mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
p₂a : P
hp₂a : p₂a ∈ s
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ vectorSpan k s
hv₂p : p₂ = v₂ +ᵥ p₂a
⊢ v₁ + (p₁a -ᵥ p₂a) - v₂ ∈ vectorSpan k s

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
p₂a : P
hp₂a : p₂a ∈ s
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ vectorSpan k s
hv₂p : p₂ = v₂ +ᵥ p₂a
⊢ p₁a -ᵥ p₂a + v₁ - v₂ ∈ vectorSpan k s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: case inr.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
x y z : 𝕜
hxz : 0 ≤ z - x
hyz : 0 ≤ y - z
h : 0 < y - x
⊢ (y - z) * x + (z - x) * y = z * (y - x)

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
case inr.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
x y z : 𝕜
hxz : 0 ≤ z - x
hyz : 0 ≤ y - z
h : 0 < y - x
⊢ (z - x) * y + (y - z) * x = z * (y - x)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
x y : 𝕜
⊢ [x -[𝕜] y] = Icc (min x y) (max x y)

Tactic:
rcases le_total x y with h | h
  · rw [segment_eq_Icc h, max_eq_right h, min_eq_left h]
  · rw [segment_symm, segment_eq_Icc h, max_eq_left h, min_eq_right h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
t : Set (AffineSubspace k P)
p : P
h : ∀ s ∈ t, p ∈ s
⊢ ⨅ s ∈ t, s.direction ≤ (sInf t).direction

Tactic:
intro v

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
t : Set (AffineSubspace k P)
p : P
h : ∀ s ∈ t, p ∈ s
v : V
⊢ v ∈ ⨅ s ∈ t, s.direction → v ∈ (sInf t).direction
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h₀ : 0 ∈ s
⊢ MapsTo (fun x ↦ 0 • x) t s

Tactic:
intro x _

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h₀ : 0 ∈ s
x : E
a✝ : x ∈ t
⊢ (fun x ↦ 0 • x) x ∈ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: case right
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
he : ↑s₁ ∩ ↑s₂ = ∅
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ ↑s₂
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ s₁.direction
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ s₂.direction
hv₁v₂ : - -v₂ + ((v₁ +ᵥ p₁) -ᵥ p₂) = 0
⊢ False

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
case right
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
he : ↑s₁ ∩ ↑s₂ = ∅
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ ↑s₂
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ s₁.direction
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ s₂.direction
hv₁v₂ : (v₁ +ᵥ p₁) -ᵥ p₂ + - -v₂ = 0
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s : Set V
⊢ ↑(Submodule.span k (insert 0 s)) ⊆ ↑(vectorSpan k (insert 0 s)) + insert 0 s

Tactic:
vectorSpan_def

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s : Set V
⊢ ↑(Submodule.span k (insert 0 s)) ⊆ ↑(Submodule.span k (insert 0 s -ᵥ insert 0 s)) + insert 0 s
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ρ : ℝ
left✝ : ρ > 0
hρball : ∀ (c : 𝕜), ρ ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • Metric.ball 0 1
a : 𝕜
ha : ρ < ‖a‖
⊢ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1

Tactic:
exact ⟨a, hρball a ha.le⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1) → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s

Tactic:
rintro ⟨a, ha⟩

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
a : 𝕜
ha : s ⊆ a • Metric.ball 0 1
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∃ a, s ⊆ a • Metric.closedBall 0 1) → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s

Tactic:
rintro ⟨a, ha⟩

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
a : 𝕜
ha : s ⊆ a • Metric.closedBall 0 1
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Equicontinuity

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
⊢ (∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U) →
    ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε

Tactic:
intro H

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
H : ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
⊢ ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Equicontinuity

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
⊢ (∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε) →
    ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U

Tactic:
intro H

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
H : ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε
⊢ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Ring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
s : Set E
x y : E
inst✝ : AddRightMono 𝕜
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ openSegment 𝕜 x y

Tactic:
openSegment_eq_image'

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Ring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
s : Set E
x y : E
inst✝ : AddRightMono 𝕜
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ (fun θ ↦ x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁ < s₂
hn : (↑s₁).Nonempty
⊢ s₁.direction < s₂.direction

Tactic:
obtain ⟨p, hp⟩ := hn

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁ < s₂
p : P
hp : p ∈ ↑s₁
⊢ s₁.direction < s₂.direction
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x ↦ p -ᵥ x) '' s)

Tactic:
vectorSpan_def

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ Submodule.span k (s -ᵥ s) = Submodule.span k ((fun x ↦ p -ᵥ x) '' s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x ↦ x -ᵥ p) '' s)

Tactic:
vectorSpan_def

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ Submodule.span k (s -ᵥ s) = Submodule.span k ((fun x ↦ x -ᵥ p) '' s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ vectorSpan k (p '' s) = Submodule.span k ((fun x ↦ p i -ᵥ x) '' p '' (s \ {i}))

Tactic:
conv_lhs =>
    rw [vectorSpan_eq_span_vsub_set_left k (Set.mem_image_of_mem p hi), ← Set.insert_eq_of_mem hi, ←
      Set.insert_sdiff_singleton, Set.image_insert_eq, Set.image_insert_eq]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Submodule.span k (insert (p i -ᵥ p i) ((fun x ↦ p i -ᵥ x) '' p '' (s \ {i}))) =
    Submodule.span k ((fun x ↦ p i -ᵥ x) '' p '' (s \ {i}))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
b₁ b₂ : P
x✝ : ι
| w x✝ • (p x✝ -ᵥ b₁) - w x✝ • (p x✝ -ᵥ b₂)

Tactic:
rw [← smul_sub, vsub_sub_vsub_cancel_left]

Goal state after:
case f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
b₁ b₂ : P
x✝ : ι
| w x✝ • (b₂ -ᵥ b₁)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ b₁) + (b₁ -ᵥ b₂) - ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ b₂) = 0

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P
⊢ b₁ -ᵥ b₂ + ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ b₁) - ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ b₂) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case a.f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P
x✝ : ι
| w x✝ • (p x✝ -ᵥ b₁) - w x✝ • (p x✝ -ᵥ b₂)

Tactic:
rw [← smul_sub, vsub_sub_vsub_cancel_left]

Goal state after:
case a.f
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P
x✝ : ι
| w x✝ • (b₂ -ᵥ b₁)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ ∑ i ∈ s with pred i, w i • (p i -ᵥ b) = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ b)

Tactic:
sum_filter_of_ne

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ ∑ x ∈ s, w x • (p x -ᵥ b) = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ b)

k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ ∀ x ∈ s, w x • (p x -ᵥ b) ≠ 0 → pred x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (-f) ↔ StrictConcaveOn 𝕜 s f

Tactic:
by
  constructor
  · rintro ⟨hconv, h⟩
    refine ⟨hconv, fun x hx y hy hxy a b ha hb hab => ?_⟩
    simp only [ne_eq, Pi.neg_apply, smul_neg, lt_add_neg_iff_add_lt, add_comm,
      add_neg_lt_iff_lt_add] at h
    exact h hx hy hxy ha hb hab
  · rintro ⟨hconv, h⟩
    refine ⟨hconv, fun x hx y hy hxy a b ha hb hab => ?_⟩
    rw [← neg_lt_neg_iff]
    simp_rw [neg_add, Pi.neg_apply, smul_neg, neg_neg]
    exact h hx hy hxy ha hb hab

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s₁
hp₂ : p₂ ∈ s₂
⊢ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁) ≤ vectorSpan k ↑(s₁ ⊔ s₂)

Tactic:
vectorSpan_def

Goal state after:
case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s₁
hp₂ : p₂ ∈ s₂
⊢ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁) ≤ Submodule.span k (↑(s₁ ⊔ s₂) -ᵥ ↑(s₁ ⊔ s₂))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
V₂ : Type u_8
P₂ : Type u_9
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P₁
f g : P₁ →ᵃ[k] P₂
h_agree : EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ EqOn ⇑f.linear ⇑g.linear ↑(vectorSpan k s)

Tactic:
by
  simp only [vectorSpan_def]
  apply LinearMap.eqOn_span
  rintro - ⟨x, hx, y, hy, rfl⟩
  simp [h_agree hx, h_agree hy]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → k
r : k
p : ι → P
⊢ (AffineMap.lineMap ((affineCombination k s p) w₁) ((affineCombination k s p) w₂)) r =
    (affineCombination k s p) ((AffineMap.lineMap w₁ w₂) r)

Tactic:
simp_rw [Finset.affineCombination_apply, ← AffineMap.lineMap_vadd, AffineMap.lineMap_apply_module,
    map_add, map_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1
hw0s : (Finset.affineCombination k s' p) w0 = p i0
⊢ p1 = (Finset.affineCombination k s' p) (w0 + w')

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1
hw0s : (Finset.affineCombination k s' p) w0 = p i0
⊢ p1 = (Finset.affineCombination k s' p) (w' + w0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
⊢ p₅ -ᵥ p₄ + (p₆ -ᵥ p₅) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃}

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
⊢ p₆ -ᵥ p₅ + (p₅ -ᵥ p₄) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
h₁₂ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) + r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃}
⊢ ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) + ↑r₁ • (p₃ -ᵥ p₂) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃}

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
h₁₂ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) + r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃}
⊢ ↑r₁ • (p₃ -ᵥ p₂) + ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
s' : Set ι
hs' : ∀ i ∈ s, i ∉ s' → w i = 0
p : ι → P
w' : ↑s' → k := fun i ↦ w ↑i
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range fun x ↦ p ↑x)

Tactic:
have h' : ∑ i ∈ s with i ∈ s', w i = 1 := by
    rw [← h, ← Finset.sum_sdiff (s₁ := {x ∈ s | x ∈ s'}) (s₂ := s) (by simp), right_eq_add]
    refine Finset.sum_eq_zero ?_
    intro i hi
    simp only [Finset.mem_sdiff, Finset.mem_filter, not_and] at hi
    exact hs' i hi.1 (hi.2 hi.1)

Goal state after:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
s' : Set ι
hs' : ∀ i ∈ s, i ∉ s' → w i = 0
p : ι → P
w' : ↑s' → k := fun i ↦ w ↑i
h' : ∑ i ∈ s with i ∈ s', w i = 1
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range fun x ↦ p ↑x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
q : P
⊢ q ∈ affineSpan k (Set.range p) → ∃ s w, q = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w +ᵥ p j

Tactic:
intro hq
    obtain ⟨s, w, hw, rfl⟩ := eq_affineCombination_of_mem_affineSpan hq
    exact ⟨s, w, s.affineCombination_eq_weightedVSubOfPoint_vadd_of_sum_eq_one w p hw (p j)⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
i : ι
q : P
v : V
⊢ 1 - (b.basisOf i).sumCoords (q -ᵥ b i) - (b.basisOf i).sumCoords v =
    -(b.basisOf i).sumCoords v + (1 - (b.basisOf i).sumCoords (q -ᵥ b i))

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
i : ι
q : P
v : V
⊢ 1 - (b.basisOf i).sumCoords (q -ᵥ b i) - (b.basisOf i).sumCoords v =
    1 - (b.basisOf i).sumCoords (q -ᵥ b i) + -(b.basisOf i).sumCoords v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
s : Finset ι
w : ι → k
w' : ι → k := Function.update w j (1 - (s \ {j}).sum w)
hj : j ∉ s
⊢ 1 - ∑ x ∈ s, w x + ∑ x ∈ s, w x = 1

Tactic:
sub_add_cancel

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Restrict

Goal state before:
pp: case refine_3
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
⊢ ∀ (p : ↥E) (v : ↥E.direction), ⟨φ ↑(v +ᵥ p), ⋯⟩ = (φ.linear.restrict ⋯) v +ᵥ ⟨φ ↑p, ⋯⟩

Tactic:
intro p v

Goal state after:
case refine_3
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
p : ↥E
v : ↥E.direction
⊢ ⟨φ ↑(v +ᵥ p), ⋯⟩ = (φ.linear.restrict ⋯) v +ᵥ ⟨φ ↑p, ⋯⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case mp.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
s₁ s₂ : Set ι
fs₁ : Finset ι
hfs₁ : ↑fs₁ ⊆ s₁
w₁ : ι → k
hw₁ : ∑ i ∈ fs₁, w₁ i = 1
fs₂ : Finset ι
hfs₂ : ↑fs₂ ⊆ s₂
w₂ : ι → k
hw₂ : ∑ i ∈ fs₂, w₂ i = 1
hw₁₂ : (affineCombination k fs₁ p) w₁ = (affineCombination k fs₂ p) w₂
ha : (↑fs₁).indicator w₁ = (↑fs₂).indicator w₂
⊢ ∑ i ∈ fs₁ ∩ fs₂, w₁ i = ∑ x ∈ fs₁ ∩ fs₂, w₁ x + ∑ x ∈ fs₁ \ fs₂, w₁ x

Tactic:
eq_comm

Goal state after:
case mp.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
s₁ s₂ : Set ι
fs₁ : Finset ι
hfs₁ : ↑fs₁ ⊆ s₁
w₁ : ι → k
hw₁ : ∑ i ∈ fs₁, w₁ i = 1
fs₂ : Finset ι
hfs₂ : ↑fs₂ ⊆ s₂
w₂ : ι → k
hw₂ : ∑ i ∈ fs₂, w₂ i = 1
hw₁₂ : (affineCombination k fs₁ p) w₁ = (affineCombination k fs₂ p) w₂
ha : (↑fs₁).indicator w₁ = (↑fs₂).indicator w₂
⊢ ∑ x ∈ fs₁ ∩ fs₂, w₁ x + ∑ x ∈ fs₁ \ fs₂, w₁ x = ∑ i ∈ fs₁ ∩ fs₂, w₁ i