mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂⟫ = 0

Tactic:
exact o.inner_eq_zero_of_oangle_eq_neg_pi_div_two h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (-(p₃ -ᵥ p₂) + (p₁ -ᵥ p₂))).sign = -(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₂ + -(p₃ -ᵥ p₂))).sign = -(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃))) = ‖p₂ -ᵥ p₃‖ / ‖p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃)‖

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))) = ‖p₂ -ᵥ p₃‖ / ‖p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂)‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃

Tactic:
← @vsub_ne_zero V,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0 ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2

pp: case neg.refine_2
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2)

Tactic:
· rwa [o.angle_eq_abs_oangle_toReal hx hy, Real.Angle.abs_toReal_eq_pi_div_two_iff]

Goal state after:
case neg.refine_2
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃))) = ‖p₁ -ᵥ p₂‖ / ‖p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃)‖

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))) = ‖p₁ -ᵥ p₂‖ / ‖p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂)‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.tan (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃))) = ‖p₁ -ᵥ p₂‖ / ‖p₂ -ᵥ p₃‖

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.tan (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))) = ‖p₁ -ᵥ p₂‖ / ‖p₂ -ᵥ p₃‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃))) * ‖p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃)‖ = ‖p₂ -ᵥ p₃‖

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))) * ‖p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂)‖ = ‖p₂ -ᵥ p₃‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃))) * ‖p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃)‖ = ‖p₁ -ᵥ p₂‖

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))) * ‖p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂)‖ = ‖p₁ -ᵥ p₂‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₂ ≠ p₃
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂

Tactic:
← @vsub_ne_zero V,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0
⊢ Real.tan (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃))) * ‖p₂ -ᵥ p₃‖ = ‖p₁ -ᵥ p₂‖

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0
⊢ Real.tan (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))) * ‖p₂ -ᵥ p₃‖ = ‖p₁ -ᵥ p₂‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃

Tactic:
← @vsub_ne_zero V,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0
⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0
⊢ ‖p₂ -ᵥ p₃‖ / Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃))) = ‖p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃)‖

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0
⊢ ‖p₂ -ᵥ p₃‖ / Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))) = ‖p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂)‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₂ = p₃
⊢ dist p₁ p₂ / Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃

Tactic:
← @vsub_ne_zero V,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0 ∨ p₂ = p₃
⊢ dist p₁ p₂ / Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₂‖ / Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃))) = ‖p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃)‖

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₂‖ / Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))) = ‖p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂)‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₂ = p₃
⊢ dist p₁ p₂ / Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂

Tactic:
← @vsub_ne_zero V,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0 ∨ p₂ = p₃
⊢ dist p₁ p₂ / Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ 0).succ → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
⊢ m 0 • x - (m 1 * r) • x + (m 1 * r) • x + m 1 • y = 0 ∧ (m 0 - m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)

Tactic:
sub_add_cancel

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ 0).succ → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
⊢ m 0 • x + m 1 • y = 0 ∧ (m 0 - m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₂‖ / Real.tan (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃))) = ‖p₂ -ᵥ p₃‖

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₂‖ / Real.tan (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))) = ‖p₂ -ᵥ p₃‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ ↑(π / 2) + ↑π - -↑(π / 2) = 0

pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ (o.rotation ↑(π / 2)) x ≠ 0

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ ↑π + ↑(π / 2) - -↑(π / 2) = 0

V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ (o.rotation ↑(π / 2)) x ≠ 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle x (y + -r • x)).sign = (o.oangle x y).sign

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle x (-r • x + y)).sign = (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : Collinear ℝ {p₁, p₅, p₂}
hc₅₁₂₃₄ : Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂, p₃, p₄}
hc₅₃₄ : Collinear ℝ {p₃, p₅, p₄}
⊢ (∡ p₁ p₅ p₂).sign = (∡ p₃ p₅ p₄).sign

Tactic:
have hs₁₅₂ := oangle_eq_zero_or_eq_pi_iff_collinear.2 hc₅₁₂

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : Collinear ℝ {p₁, p₅, p₂}
hc₅₁₂₃₄ : Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂, p₃, p₄}
hc₅₃₄ : Collinear ℝ {p₃, p₅, p₄}
hs₁₅₂ : ∡ p₁ p₅ p₂ = 0 ∨ ∡ p₁ p₅ p₂ = ↑π
⊢ (∡ p₁ p₅ p₂).sign = (∡ p₃ p₅ p₄).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : r₁ = 0
⊢ SignType.sign r₂ * (o.oangle y (r₃ • x + r₄ • y)).sign = -SignType.sign (r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : r₁ = 0
⊢ SignType.sign r₂ * (o.oangle y (r₄ • y + r₃ • x)).sign = -SignType.sign (r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ SignType.sign (-r₃ * r₂ + r₄ * r₁) * (o.oangle x y).sign = SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ SignType.sign (r₄ * r₁ + -r₃ * r₂) * (o.oangle x y).sign = SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case refine_2.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
hpp' : p ≠ p'
hn : p ∉ s₂
h : p = ↑((orthogonalProjection s₂) p)
⊢ False

Tactic:
eq_comm

Goal state after:
case refine_2.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
hpp' : p ≠ p'
hn : p ∉ s₂
h : ↑((orthogonalProjection s₂) p) = p
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case refine_2.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h : dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p) = 0 ∨ dist p p' = 0
hpp' : p ≠ p'
hn : p ∉ s₂
⊢ False

pp: case refine_2.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h : 0 = ∠ (↑((orthogonalProjection s₂) p)) p' p
hpp' : p ≠ p'
hn : p ∉ s₂
⊢ p ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p) ∨ p' ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
· simp only [dist_eq_zero, hpp', or_false] at h
        rw [eq_comm] at h
        simp [orthogonalProjection_eq_self_iff, hn] at h

Goal state after:
case refine_2.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h : 0 = ∠ (↑((orthogonalProjection s₂) p)) p' p
hpp' : p ≠ p'
hn : p ∉ s₂
⊢ p ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p) ∨ p' ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).tan = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂

Tactic:
by
  have hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1 := by rw [oangle_rotate_sign, h, Real.Angle.sign_coe_pi_div_two]
  rw [oangle_eq_angle_of_sign_eq_one hs, Real.Angle.tan_coe,
    tan_angle_of_angle_eq_pi_div_two (angle_eq_pi_div_two_of_oangle_eq_pi_div_two h)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
v : V
q : P
hq : q ∈ line[ℝ, p₁, p₂]
hvr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {v +ᵥ q, p₁, p₂}
s : Set (P × P × P) := (fun x ↦ (↑x.1, v +ᵥ q, x.2 +ᵥ ↑x.1)) '' Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
hco : IsConnected s
⊢ v +ᵥ q ∈ line[ℝ, p₁, p₂]

Tactic:
refine vadd_mem_of_mem_direction ?_ hq
        rw [← exists_nonneg_left_iff_sameRay (vsub_ne_zero.2 hp₁p₂.symm)] at hvr
        obtain ⟨r, -, rfl⟩ := hvr
        rw [direction_affineSpan]
        exact smul_vsub_rev_mem_vectorSpan_pair _ _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h' : p ∈ s₂
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p) ↔
    ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
eq_comm

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h' : p ∈ s₂
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) ↔
    ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h' : p ∈ s₂
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) ↔
    ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
eq_comm

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h' : p ∈ s₂
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) ↔
    ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p) = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₁) p)