Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Interval

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
a b c : α
inst✝² : Fact (a ≤ b)
inst✝¹ : Fact (b ≤ c)
E : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace E
f : C(↑(Icc a b), E)
g : C(↑(Icc b c), E)
ι : Type u_3
p : Filter ι
F : ι → C(↑(Icc a b), E)
G : ι → C(↑(Icc b c), E)
hfg✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, (F i) ⊤ = (G i) ⊥
hfg' : f ⊤ = g ⊥
hf✝ :
  ∀ (K : Set ↑(Icc a b)),
    IsCompact K → ∀ (U : Set E), IsOpen[inst✝] U → MapsTo (⇑f) K U → ∀ᶠ (a_4 : ι) in p, MapsTo (⇑(F a_4)) K U
hg✝ :
  ∀ (K : Set ↑(Icc b c)),
    IsCompact K → ∀ (U : Set E), IsOpen[inst✝] U → MapsTo (⇑g) K U → ∀ᶠ (a : ι) in p, MapsTo (⇑(G a)) K U
K : Set ↑(Icc a c)
hK : IsCompact K
U : Set E
hU : IsOpen[inst✝] U
hfgU : MapsTo (⇑(f.concat g)) K U
h : b ∈ Icc a c
K₁ : Set ↑(Icc a b) := ⇑projIccCM '' Subtype.val '' (K ∩ Iic ⟨b, h⟩)
K₂ : Set ↑(Icc b c) := ⇑projIccCM '' Subtype.val '' (K ∩ Ici ⟨b, h⟩)
hK₁ : IsCompact K₁
hK₂ : IsCompact K₂
hfU : MapsTo (⇑f) K₁ U
hgU : MapsTo (⇑g) K₂ U
i : ι
hf : MapsTo (⇑(F i)) K₁ U
hg : MapsTo (⇑(G i)) K₂ U
hfg : (F i) ⊤ = (G i) ⊥
x : ↑(Icc a c)
hx : x ∈ K
⊢ ((F i).concat (G i)) x ∈ U

Tactic:
by_cases! hxb : x ≤ b

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
a b c : α
inst✝² : Fact (a ≤ b)
inst✝¹ : Fact (b ≤ c)
E : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace E
f : C(↑(Icc a b), E)
g : C(↑(Icc b c), E)
ι : Type u_3
p : Filter ι
F : ι → C(↑(Icc a b), E)
G : ι → C(↑(Icc b c), E)
hfg✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, (F i) ⊤ = (G i) ⊥
hfg' : f ⊤ = g ⊥
hf✝ :
  ∀ (K : Set ↑(Icc a b)),
    IsCompact K → ∀ (U : Set E), IsOpen[inst✝] U → MapsTo (⇑f) K U → ∀ᶠ (a_4 : ι) in p, MapsTo (⇑(F a_4)) K U
hg✝ :
  ∀ (K : Set ↑(Icc b c)),
    IsCompact K → ∀ (U : Set E), IsOpen[inst✝] U → MapsTo (⇑g) K U → ∀ᶠ (a : ι) in p, MapsTo (⇑(G a)) K U
K : Set ↑(Icc a c)
hK : IsCompact K
U : Set E
hU : IsOpen[inst✝] U
hfgU : MapsTo (⇑(f.concat g)) K U
h : b ∈ Icc a c
K₁ : Set ↑(Icc a b) := ⇑projIccCM '' Subtype.val '' (K ∩ Iic ⟨b, h⟩)
K₂ : Set ↑(Icc b c) := ⇑projIccCM '' Subtype.val '' (K ∩ Ici ⟨b, h⟩)
hK₁ : IsCompact K₁
hK₂ : IsCompact K₂
hfU : MapsTo (⇑f) K₁ U
hgU : MapsTo (⇑g) K₂ U
i : ι
hf : MapsTo (⇑(F i)) K₁ U
hg : MapsTo (⇑(G i)) K₂ U
hfg : (F i) ⊤ = (G i) ⊥
x : ↑(Icc a c)
hx : x ∈ K
hxb : ↑x ≤ b
⊢ ((F i).concat (G i)) x ∈ U

case neg
α : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
a b c : α
inst✝² : Fact (a ≤ b)
inst✝¹ : Fact (b ≤ c)
E : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace E
f : C(↑(Icc a b), E)
g : C(↑(Icc b c), E)
ι : Type u_3
p : Filter ι
F : ι → C(↑(Icc a b), E)
G : ι → C(↑(Icc b c), E)
hfg✝ : ∀ᶠ (i : ι) in p, (F i) ⊤ = (G i) ⊥
hfg' : f ⊤ = g ⊥
hf✝ :
  ∀ (K : Set ↑(Icc a b)),
    IsCompact K → ∀ (U : Set E), IsOpen[inst✝] U → MapsTo (⇑f) K U → ∀ᶠ (a_4 : ι) in p, MapsTo (⇑(F a_4)) K U
hg✝ :
  ∀ (K : Set ↑(Icc b c)),
    IsCompact K → ∀ (U : Set E), IsOpen[inst✝] U → MapsTo (⇑g) K U → ∀ᶠ (a : ι) in p, MapsTo (⇑(G a)) K U
K : Set ↑(Icc a c)
hK : IsCompact K
U : Set E
hU : IsOpen[inst✝] U
hfgU : MapsTo (⇑(f.concat g)) K U
h : b ∈ Icc a c
K₁ : Set ↑(Icc a b) := ⇑projIccCM '' Subtype.val '' (K ∩ Iic ⟨b, h⟩)
K₂ : Set ↑(Icc b c) := ⇑projIccCM '' Subtype.val '' (K ∩ Ici ⟨b, h⟩)
hK₁ : IsCompact K₁
hK₂ : IsCompact K₂
hfU : MapsTo (⇑f) K₁ U
hgU : MapsTo (⇑g) K₂ U
i : ι
hf : MapsTo (⇑(F i)) K₁ U
hg : MapsTo (⇑(G i)) K₂ U
hfg : (F i) ⊤ = (G i) ⊥
x : ↑(Icc a c)
hx : x ∈ K
hxb : b < ↑x
⊢ ((F i).concat (G i)) x ∈ U