mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousAdd E
s : Set E
x : E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : Nontrivial E
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : ¬AccPt x (𝓟 s)
⊢ ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ⊆ ↑(Submodule.span 𝕜 0)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousAdd E
s : Set E
x : E
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : Nontrivial E
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : ¬AccPt x (𝓟 s)
⊢ tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : DivisionSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
x : E
inst✝ : (𝓝[≠] 0).NeBot
⊢ tangentConeAt 𝕜 univ x = univ

Tactic:
by
  simp [tangentConeAt]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : Module 𝕜 G
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
k : α → G
hfg : f =o[𝕜; l] g
hgk : g =O[𝕜; l] k
U : Set E
hU₀ : U ∈ 𝓝 0
V : Set F
hV₀ : V ∈ 𝓝 0
hV : ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → (fun x ↦ egauge 𝕜 U (f x)) ≤ᶠ[l] fun x ↦ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
W : Set G
hW₀ : W ∈ 𝓝 0
hW : (fun x ↦ egauge 𝕜 V (g x)) ≤ᶠ[l] fun x ↦ egauge 𝕜 W (k x)
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
x : α
hx₁ : egauge 𝕜 U (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
hx₂ : egauge 𝕜 V (g x) ≤ egauge 𝕜 W (k x)
⊢ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 W (k x)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
ιE : Sort u_7
ιF : Sort u_8
pE : ιE → Prop
pF : ιF → Prop
sE : ιE → Set E
sF : ιF → Set F
hE : (𝓝 0).HasBasis pE sE
hF : (𝓝 0).HasBasis pF sF
x✝¹ : ιE
x✝ : pE x✝¹
s t : Set F
hsub : s ⊆ t
h : ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → (fun x ↦ egauge 𝕜 (sE x✝¹) (f x)) ≤ᶠ[l] fun x ↦ ↑ε * egauge 𝕜 t (g x)
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
x : α
hx : (fun x ↦ egauge 𝕜 (sE x✝¹) (f x)) x ≤ (fun x ↦ ↑ε * egauge 𝕜 t (g x)) x
⊢ ↑ε * egauge 𝕜 t (g x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 s (g x)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
V₁ V₂ : Set F
hV : V₁ ⊆ V₂
hV₂ : ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 U (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 V₂ (g x)
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
x : α
hx : egauge 𝕜 U (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 V₂ (g x)
⊢ ↑ε * egauge 𝕜 V₂ (g x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 V₁ (g x)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
V₁ V₂ : Set F
hV : V₁ ⊆ V₂
hV₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 U (f x) ≤ egauge 𝕜 V₂ (g x)
x : α
hx : egauge 𝕜 U (f x) ≤ egauge 𝕜 V₂ (g x)
⊢ egauge 𝕜 V₂ (g x) ≤ egauge 𝕜 V₁ (g x)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' t x
hst : s ⊆ t
⊢ 𝓝[s] x ×ˢ pure x ≤ 𝓝[t] x ×ˢ pure x

Tactic:
gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
⊢ HasFDerivWithinAt f f' (insert x s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x

Tactic:
simp_rw [hasFDerivWithinAt_iff_isLittleOTVS]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
⊢ ((fun x' ↦ f x' - f x - f' (x' - x)) =o[𝕜; 𝓝[insert x s] x] fun x' ↦ x' - x) ↔
    (fun x' ↦ f x' - f x - f' (x' - x)) =o[𝕜; 𝓝[s] x] fun x' ↦ x' - x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace E
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
⊢ f x - f x - f' (x - x) = 0

Tactic:
simp only [sub_self, map_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case h.h.h.h.h.h.hq
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
c : α → 𝕜
h : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ V ∈ 𝓝 0, ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → (fun x ↦ egauge 𝕜 U (f x)) ≤ᶠ[l] fun x ↦ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
x : α
hx : egauge 𝕜 U (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 V (g x)
⊢ ‖c x‖ₑ * egauge 𝕜 U (f x) ≤ ‖c x‖ₑ * (↑ε * egauge 𝕜 V (g x))

Tactic:
gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : Filter α
f : α → E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hf :
  ∀ i ∈ 𝓝 0, ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (1 x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
hUb : Balanced 𝕜 U
r : ℝ≥0
hr : ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id U) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) (1 x)
hr₀ : 0 < r
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ≥0
hε₀ : 0 < ε
hε : ↑ε * ↑‖c‖₊ / ↑r < 1
x : α
hx : egauge 𝕜 (id U) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) (1 x)
⊢ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) 1 ≤ ↑ε * (↑‖c‖₊ / ↑r)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : Filter α
f : α → E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hf :
  ∀ i ∈ 𝓝 0, ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (1 x)
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
hUb : Balanced 𝕜 U
r : ℝ≥0
hr : ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (id U) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) (1 x)
hr₀ : 0 < r
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ≥0
hε₀ : 0 < ε
hε : ↑ε * ↑‖c‖₊ / ↑r < 1
x : α
hx : egauge 𝕜 (id U) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) (1 x)
⊢ egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) 1 ≤ ↑‖c‖₊ / ↑r
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
l : Filter α
f : α → E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x : E
h : Tendsto (fun x_1 ↦ f x_1 - x) l (𝓝 0)
U : Set E
hU₀ : U ∈ 𝓝 0
hUb : Balanced 𝕜 U
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ r ≤ 1 ∧ ↑r ≤ (egauge 𝕜 U x)⁻¹

Tactic:
apply Eventually.exists_gt
    refine .and (eventually_le_nhds one_pos) ?_
    refine (ENNReal.tendsto_coe.mpr tendsto_id).eventually_le_const ?_
    suffices ∃ c : 𝕜, x ∈ c • U by simpa [egauge_eq_top]
    simpa using (absorbent_nhds_zero (𝕜 := 𝕜) hU₀ x).exists

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x) ≤ ↑δ / ↑‖c‖₊ * (↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊ / ↑δ)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h₁
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ ↑(δ / ‖c‖₊) ≤ ↑δ / ↑‖c‖₊

case h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x) ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊ / ↑δ
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ ↑δ / ↑δ * (↑‖c‖₊ / ↑‖c‖₊) * ↑‖g x‖₊ ≤ 1 * 1 * ↑‖g x‖₊

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h₁
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ ↑δ / ↑δ ≤ 1

case h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ ↑‖c‖₊ / ↑‖c‖₊ ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖c‖₊ * ↑‖f x‖₊ / ↑ε ≤ ↑‖c‖₊ * (↑(ε * δ / ‖c‖₊) * ↑‖g x‖₊) / ↑ε

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ↑(ε * δ / ‖c‖₊) * ↑‖g x‖₊
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖c‖₊ / ↑‖c‖₊ * (↑ε / ↑ε) * ↑δ * ↑‖g x‖₊ ≤ 1 * 1 * ↑δ * ↑‖g x‖₊

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h₁
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖c‖₊ / ↑‖c‖₊ ≤ 1

case h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑ε / ↑ε ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑δ * ↑‖g x‖₊ ≤ ↑δ * egauge 𝕜 (ball 0 1) (g x)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖g x‖₊ ≤ egauge 𝕜 (ball 0 1) (g x)
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
C : ℝ≥0
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ↑C * ‖g x‖
hC₀ : 0 < C
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 < r
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ ↑C * ‖g x‖
⊢ ‖c‖ₑ * ‖f x‖ₑ / ↑r ≤ ‖c‖ₑ * (↑C * ‖g x‖ₑ) / ↑r

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h₂
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
C : ℝ≥0
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ↑C * ‖g x‖
hC₀ : 0 < C
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 < r
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ ↑C * ‖g x‖
⊢ ‖f x‖ₑ ≤ ↑C * ‖g x‖ₑ
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ConvergenceRadius

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n ↦ ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x ↦ a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r / ↑t < 1
this : 0 < ↑t
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ↑t ^ n * (↑r / ↑t) ^ n ≤ C * (↑r / ↑t) ^ n

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hbc
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ :
  (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n ↦ ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x ↦ a ^ x) ↔
    ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r / ↑t < 1
this : 0 < ↑t
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k n : ℕ
⊢ ‖p.changeOriginSeries k n‖₊ * r ^ n ≤ (∑' (x : { s // s.card = n }), ‖p (k + n)‖₊) * r ^ n

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k n : ℕ
⊢ ‖p.changeOriginSeries k n‖₊ ≤ ∑' (x : { s // s.card = n }), ‖p (k + n)‖₊
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius
k : ℕ
⊢ ‖p.changeOrigin x k‖₊ * r ^ k ≤ (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst) * r ^ k

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius
k : ℕ
⊢ ‖p.changeOrigin x k‖₊ ≤ ∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius
this :
  ∀ (k : ℕ),
    ‖p.changeOrigin x k‖₊ * r ^ k ≤ (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst) * r ^ k
⊢ Summable fun b ↦ (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (b + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst) * r ^ b

Tactic:
simpa only [← NNReal.tsum_mul_right] using
    (NNReal.summable_sigma.1 (p.changeOriginSeries_summable_aux₁ hr)).2

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ConvergenceRadius

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_6
E' : Type u_7
F' : Type u_8
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜' E' F'
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ ‖q n‖
r : ℝ≥0
hr : ↑r < q.radius
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ ‖q n‖ * ↑r ^ n

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hbc
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_6
E' : Type u_7
F' : Type u_8
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜' E' F'
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ ‖q n‖
r : ℝ≥0
hr : ↑r < q.radius
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ ≤ ‖q n‖
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ConvergenceRadius

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius ∧ ↑r < q.radius
this : (fun x ↦ ‖p x‖ * ↑r ^ x + ‖q x‖ * ↑r ^ x) =O[atTop] fun x ↦ 1
n : ℕ
⊢ ‖(p + q) n‖ * ‖↑r ^ n‖ ≤ ‖‖p n‖ + ‖q n‖‖ * ‖↑r ^ n‖

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case hbc
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius ∧ ↑r < q.radius
this : (fun x ↦ ‖p x‖ * ↑r ^ x + ‖q x‖ * ↑r ^ x) =O[atTop] fun x ↦ 1
n : ℕ
⊢ ‖(p + q) n‖ ≤ ‖‖p n‖ + ‖q n‖‖
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ConvergenceRadius

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
u : E →L[𝕜] F
n : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal ‖p.compContinuousLinearMap u n‖ ≤ ENNReal.ofReal (‖p n‖ * ‖u‖ ^ n)

Tactic:
gcongr

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
u : E →L[𝕜] F
n : ℕ
⊢ ‖p.compContinuousLinearMap u n‖ ≤ ‖p n‖ * ‖u‖ ^ n