mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
w_plus : Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α ≠ 0
w_minus : Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α ≠ 0
w_chi : Weight.toLinear K (↥H) L χ ≠ 0
m_pos m_neg : L
y : ↥H
hy : y ∈ corootSpace ⇑α
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, ↑y⁆
h_pos_containment : ⁅x_χ, m_pos⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑χ + ⇑α)
h_neg_containment : ⁅x_χ, m_neg⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑χ - ⇑α)
h_chi_not_in_q : Weight.toLinear K (↥H) L χ ∉ q
S : RootPairing (↥LieSubalgebra.root) K (Dual K ↥H) ↥H := rootSystem H
exists_root_index : ∀ (γ : Weight K (↥H) L), γ.IsNonZero → ∃ i, S.root i = Weight.toLinear K (↥H) L γ
h_plus_bot : genWeightSpace L ⇑(Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α) = ⊥
h_minus_bot : genWeightSpace L ⇑(Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α) = ⊥
i : ↥LieSubalgebra.root
hi : S.root i = Weight.toLinear K (↥H) L χ
j : ↥LieSubalgebra.root
hj : S.root j = Weight.toLinear K (↥H) L α
h_eq : S.root i = -S.root j
⊢ -S.root j + S.root j = 0

Tactic:
neg_add_cancel

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
w_plus : Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α ≠ 0
w_minus : Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α ≠ 0
w_chi : Weight.toLinear K (↥H) L χ ≠ 0
m_pos m_neg : L
y : ↥H
hy : y ∈ corootSpace ⇑α
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, ↑y⁆
h_pos_containment : ⁅x_χ, m_pos⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑χ + ⇑α)
h_neg_containment : ⁅x_χ, m_neg⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑χ - ⇑α)
h_chi_not_in_q : Weight.toLinear K (↥H) L χ ∉ q
S : RootPairing (↥LieSubalgebra.root) K (Dual K ↥H) ↥H := rootSystem H
exists_root_index : ∀ (γ : Weight K (↥H) L), γ.IsNonZero → ∃ i, S.root i = Weight.toLinear K (↥H) L γ
h_plus_bot : genWeightSpace L ⇑(Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α) = ⊥
h_minus_bot : genWeightSpace L ⇑(Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α) = ⊥
i : ↥LieSubalgebra.root
hi : S.root i = Weight.toLinear K (↥H) L χ
j : ↥LieSubalgebra.root
hj : S.root j = Weight.toLinear K (↥H) L α
h_eq : S.root i = -S.root j
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case e_a
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : emultiplicity J I ≤ ↑n
⊢ ↑(count J (normalizedFactors I)) = ↑(count (normalize J) (normalizedFactors I))

pp: case e_a
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : emultiplicity J I ≤ ↑n
⊢ FiniteMultiplicity J I

Tactic:
normalize_eq J

Goal state after:
case e_a
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : emultiplicity J I ≤ ↑n
⊢ ↑(count J (normalizedFactors I)) = ↑(count J (normalizedFactors I))

case e_a
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : emultiplicity J I ≤ ↑n
⊢ FiniteMultiplicity J I
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : ↑(count (normalize J) (normalizedFactors I)) ≤ ↑n
⊢ count J (normalizedFactors I) ≤ n

Tactic:
normalize_eq J

Goal state after:
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : ↑(count J (normalizedFactors I)) ≤ ↑n
⊢ count J (normalizedFactors I) ≤ n
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
u : V →ₗ[K] V₂
v : V₂ →ₗ[K] V₃
u' : V₂ →ₗ[K] V
v' : V₃ →ₗ[K] V₂
hu : u'.IsLeftQuasiInverse u
hv : v'.IsLeftQuasiInverse v
⊢ u' ∘ₗ (v' ∘ₗ v) ∘ₗ u ≈ u' ∘ₗ id ∘ₗ u

Tactic:
by grw [hv.equiv]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
u : V →ₗ[K] V₂
v : V₂ →ₗ[K] V₃
v' : V₃ →ₗ[K] V₂
w : V₃ →ₗ[K] V
hv : v'.IsLeftQuasiInverse v
hw : w.IsRightQuasiInverse (v ∘ₗ u)
⊢ id ∘ₗ u ∘ₗ w ∘ₗ v ≈ (v' ∘ₗ v) ∘ₗ u ∘ₗ w ∘ₗ v

Tactic:
by grw [hv.equiv]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
inst✝ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
⊢ emultiplicity (↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨↑⟨L, hL⟩, ⋯⟩)) J = emultiplicity L I

Tactic:
refine emultiplicity_factor_dvd_iso_eq_emultiplicity_of_mem_normalizedFactors hI hJ hL
    (d := (idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv) ?_

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
inst✝ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
⊢ ∀ (l l' : { l // l ∣ I }),
    ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_4
inst✝ : IsDedekindDomain R
s : Finset ι
e : ι → ℕ
f : ι → HeightOneSpectrum R
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j
⊢ (s.inf fun i ↦ (f i).asIdeal ^ e i) = ⨅ i ∈ s, (f i).asIdeal ^ e i

Tactic:
rw [Finset.inf_eq_iInf s fun i ↦ (f i).asIdeal ^ e i]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Supported

Goal state before:
pp: case mpr
σ : Type u_1
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
s t : Set σ
inst✝ : Nontrivial R
⊢ s ⊆ t → supported R s ≤ supported R t

Tactic:
· exact supported_mono

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Derivation

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module (MvPolynomial σ R) A
f : σ → A
i : σ
⊢ (1 • (Finsupp.single i 1).sum fun i_1 k ↦ (monomial (Finsupp.single i 1 - Finsupp.single i_1 1)) ↑k • f i_1) = f i

Tactic:
by simp [tsub_self]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S ι σ
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
⊢ Ideal.span (Set.range fun x ↦ C r * X () - 1) = (Generators.localizationAway S r).ker

Tactic:
by
    simp only [Set.range_const]
    exact (Generators.ker_localizationAway r).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S ι σ
x : MvPolynomial ι T
y : σ
hy : (fun i ↦ (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) y = x
Z : TensorProduct.includeRight ((aeval P.val) (P.relation y)) = 0
⊢ (aeval (Generators.baseChange T P.toGenerators).val) ((MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation y)) =
    1 ⊗ₜ[R] (aeval P.val) (P.relation y)

Tactic:
rw [aeval_map_algebraMap T (P.baseChange T).val (P.relation y)]

Goal state after:
case a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S ι σ
x : MvPolynomial ι T
y : σ
hy : (fun i ↦ (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) y = x
Z : TensorProduct.includeRight ((aeval P.val) (P.relation y)) = 0
⊢ (aeval (Generators.baseChange T P.toGenerators).val) (P.relation y) = 1 ⊗ₜ[R] (aeval P.val) (P.relation y)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: case add
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S ι σ
H :
  RingHom.ker (TensorProduct.map (AlgHom.id R T) (IsScalarTower.toAlgHom R P.Ring S)) =
    Ideal.map TensorProduct.includeRight (RingHom.ker (IsScalarTower.toAlgHom R P.Ring S))
e : T ⊗[R] MvPolynomial ι R ≃ₐ[T] MvPolynomial ι T := algebraTensorAlgEquiv R T
p q : MvPolynomial ι T
hp :
  (TensorProduct.map (AlgHom.id R T) (IsScalarTower.toAlgHom R P.Ring S)) (e.symm p) =
    (aeval (Generators.baseChange T P.toGenerators).val) p
hq :
  (TensorProduct.map (AlgHom.id R T) (IsScalarTower.toAlgHom R P.Ring S)) (e.symm q) =
    (aeval (Generators.baseChange T P.toGenerators).val) q
⊢ (TensorProduct.map (AlgHom.id R T) (IsScalarTower.toAlgHom R P.Ring S)) (e.symm (p + q)) =
    (aeval (Generators.baseChange T P.toGenerators).val) (p + q)

Tactic:
simp only [map_add, hp, hq]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra S T
Q : Presentation S T ι' σ'
P : Presentation R S ι σ
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsScalarTower R S T
⊢ Ideal.span (Set.range (Sum.elim (Q.compRelationAux P) fun rp ↦ (rename Sum.inr) (P.relation rp))) =
    Ideal.span (Set.range (Q.compRelationAux P)) ⊔ RingHom.ker (Q.aux P)

Tactic:
rw [Set.Sum.elim_range, Ideal.span_union, Q.aux_ker, ← P.ker_eq_ker_aeval_val,
    ← P.span_range_relation_eq_ker, Ideal.map_span]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra S T
Q : Presentation S T ι' σ'
P : Presentation R S ι σ
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsScalarTower R S T
⊢ Ideal.span (Set.range (Q.compRelationAux P)) ⊔ Ideal.span (Set.range fun rp ↦ (rename Sum.inr) (P.relation rp)) =
    Ideal.span (Set.range (Q.compRelationAux P)) ⊔ Ideal.span (⇑(rename Sum.inr) '' Set.range P.relation)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
x y : S
⊢ P.σ x • y = x * y

Tactic:
by
  rw [Algebra.smul_def, algebraMap_apply, aeval_val_σ]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
P' : Extension R S
f : P.Hom P'
h : Function.Surjective ⇑f
eq : Ideal.comap f.toRingHom P'.ker = RingHom.ker f.toRingHom ⊔ P.ker
eq_map : P'.ker = Ideal.map f.toRingHom P.ker
x : ↥P.ker
hx : mk x ∈ Submodule.map mk (Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (RingHom.ker f.toRingHom ⊓ P.ker))
⊢ mk x ∈ Submodule.restrictScalars P.Ring (map f).ker

Tactic:
obtain ⟨y, y_in, y_in', hy⟩ : ∃ a ∈ RingHom.ker f.toRingHom, a ∈ P.ker ∧
      a - x ∈ P.ker ^ 2 := by simpa [mk_eq_mk_iff_sub_mem] using hx

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
P' : Extension R S
f : P.Hom P'
h : Function.Surjective ⇑f
eq : Ideal.comap f.toRingHom P'.ker = RingHom.ker f.toRingHom ⊔ P.ker
eq_map : P'.ker = Ideal.map f.toRingHom P.ker
x : ↥P.ker
hx : mk x ∈ Submodule.map mk (Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (RingHom.ker f.toRingHom ⊓ P.ker))
y : P.Ring
y_in : y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
y_in' : y ∈ P.ker
hy : y - ↑x ∈ P.ker ^ 2
⊢ mk x ∈ Submodule.restrictScalars P.Ring (map f).ker
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
P' : Extension R S
f : P.Hom P'
h : Function.Surjective ⇑f
eq : Ideal.comap f.toRingHom P'.ker = RingHom.ker f.toRingHom ⊔ P.ker
eq_map : P'.ker = Ideal.map f.toRingHom P.ker
x : ↥P.ker
hx : mk x ∈ Submodule.map mk (Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (RingHom.ker f.toRingHom ⊓ P.ker))
y : P.Ring
y_in : y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
y_in' : y ∈ P.ker
hy : y - ↑x ∈ P.ker ^ 2
⊢ f.toRingHom ↑x ∈ P'.ker ^ 2

Tactic:
rw [eq_map, ← Ideal.map_pow, ← Ideal.mem_comap,
      Ideal.comap_map_of_surjective' f.toRingHom h, Submodule.mem_sup]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
P' : Extension R S
f : P.Hom P'
h : Function.Surjective ⇑f
eq : Ideal.comap f.toRingHom P'.ker = RingHom.ker f.toRingHom ⊔ P.ker
eq_map : P'.ker = Ideal.map f.toRingHom P.ker
x : ↥P.ker
hx : mk x ∈ Submodule.map mk (Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (RingHom.ker f.toRingHom ⊓ P.ker))
y : P.Ring
y_in : y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
y_in' : y ∈ P.ker
hy : y - ↑x ∈ P.ker ^ 2
⊢ ∃ y ∈ P.ker ^ 2, ∃ z ∈ RingHom.ker f.toRingHom, y + z = ↑x
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.DirectSum

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
N : Type v
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module A N
pres : Presentation A N
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq N
i : ι
g : pres.G
⊢ (pres.finsupp ι).var ⟨i, g⟩ = Finsupp.single i (pres.var g)

Tactic:
by
  apply (finsuppLequivDFinsupp A).injective
  erw [(finsuppLequivDFinsupp A).apply_symm_apply]
  rw [directSum_var, finsuppLequivDFinsupp_apply_apply, Finsupp.toDFinsupp_single]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹⁹ : CommRing R'
inst✝¹⁸ : CommRing S'
inst✝¹⁷ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁶ : CommRing R''
inst✝¹⁵ : CommRing S''
inst✝¹⁴ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹³ : Algebra R R'
inst✝¹² : Algebra R' R''
inst✝¹¹ : Algebra R' S''
inst✝¹⁰ : Algebra S S'
inst✝⁹ : Algebra S' S''
inst✝⁸ : Algebra S S''
inst✝⁷ : Algebra R S'
inst✝⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁵ : Algebra R R''
inst✝⁴ : IsScalarTower R R' R''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : Algebra R S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : ↥P.ker
hx : ↑x ∈ P.ker * P.ker
⊢ ∀ (r : P.Ring) (hr : r ∈ P.ker) (n : P.Ring) (hn : n ∈ P.ker), 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨r • n, ⋯⟩ = 0

pp: case refine_1.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹⁹ : CommRing R'
inst✝¹⁸ : CommRing S'
inst✝¹⁷ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁶ : CommRing R''
inst✝¹⁵ : CommRing S''
inst✝¹⁴ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹³ : Algebra R R'
inst✝¹² : Algebra R' R''
inst✝¹¹ : Algebra R' S''
inst✝¹⁰ : Algebra S S'
inst✝⁹ : Algebra S' S''
inst✝⁸ : Algebra S S''
inst✝⁷ : Algebra R S'
inst✝⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁵ : Algebra R R''
inst✝⁴ : IsScalarTower R R' R''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : Algebra R S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : ↥P.ker
hx : ↑x ∈ P.ker * P.ker
⊢ ∀ (x : P.Ring) (hx : x ∈ P.ker • P.ker) (y : P.Ring) (hy : y ∈ P.ker • P.ker),
    1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨x, ⋯⟩ = 0 → 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨y, ⋯⟩ = 0 → 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨x + y, ⋯⟩ = 0

Tactic:
· intro r hr s hs
      trans (r • 1) ⊗ₜ[P.Ring] ⟨s, hs⟩
      · rw [smul_tmul]; rfl
      · simp_all [Algebra.smul_def]

Goal state after:
case refine_1.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹⁹ : CommRing R'
inst✝¹⁸ : CommRing S'
inst✝¹⁷ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁶ : CommRing R''
inst✝¹⁵ : CommRing S''
inst✝¹⁴ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹³ : Algebra R R'
inst✝¹² : Algebra R' R''
inst✝¹¹ : Algebra R' S''
inst✝¹⁰ : Algebra S S'
inst✝⁹ : Algebra S' S''
inst✝⁸ : Algebra S S''
inst✝⁷ : Algebra R S'
inst✝⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁵ : Algebra R R''
inst✝⁴ : IsScalarTower R R' R''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : Algebra R S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : ↥P.ker
hx : ↑x ∈ P.ker * P.ker
⊢ ∀ (x : P.Ring) (hx : x ∈ P.ker • P.ker) (y : P.Ring) (hy : y ∈ P.ker • P.ker),
    1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨x, ⋯⟩ = 0 → 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨y, ⋯⟩ = 0 → 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨x + y, ⋯⟩ = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹⁹ : CommRing R'
inst✝¹⁸ : CommRing S'
inst✝¹⁷ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁶ : CommRing R''
inst✝¹⁵ : CommRing S''
inst✝¹⁴ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹³ : Algebra R R'
inst✝¹² : Algebra R' R''
inst✝¹¹ : Algebra R' S''
inst✝¹⁰ : Algebra S S'
inst✝⁹ : Algebra S' S''
inst✝⁸ : Algebra S S''
inst✝⁷ : Algebra R S'
inst✝⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁵ : Algebra R R''
inst✝⁴ : IsScalarTower R R' R''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : Algebra R S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : ↥P.ker
hx : ↑x ∈ P.ker * P.ker
a : P.Ring
ha : a ∈ P.ker • P.ker
⊢ ∀ (y : P.Ring) (hy : y ∈ P.ker • P.ker),
    1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨a, ⋯⟩ = 0 → 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨y, ⋯⟩ = 0 → 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨a + y, ⋯⟩ = 0

Tactic:
b

Goal state after:
case refine_1.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹⁹ : CommRing R'
inst✝¹⁸ : CommRing S'
inst✝¹⁷ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁶ : CommRing R''
inst✝¹⁵ : CommRing S''
inst✝¹⁴ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹³ : Algebra R R'
inst✝¹² : Algebra R' R''
inst✝¹¹ : Algebra R' S''
inst✝¹⁰ : Algebra S S'
inst✝⁹ : Algebra S' S''
inst✝⁸ : Algebra S S''
inst✝⁷ : Algebra R S'
inst✝⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁵ : Algebra R R''
inst✝⁴ : IsScalarTower R R' R''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : Algebra R S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : ↥P.ker
hx : ↑x ∈ P.ker * P.ker
a : P.Ring
ha : a ∈ P.ker • P.ker
b : P.Ring
⊢ ∀ (hy : b ∈ P.ker • P.ker), 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨a, ⋯⟩ = 0 → 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨b, ⋯⟩ = 0 → 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨a + b, ⋯⟩ = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case C
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra R S
P : Generators R S ι
R' : Type u_1
S' : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommRing R'
inst✝¹⁵ : CommRing S'
inst✝¹⁴ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S' ι'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
ι'' : Type u_6
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S'' ι''
inst✝¹⁰ : Algebra R R'
inst✝⁹ : Algebra R' R''
inst✝⁸ : Algebra R' S''
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra S' S''
inst✝⁵ : Algebra S S''
inst✝⁴ : Algebra R R''
inst✝³ : IsScalarTower R R' R''
inst✝² : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R' S' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
r : R
⊢ (g.comp f).toAlgHom (C r) = g.toAlgHom (f.toAlgHom (C r))

Tactic:
simp only [← MvPolynomial.algebraMap_eq, AlgHom.map_algebraMap]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.RestrictScalars

Goal state before:
pp: case single_add
B : Type u_1
inst✝⁸ : Ring B
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module B M
inst✝⁵ : DecidableEq B
presM : Presentation B M
inst✝⁴ : DecidableEq presM.G
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower A B M
presB : Presentation A B
data : presM.RestrictScalarsData presB
v : presM.R →₀ B
r : presM.R
⊢ ∀ (b : B) (f : presM.R →₀ B),
    r ∉ f.support →
      b ≠ 0 →
        f ∈ Submodule.span A (Set.range fun x ↦ presB.var x.1 • Finsupp.single x.2 1) →
          Finsupp.single r b + f ∈ Submodule.span A (Set.range fun x ↦ presB.var x.1 • Finsupp.single x.2 1)

Tactic:
b

Goal state after:
case single_add
B : Type u_1
inst✝⁸ : Ring B
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module B M
inst✝⁵ : DecidableEq B
presM : Presentation B M
inst✝⁴ : DecidableEq presM.G
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower A B M
presB : Presentation A B
data : presM.RestrictScalarsData presB
v : presM.R →₀ B
r : presM.R
b : B
⊢ ∀ (f : presM.R →₀ B),
    r ∉ f.support →
      b ≠ 0 →
        f ∈ Submodule.span A (Set.range fun x ↦ presB.var x.1 • Finsupp.single x.2 1) →
          Finsupp.single r b + f ∈ Submodule.span A (Set.range fun x ↦ presB.var x.1 • Finsupp.single x.2 1)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case a.convert_4.monomial
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
this✝ : DecidableEq (ι' →₀ ℕ) := Classical.decEq (ι' →₀ ℕ)
e : (ι' ⊕ ι →₀ ℕ) ≃+ (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ) := Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp
i : ι' →₀ ℕ
this :
  ∀ (x : (Q.comp P).Ring),
    (Function.support fun a ↦ if a.1 = i then (aeval P.val) ((monomial a.2) (coeff (e.symm a) x)) else 0) ⊆
      ↑(Finset.map (↑e).toEmbedding (support x))
v : ι' ⊕ ι →₀ ℕ
a : R
⊢ ∑ a_1 ∈ Finset.map (↑e).toEmbedding ((monomial v) a).support with a_1.1 = i,
      (aeval P.val) ((monomial a_1.2) (coeff (e.symm a_1) ((monomial v) a))) =
    coeff i ((Q.ofComp P).toAlgHom ((monomial v) a))

Tactic:
obtain ⟨v, rfl⟩ := e.symm.surjective v

Goal state after:
case a.convert_4.monomial
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
this✝ : DecidableEq (ι' →₀ ℕ) := Classical.decEq (ι' →₀ ℕ)
e : (ι' ⊕ ι →₀ ℕ) ≃+ (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ) := Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp
i : ι' →₀ ℕ
this :
  ∀ (x : (Q.comp P).Ring),
    (Function.support fun a ↦ if a.1 = i then (aeval P.val) ((monomial a.2) (coeff (e.symm a) x)) else 0) ⊆
      ↑(Finset.map (↑e).toEmbedding (support x))
a : R
v : (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ)
⊢ ∑ a_1 ∈ Finset.map (↑e).toEmbedding ((monomial (e.symm v)) a).support with a_1.1 = i,
      (aeval P.val) ((monomial a_1.2) (coeff (e.symm a_1) ((monomial (e.symm v)) a))) =
    coeff i ((Q.ofComp P).toAlgHom ((monomial (e.symm v)) a))