Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Free

Goal state before:
pp: B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
H : Rel η θ
⊢ liftHom₂ F η = liftHom₂ F θ

Tactic:
induction H

Goal state after:
case vcomp_right
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝¹ b✝ : B
f✝ g✝ h✝ : Hom a✝¹ b✝
η✝ : Hom₂ f✝ g✝
θ₁✝ θ₂✝ : Hom₂ g✝ h✝
a✝ : Rel θ₁✝ θ₂✝
a_ih✝ : liftHom₂ F θ₁✝ = liftHom₂ F θ₂✝
⊢ liftHom₂ F (η✝.vcomp θ₁✝) = liftHom₂ F (η✝.vcomp θ₂✝)

case vcomp_left
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝¹ b✝ : B
f✝ g✝ h✝ : Hom a✝¹ b✝
η₁✝ η₂✝ : Hom₂ f✝ g✝
θ✝ : Hom₂ g✝ h✝
a✝ : Rel η₁✝ η₂✝
a_ih✝ : liftHom₂ F η₁✝ = liftHom₂ F η₂✝
⊢ liftHom₂ F (η₁✝.vcomp θ✝) = liftHom₂ F (η₂✝.vcomp θ✝)

case id_comp
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ : B
f✝ g✝ : Hom a✝ b✝
η✝ : Hom₂ f✝ g✝
⊢ liftHom₂ F ((Hom₂.id f✝).vcomp η✝) = liftHom₂ F η✝

case comp_id
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ : B
f✝ g✝ : Hom a✝ b✝
η✝ : Hom₂ f✝ g✝
⊢ liftHom₂ F (η✝.vcomp (Hom₂.id g✝)) = liftHom₂ F η✝

case assoc
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ : B
f✝ g✝ h✝ i✝ : Hom a✝ b✝
η✝ : Hom₂ f✝ g✝
θ✝ : Hom₂ g✝ h✝
ι✝ : Hom₂ h✝ i✝
⊢ liftHom₂ F ((η✝.vcomp θ✝).vcomp ι✝) = liftHom₂ F (η✝.vcomp (θ✝.vcomp ι✝))

case whisker_left
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝¹ b✝ c✝ : B
f✝ : Hom a✝¹ b✝
g✝ h✝ : Hom b✝ c✝
η✝ η'✝ : Hom₂ g✝ h✝
a✝ : Rel η✝ η'✝
a_ih✝ : liftHom₂ F η✝ = liftHom₂ F η'✝
⊢ liftHom₂ F (Hom₂.whisker_left f✝ η✝) = liftHom₂ F (Hom₂.whisker_left f✝ η'✝)

case whisker_left_id
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
g✝ : Hom b✝ c✝
⊢ liftHom₂ F (Hom₂.whisker_left f✝ (Hom₂.id g✝)) = liftHom₂ F (Hom₂.id (f✝.comp g✝))

case whisker_left_comp
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
g✝ h✝ i✝ : Hom b✝ c✝
η✝ : Hom₂ g✝ h✝
θ✝ : Hom₂ h✝ i✝
⊢ liftHom₂ F (Hom₂.whisker_left f✝ (η✝.vcomp θ✝)) =
    liftHom₂ F ((Hom₂.whisker_left f✝ η✝).vcomp (Hom₂.whisker_left f✝ θ✝))

case id_whisker_left
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ : B
f✝ g✝ : Hom a✝ b✝
η✝ : Hom₂ f✝ g✝
⊢ liftHom₂ F (Hom₂.whisker_left (Hom.id a✝) η✝) =
    liftHom₂ F ((Hom₂.left_unitor f✝).vcomp (η✝.vcomp (Hom₂.left_unitor_inv g✝)))

case comp_whisker_left
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
g✝ : Hom b✝ c✝
h✝ h'✝ : Hom c✝ d✝
η✝ : Hom₂ h✝ h'✝
⊢ liftHom₂ F (Hom₂.whisker_left (f✝.comp g✝) η✝) =
    liftHom₂ F
      ((Hom₂.associator f✝ g✝ h✝).vcomp
        ((Hom₂.whisker_left f✝ (Hom₂.whisker_left g✝ η✝)).vcomp (Hom₂.associator_inv f✝ g✝ h'✝)))

case whisker_right
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝¹ b✝ c✝ : B
f✝ g✝ : Hom a✝¹ b✝
h✝ : Hom b✝ c✝
η✝ η'✝ : Hom₂ f✝ g✝
a✝ : Rel η✝ η'✝
a_ih✝ : liftHom₂ F η✝ = liftHom₂ F η'✝
⊢ liftHom₂ F (Hom₂.whisker_right h✝ η✝) = liftHom₂ F (Hom₂.whisker_right h✝ η'✝)

case id_whisker_right
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
g✝ : Hom b✝ c✝
⊢ liftHom₂ F (Hom₂.whisker_right g✝ (Hom₂.id f✝)) = liftHom₂ F (Hom₂.id (f✝.comp g✝))

case comp_whisker_right
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ g✝ h✝ : Hom a✝ b✝
i✝ : Hom b✝ c✝
η✝ : Hom₂ f✝ g✝
θ✝ : Hom₂ g✝ h✝
⊢ liftHom₂ F (Hom₂.whisker_right i✝ (η✝.vcomp θ✝)) =
    liftHom₂ F ((Hom₂.whisker_right i✝ η✝).vcomp (Hom₂.whisker_right i✝ θ✝))

case whisker_right_id
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ : B
f✝ g✝ : Hom a✝ b✝
η✝ : Hom₂ f✝ g✝
⊢ liftHom₂ F (Hom₂.whisker_right (Hom.id b✝) η✝) =
    liftHom₂ F ((Hom₂.right_unitor f✝).vcomp (η✝.vcomp (Hom₂.right_unitor_inv g✝)))

case whisker_right_comp
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f✝ f'✝ : Hom a✝ b✝
g✝ : Hom b✝ c✝
h✝ : Hom c✝ d✝
η✝ : Hom₂ f✝ f'✝
⊢ liftHom₂ F (Hom₂.whisker_right (g✝.comp h✝) η✝) =
    liftHom₂ F
      ((Hom₂.associator_inv f✝ g✝ h✝).vcomp
        ((Hom₂.whisker_right h✝ (Hom₂.whisker_right g✝ η✝)).vcomp (Hom₂.associator f'✝ g✝ h✝)))

case whisker_assoc
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
g✝ g'✝ : Hom b✝ c✝
η✝ : Hom₂ g✝ g'✝
h✝ : Hom c✝ d✝
⊢ liftHom₂ F (Hom₂.whisker_right h✝ (Hom₂.whisker_left f✝ η✝)) =
    liftHom₂ F
      ((Hom₂.associator f✝ g✝ h✝).vcomp
        ((Hom₂.whisker_left f✝ (Hom₂.whisker_right h✝ η✝)).vcomp (Hom₂.associator_inv f✝ g'✝ h✝)))

case whisker_exchange
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ g✝ : Hom a✝ b✝
h✝ i✝ : Hom b✝ c✝
η✝ : Hom₂ f✝ g✝
θ✝ : Hom₂ h✝ i✝
⊢ liftHom₂ F ((Hom₂.whisker_left f✝ θ✝).vcomp (Hom₂.whisker_right i✝ η✝)) =
    liftHom₂ F ((Hom₂.whisker_right h✝ η✝).vcomp (Hom₂.whisker_left g✝ θ✝))

case associator_hom_inv
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
g✝ : Hom b✝ c✝
h✝ : Hom c✝ d✝
⊢ liftHom₂ F ((Hom₂.associator f✝ g✝ h✝).vcomp (Hom₂.associator_inv f✝ g✝ h✝)) =
    liftHom₂ F (Hom₂.id ((f✝.comp g✝).comp h✝))

case associator_inv_hom
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
g✝ : Hom b✝ c✝
h✝ : Hom c✝ d✝
⊢ liftHom₂ F ((Hom₂.associator_inv f✝ g✝ h✝).vcomp (Hom₂.associator f✝ g✝ h✝)) =
    liftHom₂ F (Hom₂.id (f✝.comp (g✝.comp h✝)))

case left_unitor_hom_inv
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
⊢ liftHom₂ F ((Hom₂.left_unitor f✝).vcomp (Hom₂.left_unitor_inv f✝)) = liftHom₂ F (Hom₂.id ((Hom.id a✝).comp f✝))

case left_unitor_inv_hom
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
⊢ liftHom₂ F ((Hom₂.left_unitor_inv f✝).vcomp (Hom₂.left_unitor f✝)) = liftHom₂ F (Hom₂.id f✝)

case right_unitor_hom_inv
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
⊢ liftHom₂ F ((Hom₂.right_unitor f✝).vcomp (Hom₂.right_unitor_inv f✝)) = liftHom₂ F (Hom₂.id (f✝.comp (Hom.id b✝)))

case right_unitor_inv_hom
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
⊢ liftHom₂ F ((Hom₂.right_unitor_inv f✝).vcomp (Hom₂.right_unitor f✝)) = liftHom₂ F (Hom₂.id f✝)

case pentagon
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ d✝ e✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
g✝ : Hom b✝ c✝
h✝ : Hom c✝ d✝
i✝ : Hom d✝ e✝
⊢ liftHom₂ F
      ((Hom₂.whisker_right i✝ (Hom₂.associator f✝ g✝ h✝)).vcomp
        ((Hom₂.associator f✝ (g✝.comp h✝) i✝).vcomp (Hom₂.whisker_left f✝ (Hom₂.associator g✝ h✝ i✝)))) =
    liftHom₂ F ((Hom₂.associator (f✝.comp g✝) h✝ i✝).vcomp (Hom₂.associator f✝ g✝ (h✝.comp i✝)))

case triangle
B : Type u₁
inst✝¹ : Quiver B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : B ⥤q C
a b : FreeBicategory B
f g : a ⟶ b
η θ : Hom₂ f g
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ : Hom a✝ b✝
g✝ : Hom b✝ c✝
⊢ liftHom₂ F ((Hom₂.associator f✝ (Hom.id b✝) g✝).vcomp (Hom₂.whisker_left f✝ (Hom₂.left_unitor g✝))) =
    liftHom₂ F (Hom₂.whisker_right g✝ (Hom₂.right_unitor f✝))