mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
this : IsManifold I (0 + 1) M
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (↑k).source
hxi : x ∈ (↑i).source
hxj : x ∈ (↑j).source
v : E
⊢ MapsTo (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (range ↑I)

Tactic:
intro x

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
this : IsManifold I (0 + 1) M
i j k : ↑(atlas H M)
x✝ : M
hxk : x✝ ∈ (↑k).source
hxi : x✝ ∈ (↑i).source
hxj : x✝ ∈ (↑j).source
v x : E
⊢ x ∈ range ↑I → (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) x ∈ range ↑I
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: case left
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : OpenPartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : OpenPartialHomeomorph M' M''
he' : MDifferentiable I' I'' e'
⊢ MDiff[(e ≫ₕ e').source] ↑(e ≫ₕ e')

Tactic:
intro x

Goal state after:
case left
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : OpenPartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : OpenPartialHomeomorph M' M''
he' : MDifferentiable I' I'' e'
x : M
⊢ x ∈ (e ≫ₕ e').source → MDiffAt[(e ≫ₕ e').source] ↑(e ≫ₕ e') x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: case right
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : OpenPartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : OpenPartialHomeomorph M' M''
he' : MDifferentiable I' I'' e'
⊢ MDiff[(e ≫ₕ e').target] ↑(e ≫ₕ e').symm

Tactic:
intro x

Goal state after:
case right
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : OpenPartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : OpenPartialHomeomorph M' M''
he' : MDifferentiable I' I'' e'
x : M''
⊢ x ∈ (e ≫ₕ e').target → MDiffAt[(e ≫ₕ e').target] ↑(e ≫ₕ e').symm x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M × M' → M''
p : M × M'
hf : MDiffAt f p
this : (fun z ↦ f (p.1, z.2)) = (fun z ↦ f (p.1, z)) ∘ Prod.snd
⊢ (mfderiv% fun z ↦ f (p.1, z)) p.2 ∘SL mfderiv% Prod.snd p =
    (mfderiv% fun z ↦ f (p.1, z)) p.2 ∘SL id (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 E E')

Tactic:
simp only [mfderiv_snd]

Goal state after:
case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M × M' → M''
p : M × M'
hf : MDiffAt f p
this : (fun z ↦ f (p.1, z.2)) = (fun z ↦ f (p.1, z)) ∘ Prod.snd
⊢ (mfderiv% fun z ↦ f (p.1, z)) p.2 ∘SL ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.1) (TangentSpace I' p.2) =
    (mfderiv% fun z ↦ f (p.1, z)) p.2 ∘SL id (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 E E')
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.UniqueDifferential

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffAt[s] x
f : M → M'
f' : E →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivAt[s] f x f'
hd : DenseRange ⇑f'
this : UniqueMDiffAt[s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source] x
⊢ writtenInExtChartAt I I' x f '' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range ↑I) ⊆
    ↑(extChartAt I' (f x)).symm ⁻¹' f '' s ∩ range ↑I'

Tactic:
rintro _ ⟨y, ⟨⟨hys, hfy⟩, -⟩, rfl⟩
    exact ⟨⟨_, hys, ((extChartAt I' (f x)).left_inv hfy).symm⟩, mem_range_self _⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.UniqueDifferential

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffAt[s] x
e : OpenPartialHomeomorph M M'
he : OpenPartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
hx : x ∈ e.source
⊢ UniqueMDiffAt[e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s] (↑e x)

Tactic:
← e.image_source_inter_eq',

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffAt[s] x
e : OpenPartialHomeomorph M M'
he : OpenPartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
hx : x ∈ e.source
⊢ UniqueMDiffAt[↑e '' (e.source ∩ s)] (↑e x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y ∘SL mfderiv% ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I (↑(extChartAt I x).symm y))

Tactic:
by
  have h'y : (extChartAt I x).symm y ∈ (extChartAt I x).source := (extChartAt I x).map_target hy
  have h''y : (extChartAt I x).symm y ∈ (chartAt H x).source := by
    rwa [← extChartAt_source (I := I)]
  have U' : UniqueMDiffAt[(extChartAt I x).source] ((extChartAt I x).symm y) :=
    (isOpen_extChartAt_source x).uniqueMDiffWithinAt h'y
  have : mfderiv% (extChartAt I x) ((extChartAt I x).symm y)
      = mfderiv[(extChartAt I x).source] (extChartAt I x) ((extChartAt I x).symm y) := by
    rw [mfderivWithin_eq_mfderiv U']
    exact mdifferentiableAt_extChartAt h''y
  rw [this, ← mfderivWithin_comp_of_eq]; rotate_left
  · exact mdifferentiableWithinAt_extChartAt_symm hy
  · exact (mdifferentiableAt_extChartAt h''y).mdifferentiableWithinAt
  · intro z hz
    apply extChartAt_target_subset_range x
    exact PartialEquiv.map_source (extChartAt I x) hz
  · exact U'
  · exact PartialEquiv.right_inv (extChartAt I x) hy
  rw [← mfderivWithin_id U']
  apply Filter.EventuallyEq.mfderivWithin_eq
  · filter_upwards [extChartAt_source_mem_nhdsWithin' h'y] with z hz
    simp only [Function.comp_def, PartialEquiv.left_inv (extChartAt I x) hz, id_eq]
  · simp only [Function.comp_def, PartialEquiv.right_inv (extChartAt I x) hy, id_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝¹ : NormedField F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivAt[s] p z p'
hq : HasMFDerivAt[s] q z q'
hq_ne : q z ≠ 0
⊢ HasMFDerivAt[s] (p / q) z ((1 / q z) • p' - (p z / q z ^ 2) • q')

Tactic:
by
  convert! hp.mul (hq.inv hq_ne) using 1
  · simp [div_eq_mul_inv]
  · ext
    simp [div_eq_mul_inv]
    ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Compactness.Paracompact

Goal state before:
pp: case refine_3
X : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
ι : X → Type u
p : (x : X) → ι x → Prop
B : (x : X) → ι x → Set X
s : Set X
hs : IsClosed[inst✝³] s
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (p x) (B x)
K' : CompactExhaustion X := CompactExhaustion.choice X
K : CompactExhaustion X := K'.shiftr.shiftr
Kdiff : ℕ → Set X := fun n ↦ K (n + 1) \ interior (K n)
hKcov : ∀ (x : X), x ∈ Kdiff (K'.find x + 1)
Kdiffc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (Kdiff n ∩ s)
this : ∀ (n : ℕ) (x : ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s)), (K n)ᶜ ∈ 𝓝 ↑x
r : (n : ℕ) → (x : ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s)) → ι ↑x
hrp : ∀ (n : ℕ) (x : ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s)), p (↑x) (r n x)
hr : ∀ (n : ℕ) (x : ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s)), B (↑x) (r n x) ⊆ (K n)ᶜ
hxr : ∀ (n : ℕ) (x : X) (hx : x ∈ Kdiff (n + 1) ∩ s), B x (r n ⟨x, hx⟩) ∈ 𝓝 x
T : (n : ℕ) → Finset ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s)
hT : ∀ (n : ℕ), Kdiff (n + 1) ∩ s ⊆ ⋃ x ∈ T n, B (↑x) (r n ⟨↑x, ⋯⟩)
T' : (n : ℕ) → Set ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s) := fun n ↦ ↑(T n)
⊢ LocallyFinite fun a ↦ B ((fun a ↦ ↑↑a.snd) a) ((fun a ↦ r a.fst ↑a.snd) a)

Tactic:
intro x

Goal state after:
case refine_3
X : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
ι : X → Type u
p : (x : X) → ι x → Prop
B : (x : X) → ι x → Set X
s : Set X
hs : IsClosed[inst✝³] s
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (p x) (B x)
K' : CompactExhaustion X := CompactExhaustion.choice X
K : CompactExhaustion X := K'.shiftr.shiftr
Kdiff : ℕ → Set X := fun n ↦ K (n + 1) \ interior (K n)
hKcov : ∀ (x : X), x ∈ Kdiff (K'.find x + 1)
Kdiffc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (Kdiff n ∩ s)
this : ∀ (n : ℕ) (x : ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s)), (K n)ᶜ ∈ 𝓝 ↑x
r : (n : ℕ) → (x : ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s)) → ι ↑x
hrp : ∀ (n : ℕ) (x : ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s)), p (↑x) (r n x)
hr : ∀ (n : ℕ) (x : ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s)), B (↑x) (r n x) ⊆ (K n)ᶜ
hxr : ∀ (n : ℕ) (x : X) (hx : x ∈ Kdiff (n + 1) ∩ s), B x (r n ⟨x, hx⟩) ∈ 𝓝 x
T : (n : ℕ) → Finset ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s)
hT : ∀ (n : ℕ), Kdiff (n + 1) ∩ s ⊆ ⋃ x ∈ T n, B (↑x) (r n ⟨↑x, ⋯⟩)
T' : (n : ℕ) → Set ↑(Kdiff (n + 1) ∩ s) := fun n ↦ ↑(T n)
x : X
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, {i | ((fun a ↦ B ((fun a ↦ ↑↑a.snd) a) ((fun a ↦ r a.fst ↑a.snd) a)) i ∩ t).Nonempty}.Finite
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
⊢ ∀ x ∈ s, (∀ (i_1 : ι), i_1 ≠ i → x ∈ (v.toFun i_1)ᶜ) → x ∈ v.toFun i

Tactic:
intro x

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
x : X
⊢ x ∈ s → (∀ (i_1 : ι), i_1 ≠ i → x ∈ (v.toFun i_1)ᶜ) → x ∈ v.toFun i
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s t : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := ⋯
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) u x₀
ht : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, t x⟩).2) u x₀
⊢ ∀ x ∈ e.baseSet, (fun x ↦ (↑e ⟨x, (s + t) x⟩).2) x = ((fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) + fun x ↦ (↑e ⟨x, t x⟩).2) x

Tactic:
intro x

Goal state after:
case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s t : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) u x₀
ht : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, t x⟩).2) u x₀
x : M
⊢ x ∈ e.baseSet → (fun x ↦ (↑e ⟨x, (s + t) x⟩).2) x = ((fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) + fun x ↦ (↑e ⟨x, t x⟩).2) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := ⋯
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) u x₀
⊢ ∀ x ∈ e.baseSet, (fun x ↦ (↑e ⟨x, (-s) x⟩).2) x = (fun x ↦ -(↑e ⟨x, s x⟩).2) x

Tactic:
intro x

Goal state after:
case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) u x₀
x : M
⊢ x ∈ e.baseSet → (fun x ↦ (↑e ⟨x, (-s) x⟩).2) x = (fun x ↦ -(↑e ⟨x, s x⟩).2) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
f : M → 𝕜
s : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) n f u x₀
e : Trivialization F TotalSpace.proj := ⋯
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) u x₀
⊢ ∀ x ∈ e.baseSet, (fun x ↦ (↑e ⟨x, (f • s) x⟩).2) x = (f • fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) x

Tactic:
intro x

Goal state after:
case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
f : M → 𝕜
s : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) n f u x₀
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) u x₀
x : M
⊢ x ∈ e.baseSet → (fun x ↦ (↑e ⟨x, (f • s) x⟩).2) x = (f • fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) x
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
⊢ si ⊆ v.toFun i

Tactic:
intro x

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
x : X
⊢ x ∈ si → x ∈ v.toFun i
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
y : M
hy : y ∈ Set.univ
U : Set M
hu : U ∈ nhds y
hfin : {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ U).Nonempty}.Finite
⊢ {x | t x y ≠ 0} ⊆ {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ U).Nonempty}

Tactic:
intro x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
y : M
hy : y ∈ Set.univ
U : Set M
hu : U ∈ nhds y
hfin : {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ U).Nonempty}.Finite
x : ι
⊢ x ∈ {x | t x y ≠ 0} → x ∈ {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ U).Nonempty}