Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
s✝ : Set F
t : β
b : F
s : Set F
a✝ : b ∉ s
hs : s.Finite
X : Set E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
cX : Convex ℝ X
hsY : insert b s ⊆ Y
ht : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ insert b s, t < f x y
hb : b ∈ Y
X' : Set E := X ∩ (fun x ↦ f x b) ⁻¹' Iic t
hrec : s ⊆ Y → (∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y) → ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X', t < f x y0
X'_ne : X'.Nonempty
hX'X : X' ⊆ X
kX' : IsCompact X'
cX' : Convex ℝ X'
x : E
hx : x ∈ X'
y : F
hy : y ∈ insert b s
h : t < f x y
⊢ ∃ y ∈ s, t < f x y

Tactic:
rcases hy with rfl | hy

Goal state after:
case inl
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
s✝ : Set F
t : β
s : Set F
hs : s.Finite
X : Set E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
cX : Convex ℝ X
x : E
y : F
h : t < f x y
a✝ : y ∉ s
hsY : insert y s ⊆ Y
ht : ∀ x ∈ X, ∃ y_1 ∈ insert y s, t < f x y_1
hb : y ∈ Y
X' : Set E := X ∩ (fun x ↦ f x y) ⁻¹' Iic t
hrec : s ⊆ Y → (∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y) → ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X', t < f x y0
X'_ne : X'.Nonempty
hX'X : X' ⊆ X
kX' : IsCompact X'
cX' : Convex ℝ X'
hx : x ∈ X'
⊢ ∃ y ∈ s, t < f x y

case inr
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
s✝ : Set F
t : β
b : F
s : Set F
a✝ : b ∉ s
hs : s.Finite
X : Set E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
cX : Convex ℝ X
hsY : insert b s ⊆ Y
ht : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ insert b s, t < f x y
hb : b ∈ Y
X' : Set E := X ∩ (fun x ↦ f x b) ⁻¹' Iic t
hrec : s ⊆ Y → (∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y) → ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X', t < f x y0
X'_ne : X'.Nonempty
hX'X : X' ⊆ X
kX' : IsCompact X'
cX' : Convex ℝ X'
x : E
hx : x ∈ X'
y : F
h : t < f x y
hy : y ∈ s
⊢ ∃ y ∈ s, t < f x y