝¹⁶ : CommRing A✝
inst✝¹⁵ : Algebra R✝ A✝
inst✝¹⁴ : LieRing L✝
inst✝¹³ : LieAlgebra R✝ L✝
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R✝ M
inst✝¹⁰ : LieRingModule L✝ M
inst✝⁹ : LieModule R✝ L✝ M
R : Type u_5
A : Type u_6
B : Type u_7
L : Type u_8
L' : Type u_9
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : A →ₐ[R] B
g : L →ₗ⁅R⁆ L'
x y x✝ y✝ : A ⊗[R] L
⊢ (TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket'✝ R A L L) x✝) 0) =
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket'✝ R B L' L') ((TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) x✝))
        ((TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) 0) →
    (TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket'✝ R A L L) y✝) 0) =
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket'✝ R B L' L') ((TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) y✝))
          ((TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) 0) →
      (TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket'✝ R A L L) (x✝ + y✝)) 0) =
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket'✝ R B L' L') ((TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) (x✝ + y✝)))
          ((TensorProduct.map f.toLinearMap ↑g) 0)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
M : Type u₄
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : R ∙ x ⊔ (LieIdeal.toLieSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
N : LieSubmodule R L M
n : M
hn : n ∈ N
t : R
z : L
hz : z ∈ I
⊢ t • ⁅x, n⁆ + ⁅z, n⁆ = ⁅t • x + z, n⁆

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : L
x✝ : M
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x))) 1) x✝ =
    ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (LinearMap.baseChange A ((toEnd R L M) x))) 1) x✝

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N : LieSubmodule R L M
x : A ⊗[R] L
c : ↑↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N) →₀ A
hm : (Finsupp.linearCombination A Subtype.val) c ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N)
⊢ ⁅0, (Finsupp.linearCombination A Subtype.val) c⁆ ∈ Submodule.baseChange A ↑N

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : IsTrivial L M
⊢ lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
m : M
⊢ (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[0] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * 0)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}
this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s
x : L
hx : x ∈ I
m : M
hm : m ∈ N
⊢ ⁅1 ⊗ₜ[R] x, 1 ⊗ₜ[R] m⁆ = 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, m⁆

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
m✝ : M
⊢ m✝ ∈ (mk' N).ker ↔ m✝ ∈ N

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
inst✝² : LieModule R L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsTrivial L M
⊢ lowerCentralSeries ℤ L M 1 = ⊥

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}
this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s
x : A ⊗[R] L
hx : x ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A L) 1) ↑I)
m : A ⊗[R] M
hm : m ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N)
⊢ ∀ y ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N), ⁅0, y⁆ ∈ Submodule.span A s

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}
this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s
x : A ⊗[R] L
hx : x ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A L) 1) ↑I)
m : A ⊗[R] M
hm : m ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N)
⊢ ∀ x ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A L) 1) ↑I), ⁅x, 0⁆ ∈ Submodule.span A s

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u₁
L : Type u₂
M : Type u₄
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : R ∙ x ⊔ (LieIdeal.toLieSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
hIM : LieModule.IsNilpotent (↥I) M
n : ℕ
hn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥I) M k = ⊥
hk' : I.lcs M k = ⊥
⊢ lowerCentralSeries R L M (0 * n) ≤ I.lcs M 0

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.GroupRingAction

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : MulSemiringAction M R
m : M
x✝ : R[X]
n✝ : ℕ
⊢ (m • x✝).coeff n✝ = (map (MulSemiringAction.toRingHom M R m) x✝).coeff n✝

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}
this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s
x✝ : A ⊗[R] L
hx✝ : x✝ ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A L) 1) ↑I)
m : A ⊗[R] M
hm : m ∈ Submodule.span A ↑(Submodule.map ((TensorProduct.mk R A M) 1) ↑N)
x : L
hx : x ∈ ↑↑I
y : M
hy : y ∈ ↑↑N
⊢ 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, y⁆ = ⁅((TensorProduct.mk R A L) 1) x, ((TensorProduct.mk R A M) 1) y⁆

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: case h
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Subsingleton L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
_h : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
⊢ lowerCentralSeries ℤ L M 1 = ⊥

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.GroupRingAction

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction G R
x : R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
⊢ ↑(aeval x).toRingHom (X - C (ofQuotientStabilizer G x ↑1)) = 0

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: L : Type v
M : Type w
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Nontrivial M
⊢ IsTrivial L M ∧ lowerCentralSeries ℤ L M 0 ≠ ⊥ ↔ IsTrivial L M

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
h : IsTrivial L M
⊢ Disjoint (lowerCentralSeries R L M 1) (maxTrivSubmodule R L M)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ ↑(lowerCentralSeries R (↥(toEnd R L M).range) M 0) = ↑(lowerCentralSeries R L M 0)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R (↥(toEnd R L M).range) M k) = ↑(lowerCentralSeries R L M k)
⊢ Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x_1, n⁆ = x} =
    Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L M k, ⁅x_1, n⁆ = x}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N₁ : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
h : N₁.normalizer = N₁
⊢ ucs 0 N₁ = N₁

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N₁ : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
h : N₁.normalizer = N₁
k : ℕ
⊢ ⊥ ≤ N₁

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
l : ℕ
⊢ lcs (l + 0) N₁ ≤ N₂ ↔ lcs l N₁ ≤ ucs 0 N₂

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
M : Type u₄
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
⊢ (∀ (x : ↥(toEnd R L M).range), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥(toEnd R L M).range) M) x)) ↔
    ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ.hx
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieAlgebra R L₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
k : ℕ
ih : Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
m : M
x : L
n✝ : x ∈ ⊤
m_n : M
h₁ : m_n ∈ lowerCentralSeries R L M k
h₂ : ⁅x, m_n⁆ = m
y : L₂
n : ↥(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
hn : ↑⁅y, n⁆ = g m
⊢ y ∈ ⊤

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
f : L ≃ₗ⁅R⁆ L₂
g : M ≃ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
h : LieModule.IsNilpotent L M
hg : Surjective ⇑↑g
⊢ LieModule.IsNilpotent L₂ M₂

Tactic:
exact f.surjective.lieModuleIsNilpotent hfg hg

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ↑(lowerCentralSeries R (↥I) (↥I) 0) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥I) 0)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Normal.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x : F
⊢ (map (algebraMap F F) (X - C x)).Splits

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieRing.IsNilpotent ↥(ad R L).range
⊢ (ad R L).ker = center R L

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Fixed

Goal state before:
pp: G : Type u
inst✝² : Group G
F : Type v
inst✝¹ : Field F
inst✝ : MulSemiringAction G F
s : Finset F
⊢ IsEmpty ↑↑∅

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k : ℕ
inst✝ : LieModule R L M
⊢ ↑(I.lcs M 0) = ↑(lowerCentralSeries R (↥I) M 0)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k✝ : ℕ
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ↑(I.lcs M k) = ↑(lowerCentralSeries R (↥I) M k)
⊢ Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ I, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R (↥I) M k, ⁅x_1, n⁆ = x} =
    Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R (↥I) M k, ⁅↑x_1, n⁆ = x}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) 0 = baseChange A (lowerCentralSeries R L M 0)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Singleton

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : CommSemiring C
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra B C
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A B C
b : B
inst✝ : FaithfulSMul B C
p : A[X]
⊢ (aeval b) p ∈ A[b]

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Normal.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁶ : Field F
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹³ : Field K₁
inst✝¹² : Field K₂
inst✝¹¹ : Field K₃
inst✝¹⁰ : Algebra F K₁
inst✝⁹ : Algebra F K₂
inst✝⁸ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
inst✝⁵ : Algebra E K₁
inst✝⁴ : Algebra E K₂
inst✝³ : Algebra E K₃
inst✝² : IsScalarTower F E K₁
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₂
inst✝ : IsScalarTower F E K₃
h : Normal F E
x y : ↥(toAlgHom F E K₁).range
⊢ ↑⟨ϕ ↑(x * y), ⋯⟩ = ↑(⟨ϕ ↑x, ⋯⟩ * ⟨ϕ ↑y, ⋯⟩)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Normal.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁶ : Field F
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹³ : Field K₁
inst✝¹² : Field K₂
inst✝¹¹ : Field K₃
inst✝¹⁰ : Algebra F K₁
inst✝⁹ : Algebra F K₂
inst✝⁸ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
inst✝⁵ : Algebra E K₁
inst✝⁴ : Algebra E K₂
inst✝³ : Algebra E K₃
inst✝² : IsScalarTower F E K₁
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₂
inst✝ : IsScalarTower F E K₃
h : Normal F E
x y : ↥(toAlgHom F E K₁).range
⊢ ↑⟨ϕ ↑(x + y), ⋯⟩ = ↑(⟨ϕ ↑x, ⋯⟩ + ⟨ϕ ↑y, ⋯⟩)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Normal.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁷ : Field F
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
σ : Gal(E/F)
a✝ : E
⊢ ((toAlgHom F E K₁).comp ↑σ) ((algebraMap E E) a✝) = (algebraMap E K₁) (σ a✝)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Fixed

Goal state before:
pp: G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction G F
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : FaithfulSMul G F
⊢ Function.Bijective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F)

Tactic:
cases nonempty_fintype G
  rw [Fintype.bijective_iff_injective_and_card]
  constructor
  · exact MulSemiringAction.toAlgHom_injective _ F
  · apply le_antisymm
    · exact Fintype.card_le_of_injective _ (MulSemiringAction.toAlgHom_injective _ F)
    · rw [← finrank_eq_card G F]
      exact LE.le.trans_eq (finrank_algHom _ F) (finrank_linearMap_self _ _ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Algebra

Goal state before:
pp: F : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Algebra F A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F L
g : A →ₐ[F] L
inst✝ : IsScalarTower F A K
hg : Function.Injective ⇑g
x✝ : A
⊢ ((↑(liftAlgHom hg)).comp (algebraMap A K)) x✝ = ↑g x✝

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Algebra

Goal state before:
pp: F : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Algebra F A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F L
g : A →ₐ[F] L
inst✝ : IsScalarTower F A K
hg : Function.Injective ⇑g
s : Set L
hs : g.range = Algebra.adjoin F s
x✝ : A
⊢ ((↑(liftAlgHom hg)).comp (algebraMap A K)) x✝ = ↑g x✝

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Dimension

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A✝ B✝ A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Free R ↥A
inst✝ : Free R ↥B
h : ¬(Module.Finite R ↥A ∧ Module.Finite R ↥B)
hA : Cardinal.aleph0 ≤ Module.rank R ↥A
⊢ toSubmodule A ≤ toSubmodule (A ⊔ B)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ x ∈ Subfield.closure (Set.range ⇑(algebraMap F E) ∪ S) ↔ ∃ r ∈ Algebra.adjoin F S, ∃ s ∈ Algebra.adjoin F S, x = r / s

Tactic:
Subfield.mem_closure_iff,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ (∃ y ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap F E) ∪ S),
      ∃ z ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap F E) ∪ S), y / z = x) ↔
    ∃ r ∈ Algebra.adjoin F S, ∃ s ∈ Algebra.adjoin F S, x = r / s
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.IsSplittingField

Goal state before:
pp: K : Type v
inst✝ : Field K
a : K
⊢ (map (algebraMap K K) (C a)).Splits

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.IsSplittingField

Goal state before:
pp: K : Type v
inst✝ : Field K
a : K
⊢ Algebra.adjoin K ((C a).rootSet K) = ⊤

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)
⊢ sInf ((fun x ↦ ↑x) '' S) = ⋂ s ∈ S, ↑s

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)
⊢ ↑(sInf S).toSubalgebra = ↑(sInf (toSubalgebra '' S))

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)
⊢ ↑(sInf S).toSubfield = ↑(sInf (toSubfield '' S))

Tactic:
simp

Goal state after: