mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
s✝ : Set F
t : β
b : F
s : Set F
a✝ : b ∉ s
hs : s.Finite
X : Set E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
cX : Convex ℝ X
hsY : insert b s ⊆ Y
ht : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ insert b s, t < f x y
hb : b ∈ Y
X' : Set E := X ∩ (fun x ↦ f x b) ⁻¹' Iic t
hrec : s ⊆ Y → (∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y) → ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X', t < f x y0
X'_ne : X'.Nonempty
hX'X : X' ⊆ X
kX' : IsCompact X'
cX' : Convex ℝ X'
⊢ ∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y

Tactic:
intro x

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
s✝ : Set F
t : β
b : F
s : Set F
a✝ : b ∉ s
hs : s.Finite
X : Set E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
cX : Convex ℝ X
hsY : insert b s ⊆ Y
ht : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ insert b s, t < f x y
hb : b ∈ Y
X' : Set E := X ∩ (fun x ↦ f x b) ⁻¹' Iic t
hrec : s ⊆ Y → (∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y) → ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X', t < f x y0
X'_ne : X'.Nonempty
hX'X : X' ⊆ X
kX' : IsCompact X'
cX' : Convex ℝ X'
x : E
⊢ x ∈ X' → ∃ y ∈ s, t < f x y
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
ne_Y : Y.Nonempty
η : E → F
η_mem : ∀ x ∈ X, η x ∈ Y
η_max : ∀ x ∈ X, IsMaxOn (f x) Y (η x)
hlsc : LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x (η x)) X
a : E
ha : a ∈ X
ha' : IsMinOn (fun x ↦ f x (η x)) X a
ξ : F → E
ξ_mem : ∀ y ∈ Y, ξ y ∈ X
ξ_min : ∀ y ∈ Y, IsMinOn (fun x ↦ f x y) X (ξ y)
husc : UpperSemicontinuousOn (fun x ↦ f (ξ x) x) Y
b : F
hb : b ∈ Y
hb' : IsMaxOn (fun y ↦ f (ξ y) y) Y b
⊢ IsSaddlePointOn X Y f a b

Tactic:
intro x

Goal state after:
case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
ne_Y : Y.Nonempty
η : E → F
η_mem : ∀ x ∈ X, η x ∈ Y
η_max : ∀ x ∈ X, IsMaxOn (f x) Y (η x)
hlsc : LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x (η x)) X
a : E
ha : a ∈ X
ha' : IsMinOn (fun x ↦ f x (η x)) X a
ξ : F → E
ξ_mem : ∀ y ∈ Y, ξ y ∈ X
ξ_min : ∀ y ∈ Y, IsMinOn (fun x ↦ f x y) X (ξ y)
husc : UpperSemicontinuousOn (fun x ↦ f (ξ x) x) Y
b : F
hb : b ∈ Y
hb' : IsMaxOn (fun y ↦ f (ξ y) y) Y b
x : E
⊢ x ∈ X → ∀ y ∈ Y, f a y ≤ f x b
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹⁶ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module ℝ E
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹¹ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module ℝ F
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ F
cY : Convex ℝ Y
ne_Y : Y.Nonempty
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : OrderTopology β
γ : Type u_5
inst✝³ : CompleteLinearOrder γ
inst✝² : DenselyOrdered γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
ι : β ↪o γ
hι : Continuous ⇑ι
φ : E → F → γ := ⋯
hφx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ φ x y) Y
hφx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ φ x y
hφy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ φ x y) X
hφy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ φ x y
a : E
ha : a ∈ X
b : F
hb : b ∈ Y
hab : IsSaddlePointOn X Y φ a b
⊢ IsSaddlePointOn X Y f a b

Tactic:
intro x

Goal state after:
case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹⁶ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module ℝ E
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹¹ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module ℝ F
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ F
cY : Convex ℝ Y
ne_Y : Y.Nonempty
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : OrderTopology β
γ : Type u_5
inst✝³ : CompleteLinearOrder γ
inst✝² : DenselyOrdered γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
ι : β ↪o γ
hι : Continuous ⇑ι
φ : E → F → γ := fun x y ↦ ι (f x y)
hφx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ φ x y) Y
hφx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ φ x y
hφy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ φ x y) X
hφy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ φ x y
a : E
ha : a ∈ X
b : F
hb : b ∈ Y
hab : IsSaddlePointOn X Y φ a b
x : E
⊢ x ∈ X → ∀ y ∈ Y, f a y ≤ f x b