mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
ι : Type u_7
s : ι → (x : M) → V x
n : ℕ∞ω
t : (x : M) → V x
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
hs : IsLocalFrameOn I F n s ∅
h : ∀ (i : ι), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, 𝕜) n ((LinearMap.piApply (hs.coeff i)) t) ∅
⊢ ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t x⟩) ∅

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
ι : Type u_7
s : ι → (x : M) → V x
u : Set M
n : ℕ∞ω
x : M
t : (x : M) → V x
hs : IsLocalFrameOn I F n s u
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (i : ι), ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) n ((LinearMap.piApply (hs.coeff i)) t) x
hu : u ∈ 𝓝 x
this : Fintype ι
almost : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, ∑ i, (LinearMap.piApply (hs.coeff i)) t x • s i x⟩) x
⊢ ∀ (x : M),
    t x = ∑ i, (hs.coeff i x) (t x) • s i x →
      (fun x ↦ ⟨x, t x⟩) x = (fun x ↦ ⟨x, ∑ i, (LinearMap.piApply (hs.coeff i)) t x • s i x⟩) x

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
ι : Type u_7
s : ι → (x : M) → V x
t : (x : M) → V x
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
hs : IsLocalFrameOn I F 1 s ∅
h : ∀ (i : ι), MDiff[∅] ((LinearMap.piApply (hs.coeff i)) t)
⊢ MDiff[∅] (T% t)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
ι : Type u_7
s : ι → (x : M) → V x
u : Set M
x : M
t : (x : M) → V x
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
hs : IsLocalFrameOn I F 1 s u
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (i : ι), MDiffAt ((LinearMap.piApply (hs.coeff i)) t) x
hu : u ∈ 𝓝 x
this : Fintype ι
almost : (MDiffAt fun x ↦ ⟨x, ∑ i, (hs.coeff i x) (t x) • s i x⟩) x
⊢ ∀ (x : M),
    t x = ∑ i, (hs.coeff i x) (t x) • s i x → (fun x ↦ ⟨x, t x⟩) x = (fun x ↦ ⟨x, ∑ i, (hs.coeff i x) (t x) • s i x⟩) x

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
h₁ : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) k (fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x
m m' : F
⊢ (b.repr (m + m')) i = (b.repr m) i + (b.repr m') i

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x✝ : M
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x✝ ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x✝
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
h₁ : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) k (fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x✝
m : 𝕜
x : F
⊢ (b.repr (m • x)) i = (RingHom.id 𝕜) m • (b.repr x) i

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁸ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
x : M
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : MDiffAt (T% s) x
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
h₁ : (MDiffAt fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x
m m' : F
⊢ (b.repr (m + m')) i = (b.repr m) i + (b.repr m') i

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁸ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
x✝ : M
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
hxe : x✝ ∈ e.baseSet
hs : MDiffAt (T% s) x✝
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
h₁ : (MDiffAt fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x✝
m : 𝕜
x : F
⊢ (b.repr (m • x)) i = (RingHom.id 𝕜) m • (b.repr x) i

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁶ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁵ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst✝² : AddCommGroup A
inst✝¹ : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
hΦ : TensorialAt I F Φ x
⊢ Φ 0 = Φ (0 • 0)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁶ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁵ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst✝² : AddCommGroup A
inst✝¹ : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
hΦ : TensorialAt I F Φ x
⊢ 0 • Φ 0 = 0

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommGroup A
inst✝⁴ : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x := t.localFrame b
c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜 := Trivialization.localFrameCoeff I t b
i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)
⊢ 1 ≠ 0

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian

Goal state before:
pp: B : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝² : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
G : E x ≃L[ℝ] F := Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := ‖↑G‖ ^ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (r' ^ 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst✝⁷, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun x ↦
    TotalSpace.mk' (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = ((g x) v) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun y ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this✝ : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
this : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F := (Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) y) v
hgy : ((g y) v) v = ((g' y) w) w
⊢ ((g x) ((trivializationAt F E x).symm x w)) ((trivializationAt F E x).symm x w) =
    (Trivialization.linearMapAt ℝ (trivializationAt ℝ (fun x ↦ ℝ) x) x)
      (((g x) ((trivializationAt F E x).symm x w)) ((trivializationAt F E x).symm x w))

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M
inst✝²⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝²² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝²¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝²⁰ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝¹⁹ : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst✝¹⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst✝¹⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V' x)
inst✝¹³ : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst✝¹² : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst✝¹¹ : AddCommGroup A
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 A
Φ✝ : ((x : M) → V x) → A
x✝ : M
inst✝⁹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup A
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
hΦ : TensorialAt I F Φ x
this✝² : T2Space (V x)
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 (V x)
this✝ : IsTopologicalAddGroup (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
v₁ v₂ : V x
⊢ extend F (v₁ + v₂) x = (extend F v₁ + extend F v₂) x

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M
inst✝²⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝²² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝²¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝²⁰ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝¹⁹ : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst✝¹⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst✝¹⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V' x)
inst✝¹³ : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst✝¹² : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst✝¹¹ : AddCommGroup A
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 A
Φ✝ : ((x : M) → V x) → A
x✝ : M
inst✝⁹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup A
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
hΦ : TensorialAt I F Φ x
this✝² : T2Space (V x)
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 (V x)
this✝ : IsTopologicalAddGroup (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
c : 𝕜
v : V x
⊢ extend F (c • v) x = ((fun x ↦ c) • extend F v) x

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝¹² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝¹⁰ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁹ : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst✝⁸ : AddCommGroup A
inst✝⁷ : Module 𝕜 A
inst✝⁶ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup A
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
hΦ : TensorialAt I F (fun x ↦ Φ x) x
σ : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
⊢ extend F (σ x) x = σ x

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M
inst✝²⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝²² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝²¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝²⁰ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝¹⁹ : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst✝¹⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst✝¹⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V' x)
inst✝¹³ : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst✝¹² : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst✝¹¹ : AddCommGroup A
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 A
Φ✝ : ((x : M) → V x) → A
x✝ : M
inst✝⁹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup A
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ : ∀ (τ : (x : M) → V' x), MDiffAt (T% τ) x → TensorialAt I F (fun x ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (Φ σ) x
this✝⁶ : T2Space (V x)
this✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 (V x)
this✝⁴ : T2Space (V' x)
this✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (V' x)
this✝² : IsTopologicalAddGroup (V x)
this✝¹ : IsTopologicalAddGroup (V' x)
this✝ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V' x)
v₁ v₂ : V x
w : V' x
⊢ extend F (v₁ + v₂) x = (extend F v₁ + extend F v₂) x

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: case hσσ'
𝕜 : Type u_1
inst✝³¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M
inst✝²⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝²² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝²¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝²⁰ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝¹⁹ : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst✝¹⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst✝¹⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V' x)
inst✝¹³ : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst✝¹² : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst✝¹¹ : AddCommGroup A
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 A
Φ✝ : ((x : M) → V x) → A
x✝ : M
inst✝⁹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup A
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ : ∀ (τ : (x : M) → V' x), MDiffAt (T% τ) x → TensorialAt I F (fun x ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (Φ σ) x
this✝⁶ : T2Space (V x)
this✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 (V x)
this✝⁴ : T2Space (V' x)
this✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (V' x)
this✝² : IsTopologicalAddGroup (V x)
this✝¹ : IsTopologicalAddGroup (V' x)
this✝ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V' x)
c : 𝕜
v : V x
w : V' x
⊢ extend F (c • v) x = ((fun x ↦ c) • extend F v) x

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian

Goal state before:
pp: B : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝² : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
G : E x ≃L[ℝ] F := Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := ‖↑G‖ ^ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (r' ^ 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst✝⁷, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun x ↦
    TotalSpace.mk' (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = ((g x) v) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun y ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this✝ : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
this : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F := (Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) y) v
hgy : ((g y) v) v = ((g' y) w) w
hgx : ((g x) ((trivializationAt F E x).symm x w)) ((trivializationAt F E x).symm x w) = ((g' x) w) w
⊢ ((g' x) w) w = ((g' x - g' y) w) w + ((g' y) w) w

Tactic:
simp

Goal state after: