mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
i : Fin (minpoly K x).natDegree
⊢ (adjoinRootEquivAdjoin K hx) ((AdjoinRoot.powerBasis ⋯).gen ^ ↑i) = AdjoinSimple.gen K x ^ ↑i

Tactic:
map_pow,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
i : Fin (minpoly K x).natDegree
⊢ (adjoinRootEquivAdjoin K hx) (AdjoinRoot.powerBasis ⋯).gen ^ ↑i = AdjoinSimple.gen K x ^ ↑i
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra F K
S : Set E
L : Type u_4
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ (Polynomial.map f.toRingHom (minpoly L s)).Splits
L' : IntermediateField F E := (IsScalarTower.toAlgHom F L E).fieldRange
f' : ↥L' →ₐ[F] K := f.comp ↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).symm
φ : ↥(adjoin (↥L') S) →ₐ[F] K
hφ : AlgHom.domRestrict (↥L') φ = f'
x : L
⊢ (AlgHom.domRestrict L (φ.comp (inclusion ⋯))) x = f x

Tactic:
let y := (AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)) x

Goal state after:
case refine_2.refine_2
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra F K
S : Set E
L : Type u_4
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower F L E
f : L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral L s ∧ (Polynomial.map f.toRingHom (minpoly L s)).Splits
L' : IntermediateField F E := (IsScalarTower.toAlgHom F L E).fieldRange
f' : ↥L' →ₐ[F] K := f.comp ↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)).symm
φ : ↥(adjoin (↥L') S) →ₐ[F] K
hφ : AlgHom.domRestrict (↥L') φ = f'
x : L
y : ↥(IsScalarTower.toAlgHom F L E).range := (AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F L E)) x
⊢ (AlgHom.domRestrict L (φ.comp (inclusion ⋯))) x = f x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ ↦ mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
this✝ : iSupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
aux : ∀ μ' ∈ m.support.erase μ, (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
this : Disjoint ((f.genEigenspace μ) k) ((m.support.erase μ).sup fun x ↦ (f.genEigenspace x) k)
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support.erase μ
⊢ LinearMap.ker ((f - (algebraMap K (End K V)) μ') ^ l₀) ≤ (f.genEigenspace μ') k

Tactic:
rw [Algebra.algebraMap_eq_smul_one, ← End.genEigenspace_nat]

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ ↦ mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
this✝ : iSupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
aux : ∀ μ' ∈ m.support.erase μ, (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
this : Disjoint ((f.genEigenspace μ) k) ((m.support.erase μ).sup fun x ↦ (f.genEigenspace x) k)
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support.erase μ
⊢ (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: case h
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ ↦ mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
this✝ : iSupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
aux : ∀ μ' ∈ m.support.erase μ, (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
this : (m.support.erase μ).SupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support.erase μ
⊢ LinearMap.ker ((f - (algebraMap K (End K V)) μ') ^ l₀) ≤ (f.genEigenspace μ') k

Tactic:
rw [Algebra.algebraMap_eq_smul_one, ← End.genEigenspace_nat]

Goal state after:
case h
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ ↦ mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
this✝ : iSupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
aux : ∀ μ' ∈ m.support.erase μ, (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
this : (m.support.erase μ).SupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support.erase μ
⊢ (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝¹ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this✝ : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
key₂' : finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = g.natDegree
this : f.natDegree * g.natDegree = p.natDegree
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree

Tactic:
eq_comm

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝¹ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this✝ : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
key₂' : finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = g.natDegree
this : p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h e f x : L
t : IsSl2Triple h e f
⊢ (∃ a b c, a • e + b • f + c • h = x) ↔ ∃ c₁ c₂ c₃, x = c₁ • e + c₂ • f + c₃ • h

Tactic:
eq_comm

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
n : ℕ
hn : μ = ↑n
i : ℕ
hi : i ≤ n
⊢ ((toEnd R L M) f ^ i) m ≠ 0

Tactic:
intro H

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
n : ℕ
hn : μ = ↑n
i : ℕ
hi : i ≤ n
H : ((toEnd R L M) f ^ i) m = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
m : M
hm : ∀ (x x_1 : L), ∃ k, ((toEnd R L M) x_1 ^ k) ⁅x, m⁆ = 0
y : L
⊢ ∃ k, ((toEnd R L M) y ^ k) m = 0

Tactic:
obtain ⟨k, hk⟩ := hm y y

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
m : M
hm : ∀ (x x_1 : L), ∃ k, ((toEnd R L M) x_1 ^ k) ⁅x, m⁆ = 0
y : L
k : ℕ
hk : ((toEnd R L M) y ^ k) ⁅y, m⁆ = 0
⊢ ∃ k, ((toEnd R L M) y ^ k) m = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
n : ℕ
hn : μ = ↑n
i : ℕ
IH : i ≤ n → ((toEnd R L M) f ^ i) m = 0 → False
hi : i + 1 ≤ n
H : ((toEnd R L M) f ^ (i + 1)) m = 0
this : (↑i + ↑1 = 0 ∨ n = i) ∨ ((toEnd R L M) f ^ i) m = 0
⊢ False

Tactic:
← Nat.cast_add,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
n : ℕ
hn : μ = ↑n
i : ℕ
IH : i ≤ n → ((toEnd R L M) f ^ i) m = 0 → False
hi : i + 1 ≤ n
H : ((toEnd R L M) f ^ (i + 1)) m = 0
this : (↑(i + 1) = 0 ∨ n = i) ∨ ((toEnd R L M) f ^ i) m = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝² : LieRing.IsNilpotent ↥H
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
s : Set ↥H := {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
⊢ x ∈ corootSpace α ↔ x ∈ Submodule.span R s

Tactic:
suffices H.subtype '' s = {⁅y, z⁆ | (y ∈ rootSpace H α) (z ∈ rootSpace H (-α))} by
    erw [← (H : Submodule R L).injective_subtype.mem_set_image (s := Submodule.span R s)]
    rw [mem_image]
    simp_rw [SetLike.mem_coe]
    rw [← Submodule.mem_map, Submodule.coe_subtype, Submodule.map_span, mem_corootSpace, ← this]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝² : LieRing.IsNilpotent ↥H
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
s : Set ↥H := {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
⊢ ⇑H.subtype '' s = {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (genWeightSpace M χ) = genWeightSpace M₂ χ

Tactic:
by
  simp [map_genWeightSpace_eq_of_injective e.injective]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Properties

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
R : Type u_8
inst✝² : Field R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : Module R M
B C : BilinForm R M
hB : B.IsSymm
hC : C.IsSymm
h : ∀ (x : M), (B x) x = (C x) x
x y : M
⊢ (B x) y = (C x) y

Tactic:
rw [hB.polarization, hC.polarization]

Goal state after:
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
R : Type u_8
inst✝² : Field R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : Module R M
B C : BilinForm R M
hB : B.IsSymm
hC : C.IsSymm
h : ∀ (x : M), (B x) x = (C x) x
x y : M
⊢ ((B (x + y)) (x + y) - (B x) x - (B y) y) / 2 = ((C (x + y)) (x + y) - (C x) x - (C y) y) / 2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Properties

Goal state before:
pp: R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝² : CommRing R₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
h : B.compLeft φ = B.compLeft ψ
w : M₁
⊢ ∀ (y : M₁), (B (φ w - ψ w)) y = 0

Tactic:
intro v

Goal state after:
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝² : CommRing R₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
h : B.compLeft φ = B.compLeft ψ
w v : M₁
⊢ (B (φ w - ψ w)) v = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
N : LieSubmodule R L M
x : L
y : M
⊢ (∀ n ∈ N, (Φ n) y = 0) → ∀ n ∈ N, (Φ n) ⁅x, y⁆ = 0

Tactic:
intro H

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
N : LieSubmodule R L M
x : L
y : M
H : ∀ n ∈ N, (Φ n) y = 0
⊢ ∀ n ∈ N, (Φ n) ⁅x, y⁆ = 0
Module: Mathlib.Order.BooleanGenerators

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S
a : α
haT : a ∈ T
this : a = sSup T
⊢ sSup T = a

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S
a : α
haT : a ∈ T
this : a ≤ sSup T
⊢ a ≠ ⊥

Tactic:
eq_comm

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S
a : α
haT : a ∈ T
this : sSup T = a
⊢ sSup T = a

case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S
a : α
haT : a ∈ T
this : a ≤ sSup T
⊢ a ≠ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
| finrank K ↥(domRestrict B W).range + finrank K ↥(domRestrict B W).range.dualCoannihilator +
    finrank K ↥(domRestrict B W).ker

Tactic:
add_comm,

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
| finrank K ↥(domRestrict B W).ker +
    (finrank K ↥(domRestrict B W).range + finrank K ↥(domRestrict B W).range.dualCoannihilator)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
x : V
hx : x ∈ W ⊓ B.orthogonal W
⊢ x ∈ ⊥

Tactic:
obtain ⟨hx₁, hx₂⟩ := mem_inf.1 hx

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
x : V
hx : x ∈ W ⊓ B.orthogonal W
hx₁ : x ∈ W
hx₂ : x ∈ B.orthogonal W
⊢ x ∈ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : IsIrreducible R L M
⊢ ∃ x y, x ≠ y

Tactic:
have aux : (⊥ : LieSubmodule R L M) ≠ ⊤ := bot_ne_top
    contrapose! aux
    ext m
    simpa using aux m 0

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
⊢ LieModule.IsFaithful R L L

Tactic:
rw [isFaithful_self_iff]
  exact HasTrivialRadical.eq_bot_of_isSolvable _

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.AlgebraicClosure

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝ : Field k
v : Monics k × ℕ →₀ MvPolynomial (Vars k) k
left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (Vars k) k) (MvPolynomial (Vars k) k) Set.univ
hv : 0 = 1
⊢ False

pp: k : Type u
inst✝ : Field k
v : Monics k × ℕ →₀ MvPolynomial (Vars k) k
left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (Vars k) k) (MvPolynomial (Vars k) k) Set.univ
hv : ∑ x ∈ v.support, (toSplittingField (Finset.image Prod.fst v.support)) (v x • (subProdXSubC x.1).coeff x.2) = 1
⊢ ∀ x ∈ v.support, (toSplittingField (Finset.image Prod.fst v.support)) (v x • (subProdXSubC x.1).coeff x.2) = 0

Tactic:
· exact zero_ne_one hv

Goal state after:
k : Type u
inst✝ : Field k
v : Monics k × ℕ →₀ MvPolynomial (Vars k) k
left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (Vars k) k) (MvPolynomial (Vars k) k) Set.univ
hv : ∑ x ∈ v.support, (toSplittingField (Finset.image Prod.fst v.support)) (v x • (subProdXSubC x.1).coeff x.2) = 1
⊢ ∀ x ∈ v.support, (toSplittingField (Finset.image Prod.fst v.support)) (v x • (subProdXSubC x.1).coeff x.2) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Semisimple

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
hf : f.IsFinitelySemisimple
μ : R
k : ℕ∞
hk : 0 < k
⊢ (f.genEigenspace μ) k = f.eigenspace μ

Tactic:
by
  refine le_antisymm (fun m hm ↦ mem_eigenspace_iff.mpr ?_) (f.genEigenspace μ |>.mono ?_)
  · apply apply_eq_of_mem_of_comm_of_isFinitelySemisimple_of_isNil hm rfl hf
    simp
  · exact Order.one_le_iff_pos.mpr hk

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case lie.hy.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
aux : yc + yl + yu = ⁅u, z⁆
⊢ ⁅yu, v⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
exact LieSubmodule.mem_sup_right <| LieSubalgebra.lie_mem _ hyu hv

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: case succ.refine_1
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ∀ {x y : L}, x ∈ ⊤.lcs L k → y ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥ → ((traceForm R L M) x) y = 0
x y : L
hy : ∀ (x : L), ⁅x, y⁆ ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
z w : L
hw : w ∈ ⊤.lcs L k
⊢ ((traceForm R L M) ⁅z, w⁆) y = 0

Tactic:
rw [← lie_skew, map_neg, LinearMap.neg_apply, neg_eq_zero, traceForm_apply_lie_apply]

Goal state after:
case succ.refine_1
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ∀ {x y : L}, x ∈ ⊤.lcs L k → y ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥ → ((traceForm R L M) x) y = 0
x y : L
hy : ∀ (x : L), ⁅x, y⁆ ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
z w : L
hw : w ∈ ⊤.lcs L k
⊢ ((traceForm R L M) w) ⁅z, y⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: case succ.refine_3
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ∀ {x y : L}, x ∈ ⊤.lcs L k → y ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥ → ((traceForm R L M) x) y = 0
x y : L
hy : ∀ (x : L), ⁅x, y⁆ ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
z w : L
x✝¹ : z ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
x✝ : w ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ⊤.lcs L k, ⁅x_1, n⁆ = x}
hz : ((traceForm R L M) z) y = 0
hw : ((traceForm R L M) w) y = 0
⊢ ((traceForm R L M) (z + w)) y = 0

Tactic:
simp [hz, hw]

Goal state after: