Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.SetIntegral

Goal state before:
pp: X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup H
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : NormedSpace ℝ H
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace H
C : G →L[ℝ] H
hf : Integrable f μ.variation
⊢ C ∫ᵛ (y : X), f y ∂[B; μ] = ∫ᵛ (y : X), f y ∂[(compL ℝ F G H) C ∘SL B; μ]

Tactic:
apply hf.induction (P := fun f ↦ C (∫ᵛ y, f y ∂[B; μ]) = ∫ᵛ y, f y ∂[((compL ℝ F G H C) ∘L B); μ])

Goal state after:
case h_ind
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup H
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : NormedSpace ℝ H
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace H
C : G →L[ℝ] H
hf : Integrable f μ.variation
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set X⦄,
    MeasurableSet s →
      μ.variation s < ∞ →
        C ∫ᵛ (y : X), s.indicator (fun x ↦ c) y ∂[B; μ] =
          ∫ᵛ (y : X), s.indicator (fun x ↦ c) y ∂[(compL ℝ F G H) C ∘SL B; μ]

case h_add
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup H
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : NormedSpace ℝ H
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace H
C : G →L[ℝ] H
hf : Integrable f μ.variation
⊢ ∀ ⦃f g : X → E⦄,
    Disjoint (support f) (support g) →
      Integrable f μ.variation →
        Integrable g μ.variation →
          C ∫ᵛ (y : X), f y ∂[B; μ] = ∫ᵛ (y : X), f y ∂[(compL ℝ F G H) C ∘SL B; μ] →
            C ∫ᵛ (y : X), g y ∂[B; μ] = ∫ᵛ (y : X), g y ∂[(compL ℝ F G H) C ∘SL B; μ] →
              C ∫ᵛ (y : X), (f + g) y ∂[B; μ] = ∫ᵛ (y : X), (f + g) y ∂[(compL ℝ F G H) C ∘SL B; μ]

case h_closed
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup H
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : NormedSpace ℝ H
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace H
C : G →L[ℝ] H
hf : Integrable f μ.variation
⊢ IsClosed {f | C ∫ᵛ (y : X), ↑↑f y ∂[B; μ] = ∫ᵛ (y : X), ↑↑f y ∂[(compL ℝ F G H) C ∘SL B; μ]}

case h_ae
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup H
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : NormedSpace ℝ H
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace H
C : G →L[ℝ] H
hf : Integrable f μ.variation
⊢ ∀ ⦃f g : X → E⦄,
    f =ᵐ[μ.variation] g →
      Integrable f μ.variation →
        C ∫ᵛ (y : X), f y ∂[B; μ] = ∫ᵛ (y : X), f y ∂[(compL ℝ F G H) C ∘SL B; μ] →
          C ∫ᵛ (y : X), g y ∂[B; μ] = ∫ᵛ (y : X), g y ∂[(compL ℝ F G H) C ∘SL B; μ]