mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
x : F
⊢ (botEquiv F E) ((algebraMap F ↥⊥) x) = x

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower K F E
L L' : IntermediateField F E
⊢ (restrictScalars K L ⊔ restrictScalars K L').toSubfield = (restrictScalars K (L ⊔ L')).toSubfield

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : IsScalarTower K F E
⊢ ↑(adjoin K S) ⊆ ↑(restrictScalars K (adjoin F S))

Tactic:
SetLike.coe_subset_coe

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : IsScalarTower K F E
⊢ adjoin K S ≤ restrictScalars K (adjoin F S)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : IsScalarTower K F E
⊢ adjoin K S ≤ restrictScalars K (adjoin F S)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
K : IntermediateField F E
⊢ F⟮α⟯ ≤ K ↔ α ∈ K

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁹ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
S : Set E
α : E
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝⁶ : Field A
inst✝⁵ : Field B
inst✝⁴ : Field C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
b : B
x : ↥A⟮b⟯
⊢ ↑x ∈ ↑A⟮b⟯.toSubsemiring ∧
    ↑(AlgHom.restrictScalars A (Algebra.ofId B C)) ↑x = ↑((AlgHom.restrictScalars A (Algebra.ofId B C)).comp A⟮b⟯.val) x

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
⊢ F⟮α⟯ = ⊥ ↔ α ∈ ⊥

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: L : Type u_2
inst✝ : Field L
F : Subfield L
⊢ (extendScalars ⋯).toSubfield = ⊤.toSubfield

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : Field K
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
F : IntermediateField K L
⊢ restrictScalars K (extendScalars ⋯) = restrictScalars K ⊥

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : Field K
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
F : IntermediateField K L
⊢ restrictScalars K (extendScalars ⋯) = restrictScalars K ⊤

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
a : A
r : R
r_mem : r ∈ p.roots
r_nu : ¬IsUnit (a - ↑ₐ r)
⊢ ¬IsUnit (↑ₐ r - a)

Tactic:
← IsUnit.sub_iff

Goal state after:
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
a : A
r : R
r_mem : r ∈ p.roots
r_nu : ¬IsUnit (a - ↑ₐ r)
⊢ ¬IsUnit (a - ↑ₐ r)
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : Lifts F E K
⊢ ∀ (x : ↥L.carrier), L.emb ((inclusion ⋯) x) = L.emb x

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : (aeval a) p = 0
⊢ ¬IsUnit 0

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
p : A
hp : IsIdempotentElem p
⊢ 0 ≠ 1

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
p : A
hp : IsIdempotentElem p
⊢ 0 ≠ 1

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
σ : Lifts F E K
hσ✝ : σ ∈ c
hσ : σ ∈ insert ⊥ c
t : ↑(insert ⊥ c) → IntermediateField F E := fun i ↦ (↑i).carrier
x : ↥σ.carrier
⊢ (union c hc).emb ((inclusion ⋯) x) = σ.emb x

Tactic:
by
    dsimp only [union, AlgHom.comp_apply]
    exact Subalgebra.iSupLift_inclusion (K := (toSubalgebra <| t ·))
      (i := ⟨σ, hσ⟩) x (le_iSup (toSubalgebra <| t ·) ⟨σ, hσ⟩)

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
h : Cardinal.aleph0 ≤ Module.rank K ↥E1
⊢ Subalgebra.toSubmodule E1.toSubalgebra ≤ Subalgebra.toSubmodule (E1 ⊔ E2).toSubalgebra

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type u_3
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Field M
inst✝⁷ : Algebra R M
inst✝⁶ : IsTorsionFree R M
inst✝⁵ : IsAlgClosure R M
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : IsTorsionFree S L
inst✝² : IsAlgClosure S L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
hSR : S ≃+* R
r : R
⊢ (equivOfEquiv L M hSR) ((equivOfEquiv L M hSR).symm ((algebraMap R M) r)) =
    (equivOfEquiv L M hSR) ((algebraMap S L) (hSR.symm r))

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
x : E
s : Set (IntermediateField F E)
hne : s.Nonempty
hs : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
hx : ∃ i, x ∈ ↑↑i
this : Nonempty ↑s
⊢ ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), x ∈ x_1

Tactic:
Subtype.exists

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
x : E
s : Set (IntermediateField F E)
hne : s.Nonempty
hs : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
hx : ∃ a, ∃ (b : a ∈ s), x ∈ ↑↑⟨a, b⟩
this : Nonempty ↑s
⊢ ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), x ∈ x_1
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x✝ : E
hx : x✝ ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x : E
h : x ∈ f i
⊢ F⟮x⟯ ≤ F⟮↑⟨i, ⟨x, h⟩⟩.snd⟯

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, F⟮↑i⟯
s : Finset ↑S
hx' : x ∈ ⨆ i ∈ s, F⟮↑i⟯
⊢ ↑(Finset.image Subtype.val s) ⊆ S

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → End R M
χ : ι → R
m : M
⊢ m ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i) ↔ ∀ (j : ι), ∃ k, ((f j - χ j • 1) ^ k) m = 0

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: case empty
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
f : ι → End R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
h : ∀ (l : ι) (χ : ι → R), MapsTo (⇑(f l)) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i))) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i)))
χ₁ : ι → R
⊢ χ₁ ∉ ∅ → Disjoint (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)) (∅.sup fun χ ↦ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
i : Fin (minpoly K x).natDegree
⊢ (((AdjoinRoot.powerBasis ⋯).basis.map ↑(adjoinRootEquivAdjoin K hx)).reindex (finCongr ⋯)) i =
    AdjoinSimple.gen K x ^ ↑i

Tactic:
Basis.reindex_apply,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
i : Fin (minpoly K x).natDegree
⊢ ((AdjoinRoot.powerBasis ⋯).basis.map ↑(adjoinRootEquivAdjoin K hx)) ((finCongr ⋯).symm i) = AdjoinSimple.gen K x ^ ↑i
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
⊢ finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = g.natDegree

Tactic:
trans natDegree (minpoly K⟮aeval (root p) g⟯ (root p))

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := ⋯
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := ⋯
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
⊢ finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = (minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)).natDegree

K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := ⋯
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := ⋯
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
⊢ (minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)).natDegree = g.natDegree
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
⊢ adjoin K (↑⊤ ∪ {(aeval (root p)) g}) = ⊤

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {M : Type u_4} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module K M] [FiniteDimensional K M] (f : ι → End K M),
      (∀ (i j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f i) ↑((f j).maxGenEigenspace φ) ↑((f j).maxGenEigenspace φ)) →
        (∀ (i : ι), ⨆ μ, (f i).maxGenEigenspace μ = ⊤) → finrank K M = m → ⨆ χ, ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i) = ⊤
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
f : ι → End K M
h : ∀ (i j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f i) ↑((f j).maxGenEigenspace φ) ↑((f j).maxGenEigenspace φ)
h' : ∀ (i : ι), ⨆ μ, (f i).maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K M = n
i : ι
hy : ∀ (φ : K), finrank K ↥((f i).maxGenEigenspace φ) < n
hi : ∀ (j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f j) ↑((f i).maxGenEigenspace φ) ↑((f i).maxGenEigenspace φ)
φ : K
⊢ ∀ (i_1 j : ι) (φ_1 : K),
    MapsTo ⇑(LinearMap.restrict (f i_1) ⋯) ↑(maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j) ⋯) φ_1)
      ↑(maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j) ⋯) φ_1)

Tactic:
intro j

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {M : Type u_4} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module K M] [FiniteDimensional K M] (f : ι → End K M),
      (∀ (i j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f i) ↑((f j).maxGenEigenspace φ) ↑((f j).maxGenEigenspace φ)) →
        (∀ (i : ι), ⨆ μ, (f i).maxGenEigenspace μ = ⊤) → finrank K M = m → ⨆ χ, ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i) = ⊤
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
f : ι → End K M
h : ∀ (i j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f i) ↑((f j).maxGenEigenspace φ) ↑((f j).maxGenEigenspace φ)
h' : ∀ (i : ι), ⨆ μ, (f i).maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K M = n
i : ι
hy : ∀ (φ : K), finrank K ↥((f i).maxGenEigenspace φ) < n
hi : ∀ (j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f j) ↑((f i).maxGenEigenspace φ) ↑((f i).maxGenEigenspace φ)
φ : K
j : ι
⊢ ∀ (j_1 : ι) (φ_1 : K),
    MapsTo ⇑(LinearMap.restrict (f j) ⋯) ↑(maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j_1) ⋯) φ_1)
      ↑(maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j_1) ⋯) φ_1)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u
inst✝² : Field F
E : Type v
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Set E
⊢ Cardinal.lift.{u, v} #↥(Subfield.closure (Set.range ⇑(algebraMap F E) ∪ s)) ≤
    max (max (Cardinal.lift.{v, u} #F) (Cardinal.lift.{u, v} #↑s)) ℵ₀

Tactic:
apply (Cardinal.lift_le.mpr (Subfield.cardinalMk_closure_le_max _)).trans

Goal state after:
F : Type u
inst✝² : Field F
E : Type v
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Set E
⊢ Cardinal.lift.{u, v} (max #↑(Set.range ⇑(algebraMap F E) ∪ s) ℵ₀) ≤
    max (max (Cardinal.lift.{v, u} #F) (Cardinal.lift.{u, v} #↑s)) ℵ₀
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanSubalgebra

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
⊢ LieSubmodule.ucs 0 H.toLieSubmodule = H.toLieSubmodule

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
x y : L
hy : y ∈ span R {e, f, h}
⊢ ⁅0, y⁆ ∈ span R {e, f, h}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case mem.zero
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
x y u : L
hu : u ∈ {e, f, h}
⊢ ⁅u, 0⁆ ∈ span R {e, f, h}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case mem.mem.inl.inr.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h x y u v : L
t : IsSl2Triple h u v
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := ⋯
⊢ h ∈ {u, v, h}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
f x y u v : L
t : IsSl2Triple v u f
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := ⋯
⊢ u ∈ {u, f, v}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case mem.mem.inr.inl.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h x y u v : L
t : IsSl2Triple h v u
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := ⋯
⊢ h ∈ {v, u, h}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple v e u
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := ⋯
⊢ u ∈ {e, u, v}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
f x y u v : L
t : IsSl2Triple u v f
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := ⋯
⊢ v ∈ {v, f, u}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple u e v
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := ⋯
⊢ v ∈ {e, v, u}

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
hm : m ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
⊢ ⁅0, m⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: case pos.zero
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
χ₁ : ↥H → R
u : L
hχ₁ : χ₁ ∈ s
hu : u ∈ rootSpace H χ₁
⊢ ⁅u, 0⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ χ₃ : ↥H → R
hχ : χ₁ + χ₂ = χ₃
x : ↥(rootSpace H χ₁)
t : R
m : ↥(genWeightSpace M χ₂)
⊢ ⟨⁅↑x, ↑(t • m)⁆, ⋯⟩ = (RingHom.id R) t • ⟨⁅↑x, ↑m⁆, ⋯⟩

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
χ : R
x y : L
m : M
hm : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : Weight R L M
⊢ ⇑χ₁ = ⇑χ₂ ↔ χ₁ = χ₂

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
this✝ : ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
n : ℕ
hn₁ : ¬((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
hn₂ : ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0
this : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ μ = ↑n

Tactic:
hn₂,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
this✝ : ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
n : ℕ
hn₁ : ¬((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
hn₂ : ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0
this : ⁅e, 0⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ μ = ↑n
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
w : Weight R L M
⊢ (fun w ↦ { toFun := ↑w, genWeightSpace_ne_bot' := ⋯ }) ((fun w ↦ ⟨w.toFun, ⋯⟩) w) = w

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
w : ↑{χ | genWeightSpace M χ ≠ ⊥}
⊢ (fun w ↦ ⟨w.toFun, ⋯⟩) ((fun w ↦ { toFun := ↑w, genWeightSpace_ne_bot' := ⋯ }) w) = w

Tactic:
simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m✝ : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m✝ μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
n m : ℕ
⊢ μ - 2 * ↑n = μ - 2 * ↑m → n = m

Tactic:
simp

Goal state after: