mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ (f₁ ≫ f' j₁) ≫ p = q ≫ p

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ f₁ ≫ p' j₁ = f₁ ≫ p' j₁

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ f₁ ≫ p'' j₁ = f₁ ≫ p'' j₁

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ f₂ ≫ p' j₂ = f₂ ≫ p' j₂

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ f₂ ≫ p'' j₂ = f₂ ≫ p'' j₂

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ p'' j₁ ≫ f (β j₁) = p' j₁ ≫ f (α j₁)

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ p'' j₂ ≫ f (β j₂) = p' j₂ ≫ f (α j₂)

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
X✝ Y✝ : F.DescentData f
φ : X✝ ⟶ Y✝
j : ι'
⊢ p'' j ≫ f (β j) = p' j ≫ f (α j)

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Point.OfIsCofiltered

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : LocallySmall.{w, v, u} C
N : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} N
p : N ⥤ C
inst✝¹ : InitiallySmall N
J : GrothendieckTopology C
inst✝ : IsCofiltered N
X : C
V U : N
f : p.obj U ⟶ X
φ₁ : ((functor p).obj V).fst ⟶ ⟨X, fiberMk f⟩.fst
hφ₁ : (hom ((fiber p).map φ₁)) ((functor p).obj V).snd = ⟨X, fiberMk f⟩.snd
φ₂ : ((functor p).obj V).fst ⟶ ⟨X, fiberMk f⟩.fst
hφ₂ : (hom ((fiber p).map φ₂)) ((functor p).obj V).snd = ⟨X, fiberMk f⟩.snd
⊢ ∃ c' t, (functor p).map t ≫ ⟨φ₁, hφ₁⟩ = (functor p).map t ≫ ⟨φ₂, hφ₂⟩

Tactic:
obtain ⟨W, g, hg⟩ := exists_of_fiberMk_eq_fiberMk
      (show fiberMk.{w} φ₁ = fiberMk.{w} φ₂ by simpa using hφ₁.trans hφ₂.symm)

Goal state after:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : LocallySmall.{w, v, u} C
N : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} N
p : N ⥤ C
inst✝¹ : InitiallySmall N
J : GrothendieckTopology C
inst✝ : IsCofiltered N
X : C
V U : N
f : p.obj U ⟶ X
φ₁ : ((functor p).obj V).fst ⟶ ⟨X, fiberMk f⟩.fst
hφ₁ : (hom ((fiber p).map φ₁)) ((functor p).obj V).snd = ⟨X, fiberMk f⟩.snd
φ₂ : ((functor p).obj V).fst ⟶ ⟨X, fiberMk f⟩.fst
hφ₂ : (hom ((fiber p).map φ₂)) ((functor p).obj V).snd = ⟨X, fiberMk f⟩.snd
W : N
g : W ⟶ V
hg : p.map g ≫ φ₁ = p.map g ≫ φ₂
⊢ ∃ c' t, (functor p).map t ≫ ⟨φ₁, hφ₁⟩ = (functor p).map t ≫ ⟨φ₂, hφ₂⟩
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Point.OfIsCofiltered

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : LocallySmall.{w, v, u} C
N : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} N
p : N ⥤ C
inst✝¹ : InitiallySmall N
J : GrothendieckTopology C
inst✝ : IsCofiltered N
X : C
V U : N
f : p.obj U ⟶ X
φ₁ : ((functor p).obj V).fst ⟶ ⟨X, fiberMk f⟩.fst
hφ₁ : (hom ((fiber p).map φ₁)) ((functor p).obj V).snd = ⟨X, fiberMk f⟩.snd
φ₂ : ((functor p).obj V).fst ⟶ ⟨X, fiberMk f⟩.fst
hφ₂ : (hom ((fiber p).map φ₂)) ((functor p).obj V).snd = ⟨X, fiberMk f⟩.snd
W : N
g : W ⟶ V
hg : p.map g ≫ φ₁ = p.map g ≫ φ₂
⊢ (functor p).map g ≫ ⟨φ₁, hφ₁⟩ = (functor p).map g ≫ ⟨φ₂, hφ₂⟩

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Precoverage.Generates

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
K : Precoverage C
J : GrothendieckTopology C
h : K.Generates J
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ K.coverings X, Presieve.IsSheafFor F R
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
t₁ t₂ : F.obj (Opposite.op X)
ht₁ : x.IsAmalgamation t₁
ht₂ : x.IsAmalgamation t₂
⊢ t₁ = t₂

Tactic:
let 𝒮 (Z : C) : Set (F.obj (.op Z)) :=
      .range (fun (g : { g : Z ⟶ X | S.arrows g }) ↦ x _ g.2) ∪
      .range (fun (g : Z ⟶ X) ↦ F.map g.op t₁) ∪ .range (fun (g : Z ⟶ X) ↦ F.map g.op t₂)

Goal state after:
case refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
K : Precoverage C
J : GrothendieckTopology C
h : K.Generates J
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
H : ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ K.coverings X, Presieve.IsSheafFor F R
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
t₁ t₂ : F.obj (Opposite.op X)
ht₁ : x.IsAmalgamation t₁
ht₂ : x.IsAmalgamation t₂
𝒮 : (Z : C) → Set (F.obj (Opposite.op Z)) :=
  fun Z ↦
    ((Set.range fun g ↦ x ↑g ⋯) ∪ Set.range fun g ↦ (ConcreteCategory.hom (F.map g.op)) t₁) ∪
      Set.range fun g ↦ (ConcreteCategory.hom (F.map g.op)) t₂
⊢ t₁ = t₂
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Precoverage.Generates

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
K : Coverage C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type (max u v)
h : ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ K.coverings X, Presieve.IsSheafFor F R
⊢ Presieve.IsSheaf K.toGrothendieck F

Tactic:
by rwa [Presieve.isSheaf_coverage]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Types

Goal state before:
pp: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (op α)
β : Type u
f : β ⟶ α
hf : discretePresieve α f
⊢ (ConcreteCategory.hom (S.map (↾fun x ↦ PUnit.unit).op))
      ((ConcreteCategory.hom (eval S α s)) ((ConcreteCategory.hom f) (Classical.choose hf))) =
    (ConcreteCategory.hom (S.map f.op)) s

Tactic:
simp only [eval, ConcreteCategory.hom_ofHom, TypeCat.Fun.coe_mk, ← comp_apply,
    ← Functor.map_comp, ← op_comp]

Goal state after:
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
s : S.obj (op α)
β : Type u
f : β ⟶ α
hf : discretePresieve α f
⊢ (ConcreteCategory.hom (S.map ((↾fun x ↦ PUnit.unit) ≫ ↾fun x ↦ (ConcreteCategory.hom f) (Classical.choose hf)).op))
      s =
    (ConcreteCategory.hom (S.map f.op)) s
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Types

Goal state before:
pp: S₁ S₂ : Sheaf typesGrothendieckTopology (Type u)
f : S₁ ⟶ S₂
⊢ (𝟭 (Sheaf typesGrothendieckTopology (Type u))).map f ≫ (equivYoneda' S₂).hom =
    (equivYoneda' S₁).hom ≫
      ((sheafToPresheaf typesGrothendieckTopology (Type u) ⋙ (evaluation Type uᵒᵖ (Type u)).obj (op PUnit.{u + 1})) ⋙
            yoneda').map
        f

Tactic:
ext ⟨α⟩ s
        dsimp at s ⊢
        ext x
        exact eval_app S₁ S₂ f α s x

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Subfunctor.SubmonoidFunctor

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M M' M'' : C ⥤ MonCat
S : SubmonoidFunctor M
p : M ⟶ M'
p' : M' ⟶ M''
⊢ image (p ≫ p') S = image p' (image p S)

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (i' : ι') → X' i' ⟶ S
h : Sieve.ofArrows X f = Sieve.ofArrows X' f'
α : ι' → ι
p' : (i' : ι') → X' i' ⟶ X (α i')
w : ∀ (i' : ι'), p' i' ≫ f (α i') = f' i'
β : ι → ι'
q' : (i : ι) → X i ⟶ X' (β i)
w' : ∀ (i : ι), q' i ≫ f' (β i) = f i
⊢ ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ (Iso.refl S).hom

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (i' : ι') → X' i' ⟶ S
h : Sieve.ofArrows X f = Sieve.ofArrows X' f'
α : ι' → ι
p' : (i' : ι') → X' i' ⟶ X (α i')
w : ∀ (i' : ι'), p' i' ≫ f (α i') = f' i'
β : ι → ι'
q' : (i : ι) → X i ⟶ X' (β i)
w' : ∀ (i : ι), q' i ≫ f' (β i) = f i
⊢ ∀ (i : ι), q' i ≫ f' (β i) = f i ≫ (Iso.refl S).inv

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
M N : ↑(F.obj { as := op S })
φ : Subtype (Presieve.Arrows.Compatible (F.presheafHom M N) fun i ↦ Over.homMk (f i) ⋯)
Y : C
q : Y ⟶ S
i₁ i₂ : ι
f₁ : Y ⟶ X i₁
f₂ : Y ⟶ X i₂
hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q
⊢ Over.homMk f₁ ⋯ ≫ (fun i ↦ Over.homMk (f i) ⋯) i₁ = Over.homMk f₂ ⋯ ≫ (fun i ↦ Over.homMk (f i) ⋯) i₂

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
S : C
R : Sieve S
S₀ : C
M N : ↑(F.obj { as := op S₀ })
a : S ⟶ S₀
h :
  Presieve.IsSheafFor (F.presheafHom M N)
    (Sieve.pullback (Over.isoMk (Iso.refl ((Over.map a).obj (Over.mk (𝟙 S))).left) ⋯).inv
        (Sieve.functorPushforward (Over.map a) ((Sieve.overEquiv (Over.mk (𝟙 S))).symm R))).arrows
Y : Over S₀
f : Y ⟶ Over.mk a
hf : ((Sieve.overEquiv (Over.mk a)).symm R).arrows f
⊢ f ≫ (Over.isoMk (Iso.refl ((Over.map a).obj (Over.mk (𝟙 S))).left) ⋯).inv =
    Over.homMk (𝟙 Y.left) ⋯ ≫ (Over.map a).map (Over.homMk (Over.Hom.left f) ⋯)

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
J : GrothendieckTopology C
inst✝ : F.IsPrestack J
hf : Sieve.ofArrows X f ∈ J S
⊢ Nonempty (F.toDescentData f).FullyFaithful

Tactic:
rw [← isPrestackFor_ofArrows_iff, ← IsPrestackFor_generate_iff,
      isPrestackFor_iff_isSheafFor]
    intro M N
    refine ((isSheaf_iff_isSheaf_of_type _ _).1
      (IsPrestack.isSheaf J M N)).isSheafFor _ ?_
    rwa [GrothendieckTopology.mem_over_iff, Sieve.generate_sieve, OrderIso.apply_symm_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Subobject.Classifier.Defs

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
Ω : C
h : SubobjectRepresentableBy Ω
U X : C
m : U ⟶ X
inst✝ : Mono m
⊢ Over.Hom.left (h.iso m).inv.hom ≫ h.π m = pullbackπ (h.χ m) h.Ω₀

Tactic:
dsimp only [π]
  rw [← Over.comp_left_assoc]
  convert! Category.id_comp _ using 2
  exact (MonoOver.forget _ ⋙ Over.forget _).congr_map (h.iso m).inv_hom_id

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Topos.Sheaf

Goal state before:
pp: case mpr
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type (max u v)
m : F ⟶ G
χ' : G ⟶ Functor.sieves C
X : Cᵒᵖ
x : G.obj X
h₁ : ∀ (x : Cᵒᵖ), m.app x ≫ χ'.app x = Types.isTerminalPUnit.from (F.obj x) ≫ ↾fun x_1 ↦ ⊤
h₂ : ∀ (x : Cᵒᵖ) (x₁ y₁ : F.obj x), (ConcreteCategory.hom (m.app x)) x₁ = (ConcreteCategory.hom (m.app x)) y₁ → x₁ = y₁
h₃ :
  ∀ (x : Cᵒᵖ) (x₂ : G.obj x), (ConcreteCategory.hom (χ'.app x)) x₂ = ⊤ → ∃ x₁, (ConcreteCategory.hom (m.app x)) x₁ = x₂
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
this :
  (ConcreteCategory.hom ((Functor.sieves C).map f.op)) ((ConcreteCategory.hom (χ'.app X)) x) =
    (ConcreteCategory.hom (↾fun S ↦ Sieve.pullback f.op.unop S)) ((ConcreteCategory.hom (χ'.app X)) x)
a : F.obj (Opposite.op Y)
h : (ConcreteCategory.hom (G.map f.op)) x = (ConcreteCategory.hom (m.app (Opposite.op Y))) a
⊢ (ConcreteCategory.hom (χ'.app (Opposite.op Y))) ((ConcreteCategory.hom (m.app (Opposite.op Y))) a) = ⊤

Tactic:
simpa using congr($(h₁ (.op Y)) a)

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.SheafCohomology.MayerVietoris

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
inst✝² : HasWeakSheafify J (Type v)
inst✝¹ : HasSheafify J AddCommGrpCat
inst✝ : HasExt (Sheaf J AddCommGrpCat)
S : J.MayerVietorisSquare
F : Sheaf J AddCommGrpCat
n : ℕ
x : ↑(F.H' n S.X₄)
⊢ Ext.biprodAddEquiv
      (Ext.biprodAddEquiv.symm
        ((ConcreteCategory.hom ((F.H' n S.X₂).biprodIsoProd (F.H' n S.X₃)).hom)
          ((ConcreteCategory.hom (S.toBiprod F n)) x))) =
    Ext.biprodAddEquiv ((Ext.mk₀ S.shortComplex.g).comp x ⋯)

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Topos.Sheaf

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J✝ : GrothendieckTopology C
F G : Sheaf J✝ (Type (max u v))
J : GrothendieckTopology C
X : Cᵒᵖ
x : (sieves C).obj X
⊢ x ∈ (Subfunctor.range (Presheaf.truth C)).obj X → x ∈ (closedSieves J).obj X

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Opposite.Functor

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : HasShift D ℤ
F : C ⥤ D
inst✝ : F.CommShift ℤ
X : Cᵒᵖ
n m : ℤ
h : n + m = 0
⊢ (commShiftIso F.op n).inv.app X =
    (shiftFunctorOpIso D n m h).hom.app (op (F.obj (unop X))) ≫
      ((commShiftIso F m).hom.app (unop X)).op ≫ (F.map ((shiftFunctorOpIso C n m h).inv.app X).unop).op

Tactic:
rw [← cancel_epi ((F.op.commShiftIso n).hom.app X), Iso.hom_inv_id_app,
    op_commShiftIso_hom_app _ X n m h, assoc, assoc]

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : HasShift D ℤ
F : C ⥤ D
inst✝ : F.CommShift ℤ
X : Cᵒᵖ
n m : ℤ
h : n + m = 0
⊢ 𝟙 ((shiftFunctor Cᵒᵖ n ⋙ F.op).obj X) =
    (F.map ((shiftFunctorOpIso C n m h).hom.app X).unop).op ≫
      ((commShiftIso F m).inv.app (unop X)).op ≫
        (shiftFunctorOpIso D n m h).inv.app (op (F.obj (unop X))) ≫
          (shiftFunctorOpIso D n m h).hom.app (op (F.obj (unop X))) ≫
            ((commShiftIso F m).hom.app (unop X)).op ≫ (F.map ((shiftFunctorOpIso C n m h).inv.app X).unop).op
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Adjunction

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ :
  F.map g ≫ (Functor.commShiftIso F 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) =
    h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (Functor.commShiftIso G 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
P✝ : C
φ : P✝ ⟶ Z
hφ : φ ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = 0
⊢ φ ≫ g = 0

Tactic:
← cancel_mono ((G.commShiftIso (1 : ℤ)).inv.app T.obj₁),

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ :
  F.map g ≫ (Functor.commShiftIso F 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) =
    h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (Functor.commShiftIso G 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
P✝ : C
φ : P✝ ⟶ Z
hφ : φ ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = 0
⊢ (φ ≫ g) ≫ (Functor.commShiftIso G 1).inv.app T.obj₁ = 0 ≫ (Functor.commShiftIso G 1).inv.app T.obj₁
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.TStructure.AbelianSubcategory

Goal state before:
pp: C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : HasZeroObject C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁴ : Pretriangulated C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} A
ι : A ⥤ C
hι : ∀ ⦃X Y : A⦄ ⦃n : ℤ⦄ (f : ι.obj X ⟶ (shiftFunctor C n).obj (ι.obj Y)), n < 0 → f = 0
X₁ X₂ : A
f₁ : X₁ ⟶ X₂
X₃ : C
f₂ : ι.obj X₂ ⟶ X₃
f₃ : X₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (ι.obj X₁)
hT : Triangle.mk (ι.map f₁) f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
K Q : A
α : (shiftFunctor C 1).obj (ι.obj K) ⟶ X₃
β : X₃ ⟶ ι.obj Q
γ : ι.obj Q ⟶ (shiftFunctor C 1).obj ((shiftFunctor C 1).obj (ι.obj K))
hT' : Triangle.mk α β γ ∈ distinguishedTriangles
inst✝² : ι.Full
inst✝¹ : Preadditive A
inst✝ : ι.Faithful
B : A
x₁ : B ⟶ X₁
hx₁ : x₁ ≫ f₁ = 0
x₃ : (shiftFunctor C 1).obj (ι.obj B) ⟶ (Triangle.mk (ι.map f₁) f₂ f₃).obj₃
hx₃ : (shiftFunctor C 1).map (ι.map x₁) = x₃ ≫ (Triangle.mk (ι.map f₁) f₂ f₃).mor₃
k' : (shiftFunctor C 1).obj (ι.obj B) ⟶ (Triangle.mk α β γ).obj₁
hk' : x₃ = k' ≫ (Triangle.mk α β γ).mor₁
⊢ (shiftFunctor C 1).map (ι.map x₁) = k' ≫ α ≫ f₃

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.TStructure.AbelianSubcategory

Goal state before:
pp: C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁸ : HasZeroObject C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁴ : Pretriangulated C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} A
ι : A ⥤ C
hι : ∀ ⦃X Y : A⦄ ⦃n : ℤ⦄ (f : ι.obj X ⟶ (shiftFunctor C n).obj (ι.obj Y)), n < 0 → f = 0
X₁ X₂ : A
f₁ : X₁ ⟶ X₂
X₃ : C
f₂ : ι.obj X₂ ⟶ X₃
f₃ : X₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (ι.obj X₁)
hT : Triangle.mk (ι.map f₁) f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
K Q : A
α : (shiftFunctor C 1).obj (ι.obj K) ⟶ X₃
β : X₃ ⟶ ι.obj Q
γ : ι.obj Q ⟶ (shiftFunctor C 1).obj ((shiftFunctor C 1).obj (ι.obj K))
hT' : Triangle.mk α β γ ∈ distinguishedTriangles
inst✝² : ι.Full
inst✝¹ : Preadditive A
inst✝ : ι.Faithful
B : A
x₂ : X₂ ⟶ B
hx₂ : f₁ ≫ x₂ = 0
x₁ : (Triangle.mk (ι.map f₁) f₂ f₃).obj₃ ⟶ ι.obj B
hx₁ : ι.map x₂ = (Triangle.mk (ι.map f₁) f₂ f₃).mor₂ ≫ x₁
k : (Triangle.mk α β γ).obj₃ ⟶ ι.obj B
hk : x₁ = (Triangle.mk α β γ).mor₂ ≫ k
⊢ ι.map (πQ f₂ β ≫ ι.preimage k) = ι.map x₂

Tactic:
by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.Additive.AP.Three.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : IsCancelMul α
s : Set α
a : α
hs : ThreeGPFree s
ha : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b
ha' : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a
b : α
hb : b = a ∨ b ∈ s
c : α
hc : c = a ∨ c ∈ s
d : α
hd : d = a ∨ d ∈ s
h : b * d = c * c
⊢ b = c

Tactic:
obtain rfl | hb := hb

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : IsCancelMul α
s : Set α
hs : ThreeGPFree s
b c d : α
h : b * d = c * c
ha : ∀ ⦃b_1 : α⦄, b_1 ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = b_1 * b_1 → b = b_1
ha' : ∀ ⦃b_1 : α⦄, b_1 ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b_1 * c = b * b → b_1 = b
hc : c = b ∨ c ∈ s
hd : d = b ∨ d ∈ s
⊢ b = c

case inr
α : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : IsCancelMul α
s : Set α
a : α
hs : ThreeGPFree s
ha : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b
ha' : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a
b c : α
hc : c = a ∨ c ∈ s
d : α
hd : d = a ∨ d ∈ s
h : b * d = c * c
hb : b ∈ s
⊢ b = c