mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
⊢ ∃ n, Associated x (ϖ ^ n)

Tactic:
use Multiset.card fx

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
⊢ Associated x (ϖ ^ fx.card)
Module: Mathlib.RingTheory.KrullDimension.Zero

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ Ring.KrullDimLE 0 (R ⧸ I) ↔ ∀ J ∈ I.minimalPrimes, J.IsMaximal

Tactic:
rw [Ring.krullDimLE_zero_iff_forall_minimalPrimes_isMaximal, minimalPrimes_eq_comap,
    Set.forall_mem_image]
  refine forall₂_congr fun J hJ ↦ ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
  · exact comap_isMaximal_of_surjective (Quotient.mk I) Quotient.mk_surjective
  · have := map_eq_top_or_isMaximal_of_surjective (Quotient.mk I) Quotient.mk_surjective h
    rw [map_comap_of_surjective (Quotient.mk I) Quotient.mk_surjective] at this
    exact this.resolve_left hJ.1.1.ne_top

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
n : ℕ
u : Rˣ
hx : ↑u * ϖ ^ n ≠ 0
⊢ (addVal R) (↑u * ϖ ^ n) = 0 ↔ IsUnit (↑u * ϖ ^ n)

Tactic:
simp [isUnit_pow_iff_of_not_isUnit hϖ.not_isUnit, hϖ]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: case pos.inl
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ x y : R
h : v x ≠ 0
⊢ (if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤ ↑⟨Units.mk0 (v x) ⋯, ⋯⟩ ∨
    (if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤
      if h : v y = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v y) ⋯, ⋯⟩

Tactic:
split_ifs with H

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ x y : R
h : v x ≠ 0
H : v (x + y) = 0
⊢ (if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤ ↑⟨Units.mk0 (v x) ⋯, ⋯⟩ ∨
    (if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤
      if h : v y = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v y) ⋯, ⋯⟩

case neg
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ x y : R
h : v x ≠ 0
H : ¬v (x + y) = 0
⊢ (if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤ ↑⟨Units.mk0 (v x) ⋯, ⋯⟩ ∨
    (if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤
      if h : v y = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v y) ⋯, ⋯⟩
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: case pos.inr
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ x y : R
h : v y ≠ 0
⊢ ((if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤
      if h : v x = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v x) ⋯, ⋯⟩) ∨
    (if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤ ↑⟨Units.mk0 (v y) ⋯, ⋯⟩

Tactic:
split_ifs with H

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ x y : R
h : v y ≠ 0
H : v (x + y) = 0
⊢ ((if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤
      if h : v x = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v x) ⋯, ⋯⟩) ∨
    (if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤ ↑⟨Units.mk0 (v y) ⋯, ⋯⟩

case neg
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ x y : R
h : v y ≠ 0
H : ¬v (x + y) = 0
⊢ ((if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤
      if h : v x = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v x) ⋯, ⋯⟩) ∨
    (if h : v (x + y) = 0 then 0 else ↑⟨Units.mk0 (v (x + y)) ⋯, ⋯⟩) ≤ ↑⟨Units.mk0 (v y) ⋯, ⋯⟩
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.IntegrallyClosed

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ∀ (p : Ideal R), p ≠ ⊥ → ∀ [inst : p.IsMaximal], IsIntegrallyClosed (Localization.AtPrime p)
hf : ¬IsField R
⊢ ⨅ p ∈ Set.range MaximalSpectrum.toPrimeSpectrum, subalgebra (FractionRing R) p.asIdeal.primeCompl ⋯ = ⊥

Tactic:
rw [iInf_range]
    convert! MaximalSpectrum.iInf_localization_eq_bot R (FractionRing R)
    rw [subalgebra.ofField_eq, MaximalSpectrum.toPrimeSpectrum]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Dvr

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_2
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
this✝ : IsNoetherianRing Aₘ := isNoetherianRing P.primeCompl Aₘ inst✝⁴.toIsNoetherian
this : IsLocalRing Aₘ := isLocalRing Aₘ P
⊢ IsDiscreteValuationRing Aₘ

Tactic:
have hnf := IsLocalization.AtPrime.not_isField A hP Aₘ

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_2
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
this✝ : IsNoetherianRing Aₘ := isNoetherianRing P.primeCompl Aₘ inst✝⁴.toIsNoetherian
this : IsLocalRing Aₘ := isLocalRing Aₘ P
hnf : ¬IsField Aₘ
⊢ IsDiscreteValuationRing Aₘ
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : IsDomain S
R : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsJacobsonRing R
Rₘ : Type u_6
Sₘ : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
φ : R →+* S
hφ : Function.Injective ⇑φ
x : R
hx : x ≠ 0
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ
hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral
⊢ ⊥.jacobson = ⊥

Tactic:
by
  have hM : ((Submonoid.powers x).map φ : Submonoid S) ≤ nonZeroDivisors S :=
    map_le_nonZeroDivisors_of_injective φ hφ (powers_le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hx)
  let : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors _ hM
  let φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map _ φ (Submonoid.powers x).le_comap_map
  suffices ∀ I : Ideal Sₘ, I.IsMaximal → (I.comap (algebraMap S Sₘ)).IsMaximal by
    have hϕ' : comap (algebraMap S Sₘ) (⊥ : Ideal Sₘ) = (⊥ : Ideal S) := by
      rw [← RingHom.ker_eq_comap_bot, ← RingHom.injective_iff_ker_eq_bot]
      exact IsLocalization.injective Sₘ hM
    have hRₘ : IsJacobsonRing Rₘ := isJacobsonRing_localization x
    have hSₘ : IsJacobsonRing Sₘ := isJacobsonRing_of_isIntegral' φ' hφ'
    refine eq_bot_iff.mpr (le_trans ?_ (le_of_eq hϕ'))
    rw [← hSₘ.out isRadical_bot, comap_jacobson]
    exact sInf_le_sInf fun j hj => ⟨bot_le,
      let ⟨J, hJ⟩ := hj
      hJ.2 ▸ this J hJ.1.2⟩
  intro I hI
  -- Remainder of the proof is pulling and pushing ideals around the square and the quotient square
  have : (I.comap (algebraMap S Sₘ)).IsPrime := comap_isPrime _ I
  have : (I.comap φ').IsPrime := comap_isPrime φ' I
  have : (⊥ : Ideal (S ⧸ I.comap (algebraMap S Sₘ))).IsPrime := isPrime_bot
  have hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ := IsLocalization.map_comp _
  let f := quotientMap (I.comap (algebraMap S Sₘ)) φ le_rfl
  let g := quotientMap I (algebraMap S Sₘ) le_rfl
  have := isMaximal_comap_of_isIntegral_of_isMaximal' φ' hφ' I
  have := ((IsLocalization.isMaximal_iff_isMaximal_disjoint Rₘ x _).1 this).left
  have : ((I.comap (algebraMap S Sₘ)).comap φ).IsMaximal := by
    rwa [under_def, comap_comap, hcomm, ← comap_comap] at this
  rw [← bot_quotient_isMaximal_iff] at this ⊢
  refine isMaximal_of_isIntegral_of_isMaximal_comap' f ?_ ⊥
    ((eq_bot_iff.2 (comap_bot_le_of_injective f quotientMap_injective)).symm ▸ this)
  apply RingHom.IsIntegral.tower_bot f g quotientMap_injective
  rw [comp_quotientMap_eq_of_comp_eq hcomm]
  refine RingHom.IsIntegral.trans _ _ (RingHom.isIntegral_of_surjective _ ?_) (hφ'.quotient _)
  apply IsLocalization.surjective_quotientMap_of_maximal_of_localization (Submonoid.powers x)
  rwa [under_def, comap_comap, hcomm, ← bot_quotient_isMaximal_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.TFAE

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
⊢ [IsDiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime,
      Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1,
      ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE

Tactic:
have : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔
      finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1 := by
    simp [Nat.le_one_iff_eq_zero_or_eq_one, finrank_cotangentSpace_eq_zero_iff, h]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
⊢ [IsDiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime,
      Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1,
      ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.TorsionFree

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : IsDomain R
htors : torsion R M = ⊥
I : Ideal R
hFG : I.FG
h : I ≠ ⊥
hprinc : Submodule.IsPrincipal I
⊢ IsPrincipal.generator I ≠ 0

Tactic:
rwa [ne_eq, ← IsPrincipal.eq_bot_iff_generator_eq_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.RootPositive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : P.InvariantForm
i : ι
contra : B.form (P.root i) = 0
⊢ (B.form (P.root i)) (P.root i) = 0

Tactic:
simp [contra]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : -P.root j + P.root j ∈ range ⇑P.root
hij : P.root i = -P.root j
⊢ 0 ∈ range ⇑P.root

Tactic:
neg_add_cancel

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : 0 ∈ range ⇑P.root
hij : P.root i = -P.root j
⊢ 0 ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j = 0
hji : P.pairingIn S j i ≠ 0
⊢ 0 ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

Tactic:
P.pairingIn_eq_zero_iff.mp hij

Goal state after:
case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j = 0
hji : P.pairingIn S j i ≠ 0
⊢ 0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.OrzechProperty

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : OrzechProperty R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
⊢ LinearIndependent R b ↔ Fintype.card ι ≤ Set.finrank R (Set.range b)

Tactic:
linearIndependent_iff_card_eq_finrank_span,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : OrzechProperty R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
⊢ Fintype.card ι = Set.finrank R (Set.range b) ↔ Fintype.card ι ≤ Set.finrank R (Set.range b)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x✝ : P.pairing i j = 2 ∧ P.pairing j i = 2
h₁ : P.pairing i j = 2
h₂ : P.pairing j i = 2
this : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ i = j

Tactic:
replace this := P.pairing_smul_root_eq_of_not_linearIndependent this

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x✝ : P.pairing i j = 2 ∧ P.pairing j i = 2
h₁ : P.pairing i j = 2
h₂ : P.pairing j i = 2
this : P.pairing j i • P.root i = 2 • P.root j
⊢ i = j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsTorsionFree R N
h2 : IsSMulRegular R 2
this✝¹ : IsAddTorsionFree M
this✝ : IsAddTorsionFree N
x✝ : P.pairing i j = 1 ∧ P.pairing j i = 4
h₁ : P.pairing i j = 1
h₂ : P.pairing j i = 4
this : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root j = 2 • P.root i

Tactic:
replace this := P.pairing_smul_root_eq_of_not_linearIndependent this

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsTorsionFree R N
h2 : IsSMulRegular R 2
this✝¹ : IsAddTorsionFree M
this✝ : IsAddTorsionFree N
x✝ : P.pairing i j = 1 ∧ P.pairing j i = 4
h₁ : P.pairing i j = 1
h₂ : P.pairing j i = 4
this : P.pairing j i • P.root i = 2 • P.root j
⊢ P.root j = 2 • P.root i
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n
e : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), genWeightSpace_ne_bot' := e }
hW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)
H₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W
⊢ (1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑α + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W) = (chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β

Tactic:
simp only [Weight.coe_neg, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, Nat.cast_add, Nat.cast_one, coe_chainTop,
      smul_neg, ← neg_smul, hW, ← add_assoc, ← add_smul, ← sub_eq_add_neg]

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n
e : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), genWeightSpace_ne_bot' := e }
hW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)
H₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W
⊢ (1 + ↑n + ↑(chainTopCoeff (-⇑α) W) + (-↑(chainTopCoeff (-⇑α) W) - ↑n) + ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) • ⇑α + ⇑β =
    (↑(chainTopCoeff (⇑α) β) + 1) • ⇑α + ⇑β
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
i j : ι
⊢ span R (orbit (↥P.weylGroup) (P.root i)) ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection j)

Tactic:
let g : P.weylGroup := ⟨Equiv.reflection P j, P.reflection_mem_weylGroup j⟩

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
i j : ι
g : ↥P.weylGroup := ⟨Equiv.reflection P j, ⋯⟩
⊢ span R (orbit (↥P.weylGroup) (P.root i)) ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hk : P.root k + P.root i = P.root j + (r + 1) • P.root i
⊢ r + 1 ∈ Ioo r s

Tactic:
simp [contra]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ {k | P.root j + k • P.root i ∈ range ⇑P.root} = Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)

Tactic:
by
  ext; simp [← P.root_add_zsmul_mem_range_iff h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
i : ι
⊢ P.rootSpanMem ℚ i ∈ ↑(span ℚ (range v))

Tactic:
suffices (P.rootSpanMem ℚ i : M) ∈ span ℚ (P.root '' baseOf P.root f) by
      rw [← (injective_subtype (P.rootSpan ℚ)).mem_set_image, ← map_coe, SetLike.mem_coe, map_span,
        ← image_univ, ← image_comp]
      convert! this
      aesop

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
i : ι
⊢ ↑(P.rootSpanMem ℚ i) ∈ span ℚ (⇑P.root '' baseOf (⇑P.root) f)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
h_card : Nat.card ↑(baseOf (⇑P.root) f) = finrank R M
h_span : span R (range (⇑(P.rootSpan ℚ).subtype ∘ v)) = ⊤
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(baseOf (⇑P.root) f)) R (⇑(P.rootSpan ℚ).subtype ∘ v)

Tactic:
linearIndependent_iff_card_eq_finrank_span,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
h_card : Nat.card ↑(baseOf (⇑P.root) f) = finrank R M
h_span : span R (range (⇑(P.rootSpan ℚ).subtype ∘ v)) = ⊤
⊢ Fintype.card ↑(baseOf (⇑P.root) f) = Set.finrank R (range (⇑(P.rootSpan ℚ).subtype ∘ v))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this :
  ∀ (z : ℤ),
    z ∈ Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j) ↔ z ∈ Icc (-↑(chainBotCoeff (-i) j)) ↑(chainTopCoeff (-i) j)
⊢ chainTopCoeff i j ≤ chainBotCoeff ((P.reflectionPerm i) i) j

Tactic:
simpa using this (-P.chainTopCoeff i j)

Goal state after: