mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Walk.Decomp

Goal state before:
pp: V : Type u
G : SimpleGraph V
v w u : V
inst✝ : DecidableEq V
p : G.Walk u v
x : V
h : x ≠ w
hw : w ∈ p.support
hx : x ∈ (p.takeUntil w hw).support
⊢ w ∉ (p.takeUntil x ⋯).support

Tactic:
rw [← takeUntil_takeUntil p hw hx]
  intro hw'
  have h1 : (((p.takeUntil w hw).takeUntil x hx).takeUntil w hw').length
      < ((p.takeUntil w hw).takeUntil x hx).length := by
    exact length_takeUntil_lt_length _ h.symm
  have h2 : ((p.takeUntil w hw).takeUntil x hx).length < (p.takeUntil w hw).length := by
    exact length_takeUntil_lt_length _ h
  simp only [takeUntil_takeUntil] at h1 h2
  lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ↑(#A) * ↑(#x) * (↑m / (↑m + 1)) * (↑(#B) * ↑(#y) * (↑m / (↑m + 1))) ≤ ↑(#(A.sup id)) * ↑(#(B.sup id))

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h₁
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ↑(#A) * ↑(#x) * (↑m / (↑m + 1)) ≤ ↑(#(A.sup id))

case h₂
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ↑(#B) * ↑(#y) * (↑m / (↑m + 1)) ≤ ↑(#(B.sup id))
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Walk.Operations

Goal state before:
pp: V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.drop 0 = p.copy ⋯ ⋯

Tactic:
by
  cases p <;> simp [Walk.drop]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Paths

Goal state before:
pp: case cons
V : Type u
G : SimpleGraph V
v v✝ : V
h✝ : G.Adj v v✝
p✝ : G.Walk v✝ v
h : (Walk.cons h✝ p✝).IsPath
⊢ ⟨Walk.cons h✝ p✝, h⟩ = Path.nil

Tactic:
· simp at h

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ↑(#(A.sup id)) * ↑(#(B.sup id)) ≤ ↑(#A) * ↑(#x) * ((↑m + 1) / ↑m) * (↑(#B) * ↑(#y) * ((↑m + 1) / ↑m))

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h₁
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ↑(#(A.sup id)) ≤ ↑(#A) * ↑(#x) * ((↑m + 1) / ↑m)

case h₂
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ↑(#(B.sup id)) ≤ ↑(#B) * ↑(#y) * ((↑m + 1) / ↑m)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Clique

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : DecidableEq β
f : α ↪ β
hn : n ≠ 1
⊢ ↑((SimpleGraph.map (⇑f) G).cliqueFinset n) = ↑(map { toFun := map f, inj' := ⋯ } (G.cliqueFinset n))

Tactic:
by
    simp_rw [coe_cliqueFinset, cliqueSet_map hn, coe_map, coe_cliqueFinset, Embedding.coeFn_mk]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
G : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hε : G.FarFromTriangleFree ε
h : δ ≤ ε
⊢ δ * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Removal

Goal state before:
pp: ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑⌈4 / ε⌉₊ ^ 3 ≤ (2 * ↑⌈4 / ε⌉₊ ^ 3)⁻¹ * ↑⌈4 / ε⌉₊ ^ 3

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hbc
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ triangleRemovalBound ε ≤ (2 * ↑⌈4 / ε⌉₊ ^ 3)⁻¹
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Removal

Goal state before:
pp: ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑⌈4 / ε⌉₊ ^ 3 ≤ (2 * ↑⌈4 / ε⌉₊ ^ 3)⁻¹ * ↑⌈4 / ε⌉₊ ^ 3

Tactic:
by gcongr; exact min_le_left _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
    ε ^ 5 / 50
⊢ ε ^ 5 / 50 ≤ ε ^ 5 / 49

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hc
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
    ε ^ 5 / 50
⊢ 0 ≤ ε ^ 5

case hdb
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
    ε ^ 5 / 50
⊢ 49 ≤ 50
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Counting

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑(#t) * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(#({y ∈ t | G.Adj x y}))
hsu : ↑(#u) * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(#({y ∈ u | G.Adj x y}))
⊢ ↑(#t) * ε ≤ ↑(#t) * (↑(G.edgeDensity s t) - ε)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hbc
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑(#t) * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(#({y ∈ t | G.Adj x y}))
hsu : ↑(#u) * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(#({y ∈ u | G.Adj x y}))
⊢ ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t) - ε
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Counting

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑(#t) * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(#({y ∈ t | G.Adj x y}))
hsu : ↑(#u) * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(#({y ∈ u | G.Adj x y}))
hY : ↑(#t) * ε ≤ ↑(#({y ∈ t | G.Adj x y}))
⊢ ↑(#u) * ε ≤ ↑(#u) * (↑(G.edgeDensity s u) - ε)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hbc
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑(#t) * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(#({y ∈ t | G.Adj x y}))
hsu : ↑(#u) * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(#({y ∈ u | G.Adj x y}))
hY : ↑(#t) * ε ≤ ↑(#({y ∈ t | G.Adj x y}))
⊢ ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u) - ε
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : LinearOrder 𝕜
inst✝³ : IsStrictOrderedRing 𝕜
G : SimpleGraph α
ε : 𝕜
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty α
hε : G.FarFromTriangleFree ε
⊢ ↑(#G.edgeFinset) ≤ ↑((Fintype.card α).choose 2)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : LinearOrder 𝕜
inst✝³ : IsStrictOrderedRing 𝕜
G : SimpleGraph α
ε : 𝕜
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty α
hε : G.FarFromTriangleFree ε
⊢ #G.edgeFinset ≤ (Fintype.card α).choose 2
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Removal

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
hX : s ∈ P.parts
h✝ : Nonempty α
this : 0 < #P.parts
⊢ ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(#P.parts))

Tactic:
gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Removal

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : Function.onFun Disjoint id s Y
dXZ : Function.onFun Disjoint id s Z
dYZ : Function.onFun Disjoint id Y Z
that : 2 * (ε / 8) = ε / 4
this : 0 ≤ 1 - 2 * (ε / 8)
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤
    (1 - ε / 4) * (ε / (16 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊))) ^ 3 * ↑(Fintype.card α) ^ 3

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hbc
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : Function.onFun Disjoint id s Y
dXZ : Function.onFun Disjoint id s Z
dYZ : Function.onFun Disjoint id Y Z
that : 2 * (ε / 8) = ε / 4
this : 0 ≤ 1 - 2 * (ε / 8)
⊢ triangleRemovalBound ε ≤ (1 - ε / 4) * (ε / (16 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊))) ^ 3
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : 0 ≤ ε
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - 1 * ε ^ 5 / 25 + 0 ^ 10 / 2500 ≤
    ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ↑(G.edgeDensity U V) * ε ^ 5 / 25 + ε ^ 10 / 2500

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hbc
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : 0 ≤ ε
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ≤ 1
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : 0 ≤ ε
⊢ (↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50) ^ 2 ≤
    ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ #P.parts) ^ 2

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hab
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : 0 ≤ ε
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ #P.parts
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ (1 - 1 / 10) * (1 - 9⁻¹) * ε ≤ (1 - ε / 10) * (1 - (↑m)⁻¹) * (↑(#(G.nonuniformWitness ε U V)) / ↑(#U))

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hba
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ 9 ≤ ↑m

case h₂
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ ε ≤ ↑(#(G.nonuniformWitness ε U V)) / ↑(#U)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Counting

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
h₁ : ↑(#(G.badVertices ε s t)) ≤ ↑(#s) * ε
h₂ : ↑(#(G.badVertices ε s u)) ≤ ↑(#s) * ε
X' : Finset α := s \ (G.badVertices ε s t ∪ G.badVertices ε s u)
this✝ :
  (X'.biUnion fun x ↦ image (fun x_1 ↦ (x, x_1)) (G.interedges ({y ∈ t | G.Adj x y}) ({y ∈ u | G.Adj x y}))) ⊆
    {x ∈ s ×ˢ t ×ˢ u |
      match x with
      | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c}
this : 0 ≤ ε
i : G.badVertices ε s t ∪ G.badVertices ε s u ⊆ s
⊢ ↑(#(G.badVertices ε s t)) + ↑(#(G.badVertices ε s u)) ≤ ↑(#s) * ε + ↑(#s) * ε

Tactic:
gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ (1 - ε / 10) * ↑(#(G.nonuniformWitness ε U V)) * ((1 - (↑m)⁻¹) / ↑(#U)) ≤
    ↑(#((star hP G ε hU V).biUnion id)) * ((1 - (↑m)⁻¹) / ↑(#U))

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hbc
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ (1 - ε / 10) * ↑(#(G.nonuniformWitness ε U V)) ≤ ↑(#((star hP G ε hU V).biUnion id))
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case hbc
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ (1 - ε / 10) * ↑(#(G.nonuniformWitness ε U V)) ≤ ↑(#((star hP G ε hU V).biUnion id))

Tactic:
exact one_sub_eps_mul_card_nonuniformWitness_le_card_star hV hUV hunif hPε hε₁

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Removal

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hPε : P.IsUniform G (ε / 8)
hP' : 4 / ε ≤ ↑(#P.parts)
A : Finset (α × α) :=
  (P.nonUniforms G (ε / 8)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => U ×ˢ V
B : Finset (α × α) := P.parts.biUnion offDiag
C : Finset (α × α) :=
  (P.sparsePairs G (ε / 4)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => G.interedges U V
⊢ Int.subNatNat (2 * #G.edgeFinset) (2 * #(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset) =
    Int.subNatNat (#{x | G.Adj x.1 x.2}) #{x | (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj x.1 x.2}

Tactic:
rw [two_mul_card_edgeFinset, two_mul_card_edgeFinset]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ ↑(#((star hP G ε hU V).biUnion id)) * ((1 - (↑m)⁻¹) / ↑(#U)) ≤
    ↑(#(star hP G ε hU V)) * (↑m + 1) * ((1 - (↑m)⁻¹) / ↑(#U))

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hbc
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ ↑(#((star hP G ε hU V).biUnion id)) ≤ ↑(#(star hP G ε hU V)) * (↑m + 1)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Counting

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u
⊢ Set.MapsTo
    (fun x ↦
      match x with
      | (x, y, z) => {x, y, z})
    ↑({x ∈ s ×ˢ t ×ˢ u |
        match x with
        | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c})
    ↑(G.cliqueFinset 3)

pp: case refine_2
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u
⊢ Set.InjOn
    (fun x ↦
      match x with
      | (x, y, z) => {x, y, z})
    ↑({x ∈ s ×ˢ t ×ˢ u |
        match x with
        | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c})

Tactic:
· rintro ⟨x, y, z⟩
    simp +contextual [is3Clique_triple_iff]

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u
⊢ Set.InjOn
    (fun x ↦
      match x with
      | (x, y, z) => {x, y, z})
    ↑({x ∈ s ×ˢ t ×ˢ u |
        match x with
        | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c})