mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝¹ : Nontrivial Γ₀
inst✝ : NoZeroDivisors Γ₀
h : v.supp = ⊤
⊢ 1 ∈ ⊤

Tactic:
exact Submodule.mem_top

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
x y : M
hx : ∀ n ∈ P.rootSpan R, (P.RootForm n) x = 0
⊢ y ∈ ⊤

Tactic:
exact Submodule.mem_top

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (range fun n ↦ (⇑(Module.reflection ⋯ ≪≫ₗ Module.reflection ⋯))^[n] (P.root j)) ⊆ range ⇑P.root

Tactic:
range_subset_iff

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ ∀ (y : ℕ), (⇑(Module.reflection ⋯ ≪≫ₗ Module.reflection ⋯))^[y] (P.root j) ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
this : IsAddTorsionFree M
h : ¬LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
h₁ : P.pairing j i • P.root i = 2 • P.root j
h₂ : P.pairing i j • P.root j = 2 • P.root i
⊢ P.coxeterWeight i j • P.root i = 4 • P.root i

Tactic:
calc P.coxeterWeight i j • P.root i
      = (P.pairing i j * P.pairing j i) • P.root i := by rfl
    _ = P.pairing i j • (2 : R) • P.root j := by rw [mul_smul, h₁]
    _ = (4 : R) • P.root i := by rw [smul_comm, h₂, ← mul_smul]; norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Union

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
h₁ : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
hs : s.Nonempty
h₂ : ↑s.card + 1 < ENat.card K
hj' : ↑(p j) ∪ ⋃ i ∈ s, ↑(p i) = univ
x : M
hx : x ∈ p j
hx₀ : x ≠ 0
y : M
hy : y ∉ p j
hy₀ : y ≠ 0
sxy : Set M := {x_1 | ∃ t, ∃ (_ : t ≠ 0), x + t • y = x_1}
hsxy : sxy ⊆ ⋃ i ∈ s, ↑(p i)
⊢ ∃ k ∈ s, ∃ z₁ ∈ sxy, ∃ z₂ ∈ sxy, z₁ ≠ z₂ ∧ z₁ ∈ p k ∧ z₂ ∈ p k

Tactic:
choose f hf using fun z : sxy ↦ mem_iUnion.mp (hsxy z.property)

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
h₁ : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
hs : s.Nonempty
h₂ : ↑s.card + 1 < ENat.card K
hj' : ↑(p j) ∪ ⋃ i ∈ s, ↑(p i) = univ
x : M
hx : x ∈ p j
hx₀ : x ≠ 0
y : M
hy : y ∉ p j
hy₀ : y ≠ 0
sxy : Set M := {x_1 | ∃ t, ∃ (_ : t ≠ 0), x + t • y = x_1}
hsxy : sxy ⊆ ⋃ i ∈ s, ↑(p i)
f : ↑sxy → ι
hf : ∀ (z : ↑sxy), ↑z ∈ ⋃ (_ : f z ∈ s), ↑(p (f z))
⊢ ∃ k ∈ s, ∃ z₁ ∈ sxy, ∃ z₂ ∈ sxy, z₁ ≠ z₂ ∧ z₁ ∈ p k ∧ z₂ ∈ p k
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β

Tactic:
← not_lt,

Goal state after:
case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
⊢ ¬chainLength α β < chainTopCoeff (⇑α) β
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case neg.a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainBotCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β - chainTopCoeff (⇑α) β

Tactic:
← not_lt,

Goal state after:
case neg.a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
⊢ ¬chainLength α β - chainTopCoeff (⇑α) β < chainBotCoeff (⇑α) β
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ associated (Q₁.prod Q₂) =
    LinearMap.compl₁₂ (associated Q₁) (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) +
      LinearMap.compl₁₂ (associated Q₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)

Tactic:
dsimp [associated, associatedHom]

Goal state after:
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ ⅟2 • (Q₁.prod Q₂).polarBilin =
    LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • Q₁.polarBilin) (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) +
      LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • Q₂.polarBilin) (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Dual

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
x : M × M
⊢ ⅟2 (2 * Q x.1) - ⅟2 (2 * Q x.2) = Q x.1 - Q x.2

Tactic:
rw [← map_sub (⅟2 : Module.End R R), ← mul_sub, ← Module.End.smul_def]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
x : M × M
⊢ ⅟2 • (2 * (Q x.1 - Q x.2)) = Q x.1 - Q x.2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Invertible 2
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ associated (pi Q) = ∑ i, LinearMap.compl₁₂ (associated (Q i)) (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)

Tactic:
dsimp [associated, associatedHom]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Invertible 2
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ ⅟2 • (pi Q).polarBilin = ∑ i, LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • (Q i).polarBilin) (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: case one
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ pred' 1 ⋯

Tactic:
exact one

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case inr.inr.refine_1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : chainLength α β = 2 * n + 1
H : k * 2 / 2 = ↑(↑(2 * n + 1) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) / 2
hk : k = ↑n + 2⁻¹ - ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
⊢ ↑n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) + ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)

Tactic:
rw [← Nat.cast_add, chainBotCoeff_add_chainTopCoeff, hn]

Goal state after:
case inr.inr.refine_1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : chainLength α β = 2 * n + 1
H : k * 2 / 2 = ↑(↑(2 * n + 1) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) / 2
hk : k = ↑n + 2⁻¹ - ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
⊢ ↑n ≤ ↑(2 * n + 1)
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Submodule

Goal state before:
pp: case e'_1
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
q : Submodule k[G] ρ.asModule
g : G
v : V
hv : ↑ρ.asModuleEquiv.symm v ∈ Submodule.restrictScalars k q
⊢ ↑ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) v) = (MonoidAlgebra.of k G) g • ↑ρ.asModuleEquiv.symm v

Tactic:
LinearEquiv.coe_coe,

Goal state after:
case e'_1
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
q : Submodule k[G] ρ.asModule
g : G
v : V
hv : ↑ρ.asModuleEquiv.symm v ∈ Submodule.restrictScalars k q
⊢ ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) v) = (MonoidAlgebra.of k G) g • ρ.asModuleEquiv.symm v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: case weightMap
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
f g : P.End
hfg : MulOpposite.op f.coweightMap = MulOpposite.op g.coweightMap
x : M
⊢ f.weightMap x = g.weightMap x

Tactic:
MulOpposite.op_inj

Goal state after:
case weightMap
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
f g : P.End
hfg : f.coweightMap = g.coweightMap
x : M
⊢ f.weightMap x = g.weightMap x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NeZero 2
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝ : P.IsRootSystem
q : ↥P.invtRootSubmodule
h : ∀ (i : ι), P.root i ∉ ↑q
⊢ q = ⊥

Tactic:
Subtype.mk_eq_bot_iff (invtRootSubmodule.bot_mem P),

Goal state after:
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NeZero 2
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝ : P.IsRootSystem
q : ↥P.invtRootSubmodule
h : ∀ (i : ι), P.root i ∉ ↑q
⊢ ↑q = ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: case indexEquiv
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
f g : P.End
hfg : MulOpposite.op f.coweightMap = MulOpposite.op g.coweightMap
x : ι
⊢ f.indexEquiv x = g.indexEquiv x

Tactic:
MulOpposite.op_inj

Goal state after:
case indexEquiv
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
f g : P.End
hfg : f.coweightMap = g.coweightMap
x : ι
⊢ f.indexEquiv x = g.indexEquiv x
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : DistribMulAction G A
inst✝ : SMulCommClass G k A
⊢ (let __src := (DistribMulAction.toAddMonoidEnd G A) 1;
    { toFun := (↑__src).toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) =
    1

Tactic:
ext; exact one_smul _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₂
inst✝⁶ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module.IsTorsionFree R M₂
inst✝² : Finite ι₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : Q.IsRootSystem
f : M ≃ₗ[R] M₂
e : ι ≃ ι₂
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) = Q.root (e i)
g : N ≃ₗ[R] N₂ := P.flip.toPerfPair ≪≫ₗ (f.symm.dualMap ≪≫ₗ Q.flip.toPerfPair.symm)
this : Q = RootPairing.map e f g
i : ι₂
⊢ (⇑↑(Q.flip.toPerfPair ≪≫ₗ (f.dualMap ≪≫ₗ P.flip.toPerfPair.symm)) ∘ ⇑Q.coroot) i = (⇑P.coroot ∘ ⇑e.symm) i

Tactic:
LinearEquiv.coe_coe,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₂
inst✝⁶ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module.IsTorsionFree R M₂
inst✝² : Finite ι₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : Q.IsRootSystem
f : M ≃ₗ[R] M₂
e : ι ≃ ι₂
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) = Q.root (e i)
g : N ≃ₗ[R] N₂ := P.flip.toPerfPair ≪≫ₗ (f.symm.dualMap ≪≫ₗ Q.flip.toPerfPair.symm)
this : Q = RootPairing.map e f g
i : ι₂
⊢ (⇑(Q.flip.toPerfPair ≪≫ₗ (f.dualMap ≪≫ₗ P.flip.toPerfPair.symm)) ∘ ⇑Q.coroot) i = (⇑P.coroot ∘ ⇑e.symm) i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
s : Set ι
hne : s.Nonempty
h : ∀ (j : ι), P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s) → ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
j : ι
hj : P.root j ∈ span R (⇑P.root '' s)
⊢ span R (⇑P.root '' s) ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection j)

Tactic:
exact Submodule.mem_invtSubmodule_reflection_of_mem _ _ hj

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
s : Set ι
hne : s.Nonempty
h : ∀ (j : ι), P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s) → ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
j : ι
hj : P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s)
x : M
hx : x ∈ span R (⇑P.root '' s)
⊢ ↑(P.reflection j) x ∈ span R (⇑P.root '' s)

Tactic:
LinearEquiv.coe_coe,

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
s : Set ι
hne : s.Nonempty
h : ∀ (j : ι), P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s) → ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
j : ι
hj : P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s)
x : M
hx : x ∈ span R (⇑P.root '' s)
⊢ (P.reflection j) x ∈ span R (⇑P.root '' s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
g g' : P.Aut
hgg' : (LinearEquiv.toLinearMap ∘ ⇑(weightHom P)) g = (LinearEquiv.toLinearMap ∘ ⇑(weightHom P)) g'
h : (Hom.weightHom P) ↑g = (Hom.weightHom P) ↑g'
⊢ ↑g = ↑g'

Tactic:
exact Hom.weightHom_injective P hgg'

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : Finite ι
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup N
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹¹ : IsDomain R
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : Dual S M
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
⊢ LinearIndepOn S (⇑P.root) (baseOf ⇑P.root ↑f)

Tactic:
by
  have : CharZero R := Algebra.charZero_of_charZero S R
  have : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
  let M₀ := span S (range P.root)
  let v (i : baseOf P.root (f : M →+ S)) : M₀ := P.rootSpanMem S i
  change LinearIndependent S (M₀.subtype ∘ v)
  suffices LinearIndependent S v by
    rwa [LinearMap.linearIndependent_iff_of_disjoint M₀.subtype (by simp)]
  let f' : Dual S M₀ := f ∘ₗ M₀.subtype
  obtain ⟨B, hB⟩ : ∃ B : P.RootPositiveForm S, B.posForm.toQuadraticMap.PosDef :=
    ⟨P.posRootForm S, by simpa using P.posRootForm_rootFormIn_posDef S⟩
  have hp (i : baseOf P.root (f : M →+ S)) : 0 < f' (v i) := by obtain ⟨i, -, hi⟩ := i; simpa
  have hn : Pairwise fun (i j : baseOf P.root (f : M →+ S)) ↦ B.posForm (v i) (v j) ≤ 0 := by
    rintro ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩ hij
    rw [B.posForm_apply_root_root_le_zero_iff, ← P.algebraMap_pairingIn' S ℤ]
    simpa using P.baseOf_pairwise_pairing_le_zero _ hf (by simpa) (by simpa) (by aesop : i ≠ j)
  exact LinearMap.BilinForm.linearIndependent_of_pairwise_le_zero B.posForm hB f' v hp hn

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
m : M
hm : m ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ ∀ (x y : M),
    x ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
      y ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
        (∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ x = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j) →
          (∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ y = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j) →
            ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ x + y = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j

Tactic:
· intro _ _ _ _ ⟨f, hf, hf'⟩ ⟨g, hg, hg'⟩
    refine ⟨f + g, ?_, by simp [hf', hg', add_smul, Finset.sum_add_distrib]⟩
    exact (support_add f g).trans <| union_subset_iff.mpr ⟨hf, hg⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h : ∃ i j, (B.form (P.root i)) (P.root i) ≠ (B.form (P.root j)) (P.root j)
⊢ (∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 2 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 2 * P.pairing i j) ∨
    ∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 3 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 3 * P.pairing i j

Tactic:
obtain ⟨i, j, hij⟩ := h

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
hij : (B.form (P.root i)) (P.root i) ≠ (B.form (P.root j)) (P.root j)
⊢ (∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 2 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 2 * P.pairing i j) ∨
    ∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 3 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 3 * P.pairing i j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case pred
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + -↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
l : ι
hl : P.root l = P.root i + -↑w • P.root j
hk : P.root k = P.root l - P.root j
⊢ b.IsPos k

Tactic:
exact (hw hi hl hij).sub hj hk

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
i : ι
_i✝² : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
_i✝¹ : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
f : Dual ℚ M
hf' : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
hf : s = baseOf ⇑P.root ↑f
hf₀ : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
aux : ∀ (i : ι), ∃ q, 0 < q ∧ ↑q = 2 / (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)
g : Dual ℚ N := f ∘ₗ ↑(LinearEquiv.restrictScalars ℚ P.PolarizationEquiv.symm)
hg₀ : ∀ (i : ι), g (P.coroot i) ≠ 0
hg : ∀ (i : ι), 0 < g (P.coroot i) ↔ 0 < f (P.root i)
⊢ P.coroot i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.coroot '' baseOf ⇑P.coroot ↑g) ∨
    -P.coroot i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.coroot '' baseOf ⇑P.coroot ↑g)

Tactic:
exact mem_or_neg_mem_closure_baseOf P.coroot (g : N →+ ℚ) i (hg₀ i) (by simp)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
⊢ LinearIndepOn R ⇑P.coroot ↑⋯.toFinset

Tactic:
by have : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι; simpa

Goal state after: