Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
⊢ ContinuousOn f s →
    ((∀ (x : M) (y : M'),
        DifferentiableOn 𝕜
          (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘
            f ∘ ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm)
          (((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
            ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm ⁻¹'
              (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source))) ↔
      ∀ (y : M'),
        ContinuousOn (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f)
            (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source) ∧
          ∀ (x : M) (y_1 : E'),
            DifferentiableOn 𝕜
              (↑𝓘(𝕜, E').toPartialEquiv ∘
                (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f) ∘
                  ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm)
              (((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
                ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm ⁻¹'
                  (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source)))

Tactic:
intro h

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
h : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (x : M) (y : M'),
      DifferentiableOn 𝕜
        (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘
          f ∘ ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm)
        (((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
          ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm ⁻¹'
            (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source))) ↔
    ∀ (y : M'),
      ContinuousOn (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f)
          (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source) ∧
        ∀ (x : M) (y_1 : E'),
          DifferentiableOn 𝕜
            (↑𝓘(𝕜, E').toPartialEquiv ∘
              (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f) ∘
                ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm)
            (((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
              ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm ⁻¹'
                (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source))