mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : CommSemiring A
inst✝¹⁴ : CommSemiring B
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Algebra R B
inst✝¹⁰ : Module A M
inst✝⁹ : Module B M
inst✝⁸ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r✝ : R
a b : A
S : Type u_5
T : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid S
inst✝⁶ : DistribMulAction S M
inst✝⁵ : SMulCommClass R S M
inst✝⁴ : SMulCommClass S A M
inst✝³ : Monoid T
inst✝² : DistribMulAction T M
inst✝¹ : SMulCommClass R T M
inst✝ : SMulCommClass T A M
r : S
D : Derivation R A M
⊢ r • 0 = 0

Tactic:
smul_zero

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : CommSemiring A
inst✝¹⁴ : CommSemiring B
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Algebra R B
inst✝¹⁰ : Module A M
inst✝⁹ : Module B M
inst✝⁸ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r✝ : R
a b : A
S : Type u_5
T : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid S
inst✝⁶ : DistribMulAction S M
inst✝⁵ : SMulCommClass R S M
inst✝⁴ : SMulCommClass S A M
inst✝³ : Monoid T
inst✝² : DistribMulAction T M
inst✝¹ : SMulCommClass R T M
inst✝ : SMulCommClass T A M
r : S
D : Derivation R A M
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D : Derivation R A M
n : ℤ
⊢ n • 0 = 0

Tactic:
smul_zero

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D : Derivation R A M
n : ℤ
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D : Derivation R A M
a b : A
h : a * b = 1
⊢ a • 0 = 0

Tactic:
smul_zero

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D : Derivation R A M
a b : A
h : a * b = 1
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Data.ZMod.QuotientGroup

Goal state before:
pp: n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
inst✝² : Ring R
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup α
a : α
inst✝ : AddAction α β
b : β
⊢ (QuotientAddGroup.map (zmultiples ↑(minimalPeriod (fun x ↦ a +ᵥ x) b)) (stabilizer (↥(zmultiples a)) b)
        ((zmultiplesHom ↥(zmultiples a)) ⟨a, ⋯⟩) ⋯).ker ≤
    ⊥

Tactic:
refine fun q => induction_on q fun n hn => ?_

Goal state after:
n✝ : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
inst✝² : Ring R
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup α
a : α
inst✝ : AddAction α β
b : β
q : ℤ ⧸ zmultiples ↑(minimalPeriod (fun x ↦ a +ᵥ x) b)
n : ℤ
hn :
  ↑n ∈
    (QuotientAddGroup.map (zmultiples ↑(minimalPeriod (fun x ↦ a +ᵥ x) b)) (stabilizer (↥(zmultiples a)) b)
        ((zmultiplesHom ↥(zmultiples a)) ⟨a, ⋯⟩) ⋯).ker
⊢ ↑n ∈ ⊥
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Cyclic.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Group α
H : Subgroup α
⊢ (∃ g, zpowers (H.subtype g) = H) ↔ ∃ g, zpowers g = H

Tactic:
Subtype.exists,

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
H : Subgroup α
⊢ (∃ a, ∃ (b : a ∈ H), zpowers (H.subtype ⟨a, b⟩) = H) ↔ ∃ g, zpowers g = H
Module: Mathlib.Data.ZMod.QuotientGroup

Goal state before:
pp: n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : AddGroup A
inst✝³ : Ring R
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : Group α
a : α
inst✝¹ : MulAction α β
b : β
inst✝ : Finite ↑(orbit (↥(zpowers a)) b)
⊢ minimalPeriod (fun x ↦ a • x) b ≠ 0

Tactic:
cases nonempty_fintype (orbit (zpowers a) b)
    have : Nonempty (orbit (zpowers a) b) := (nonempty_orbit b).to_subtype
    rw [minimalPeriod_eq_card]
    exact Fintype.card_ne_zero

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Exponent

Goal state before:
pp: G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
key : ¬exponent G ∣ exponent G / p
⊢ ∃ g, g ^ (exponent G / p) ≠ 1

Tactic:
rwa [exponent_dvd_iff_forall_pow_eq_one, not_forall] at key

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Exponent

Goal state before:
pp: G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) *
      orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))) =
    (orderOf x).lcm (orderOf y)

pp: case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf x ≠ 0

pp: case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x

Tactic:
try rw [Coprime]

Goal state after:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) *
      orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))) =
    (orderOf x).lcm (orderOf y)

case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf x ≠ 0

case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x
Module: Mathlib.GroupTheory.Exponent

Goal state before:
pp: G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) * (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) =
    (orderOf x).lcm (orderOf y)

pp: case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf y ≠ 0

pp: case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) ∣ orderOf y

pp: case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf x ≠ 0

pp: case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x

Tactic:
try rw [Coprime]

Goal state after:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) * (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) =
    (orderOf x).lcm (orderOf y)

case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf y ≠ 0

case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) ∣ orderOf y

case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf x ≠ 0

case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x
Module: Mathlib.GroupTheory.Exponent

Goal state before:
pp: G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ ((orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)).Coprime
    (orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))))

pp: case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf x ≠ 0

pp: case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x

Tactic:
try rw [Coprime]

Goal state after:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ ((orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)).gcd
      (orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y)))) =
    1

case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf x ≠ 0

case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x
Module: Mathlib.GroupTheory.Exponent

Goal state before:
pp: G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ ((orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)).gcd ((orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y)) = 1

pp: case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf y ≠ 0

pp: case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) ∣ orderOf y

pp: case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf x ≠ 0

pp: case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x

Tactic:
try rw [Coprime]

Goal state after:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ ((orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)).gcd ((orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y)) = 1

case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf y ≠ 0

case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) ∣ orderOf y

case hx
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ orderOf x ≠ 0

case hn
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Cyclic.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Nat.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ a.val = t ^ b.val
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
⊢ a = b

Tactic:
specialize h g

Goal state after:
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Nat.card G = d
g : G
h : g ^ a.val = g ^ b.val
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
⊢ a = b
Module: Mathlib.GroupTheory.PGroup

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
h : p₁.Coprime p₂
g : G
hg₁✝ : g ∈ H₁
hg₂ : g ∈ H₂
k₁ : ℕ
hk₁ : ⟨g, hg₁✝⟩ ^ p₁ ^ k₁ = 1
hg₁ : orderOf g ∣ p₁ ^ k₁
k₂ : ℕ
hk₂ : ⟨g, hg₂⟩ ^ p₂ ^ k₂ = 1
⊢ g = 1

Tactic:
have hg₂ := Subgroup.orderOf_mk g _ ▸ orderOf_dvd_of_pow_eq_one hk₂

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
p₁ p₂ : ℕ
H₁ H₂ : Subgroup G
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂
h : p₁.Coprime p₂
g : G
hg₁✝ : g ∈ H₁
hg₂✝ : g ∈ H₂
k₁ : ℕ
hk₁ : ⟨g, hg₁✝⟩ ^ p₁ ^ k₁ = 1
hg₁ : orderOf g ∣ p₁ ^ k₁
k₂ : ℕ
hk₂ : ⟨g, hg₂✝⟩ ^ p₂ ^ k₂ = 1
hg₂ : orderOf g ∣ p₂ ^ k₂
⊢ g = 1
Module: Mathlib.GroupTheory.Sylow

Goal state before:
pp: p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Set ι
H : ι → Subgroup G
h : ∀ i ∈ s, IsPGroup p ↥(H i)
hn : ∀ i ∈ s, (H i).Normal
⊢ IsPGroup p ↥(⨆ i ∈ s, H i)

Tactic:
rw [← iSup_subtype'']
  have : ∀ i : s, (H i).Normal := fun i ↦ hn i i.property
  exact iSup_of_normal _ fun i ↦ h i i.property

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Cyclic

Goal state before:
pp: G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 ↦ ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 ↦ ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
⊢ y ^ (-m) * a ∈ f.ker

Tactic:
f.mem_ker,

Goal state after:
G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 ↦ ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 ↦ ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
⊢ f (y ^ (-m) * a) = 1
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Cyclic

Goal state before:
pp: G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 ↦ ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 ↦ ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
⊢ y ^ (-n) * b ∈ f.ker

Tactic:
f.mem_ker,

Goal state after:
G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 ↦ ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 ↦ ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
⊢ f (y ^ (-n) * b) = 1
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Cyclic

Goal state before:
pp: case inr.inr
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : CommGroup M
inst✝² : Group N
f : M →* N
h : (Nat.card ↥f.ker).Coprime (Nat.card ↥f.range)
inst✝¹ : IsCyclic ↥f.ker
inst✝ : IsCyclic ↥f.range
h✝¹ : Finite ↥f.ker
h✝ : Finite ↥f.range
this : Finite M
⊢ IsCyclic M

Tactic:
IsCyclic.iff_exponent_eq_card

Goal state after:
case inr.inr
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : CommGroup M
inst✝² : Group N
f : M →* N
h : (Nat.card ↥f.ker).Coprime (Nat.card ↥f.range)
inst✝¹ : IsCyclic ↥f.ker
inst✝ : IsCyclic ↥f.range
h✝¹ : Finite ↥f.ker
h✝ : Finite ↥f.range
this : Finite M
⊢ Monoid.exponent M = Nat.card M
Module: Mathlib.Order.JordanHolder

Goal state before:
pp: case h
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
n : ℕ
ih :
  ∀ (s : CompositionSeries X) (x : X) (hm : IsMaximal x (last s)),
    head s ≤ x →
      s.length = n → ∃ t, head t = head s ∧ t.length + 1 = n ∧ ∃ (htx : last t = x), s.Equivalent (snoc t (last s) ⋯)
s : CompositionSeries X
x : X
hm : IsMaximal x (last s)
hb : head s ≤ x
hn : s.length = n + 1
h0s : 0 < s.length
hetx : (eraseLast s).last = x
⊢ (eraseLast s).head = head s ∧
    (eraseLast s).length + 1 = n + 1 ∧ ∃ (htx : (eraseLast s).last = x), s.Equivalent ((eraseLast s).snoc (last s) ⋯)

Tactic:
simp [← hetx, hn, Equivalent.refl]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
a : R
x : M
x✝ : x ∈ {x | ∃ a, a • x = 0}
b : S
h : b • x = 0
⊢ a • 0 = 0

Tactic:
smul_zero

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
a : R
x : M
x✝ : x ∈ {x | ∃ a, a • x = 0}
b : S
h : b • x = 0
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
⊢ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i) ≤ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i)

Tactic:
· intro x hx
    rw [mem_iSup_finset_iff_exists_sum]
    obtain ⟨μ, hμ⟩ :=
      (mem_iSup_finset_iff_exists_sum _ _).mp
        ((Ideal.eq_top_iff_one _).mp <| (Ideal.iSup_iInf_eq_top_iff_pairwise h _).mpr hp)
    refine ⟨fun i => ⟨(μ i : R) • x, ?_⟩, ?_⟩
    · rw [mem_torsionBySet_iff] at hx ⊢
      rintro ⟨a, ha⟩
      rw [smul_smul]
      suffices a * μ i ∈ ⨅ i ∈ S, p i from hx ⟨_, this⟩
      rw [mem_iInf]
      intro j
      rw [mem_iInf]
      intro hj
      by_cases ij : j = i
      · rw [ij]
        exact Ideal.mul_mem_right _ _ ha
      · have := coe_mem (μ i)
        simp only [mem_iInf] at this
        exact Ideal.mul_mem_left _ _ (this j hj ij)
    · rw [← Finset.sum_smul, hμ, one_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Module.Basic

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
⊢ 0 = Polynomial.map (algebraMap R R') p • 0

Tactic:
smul_zero

Goal state after:
case zero
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Module.Basic

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : R[X]
r : R
⊢ 0 = Polynomial.eval r p • 0

Tactic:
smul_zero

Goal state after:
case zero
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : R[X]
r : R
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : S
x : M
a : S
h : a • x = 0
⊢ s • 0 = 0

Tactic:
smul_zero

Goal state after:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : S
x : M
a : S
h : a • x = 0
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M
hM : IsTorsion R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
n : ↑↑S
this : DecidableEq M := Classical.decEq M
⊢ (∏ x ∈ S.erase ↑n, ↑⋯.choose) • 0 = 0

Tactic:
smul_zero

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M
hM : IsTorsion R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
n : ↑↑S
this : DecidableEq M := Classical.decEq M
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
x : M
x✝² : x ∈ ↑(torsion R M)
a : ↥R⁰
hax : a • x = 0
x✝¹ : M
x✝ : ∃ a, a • x = x✝¹
b : R
hb : b • x = x✝¹
⊢ b • 0 = 0

Tactic:
smul_zero

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
x : M
x✝² : x ∈ ↑(torsion R M)
a : ↥R⁰
hax : a • x = 0
x✝¹ : M
x✝ : ∃ a, a • x = x✝¹
b : R
hb : b • x = x✝¹
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i ↦ pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
this : pOrder hM (s i) ≤ pOrder hM (s (oj.get hoj))
⊢ p ^ (pOrder hM (s (oj.get hoj)) - pOrder hM (s i)) • 0 = 0

Tactic:
smul_zero

Goal state after:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i ↦ pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
this : pOrder hM (s i) ≤ pOrder hM (s (oj.get hoj))
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type w
inst✝ : CommRing R
a b : R
ha : a ∈ R⁰
x c : R
h : c • (mk (R ∙ a * b)) b = (mk (R ∙ a * b)) x
⊢ c • 0 = 0

Tactic:
smul_zero

Goal state after:
case mpr
R : Type w
inst✝ : CommRing R
a b : R
ha : a ∈ R⁰
x c : R
h : c • (mk (R ∙ a * b)) b = (mk (R ∙ a * b)) x
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Filtration

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
i : ℕ
m : M
hm : m ∈ ↑(F.N i)
j : ℕ
⊢ (single R i m).coeff j ∈ F.N j

Tactic:
coeff_single,

Goal state after:
case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
i : ℕ
m : M
hm : m ∈ ↑(F.N i)
j : ℕ
⊢ (Finsupp.single i m) j ∈ F.N j
Module: Mathlib.RingTheory.Filtration

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
⊢ Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, single R i '' ↑(F.N i)) = F.submodule

Tactic:
rw [← Submodule.span_closure, submodule_closure_single, Submodule.coe_toAddSubmonoid]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F : I.Filtration M
⊢ Submodule.span ↥(reesAlgebra I) ↑F.submodule = F.submodule
Module: Mathlib.CategoryTheory.Shift.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ (h.add 0 n).hom.app X ≫ (h.add 0 n).inv.app X = (h.add 0 n).hom.app X ≫ (h.F n).map (h.zero.hom.app X) ≫ eqToHom ⋯

Tactic:
Iso.hom_inv_id_app,

Goal state after:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ 𝟙 ((h.F (0 + n)).obj X) = (h.add 0 n).hom.app X ≫ (h.F n).map (h.zero.hom.app X) ≫ eqToHom ⋯
Module: Mathlib.CategoryTheory.Shift.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ (h.add n 0).hom.app X ≫ (h.add n 0).inv.app X = (h.add n 0).hom.app X ≫ h.zero.hom.app ((h.F n).obj X) ≫ eqToHom ⋯

Tactic:
Iso.hom_inv_id_app,

Goal state after:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C
⊢ 𝟙 ((h.F (n + 0)).obj X) = (h.add n 0).hom.app X ≫ h.zero.hom.app ((h.F n).obj X) ≫ eqToHom ⋯
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologicalComplex

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroObject V
⊢ IsZero zero

Tactic:
refine ⟨fun X => ⟨⟨⟨0⟩, fun f => ?_⟩⟩, fun X => ⟨⟨⟨0⟩, fun f => ?_⟩⟩⟩
  all_goals
    ext
    dsimp only [zero]
    subsingleton

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologicalComplex

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j
⊢ C.xPrev j = C.X i

Tactic:
rw [← c.prev_eq' r]

Goal state after: