mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: case refine_1
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
⊢ homogeneousSubmodule σ R 1 ^ n ≤ homogeneousSubmodule σ R n

pp: case refine_2
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
x : MvPolynomial σ R
hx : x ∈ homogeneousSubmodule σ R n
⊢ x ∈ homogeneousSubmodule σ R 1 ^ n

Tactic:
· induction n with
    | zero => simp [homogeneousSubmodule_zero]
    | succ n ih =>
      grw [pow_add, pow_one, ih]
      apply homogeneousSubmodule_mul

Goal state after:
case refine_2
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
x : MvPolynomial σ R
hx : x ∈ homogeneousSubmodule σ R n
⊢ x ∈ homogeneousSubmodule σ R 1 ^ n
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
i : ι
x : A
⊢ IsHomogeneousElem 𝒜 ((GradedRing.proj 𝒜 i) x)

Tactic:
apply SetLike.isHomogeneousElem_coe

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.coeff.support
⊢ ((fun s a ↦ f a * s.prod fun n e ↦ g n ^ e) i (φ.coeff i)).IsHomogeneous (n * m)

Tactic:
← zero_add (n * m)

Goal state after:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.coeff.support
⊢ ((fun s a ↦ f a * s.prod fun n e ↦ g n ^ e) i (φ.coeff i)).IsHomogeneous (0 + n * m)
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Finite ι₂
inst✝² : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
A : Type u_6
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ toMvPolynomial (basis A b₁) (basis A b₂) (baseChange A f) i =
    (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (toMvPolynomial b₁ b₂ f i)

Tactic:
by
  simp only [toMvPolynomial, toMatrix_baseChange, Matrix.toMvPolynomial_map]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
ι₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : Finite ι₃
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
b₃ : Basis ι₃ R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₃
⊢ toMvPolynomial b₁ b₃ (g ∘ₗ f) i = (bind₁ (toMvPolynomial b₁ b₂ f)) (toMvPolynomial b₂ b₃ g i)

Tactic:
simp only [toMvPolynomial, toMatrix_comp b₁ b₂ b₃, Matrix.toMvPolynomial_mul]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
w : σ → M
inst✝ : DecidableEq M
x : ⨁ (i : M), ↥(weightedHomogeneousSubmodule R w i)
m : M
⊢ (weightedHomogeneousComponent w m) ((coeLinearMap fun i ↦ weightedHomogeneousSubmodule R w i) x) = ↑(x m)

Tactic:
rw [DirectSum.coeLinearMap_eq_dfinsuppSum, DFinsupp.sum, map_sum]
  convert! @Finset.sum_eq_single M (MvPolynomial σ R) _ (DFinsupp.support x) _ m _ _
  · rw [IsWeightedHomogeneous.weightedHomogeneousComponent_same (x m).prop]
  · intro n _ hmn
    exact IsWeightedHomogeneous.weightedHomogeneousComponent_ne m (x n).prop hmn.symm
  · rw [DFinsupp.notMem_support_iff]
    intro hm; rw [hm, Submodule.coe_zero, map_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : PartialOrder M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd M
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
⊢ coeff d ((weightedHomogeneousComponent w 0) φ) = coeff d (C (coeff 0 φ))

Tactic:
rcases Classical.em (d = 0) with (rfl | hd)

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : PartialOrder M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd M
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
⊢ coeff 0 ((weightedHomogeneousComponent w 0) φ) = coeff 0 (C (coeff 0 φ))

case inr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : PartialOrder M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd M
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : ¬d = 0
⊢ coeff d ((weightedHomogeneousComponent w 0) φ) = coeff d (C (coeff 0 φ))
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
this : φ.totalDegree < d.support.sum ⇑d → 0 = coeff d φ
⊢ coeff d (∑ i ∈ range (φ.totalDegree + 1), (homogeneousComponent i) φ) = coeff d φ

Tactic:
by
    simpa [coeff_sum, coeff_homogeneousComponent]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Free R L
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
⊢ φ.nilRank ≤ Fintype.card ι

Tactic:
apply Polynomial.natTrailingDegree_le_of_ne_zero
  rw [← Module.finrank_eq_card_basis b, ← polyCharpoly_natDegree φ (chooseBasis R L),
    Polynomial.coeff_natDegree, (polyCharpoly_monic _ _).leadingCoeff]
  apply one_ne_zero

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.LinearMap

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : AddCommMonoid V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : AddCommMonoid V'
inst✝¹ : Module K V'
inst✝ : Nontrivial K
⊢ rank 0 = 0

Tactic:
rank,

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : AddCommMonoid V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : AddCommMonoid V'
inst✝¹ : Module K V'
inst✝ : Nontrivial K
⊢ Module.rank K ↥(range 0) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.LinearMap

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : Semiring K
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommMonoid V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommMonoid V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
⊢ lift.{v', v''} (f ∘ₗ g).rank ≤ lift.{v'', v'} g.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : Semiring K
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommMonoid V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommMonoid V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
⊢ lift.{v', v''} (Module.rank K ↥(f ∘ₗ g).range) ≤ lift.{v'', v'} g.rank
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.LinearMap

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : Semiring K
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommMonoid V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommMonoid V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
⊢ lift.{v', v''} (Module.rank K ↥(f ∘ₗ g).range) ≤ lift.{v'', v'} g.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : Semiring K
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommMonoid V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommMonoid V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
⊢ lift.{v', v''} (Module.rank K ↥(f ∘ₗ g).range) ≤ lift.{v'', v'} (Module.rank K ↥g.range)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymplecticGroup

Goal state before:
pp: l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R
huA : IsUnit A.det
huAT : IsUnit Aᵀ.det
⊢ Aᵀ * J l R * A = -Aᵀ * (J l R)⁻¹ * A

Tactic:
J_inv

Goal state after:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R
huA : IsUnit A.det
huAT : IsUnit Aᵀ.det
⊢ Aᵀ * J l R * A = -Aᵀ * -J l R * A
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : StrongRankCondition R
h : LinearIndependent R (col 1)
⊢ cRank 1 = lift.{uR, um} #m

Tactic:
rw [cRank, rank_span h, ← lift_umax, ← Cardinal.mk_range_eq_of_injective h.injective, lift_id']

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: n : Type un
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : StrongRankCondition R
⊢ rank 1 = Fintype.card n

Tactic:
rank,

Goal state after:
n : Type un
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : StrongRankCondition R
⊢ finrank R ↥(mulVecLin 1).range = Fintype.card n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ rank 0 = 0

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ finrank R ↥(mulVecLin 0).range = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
o : Type uo
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
a✝ : Nontrivial R
⊢ (A * B).rank ≤ A.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
o : Type uo
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
a✝ : Nontrivial R
⊢ finrank R ↥(A * B).mulVecLin.range ≤ A.rank
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
o : Type uo
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
a✝ : Nontrivial R
⊢ finrank R ↥(A * B).mulVecLin.range ≤ A.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
o : Type uo
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
a✝ : Nontrivial R
⊢ finrank R ↥(A * B).mulVecLin.range ≤ finrank R ↥A.mulVecLin.range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
o : Type uo
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
a✝ : Nontrivial R
⊢ (A * B).rank ≤ B.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
o : Type uo
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
a✝ : Nontrivial R
⊢ finrank R ↥(A * B).mulVecLin.range ≤ B.rank
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
o : Type uo
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
a✝ : Nontrivial R
⊢ finrank R ↥(A * B).mulVecLin.range ≤ B.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
o : Type uo
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R
a✝ : Nontrivial R
⊢ finrank R ↥(A * B).mulVecLin.range ≤ finrank R ↥B.mulVecLin.range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
w : m → R
v : n → R
⊢ (vecMulVec w v).rank ≤ 1

Tactic:
rw [Matrix.vecMulVec_eq Unit]

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
w : m → R
v : n → R
⊢ (replicateCol Unit w * replicateRow Unit v).rank ≤ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
hA : A.det ∈ nonZeroDivisors R
⊢ A.rank = Fintype.card m

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
hA : A.det ∈ nonZeroDivisors R
⊢ finrank R ↥A.mulVecLin.range = Fintype.card m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
B : Matrix m n R
hc : c ∈ nonZeroDivisors R
hc' : IsSMulRegular R c
hreg : IsSMulRegular (m → R) c
f : (m → R) →ₗ[R] m → R := (LinearMap.lsmul R (m → R)) c
hcomp : (c • B).mulVecLin = f ∘ₗ B.mulVecLin
⊢ (c • B).rank = B.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
B : Matrix m n R
hc : c ∈ nonZeroDivisors R
hc' : IsSMulRegular R c
hreg : IsSMulRegular (m → R) c
f : (m → R) →ₗ[R] m → R := (LinearMap.lsmul R (m → R)) c
hcomp : (c • B).mulVecLin = f ∘ₗ B.mulVecLin
⊢ finrank R ↥(c • B).mulVecLin.range = B.rank
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
B : Matrix m n R
hc : c ∈ nonZeroDivisors R
hc' : IsSMulRegular R c
hreg : IsSMulRegular (m → R) c
f : (m → R) →ₗ[R] m → R := (LinearMap.lsmul R (m → R)) c
hcomp : (c • B).mulVecLin = f ∘ₗ B.mulVecLin
⊢ finrank R ↥(c • B).mulVecLin.range = B.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
B : Matrix m n R
hc : c ∈ nonZeroDivisors R
hc' : IsSMulRegular R c
hreg : IsSMulRegular (m → R) c
f : (m → R) →ₗ[R] m → R := (LinearMap.lsmul R (m → R)) c
hcomp : (c • B).mulVecLin = f ∘ₗ B.mulVecLin
⊢ finrank R ↥(c • B).mulVecLin.range = finrank R ↥B.mulVecLin.range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
inst✝³ : Fintype n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
hA : A.det ∈ nonZeroDivisors R
⊢ (A * B).rank = B.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
inst✝³ : Fintype n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
hA : A.det ∈ nonZeroDivisors R
⊢ finrank R ↥(A * B).mulVecLin.range = B.rank
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
inst✝³ : Fintype n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
hA : A.det ∈ nonZeroDivisors R
⊢ finrank R ↥(A * B).mulVecLin.range = B.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
inst✝³ : Fintype n
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
hA : A.det ∈ nonZeroDivisors R
⊢ finrank R ↥(A * B).mulVecLin.range = finrank R ↥B.mulVecLin.range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype n₀
A : Matrix m n R
r : m₀ → m
c : n₀ → n
a✝ : Nontrivial R
this : Module.Finite R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col))
⊢ ((A.submatrix r id)ᵀᵀ.submatrix id c)ᵀᵀ.rank ≤ finrank R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col))

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype n₀
A : Matrix m n R
r : m₀ → m
c : n₀ → n
a✝ : Nontrivial R
this : Module.Finite R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col))
⊢ finrank R ↥((A.submatrix r id)ᵀᵀ.submatrix id c)ᵀᵀ.mulVecLin.range ≤
    finrank R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype n₀
A : Matrix m n R
r : m₀ → m
c : n₀ → n
a✝ : Nontrivial R
this : Module.Finite R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col))
⊢ finrank R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col)) = (A.submatrix r id)ᵀᵀ.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype n₀
A : Matrix m n R
r : m₀ → m
c : n₀ → n
a✝ : Nontrivial R
this : Module.Finite R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col))
⊢ finrank R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col)) = finrank R ↥(A.submatrix r id)ᵀᵀ.mulVecLin.range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: case calc.step
m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype n₀
A : Matrix m n R
r : m₀ → m
c : n₀ → n
a✝ : Nontrivial R
this : Module.Finite R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col))
⊢ (A.submatrix r ⇑(Equiv.refl n)).rank ≤ A.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
case calc.step
m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype n₀
A : Matrix m n R
r : m₀ → m
c : n₀ → n
a✝ : Nontrivial R
this : Module.Finite R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col))
⊢ finrank R ↥(A.submatrix r ⇑(Equiv.refl n)).mulVecLin.range ≤ A.rank
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: case calc.step
m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype n₀
A : Matrix m n R
r : m₀ → m
c : n₀ → n
a✝ : Nontrivial R
this : Module.Finite R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col))
⊢ finrank R ↥(A.submatrix r ⇑(Equiv.refl n)).mulVecLin.range ≤ A.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
case calc.step
m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype n₀
A : Matrix m n R
r : m₀ → m
c : n₀ → n
a✝ : Nontrivial R
this : Module.Finite R ↥(span R (range (A.submatrix r id).col))
⊢ finrank R ↥(A.submatrix r ⇑(Equiv.refl n)).mulVecLin.range ≤ finrank R ↥A.mulVecLin.range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype n₀
inst✝ : CommSemiring R
em : m ≃ m₀
en : n ≃ n₀
A : Matrix m n R
⊢ ((reindex em en) A).rank = A.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype n₀
inst✝ : CommSemiring R
em : m ≃ m₀
en : n ≃ n₀
A : Matrix m n R
⊢ finrank R ↥((reindex em en) A).mulVecLin.range = A.rank
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype n₀
inst✝ : CommSemiring R
em : m ≃ m₀
en : n ≃ n₀
A : Matrix m n R
⊢ finrank R ↥((reindex em en) A).mulVecLin.range = A.rank

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype n₀
inst✝ : CommSemiring R
em : m ≃ m₀
en : n ≃ n₀
A : Matrix m n R
⊢ finrank R ↥((reindex em en) A).mulVecLin.range = finrank R ↥A.mulVecLin.range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: case intro
m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Finite m
inst✝⁵ : DecidableEq n
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
i : n
aux₁ : A.mulVecLin (Pi.single i 1) = ∑ j, A j i • (Pi.basisFun R m) j
aux₂ : ∀ (e : n ≃ n), ((Pi.basisFun R n).equiv v₂ e) (Pi.single i 1) = v₂ (e i)
⊢ ((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single R (fun i ↦ R) i) 1 =
    (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single R (fun i ↦ R) i) 1

Tactic:
simp only [e₁, e₂, LinearMap.comp_apply, LinearEquiv.coe_coe, Equiv.refl_apply,
    aux₁, aux₂, LinearMap.coe_single, toLin_self, map_sum, map_smul, Basis.equiv_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix m n R
⊢ A.rank = finrank R ↥(span R (range A.col))

Tactic:
rank,

Goal state after:
m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommSemiring R
A : Matrix m n R
⊢ finrank R ↥A.mulVecLin.range = finrank R ↥(span R (range A.col))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
R : Type uR
inst✝² : Field R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m R
L L' : List (TransvectionStruct m R)
D : m → R
hM0 : M = (List.map toMatrix L).prod * diagonal D * (List.map toMatrix L').prod
E : m → R := fun i ↦ if D i = 0 then 1 else (D i)⁻¹
E_def : E = fun i ↦ if D i = 0 then 1 else (D i)⁻¹
s : Finset m := {i | D i ≠ 0}
s_def : s = {i | D i ≠ 0}
⊢ ∃ V U e, IsUnit V ∧ IsUnit U ∧ V * M * U = (fromBlocks 1 0 0 0).submatrix ⇑e ⇑e

Tactic:
set V := diagonal E * (L.reverse.map (toMatrix ∘ .inv)).prod with V_def

Goal state after:
m : Type um
R : Type uR
inst✝² : Field R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m R
L L' : List (TransvectionStruct m R)
D : m → R
hM0 : M = (List.map toMatrix L).prod * diagonal D * (List.map toMatrix L').prod
E : m → R := fun i ↦ if D i = 0 then 1 else (D i)⁻¹
E_def : E = fun i ↦ if D i = 0 then 1 else (D i)⁻¹
s : Finset m := {i | D i ≠ 0}
s_def : s = {i | D i ≠ 0}
V : Matrix m m R := diagonal E * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod
V_def : V = diagonal E * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod
⊢ ∃ V U e, IsUnit V ∧ IsUnit U ∧ V * M * U = (fromBlocks 1 0 0 0).submatrix ⇑e ⇑e