mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Order

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
hA : 0 ≤ A
i : n
hx : ⋯.eigenvalues i ∈ spectrum ℝ A
⊢ 0 ≤ ⋯.eigenvalues i

Tactic:
exact hA.posSemidef.eigenvalues_nonneg _

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Order

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : Fintype n
x : n → 𝕜
B : Matrix n n 𝕜
hA : (star B * B).PosSemidef
h : star (B *ᵥ x) ⬝ᵥ B *ᵥ x = 0
⊢ Bᴴ *ᵥ B *ᵥ x = 0

Tactic:
dotProduct_star_self_eq_zero

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : Fintype n
x : n → 𝕜
B : Matrix n n 𝕜
hA : (star B * B).PosSemidef
h : B *ᵥ x = 0
⊢ Bᴴ *ᵥ B *ᵥ x = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.ContinuousFunctions

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
⊢ ∀ (x : α),
    ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x →
      ‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖₊ ≤ ‖f‖₊

Tactic:
intro x

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
x : α
⊢ ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x →
    ‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖₊ ≤ ‖f‖₊
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L2Space

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f g : ↥(Lp E 2 μ)
⊢ ∀ (x : α), ‖⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫‖ ≤ ‖‖↑↑f x‖ ^ 2 + ‖↑↑g x‖ ^ 2‖

Tactic:
intro x

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f g : ↥(Lp E 2 μ)
x : α
⊢ ‖⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫‖ ≤ ‖‖↑↑f x‖ ^ 2 + ‖↑↑g x‖ ^ 2‖
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.SmoothApprox

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
H : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f : M → F
ε : M → ℝ
n : ℕ∞
f_cont : Continuous[inst✝⁴, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] f
ε_cont : Continuous[inst✝⁴, _] ε
ε_pos : ∀ (x : M), 0 < ε x
S U : Set M
hS : IsClosed[inst✝⁴] S
hU : U ∈ 𝓝ˢ S
hfU : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) (↑n) f U
dist_f_f : ∀ (x : M), dist (f x) (f x) < ε x
t : M → Set F := ⋯
t_conv : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)
⊢ ∀ (x : M), ∃ U ∈ 𝓝 x, ∃ g, ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) (↑n) g U ∧ ∀ y ∈ U, g y ∈ t y

Tactic:
intro x

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
H : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f : M → F
ε : M → ℝ
n : ℕ∞
f_cont : Continuous[inst✝⁴, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] f
ε_cont : Continuous[inst✝⁴, _] ε
ε_pos : ∀ (x : M), 0 < ε x
S U : Set M
hS : IsClosed[inst✝⁴] S
hU : U ∈ 𝓝ˢ S
hfU : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) (↑n) f U
dist_f_f : ∀ (x : M), dist (f x) (f x) < ε x
t : M → Set F := fun x ↦ {y | dist y (f x) < ε x ∧ (x ∈ S → y = f x) ∧ (f x = 0 → y = 0)}
t_conv : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)
x : M
⊢ ∃ U ∈ 𝓝 x, ∃ g, ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) (↑n) g U ∧ ∀ y ∈ U, g y ∈ t y
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
⊢ ∀ x ∉ ↑K, (B (f x)) (φ x) = 0

Tactic:
intro x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
x : E
⊢ x ∉ ↑K → (B (f x)) (φ x) = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst✝⁶] s
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ∞
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst✝⁶] V
h'V : μ V < ∞
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ∞
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
⊢ ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖

Tactic:
intro x

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst✝⁶] s
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ∞
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst✝⁶] V
h'V : μ V < ∞
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ∞
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
x : α
⊢ ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst✝⁶] s
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ∞
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst✝⁶] V
h'V : μ V < ∞
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ∞
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖
⊢ ∀ (x : α), ‖g x • c - s.indicator (fun _x ↦ c) x‖ ≤ ‖(v \ s).indicator (fun _x ↦ c) x‖

Tactic:
intro x

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst✝⁶] s
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ∞
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst✝⁶] V
h'V : μ V < ∞
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ∞
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖
x : α
⊢ ‖g x • c - s.indicator (fun _x ↦ c) x‖ ≤ ‖(v \ s).indicator (fun _x ↦ c) x‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.SmoothApprox

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
p : ℝ≥0∞
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : Continuous f
hp : p ≠ ∞
hf : ¬f =ᵐ[μ] 0
hs₁ : μ (tsupport f) ≠ ∞
hs₂ : 0 < (μ (tsupport f)).toReal
ε' : ℝ := ε * (μ (tsupport f)).toReal ^ (-(1 / p.toReal))
ε'_def : ε' = ε * (μ (tsupport f)).toReal ^ (-(1 / p.toReal))
hε' : 0 < ε'
hε₂ : ENNReal.ofReal ε' * μ (tsupport f) ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal ε
g : E → F
hg₁ : ContDiff ℝ ∞ g
hg₂ : ∀ (x : E), dist (g x) (f x) < ε'
hg₃ : Function.support g ⊆ Function.support f
⊢ ∀ (x : E), dist (f x) (g x) ≤ ε'

Tactic:
intro x

Goal state after:
case neg
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
p : ℝ≥0∞
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : Continuous f
hp : p ≠ ∞
hf : ¬f =ᵐ[μ] 0
hs₁ : μ (tsupport f) ≠ ∞
hs₂ : 0 < (μ (tsupport f)).toReal
ε' : ℝ := ε * (μ (tsupport f)).toReal ^ (-(1 / p.toReal))
ε'_def : ε' = ε * (μ (tsupport f)).toReal ^ (-(1 / p.toReal))
hε' : 0 < ε'
hε₂ : ENNReal.ofReal ε' * μ (tsupport f) ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal ε
g : E → F
hg₁ : ContDiff ℝ ∞ g
hg₂ : ∀ (x : E), dist (g x) (f x) < ε'
hg₃ : Function.support g ⊆ Function.support f
x : E
⊢ dist (f x) (g x) ≤ ε'
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
b : UnconditionalSchauderBasis β 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
⊢ ∀ (x : X), ∃ C, ∀ (i : Finset β), ‖(GeneralSchauderBasis.proj b i) x‖ ≤ C

Tactic:
intro x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
b : UnconditionalSchauderBasis β 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
⊢ ∃ C, ∀ (i : Finset β), ‖(GeneralSchauderBasis.proj b i) x‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
b : SchauderBasis 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
⊢ ∀ (x : X), ∃ C, ∀ (i : ℕ), ‖(b.proj i) x‖ ≤ C

Tactic:
intro x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
b : SchauderBasis 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
⊢ ∃ C, ∀ (i : ℕ), ‖(b.proj i) x‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := ⋯
V : Submodule 𝕜 X := ⋯
W : Submodule 𝕜 X := ⋯
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
⊢ U ⊔ V ≤ W

Tactic:
exact sup_le hUW hV

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
n : ℕ
x : X
⊢ ‖coeff n x • D.e n‖ = ‖(succSub D.P n) x‖

Tactic:
rw [hcoeff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
⊢ ↑(Submonoid.closure (range fourier)) ⊆ range fourier

Tactic:
intro x

Goal state after:
T : ℝ
x : C(AddCircle T, ℂ)
⊢ x ∈ ↑(Submonoid.closure (range fourier)) → x ∈ range fourier
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ fourierSubalgebra.SeparatesPoints

Tactic:
intro x

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
⊢ ∀ ⦃y : AddCircle T⦄, x ≠ y → ∃ f ∈ (fun f ↦ ⇑f) '' ↑fourierSubalgebra.toSubalgebra, f x ≠ f y
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : AddCircle T → E
n : ℤ
a : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), (fourier (-n)) ↑x • f ↑x = (fun z ↦ (fourier (-n)) z • f z) ↑x

Tactic:
intro x

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : AddCircle T → E
n : ℤ
a x : ℝ
⊢ (fourier (-n)) ↑x • f ↑x = (fun z ↦ (fourier (-n)) z • f z) ↑x
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b₁ b₂ : E ≃ₗᵢ[𝕜] ↥(lp (fun x ↦ 𝕜) 2)
h : (fun b i ↦ b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) { repr := b₁ } = (fun b i ↦ b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) { repr := b₂ }
⊢ ↑b₁.symm = ↑b₂.symm

Tactic:
apply ContinuousLinearEquiv.coe_injective

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b₁ b₂ : E ≃ₗᵢ[𝕜] ↥(lp (fun x ↦ 𝕜) 2)
h : (fun b i ↦ b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) { repr := b₁ } = (fun b i ↦ b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) { repr := b₂ }
⊢ ↑↑b₁.symm = ↑↑b₂.symm
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case e_a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x

Tactic:
simp_rw [intervalIntegral.integral_of_le hab.le]

Goal state after:
case e_a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x ∂volume =
    ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • f x ∂volume
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
C : ℝ
hC : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f.toFun x‖ ≤ C
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ C

Tactic:
exact ⟨max C 1, by positivity, fun x => (hC x).trans (le_max_left _ _)⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜' F
c : 𝕜
f : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
⊢ ∀ (x : E),
    ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (c • ⇑f) x‖ ≤ @SchwartzMap.seminormAux E F inst✝⁹ inst✝⁸ inst✝⁷ inst✝⁶ k n f * ‖c‖

Tactic:
intro x

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜' F
c : 𝕜
f : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (c • ⇑f) x‖ ≤ @SchwartzMap.seminormAux E F inst✝⁹ inst✝⁸ inst✝⁷ inst✝⁶ k n f * ‖c‖
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
⊢ ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (-⇑f) x‖ ≤ @SchwartzMap.seminormAux E F inst✝³ inst✝² inst✝¹ inst✝ k n f

Tactic:
intro x

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (-⇑f) x‖ ≤ @SchwartzMap.seminormAux E F inst✝³ inst✝² inst✝¹ inst✝ k n f
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
⊢ ∀ (x : E),
    ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f + ⇑g) x‖ ≤
      @SchwartzMap.seminormAux E F inst✝³ inst✝² inst✝¹ inst✝ k n f +
        @SchwartzMap.seminormAux E F inst✝³ inst✝² inst✝¹ inst✝ k n g

Tactic:
intro x

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f + ⇑g) x‖ ≤
    @SchwartzMap.seminormAux E F inst✝³ inst✝² inst✝¹ inst✝ k n f +
      @SchwartzMap.seminormAux E F inst✝³ inst✝² inst✝¹ inst✝ k n g
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁶] u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := ⋯
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst✝⁶] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ ∀ x ∈ v ∩ s, t' ^ n ≤ c x ^ n

Tactic:
intro x

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁶] u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst✝⁶] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x✝ : α
hx : x✝ ∈ s \ u
x : α
⊢ x ∈ v ∩ s → t' ^ n ≤ c x ^ n
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
n : ℕ
h : Integrable (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n)) μ
m : ℕ × ℕ := (n, 0)
f : 𝓢(D, V)
⊢ ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n) * (2 ^ n * ((Finset.Iic m).sup fun m' ↦ SchwartzMap.seminorm 𝕜 m'.1 m'.2) f)

Tactic:
intro x

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
n : ℕ
h : Integrable (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n)) μ
m : ℕ × ℕ := (n, 0)
f : 𝓢(D, V)
x : D
⊢ ‖f x‖ ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n) * (2 ^ n * ((Finset.Iic m).sup fun m' ↦ SchwartzMap.seminorm 𝕜 m'.1 m'.2) f)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
⊢ 𝓢(D, V) →L[𝕜] V

Tactic:
refine mkCLMtoNormedSpace (∫ x, · x ∂μ)
    (fun f g ↦ integral_add f.integrable g.integrable) (integral_smul · ·) ?_
  rcases hμ.exists_integrable with ⟨n, h⟩
  let m := (n, 0)
  use Finset.Iic m, 2 ^ n * ∫ x : D, (1 + ‖x‖) ^ (- (n : ℝ)) ∂μ
  refine ⟨by positivity, fun f ↦ (norm_integral_le_integral_norm f).trans ?_⟩
  have h' : ∀ x, ‖f x‖ ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-(n : ℝ)) *
      (2 ^ n * ((Finset.Iic m).sup (fun m' => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m'.1 m'.2) f)) := by
    intro x
    rw [rpow_neg (by positivity), ← div_eq_inv_mul, le_div_iff₀' (by positivity), rpow_natCast]
    simpa using one_add_le_sup_seminorm_apply (m := m) (k := n) (n := 0) le_rfl le_rfl f x
  apply (integral_mono (by simpa using f.integrable_pow_mul μ 0) _ h').trans
  · unfold schwartzSeminormFamily
    rw [integral_mul_const, ← mul_assoc, mul_comm (2 ^ n)]
  apply h.mul_const

Goal state after: