mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case hV
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
this : (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)).inverse = mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀
V' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
hV' : V' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
W' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
hW' : W' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
F : E → E' := (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hF : F = (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hFx₀ : ↑(extChartAt I' (f x₀)) (f x₀) = F (↑(extChartAt I x₀) x₀)
P :
  ∀ (Y : (x : M') → TangentSpace I' x),
    mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm) (mpullbackWithin I I' f Y s)
        (range ↑I) =ᶠ[𝓝[↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x₀) x₀]
      mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') F (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) Y (range ↑I'))
        (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 V' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') (↑(extChartAt I' (f x₀)) (f x₀))

Tactic:
exact hV.differentiableWithinAt_mpullbackWithin_vectorField

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
smooth_pM' : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I'.tangent n Prod.snd (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp : p.1.proj ∈ (chartAt H a.proj).source ∧ p.2.proj ∈ (chartAt H' b.proj).source
φ : E' → E' := fun x ↦ ↑I' (↑(chartAt H' b.proj) (↑(chartAt H' p.2.proj).symm (↑I'.symm x)))
D0 : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range ↑I') (↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))
D :
  ∀ (w : TangentBundle I M),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (φ ∘ Prod.snd) (range (Prod.map ↑I ↑I'))
      (↑I (↑(chartAt H w.proj) w.proj), ↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))
⊢ (fderivWithin 𝕜 (φ ∘ Prod.snd) (range ↑I ×ˢ range ↑I')
        (↑I (↑(chartAt H p.1.proj) p.1.proj), ↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj)))
      (p.1.snd, p.2.snd) =
    (fderivWithin 𝕜 φ (range ↑I') (↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))) p.2.snd

Tactic:
range_prodMap

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range ↑I ×ˢ range ↑I') (↑I w, ↑I' w')
smooth_pM' : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I'.tangent n Prod.snd (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp : p.1.proj ∈ (chartAt H a.proj).source ∧ p.2.proj ∈ (chartAt H' b.proj).source
φ : E' → E' := fun x ↦ ↑I' (↑(chartAt H' b.proj) (↑(chartAt H' p.2.proj).symm (↑I'.symm x)))
D0 : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range ↑I') (↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))
D :
  ∀ (w : TangentBundle I M),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (φ ∘ Prod.snd) (range (Prod.map ↑I ↑I'))
      (↑I (↑(chartAt H w.proj) w.proj), ↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))
⊢ (fderivWithin 𝕜 (φ ∘ Prod.snd) (range ↑I ×ˢ range ↑I')
        (↑I (↑(chartAt H p.1.proj) p.1.proj), ↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj)))
      (p.1.snd, p.2.snd) =
    (fderivWithin 𝕜 φ (range ↑I') (↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))) p.2.snd
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
γ : Path x y
γ_smooth : ContMDiff (𝓡∂ 1) I 1 ⇑γ
hγ : ∫⁻ (x_1 : ↑unitInterval), ‖(mfderiv% ⇑γ x_1) 1‖ₑ < r
⊢ pathELength I (⇑γ ∘ projIcc 0 1 ⋯) 0 1 < r

Tactic:
rwa [← lintegral_norm_mfderiv_Icc_eq_pathELength_projIcc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x : M
⊢ riemannianEDist I x x = 0

Tactic:
apply le_antisymm _ bot_le
  exact (riemannianEDist_le_pathELength (γ := fun (t : ℝ) ↦ x) (a := 0) (b := 0)
    contMDiffOn_const rfl rfl le_rfl).trans_eq (by simp)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.Smooth

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace HM M
N : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H N
x : M
⊢ Function.Surjective (eval IM I N x)

Tactic:
apply TopCat.stalkToFiber_surjective
  intro n
  exact ⟨⊤, fun _ ↦ n, contMDiff_const, rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
x : M
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x, ‖mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y‖ₑ < ↑C
r : ℝ
r_pos : r > 0
hr :
  ball (↑(extChartAt I x) x) r ∩ range ↑I ⊆
    (extChartAt I x).target ∩ {y | ‖mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y‖ₑ < ↑C}
A : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' (ball (↑(extChartAt I x) x) r ∩ range ↑I) ∈ 𝓝 x
y : M
hy : y ∈ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' (ball (↑(extChartAt I x) x) r ∩ range ↑I)
h'y : y ∈ (chartAt H x).source
η : ℝ →ᴬ[ℝ] E := ⋯
γ : ℝ → M := ⋯
hη :
  Icc 0 1 ⊆ ⇑η ⁻¹' (extChartAt I x).target ∧ Icc 0 1 ⊆ ⇑η ⁻¹' {y | ‖mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y‖ₑ < ↑C}
η_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 (⇑η) (Icc 0 1)
⊢ γ 1 = y

Tactic:
simp [γ, η, ContinuousAffineMap.coe_lineMap_eq, h'y]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m' (fun x₀ ↦ ⟨x₀, mlieBracketWithin I U V s x₀⟩) s x

Tactic:
let V' := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (extChartAt I x).symm V (range I)

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m' (fun x₀ ↦ ⟨x₀, mlieBracketWithin I U V s x₀⟩) s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 3) M
inst✝ : CompleteSpace E
U V W : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiff[s]
h's : x ∈ closure[inst✝³] (interior s)
hx : x ∈ s
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hW : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, W x⟩) s x
A : minSmoothness 𝕜 2 + 1 ≤ minSmoothness 𝕜 3
s_inter_mem : s ∩ (extChartAt I x).source ∈ 𝓝[s] x
pre_mem : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)
⊢ mlieBracketWithin I U (mlieBracketWithin I V W s) s x =
    mlieBracketWithin I (mlieBracketWithin I U V s) W s x + mlieBracketWithin I V (mlieBracketWithin I U W s) s x

Tactic:
let V' := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (extChartAt I x).symm V (range I)

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 3) M
inst✝ : CompleteSpace E
U V W : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiff[s]
h's : x ∈ closure[inst✝³] (interior s)
hx : x ∈ s
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hW : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, W x⟩) s x
A : minSmoothness 𝕜 2 + 1 ≤ minSmoothness 𝕜 3
s_inter_mem : s ∩ (extChartAt I x).source ∈ 𝓝[s] x
pre_mem : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
⊢ mlieBracketWithin I U (mlieBracketWithin I V W s) s x =
    mlieBracketWithin I (mlieBracketWithin I U V s) W s x + mlieBracketWithin I V (mlieBracketWithin I U W s) s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Submersion

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E'' : Type u_3
F : Type u_5
H : Type u_7
G : Type u_9
E : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
h : IsSubmersionOfComplement F I J n f
hM : IsEmpty M
⊢ IsSubmersion I J n f

Tactic:
rw [IsSubmersion]

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
E'' : Type u_3
F : Type u_5
H : Type u_7
G : Type u_9
E : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
h : IsSubmersionOfComplement F I J n f
hM : IsEmpty M
⊢ ∃ F x x_1, IsSubmersionOfComplement F I J n f
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁶ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁵ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst✝² : AddCommGroup A
inst✝¹ : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
hΦ : TensorialAt I F Φ x
ι : Type u_10
σ : ι → (x : M) → V x
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, MDiffAt (T% σ) x) → (Φ fun x' ↦ ∑ i ∈ s, σ i x') = ∑ i ∈ s, Φ (σ i)
hσ : ∀ i ∈ insert a s, MDiffAt (T% σ) x
⊢ (Φ fun x' ↦ ∑ i ∈ insert a s, σ i x') = ∑ i ∈ insert a s, Φ (σ i)

Tactic:
simp only [Finset.mem_insert, forall_eq_or_imp] at hσ
      simp only [Finset.sum_insert ha, ← h hσ.2]
      exact hΦ.add (hσ.1) (.sum_section hσ.2)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M
inst✝²⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝²² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝²¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝²⁰ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝¹⁹ : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst✝¹⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst✝¹⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V' x)
inst✝¹³ : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst✝¹² : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst✝¹¹ : AddCommGroup A
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 A
Φ✝ : ((x : M) → V x) → A
x✝ : M
inst✝⁹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup A
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
hΦ : TensorialAt I F Φ x
this✝² : T2Space (V x)
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 (V x)
this✝ : IsTopologicalAddGroup (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
c : 𝕜
v : V x
⊢ Φ (extend F (c • v)) = (RingHom.id 𝕜) c • Φ (extend F v)

Tactic:
by
      dsimp
      rw [← hΦ.smul (f := fun _ ↦ c) (mdifferentiable_const ..) (mdifferentiableAt_extend ..)]
      apply hΦ.pointwise (mdifferentiableAt_extend ..) <|
        mdifferentiableAt_const.smul_section (mdifferentiableAt_extend ..)
      simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: case hs
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁷ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁵ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁴ : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝³ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
cov cov' : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
u : Set M
f : M → 𝕜
n : ℕ∞ω
hf : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, 𝕜) n f u
Hcov : ContMDiffCovariantDerivativeOn F n cov u
Hcov' : ContMDiffCovariantDerivativeOn F n cov' u
σ✝ : (x : M) → V x
hσ : ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (n + 1) (fun x ↦ ⟨x, σ✝ x⟩) u
⊢ ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] F)) n (fun x ↦ ⟨x, (f • cov σ✝) x⟩) u

Tactic:
exact hf.smul_section <| Hcov.contMDiff hσ

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Commutator.Finite

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
⊢ Group.rank ↥(_root_.commutator G) ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G)

Tactic:
Subgroup.rank_congr (commutator_eq_closure G)

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)
⊢ Group.rank ↥(closure (commutatorSet G)) ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.WhitneyEmbedding

Goal state before:
pp: case intro
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : T2Space M
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this✝ : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
this : FiniteDimensional ℝ (ι → E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mp inferInstance
eEF : (ι → E × ℝ) ≃L[ℝ] F := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
x : M
⊢ Injective ⇑(mfderiv% ⇑eEF (f.embeddingPiTangent x) ∘SL mfderiv% ⇑f.embeddingPiTangent x)

Tactic:
eEF.mfderiv_eq

Goal state after:
case intro
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : T2Space M
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this✝ : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
this : FiniteDimensional ℝ (ι → E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mp inferInstance
eEF : (ι → E × ℝ) ≃L[ℝ] F := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
x : M
⊢ Injective ⇑(↑eEF ∘SL mfderiv% ⇑f.embeddingPiTangent x)
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Dihedral

Goal state before:
pp: n : ℕ
hn : Odd n
⊢ Nat.card (ConjClasses (DihedralGroup n)) = (n + 3) / 2

Tactic:
← Nat.mul_div_mul_left _ 2 hn.pos,

Goal state after:
n : ℕ
hn : Odd n
⊢ Nat.card (ConjClasses (DihedralGroup n)) = n * (n + 3) / (n * 2)
Module: Mathlib.GroupTheory.Coxeter.Basic

Goal state before:
pp: case mul_simple_left
B : Type u_1
W : Type u_3
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
⊢ ∀ (w : W) (i : B), (∃ a, cs.wordProd a = w) → ∃ a, cs.wordProd a = cs.simple i * w

Tactic:
· rintro _ i ⟨ω, rfl⟩
    use i :: ω
    rw [wordProd_cons]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.CoprodI

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
m : M i
w : Word M
h : w.fstIdx ≠ some i
m' : M i
w' : Word M
h' : w'.fstIdx ≠ some i
he : rcons { head := m, tail := w, fstIdx_ne := h } = rcons { head := m', tail := w', fstIdx_ne := h' }
hm : ¬m = 1
hm' : m' = 1
⊢ { head := m, tail := w, fstIdx_ne := h } = { head := m', tail := w', fstIdx_ne := h' }

Tactic:
exfalso
    simp only [rcons, dif_pos hm', dif_neg hm] at he
    rw [← he] at h'
    exact h' rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Coxeter.Basic

Goal state before:
pp: B : Type u_1
W : Type u_3
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
⊢ cs.wordProd (alternatingWord i i' m) = (if Even m then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m / 2)

Tactic:
induction m with

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Coxeter.Length

Goal state before:
pp: B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W
⊢ cs.length w₂ ≤ cs.length (w₁ * w₂) + cs.length w₁

Tactic:
simpa [add_comm] using cs.length_mul_le w₁⁻¹ (w₁ * w₂)

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Coxeter.Length

Goal state before:
pp: B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
length_lt_one : cs.length (cs.simple i) < 1
⊢ Multiplicative.ofAdd ↑(cs.length (cs.simple i)) = Multiplicative.ofAdd 0

Tactic:
Nat.lt_one_iff.mp length_lt_one,

Goal state after:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
length_lt_one : cs.length (cs.simple i) < 1
⊢ Multiplicative.ofAdd ↑0 = Multiplicative.ofAdd 0
Module: Mathlib.GroupTheory.Coxeter.Inversion

Goal state before:
pp: case mpr
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
⊢ cs.IsReflection t → cs.IsReflection (w * t * w⁻¹)

Tactic:
exact IsReflection.conj (w := w)

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Coxeter.Inversion

Goal state before:
pp: B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
w : W
⊢ cs.IsRightInversion (w * t) t ↔ ¬cs.IsRightInversion w t

Tactic:
by
  unfold IsRightInversion
  simp only [mul_assoc, ht.mul_self, mul_one, ht, true_and, not_lt]
  constructor
  · exact le_of_lt
  · exact (lt_of_le_of_ne' · (ht.length_mul_left_ne w))

Goal state after: