mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : chainLength α β = n + n
H : k = ↑(↑n - ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
⊢ rootSpace H✝ (k • ⇑α + ⇑0) ≠ ⊥

Tactic:
← h,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : chainLength α β = n + n
H : k = ↑(↑n - ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
⊢ rootSpace H✝ (⇑β + ⇑0) ≠ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case inr.inr.refine_1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : chainLength α β = 2 * n + 1
H : k * 2 / 2 = ↑(↑(2 * n + 1) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) / 2
hk : k = ↑n + 2⁻¹ - ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) ∧ -(↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑n) ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)

pp: case inr.inr.refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : chainLength α β = 2 * n + 1
H : k * 2 / 2 = ↑(↑(2 * n + 1) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) / 2
hk : k = ↑n + 2⁻¹ - ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
this : rootSpace H✝ ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑n) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1

Tactic:
· simp only [tsub_le_iff_right, le_add_iff_nonneg_right, Nat.cast_nonneg, neg_sub, true_and]
      rw [← Nat.cast_add, chainBotCoeff_add_chainTopCoeff, hn]
      lia

Goal state after:
case inr.inr.refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : chainLength α β = 2 * n + 1
H : k * 2 / 2 = ↑(↑(2 * n + 1) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) / 2
hk : k = ↑n + 2⁻¹ - ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
this : rootSpace H✝ ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑n) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₂
inst✝⁶ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module.IsTorsionFree R M₂
inst✝² : Finite ι₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : Q.IsRootSystem
f : M ≃ₗ[R] M₂
e : ι ≃ ι₂
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) = Q.root (e i)
⊢ ⇑↑(Q.flip.toPerfPair ≪≫ₗ (f.dualMap ≪≫ₗ P.flip.toPerfPair.symm)) ∘ ⇑Q.coroot = ⇑P.coroot ∘ ⇑e.symm

Tactic:
let g : N ≃ₗ[R] N₂ := P.flip.toPerfPair.trans <| f.symm.dualMap.trans Q.flip.toPerfPair.symm

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₂
inst✝⁶ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module.IsTorsionFree R M₂
inst✝² : Finite ι₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : Q.IsRootSystem
f : M ≃ₗ[R] M₂
e : ι ≃ ι₂
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) = Q.root (e i)
g : N ≃ₗ[R] N₂ := P.flip.toPerfPair ≪≫ₗ (f.symm.dualMap ≪≫ₗ Q.flip.toPerfPair.symm)
⊢ ⇑↑(Q.flip.toPerfPair ≪≫ₗ (f.dualMap ≪≫ₗ P.flip.toPerfPair.symm)) ∘ ⇑Q.coroot = ⇑P.coroot ∘ ⇑e.symm
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
hli_ne : P.root l ≠ P.root i
h₁ : 0 ≤ P.pairingIn ℤ k i
h₂ : P.pairingIn ℤ k i = P.pairingIn ℤ j i + r * 2
⊢ False

Tactic:
have h₃ : P.pairingIn ℤ l i ≤ 0 := by
    have := P.root_sub_root_mem_of_pairingIn_pos (i := l) (j := i)
    contrapose! this
    exact ⟨this, fun x ↦ hli_ne (congrArg P.root x), hli_notMem⟩

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
hli_ne : P.root l ≠ P.root i
h₁ : 0 ≤ P.pairingIn ℤ k i
h₂ : P.pairingIn ℤ k i = P.pairingIn ℤ j i + r * 2
h₃ : P.pairingIn ℤ l i ≤ 0
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j = 0

Tactic:
by
  simp only [chainBotCoeff, h, reduceDIte]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]

Tactic:
rw [P.root_chainTopIdx, add_comm (P.root j), ← natCast_zsmul,
      LinearIndependent.pair_add_smul_right_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
z : ℤ
hk : P.root k = P.root i + z • P.root j
f : ι → ℤ
hf : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
⊢ P.root k = ∑ l ∈ b.support, (f + z • g) l • P.root l

Tactic:
simp_rw [Pi.add_apply, Pi.smul_apply, add_smul, smul_assoc, Finset.sum_add_distrib,
      ← Finset.smul_sum, ← hf, ← hg, hk]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
i : ι
⊢ P.coroot i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.coroot '' s) ∨ -P.coroot i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.coroot '' s)

Tactic:
by
  let _i := P.indexNeg
  let _i : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
  let _i : Module ℚ M := Module.compHom M (algebraMap ℚ R)
  let _i : Module ℚ N := Module.compHom N (algebraMap ℚ R)
  obtain ⟨f, hf'⟩ := exists_dual_forall_apply_eq_one (hli.restrict_scalars' ℚ)
  have hf := P.eq_baseOf_of_linearIndepOn_of_mem_or_neg_mem_closure s hli hsp f hf'
  have hf₀ (i : ι) : f (P.root i) ≠ 0 :=
    AddSubmonoid.apply_ne_zero_of_mem_or_neg_mem_closure P.root (f : M →+ ℚ) s (by simp_all) i
      (P.ne_zero i) (by simp) (hsp i)
  have aux (i : ι) : ∃ q : ℚ, 0 < q ∧ q = 2 / P.RootForm (P.root i) (P.root i) := by
    refine ⟨2 / P.RootFormIn ℚ (P.rootSpanMem ℚ i) (P.rootSpanMem ℚ i), ?_, ?_⟩
    · simp only [Nat.ofNat_pos, div_pos_iff_of_pos_left, ← posRootForm_eq]
      exact (P.posRootForm ℚ).zero_lt_posForm_apply_root i (P.rootSpanMem ℚ i).property
    · simp [← P.algebraMap_rootFormIn ℚ (P.rootSpanMem ℚ i) (P.rootSpanMem ℚ i)]
  let g : Dual ℚ N := f ∘ₗ (P.PolarizationEquiv.symm.restrictScalars ℚ).toLinearMap
  have hg₀ (i : ι) : g (P.coroot i) ≠ 0 := by
    obtain ⟨q, hq₀, hq⟩ := aux i
    simp [g, coroot_eq_polarizationEquiv_apply_root, ← hq, Rat.cast_smul_eq_qsmul, hq₀.ne', hf₀ i]
  have hg (i : ι) : 0 < g (P.coroot i) ↔ 0 < f (P.root i) := by
    obtain ⟨q, hq₀, hq⟩ := aux i
    simp [g, coroot_eq_polarizationEquiv_apply_root, ← hq, Rat.cast_smul_eq_qsmul, hq₀]
  rw [hf, P.baseOf_root_eq_baseOf_coroot f hf₀ g hg₀ (fun i ↦ (hg i).symm)]
  exact mem_or_neg_mem_closure_baseOf P.coroot (g : N →+ ℚ) i (hg₀ i) (by simp)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.DotProduct

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
v : n → R
⊢ 0 < v ⬝ᵥ star v ↔ v ≠ 0

Tactic:
simpa using dotProduct_star_self_pos_iff (v := star v)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Hermitian

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : StarRing α
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
D : Matrix n n α
x : m → α
y : n → α
inst✝ : Invertible A
hA : A.IsHermitian
⊢ star (x ⊕ᵥ y) ᵥ* fromBlocks A B Bᴴ D ⬝ᵥ (x ⊕ᵥ y) =
    star (x + (A⁻¹ * B) *ᵥ y) ᵥ* A ⬝ᵥ (x + (A⁻¹ * B) *ᵥ y) + star y ᵥ* (D - Bᴴ * A⁻¹ * B) ⬝ᵥ y

Tactic:
simp [Function.star_sumElim, vecMul_fromBlocks, add_vecMul,
    dotProduct_mulVec, vecMul_sub, Matrix.mul_assoc, hA.eq,
    conjTranspose_nonsing_inv, star_mulVec]

Goal state after:
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : StarRing α
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
D : Matrix n n α
x : m → α
y : n → α
inst✝ : Invertible A
hA : A.IsHermitian
⊢ star x ᵥ* A ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* D ⬝ᵥ y) =
    star x ᵥ* A ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* (Bᴴ * (A⁻¹ * B)) ⬝ᵥ y) +
      (star y ᵥ* D ⬝ᵥ y - star y ᵥ* (Bᴴ * (A⁻¹ * B)) ⬝ᵥ y)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ (1 ^ (n + 1))⁻¹ = 1

Tactic:
one_pow,

Goal state after:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
⊢ 1⁻¹ = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
⊢ A⁻¹ ^ ↑n = (A ^ ↑n)⁻¹

Tactic:
by rw [zpow_natCast, zpow_natCast, inv_pow']

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ
⊢ (A ^ n)⁻¹ = (A * A ^ n)⁻¹ * A

Tactic:
rw [mul_inv_rev, Matrix.mul_assoc, nonsing_inv_mul _ h, Matrix.mul_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Matrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
d : n → R
μ : R
b : Basis n R M
inst✝ : IsDomain R
x : M
hx : x ∈ maxGenEigenspace ((toLin b b) (diagonal d)) μ
k : ℕ
hk : ((toLin b b) (diagonal (d - μ • 1)) ^ k) x = 0
j : n
aux : (toLin b b) (diagonal d) - μ • 1 = (toLin b b) (diagonal (d - μ • 1))
⊢ (b.repr x) j = 0 ∨ d j = μ ∧ k ≠ 0

Tactic:
← toLin_pow,

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
d : n → R
μ : R
b : Basis n R M
inst✝ : IsDomain R
x : M
hx : x ∈ maxGenEigenspace ((toLin b b) (diagonal d)) μ
k : ℕ
hk : ((toLin b b) (diagonal (d - μ • 1) ^ k)) x = 0
j : n
aux : (toLin b b) (diagonal d) - μ • 1 = (toLin b b) (diagonal (d - μ • 1))
⊢ (b.repr x) j = 0 ∨ d j = μ ∧ k ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det
hy' : IsUnit (Y ^ n.succ).det
⊢ A * ↑hx'.unit⁻¹ • (X ^ n.succ * (X ^ n.succ).adjugate) = Y ^ n.succ * (↑hy'.unit⁻¹ • (Y ^ n.succ).adjugate * A)

Tactic:
mul_adjugate,

Goal state after:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det
hy' : IsUnit (Y ^ n.succ).det
⊢ A * ↑hx'.unit⁻¹ • (X ^ n.succ).det • 1 = Y ^ n.succ * (↑hy'.unit⁻¹ • (Y ^ n.succ).adjugate * A)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det
hy' : IsUnit (Y ^ n.succ).det
⊢ A * ↑hx'.unit⁻¹ • (X ^ n.succ).det • 1 = ↑hy'.unit⁻¹ • (Y ^ n.succ * (Y ^ n.succ).adjugate) * A

Tactic:
mul_adjugate,

Goal state after:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det
hy' : IsUnit (Y ^ n.succ).det
⊢ A * ↑hx'.unit⁻¹ • (X ^ n.succ).det • 1 = ↑hy'.unit⁻¹ • (Y ^ n.succ).det • 1 * A
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
m n : ℕ
⊢ A ^ (↑m * ↑n) = (A ^ ↑m) ^ ↑n

Tactic:
by
    rw [zpow_natCast, zpow_natCast, ← pow_mul, ← zpow_natCast, Int.natCast_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : DecidableEq n
x : n →₀ R
i : n
x✝¹ : i ∈ x.support
j : n
x✝ : j ∈ x.support
⊢ 0 ≤ star (x i) * 1 i j * x j

Tactic:
by
    obtain rfl | hij := eq_or_ne i j <;> simp [*]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: m : Type u_1
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
ι : Type u_5
inst✝ : AddLeftMono R
A : ι → Matrix m m R
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hA : ∀ i ∈ s, (A i).PosDef
⊢ (∑ i ∈ s, A i).PosDef

Tactic:
classical
  induction s using Finset.induction_on with
  | empty => simp at hs
  | insert i hi hins H =>
      rw [Finset.sum_insert hins]
      by_cases h : ¬ hi.Nonempty
      · simp_all
      · exact PosDef.add (hA _ <| Finset.mem_insert_self i hi) <|
          H (not_not.mp h) fun _ _hi => hA _ (Finset.mem_insert_of_mem _hi)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Finite m
A : Matrix n n R
hA : A.PosSemidef
B : Matrix m n R
⊢ (B * A * Bᴴ).PosSemidef

Tactic:
simpa only [conjTranspose_conjTranspose] using hA.conjTranspose_mul_mul_same Bᴴ

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
this : ∀ (x : n →₀ R), x = 0 ↔ Finsupp.equivFunOnFinite x = 0
⊢ M.PosDef ↔ M.IsHermitian ∧ ∀ ⦃x : n → R⦄, x ≠ 0 → 0 < star x ⬝ᵥ M *ᵥ x

Tactic:
simp [PosDef, ← Finsupp.equivFunOnFinite.forall_congr_right, dotProduct, mulVec,
    Finsupp.sum_fintype, Finset.mul_sum, mul_assoc, this]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
A : Matrix n n R
B : Matrix m n R
hA : A.PosDef
hB : Function.Injective fun v ↦ v ᵥ* B
⊢ (B * A * Bᴴ).PosDef

Tactic:
by
  replace hB := star_injective.comp <| hB.comp star_injective
  simp_rw [Function.comp_def, star_vecMul, star_star] at hB
  simpa using hA.conjTranspose_mul_mul_same (B := Bᴴ) hB

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j : ι
hij : (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) i = (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) j
f g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
f' : ↥b.support → ℤ := f ∘ Subtype.val
g' : ↥b.support → ℤ := g ∘ Subtype.val
hf : (fun k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) = f' ᵥ* b.cartanMatrix
⊢ (fun k ↦ P.pairingIn ℤ j ↑k) = g' ᵥ* b.cartanMatrix

Tactic:
suffices ∀ k, P.pairingIn ℤ j k = ∑ l ∈ b.support, g l * P.pairingIn ℤ l k by
      ext; simp [g', this, cartanMatrixIn, Matrix.vecMul_eq_sum, b.support.sum_subtype (by tauto)]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j : ι
hij : (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) i = (fun i k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) j
f g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
f' : ↥b.support → ℤ := f ∘ Subtype.val
g' : ↥b.support → ℤ := g ∘ Subtype.val
hf : (fun k ↦ P.pairingIn ℤ i ↑k) = f' ᵥ* b.cartanMatrix
⊢ ∀ (k : ι), P.pairingIn ℤ j k = ∑ l ∈ b.support, g l * P.pairingIn ℤ l k
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
n : ℕ
ih : eval r (descPochhammer R n) = eval (r - ↑n + 1) (ascPochhammer R n)
⊢ eval (r - ↑n + 1) (ascPochhammer R n) * (r - ↑n) =
    eval (r - ↑n) ((ascPochhammer R n).comp (map (algebraMap ℕ R) (X + 1))) * (r - ↑n)

Tactic:
ascPochhammer_eval_comp,

Goal state after:
case succ
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
n : ℕ
ih : eval r (descPochhammer R n) = eval (r - ↑n + 1) (ascPochhammer R n)
⊢ eval (r - ↑n + 1) (ascPochhammer R n) * (r - ↑n) =
    eval (eval₂ (algebraMap ℕ R) (r - ↑n) (X + 1)) (ascPochhammer R n) * (r - ↑n)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L
hy : y ∈ (engel R x).normalizer
⊢ y ∈ engel R x

Tactic:
mem_normalizer_iff

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L
hy : ∀ y_1 ∈ engel R x, ⁅y, y_1⁆ ∈ engel R x
⊢ y ∈ engel R x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝⁴ : Fintype ι₁
this✝³ : Fintype ι₂
this✝² : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝¹ : H₂.IsCartanSubalgebra
this✝ : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
contra : prod eι b₁ b₂ = ⊤
this : ∀ (x : ↥H₁ × ↥H₂) (hx : (↑x.1, ↑x.2) ∈ prod eι b₁ b₂), ⟨(↑x.1, ↑x.2), hx⟩ ∈ prodCartan eι b₁ b₂
f : ↥H₁ × ↥H₂ →ₗ[K] ↥(prodCartan eι b₁ b₂) := { toFun := fun x ↦ ⟨⟨(↑x.1, ↑x.2), ⋯⟩, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
f_inj : Injective ⇑f
g : ↥H₁ × ↥H₂ →ₗ[K] ↥H₁ := ↑(prodCartanEquiv eι b₁ b₂) ∘ₗ f
hg₁ : Injective ⇑g
x₂ : ↥H₂
hx₂ : x₂ ≠ 0
⊢ False

Tactic:
have hg₂ : g (0, x₂) = g (0, 0) := rfl

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝⁴ : Fintype ι₁
this✝³ : Fintype ι₂
this✝² : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝¹ : H₂.IsCartanSubalgebra
this✝ : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
contra : prod eι b₁ b₂ = ⊤
this : ∀ (x : ↥H₁ × ↥H₂) (hx : (↑x.1, ↑x.2) ∈ prod eι b₁ b₂), ⟨(↑x.1, ↑x.2), hx⟩ ∈ prodCartan eι b₁ b₂
f : ↥H₁ × ↥H₂ →ₗ[K] ↥(prodCartan eι b₁ b₂) := { toFun := fun x ↦ ⟨⟨(↑x.1, ↑x.2), ⋯⟩, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
f_inj : Injective ⇑f
g : ↥H₁ × ↥H₂ →ₗ[K] ↥H₁ := ↑(prodCartanEquiv eι b₁ b₂) ∘ₗ f
hg₁ : Injective ⇑g
x₂ : ↥H₂
hx₂ : x₂ ≠ 0
hg₂ : g (0, x₂) = g (0, 0)
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
n : L
hn : n ∈ N
⊢ ⁅x, n⁆ ∈ H

Tactic:
mem_normalizer_iff

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
n : L
hn : ∀ y ∈ H, ⁅n, y⁆ ∈ H
⊢ ⁅x, n⁆ ∈ H