mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.OfCompactT2

Goal state before:
pp: case refine_1
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
F : Filter (γ × γ) := 𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s
V : Set (γ × γ)
V_in : V ∈ 𝓝Δ
H : ¬F ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
this : (F ⊓ 𝓟 Vᶜ).NeBot
x y : γ
hxy : ClusterPt (x, y) (F ⊓ 𝓟 Vᶜ)
clV : ClusterPt (x, y) (𝓟 Vᶜ)
ninsep_xy : ¬Inseparable x y
U₁ V₁ : Set γ
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 x
U₂ V₂ : Set γ
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 y
V₁_cl : IsClosed[inst✝²] V₁
V₂_cl : IsClosed[inst✝²] V₂
U₁_op : IsOpen[inst✝²] U₁
U₂_op : IsOpen[inst✝²] U₂
VU₁ : V₁ ⊆ U₁
VU₂ : V₂ ⊆ U₂
hU₁₂ : Disjoint U₁ U₂
U₃ : Set γ := (V₁ ∪ V₂)ᶜ
U₃_op : IsOpen[inst✝²] U₃
W : Set (γ × γ) := U₁ ×ˢ U₁ ∪ U₂ ×ˢ U₂ ∪ U₃ ×ˢ U₃
z z' : γ
hzz' : (z, z') ∈ diagonal γ
⊢ IsOpen[instTopologicalSpaceProd] W

pp: case refine_2
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
F : Filter (γ × γ) := 𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s
V : Set (γ × γ)
V_in : V ∈ 𝓝Δ
H : ¬F ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
this : (F ⊓ 𝓟 Vᶜ).NeBot
x y : γ
hxy : ClusterPt (x, y) (F ⊓ 𝓟 Vᶜ)
clV : ClusterPt (x, y) (𝓟 Vᶜ)
ninsep_xy : ¬Inseparable x y
U₁ V₁ : Set γ
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 x
U₂ V₂ : Set γ
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 y
V₁_cl : IsClosed[inst✝²] V₁
V₂_cl : IsClosed[inst✝²] V₂
U₁_op : IsOpen[inst✝²] U₁
U₂_op : IsOpen[inst✝²] U₂
VU₁ : V₁ ⊆ U₁
VU₂ : V₂ ⊆ U₂
hU₁₂ : Disjoint U₁ U₂
U₃ : Set γ := (V₁ ∪ V₂)ᶜ
U₃_op : IsOpen[inst✝²] U₃
W : Set (γ × γ) := U₁ ×ˢ U₁ ∪ U₂ ×ˢ U₂ ∪ U₃ ×ˢ U₃
z z' : γ
hzz' : (z, z') ∈ diagonal γ
⊢ (z, z') ∈ W

Tactic:
· apply_rules [IsOpen.union, IsOpen.prod]

Goal state after:
case refine_2
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
F : Filter (γ × γ) := 𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s
V : Set (γ × γ)
V_in : V ∈ 𝓝Δ
H : ¬F ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
this : (F ⊓ 𝓟 Vᶜ).NeBot
x y : γ
hxy : ClusterPt (x, y) (F ⊓ 𝓟 Vᶜ)
clV : ClusterPt (x, y) (𝓟 Vᶜ)
ninsep_xy : ¬Inseparable x y
U₁ V₁ : Set γ
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 x
U₂ V₂ : Set γ
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 y
V₁_cl : IsClosed[inst✝²] V₁
V₂_cl : IsClosed[inst✝²] V₂
U₁_op : IsOpen[inst✝²] U₁
U₂_op : IsOpen[inst✝²] U₂
VU₁ : V₁ ⊆ U₁
VU₂ : V₂ ⊆ U₂
hU₁₂ : Disjoint U₁ U₂
U₃ : Set γ := (V₁ ∪ V₂)ᶜ
U₃_op : IsOpen[inst✝²] U₃
W : Set (γ × γ) := U₁ ×ˢ U₁ ∪ U₂ ×ˢ U₂ ∪ U₃ ×ˢ U₃
z z' : γ
hzz' : (z, z') ∈ diagonal γ
⊢ (z, z') ∈ W