mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DFinsupp

Goal state before:
pp: case h.hf
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Finset ι
p : ι → Submodule R N
a : N
μ : Π₀ (i : ι), ↥(⨆ (_ : i ∈ s), p i)
hμ : (μ.sum fun x xi ↦ ↑xi) = a
x : ι
a✝ : x ∈ s
hx : x ∉ μ.support
⊢ (fun x xi ↦ ↑xi) x (μ x) = 0

Tactic:
rw [mem_support_iff, not_ne_iff] at hx

Goal state after:
case h.hf
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Finset ι
p : ι → Submodule R N
a : N
μ : Π₀ (i : ι), ↥(⨆ (_ : i ∈ s), p i)
hμ : (μ.sum fun x xi ↦ ↑xi) = a
x : ι
a✝ : x ∈ s
hx : μ x = 0
⊢ (fun x xi ↦ ↑xi) x (μ x) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DFinsupp

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Finset ι
p : ι → Submodule R N
a : N
μ : (i : ι) → ↥(p i)
hμ : ∑ i ∈ s, ↑(μ i) = a
x : ι
a✝ : x ∈ s
hx : x ∉ (DFinsupp.mk s fun i ↦ ⟨↑(μ ↑i), ⋯⟩).support
⊢ ↑((DFinsupp.mk s fun i ↦ ⟨↑(μ ↑i), ⋯⟩) x) = 0

Tactic:
rw [mem_support_iff, not_ne_iff] at hx

Goal state after:
case mpr.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Finset ι
p : ι → Submodule R N
a : N
μ : (i : ι) → ↥(p i)
hμ : ∑ i ∈ s, ↑(μ i) = a
x : ι
a✝ : x ∈ s
hx : (DFinsupp.mk s fun i ↦ ⟨↑(μ ↑i), ⋯⟩) x = 0
⊢ ↑((DFinsupp.mk s fun i ↦ ⟨↑(μ ↑i), ⋯⟩) x) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearMap

Goal state before:
pp: case mp
R₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
inst✝¹³ : Semiring R₁
inst✝¹² : Semiring R₂
Mₗ : Type u_6
N : Type u_7
Pₗ : Type u_9
Qₗ : Type u_10
Qₗ' : Type u_11
inst✝¹¹ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N
inst✝⁹ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Qₗ
inst✝⁷ : AddCommMonoid Qₗ'
inst✝⁶ : Module R₁ Mₗ
inst✝⁵ : Module R₂ N
inst✝⁴ : Module R₂ Pₗ
inst✝³ : Module R₁ Pₗ
inst✝² : Module R₁ Qₗ
inst✝¹ : Module R₂ Qₗ'
inst✝ : SMulCommClass R₂ R₁ Pₗ
f₁ f₂ : Mₗ →ₗ[R₁] N →ₗ[R₂] Pₗ
g : Qₗ →ₗ[R₁] Mₗ
g' : Qₗ' →ₗ[R₂] N
hₗ : Surjective ⇑g
hᵣ : Surjective ⇑g'
⊢ f₁.compl₁₂ g g' = f₂.compl₁₂ g g' → f₁ = f₂

Tactic:
intro h

Goal state after:
case mp
R₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
inst✝¹³ : Semiring R₁
inst✝¹² : Semiring R₂
Mₗ : Type u_6
N : Type u_7
Pₗ : Type u_9
Qₗ : Type u_10
Qₗ' : Type u_11
inst✝¹¹ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N
inst✝⁹ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Qₗ
inst✝⁷ : AddCommMonoid Qₗ'
inst✝⁶ : Module R₁ Mₗ
inst✝⁵ : Module R₂ N
inst✝⁴ : Module R₂ Pₗ
inst✝³ : Module R₁ Pₗ
inst✝² : Module R₁ Qₗ
inst✝¹ : Module R₂ Qₗ'
inst✝ : SMulCommClass R₂ R₁ Pₗ
f₁ f₂ : Mₗ →ₗ[R₁] N →ₗ[R₂] Pₗ
g : Qₗ →ₗ[R₁] Mₗ
g' : Qₗ' →ₗ[R₂] N
hₗ : Surjective ⇑g
hᵣ : Surjective ⇑g'
h : f₁.compl₁₂ g g' = f₂.compl₁₂ g g'
⊢ f₁ = f₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearMap

Goal state before:
pp: case mpr
R₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
inst✝¹³ : Semiring R₁
inst✝¹² : Semiring R₂
Mₗ : Type u_6
N : Type u_7
Pₗ : Type u_9
Qₗ : Type u_10
Qₗ' : Type u_11
inst✝¹¹ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N
inst✝⁹ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Qₗ
inst✝⁷ : AddCommMonoid Qₗ'
inst✝⁶ : Module R₁ Mₗ
inst✝⁵ : Module R₂ N
inst✝⁴ : Module R₂ Pₗ
inst✝³ : Module R₁ Pₗ
inst✝² : Module R₁ Qₗ
inst✝¹ : Module R₂ Qₗ'
inst✝ : SMulCommClass R₂ R₁ Pₗ
f₁ f₂ : Mₗ →ₗ[R₁] N →ₗ[R₂] Pₗ
g : Qₗ →ₗ[R₁] Mₗ
g' : Qₗ' →ₗ[R₂] N
hₗ : Surjective ⇑g
hᵣ : Surjective ⇑g'
⊢ f₁ = f₂ → f₁.compl₁₂ g g' = f₂.compl₁₂ g g'

Tactic:
intro h

Goal state after:
case mpr
R₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
inst✝¹³ : Semiring R₁
inst✝¹² : Semiring R₂
Mₗ : Type u_6
N : Type u_7
Pₗ : Type u_9
Qₗ : Type u_10
Qₗ' : Type u_11
inst✝¹¹ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N
inst✝⁹ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Qₗ
inst✝⁷ : AddCommMonoid Qₗ'
inst✝⁶ : Module R₁ Mₗ
inst✝⁵ : Module R₂ N
inst✝⁴ : Module R₂ Pₗ
inst✝³ : Module R₁ Pₗ
inst✝² : Module R₁ Qₗ
inst✝¹ : Module R₂ Qₗ'
inst✝ : SMulCommClass R₂ R₁ Pₗ
f₁ f₂ : Mₗ →ₗ[R₁] N →ₗ[R₂] Pₗ
g : Qₗ →ₗ[R₁] Mₗ
g' : Qₗ' →ₗ[R₂] N
hₗ : Surjective ⇑g
hᵣ : Surjective ⇑g'
h : f₁ = f₂
⊢ f₁.compl₁₂ g g' = f₂.compl₁₂ g g'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ LinearIndependent R v ↔ ((LinearMap.lsum R (fun x ↦ R) ℕ) fun i ↦ LinearMap.id.smulRight (v i)).ker = ⊥

Tactic:
by
  simp [Fintype.linearIndependent_iff, LinearMap.ker_eq_bot', funext_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DFinsupp

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
⊢ (∀ (i : ι), ∀ x ∈ p i, x ∈ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), p j → x = 0) →
    ∀ (s : Finset ι) (v : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = 0 → ∀ i ∈ s, v i = 0

Tactic:
intro h

Goal state after:
case mp
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ p i, x ∈ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), p j → x = 0
⊢ ∀ (s : Finset ι) (v : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = 0 → ∀ i ∈ s, v i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DFinsupp

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
⊢ (∀ (s : Finset ι) (v : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = 0 → ∀ i ∈ s, v i = 0) →
    ∀ (i : ι), ∀ x ∈ p i, x ∈ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), p j → x = 0

Tactic:
intro h

Goal state after:
case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (s : Finset ι) (v : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = 0 → ∀ i ∈ s, v i = 0
⊢ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ p i, x ∈ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), p j → x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DFinsupp

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
⊢ (∀ (s : Finset ι) (v : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = 0 → ∀ i ∈ s, v i = 0) →
    ∀ (s : Finset ι) (v w : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i ∧ w i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = ∑ i ∈ s, w i → ∀ i ∈ s, v i = w i

Tactic:
intro h

Goal state after:
case mp
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (s : Finset ι) (v : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = 0 → ∀ i ∈ s, v i = 0
⊢ ∀ (s : Finset ι) (v w : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i ∧ w i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = ∑ i ∈ s, w i → ∀ i ∈ s, v i = w i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DFinsupp

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
⊢ (∀ (s : Finset ι) (v w : ι → N),
      (∀ i ∈ s, v i ∈ p i ∧ w i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = ∑ i ∈ s, w i → ∀ i ∈ s, v i = w i) →
    ∀ (s : Finset ι) (v : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = 0 → ∀ i ∈ s, v i = 0

Tactic:
intro h

Goal state after:
case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (s : Finset ι) (v w : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i ∧ w i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = ∑ i ∈ s, w i → ∀ i ∈ s, v i = w i
⊢ ∀ (s : Finset ι) (v : ι → N), (∀ i ∈ s, v i ∈ p i) → ∑ i ∈ s, v i = 0 → ∀ i ∈ s, v i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Module S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsTorsionFree S R
a b c d : S
h : a * d ≠ b * c
h' : LinearIndependent R ![x, y]
⊢ LinearIndependent R ![a • x + b • y, c • x + d • y]

Tactic:
simp only [LinearIndependent.pair_iff] at h' ⊢
  intro s t hst
  specialize h' (a • s + c • t) (b • s + d • t) (by simp only [← hst, smul_add, add_smul,
    smul_assoc, smul_comm a s, smul_comm c t, smul_comm b s, smul_comm d t]; abel)
  obtain ⟨h₁, h₂⟩ := h'
  constructor
  · suffices (a * d) • s = (b * c) • s by
      by_contra hs; exact h (_root_.smul_left_injective S hs ‹_›)
    calc (a * d) • s
        = d • a • s := by rw [mul_comm, mul_smul]
      _ = -(d • c • t) := by rw [eq_neg_iff_add_eq_zero, ← smul_add, h₁, smul_zero]
      _ = (b * c) • s := ?_
    · rw [mul_comm, mul_smul, neg_eq_iff_add_eq_zero, add_comm, smul_comm d c, ← smul_add, h₂,
        smul_zero]
  · suffices (a * d) • t = (b * c) • t by
      by_contra ht; exact h (_root_.smul_left_injective S ht ‹_›)
    calc (a * d) • t
        = a • d • t := by rw [mul_smul]
      _ = -(a • b • s) := by rw [eq_neg_iff_add_eq_zero, ← smul_add, add_comm, h₂, smul_zero]
      _ = (b * c) • t := ?_
    · rw [mul_smul, neg_eq_iff_add_eq_zero, smul_comm a b, ← smul_add, h₁, smul_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Module S R
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : SMulCommClass S R M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : IsTorsionFree S R
a b c d : S
inst✝ : Nontrivial R
h : a * d ≠ b * c
h' : LinearIndependent R ![a • x + b • y, c • x + d • y]
⊢ d * a ≠ -b * -c

Tactic:
simpa [mul_comm d a]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Lift

Goal state before:
pp: k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_6
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : k[G]
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.coeff.support → Commute (f (b.coeff x)) (g y)
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) (a.coeff.sum single) * (liftNC ↑f ⇑g) (b.coeff.sum single)

Tactic:
mul_def,

Goal state after:
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_6
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : k[G]
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.coeff.support → Commute (f (b.coeff x)) (g y)
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a.coeff.sum fun m₁ r₁ ↦ b.coeff.sum fun m₂ r₂ ↦ single (m₁ * m₂) (r₁ * r₂)) =
    (liftNC ↑f ⇑g) (a.coeff.sum single) * (liftNC ↑f ⇑g) (b.coeff.sum single)
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Lift

Goal state before:
pp: k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Add G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_6
inst✝¹ : FunLike g_hom (Multiplicative G) R
inst✝ : MulHomClass g_hom (Multiplicative G) R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : k[G]
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.coeff.support → Commute (f (b.coeff x)) (g (Multiplicative.ofAdd y))
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) (a.coeff.sum single) * (liftNC ↑f ⇑g) (b.coeff.sum single)

Tactic:
mul_def,

Goal state after:
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Add G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_6
inst✝¹ : FunLike g_hom (Multiplicative G) R
inst✝ : MulHomClass g_hom (Multiplicative G) R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : k[G]
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.coeff.support → Commute (f (b.coeff x)) (g (Multiplicative.ofAdd y))
⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a.coeff.sum fun m₁ r₁ ↦ b.coeff.sum fun m₂ r₂ ↦ single (m₁ + m₂) (r₁ * r₂)) =
    (liftNC ↑f ⇑g) (a.coeff.sum single) * (liftNC ↑f ⇑g) (b.coeff.sum single)
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
b : β
hf : Injective fun a ↦ f a b
⊢ #(image₂ f s {b}) = #s

Tactic:
by rw [image₂_singleton_right, card_image_of_injective _ hf]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
t✝¹ : Finset V
hs : LinearIndepOn K id s
hst✝¹ : s ⊆ ↑(span K ↑t✝¹)
t✝ : Finset V
b₁ : V
t : Finset V
hb₁t : b₁ ∉ t
ih :
  ∀ (s' : Finset V),
    ↑s' ⊆ s → s ∩ ↑t = ∅ → s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t)) → ∃ t', ↑t' ⊆ s ∪ ↑t ∧ s ⊆ ↑t' ∧ t'.card = (s' ∪ t).card
s' : Finset V
hs' : ↑s' ⊆ s
hst✝ : s ∩ ↑(insert b₁ t) = ∅
hss' : s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ insert b₁ t))
hb₁s : b₁ ∉ s
hb₁s' : b₁ ∉ s'
hst : s ∩ ↑t = ∅
this✝¹ : ¬s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t))
b₂ : V
hb₂s : b₂ ∈ s
hb₂t : b₂ ∉ ↑(span K ↑(s' ∪ t))
hb₂t' : b₂ ∉ s' ∪ t
b₃ : V
hb₃✝ : b₃ ∈ s
this✝ : ↑(s' ∪ insert b₁ t) ⊆ insert b₁ (insert b₂ ↑(s' ∪ t))
hb₃ : b₃ ∈ span K (insert b₁ (insert b₂ ↑(s' ∪ t)))
this : s ⊆ ↑(span K (insert b₁ ↑(s' ∪ t)))
hb₁ : b₁ ∈ span K (insert b₂ ↑(s' ∪ t))
⊢ b₃ ∈ ↑(span K ↑(insert b₂ s' ∪ t))

Tactic:
span_insert_eq_span hb₁

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
t✝¹ : Finset V
hs : LinearIndepOn K id s
hst✝¹ : s ⊆ ↑(span K ↑t✝¹)
t✝ : Finset V
b₁ : V
t : Finset V
hb₁t : b₁ ∉ t
ih :
  ∀ (s' : Finset V),
    ↑s' ⊆ s → s ∩ ↑t = ∅ → s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t)) → ∃ t', ↑t' ⊆ s ∪ ↑t ∧ s ⊆ ↑t' ∧ t'.card = (s' ∪ t).card
s' : Finset V
hs' : ↑s' ⊆ s
hst✝ : s ∩ ↑(insert b₁ t) = ∅
hss' : s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ insert b₁ t))
hb₁s : b₁ ∉ s
hb₁s' : b₁ ∉ s'
hst : s ∩ ↑t = ∅
this✝¹ : ¬s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t))
b₂ : V
hb₂s : b₂ ∈ s
hb₂t : b₂ ∉ ↑(span K ↑(s' ∪ t))
hb₂t' : b₂ ∉ s' ∪ t
b₃ : V
hb₃✝ : b₃ ∈ s
this✝ : ↑(s' ∪ insert b₁ t) ⊆ insert b₁ (insert b₂ ↑(s' ∪ t))
hb₃ : b₃ ∈ span K (insert b₂ ↑(s' ∪ t))
this : s ⊆ ↑(span K (insert b₁ ↑(s' ∪ t)))
hb₁ : b₁ ∈ span K (insert b₂ ↑(s' ∪ t))
⊢ b₃ ∈ ↑(span K ↑(insert b₂ s' ∪ t))
Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Mul G
A B : Finset G
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hA1 : #A ≤ 1
hB1 : #B ≤ 1
⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b

Tactic:
rw [Finset.card_le_one_iff] at hA1 hB1

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Mul G
A B : Finset G
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hA1 : ∀ {a b : G}, a ∈ A → b ∈ A → a = b
hB1 : ∀ {a b : G}, a ∈ B → b ∈ B → a = b
⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b
Module: Mathlib.Data.Finset.Sort

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝⁴ : DecidableRel r
inst✝³ : IsTrans α r
inst✝² : Std.Antisymm r
inst✝¹ : Std.Total r
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
⊢ l.toFinset.sort r = l → List.Pairwise r l

Tactic:
intro h

Goal state after:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝⁴ : DecidableRel r
inst✝³ : IsTrans α r
inst✝² : Std.Antisymm r
inst✝¹ : Std.Total r
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
h : l.toFinset.sort r = l
⊢ List.Pairwise r l
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Free R M
f : End R M
h : ∀ (g : End R M) (x : M), g (f x) = f (g x)
h✝ : Nontrivial M
⊢ ∃ α, ∃ (h : ∀ (g : R), g * α = α * g), ∀ (x : M), f x = (smulLeft α ⋯) x

Tactic:
let b := Free.chooseBasis R M

Goal state after:
case neg
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Free R M
f : End R M
h : ∀ (g : End R M) (x : M), g (f x) = f (g x)
h✝ : Nontrivial M
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Free.chooseBasis R M
⊢ ∃ α, ∃ (h : ∀ (g : R), g * α = α * g), ∀ (x : M), f x = (smulLeft α ⋯) x
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
a : R
⊢ X ≠ C a

Tactic:
intro he

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
a : R
he : X = C a
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a : R
h : a ≠ 0
⊢ (single n a).coeff.support = {n}

Tactic:
exact Finsupp.support_single _ h

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
c : R
⊢ (C c * X ^ n).support ⊆ {n}

Tactic:
simpa only [C_mul_X_pow_eq_monomial] using support_monomial_subset n c

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Invariant

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : End R M
p : Submodule R M
hp : p ∈ f.invtSubmodule
q : Submodule R ↥p
hq : q ∈ invtSubmodule (LinearMap.restrict f hp)
x : M
hx : x ∈ p
hx' : ⟨x, hx⟩ ∈ ↑q
⊢ p.subtype ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.comap f (Submodule.map p.subtype q)

Tactic:
specialize hq hx'

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : End R M
p : Submodule R M
hp : p ∈ f.invtSubmodule
q : Submodule R ↥p
x : M
hx : x ∈ p
hq : ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.comap (LinearMap.restrict f hp) q
hx' : ⟨x, hx⟩ ∈ ↑q
⊢ p.subtype ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.comap f (Submodule.map p.subtype q)
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
⊢ p ≠ 0 → p.coeffs.Nonempty

Tactic:
intro h

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : p ≠ 0
⊢ p.coeffs.Nonempty
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
⊢ span R ↑(Finset.image g t1 ∪ t2) = s

Tactic:
rw [Finset.coe_union, span_union, Finset.coe_image]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
⊢ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2 = s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : E
⊢ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).2 = 0 ↔ x ∈ p

Tactic:
by
  conv_rhs => rw [← (prodEquivOfIsCompl p q h).apply_symm_apply x]
  rw [coe_prodEquivOfIsCompl', Submodule.add_mem_iff_right _ (Submodule.coe_mem _),
    mem_left_iff_eq_zero_of_disjoint h.disjoint]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case mp
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
inst✝⁵ : CommMonoid M₁
inst✝⁴ : CommMonoid M₂
inst✝³ : CommMonoid M₃
inst✝² : CommMonoid N₁
inst✝¹ : CommMonoid N₂
inst✝ : CommMonoid N₃
f : M₁ →* M₂
g : M₂ →* M₃
f' : N₁ →* N₂
g' : N₂ →* N₃
τ₁ : M₁ →* N₁
τ₂ : M₂ →* N₂
τ₃ : M₃ →* N₃
h₁ : Surjective ⇑τ₁
h₂ : Bijective ⇑τ₂
h₃ : Injective ⇑τ₃
comm₁₂ : ∀ (x : M₁), f' (τ₁ x) = τ₂ (f x)
comm₂₃ : ∀ (x : M₂), g' (τ₂ x) = τ₃ (g x)
⊢ MulExact ⇑f ⇑g → MulExact ⇑f' ⇑g'

Tactic:
intro h

Goal state after:
case mp
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
inst✝⁵ : CommMonoid M₁
inst✝⁴ : CommMonoid M₂
inst✝³ : CommMonoid M₃
inst✝² : CommMonoid N₁
inst✝¹ : CommMonoid N₂
inst✝ : CommMonoid N₃
f : M₁ →* M₂
g : M₂ →* M₃
f' : N₁ →* N₂
g' : N₂ →* N₃
τ₁ : M₁ →* N₁
τ₂ : M₂ →* N₂
τ₃ : M₃ →* N₃
h₁ : Surjective ⇑τ₁
h₂ : Bijective ⇑τ₂
h₃ : Injective ⇑τ₃
comm₁₂ : ∀ (x : M₁), f' (τ₁ x) = τ₂ (f x)
comm₂₃ : ∀ (x : M₂), g' (τ₂ x) = τ₃ (g x)
h : MulExact ⇑f ⇑g
⊢ MulExact ⇑f' ⇑g'
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
inst✝⁵ : CommMonoid M₁
inst✝⁴ : CommMonoid M₂
inst✝³ : CommMonoid M₃
inst✝² : CommMonoid N₁
inst✝¹ : CommMonoid N₂
inst✝ : CommMonoid N₃
f : M₁ →* M₂
g : M₂ →* M₃
f' : N₁ →* N₂
g' : N₂ →* N₃
τ₁ : M₁ →* N₁
τ₂ : M₂ →* N₂
τ₃ : M₃ →* N₃
h₁ : Surjective ⇑τ₁
h₂ : Bijective ⇑τ₂
h₃ : Injective ⇑τ₃
comm₁₂ : ∀ (x : M₁), f' (τ₁ x) = τ₂ (f x)
comm₂₃ : ∀ (x : M₂), g' (τ₂ x) = τ₃ (g x)
⊢ MulExact ⇑f' ⇑g' → MulExact ⇑f ⇑g

Tactic:
intro h

Goal state after:
case mpr
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
inst✝⁵ : CommMonoid M₁
inst✝⁴ : CommMonoid M₂
inst✝³ : CommMonoid M₃
inst✝² : CommMonoid N₁
inst✝¹ : CommMonoid N₂
inst✝ : CommMonoid N₃
f : M₁ →* M₂
g : M₂ →* M₃
f' : N₁ →* N₂
g' : N₂ →* N₃
τ₁ : M₁ →* N₁
τ₂ : M₂ →* N₂
τ₃ : M₃ →* N₃
h₁ : Surjective ⇑τ₁
h₂ : Bijective ⇑τ₂
h₃ : Injective ⇑τ₃
comm₁₂ : ∀ (x : M₁), f' (τ₁ x) = τ₂ (f x)
comm₂₃ : ∀ (x : M₂), g' (τ₂ x) = τ₃ (g x)
h : MulExact ⇑f' ⇑g'
⊢ MulExact ⇑f ⇑g
Module: Mathlib.Data.Rel

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
R : SetRel α β
⊢ (∀ (a : α), ∃! b, (a, b) ∈ R) → ∃! f, Function.graph f = R

Tactic:
intro h

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
R : SetRel α β
h : ∀ (a : α), ∃! b, (a, b) ∈ R
⊢ ∃! f, Function.graph f = R
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
r : SetRel α α
p : RelSeries r
newLast : α
rel : (p.last, newLast) ∈ r
x : α
⊢ (∃ y, p.toFun y = x) ∨ x = newLast → ∃ y, (Fin.append p.toFun (singleton r newLast).toFun ∘ Fin.cast ⋯) y = x

Tactic:
intro h

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
r : SetRel α α
p : RelSeries r
newLast : α
rel : (p.last, newLast) ∈ r
x : α
h : (∃ y, p.toFun y = x) ∨ x = newLast
⊢ ∃ y, (Fin.append p.toFun (singleton r newLast).toFun ∘ Fin.cast ⋯) y = x
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Bilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
m : M
_hm : m ∈ p
n : N
hn : n = 0
⊢ (f m) n ∈ ⊥

Tactic:
rw [hn, map_zero]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
m : M
_hm : m ∈ p
n : N
hn : n = 0
⊢ 0 ∈ ⊥
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
inst✝ : Nonempty α
H : ∀ (x : RelSeries r), ∃ y, x.length < y.length
n : ℕ
l : RelSeries r
hl : l.length = n
l' : RelSeries r
hl' : l.length < l'.length
⊢ n + 1 < l'.length + 1

Tactic:
by simpa [hl] using hl'

Goal state after: